3.4.1基本不等式导学案
新人教A版必修5高中数学第三章3.4基本不等式(一)导学案
解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案大 －1
解析∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()
A．1≤ab≤B．ab<1<
C．ab<<1 D.<ab<1
答案B
解析∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是()
A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b
答案2
解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
A.B．bC．2abD．a2＋b2
答案B
解析∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴>，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()
A．0 B．－2C．－D．－3
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
高中数学3.4.1基本不等式的证明教学设计苏教版必修
3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？） 问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？ 请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）．证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥， 当a b a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以 2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥． 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）． 问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +和ab 吗？（一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a F A O B C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值． 点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值； （3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值． 五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
3.4.1基本不等式的应用(2)(2015年人教A版数学必修五导学案)
1 1 的最小值； x y
1 9 1 ，求 x y 的最小值． x y
【学后反思】
h
课题:3.4.1 基本不等式的证明（2）检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1．若 x，y R ； （1）当 x 2 y 18 时，则 x y 的最____值为______，此时 x _____； y _____．
5．求函数 y x
4 ( x 0) 的值域． x
6．设 x ， y 为正实数，且 2 x 5 y 20 ，求 u lg x lg y 的最大值．
5．设 x，y R ，求证： x 2 y 2 5 2(2x y) ．
h
（2）已知 x 0 ， y 0 ，且 5x 7 y 20 ，求 xy 的最大值．
2 2．求证： （1） x
1 1； 2 x 1源自（2）x2 3 x2 2
2；
（3）已知 x
5 1 ，求 y 4 x 1 的最大值． 4 4x 5
3． x 4 y 1 ，求
1 1 的最小值． x y
【课后巩固】
1．下列不等式的证明过程正确的是（ A．若 a ， b R ，则 ）
b a b a 2 2 a b a b B．若 x ， y 是正实数，则 lg x lg y 2 lg x lg y
4 4 x a b a b a b D．若 a ， b R ，且 ab 0 ，则 ( ) 2 2 b a b a b a
C．若 x 是负实数，则 x
4 2 x
x
12 3 x 的最小值为_____；此时 x _____． x 12 3 x 的最大值为______；此时 x _____． （2）若 x 0 时， y x 1 ( x 3) 的最小值为______；此时 x _____． （3）函数 y x x3 1 1 3． （1）已知 x，y R 且 x 2 y 1 ，则 的最小值为___________． x y
新人教A版必修5高中数学《3.4 基本不等式》导学案(3)
高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。
3.4.1基本不等式的证明
《基本不等式》教案(高一年级下册·必修5第三章第四节)成都华西中学数学组张宇一、【教材分析】1、教学内容本节课内容是人教A版教材必修5第三章《不等式》第四节,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。
2、地位与作用本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修4-5《不等式选讲》中用以研究不等式提供了一种重要依据。
因此本节课起着承上启下的作用。
同时本节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。
二、【学情分析】1、知识基础：高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识，并能用这些知识解决相关问题，对不等式证明的书写较为熟悉。
2、认知水平与能力：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。
3、任教班级学生特点：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容，但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足，逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。
三、【目标分析】1、教学目标依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：（1）知识与技能①理解基本不等式的内容及证明；②能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；③进一步学会用数学语言对不等式证明进行正确规范地书写。
（2）过程与方法①在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，经历观察、分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识；②在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方法的重要性，并学会应用解决相关问题；（3）情感态度与价值观①在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的学习态度； ②通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化。
2、教学重点及难点重点：理解基本不等式的含义及证明 难点：基本不等式等号成立条件的运用 重、难点解决的方法策略本课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，通过学生自主思考和互动研讨，经历观察、分析、猜想、论证的过程，自己推导出2个不等式同时，借助多媒体的直观演示，强化学生对重要不等式、基本不等式的理解认识，从而突出重点。
2013山东省聊城四中高二数学教案3.4.1《基本不等式》
3.4 基本不等式: 2b a ab +≤(1) 学习目标：1.创设代数与几何背景,用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程;；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式的常用思路.一、新课引入探究： 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一写相等关系或不等关系吗？问题(1)：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和有什么关系？你能证明这个关系吗?问题(2) ：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和什么情况下相等？（或什么情况下取等号）结论：一般地，对于任意实数b a 、，都有 . 问题（3）：当0,0>>b a 时，是否可以用b a 、代替不等式中的b a 、？代替后是： ，你能给出证明吗？我们常把2b a +叫做正数b a 、的 ，把 叫做正数b a 、的几何平均数. 探究：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，.,b BC a AC ==过点C 作垂直于AB 的弦DE 连接.BD AD 、你能利用这个图形，得出不等式2b a ab +≤的几何解释吗？