一元二次方程提高培优题

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(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程专题能力培优（含答案）

⼀元⼆次⽅程专题能⼒培优（含答案）第2章⼀元⼆次⽅程 2.1 ⼀元⼆次⽅程专题⼀利⽤⼀元⼆次⽅程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的⽅程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是⼀元⼆次⽅程并写出这个⽅程；（2）m 取何值时，它是⼀元⼀次⽅程？专题⼆利⽤⼀元⼆次⽅程的项的概念求字母的取值3.关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若⼀元⼆次⽅程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有⼀次项，则a 的值为 .专题三利⽤⼀元⼆次⽅程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的⽅程x 2+bx+a=0的⼀个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.26.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此⽅程必有⼀个根为 .7.已知实数a 是⼀元⼆次⽅程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有⼀个未知数（⼀元），并且未知数的最⾼次数是2（⼆次），等号两边都是整式的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程.2.⼀元⼆次⽅程的⼀般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2温馨提⽰：1.⼀元⼆次⽅程概念中⼀定要注意⼆次项系数不为0的条件.2.⼀元⼆次⽅程的根是两个⽽不再是⼀个.⽅法技巧：1.ax k+bx+c=0是⼀元⼀次⽅程的情况有两种，需要分类讨论.2.利⽤⼀元⼆次⽅程的解求字母或者代数式的值时常常⽤到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020mm-≠+≥，解得m≥-2且m≠32.解：（1）当212,10mm+=+≠时，它是⼀元⼆次⽅程.解得：m=1．当m=1时，原⽅程可化为2x2-x-1=0；（2）当20,10m+=或者当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是⼀元⼀次⽅程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为⼀元⼀次⽅程．3.解：由题意，得：210,10.mm-=-≠解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.aa+=-≠解得a=－2.5. A 解析：∵关于x的⽅程x2+bx+a=0的⼀个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：⽐较两个式⼦会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后⼀项相同；（3）第⼀个式⼦x2对应了第⼆个式⼦中的1，第⼀个式⼦中的x对应了第⼆个式⼦中的-1.故==-.解得x=－1.7.解：∵实数a是⼀元⼆次⽅程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0. ∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.∴2.2 ⼀元⼆次⽅程的解法专题⼀利⽤配⽅法求字母的取值或者求代数式的极值1.若⽅程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成⼀个完全平⽅式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是⼀个完全平⽅式，则m= .3.⽤配⽅法证明：⽆论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒⼩于零．专题⼆利⽤△判定⼀元⼆次⽅程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三⾓形的三边，则⽅程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有⼀个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的⽅程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果⼀元⼆次⽅程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满⾜a＋b＋c＝0，那么我们称这个⽅程为“凤凰”⽅程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”⽅程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值⽅程和⾼次⽅程7.若⽅程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解⽅程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原⽅程的解是x=1或x=－2.10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解⽅程3x （x+2）=5（x+2）时，先将⽅程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0，这个⽅程左边可以分解成两个⼀次因式的积，所以⽅程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中⾄少有⼀个等于0；反过来，如果两个因式有⼀个等于0，它们的积等于0．因此，解⽅程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解⽅程 x+2=0或3x-5=0，得到原⽅程的解为x 1=-2，x 2=53．根据上⾯解⼀元⼆次⽅程的过程，王⼒推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >??>?或者0,0.a b请判断王⼒的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五利⽤根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成⽴？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这⼀性质，我们可以求出已知⽅程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为⽅程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值．解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴211是⽅程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的⽅法及（1）的⽅法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解⼀元⼆次⽅程的基本思想——降次，解⼀元⼆次⽅程的常⽤⽅法：直接开平⽅法、配⽅法、公式法、因式分解法.2.⼀元⼆次⽅程的根的判别式△=b-4ac 与⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系：当△>0时，⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数解；当△=0时，⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数解；△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数解.3.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.温馨提⽰： 1.x 2+6x+m 2是⼀个完全平⽅式，易误以为m=3.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.⽅法技巧：1.求⼆次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．3.解绝对值⽅程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式⼦与0的⼤⼩关系.4.解⾼次⽅程的基本思想是将⾼次⽅程将次转化为关于某个式⼦的⼀元⼆次⽅程求解.5.利⽤根与系数求解时，常常⽤到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2∴⽆论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒⼩于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三⾓形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该⽅程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为⼀元⼀次⽅程⽅程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为⼀元⼆次⽅程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠?-??≥?.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，⼜a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代⼊b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原⽅程的解是x=0或x=－2． 9.4 1-，﹣3；41，3．发现的⼀般结论为：若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0．⼜∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是⽅程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.⼜2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是⽅程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 ⼀元⼆次⽅程的应⽤专题⼀、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⾯积问题 1.在⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上，准备开凿⼀个矩形窗户．现⽤9.5m 长的铝合⾦条制成如图所⽰的窗框．问：窗户的宽和⾼各是多少时，其透光⾯积为3m 2（铝合⾦条的宽度忽略不计）．条所占⾯积为原矩形图案⾯积的三分之⼀，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举⼀反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下⾯的问题：（1）在长为a m，宽为b m的⼀块草坪上修了⼀条1m宽的笔直⼩路（如图（1）），则余下草m；坪的⾯积可表⽰为2（2）现为了增加美感，设计师把这条⼩路改为宽恒为1m的弯曲⼩路（如图（2）），则此时m；余下草坪的⾯积为2（3）聪明的鲁鲁结合上⾯的问题编写了⼀道应⽤题，你能解决吗？相信⾃⼰哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的⼀块草坪上修了⼀条宽为xm的笔直⼩路和⼀条长恒m．求⼩路的宽x.为xm的弯曲⼩路（如图3），此时余下草坪的⾯积为14212专题⼆、利⽤⼀元⼆次⽅程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨⼤，但合理利⽤量⼗分有限，2012年的利⽤率只有30%，⼤部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利⽤量的增长率相同，要使2014年的利⽤率提⾼到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）5.某种电脑病毒传播⾮常快，如果⼀台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你⽤学过的知识分析，每轮感染中平均⼀台电脑会感染⼏台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·⼴元）某中⼼城市有⼀楼盘，开发商准备以每平⽅⽶7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平⽅⽶5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引⼒．请问房产销售经理的⽅案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利⽤⼀元⼆次⽅程解决市场经济问题7.（2012·济宁）⼀学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了⼀批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司⽀付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6⽉份销售某⼚家的汽车，在⼀定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当⽉仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；⽉底⼚家根据销售量⼀次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当⽉售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当⽉盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⽣活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中⼀个顶点．．．．．．的对⾓线有条.(2)⼀个凸多边形共有14条对⾓线,它是⼏边形？10.如图每个正⽅形是由边长为1的⼩正⽅形组成．（1）观察图形，请填与下列表格：正⽅形边长 1 3 5 7 … n （奇数）红⾊⼩正⽅形个数 … 正⽅形边长 2 4 6 8 … n （偶数）红⾊⼩正⽅形个数…（2）在边长为n （n≥1）的正⽅形中，设红⾊⼩正⽅形的个数为P 1，⽩⾊⼩正⽅形的个数为P 2，问是否存在偶数n ，使P 2=5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列⽅程解决实际问题的常见类型：⾯积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、⽣活中的其他问题. 温馨提⽰：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x ，增长(或降低)前的数量为a ，则第⼀次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第⼆次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.⾯积(体积)问题属于⼏何图形的应⽤题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据⾯积(体积)公式列出⼀元⼆次⽅程．3.列⽅程解决实际问题时，⽅程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. ⽅法技巧：1. 变化率问题中常⽤a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终⽌量，n 是变出次数，x 是变化率.变化率问题⽤直接开平⽅法求解简单.2.解决⾯积问题常常⽤到平移的⽅法，利⽤平移前后图形⾯积不变建⽴等量关系.答案：1.解：设⾼为x ⽶，则宽为9.50.523x --⽶.由题意，得9.50.5233xx --?=. 解得121.5,3x x == (舍去,⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：⾼为1.5⽶,宽为2⽶.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0.。

