高中数北师大必修4：函数y= Asin(ωx φ)的综合应用 习题课
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质(精品说课稿)
尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质》。
下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。
首先来说说教材。
本课是北师大版高中数学必修四第一章第8节第1课时，三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。
分析完了教材，再来说说学情。
高二年级的学生，学生在前面章节已经学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力。
但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。
鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。
基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、通过“五点作图法”正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx+φ) 的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y ＝Asin(ωx+φ)的简图，这是本课教学的重点。
2、通过引导学生对函数y ＝sin x 到 y ＝sin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想，能够认识图象变换与函数解析式变换的内在联系，也是本课教学的难点。
3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
函数y=Asin(ωx+φ)习题练习
2022-2023高二学考复习之函数y=Asin(ωx+φ)1.若要得到函数y=sin(2x-π4)的图象,可以把函数y=sin 2x的图象()A.向右平移π8个单位长度B.向左平移π8个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向左平移π4个单位长度2.函数f(x)=sin4x+2sin xcos x-cos4x的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD.2π3.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π24.已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(π2)是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③5.现将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度,再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的式为()A.g(x)=sin(4x-π3) B.g(x)=sin x C.g(x)=sin(x-π12)D.g(x)=sin(x-π6)6.函数y=sin(ωx+φ)(x ∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则( )A.ω=π2,φ=π4 B.ω=π3,φ=π6 C.ω=π4,φ=π4D.ω=π4,φ=5π47.函数y=xcos x+sin x 在区间[-π,π]上的图象可能是( )8.将函数y=√3cos x+sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π69.已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|,则下列说法正确的是( ) A.f(x)的最小值为0 B.f(x)的最大值为2 C.f(π2-x)=f(x)D.f(x)=12在[0,π2]上有解10.函数y=2sin(12x-π3)的振幅为 ,频率为 ,初相为 .11.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π2<φ(<π2)的部分图象如图所示,则函数f(x)的式是.13.函数y=2sin 2x+sin2x(x∈R)的最小正周期是,值域是.14.如图,一半径为3的水轮,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:米)与时间x(单位:秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2(A>0),则A=,ω=.15.已知函数f(x)=√3cos 2x+sin 2x,x∈R.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)求使f(x)取得最大值的x的集合.16.已知函数f(x)=2cos2ωx-2√3sin ωx·sin(ωx+π)-1(ω>0),其最小正周期为π.2(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位长度得到函数y=g(x),求函数y=g(x)在区3)上的值域.间(0,7π1217如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心O距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.),求t=2(1)已知在t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|≤π2020 min时,点P距离地面的高度;(2)当离地面(50+20√3)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.18.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π619.已知f(x)=2sin x+cos x+1.对任意的x ∈R 均有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2),则f(x 1)-f(x 2)= ;sin x 2= .20.已知关于x 的方程2sin 2x-√3sin 2x+m-1=0在(π2,π)上有两个不同的实数根,则实数m 的取值范围是 .21.关于函数f(x)=sin x+1sinx 有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y 轴对称; ②f(x)的图象关于原点对称; ③f(x)的图象关于直线x=π2对称; ④f(x)的最小值为2.其中所有正确的序号是 .22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,P,Q 分别是图象的最高点与相邻的最低点,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1),|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,O 为坐标原点.(1)求函数y=f(x)的式;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长茺后得到y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间[-1,3]上的单调递增区间.23.已知m≠0,函数f(x)=sin x+cos x-msin xcos x+1.(1)当m=1时,求函数f(x)的最大值并求出相应x的值;,2π]上有6个零点,求实数m的取值范围.(2)若函数f(x)在[-π2参考答案及部分解析1.A 由于函数y=sin(2x-π4)=3sin 2(x-π8),故要得到函数y=sin(2x-π4)的图象,将函数y=sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度即可,故选A.2.C f (x )=sin 4x+2sin x cos x-cos 4x=(sin 2x+cos 2x )(sin 2x-cos 2x )+2sin x cos x=-cos 2x+sin 2x=√2sin(2x-π4),则最小正周期T=2π2=π,故选C. 3.C 由题图知f (-4π9)=cos (-4π9ω+π6)=0, 所以-4π9ω+π6=π2+k π(k ∈Z),化简得ω=-3+9k4(k ∈Z).因为T<2π<2T ,即2π|ω|<2π<4π|ω|,所以1<|ω|<2,解得-119<k<-79或19<k<59. 当且仅当k=-1时,1<|ω|<2. 所以ω=32,最小正周期T=2π|ω|=4π3. 4.B ∵f (x )=sin (x +π3),∴①f (x )最小正周期T=2π1=2π,正确; ②f (π2)=sin (π2+π3)=sin 5π6≠1,不正确; ③y=sin xf (x )=sin (x +π3),正确.故选B .5.D 将函数f (x )=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度,可得y=sin(2x-π3+π6)=sin(2x-π6)的图象,再将y=sin(2x-π6)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g (x )的图象,所以g (x )=sin(x-π6).故选D.6.C 由图知T 4=2,故T=8,由T=2πω,得ω=π4.由图知,函数过(1,1),故π4+φ=2k π+π2,k ∈Z,从而φ=2k π+π4,由题意取φ=π4.故选C.7.A 因为f (-x )=(-x )cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x+sin x )=-f (x ),x ∈[-π,π],所以函数f (x )是奇函数,故排除C,D,当x ∈(0,π2)时,x cos x+sin x>0,所以排除B .故选A .8.B 由于y=√3cos x+sin x=2cos(x-π6)(x ∈R),向左平移m (m>0)个单位长度后得函数y=2cos(x+m-π6)的图象,由于图象关于y 轴对称,所以m-π6=k π,于是m=π6+k π,k ∈Z,故当k=0时,m 取最小值π6.故选B .9.C ∵f(x+π2)=|sin （x+π2)|+|cos （x+π2）|=|cos x|+|sin x|=f (x ),∴f (x )是以π2为周期的函数. 当x ∈[0,π2]时,f (x )=|sin x|+|cos x|=sin x+cos x=√2sin(x+π4), 则x+π4∈[π4,3π4],∴1≤√2sin(x+π4)≤√2, 根据函数的周期性可得f (x )的最小值为1,最大值为√2,故ABD 错误. ∵f(π2-x)=|sin(π2-x)|+|cos(π2-x)|=|cos x|+|sin x|=f (x ),故C 正确.故选C. 10.214π -π311.x=-5π24 将函数y=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin[2(x -π6)+π4]=3sin (2x -π12)的图象.由2x-π12=π2+k π,k ∈Z,得平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k ∈Z . 当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24. 所以与y 轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.12.f (x )=√2sin(π8x+π4) 易知A=√2,T=4×[2-(-2)]=16, ∴ω=2πT =π8,∴f (x )=√2sin(π8x+φ),将点(-2,0)代入得sin(φ-π4)=0,得φ-π4=2k π,k ∈Z . ∵-π2<φ<π2,∴φ=π4, ∴f (x )=√2sin(π8x+π4). 