总结：基本不等式2b a ab +≤使用应注意： 二、例题：例1. (1) 把36写成两个正数的积,当这 (2) 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? 两个正数取什么值时,它们的积最大?例2. (1)用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)一段长为m 36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？变式：一段长为m 30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长m 18，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例3. 某工厂要建造一个长方体形无盖 水池，其容积为34800m ，深为m 3.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？变式：做一个体积为332m ，高为m 2的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？作业：1.0>x ，当x 取什么值，xx 1+的值最小？最小是多少？2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？3.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？4.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为m 3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？5.已知()+∞∈,0b a 、，求证：2233ab b a b a +≥+.6．用 cm 20长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？7.已知y x 、都是正数，求证：2≥+y x x y .8. 已知c b a 、、都是正数，求证：.8))()((abc c b c a b a ≥+++。
2013-2014学年高中数学 3.4.1基本不等式的证明(3)导学案 苏教版必修5
3．如图，重量是W 的重物挂在杠杆上距支点 a 处．质量均匀的杆子每单位长度的 重量为 m ．杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F 最小？ Ｆ
a Ｗ
【课后巩固】
1．用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长为 a ， 宽为 b （ a b ），墙角的两堵墙面和地面两两相互垂直，如何放置木板才能使这
个空间最大？
2．求半圆上一点到直径的两端点距离之和的最大值．
3．已知圆的直径为 d ，求该圆的内接矩形面积的最大值．
4．如图，电路中电源的电动势为 E ，内电阻为 r ， R1 为固定电阻， R2 是一个滑动 变阻器．R2 调至何值时，其消耗的电功率 P 最大？最大电功率是多少（ P I 2 R ）？
2．基本不等式的重要变形：
a2 b2 _____________ (a，b R) ab _____________；
a b _____________ (a，b R ) ab _____________． 2
注意：对于基本不等式中的正数 a，b ，可以是具体的正实数，也可以是大于 0 的代数
例 2 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 4800m3 ，深度为 3m ．如果池底
每1m 2 的造价为150元，池壁每1m 2 的造价为120元，怎样设计水池能使总造
价最低？最低总造价为多少元？Байду номын сангаас
例 3.过点 (1，2) 的直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点， 当 ABC的面积最小时，求直线 l 的方程．
课题:3.4.1 基本不等式的应用（3）
基本不等式的导学案
3.1 《基本不等式》的导学案学习目标：1．我能通过阅读课本，说出基本不等式的特征，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．我能通过对基本不等式的不同解释，掌握换个角度看问题的思维意识．形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的多种解释．教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．一．自主学习，夯实基础阅读课本P 88前四段，自主完成下面的问题。
问题1: 证明：对于任意实数x ,y ,都有xy y x 222≥+当且仅当y x =时，等号成立设a x =，b y =代入上面不等式中能得到什么不等式？问题2:基本不等式的内容是什么？不等号左右两边的形式有什么特点？问题3：使用基本不等式的前提是什么？等号成立的条件是什么？二．合作探究，激活思维对于基本不等式,请尝试从几何方面给予解释.如图，AB 是⊙O 的直径，AC=a ，CB=b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D,连接AD,BD,请你利用OD ≥DC 写出一个关于a ，b 的不等式.三．1.基础性练习，概念的基本理解.判断正误：①R x ∈ 2121=⋅≥+∴xx x x （ ） ②,1>>b a b a ba lg lg 2lg lg ⋅>+∴（ ） ③4>a 6929=⋅≥+∴aa a a （ ） 2.挑战性练习，知识的灵活运用设a ，b 均为正数，证明不等式：ab ≥21a ＋1b.四．思考交流如图2，在⊙O上半圆中，设AC＝a，CB＝b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用FC≥OF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较．图2结论：对于基本不等式，用文字语言可叙述为：(1)如果把看作两个非负数a、b的,看作两个非负数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个非负数的不小于它们的.(2)从数列角度看,可把看作正数a、b的,看作正数a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.五.检测练习P练习见课本90。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案(1)
基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋a b≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【母题一】若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 【解析】由于x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81．【答案】81 【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】B3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项【母题二】已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．【解析】∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．【答案】－2解答技巧三：凑项【母题三】若x ＞2，则函数y ＝x ＋1x －2的最小值为________． 【解析】∵x ＞2，∴y ＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数【母题四】若0＜x ＜83，则函数y ＝x (8－3x )的最大值为________．【解析】∵x ＞2，∴y ＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当x ＝43时取等号． 【答案】163【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b 2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 2 4．已知函数f (x )＝2xx 2＋6． (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞．类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 【答案】4 【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)．【答案】C7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y2)2，解得－233≤x ＋y ≤233． 【答案】233类型四、基本不等式的应用1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．【答案】52．创新题规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1．f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1．【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m ＞0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ．又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1 x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立． 【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72 B ．4 C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43 B ．53 C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16ba －b的最小值是________． 【解析】∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．32 C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．52【解析】∵a ＞1，b ＞1，∴lg a ＞0，lg b ＞0．lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b24＝lg ab 24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3．【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时等号成立． 【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233． 【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a＋3b)＝7＋(3ab＋4ba)≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号．【答案】7＋4 3。
6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的证明)
3.4基本不等式：2ba ab +≤3.4.1基本不等式2ba ab +≤的证明从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：2ba ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？ （沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形.师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］师 设直角三角形的两直角边的长分别为a 、b ，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？ （大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生 每个直角三角形的面积为ab 21，四个直角三角形的面积之和为2ab .正方形的边长为22b a ，所以正方形的面积为a 2+b 2，则a 2+b 2≥2ab .师这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师回答得很好.（有的同学感到迷惑不解）师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生作商，用商和“1”比较大小.师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形板书：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.［过程引导］师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师 为什么？生 因为不等式中的a 、b ∈R. 师 很好，我们来看一下代替后的结果. 板书：ab b a ≥+2即2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2b a +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）要证：ab b a ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？生 可证△A CD ∽△B CD,所以可得ab CD =. 生 由射影定理也可得ab CD =.师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2b a +分别又有什么几何意义呢？生ab 表示半弦长，2b a +表示半径长. 师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得ab b a ≥+2. 师 这位同学回答得是否很严密？ 生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2b a ab +≤(a ＞0,b ＞0). 课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112+,ab ,2b a +,222b a +的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设A C=a ,B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.基本不等式2b a ab +≤的证明 一、实际情景引入得到重要不等式 课时小结a 2＋b 2≥2ab二、定理若a ＞0，b ＞0，课后作业则ab b a ≥+2证明过程探索：仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
《3.4.1 基本不等式的证明》教学案1
3．4.1《基本不等式的证明》教学案教学教法分析●三维目标 1.知识与技能(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释.2.过程与方法(1)通过实例探究抽象基本不等式；(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式ab ≤a ＋b2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(3)运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件． 3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.●重点、难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义． 难点：理解基本不等式等号成立的条件．为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式ab ≤a ＋b2的证明过程．每一步证明过程都要给学生留出思考的空间，让他们自主探究．教学方案设计●教学建议本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．●教学流程创设情境引导学生理解算术平均数和几何平均数的概念，进而给出基本不等式.⇒引导学生多角度探索基本不等式的证明方法，使学生充分理解基本不等式.⇒通过例1及其变式训练使学生熟悉基本不等式的结构与应用.⇒通过例2及其互动探究使学生掌握利用基本不等式证明不等式方法.⇒通过例3及其变式训练让学生掌握利用基本不等式求函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学对于正数a ，b ，我们把2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.1．若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？【提示】 因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab .2．上述结论中，等号何时成立？ 【提示】 当且仅当a ＝b 时等号成立．3．若以a 、b 分别代替问题1中的a 、b ，可得出什么结论？等号何时成立？ 【提示】 a ＋b ≥2ab (a 、b 是正数)，当且仅当a ＝b 时等号成立．如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．课堂互动探究例1 【思路探究】 先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明． 【自主解答】 ∵a 、b ∈(0，＋∞)，∴1a ＋1b ≥21ab ，即21a ＋1b≤ab ，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时等号成立．又∵a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b22＝a ＋b2，∴a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤a ＋b 2，于是21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.当且仅当a ＝b 时等号成立．规律方法1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式． 2．在利用a ＋b ≥2ab 时，一定要注意是否满足条件a >0，b >0.变式训练已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小，并加以证明．【解】 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg (x 1x 2)，f (x 1＋x 22)＝lgx 1＋x 22，又∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1x 2≤(x 1＋x 22)2.