第21章一元二次方程(单元测试-培优卷)(原卷版)

第21章一元二次方程（单元测试-培优卷）一、单选题(共30分)1．(本题3分)（2022·全国·九年级单元测试）下列方程：①3x2+1=0；②x2﹣ x+1=0；③2x ﹣ 1x=1；④x2﹣2xy=5；⑤=1；⑥ax2+bx+c=0其中是一元二次方程的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．52．(本题3分)（2021·江苏淮安·九年级期末）方程23x x =的根是（）A ．3x =B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==3．(本题3分)（2021·贵州毕节·中考真题）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．不能确定4．(本题3分)（2022·全国·八年级单元测试）若一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≤12B ．m ＞1C ．m≤1D ．m ＜15．(本题3分)（2022·全国·九年级单元测试）方程4326131240x x x x -+-+=的不同有理根的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．46．(本题3分)（2021·甘肃·夏河县夏河中学九年级阶段练习）一元二次方程25410x x --=的二次项系数和一次项系数分别为（）A ．5，-1B ．5，4C ．5，-4D ．5x 2，-4x7．(本题3分)（2022·黑龙江大庆·八年级期末）已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．-2B ．2C ．-3D ．38．(本题3分)（2021·全国·九年级专题练习）已知1x =-是关于x 的方程20x x m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．29．(本题3分)（2022·全国·九年级单元测试）若一元二次方程()212860k x x -+-=没有实数根，那么k 的最小整数值是（）A ．2B ．0C ．1D ．310．(本题3分)（2022·全国·九年级单元测试）某班学生打算在毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各留一张作纪念，全班共送了4160张相片．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程是（）A ．()14160x x -=B ．()14160x x +=C ．()214160x x +=D ．141602x -=二、填空题(共16分)11．(本题2分)已知1x ，2x 是一元二次方程240x x m -+=的两根，若11x =，则1212x x x x +-=______．12．(本题2分)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等实数根，则k 的取值范围是________．13．(本题2分)已知关于x 的方程()21230a x x +-+=有实数根，则整数a 的最大值是_____．14．(本题2分)已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．15．(本题2分)已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22+a 的值是_____．16．(本题2分)已知一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a +c =0；②若b ＞a +c ，则方程有两个不相等的实数根；③若b =2a +3c ，则方程有两个不相等的实数根；④若m 是方程的一个根，则一定有b 2-4ac =（2am +b ）2成立．其中结论正确的序号是__________．17．(本题2分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元．18．(本题2分)如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，P 是边AB 上的一个动点，过点P 作PE AB ^，交BC 于点E ，连接,DP DE ．若8AB PDE =V ,是等腰三角形，则BP 的长是_________________．三、解答题(共54分)19．(本题6分)解方程：（1）x2+2x ﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x ﹣1=0（用公式法求解）20．(本题8分)某种植户每年的种植成本包括两部分：固定成本为3万元/年，可变成本逐年增加，已知该种植户第1年的可变成本为6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x ．(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；(2)如果该种植户第3年的种植成本为11.64万元，求可变成本平均每年增长的百分率．21．(本题10分)阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -³，即()25y -最小值是0；∴21030y y -+的最小值是5依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值；（2）求242x x -+的最大值．22．(本题10分)阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，20a b =-³Q ，a b \+³a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x+的最小值为__________．(2)当0m ＞时，求2512m m m++的最小值．(3)请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x 米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？23．(本题10分)阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程3220x x x +-=，可以通过因式分解把它转化为()220x x x +-=，解一元一次方程0x =和一元二次方程220x x +-=，可得10x =，21x =，32x =-．2=，可以通过方程两边平方把它转化为14x +=，解得3x =．（1）解下列方程：①32340x x x --=x=（2）根据材料给你的启示，求函数2232121x x y x x -+=++的最小值．24．(本题10分)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组11122120x y x yì+=ïïíï+=ïî，设m ＝1x ，n ＝1y ，则原方程组可化为12220m n m n +=ìí+=î，解之得84m n =ìí=î，即18,1 4.x yì=ïïíï=ïî所以原方程组的解为1814x y ì=ïïíï=ïî．运用以上知识解决下列问题：（1）求值：11111111111111(1)()(1)()1113171113171911131719111317+++´+++-++++´++＝．（2）方程组635921x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î的解为．（3）分解因式：（x 2+4x +3）（x 2+4x +5）+1＝．（4）解方程组21132311122386x y x y +++ì´-=í+´=î（5）已知关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î的解是95x y =ìí=î，求关于x 、y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ì-+=-í-+=-î的解．。

一元二次方程专题培优训练精选

一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。

m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。

m≠3.B。

m≥3.C。

m≥-2.D。

m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。

-9或11.B。

-7或8.C。

【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析

一元二次方程(培优)

一元二次方程(培优)一元二次方程是一种只含一个未知数x，最高次数是2次的整式方程。

任何一个关于x的一元二次方程都能化成一般形式ax²+bx+c=0，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

1.对于方程(m²-m-2)x²+mx+n=0，条件是m不等于-1或2，才能成为一元二次方程。

2.方程x³-4x=0的解是-2，0，2.3.已知方程x²-2(k-4)x+k²-6k+8=0有两个相等的实数根，则k的值是4.4.若x₁，x₂是方程3x²+x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-1/3.5.方程(x/(x-1))+2/(x-2)=3/(x-3)的根的情况是有一整数根。

6.设客车原来行驶的速度为每小时xkm，则所列的方程是20/(x+10)=20/(x-10)+6/60.7.当m<-2时，关于x,y的方程组x=my，y-x+1=0的实数解有3个。

8.如果方程 $x^2+x-1=0$ 的两个实数根为 $a,b$，那么代数式 $a^3+a^2b+ab^2+b^3$ 的值为（）A、-3B、3C、-1D、1910.若 $a,b$ 都是实数且 $a\neq b。

ab\neq 0$，且满足$a^2=3a+1.b^2=3b+1$，则代数式 $a^2+b^2$ 的值是（）A、7B、9C、11D、1011.若方程 $x^2-3x+k^2-5k-6=0$ 有一个根为 $k$，则另一根为 $6-k$。

12.已知方程 $x^2+4x-2k=0$ 的一个根为 $a$，比另一根$\beta$ 小 $2$，则 $a+\beta+k=2$。

13.若 $\begin{cases}x=5\\x+y=m\end{cases}$ 是方程组的一组解，则它的另一组解是 $\begin{cases}y=m-5\\x=5\end{cases}$。