13.π [1-√172,1+√172] 函数y=2sin 2x+sin 2x=2sin 2x+1-cos2x2=√172sin(2x-φ)+12,cosφ=4√1717,sin φ=√1717(x ∈R).∵-1≤sin(2x-φ)≤1, ∴1-√172≤√172sin(2x-φ)+12≤1+√172,即函数的值域为[1-√172,1+√172],最小正周期T=2π2=π.14.32π15由已知水轮上的点P 到水面最大距离为r+2,因为y=A sin(ωx+φ)+2的最大值为A+2,所以A=r=3. 又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈,T=604=15,所以ω=2π15.15.解 (1)因为f (x )=√3cos 2x+sin 2x=2sin(2x+π3),所以f (0)=2sin π3=√3. (2)因为f (x )=2sin(2x+π3),所以T=2π2=π,所以f (x )的最小正周期为π.(3)因为f (x )=2sin(2x+π3),所以f (x )的最大值为2,当且仅当2x+π3=2k π+π2时,即x=k π+π12(k ∈Z)时,f (x )取到最大值,所以使f (x )取得最大值的x 的集合为{x|x=k π+π12,k ∈Z}.16.解 f (x )=2cos 2ωx-2√3sin ωx ·sin(ωx+π2)-1=cos 2ωx-2√3sin ωx ·cos ωx =cos 2ωx-√3sin 2ωx=2cos(2ωx+π3), (1)因为T=2π2ω=π,所以ω=1, 所以f (x )=2cos(2x+π3), 令2k π-π≤2x+π3≤2k π, 解得k π-2π3≤x ≤k π-π6,可得函数的增区间为[k π-2π3,k π-π6],k ∈Z .(2)由已知g (x )=f(x-π3)=2cos[2(x-π3)+π3]=2cos(2x-π3),当x ∈(0,7π12）, 则2x-π3∈（-π3,5π6）, 所以-√32<cos （2x-π3）≤1,则-√3<g (x )≤2,所以函数y=g (x )在区间（0,7π12）上的值域为(-√3,2]. 17.解 (1)依题意,A=40,h=50,T=3, 由2πω=3得ω=2π3,所以f (t )=40sin(2π3t+φ)+50.因为f (0)=10,所以sin φ=-1, 又|φ|≤π2,所以φ=-π2.所以f (t )=40sin(2π3t-π2)+50(t ≥0), 所以f (2 020)=40sin(2π3×2 020-π2)+50=70. 即t=2 020时点P 距离地面的高度为70 m . (2)由(1)知f (t )=40sin(2π3t-π2)+50=50-40cos 2π3t (t ≥0). 令f (t )>50+20√3,即cos 2π3t<-√32, 从而2k π+5π6<2π3t<2k π+7π6(k ∈N), ∴3k+54<t<3k+74(k ∈N).∵3k+74-(3k+54)=12=0.5(k ∈N),∴转一圈中在点P 处有0.5 min 的时间可以看到公园的全貌. 18.B 把P(0,√32)代入f (x )=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2),解得θ=π3,所以g (x )=sin(2x+π3-2φ),把P(0,√32)代入得,φ=k π或φ=k π-π6,又φ>0得φ=5π6.故选B .19.-2√52√55∵f (x 1)≤f (x )≤f (x 2),∴f (x 1)是最小值,f (x 2)是最大值,f (x )=2sin x+cos x+1=√5sin(x+α)+1,其中sin α=√55,cos α=2√55,所以f (x 2)=√5+1,f (x 1)=-√5+1,所以f (x 1)-f (x 2)=-2√5.x 2+α=2k π+π2,x 2=2k π+π2-α,k ∈Z,所以sin x 2=sin(2k π+π2-α)=sin(π2-α)=cos α=2√55. 20.(-2,-1) 方程2sin 2x-√3sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin 2x+√3sin 2x=cos 2x+√3sin 2x=2sin(2x+π6),x ∈(π2,π).设2x+π6=t ,则t ∈（76π,136π）,∴题目条件可转化为m 2=sin t ,t ∈(76π,136π)有两个不同的实数根.∴y 1=m 2和y 2=sin t ,t ∈(76π,136π)的图象有两个不同交点,由图象(图略)观察知,m 2的取值范围是(-1,-12),故实数m 的取值范围是(-2,-1).21.②③ 对于①②,由sin x ≠0可得函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},故定义域关于原点对称,且由f (-x )=sin(-x )+1sin (-x )=-sin x-1sinx =-f (x ),所以该函数为奇函数,关于原点对称,故①错误,②正确;对于③,因为f (π-x )=sin(π-x )+1sin (π-x )=sin x+1sinx =f (x ),所以函数f (x )的图像关于直线x=π2对称,③正确;对于④,令t=sin x ,则t ∈[-1,0)∪(0,1],由函数g (t )=t+1t (t ∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g (t )∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f (x )无最小值,④错误.22.解 (1)因为P 为f (x )的最高点,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1), 则P(12,1),所以A=1,设Q (m ,-1),m>0,所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,-1),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12+m ,0),由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,得12+m=4,即m=72, 所以T 2=72−12=3,得T=6,ω=2πT =π3,所以f (x )=sin(π3x+φ),因为点P 在函数f (x )的图象上,所以1=sin(π6+φ).因为0<φ<π2,所以φ=π3,故f (x )=sin(π3x+π3).(2)由题意知g (x )=sin[π3(x+1)+π3]=sin(π3x+2π3),令-π2+2k π≤π3x+2π3≤π2+2k π,k ∈Z,解得-72+6k ≤x ≤-12+6k ,k ∈Z,即g (x )的单调递增区间为[-72+6k ,-12+6k],k ∈Z,则当k=0时,x ∈[-72,-12];当k=1时,x ∈[52,112].又x ∈[-1,3],所以g (x )在区间[-1,3]的单调递增区间为[-1,-12],[52,3].23.解 (1)当m=1时,f (x )=sin x+cos x-sin x cos x+1,令t=sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[-√2,√2],且t 2=1+2sin x cos x ,即sin x cos x=t 2-12, 所以令f (x )=g (t )=t-t 2-12+1=-12(t-1)2+2.因为t ∈[-√2,√2],所以当t=1时,f (x )有最大值为2,此时√2sin(x+π4)=1,解得x=2k π或x=π2+2k π,k ∈Z .(2)因为x ∈[-π2,2π],所以x+π4∈[-π4,9π4],则t=sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[-√2,√2],由f (x )=g (t )=t-m ·t 2-12+1=0,则t+1-m ·t 2-12=(t+1)(1-m ·t -12)=0,当t=-1时,-1=sin x+cos x=√2sin(x+π4)在x+π4∈[-π4,9π4]有3个不同的解;当t ≠-1时,t=2m +1,则2m +1=sin x+cos x=√2sin(x+π4)在x+π4∈[-π4,9π4]也需有3个不同的解,所以2m +1∈[-1,1],解得m ≤-1,所以实数m 的取值范围为(-∞,-1].。
高三数学 正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习 试题
第4讲正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【2021年高考会这样考】1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．根底梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下： (1)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝xk(其中 ωxk ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk ＋φ＝kπ，k ∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M ，最小值为m ，那么A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 双基自测1． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.简谐运动f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的局部图象如下图，那么该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x(x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，那么g(x)的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如下图，那么ω＝________.考向一 作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．(1)“五点法〞作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？考向二 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【例2】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的局部图象如下图，那么f(0)的值是________．解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一局部如下图．(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．考向三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔 为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f(x)的值域．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的间隔 为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．标准解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否那么容易产生错误．(2)主要题型：①求三角函数的值域(或者最值)；②根据三角函数的值域(或者最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或者最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝b a2＋b2，将原式化为y ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或者最值)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或者最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a(t2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值． 