2016年秋新课标人教A版高中选修2-1：《2.1.2求曲线的方程》课件
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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.1+2 曲线与方程 求曲线的方程
分段画出该方程的图象，即为 y 轴右侧的 图象，再根据对称性，便可以得到方程 y＝
x2－2|x|＋1的图象，如图所示：
第二十二页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
[探究共研型]
求曲线的方程
探究 1 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？ 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上； (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性 质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为 坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
第二十七页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
1．求曲线方程的一般步骤 (1)建系设点； (2)写几何点集； (3)翻译列式； (4)化简方程； (5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
第二十八页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写， 如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直 接列出曲线方程．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原 方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
第二十页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
[再练一题]
2．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于 x－y＝0 对称
【自主解答】 取 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，
过 O 与 AB 垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则 A(－a，0)，B(a，0)，设动点 C 为(x，y)．
x2－2|x|＋1的图象，如图所示：
第二十二页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
[探究共研型]
求曲线的方程
探究 1 求曲线的方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解？ 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上； (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性 质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为 坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
第二十七页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
1．求曲线方程的一般步骤 (1)建系设点； (2)写几何点集； (3)翻译列式； (4)化简方程； (5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
第二十八页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写， 如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直 接列出曲线方程．
2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原 方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．
第二十页，编辑于星期五：十六点 三十五分。
[再练一题]
2．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于 x－y＝0 对称
【自主解答】 取 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，
过 O 与 AB 垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则 A(－a，0)，B(a，0)，设动点 C 为(x，y)．
高中数学(人教A)选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
• 2．了解求曲线方程的几种常用方法，能够利 用它们去求曲线的方程．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
• 重点：轨迹方程的求法． • 难点：求曲线的方程的思路．
求曲线方程的方法步骤
• 温故知新
• 回顾复习建立坐标系的基本原则，待定系数 法求直线与圆的方程的步骤，求轨迹方程的 一般步骤．复习常见的轨迹(到定点距离等于 定长的点的轨迹；到线段两端点距离相等的 点的轨迹；到角的两边距离相等的点的轨迹 ；到两条平行线距离相等的点的轨迹；到一 条直线的距离为定值的点的轨迹等)．
• [解析] 以O1O2的中点为原点，O1O2所在直 线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 得O1(－2,0)，O2(2,0)．
连接 PO1，O1M，PO2，O2N. 由已知 PM＝ 2PN，得 PM2＝2PN2， 又在 Rt△PO1M 中，PM2＝PO21－MO21，在 Rt△PO2N 中， PN2＝PO22－NO22， 即得 PO21－1＝2(PO22－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化简得(x－6)2＋y2＝33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
• (5)__________：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些
牛刀小试
1．平面内有两定点 A，B 且|AB|＝4，动点 P 满足|P→A＋P→B|
＝4，则点 P 的轨迹是( )
A．线段
B．半圆
C．圆
D．直线
• [答案] C
[解析] 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建 立直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x，y)，则P→A＋P→B＝ 2P→O＝2(－x，－y)．
高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)
证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
2015-2016学年高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
目 链 接
【易错剖析】 本题解答中容易忽略点 M 应在圆内这一隐含条件， 故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
栏 目 链 接
题型三
代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3， 4)， 动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)， 求点 P 的轨迹方程． 解析：如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 x y OP 的中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点坐标为 2 2 x0－3 y0＋4 ( ， )，因为平行四边形的对角线互相平分 2 2 x0－3 x y0＋4 y ，所以 ＝ ， ＝ ，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 2 2 2 2 4，由 N(x＋3， y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 9 12 21 28 两点：(－ ， )和 (－ ， )． 5 5 5 5
链 接 栏
→ ·PN → ＝(－2－x，－y)· 解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由PM (2 －x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2 ＋y2＝4. (2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏 －8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2. 由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2 ＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48. 答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
目 链 接题型二源自定义法求曲线方程例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程． 解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，
【易错剖析】 本题解答中容易忽略点 M 应在圆内这一隐含条件， 故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
栏 目 链 接
题型三
代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3， 4)， 动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)， 求点 P 的轨迹方程． 解析：如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 x y OP 的中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点坐标为 2 2 x0－3 y0＋4 ( ， )，因为平行四边形的对角线互相平分 2 2 x0－3 x y0＋4 y ，所以 ＝ ， ＝ ，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 2 2 2 2 4，由 N(x＋3， y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 9 12 21 28 两点：(－ ， )和 (－ ， )． 5 5 5 5
链 接 栏
→ ·PN → ＝(－2－x，－y)· 解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由PM (2 －x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2 ＋y2＝4. (2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏 －8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2. 由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2 ＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48. 答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
目 链 接题型二源自定义法求曲线方程例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程． 解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.2 求曲线的方程 课件
课堂小结
1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简.