(完整版)一元二次方程培优提高例题

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

九年级数学-一元二次方程组的专项-培优易错试卷练习题含详细答案

九年级数学一元二次方程组的专项培优易错试卷练习题含详细答案一、一元二次方程1．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．2．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121x x =--或3321xx =-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为； ②当FC ∥AB 时，AD= ；③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD= ; ④△FCD 的面积s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC 的长，即可得到AD 的长. （2）①当点E 与点C 重合时，∠FCD 的角度最大，据此求解即可.②过点F 作FH ⊥AC 于点H ，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F 作FH ⊥AC 于点H ，AD=x ，应用含30度角直角三角形的性质把FC 用x 来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x ，把△FCD 的面积s 表示为x 的函数，根据x 的取值范围来确定s 的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：5．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．6．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.7．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.8．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.9．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）m=5172-；（2）0＜T≤4且T ≠2．【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0 解得m=；∵﹣1≤m ＜1 所以m=．（2）T=+=====2﹣2m ．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．11．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=8 3 .【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k＞0且k-2≠0.解得：k＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0 ∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得：x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得：a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝42 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为42 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.14．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）215小时．【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t =15±15，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15﹣15)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215 h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．15．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t .（3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得116 3t=，216t=（不合题意，舍去）；综上所述，当7t2=或163时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.。

【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x 1+x 2 = == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x ）dm ，宽为（6-2x ）dm ，根据长方体底面面积为12dm 2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，1﹣k ﹣3+3k ＝0解得k ＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+=24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为．当x ＜0时，x +1x的最大值为；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2．故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD36x =，∴四边形ABCD面积=4+9+x36x+≥13+236xx⋅=25．当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。

一元二次方程培优题

1、已知关于x 的一元二次方程()0122=+--k x k kx 有两个不相等的实根，求k 的取值范围2、关于x 的方程0122=--x k x 有实根，求k 的取值范围 3、已知关于x 的方程0342=+-x kx 有实根，则k 的非负整数值是 4、方程012=--x x 的两根为 5、解方程03222=-+a x a x6、设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。

7、已知关于x 的方程()()011222=++---m x m x m ，当m 为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根（2）方程有两个相等的实根（3）方程有两个不相等的实根8、求证：k 为何实数，方程()()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。

9、已知n m ,为整数，关于x 的三个方程：()0372=++--n x m x 有两个不相等的实根； ()0642=++++n x m x 有两个相等的实根；()0142=++--n x m x 没有实根；求n m ,的值。

10、若方程),(022是实数q p q px x =-+没有实根，（1）求证41<+q p ；（2）试写出上述命题的逆命题。

11、关于x 的方程()()024*******=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。

12、设m 是有理数，问k 为何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根是有理数。

13、设0≠c ，关于x 的一元二次方程02=++bc ax x 和02=++ca bx x 有一个公共根，求证：这两个方程的其他二根为方程02=++ab cx x 的根。

14、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1）求此公共解；（2）求非公共解之和。

数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。

一元二次方程培优(含答案)

一元二次方程培优卷【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。

中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用2．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.4．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。

九年级数学上册培优题一元二次方程

一元二次方程一、选择题1、一元二次方程042=++c x x 中,c >0,该方程的根的情况是: ( )A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定2、如果关于x 的方程 kx 2 －2x －1=0有两个实数根,那么k 的取值范围是（）A ．01≠-≥k k 且B ．01≠->k k 且C ．1≥kD ．1>k3、下列方程中,无实数根的方程是（）A .012=+xB . 02=+x xC . 012=-+x xD . 02=-x x4、k 为实数,则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根；B ..有两个相等的实数根；C .没有实数根；D .无法确定．5、关于x 的方程(3－a )x 2－2x ＋1＝0有实数根,则a 满足 ( )A . a ≠3B . a ≥2C . a ＞2且a ≠3D . a ≥2且a ≠37、关于x 的方程(a －5)2x －4x －1＝0有实数根,则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a≥1且a ≠5D ．a ≠58、一元二次方程042=-x 的解是（）.A ．2,221-==x xB ．2-=xC ．2=xD ．0,221==x x7、已知方程x 2-3 2 x +1=0,求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是（）A ．x 2+3 2 x +1=0B ．x 2+3 2 x -1=0C ．x 2-3 2 x +1=0D ．x 2-3 2 x -1=08、m 是方程x 2+x -1=0的根,则式子m 3+2m 2+2009的值为( )A .2008B .2009C .2010D .20119．若a 为方程100)17(2=-x 的一根,b 为方程(y -3)2=17的一根,且a 、b 都是正数,则a -b 的值为（）A ．13B ．7C ．－7D ． -1310、若关于x 的一元二次方程0)1(22=-+-k x x k 的一个根为1,则k 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．0或111、用配方法解方程x 2－2x －5=0时,原方程应变形为（）A .(x +1)2=6B . (x －1)2=6C . (x +2)2=9D . (x －2)2=912、已知m 是方程x 2－2x －5＝0的一个根,则2m 2－4m 的值是A .5B .10C .－5D .－1013、一元二次方程x 2=2x 的根为（）A .2=xB .0=xC .2±=x D. 2,021==x x14、一元二次方程042=-x 的解是（）.A ．2,221-==x xB ．2-=xC ．2=xD ．0,221==x x15、方程032=-x 的根是（）A ．3=xB ．3,321-==x xC ．3=x D .3,321-==x x 16、一元二次方程032=-x x 的解是( )A ．0=xB ．31,321==x x C ．0,321==x x D ．0=x 17、方程12)12(-=-x x x 的解是（）A .21=xB . 31,021==x xC . 21,021==x x D . 1=x 18、已知一元二次方程2x 2+5x -1=O 的两根为（）A .25 B . 25- C . 21 D . 21- 19、根据下列表格中的对应值,•判断方程02=++c bx ax （a ≠0,a ,b ,c 为常数）的根的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．1或220、下列哪一个数与方程1693=-x 的根最接近（）A .2B .3C .4D .521、商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x ,则下面所列方程正确的是( )A .256)1(2892=-xB .289)1(2562=-xC .256)21(289=-xD .289)21(256=-x22、某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为( )A .2450)1(=-x xB . 2450)1(=+x xC . 2450)1(2=+x xD . 23、下列命题:①若b =2a +21c ,则一元二次方程02=++c bx ax 必有一根为-2； ②若ac<0,则方程02=++a bx cx 有两个不等实数根；③若042=-ac b ,则方程02=++a bx cx 有两个相等实数根.其中正确的个数是（）A ．O 个B .l 个C .2个D ．3 个21、设a ,b 是方程020092=-+x x 的两个实数根,则b a a ++22的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 22、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0,则m 的值等于（）A .1B .2C .1或2D .024、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2+bx +c 0.02 －0.01 0.02 0.04 24502)1(=-x xA ．02=xB ．2)1(x x x =-C ．12=x xD ．1)1(2=-x 25、若x ＝3是方程x 2－3mx ＋6m ＝0的一个根,则m 的值为（）A ．1B ． 2C ．3D ．426、已知1=x 是关于x 的一元二次方程01)1(22=-+-x k x k 的根,则常数k 的值为＿＿＿．27、用配方法解方程x 2＋x －1＝0,配方后所得方程是（）A ．(x －12)2＝34B ．(x ＋12)2＝34C ．(x ＋12)2＝54D ．(x －12)2＝54 28、一元二次方程x 2=2x 的根为( )A .2B .OC .l 或2D .O 或229、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若c +c =-1,则方程ax 2+bx +c =O 一定有一根是x =1;②若c =a 3,b =2a 2,则方程ax 2+bx +c =O 有两个相等的实数根；③若a <0,b <0,c >0,则方程cx 2+bx +a =0必有实数根；④若ab-bc =0且c <-l ,则方程cx 2+bx +a =0的两实数根一定互为相反数．其中正确的结论是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②④30、已知x =2是关于x 的一元二次方程ax 2-3bx -5=0的一个根,则4a -6b 的值是( )A .4B .5C .8D .1031、对于一元二次方程ax 2+bx +c =O(a ≠0),下列说法:①若a +c =0,方程ax 2+bx +c =O 必有实数根；②若b 2+4ac <0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有实数根；③若a -b +c =0,则方程ax 2+bx +c =O 一定有两个不等实数根；④若方程ax 2+bx +c =O 有两个实数根,则方程cx 2+bx +a =0一定有两个实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①③④32、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A .0122=-+x xB .01442=+-x xC .032=+-x xD . 042=+x二、填空题1、已知关于x 的方程x 2+kx -3=0一个根是-2,则k 的值为．2、已知m 、n 是方程020*******=+-x x 的两根,则)20052004(2+-n n 与)20052004(2+-m m 的积是3、把)14(2+-x x 化为k h x ++2)(（其中h 、k 是常数）的形式是 __4、方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则(x 1－1)(x 2－1)=5、若方程04)(3)(22222=-+++y x y x ,则=+22y x . 6、方程x x =-2的解是．7、若方程0522=--kx x 的一个根是-1,则k = ．8、已知m ,n 是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(42(22=--+-n n a n m ,则a 的值等于 .9、等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程0652=+-x x 的两个解,则这个等腰三角形的周长是10、已知x =2是方程02232=-a x 的一个根,则2a +1= ． 11、解方程:x 2=3x ,x = ．12、已知关于x 的一元二次方程,（m －1）x 2+x +1=0,有实数根,则m 的取值范围是 .13、已知关于x 的一元二次方程ax 2-5x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是_____.14、拟已知关于x 的一元二次方程02)1(2=+--x k x k 有解,求k 的取值范围．三、解答题1、已知:关于x 的方程041)1(22=++-m x m x （1）当m 取何值时,方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数,使得方程有两个不相等的整数根,并求出这两个根。