【例如】►(此题满分是12分)函数f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 首先化为形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(4分) 所以f(x)的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)获得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)获得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或者转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？假设存在，求出对应的a 值？假设不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a24＋58a －12， 当0≤x≤π2时，0≤cos x≤1，令t ＝cos x ，那么0≤t≤1，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a24＋58a －12，0≤t≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a≤2时，那么当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．ymax ＝a24＋58a －12＝1，解得a ＝32或者a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，那么当t ＝0，即cos x ＝0时， ymax ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，那么当t ＝1，即cos x ＝1时， ymax ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高一 函数y=Asin(ωx+φ)的性质知识点+例题+练习 含答案
1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为 ． 答案 2，1π，－π42．(2015·山东改编)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，需将函数y ＝sin 4x 的图象进行的变换为 ．①向左平移π12个单位；②向右平移π12个单位；③向左平移π3个单位；④向右平移π3个单位．答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2015·湖南改编)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝ .答案 π6解析 因为g (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 ．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是 ． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号)．①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4.(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ． 答案 (1)① (2)6解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 ．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为 ．答案 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 (2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4. (2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝ . 答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为 ．答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 解析 设点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为y ＝sin(ωt ＋φ)．由题意可得，函数的初相位是π6.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. 命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 ． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 ． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12，∴－2≤m <1， ∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)y ＝2cos 2x ＋2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是 ．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[12分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[13分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是 ．答案 ④解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有④.2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是 ． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，∴f (x )的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为 ． 答案 －2或0解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为 ． 答案 －32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ． 答案 32解析 由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍． ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )， 又ω>0，∴ωmin ＝32.7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝ . 答案32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 ．答案 π3或43π解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为 ． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 12．(2014·天津改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 ．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32， 且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， 要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝ . 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2 ＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4.当ω＝12时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4， 而－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2，此时x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，所以相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)依题意f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ， 整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z .因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1.又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.。
高中数学 第1章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(2)练习 北师大版必修4-
8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋π)是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，周期为2π2＝π.∵f (－x )＝－sin2(－x )＝sin2x ＝－f (x )， ∴y ＝sin(2x ＋π)为奇函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．π2解析：函数f (x )的周期T ＝2π2＝π. ∵f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，∴T ＝2α＝π，即α＝π2.答案：D3．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则其图像的下列结论中，正确的是( )A ．向左平移π8后得到奇函数B ．向左平移π8后得到偶函数C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1中心对称 D ．关于直线x ＝π8轴对称答案：A4．若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：由题意，将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则平移后函数的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，故选B ．答案：B5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π2(k 1∈Z )，π12ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π2(k 1，k 2∈Z )．∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，∴－π3ω＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝－6k .又ω＞0，∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 答案：C 二、填空题7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，π3＋4k π，k ∈Z .