∴lg (x 1x 2)≤lg (x 1＋x 22)2.∴12lg (x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22.∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立.例求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .【思路探究】 分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ， b ＋c ≥2bc ， c ＋a ≥2ac .∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法1．本题中，由于三个不等式等号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立．2．由基本不等式a ＋b2≥ab 可以引申出的常用结论：(1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)；(3)21a ＋1b≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)；(4)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．互动探究若条件不变，结论改为a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac ，怎样证明？【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .例3 (1)已知x ＞2，求y ＝x ＋x －2的最小值； (2)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．【思路探究】 (1)将原式变形为y ＝x －2＋1x －2＋2，再利用基本不等式； (2)将原式变形为y ＝14·2x (1－2x )，再利用基本不等式． 【自主解答】 (1)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －1x －＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时，y min ＝4. (2)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0， ∴y ＝12x (1－2x )＝14×2x (1－2x ) ≤14(2x ＋1－2x 2)2＝14×14＝116， 当且仅当2x ＝1－2x (0＜x ＜12)， 即x ＝14时，y max ＝116.规律方法1．本例中，对要求最值的函数式，通过适当的变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值．2．利用基本不等式求解最值，应满足“一正、二定、三相等”三个条件． (1)“一正”，所求最值的各项都是正值．(2) “二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值．变式训练(1)若x ＜0，求f (x )＝4x ＋9x 的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1(x ＞0)的最小值．【解】 (1)∵x ＜0，∴－x ＞0. 则－f (x )＝－4x ＋9－x ≥2－4x9－x ＝12.即f (x )≤－12，当且仅当－4x ＝9－x 时，即x ＝－32时，f (x )取最大值－12.(2)∵y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1＝x 2＋2x ＋－x x 2＋2x ＋1＝1－x x 2＋2x ＋1，又x ＞0，∴y ＝1－1x ＋1x ＋2. ∵x ＋1x ≥2，∴x ＋1x ＋2≥4，∴0＜1x ＋1x ＋2≤14， ∴y ≥1－14＝34.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，函数取得最小值34.易错易误辨析忽略定值条件导致错误典例 设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．【错解】 a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋＋b 22＝12[(a 2＋12)＋(a 2＋b 22)]＝12[(a 2＋12)＋1]≥34(a ＝0时，取等号)．【错因分析】 在a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋＋b 22中，4a 2＋＋b 22并非定值，这直接导致了解题的错误．【防范措施】 a ＋b 是定值或a 、b 是定值是使用基本不等式的第二个条件，当条件不具备时应对解析式变形，创造定理条件．【正解】 由a 2＋b 22＝1，得a 2＋1＋b 22＝32.∴a 1＋b 2＝2·a ·1＋b22≤2·a 2＋1＋b 222＝2×322＝324， 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 22＝1，a ＝1＋b 22，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝ 32，b ＝22时，等号成立．1．基础知识：(1)算术平均数与几何平均数； (2)基本不等式． 2．基本技能：(1)利用基本不等式比较大小； (2)利用基本不等式证明不等式； (3)利用基本不等式求函数的最值． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)分类讨论思想； (3)函数思想.当堂双基达标1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是________．【解析】 因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，所以a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，所以a ＋b 最大．【答案】 a ＋b2．若x ＞0，则f (x )＝4x ＋9x 的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞0，由基本不等式，得f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x ＝236＝12.当且仅当4x ＝9x 时，即x ＝32时，f (x )取最小值12. 【答案】 123．已知x ＞0，则y ＝2－x －4x 的最大值为________． 【解析】 ∵x ＞0，∴x ＋4x ≥4， ∴y ＝2－x －4x ＝2－(x ＋4x )≤2－4＝－2， 当且仅当x ＝4x (x ＞0)， 即x ＝2时，y max ＝－2. 【答案】 －24．求证4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)． 【证明】 因为a ＞3，所以a －3＞0. 所以4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3a －＋3＝2×4＋3＝7.当且仅当4a －3＝a －3，即当a ＝5时取等号.课后知能检测一、填空题1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②若x ＞0，则 cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x ＝2；③若x ＜0，则x ＋4x ≤2x ·4x ＝4；④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b ＝－[(－b a )＋(－ab )]≤－2－ba －ab ＝－2.【解析】 对于①，不能确定b a 与ab 均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x 与4x 均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数b a 与ab 分别转化为正数－b a ，－ab ，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.【答案】 ④2．(2013·南通检测)若a ＞1，则y ＝a ＋1a －1的最小值为________． 【解析】 ∵a ＞1，∴a －1＞0，1a －1＞0， ∴y ＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号，∴y min ＝3. 【答案】 33．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4，当且仅当a－2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0，4)，综上易得m ＞n .【答案】 m ＞n4．已知x ＞1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16， ∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．【答案】 [16，＋∞)5．(2013·无锡检测)已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________． 【解析】 由2a ＋b ＝4，∴4＝2a ＋b ≥22ab . ∴2ab ≤2，∴2ab ≤4，∴ab ≤2，即(ab )max ＝2. 【答案】 26．