人教版2020九年级数学上册第二十一章一元二次方程自主学习培优提升训练题(附答案详解)

人教版2020九年级数学上册第二十一章一元二次方程自主学习培优提升训练题（附答案详解）1．将关于x 的方程x 2﹣4x ﹣2=0进行配方，正确的是( ) A ．(x ﹣2)2=2 B ．(x+2)2=2 C ．(x+2)2=6 D ．(x ﹣2)2=62．一元二次方程22(1)3x x --=+化成一般形式20ax bx c ++=后，若2a =，则b ，c的值是（） A ．b=3 c=5B ．b=-3c=5C ．b=-3c=-5D ．b=3 c=-53．某花圃用花盆培育某种花卉，经过试验现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，设每盆增加x 株花苗，则（） A ．()()330.510x x +-= B ．()()330.510x x -+= C ．()()330.510x x --=D ．()()330.510x x ++=4．有两个关于x 的一元二次方程：M ：20ax bx c ++= N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是（）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B ．如果方程M 有两根符号异号，那么方程N 的两根符号也异号；C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根；D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必定是1x = 5．下列方程中一定是一元二次方程的是（） A ．ax 2－bx ＝0 B ．2x 2＋－2＝0C ．(x －2)(3x+1)＝0D ．3x 2－2x ＝3(x ＋1)(x －2)6．已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+k=0有一个根是5,则该方程的另一个根是( ) A ．-1B ．0C ．1D ．-57．方程22x x =的根是（） A ．2x =B ．x=0C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-8．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（） A ．x 2+3x+4=0B ．x 2﹣4x+3=0C ．x 2+4x ﹣3=0D ．x 2+3x ﹣4=09．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（） A ．()1x x 1452-= B ．()1x x 1452+= C ．()x x 145-= D ．()x x 145+=10．原价为a 元的某商品经过两次降价后，现售价b 元，如果每次降价的百分比都为x ，则下列各式正确的是（）A ．(12)a x b -=B ．2(1)a x b -= C ．(12)b x a += D ．2(1)b x a += 11．一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价（） A ．40%B ．20%C ．25%D ．15%12．一元二次方程()2123x x -=+的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根13．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____．14．已知(a-1)x 2-5x+3=0是一个关于x 的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集_______. 15．方程3x 2﹣x ＝0的解为_____． 16．若()222136x y +-=，则22x y +=________．17．方程（x ﹣2）（x+1）=x+1的解是_____．18．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则另一个根为_______． 19．已知关于x 的方程2x 2+ax+a ﹣2=0．当该方程的一个根为1时，则a 的值为_____，该方程的另一根为_____．20．若x=a 是方程x 2 +x−1=0的一个实数根，则代数式3a 2+3a−5的值是______. 21．已知一元二次方程的一个根是﹣3，则这个方程可以是________（填上你认为正确的一个方程即可）22．某款手机连续两次降价，售价由原来的1100元降到了891元．设平均每次降价的百分率为x ，则可列出方程_________________________________． 23．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____． 24．实数x ，y ，z 满足5x y z ++=，3xy yz zx ++=，则z 的最大值是______． 25．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm ，面积是24cm ．求两条直角边的长．26．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=-+-或2242(2)(422)x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242(22)x x x x -+=--．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．27．“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价是12元．（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a %（a %＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a 个，“元祖”月饼的售价降低320a 元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了52a %，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a 的值．28．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．29．a 、b 、c 都是实数，满足()22280a a b c c -+++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．30．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1和x 2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当12x x =时，求m 的值． 31．（1）已知一组数据8,3,m,2的众数是3，求出这组数据的平均数；（2）解方程：2430x x ++=. 32．用适当的方法解方程： x 2－12x －9964＝033．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”．（1）一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为；一次函数y ＝ax +2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，则a ＝；（2）已知一对“x 牵手函数”：y ＝ax +1与y ＝bx ﹣1，其中a ，b 为一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣4＝0的两根，求它们的“x 牵手点”． 34．解方程：()21230x x +-=()2 224x x +=-．35．用适当的方法解下列方程（1）x 2﹣3x +2＝0．（2）（x ﹣2）2﹣3＝0． 36．先化简，再求值：2221164816xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭，其中x 是方程2680x x -+=的一个根．参考答案1．D 【解析】x 2﹣4x ﹣2=0，移项，得x 2﹣4x =2，配方，得x 2﹣4x +22=2+22，即（x －2）2=6. 故选D. 2．D 【解析】试题分析：要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． ∵一元二次方程22(1)3x x --=+化成一般形式为-2x 2+3x-5=0， ∴二次项系数和常数项分别为3、-5．故选D ．考点：一元二次方程的一般形式． 3．A 【解析】【分析】根据每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0．5元，可得增加x 株花苗时，平均单株盈利为()30.5-x ，再用株数乘以单株盈利等于10元，建立方程即可．【详解】由题意得增加x 株花苗时，平均单株盈利为()30.5-x ，每盆的盈利为10元，则()()330.5=10+-x x 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求出单株盈利的表达式是解题的关键． 4．D 【解析】分析：利用根的判别式判断A;利用根与系数的关系判断B;利用一元二次方程的解的定义判断C 与D.详解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根,那么△=b²-4ac=0,所以方程N 也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;B 、如果方程M 的两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同,那么△=b²-4ac ≥0.0ca>,所以a 与c 符号相同,0ac>,所以方程N 的两根符号也相同,结论正确,不符合题意; C 、如果5是方程M 的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得110255c b a ++=,所以15是方程N 的一个根,结论正确,不符合题意; D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么,,由a≠c,得x²=1,x=±1,结论错误,符合题意;故选D.点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系: △>0⇔方程有两个不相等的实数根; △=0⇔方程有两个相等的实数根; △<0⇔方程没有实数根.也考查了根与系数的关系,一元二次方程的解的定义. 5．C 【解析】试题分析：一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．A 、方程中a 有可能为零；B 、中含有分式；C 、正确；D 、经化简整理后未知数的最高次数为1次．考点：一元二次方程的定义 6．A 【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m 的值，确定出另一根即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2-4x+k =0的一个根x=5，设另一根为a ， ∴x+a=4，即5＋a=4 解得：a=-1 故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，弄清一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．7．C 【解析】方程变形得：x 2−2x=0，分解因式得：x(x−2)=0，可得：x=0或x−2=0，解得：x 1=0，x 2=2. 故选C. 8．C 【解析】试题分析：根据根与系数的关系，直接代入计算即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=3，x 2=1， ∴3+1=﹣p ，3×1=q ， ∴p=﹣4，q=3，故选B ．考点：根与系数的关系． 9．A 【解析】【详解】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为12x （x ﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴12x （x ﹣1）=45，故选A ． 10．B ．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数为x%，依题意，得两次降价后的售价为2(1)a x b -=，故选B ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 11．B 【解析】不妨把原价看做单位“1”，设应降价，则提价25%后为1+25%，再降价后价格为．欲恢复原价，则可列方程为，解得，故选B ．12．A 【解析】【分析】先将一元二次方程化成一般式后，再求根的判别式，即可确定根的情况．【详解】解：原方程可化为：2420x x --=，1,4,2a b c ∴==-=-()2441(2)240∴∆=--⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根．故选A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．把方程转化为一般式是解决问题的关键． 13．k ＜2．【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-1）＞0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得k ＜2．故答案为：k ＜2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．a>-2且a≠1【解析】【分析】（a−1）x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，所以（a−1）x2是二次项a−1≠0，解得a≠1；解得不等式3a＋6＞0，则a＞−2，从而得到其解集是a＞−2且a≠1．