又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3 8．(2018·某某卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝±1，所以23π＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π6.答案：－π69．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 那么所有正确结论的编号为________． 解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， 又∵f (x )关于x ＝π12对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＋φ＝±1， ∴π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴令k ＝0得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令f (x )＝0得2x ＋π3＝k π，∴x ＝k π2－π6，k ∈Z ， 令k ＝1得一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， 令－π2≤2x ＋π3≤π2，－512π≤x ≤π12， ∴f (x )的一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，∴②④正确． 答案：②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)求f (x )的最大值、最小值，及相应x 的值； (2)求f (x )的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f (x )的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )有最大值74，即当x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝74，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值34，即当x ＝k π－π3(k ∈Z )时，f (x )min ＝34.(2)由T ＝2π|ω|知函数f (x )的最小正周期为T ＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，54(k ∈Z )．(3)由函数性质知若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 为偶函数，φ＞0，则φ至少为π2，即y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54＝12cos2x ＋54为偶函数．∴应将函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像平移至函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像处．由函数图像平移方法知：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像――→向左平移π6个单位长度y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像，∴函数f (x )的图像至少向左平移π6个单位长度才为偶函数．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上知，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω＞0,0＜φ＜π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f (x )的图像先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间．解：(1)∵2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又∵g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，其对称轴由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )， 减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式； (2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？ 解：(1)由图像知A ＝2，φ＝0，T ＝2， 故ω＝π，f (x )＝2sinπx .设g (x )＝log a x ，由图像知log a 4＝－1， 故a ＝14，g (x )＝log 14x .(2)因g (x )为减函数，f (x )最小值为－2.故当g (x )≥－2时，可能有交点，由log 14x ≥－2，得0＜x ≤16.当2≤x ≤16时，f (x )与g (x )在f (x )的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x ＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．。
高中数学必修四北师大版 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一) 作业 含答案
§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一)课时目标 1．了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响．2．掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像间的变换关系．用“图像变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标______(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标______(当A >1时)或______(当0<A <1时)到原来的______(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为____，最小值为____．4．函数y ＝sin x 的图像到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程．y ＝sin x 的图像――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位______________的图像10ωω>−−−−−−−−−→横坐标变为原来的（）倍纵坐标不变__________的图像――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变______________的图像．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x-Ray二、填空题7．函数y ＝sin 2x 图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f (x )＝____________．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图像，可以把y ＝sin x 的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是____．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图像；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R )． (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图像变换使f (x )的图像关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一) 答案知识梳理1．向左 向右 |φ| 2．缩短 伸长 1ω不变 3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A 4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ)y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计1．B 2．C 3．D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ．] 5．B [y ＝sin(2x ＋π6) 4π→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．] 7．sin x8．y ＝cos 2x 9．32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z ．∴φ的最小正值是32π．10．①③11．解 由y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．欲求函数的单调递减区间，只需求 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
变式训练 1 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f
7π 12
=
.
解析:函数的周期为 T=2
间的距离为π3,
3
5π 4
−
π 4
=23π,则图中相邻两个零点之
又π
4
+
π 3
=
71π2,所以
f
7π 12
=0.
答案:0
探究一
探究二
探究三
所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2���π��� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
1 2
������
+
π 6
,
而当 x=-43π时,函数取得最小值-13,故 x=-43π是其图象的一条对称
轴.选 A.
答案:(1)D (2)C (3)A
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
三角函数图象变换的应用
(3)因为1π2≤x≤π2,所以π3≤2x+π6 ≤ 76π,
即-1≤2sin
2������
+
π 6
≤2,
因此-1≤y≤2,故函数 f(x)的值域为[-1,2].
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
例 且函数
f5(x已)的知图函象数的f(两x)相=2邻sin对���称���������轴+间������的- π6距+离1(0为<π2φ.<π,ω>0)为偶函数,
因为|φ|<π2,所以 φ=π3,故 y=3sin
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案
1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.8.3函数y=Asin(ωx φ)习题课
-1-
第3课时 函数y=Asin(ωx+φ) 的图像与性质习题课
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典例透析
随堂演练
1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的作法. 2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质. 3.会利用y=Asin(ωx+φ)的图像、性质求解一些简单问题.