若x ＋2y ＝2，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝222＝4，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【答案】 47．(2013·郑州高二检测)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b 的最小值为________．【解析】 依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1ba －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b 的最小值是4.【答案】 48．(2013·衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△M BC ，△M CA ，△M AB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值为________．【解析】 依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2[5＋(y x ＋4xy )]≥2(5＋2y x ·4x y )＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y 的最小值为18.【答案】 18 二、解答题9．求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值．【解】 y ＝x －2＋x －＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.由题意知x －1＞0，∴y ≥2x －9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取“＝”，∴y min ＝8.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 【证明】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，可分别相乘． ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．11．已知x ，y 为正数且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．【解】 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y y －2(y ＞2)，令t ＝x ＋y ，则t ＝8yy －2＋y ＝y －＋16y －2＋y ＝8＋16y －2＋y ＝(y －2)＋16y －2＋10≥2y －16y －2＋10＝216＋10＝18.当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时，等号成立． 所以(x ＋y )min ＝18.教师备课资源备选例题已知a ＞b ，ab ＝1，求证a 2＋b 2≥22(a －b )．【思路探究】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，所以若证a 2＋b 2≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2a －b ≥22即可．【证明】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，又ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b＝a －b ＋2a －b ≥2a －b2a －b ＝22，所以a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )．当且仅当a －b ＝2a －b ，即a －b ＝2时取等号．规律方法在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧．备选变式已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c . 【证明】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＝a －b ＋b －c ＞0， ∴所证不等式等价于(1a －b ＋1b －c )(a －c )≥4. 又(1a －b ＋1b －c )(a －c )＝a －c a －b ＋a －c b －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c ＝4.∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c .拓展证明不等式的基本方法——分析法.分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立．对于某些不等式(如含有根式、分式或两端较为复杂)有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法．用分析法证题时，要注意其语言“特色”．如用分析法论证“若A，则B” 这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，从而又……只需证命题B2为真，从而又…………只需证明A为真，今已知A为真，故B为真．可见，分析法总是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件．写成简要的形式就是：B←B1←B2←…←B n←A.。
2018版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5
3．4.1 基本不等式的证明学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连结AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？梳理 一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的________平均数，ab 为a ，b 的________平均数．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2.其几何意义如图中的PO ≥PQ .知识点二 基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)?梳理ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)．当对正数a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2； (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．类型一 常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． 引申探究 证明不等式(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a ，b ∈R ，与基本不等式不同． (2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc .类型三 用基本不等式比大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则x 与a ＋b2的大小关系是________．反思与感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．2．若0<a <b ，则a ，b ，ab ，a ＋b2的大小关系是________．3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是________． 4．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学 知识点一思考 PO ＝AB 2＝a ＋b2.易证Rt△APQ ∽Rt△PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ， 即PQ ＝ab . 梳理 算术 几何 知识点二思考 ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 题型探究例1 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， 两边同除以4，即得(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号．跟踪训练1 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 例2 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴xy >0，y x>0， ∴y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2，即y x ＋x y≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立．(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 例3 x ≤a ＋b2解析 第二年的产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋a ＋＋b 22， ∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2.跟踪训练3 P ＜Q ＜R解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ， 即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab ，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， 即R ＞Q .②综合①②，有P ＜Q ＜R .当堂训练1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 2.b >a ＋b 2>ab >a 3．4 2 4.①②③。