2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形
3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢指导
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
M 1B M 1B x1 3x 21 3y12 7 y21 724 2y4 1 2 2y 1y12 7 y2172
5 y12 56yy11 2 1 63y1;13;
M1AM1B，点 M在线A段 B的垂直x 3 )2 (y 7 )2
o
x
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
⑴由求方程的过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x 2y 7 0 的解 即 x1 2 y1 7 0 ， 那么， x1 7 2 y1 .
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
（1）、根据已知条件，求曲线的方程;
（2）、通过方程研究曲线的性质.
探索新知、拓展思维
人教A版高中数学选修2-1课件2.1.2求曲线的方程(1)
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
M
0Ax
11
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x2 y2 1.
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数 ( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y M
N
0
Q
x
12
例3、求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R) 的顶
点的轨迹方程。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
复习引入:
y
f(x,y)=0
曲线的认识：
0
x
曲线可看作是满足某种条件的点的集合或轨迹.
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
M
0Ax
11
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x2 y2 1.
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数 ( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y M
N
0
Q
x
12
例3、求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R) 的顶
点的轨迹方程。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
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复习引入:
y
f(x,y)=0
曲线的认识：
0
x
曲线可看作是满足某种条件的点的集合或轨迹.
最新高中数学人教a版选修(2-1)2-1-2《求曲线的方程》ppt课件
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨 迹方程是________．
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 答案：x＋y－1＝0
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点 (0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
解：设 M(x，y)，P(a，b)，则xy＝＝a2b，－2 1.
[点评] (1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系， 充分利用三角形外心的性质．易错处是用|BM|＝|CM| 列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因 是在求|BM|的长时已利用了|BM|＝|CM|这个等量关 系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC 边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线 作为x轴，此时方程将有所变化．
答案：B
2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l： x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的 距离相等，则点P的轨迹方程是( )
A．(y＋1)2＝8(x－1) B．(y－1)2＝8(x＋1) C．(y＋1)2＝－8(x－1) D．(y－1)2＝－8(x＋1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2 ＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选 D.
类型二 定义法求曲线方程 [例2] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考 虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中 点．
[解] 法一：(直接法) 如图 2，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠OQC＝90°. 设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.1.2曲线与方程》课件
∴(2x－3)2＋4y2＝1
10分
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12分
【题后反思】 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，
y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动
点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程．
题型二 定义法求曲线方程
【例2】 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所 作弦的中点的轨迹方程． [思路探索] 利用圆心与弦中点的连线垂直于弦，可知弦中点 的轨迹是圆． 解 如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 其中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0. ∵∠OPC＝90°， ∴动点 P 在以点 M12，0为圆心，OC 为直径的圆 上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0<x≤1)．
2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对_(_x_，__y_)表示曲线上任 意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝ {_M__|p_(_M__)}_； (3)用_坐__标__表示条件p(M)，列出方程__f_(x_，__y_)_＝__0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？ 提示 可以．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省 略步骤“结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根 据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．
【变式1】 设两定点A，B距离为8，求到A，B两点距离的平方 和是5点建立直角坐标 系，如图所示，则A(0，0)，B(8，0)．设曲线上的动点 P(x，y)．
高中数学人教A版选修2-1：2.2.2求曲线方程 第2课时 课件
∴x0=2x-4，y0=图2形y-上3,相关点的坐标；（O设坐标） x
即A(2x-4，2y-（3)3）根据条件用所求轨迹上任意一点 ∵A在2x-y2=4上的坐标将已坐知标图代形入上法点的(相坐关标点表法示)出 ∴2(2x-4)+(2y-来3)。2=（4,求坐标）
即4y 2 -4x+12y知（+图42）形1=将的0已方知程图并形化上简点。的（坐代标入代化入简已） ∴线段AB的中点M（的5轨）迹验方证程有为无4特y2殊-4情x况+1（2验y证+2）1=0
D=-8,E=6,F=0. ∴有x2+y2-8x+6y=0.