π 2 3 2
答案: 4������π- 2 ,4������π + 2 π , ������∈Z
-9-
π
3
第3课时 函数y=Asin(ωx+φ) 的图像与性质习题课
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
三角函数图像的变换
π
【例 1】 函数 y=2sin 2������ + 3 + 2 的图像可由������ = sin ������ (������ ∈ R)的图像经过怎样的变换得到?
第3课时 函数y=Asin(ωx+φ) 的图像与性质习题课
一
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知识梳理
典例透析
随堂演练
二
(2)先伸缩后平移 ①画函数 y=sin x(x∈[0,2π])的图像; ②将其横坐标变为原来的 ������ (纵坐标不变), 得到函数������ = sin ������������的图像; ③将其纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变), 得到函数 y=A sin ωx 的图像; ④将其图像沿 x 轴平移
������π 2
������π π + , ������ ∈Z. 2 6
+ 6 , ������∈Z
2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
习题课——函数y=A sin(ωx+φ)的综合应用课后篇巩固探究1.下列函数中,在上是减少的,且周期为π的是( )[π4,π2]A .y=sin B .y=cos (2x +π2)(2x +π2)D .y=cos (x +π2)(x +π2)中函数周期为2π,所以错误.当x ∈时,2x+,函数y=sin 为减少的,而函数[π4,π2]π2∈[π,3π2](2x +π2)为增加的.2x +π2)2.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )[-π3,π4].B .C .2D .32332ω>0,-≤x ≤,∴-≤ωx ≤.π3π4ωπ3ωπ4-≤-,∴ω≥.ωπ3π2323.将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f (x ),则函数f (x )的单调递(2x +π6)14增区间是( )A .(k ∈Z )[kπ-π12,kπ+5π12]B .(k ∈Z )[kπ+5π12,kπ+11π12]C .(k ∈Z )[kπ-5π24,kπ+7π24](k ∈Z )[kπ+7π24,kπ+19π24]函数y=2sin的周期T==π,(2x +π6)2π2∴将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f (x )=2sin (2x +π6)14=2sin ,[2(x -π4)+π6](2x -π3)∴令2k π-≤2x-≤2k π+,k ∈Z ,可得k π-≤x ≤k π+,k ∈Z ,π2π3π2π125π12函数f (x )的单调递增区间是,k ∈Z .故选A .[kπ-π12,kπ+5π12]4.函数f (x )=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f (x )在上的最(|φ|<π2)π6[0,π2]小值为( )B .-C .D .3121232f (x )=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度得y=sin=sin 的图像.π6[2(x +π6)+φ](2x +π3+φ)又其为奇函数,则+φ=k π,k ∈Z ,π3解得φ=k π-.π3又|φ|<,令k=0,得φ=-,π2π3∴f (x )=sin.(2x -π3)又∵x ∈,[0,π2]∴sin ,(2x -π3)∈[-32,1]x=0时,f (x )min =-,故选A .325.导学号93774033当x=时,函数f (x )=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f ( )π4(3π4-x )A .是奇函数且图像关于点对称(π2,0)B .是偶函数且图像关于点(π,0)对称C .是奇函数且图像关于直线x=对称π2x=π对称当x=时,函数f (x )取得最小值,π4∴函数f (x )的图像关于直线x=对称,π4∴由f (0)=f 得φ=+k π,k ∈Z ,(π2)π4∴f (x )=A sin ,k ∈Z ,(x +π4+kπ)∴f =A sin (34π-x )(3π4-x +π4+kπ)=A sin(π-x+k π)={Asinx ,k 为偶数,-Asinx ,k 为奇数.y=f 是奇函数,且图像关于直线x=对称.(3π4-x )π26.已知关于x 的方程sin =k 在区间上有两个不同的实数解,则k 的取值范围为 .2(2x +π4)[0,π2]f (x )=sin.(2x +π4)∵x ∈,∴≤2x+.[0,π2]π4π4≤5π4易知函数f (x )=sin上是增加的,在上是减少的,(2x +π4)在[0,π8][π8,π2]当方程sin时,有f (0)≤<f ,即1≤k<.(2x +π4)=k 2k 2(π8)2[1,)27.已知函数f (x )=3sin(ω>0)和g (x )=2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x ∈,则f (x )的(ωx -π6)[0,π2]取值范围是 .ω=2,所以f (x )=3sin.(2x -π6)因为x ∈,所以2x-,[0,π2]π6∈[-π6,5π6]f (x )∈.[-32,3]-32,3]8.函数y=A sin(ωx+φ)的最大值是3,对称轴方程是x=,要使函数的解析式为(其中A >0,ω>0,|φ|<π2)π6y=3sin ,还应给出的一个条件是 .(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有(2x +π6)):周期T=π,则ω==2,此时y=3sin(2x+φ).2ππ由对称轴方程是x=×2+φ=k π+(k ∈Z ).取k=0,得φ=.π6知π6π2π6y=3sin ,符合题意.(2x +π6),如周期T=π9.导学号93774034将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图π4,则ω的最小值是 . (3π4,0)y=sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数为y=sin ω.π4(x -π4)再由所得图像经过点,(3π4,0)可得sin ω=sin ω=0,(3π4-π4)π2∴ω=k π,k ∈Z .π2ω的最小值是2.10.已知函数f (x )=2sin +1.(2x +π3)(1)当x=时,求f (x )的值;4π3(2)若存在区间[a ,b ](a ,b ∈R 且a<b ),使得y=f (x )在[a ,b ]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a ,b ]中,求的最小值.当x=时,f (x )=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1.4π3(2×4π3+π3)(2)f (x )=0⇒sin =-⇒x=k π-,k ∈Z 或x=k π-π,k ∈Z ,即f (x )的零点间隔依次为.(2x +π3)12π4712π3和2π3故若y=f (x )在[a ,b ]上至少含有6个零点,则b-a 的最小值为2×+3×.2π3π3=7π311.已知函数f (x )=2cos (其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π.(ωx +π6)(1)求ω的值;α,β∈,f =-,f ,求cos α,sin β的值.[0,π2](5α+53π)65(5β-56π)=1617由已知得=10π,∴ω=.2πω15(2)∵f (x )=2cos ,(15x +π6)∴f=2cos =-2sin α,(5α+5π3)[15(5α+5π3)+π6]f =2cos =2cos β.(5β-5π6)[15(5β-5π6)+π6]又f=-,f ,(5α+5π3)65(5β-5π6)=1617∴sin α=,cos β=.35817又∵α,β∈,[0,π2]∴cos α=,sin β=.45151712.导学号93774035已知f (x )=A sin(A>0)的最大值为6.(2x +π6)(1)求A ;(2)将函数y=f (x )的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵π1212,得到函数y=g (x )的图像.求g (x )在上的值域.[0,5π24]因为A>0,所以由题意知A=6.(2)由(1)得f (x )=6sin .(2x +π6)将函数y=f (x )的图像先向左平移个单位长度后得到y=6sin=6sin 的图像,π12[2(x +π12)+π6](2x +π3)再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图像,12(4x +π3)因此g (x )=6sin.(4x +π3)因为x ∈,[0,5π24]所以4x+.π3∈[π3,7π6]故g (x )在上的值域为[-3,6].[0,5π24]。