高中数学 3.4.1基本不等式的证明(4)导学案 苏教版必修5
（6）已知 ，那么 的取值范围是________________________；
（7）已知 都是正数， ，则 的最小值是_________________；
【课堂研讨】
例1.已知 ，求证： ．
例2.解关于 的不等式： ．
例3 证明不等式：
甲： ，又 ，所以 ．
从而 ，即 的最小值是 ．
乙：因为 在 上单调递增，所以 的最小值是 ．
试判断谁错？错在何处？
【课后巩固】
1．若 ， ， ， ，
试比较 的大小．
2．已知数列 的通项公式 ， ，则数列中最大项是第_______项．
3．若直角三角形两条直角边的和等于 ，则当该直角三角形面积最大时，
课题:不等式专题复习
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
会运用基本不等式解决一些问题．
【课前预习】
1、（1）函数 的定义域为_________________；
（2）比较大小： _________________ ；
（3）已知 ， ，则 _________________；
（4）不等式 的解集是_________________；
（1）若 ，且 ，则 ；
（2）若 是实数，且 ，则 ；
（3）把（1）和（2）中的不等式推广到一般情形，并证明你的结论．
【学后反思】
课题:3.4.1不等式专题复习检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．已知 ，则 与 的大小关系是 _______ ．
2．已知 ，那么 ________ ；已知 ，那么 ________ ；
3．函数 ， ，则 的最小值为____________．
高一数学 3.4.1 基本不等式的证明(1)学案
2012高一数学 3.4.1 基本不等式的证明（1）学案学习目标：一、知识与技能1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释．学习过程：一、问题情景1.提问：2a b +2.2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学生活动问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a b 、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？问题2 那4个直角三角形的面积和呢？问题3 好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， .什么时候这两部分面积相等呢？.三、建构数学1．重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b=时，等号成立．问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛．问题5：将a 降次为a ,b 降次为b ,则由这个不等式可以得出什么结论？2．基本不等式：对任意正数a 、b，有2a b +≥当且仅当a b =时等号成立． 说明： 把2a b +,a b 的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．注意：（1）基本不等式成立的条件是：0,0a b ≥≥；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（3）ab b a ≥+2的几何解释：（如图1）以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ， 过C 作弦DD AB '⊥，则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD b a =≥+22a b +≤几何意义是：“半径不小于半弦”； （4）当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =a b =2a b +⇒=；另一方面是仅当a b ==（5）如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）；B（6）如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．四、数学运用1．例题．例1 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥；（2）12a a +≥.例2 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.．例3 已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.2．练习（1）已知,x y 都是正数，求证： 223333()()()8x y x y x y x y +++≥；（2）已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；（3）思考题：若0<x ，求x x 1+的最大值. 五、要点归纳与方法小结六、课外作业课后练习第2题、第3题；习题3.4第1题、第2题、第3题．。
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设计
高二数学组
审核
高二数学组
授课人
课型
新授课
年级
高二
班级
小组
姓名
学习课题
基本不等式导学案
使用时间
年月日第节
第课时
累计课时
学习
目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
3.能利用基本不等式求简单函数的最值.
学习重点
学习难点
学习过程
(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是.
变式训练1(1)已知a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是()
A.a+b≥2 B. ≥2
C. ≥2 D.
(2)给出下列命题:①若a>0,b>0,则lga+lgb≥2 ;②若a<0,b<0,则ab+ ≥2;③不等式 ≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是.
求证: ≥8.
变式训练3已知a,b>0,a+b=1,求证: ≤2
练
1.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()
A. B. C. D.
2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()
A.ab≤ B.Biblioteka b≥ C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3
3.已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.
4.对于任意正数a,b,A是a,b的等差中项,G是a,b的等比中项,则A与G的大小关系是.
5.求f(x)=2+log2x+ (0<x<1)的最值.
6.已知a,b都是正数,且a+b=1,求证: ≥9.
作业
1.完成课时作业
学习过程【导、探、议、练】
备注
导
1.重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥,当且仅当时,等号成立
2.基本不等式
当a>0,b>0时,有___________，当且仅当时，等号成立
注：常见变形有
①______________________________
②______________________________
(1)当a≥0,b≥0时, .()
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与 成立的条件是相同的.()
(3)函数y=x2+ 的最小值为8 .()
(4)若a,b∈R,则 ≥2.()
探-议
探究一利用基本不等式比较代数式的大小
【例1】(1)若0<a<b,则下列不等式中正确的是()
A.a<b< B.a< <b
C.a< <b< D. <a< <b
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得.
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得.
做一做1已知x>0,y>0.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是.
(2)若x+y=4,则xy的最大值是.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
探究二利用基本不等式求简单的最值问题
【例2】(1)当x>0时,求f(x)=3x+ 的最小值;
(2)已知lga+lgb=2,求a+b的最小值;
(3)已知m,n>0,且m+n=16,求 mn的最大值.
探究三利用基本不等式证明不等式
【例3】(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> .
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,