待定系数法
又∵此圆弧在x轴及其上方
∴此圆弧的方程的为:x2+y2-8x+6y=0 （（0y≤≥x0≤）8）?
例O(20.,已0)知,M在1(x1轴,1及),M其2上(4方,2的)，圆求弧此C大（过圆致1点弧）用步的建待骤方立定：程适系。当数的法直求角方坐程标的 解：设圆弧所在的圆的方程为x系2+(无y2坐+标Dx系+时Ey)+；F（=建0（系其）中
例3.已知线段归A纳B的: 端点B的坐标是(4,3)，端点A曲
线C:2x-y2=4上运动，用求坐线标段代AB入的法中点(相M关的点轨法迹)求方方程程
解：设点M为(x,y的),点大A致为步(x骤0,：y0)
由中点坐标公（式1）得建立适当的直角坐y标系（无.B坐(4标,3)
x=
x 0 +4 2
,y=系 （y2时）0）2+设；3出（所建求系轨）迹上(xA0任.,y0意) 一(Mx.点,y)和已知
参数法。
三、用直译法求曲线方程的一般步骤：
1.建系设点： 建立适当的直角坐标系（无坐标系时）， 用（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
2016-2017年数学·人教A版选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程
第二十二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[变式训练] 已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分 别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点 的轨迹方程．
解：作出图象如图所示，根据直角 三角形的性质可知 |OM|＝12|AB|＝3.
第二十三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
答案：(x－1)2＋y2＝2
第十一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
类型 1 直接法求曲线方程(自主研析) [典例 1] 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点 到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标 系，求这条曲线的方程．
第十四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
归纳升华 1．(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满 足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成 x，y 的形 式 F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0. (2)要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，就 是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
第七页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，
B( 3，0)，顶点 C 的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
答案：B
第八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
3．在第四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨 迹方程是( )
(3)定义法：若能够确定动点的轨迹满足某类型曲线 的定义(如圆的定义)，则根据曲线的定义可以直接写出轨 迹方程．
(4)待定系数法：若根据条件能知道曲线方程的类型， 则可先设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
[变式训练] 已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分 别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点 的轨迹方程．
解：作出图象如图所示，根据直角 三角形的性质可知 |OM|＝12|AB|＝3.
第二十三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
答案：(x－1)2＋y2＝2
第十一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
类型 1 直接法求曲线方程(自主研析) [典例 1] 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点 到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标 系，求这条曲线的方程．
第十四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
归纳升华 1．(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满 足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成 x，y 的形 式 F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0. (2)要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，就 是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
第七页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2．已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(－ 3，0)，
B( 3，0)，顶点 C 的轨迹是( )
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
答案：B
第八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
3．在第四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨 迹方程是( )
(3)定义法：若能够确定动点的轨迹满足某类型曲线 的定义(如圆的定义)，则根据曲线的定义可以直接写出轨 迹方程．
(4)待定系数法：若根据条件能知道曲线方程的类型， 则可先设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
高二数学选修2-1_求曲线的方程(二)_ppt
y
解法二(定义法)：
P 由解法一知，∠OPC=900 1 O MC 故动点P在以M( ,0) 为圆心， 2 OC为直径的圆上 Q x
从而所求的圆的方程为
1 1 2 x y , 0 x≤1 2 4
2
28
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
2
4
• 3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求 线段AB的中点M的轨迹方程．
19
解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M. ∴|MP|＝|MO|. ∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 4－0 ∵kOP＝ ＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， 2－0 1 ∴点 M 的轨迹方程是 y－2＝－ (x－1)， 2 即 x＋2y－5＝0.