高中数学 北师大必修四 y=Asin(ωx+φ)综合运用
例：设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条 对称轴是直线 x＝π8.
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； [分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利 用，由图象一对称轴为 x＝π8得：当 x＝π8时 2x＋φ＝kπ＋π2(k∈ Z)进而可求 φ 值．
[例3] 函数y＝2sin(－2x＋3π)的相位和初相分别是(
)
A．－2x＋π3，3π B．2x－π3，－3π
C．2x＋23π，23π D．2x＋23π，3π
[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
作业：1.已知函数y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
第一章
1.8.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
1．函数 y＝sin(2x＋π3)的图象是由 y＝sin2x的图象沿 x 轴 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
A．向左平移π3个单位而得到的 B．向右平移3π个单位而得到的 C．向左平移6π个单位而得到的 D．向左平移23π个单位而得到的 [答案] D
例 ：已知函数y＝Asin(ωx＋φ) （A>0,ω>0） 一个周期内的函数图象，如下图所示，求函 数的一个解析式。
邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经
4 过点 (0, 5) ，求这个函数的解析式。
2
例：已知函数 f(x)＝Asinωx＋3π(A>0，ω>0)在一个周期内， 当 x＝1π2时，取得最大值 2；当 x＝71π2时，取得最小值－2，则 函数 f(x)＝________.
[答案] 2sin2x＋π3
y
3
O
高中数北师大必修4练习：习题课——函数y= Asin(ωx φ)的综合应用
习题课——函数y=A sin(ωx+φ)的综合应用课后篇巩固探究1.下列函数中,在[π4,π2]上是减少的,且周期为π的是()A.y=sin(2x+π2)B.y=cos(2x+π2)C.y=sin(x+π2)D.y=cos(x+π2)中函数周期为2π,所以错误.当x∈[π4,π2]时,2x+π2∈[π,3π2],函数y=sin(2x+π2)为减少的,而函数y=cos(2x+π2)为增加的.2.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[-π3,π4]上的最小值是-2,则ω的最小值等于()A.23B.32C.2D.3ω>0,-π3≤x≤π4,∴-ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知-ωπ3≤-π2,∴ω≥32.3.将函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为f(x),则函数f(x)的单调递增区间是()A.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)B.[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)C.[kπ-5π24,kπ+7π24](k∈Z)D.[kπ+7π24,kπ+19π24](k∈Z)函数y=2sin(2x+π6)的周期T=2π2=π,∴将函数y=2sin(2x+π)的图像向右平移1个周期后,所得图像对应的函数为f(x)=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),∴令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,可得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.故选A.4.函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图像向左平移π6个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A.-√32B.-12C.12D.√32f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π6个单位长度得y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图又其为奇函数,则π3+φ=kπ,k∈Z, 解得φ=kπ-π.又|φ|<π2,令k=0,得φ=-π3,∴f(x)=sin(2x-π3).又∵x∈[0,π2],∴sin(2x-π3)∈[-√32,1],即当x=0时,f(x)min=-√32,故选A.★答案★A5.导学号93774033当x=π4时,函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f(3π4-x)()A.是奇函数且图像关于点(π2,0)对称B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称C.是奇函数且图像关于直线x=π2对称x=π对称当x=π时,函数f(x)取得最小值,∴函数f(x)的图像关于直线x=π4对称,∴由f(0)=f(π2)得φ=π4+kπ,k∈Z,∴f(x)=A sin(x+π4+kπ),k∈Z,∴f(34π-x)=A sin(3π4-x+π4+kπ)=A sin(π-x+kπ)={Asinx,k为偶数, -Asinx,k为奇数.∴y=f(3π-x)是奇函数,且图像关于直线x=π对称.6.已知关于x的方程√2sin(2x+π4)=k在区间[0,π2]上有两个不同的实数解,则k的取值范围(2x+π4 ).∵x∈[0,2],∴π4≤2x+π4≤5π4.易知函数f(x)=sin(2x+π4)在[0,π8]上是增加的,在[π8,π2]上是减少的,∴当方程sin(2x+π4)=√2时,有f(0)≤√2<f(π8),即1≤k<√2.√2)7.已知函数f(x)=3sin(ωx-π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x∈[0,π2],则f(x)的取值范围是.ω=2,所以f(x)=3sin(2x-π6).因为x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],所以f(x)∈[-32,3].-32,3]8.函数y=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的最大值是3,对称轴方程是x=π,要使函数的解析式为y=3sin(2x+π6),还应给出的一个条件是.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所):周期T=π,则ω=2ππ=2,此时y=3sin(2x+φ).由对称轴方程是x=π6知π6×2+φ=kπ+π2(k∈Z).取k=0,得φ=π6.此时y=3sin(2x+π6),符合题意.,如周期T=π9.