【详解】∵（a−1）x2−5x＋3＝0是一个关于x的一元二次方程，∴（a−1）x2是二次项a−1≠0，∴a≠1，∵不等式3a＋6＞0，∴a＞−2，∴不等式3a＋6＞0的解集是a＞−2且a≠1．【点睛】要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．确定a≠1，结合不等式3a＋6＞0求出a的解集．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．15．x1＝0，x2＝1 3【解析】【分析】提公因式x，可分解因式，解方程即可．【详解】解：3x2﹣x＝0，x（3x﹣1）＝0，x1＝0，x2＝13，故答案为：x 1＝0，x 2＝13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，属于基础题，掌握提公因式法是关键． 16．7 【解析】【分析】移项后用分解因式法解方程即可求出结果. 【详解】解：∵()222136x y +-=，∴()2221360x y +--=，∴2222(1+6)(16)0x y x y +-+--=，即2222(+5)(7)0x y x y ++-=，∴22+50x y +=或2270x y +-=，∴22=5x y +-（不合题意，舍去），22=7x y +.故答案为：7. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握平方差分解因式的方法是求解的关键，本题的易错点是容易忽略22xy +的非负性，从而求出22x y +的两个值.17．x 1=﹣1，x 2=3【解析】（x ﹣2）（x+1）﹣（x+1）=0，（x+1）（x ﹣2﹣1）=0， x+1=0或x ﹣2﹣1=0，所以x 1=﹣1，x 2=3．故答案为：x 1=﹣1，x 2=3． 18．x=-1 【解析】试题分析：设方程的另一个根为x ，因为方程032=++px x 的一个根为3-，所以由根与系数的关系可得：x ．（-3）=3，所以x=-1．考点：根与系数的关系19．0,﹣1【解析】【分析】本题可以代入一个根，即可得出得到第出a，再次代入即可得到另一个根.【详解】当1代入，得a=0，得到方程2x2﹣2=0，得出答案为-1.【点睛】本题考查了元二次方程的解法，熟悉掌握概念是解决本题的关键.20．−2.【解析】【分析】把x=a代入已知方程可以求得a2+a=1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．【详解】依题意得a2+a−1=0，所以a2+a=1，故3a2+3a−5=3(a2+a)−5=3×1−5=−2，故答案是：−2.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把x=a代入已知方程.21．x2+3x=0【解析】【分析】方程一个解为−3，假设另一个解为0，则方程可为x（x＋3）＝0，然后把方程化为一般式即可．【详解】解：一元二次方程的一个根是−3，则这个方程可以是x（x＋3）＝0，即x2＋3x＝0．故答案为x2＋3x＝0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．22．1100（1-x）2=891．【解析】试题分析：根据平均降低率的公式：原来的售价×（1-x）2=现在的售价，故应列为1100（1-x）2=891．考点：一元二次方程的平均变化率问题．23．1 -3【解析】【分析】代入x＝2可求出k值，再利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．【详解】解：将x＝2代入原方程，得：22+2k﹣6＝0，∴k＝1．设方程的另一个根为x1，根据题意得：2x1＝﹣6，∴x1＝﹣3．故答案为：1；﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x＝2求出k值是解题的关键．24．13 3【解析】【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值．【详解】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根．∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0，(3z−13)(z＋1)≤0．∴−1≤z≤133，当 x ＝y ＝13时，z ＝133．故z 的最大值为 133．故答案为：133．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z 的取值范围，确定z 的最大值．25．这两条直角边为6cm ，8cm ．【解析】【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【详解】解：设其中一条直角边长为xcm ，则另一直角边长为（14﹣x ）cm ，得：12x （14﹣x ）=24，解得x 1=6，x 2=8．当x 1=6时，14﹣x=8；当x 2=8时，14﹣x=6；答：两条直角边的长分别为6cm ，8cm ．26．（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．【解析】【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；（2）根据22330x y xy y ++-+=求出x 、y 的值，代入求解即可；（3）将原式进行转换，得出a 、b 、c 之间的等量关系，从而进行判断．【详解】（1）22284816164(4)12x x x x x -+=-+-+=--或2284(2)4x x x x -+=--．（2）22330x y xy y ++-+=，223(2)024y x y ⎛⎫∴++-= ⎪⎝⎭． 1x ∴=-，2y =．2(1)1y x ∴=-=．（3）不能，理由如下：原式变形：(222222141414494612)0a b c a b c ab ac bc ++-+++++=．()()()222222449691240a ab b a ac c b bc c ∴-++-++-+=．即222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-=． 2b a ∴=，3c a =，32b c =．3a b a c ∴+==．∴a 、b 、c 三条线段不能围成三角形．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．27．（1）卖出“杏花楼”月饼至少100个；（2）a 的值为20．【解析】【分析】（1）设卖出“杏花楼”月饼x 个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x ）个，根据总价＝单价×数量结合总销售额不低于2460，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设卖出“杏花楼”月饼x 个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x ）个，依题意，得：15x +12（180﹣x ）≥2460，解得：x ≥100．答：卖出“杏花楼”月饼至少100个．（2）依题意，得：15（1﹣a %）×（100+5a ）+（12﹣320a ）×（180﹣100）（1+52a %）＝2460+1020，整理，得：1.05a 2﹣72a +1020＝0，解得：a 1＝20，a 2＝3407（不合题意，舍去）．答：a 的值为20．【点睛】此题考查解决实际问题，根据题中的条件列不等式或是一元二次方程解答，正确理解题意是解题的关键.28．12【解析】【分析】设旗杆高度为x 米，根据勾股定理解答即可.【详解】设旗杆高为x 米，则绳长为(x ＋1)m ，根据勾股定理有(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12.故答案是12.【点睛】本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，解题的关键是运用勾股定理列出等量关系式.29．5【解析】【分析】利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入已知等式求出x 2+2x 的值，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】根据题意得，220080a a b c c -=++=+=，，，解得a =2，b =4，c =−8，∴222480ax bx c x x ++=+-=，即2240x x +-=，解得224x x +=，∴22141 5.x x ++=+=【点睛】考查非负数的性质，以及代数式求值，注意整体代入法在解题中的应用.30．（1）14m ≤；（2）14【解析】试题分析：()1方程有两个实数根，0.∆≥即可求出实数m 的取值范围. ()212x x =，分两种情况讨论.试题解析：()1关于x 的一元二次方程()22210x m x m ＋－＋＝有两个实数根x 1和x 2．()222140.m m ∆=--≥ 解得：1.4m ≤ ()212x x =，可以分两种情况进行讨论.当12x x =时，()222140.m m ∆=--=解得：1.4m =当12x x =-时，120.x x +=12(21)0.b x x m a +=-=--=解得：1.2m = 而1.4m ≤不合题意，舍去. 12x x ∴=时，1.4m = 31．（1）4；（2）121,3x x =-=-.【解析】【分析】（1）根据众数的定义求出m,即可求出平均数；（2）根据因式分解求解即可.【详解】（1）解：∵一组数据8，3，m ，2的众数为3，∴3m =， ∴这组数据的平均数：833244+++=．（2）2430x x ++=.(x+3)（x+1）=0121,3x x =-=-．【点睛】本题考查的是平均数和解二次方程，熟练掌握众数和因式分解是解题的关键.32．x 1＝106，x 2＝－94【解析】【分析】把－9964分解成-106×94，用因式分解法求解即可. 【详解】∵x 2－12x －9964＝0，∴(x-106)(x+94)=0，∴x 1＝106，x 2＝－94.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.33．（1）（1，0），a ＝﹣2；（2）“x 牵手点”为（12-，0）或（12，0）. 【解析】【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x 2-4=0，解得x 1=2，x 2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”．【详解】解：（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，所以x ＝1，即一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y ＝ax+2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，所以0＝a+2，解得a ＝﹣2；（2）∵y ＝ax+1与y ＝bx ﹣1为一对“x 牵手函数” ∴11a b-=， ∴a+b ＝0．∵a ，b 为x 2﹣kx+k ﹣4＝0的两根∴a+b ＝k ＝0，∴x 2﹣4＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．①若a ＝2，b ＝﹣2则y ＝2x+1与y ＝﹣2x ﹣1的“x 牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②若a ＝﹣2，b ＝2则y ＝﹣2x+1与y ＝2x ﹣1的“x 牵手点”为（12，0 ） ∴综上所述，“x 牵手点”为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．34．(1)13x =-，21x = (2)1 3x =，22x =- 【解析】【分析】运用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：()21230x x +-=， ()()310x x +-=，30x +=或10x -=，所以13x =-，21x =．()2224x x +=-．260x x --=，()()320x x -+=，30x -=或20x +=，所以13x =，22x =-．【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握因式分解法.35．（1）x 1＝1，x 2＝2；（2）x 1，x 2【解析】【分析】（1）把方程左边进行因式分解得到（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，然后解两个一元一次方程即可；（2）把3移到等号的左边，然后直接开平方即可．【详解】（1）∵x 2﹣3x +2＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，∴x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝1，x 2＝2；（2）∵（x ﹣2）2﹣3＝0，∴（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝∴x 1，x 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．36．4x x+；3 【解析】【分析】先计算异分母分式的减法，再计算分式除法，约分化简后解方程得到x 的值代入计算.【详解】原式224(4)(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x ⎡⎤++=-⋅⎢⎥+-+-⎣⎦ 24(4)(4)(4)x x x x x-+=⋅+- 4x x+= 2680x x -+=，解得2x =或4.4x ≠，2x ∴=. ∴原式2432+==. 【点睛】此题考查分式的化简求值、解一元二次方程，正确计算分式的混合运算是解题的关键.。