设OQ为过O的一条弦， P(x,y)为OQ的中点，
1 则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0) 2 1 1 而|PM|= |OC|= 从而所求的方程为 2 2
1 1 2 x y . 0 x≤1 2 4
2
27
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
(∵m≠3,m≠-1)
25
2.设单位圆x2+y2=1,A1,A2是此圆的一条直径 的两个端点, P1P2是与 A1A2垂直的弦,求直线 A1P1与A2P2的交点 P的轨迹方程. x2-y2=1(y≠0)
解 : 如图, 将A1 ,A2取在x轴上,则P P2 x轴. 1 设P ( x, y ), P ( x0 , y0 ), 则P2 ( x0 , y0 ).又A1 ( 1, 0),P1 1 x (1) y0 y 0 x (1) (1) 0 0 A2 (1, 0), 有 . A1 y 0 x 1 (2) y0 0 x0 1 y2 x2 1 2 2 由(1) (2)得 2 .又 x0 y0 1, y0 2 x0 1
解法二(定义法)：
P 由解法一知，∠OPC=900 1 O MC 故动点P在以M( ,0) 为圆心， 2 OC为直径的圆上 Q x
从而所求的圆的方程为
1 1 2 x y , 0 x≤1 2 4
2
28
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
2
4
• 3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求 线段AB的中点M的轨迹方程．
19
解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M. ∴|MP|＝|MO|. ∴点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 4－0 ∵kOP＝ ＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， 2－0 1 ∴点 M 的轨迹方程是 y－2＝－ (x－1)， 2 即 x＋2y－5＝0.
设OQ为过O的一条弦， P(x,y)为OQ的中点，
1 则CP⊥OQ，OC的中点为M( ,0) 2 1 1 而|PM|= |OC|= 从而所求的方程为 2 2
1 1 2 x y . 0 x≤1 2 4
2
27
设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
(∵m≠3,m≠-1)
25
2.设单位圆x2+y2=1,A1,A2是此圆的一条直径 的两个端点, P1P2是与 A1A2垂直的弦,求直线 A1P1与A2P2的交点 P的轨迹方程. x2-y2=1(y≠0)
解 : 如图, 将A1 ,A2取在x轴上,则P P2 x轴. 1 设P ( x, y ), P ( x0 , y0 ), 则P2 ( x0 , y0 ).又A1 ( 1, 0),P1 1 x (1) y0 y 0 x (1) (1) 0 0 A2 (1, 0), 有 . A1 y 0 x 1 (2) y0 0 x0 1 y2 x2 1 2 2 由(1) (2)得 2 .又 x0 y0 1, y0 2 x0 1
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
√
以上过程可以概括为一句话: ．．． ． ．． 以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ． ．
课本例
5
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l , 2.一条曲线也在 的上方,它上面的每 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程 当的坐标系 求这条曲线的方程. 求这条曲线的方程
活用几何性质来找关系
y
B
思维漂亮!
M
0
( x, y ) C
A
⋅
x
8
x 2 + y 2 = 1. 和圆O: 例2、已知直角坐标平面上点 、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆
动点M到圆 的切线长与 动点 到圆O的切线长与 到圆 的切线长与|MQ|的比等于常数 的比等于常数
λ (λ > 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 的轨迹方程
则 |MA|=|MB| |
2 2
需要尝试、 需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2
坐标化 坐标化 ∴ ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 7) 2 2 2 2 ∴ x + 2x +1+ y + 2y +1 = x − 6x + 9 + y −14y + 49 化简
2
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 、 - - 、 的垂直平分线的方程. 求线段 AB 的垂直平分线的方程
高中数学(人教A版)课件 选修2-1：2.1.2求曲线方程
是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上。
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
选修2-1《2.1.1曲线与方程》(新课标人教A版)精选教学PPT课件
1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )
D
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0
B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
其面积S＝ π1·4＝2π. 所以所求图形2的面积为2π.
在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方 程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两 个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化 为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几 何的思想，本节课正是这一思想的基础.
解 析 : y ( x 1)2 x 1
答案：以(1，0)为端点的两条射线
4.已知曲线C的方程为x＝
，4 说 明y2 曲线C是什
么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由x＝ 4，得yx2 2＋y2＝4，又x≥0，
所以方程x＝ 4表示y的2 曲线是以原点为圆心，
2为半径的右半圆,
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，
能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？
解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是
都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方
程
x2 y2 4.
【提升总结】
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程为
童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1.2 求曲线的方程 课件
(1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y） 表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁）
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
第十页，编辑于星期一：点 十五分。
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖 掘题中形成曲线的等量关系);
第二十三页，编辑于星期一：点 十五分。
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第 二步、第五步；
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十四页，编辑于星期一：点 十五分。
P {M MA MB }.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2.