导学号93774034将函数f (x )=sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度,所得图像经过点(3π4,0),则ω的最小值是 .y=sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度,所得图像对应的函数为y=sin ω(x -π4).再由所得图像经过点(3π4,0),可得sin ω(3π4-π4)=sin π2ω=0, ∴π2ω=k π,k ∈Z .2.10.已知函数f (x )=2sin (2x +π3)+1. (1)当x=4π3时,求f (x )的值;(2)若存在区间[a ,b ](a ,b ∈R 且a<b ),使得y=f (x )在[a ,b ]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a ,b ]中,的最小值.当x=4π3时,f (x )=2sin (2×4π3+π3)+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1. (2)f (x )=0⇒sin (2x +π3)=-12⇒x=k π-π4,k ∈Z 或x=k π-712π,k ∈Z ,即f (x )的零点间隔依次为π3和2π3.故若y=f (x )在[a ,b ]上至少含有6个零点,则b-a 的最小值为2×2π3+3×π3=7π3.11.已知函数f (x )=2cos (ωx +π6)(其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,π2],f (5α+53π)=-65,f (5β-56π)=1617,求cos α,sin β的值.由已知得2πω=10π,∴ω=15.(2)∵f (x )=2cos (15x +π6),∴f (5α+5π3)=2cos [15(5α+5π3)+π6]=-2sin α, f (5β-5π6)=2cos [15(5β-5π6)+π6]=2cos β.又f (5α+5π3)=-65,f (5β-5π6)=1617,∴sin α=35,cos β=817.又∵α,β∈[0,π2],∴cos α=45,sin β=1517.12.导学号93774035已知f (x )=A sin (2x +π6)(A>0)的最大值为6.(1)求A ;(2)将函数y=f (x )的图像先向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g (x )的图像.求g (x )在[0,5π]上的值域.因为A>0,所以由题意知A=6.(2)由(1)得f (x )=6sin (2x +π6). 将函数y=f (x )的图像先向左平移π12个单位长度后得到y=6sin [2(x +π12)+π6]=6sin (2x +π3)的图像,再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=6sin (4x +π3)的图像, 因此g (x )=6sin (4x +π3). 因为x ∈[0,5π24],所以4x+π3∈[π3,7π6].]上的值域为[-3,6].故g(x)在[0,5π24。
Asin(ωx+φ)的综合应用练习 北师大版必修4
习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用1.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos解析:C,D中函数周期为2π,所以错误.当x∈时,2x+,函数y=sin为减函数,而函数y=cos为增函数.答案:A5x=时,函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f()A.是奇函数且图像关于点对称B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称C.是奇函数且图像关于直线x=对称D.是偶函数且图像关于直线x=π对称解析:∵当x=时,函数f(x)取得最小值,∴函数f(x)的图像关于直线x=对称,∴由f(0)=f得:φ=+kπ,k∈Z,∴f(x)=A sin,k∈Z,∴f=A sin=A sin(π-x+kπ)=∴y=f是奇函数,且图像关于直线x=对称.答案:C6.已知关于x的方程sin=k在区间上有两个不同的实数解,则k的取值范围为.解析:设f(x)=sin.∵x∈,∴≤2x+.易知函数f(x)=sin上单调递增,在上单调递减,∴方程sin时,有f(0)≤<f,即1≤k<.答案:[1,)7.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x∈,则f(x)的取值范围是.解析:由题意知ω=2,所以f(x)=3sin.因为x∈,所以2x-,所以f(x)∈.答案:8.函数y=A sin(ωx+φ)的最大值是3,对称轴方程是x=,要使函数的解析式为y=3sin,还应给出的一个条件是.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形)解析:若给出条件:周期T=π,则ω==2,此时y=3sin(2x+φ).由对称轴方程是x=×2+φ=kπ+(k∈Z).取k=0,得φ=.此时y=3sin,符合题意.答案:答案不唯一,如周期T=π9浙江丽水高二期末)已知函数f(x)=2sin+1.(1)当x=π时,求f(x)的值;(2)若存在区间[a,b](a,b∈R且a<b),使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.解:(1)当x=π时,f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1.(2)f(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-,k∈Z或x=kπ-π,k∈Z,即f(x)的零点间隔依次为.故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,则b-a的最小值为2×+3×.10.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈,f=-,f,求cos α,sin β的值.解:(1)由已知得=10π,∴ω=.(2)∵f(x)=2cos,∴f=2cos=-2sin α,f=2cos=2cos β.又f=-,f,∴sin α=,cos β=.又∵α,β∈,∴cos α=,sin β=.11.已知f(x)=A sin(A>0)的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在上的值域.解:(1)因为A>0,所以由题意知A=6.(2)由(1)得f(x)=6sin.将函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度后得到y=6sin=6sin的图像,再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin的图像,因此g(x)=6sin.因为x∈,所以4x+.故g(x)在上的值域为[-3,6].。
北师大版高中数学必修四9 函数y=Asin(ωx+φ)的图像习题课.docx