一元二次方程培优拔高题

一元二次方程
1、已知一元二次方程0432=++-a x ax 有两个整数根
（1）求证：这两个整数根一个是奇数根,一个是偶数根;
（2）求证：a 是负数;
（3）当方程的两个整数根同号时,求a 的取值及这两个根.
2、关于x 的方程
()()012132=+++-a x a ax 有两个不相等的实数根21x x 和,且有a x x x x -=+-12211,则a 的值是.
3、关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是21x x 和
（1）求k 的取值规模;
（2）假如1-2121＜x x x x -+且k 为整数,求k 的值.
4、已知m,n 是关于x 的一元二次方程024222=-+++a a ax x 的两个实数根,那么22n m +的最
小值是若干？
5、已知关于x 的一元二次方程
()01222=+++-k k x k x （1）求证：方程有两个不相等的实数根;
（2）若△ABC 的双方AB,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.
6、关于x 的一元二次方程
()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;
（2）m 为何整数时,此方程的两个根都是正整数？
7、不雅察下列图形,它们是按照必定的纪律分列的,按照此纪律,第几个图形共有120个★？。

一元二次方程达标训练卷(培优题)

一元二次方程达标训练卷（培优题）一．选择题（共6小题）1．若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y的值为（）A．﹣7B．6C．﹣7或6D．﹣6或72．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．BC的长C．CD的长D．AD的长4．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022B．C．﹣2022D．﹣5．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．6．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长二．填空题（共7小题）7．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是2m+1和m﹣4，则＝．8．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为．9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝．10．若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0仅有一个公共的实数根，则k的值为．11．如果多项式9x2+mx+49是一个完全平方式，则常数m＝．12．已知，则（a+b）•c＝．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．其中正确的．A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②三．解答题（共16小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．（1）求∠DCE的度数．（2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值．15．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？16．在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）+12＝0学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12＝0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：老师，我发现x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，我们把x2﹣x看成一个整体，用y表示，即x2﹣x＝y，那么原方程就变为y2+8y+12＝0．全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2+8y+12＝0的根是y1＝6，y2＝2，那么就有x2﹣x＝6或x2﹣x＝2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1＝3，x2＝﹣2，x3＝2，x4＝﹣1，嗬，有这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程：．17．多项式4a2+1加上一个单项式后，正好成为一个完全平方式，那么所加上的单项式可能有哪些？请你写出所有可能的单项式．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．21．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？22．已知一元二次方程x2﹣2（m+2）x+2m2﹣1＝0有两个根x1和x2，并且，求m 的值．23．已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，求的值．24．方程x2﹣ax+4a＝0仅有整数根，求a．25．实数a，b，c满足：＝，求abc的值．26．设a+b+c+3＝2（），求a2+b2+c2的值．27．若关于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有两个不等负整数根，求整数m 的值．28．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？29．农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A 贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．（1）求计划购买多少张B贴花？（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．。