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0.
①
第七页，编辑于星期一：点 十五分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的
离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示， 从而使曲线方程的形式简单一些.
第十二页，编辑于星期一：点 十五分。
解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,
2.1.2 求曲线的方程
第一页，编辑于星期一：点 十五分。
“天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从 入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道.
(2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
第十页，编辑于星期一：点 十五分。
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
数方程的过程.(因此求曲线方程时要注意挖 掘题中形成曲线的等量关系);
第二十三页，编辑于星期一：点 十五分。
3.求曲线方程时,五个步骤不一定要全部实施.如第 二步、第五步；
4.注意:(1)建系要适当； (2)化简变形要考查等价与否(即考察曲线的
完备性和纯粹性).
第二十四页，编辑于星期一：点 十五分。
P {M MA MB }.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 7)2.
上式两边平方，并整理得
x+2y－7=0.
①
第七页，编辑于星期一：点 十五分。
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的
离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距
离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这
条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分
利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示， 从而使曲线方程的形式简单一些.
第十二页，编辑于星期一：点 十五分。
解：如图，取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,
2.1.2 求曲线的方程
第一页，编辑于星期一：点 十五分。
“天宫一号”运行要经过两次轨道控制，从 入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道.
人教A版高中数学选修2-1课件《2.1.2求曲线的方程》
2 22 2
x0 x 3，
y0
y
4.
由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:
和( 9，12)
55
( 21，28). 55
【延伸探究】若把题(2)中MN的中点记为Q,试求点Q的轨迹方程.
(2)设动点P坐标为(x,y),则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,
到点A的距离|PA|= x 22 y2，
由已知d=2|PA|得:
|x-8|=2 x 2化2 简y得2，:
3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.
【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系; ②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求 解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件 列方程;对所求的方程化简、说明.
答案:x2+y2=4 (2)由 OP OA=4知,x+2y=4⇒x+2y-4=0, 所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0
(3)设P(x,y),则|PA|=3|PO|可化为
x 12 y 22 3 x2 y2，
化简得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)在平面直角坐标系内,到原点距离为2的点M的轨迹方程
是
.
x0 x 3，
y0
y
4.
由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:
和( 9，12)
55
( 21，28). 55
【延伸探究】若把题(2)中MN的中点记为Q,试求点Q的轨迹方程.
(2)设动点P坐标为(x,y),则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,
到点A的距离|PA|= x 22 y2，
由已知d=2|PA|得:
|x-8|=2 x 2化2 简y得2，:
3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.
【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系; ②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求 解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件 列方程;对所求的方程化简、说明.
答案:x2+y2=4 (2)由 OP OA=4知,x+2y=4⇒x+2y-4=0, 所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0
(3)设P(x,y),则|PA|=3|PO|可化为
x 12 y 22 3 x2 y2，
化简得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)在平面直角坐标系内,到原点距离为2的点M的轨迹方程
是
.
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讲授新课
提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什 么？写出它的方程．能否写成 y=|x|，为什么？
分析： 以方程 y=|x|的解为坐标的点都在曲线上； 但曲线上的点如（-1，1）不是方程 y=|x|的解.
讲授新课
图中曲线与方程 x +y =1 有什么关系？
2 2
y
o
x
讲授新课
图中曲线与方程 x +y =1 有什么关系？
o
x
练习： 1． A(1,0)， B(0,1)， 线段 AB 的方程是 x+y-1=0 吗？ 2．由到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方 程是 y50 吗？ 3．离原点距离为 2 的点的轨迹是什么？它的方 程是什么？为什么？
讲授新课
思考：从集合的角度来看：曲线 C 可以看成点 集 C， 方程 f(x,y)的解集可以看成集合 F， 若方 程 f(x,y)是曲线 C 的方程，则 C 与 F 有什么样 的关系？
讲授新课
注 意：
1 如果……，那么…… 2 “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念， 相对不同角度的两种说法． 4 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标 平面建立的．
讲授新课
提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什 么？写出它的方程．能否写成 y=|x|，为什么？
分析： 直线 y=x 上的点的坐标都是方程 y=x 的解；以方程 y=x 的解为坐标的点都在 y=x 直 线上。
讲授新课 1. 曲线与方程： Nhomakorabea讲授新课 1. 曲线与方程： 曲线与方程的关系： 一般地，在坐标平面内的一条曲线 C（看 作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二 元方程 F(x,y)=0 之间， 如果具有以下两个关系：
曲线是 是 .