9 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像习题课时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知函数f (x )＝sinπx 的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为( )(1) (2)A ．y ＝f (2x －12) B ．y ＝f (2x －1)C ．y ＝f (x 2－1)D ．y ＝f (x 2－12)答案：B解析：因为图(2)中的图像可以看作是图(1)中的图像先向右平移一个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图(2)所对应的函数解析式应是y ＝f (2x －1)．故选B.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取得最大值，则( ) A ．函数f (x －1)一定是奇函数 B ．函数f (x －1)一定是偶函数 C ．函数f (x ＋1)一定是奇函数 D ．函数f (x ＋1)一定是偶函数 答案：D解析：因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因此函数利用诱导公式，f (x ＋1)必然是偶函数，选D.3．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 答案：C解析：因为ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，说明至少平移一个周期，或者是周期的整倍数，因此4π3＝nT ＝n ·2πω ∴当n ＝1，ω＝32.4．函数f (x )＝3sin(3x ＋φ)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－2, f (b )＝2，则g (x )＝2cos(2x ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值D ．可以取得最小值 答案：C解析：由f (x )在[a ，b ]上为增函数及f (a )＝－2, f (b )＝2知，g (x )在[a ，b ]上先增后减，可以取到最大值．5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案：D解析：当a ＝0时，f (x )＝1，选项C 符合；当0<|a |<1时，T >2π，且f (x )的最小值为正数，选项A 符合；当|a |>1时，T <2π，且f (x )的最小值为负数，选项B 符合；在选项D 中，由振幅得|a |>1，则T <2π，而由图像知T >2π矛盾，故选D.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 答案：A解析：由T ＝6π，得ω＝2πT ＝13.当x ＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫13×π2＋φ＝1，即π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，可得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .而－π<φ≤π，可得φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，结合其图像可知选A. 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________.答案：32解析：由图，知T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3.又T ＝2πω＝4π3，∴ω＝32.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图像向左平移π6个单位长度后与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图像重合，则正数ω的最小值为________．答案：232解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像所对应的函数是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6ω＋π4，其图像与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图像重合，∴π6ω＋π4＝π6＋2k π，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω取得最小值为232.9．关于f (x )＝3sin(2x ＋π4)有以下命题：①若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z ); ②f (x )图像与g (x )＝3cos(2x －π4)图像相同；③f (x )在区间[－7π8，－3π8]上是减函数；④f (x )图像关于点(－π8，0)对称．其中正确的命题是________． 答案：①②解析：f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，∴①正确；由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上单调递增，②正确；因为f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π6，∴把y ＝3sin2x 的图像向右平移π6个单位长度得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，③不正确．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图像向右平移π6个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0<φ<π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图像，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1. 而2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．解：(1)观察图像，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6÷34＝π. ∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴方程f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像与g (x )＝m 的图像的交点个数情况 .又0<x <π，∴在同一坐标系中画出f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(0<x <π)和g (x )＝m (m ∈R )的图像(如图所示)．由图，可知当－2<m <1或1<m <2时，直线g (x )＝m 与曲线f (x )有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝2π3对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.12．已知f (x )＝sin 2(2x －π4)－2t ·sin(2x －π4)＋t 2－6t ＋1(x ∈ [π24，π2])，其最小值为g (t )．(1)求g (t )的表达式．(2)当－12≤t ≤1时，要使关于t 的方程g (t )＝kt 有一个实根，求实数k 的取值范围．解：(1)因为x ∈[π24，π2]，可得sin(2x －π4)∈[－12，1]．f (x )＝[sin(2x －π4 )－t ]2－6t ＋1(x ∈ [π24，π2])．当t <－12时，则当sin x ＝－12时， f (x )min ＝t 2－5t ＋54；当－12≤t ≤1时，则当sin x ＝t 时，f (x )min ＝－6t ＋1；当t ＞1时，则当sin x ＝1时， f (x )min＝t 2－8t ＋2；故g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－5t ＋54，t ∈(－∞，－12)－6t ＋1，t ∈[－12，1]t 2－8t ＋2，t ∈(1，＋∞)(2)当－12≤t ≤1时，g (t )＝－6t ＋1，令h (t )＝g (t )－kt .欲使g (t )＝kt 有一个实根，则只需使⎩⎪⎨⎪⎧h (－12)≤0h (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧h (－12)≥0h (1)≤0即可．解得k ≤－8或k ≥－5.。
高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课时作业 北师大版必修4(202
2016-2017学年高中数学第一章三角函数8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像课时作业北师大版必修4
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8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像。