人教版九年级上册数学试题：第二十一章《一元二次方程》培优练习题

第二十一章《一元二次方程》培优练习题一．选择题1．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，3 B．0，﹣4，﹣3 C．1，﹣4，3 D．1，﹣4，﹣3 2．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣34．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14 B．15 C．16 D．256．关于方程x2﹣6x﹣15＝0的根，下列说法正确的是（）A．两实数根的和为﹣6 B．两实数根的积为﹣15C．没有实数根D．有两个相等的实数根7．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝1108．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个根是09．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202210．如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm11．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．212．下列方程中，无实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0二．填空题13．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+10的值为．14．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx﹣24＝0的一个根为x＝﹣3，则k的值是．15．关于x的一元二次方程kx2+（k+3）x+2＝0的根的情况是．16．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．17．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．18．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为米．三．解答题19．解方程：（1）x2﹣3x﹣4＝0（2）2x2﹣2x+1＝020．已知，关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．（Ⅰ）若x＝1是方程的一个根，求k的值及方程的另一根；（Ⅱ）若k为任意实数，判断此时方程的根情况．21．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．24．火锅是重庆人民非常喜爱的食物，某火锅店今年2月推出了线上服务，根据消费者的喜好在美团上推出A、B两种套餐外卖，其中A套餐建议用餐人数2到4人，售价160元，成本100元，B套餐建议用餐人数4到6人，售价300元，成本160元，平均每天A的销售量是B的3倍，A的销售额比B多900元．（1）求线上服务平均每天A套餐的销售数量；（2）4月，该火锅店在线上销售的同时开始线下试营业，套餐价格不变，每个套餐增加人工成本20元，线上两种套餐销量和2月份一样，线上线下平均每天总销售量之比为2：3，每天总获利3600元；五一期间为了回馈顾客，B套餐推出了优惠活动，线下在原售价的基础上降价2a，当天销量增加5a%，线上降价a%，销量不变；A套餐线上线下的价格和销量都不变，五一当天的总利润3700元，求a的值．参考答案一．选择题1．解：一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，﹣4，﹣3．故选：D．2．解：∵a＝1，b＝11，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝112﹣4×1×（﹣1）＝125＞0，∴一元二次方程x2+11x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．3．解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．4．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，∵△＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．6．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣15，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣15）＝96＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．设方程x2﹣6x﹣15＝0的两根分别为m，n，则m+n＝﹣＝6，mn＝＝﹣15．故选：B．7．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．8．解：根据图象可得k＞0，b＜0，所以kb＜0，因为△＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb，所以△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故选：C．10．解：依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．故选：D．11．解：由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．12．解：A、方程x2+1＝0，∵a＝1，b＝0，c＝1，∴△＝﹣4＜0，则此方程无实数根，符合题意；B、x2+x＝0，∵a＝1，b＝1，c＝0，∴△＝1＞0，则此方程有两个不相等实数根，不符合题意；C、x2+x﹣1＝0，∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝5＞0，则此方程有两个不相等实数根，不符合题意；D、x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝5＞0，则此方程有两个不相等实数根，不符合题意．故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+10＝2（m2﹣4m）+10＝0+10＝10．故答案为：10．14．解：把x＝﹣3代入方程2x2﹣kx﹣24＝0，可得2×9+3k﹣24＝0，即k＝2，故答案为：2．15．解：△＝（k+3）2﹣4×2k＝（k﹣1）2+8，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+8＞0，即△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．16．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056．17．解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．18．解：设道路的宽为x m，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵x2﹣3x﹣4＝0，∴（x+1）（x﹣4）＝0，则x+1＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1；（2）∵2x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，则x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝．20．解：（Ⅰ）设方程的另一个根为m，根据题意，得：，解得：，∴方程的另一个根为﹣3，k的值为1；（Ⅱ）△＝4（2﹣k）2﹣4（3﹣6k）＝4k2+8k+4＝4（k2+2k+1）＝4（k+1）2≥0，∴方程有两个实数根．21．（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得100（1+x）2＝196解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750整理得，y2﹣4y+3＝0，解得y1＝1，y2＝3∵要减少库存∴y1＝1不合题意，舍去，∴y＝3答：售价应降低3元．22．（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣x BQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．23．解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．24．解：（1）设线上服务平均每天A套餐的销售数量为x份，则平均每天B套餐的销售数量为份，依题意，得：160x﹣300×＝900，解得：x＝15．答：线上服务平均每天A套餐的销售数量为15份．（2）由（1）可知：＝5，x+＝20．设线下平均每天A套餐的销售量为m份，则平均每天B套餐的销售量为（20×﹣m）份，依题意，得：（160﹣100）×15+（300﹣160）×5+（160﹣100﹣20）m+（300﹣160﹣20）（20×﹣m）＝3600，解得：m＝20，∴20×﹣m＝10．又∵五一当天的总利润3700元，∴（160﹣100）×15+（160﹣100﹣20）×20+[300（1﹣a%）﹣160]×5+（300﹣2a ﹣160﹣20）×10（1+5a%）＝3700，整理，得：a2﹣25a+100＝0，解得：a1＝5，a2＝20．当a＝5时，10（1+5a%）＝12.5，∵12.5不为整数，∴不合题意，舍去；当a＝20时，10（1+5a%）＝20，合适．答：a的值为20．。

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一元二次方程提高题一、选择题1．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则的值为（）A ．B ．C ．﹣1D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（）A.x=1B.x=0C.x=1和x=2D.x=-1和x=23．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ． 289（1﹣x ）2=256B ． 256（1﹣x ）2=289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=2894．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出？（）A ．20（1+x ）2=50B ．20（1﹣x ）2=50C ．50（1+x ）2=20 D ．50（1﹣x ）2=205．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（）A ．(1)2070x x -=B ．(1)2070x x +=C ．2(1)2070x x +=D ．(1)2070x x x-= 6．若关于x 的方程x 2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞47．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则b a a b+的值是【】A ．7B ．－7C ．11D ．－118．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解B.当k 1=时，方程有一个实数解C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解9．若224x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4二、填空题10．已知方程x 2+（1﹣）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22=11．已知m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两个根，则1m ＋1n＝________． 12．若将方程267x x +=，化为()216x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2＋y 2）（x 2－1＋y 2）－12=0，则x 2＋y 2的值是_________｡14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为．15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k的取值范围是 .三、计算题16．解方程：（x+3）2﹣x （x+3）=0．按要求解方程：17．0)2(3)2(=-+-x x x 18．0322=--x x 19．012=--x x (公式法) 20．0122=-+x x （配方法）四、解答题21．广东省某市政府为了做到“居者有其屋”，加快了廉租房的建设力度，2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．①求每年市政府投资的增长率．②若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少平方米廉租房．22．已知x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两个实数根，不解方程，求①(x 1－x 2)2；②11x ＋21x 的值． 23．已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-k x k x ．（1）若1=x 是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）对于任意的实数k ，判断原方程根的情况，并说明理由．24．为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元。