，则A B表示的曲线
4、 画出方程( x y )( x 1 y 2 ) 0的曲线.
巩固练习
5、f ( x0 , y0 ) 0是点P ( x0 , y0 )在曲线f ( x , y ) 0
上的
A．充分不必要条件 C．充要条件
(
)
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
讲授新课
思考：从集合的角度来看：曲线 C 可以看成点 集 C， 方程 f(x,y)的解集可以看成集合 F， 若方 程 f(x,y)是曲线 C 的方程，则 C 与 F 有什么样 的关系？
F=C
例题讲解
例 1：点 P(1,a)在曲线 x +2xy-5y=0 上，则 a=_______________．
复习引入
1. 画出函数 y=2x2 (-1≤x≤2)的图象 C.
复习引入
1. 画出函数 y=2x2 (-1≤x≤2)的图象 C.
2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象 限的平分线 l，并写出其方程.
复习引入
1. 画出函数 y=2x2 (-1≤x≤2)的图象 C.
2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象 限的平分线 l，并写出其方程.
讲授新课 1. 曲线与方程： 曲线与方程的关系： 一般地，在坐标平面内的一条曲线 C（看 作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二 元方程 F(x,y)=0 之间， 如果具有以下两个关系：
① 曲线 C 上的点的坐标，都是方程 F(x,y)=0 的解； ② 以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点，都是曲 线 C 上的点，
2
B {( x , y ) | y 1 x 0}, 则A B表示的
2
曲线是 是 .
，则A B表示的曲线
巩固练习
3、 设集合A {( x , y ) | x 1 y 0},
2
B {( x , y ) | y 1 x 0}, 则A B表示的
2
巩固练习
5、f ( x0 , y0 ) 0是点P ( x0 , y0 )在曲线f ( x , y ) 0
上的
A．充分不必要条件 C．充要条件
(
)
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6、教材 P37 面练习 1、2 题
小 结
1、什么是曲线的方程、方程的曲线； 2、两个条件缺一不可
讲授新课 1. 曲线与方程： 曲线与方程的关系： 一般地，在坐标平面内的一条曲线 C（看 作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二 元方程 F(x,y)=0 之间， 如果具有以下两个关系：
① 曲线 C 上的点的坐标，都是方程 F(x,y)=0 的解； ② 以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点，都是曲 线 C 上的点， 那么，方程 F(x,y)=0 叫做这条曲线 C 的方程； 曲线 C 叫做这个方程 F(x,y)=0 的曲线．
巩固练习
1、以 O 为圆心，2 为半径，上半圆弧、下半 圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是 什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？
2、下列方程的曲线分别是什么？
x x2 loga x （1）y （2）y 2 （3）y a x x 2x
2
巩固练习
3、 设集合A {( x , y ) | x 1 y 0},
2 2
y
对于图中的曲线与对 应的方程应作怎样修改？
o
x
练习： 1． A(1,0)， B(0,1)， 线段 AB 的方程是 x+y-1=0 吗？ 2．由到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方 程是 y50 吗？
讲授新课
图中曲线与方程 x +y =1 有什么关系？
2 2
y
对于图中的曲线与对 应的方程应作怎样修改？
2 2
y
对于图中的曲线与对 应的方程应作怎样修改？
o
x
讲授新课
图中曲线与方程 x +y =1 有什么关系？
2 2
y
对于图中的曲线与对 应的方程应作怎样修改？
o
x
练习： 1． A(1,0)， B(0,1)， 线段 AB 的方程是 x+y-1=0 吗？
讲授新课
图中曲线与方程 x +y =1 有什么关系？
2
例题讲解
例 1：点 P(1,a)在曲线 x +2xy-5y=0 上，则 a=_______________．
例 2：求证：与两坐标轴的距离的积是常数 K （K>0）的点的轨迹方程是 xy=±1.
2
巩固练习
1、以 O 为圆心，2 为半径，上半圆弧、下半 圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是 什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？