如果人数不超过25人，人均活动费用为100元。

参考答案1．D【解析】先化简，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2+a ﹣1=0，则a 2+a=1，再整体代入即可．解：原式==，∵a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根， ∴a 2+a ﹣1=0，即a 2+a=1， ∴原式==1．故选D ． 2．D. 【解析】试题分析：(2)2x x x -=-(2)+2=0x x x --（） (1)(2)0x x +-=∴10x +=,20x -= 解得：11x =-，22x =故选D.考点: 解一元二次方程----因式分解法． 3．A ．【解析】试题分析：设平均每次的降价率为x ，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x ）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x ）2=256．故选：A ．考点: 由实际问题抽象出一元二次方程． 4．A. 【解析】试题分析：：一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设每月游客的平均增长率x ，根据题意即可列出方程．设每月游客的平均增长率x ，根据题意可列出方程为：20（1+x ）2=50．故选A ．考点: 由实际问题抽象出一元二次方程． 5．A ．【解析】试题分析：根据题意得：每人要赠送（x ﹣1）张相片,有x 个人,所以全班共送：x （x ﹣1）=2070．故选A ．考点：一元二次方程的应用． 6．D 【解析】试题分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围：∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ＜0，∴m ＞4。

故选D 。

7．A 。

【解析】∵a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，∴a 与b 为方程x 2﹣6x+4=0的两根。

∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4。

∴则()2222a b 2ab b a b a 6247a b ab ab 4+-+-⨯+====。

故选A 。

8．C 。

【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解。

当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定： ∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+，∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解。

综上所述，说法C 正确。

故选C 。

9．D 【解析】试题分析：若224x Mxy y -+是一个完全平方式，因为()222242x Mxy y x Mxy y -+=-+，它要是完全平方式，那么22Mxy x y =±⨯，即4Mxy xy =±，所以M=±4考点：完全平方式点评：本题考查完全平方式，解答本题需要考生掌握完全平方式，及其完全平方式的结构。

从而来解答本题 10．3【解析】本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．已知方程x 2+（1﹣）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 1+x 2=﹣（1﹣），x 1x 2=﹣，而x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后把前面的值代入即可求出其值．解：∵方程x 2+（1﹣）x ﹣=0的两个根x 1和x 2， ∴x 1+x 2=﹣（1﹣），x 1x 2=﹣，则x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3．故填空答案：3．11．－53【解析】∵m ，n 是2x 2－5x －3＝0的两个根，∴m ＋n ＝52，m·n＝－32 ∴1m ＋1n ＝m n mn +＝52÷(－32)＝－53. 12．3. 【解析】试题分析：方程两边都加上一次项系数一半的平方，进行配方即可求出m 的值. 试题解析：∵267x x += ∴26979x x ++=+()2316x +=∴m=3.考点: 配方法. 13．4【解析】将x 2+y 2看作一个整体m ，得012)1(=--m m ，整理得0122=--m m ，解得4=m 或3-=m ，由于m 是大于零的数，所以3-=m 舍去. 14．260(1x)48.6-=.【解析】试题分析：平均每次降价的百分率为x ，第一次降价后售价为60(1－x)，第二次降价后售价为60(1－x) (1－x)＝601－x)2. 据此列出方程：260(1x)48.6-=.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）. 15．k 4≤且k 0≠. 【解析】试题分析：∵b 10-=，∴根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得a 40a 4b 10b 1-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. ∴2kx ax b 0++=即2kx 4x 10++=.∵一元二次方程2kx 4x 10++=有实数根， ∴根据一元二次方程定义和根的判别式，得2k 0k 0k 444k 0≠≠⎧⎧⇒⎨⎨≤-≥⎩⎩. ∴k 的取值范围是k 4≤且k 0≠.考点：1.算术平方根和绝对值的非负数性质；2. 一元二次方程定义；3. 一元二次方程根的判别式；4. 分类思想的应用. 16．x=﹣3 【解析】试题分析：方程左边提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解：（x+3）2﹣x （x+3）=0，分解因式得：（x+3）（x+3﹣x ）=0，可得：x+3=0，解得：x=﹣3．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．17．解：0)2)(3(=-+x x ………………………………………3分 ∴03=+x 或02=-x∴2,321=-=x x ……………………………………5分 18．解：0)1)(3(=+-x x ………………………………………3分 ∴03=-x 或01=+x∴1,321-==x x ……………………………………5分19．解：∵;1,1,1-=-==c b a ………………………………………1分∴5)1(14)1(422=-⨯⨯--=-=∆ac b >0，………………………………………3分∴,2512±=∆±-=a b x∴ 251,25121-=+=x x ……………………………………5分 20．解：122=+x x11122+=++x x2)1(2=+x ………………………………………3分21±=+x∴12,1221--=-=x x ……………………………………5分【解析】略21．①50% ②38万平方米【解析】解：①设市政府每年投资的增长率为x ，由题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，整理，得x 2＋3x －1.75＝0，解之得x 1＝0.5，x 2＝－3.5(舍)．答：每年市政府投资的增长率为50%. ②到2012年底共建设了9.5÷28⎛⎫⎪⎝⎭＝38(万平方米)．答：共建设了38万平方米． 22．①174②3 【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系可知： x 1＋x 2＝－32，x 1·x 2＝－12. 所以①(x 1－x 2)2＝x 12－2x 1x 2＋x 22＝(x 12＋2x 1x 2＋x 22)－4x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝232⎛⎫- ⎪⎝⎭－4×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝174.②11x ＋21x ＝1212x x x x +＝3212--＝3.23．(1)1,2；（2）原方程总有两个实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把x=1代入方程得到关于k 的方程，求出k 的值，再把k 的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根；（2）计算判别式得到△=（k+2）2-4×2k=k 2-4k+4=（k-2）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．试题解析：（1）∵1=x 是方程02)2(2=++-k x k x 的一个根， ∴021)2(1=+⨯+-k k ，解得1=k ，∴原方程为0232=+-x x ，解得11=x ，22=x ，∴原方程的另一根为2=x（2）对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根， ∵k k 24)2(2⨯-+=∆442+-=k k-=k)2(2≥∴对于任意的实数k，原方程总有两个实数根.考点: 1.根的判别式；2.解一元二次方程-因式分解法．24．35.【解析】试题分析：先要根据付给旅行社的费用来判断这次春游人数的大致范围．然后根据相应范围的不同的费用基数按方法来列出方程，求出符合题意的值．试题解析：∵25人的费用为2500元＜2800元∴参加这次春游活动的人数超过25人．设该班参加这次春游活动的人数为x名，根据题意得[100-2（x-25）]x=2800整理得x2-75x+1400=0解得x1=40，x2=35当x1=40时，100-2（x-25）=70＜75，不合题意，舍去．当x2=35时，100-2（x-25）=80＞75，符合题意．答：该班参加这次春游活动的人数为35名．考点: 一元二次方程的应用．。