复习下3(多元函数微分学)

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多元函数微分学知识点梳理

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。

它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。

本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。

1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。

多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。

在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。

多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。

2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。

偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。

全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。

全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。

3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。

类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。

对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。

4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。

多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。

多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。

多元函数微分法及其应用复习题(及答案)

第八章多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4．会求方向导数和梯度5．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．8.1多元函数的概念二、常考题型1.多元复合函数的定义域例1.函数224arctanyx xy z --=的定义域是_____________．2.求二元函数极限例2 求极限1）222200sin()lim x y x y x y →→++ 2）x y x xy 100)1(lim -→→； 3）22001sin lim y x xy y x +→→．、 4）22123lim x y xy x y x y→→++3.证明极限不存在例3 证明下列极限不存在（1） y x y x y x +-→→00lim （2）36200lim x y x yx y →→+4. 求偏导数及全微分例4 求下列函数的偏导数（1）44224z x y x y =+-；（2）u （3）22sin()x y z e xy +=；（4）ln tan x z y=；例5 求下列函数的全微分（1）z =；（2）(1)y z xy =+；（3）y zu x =；例6 求下列函数的偏导数1）设4422(,)4f x y x y x y =+-，求(0,1),(0,1)x y f f ． 2）(,)(f x y x y =+-(,1)x f x ．3）讨论函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点)0,0(处的可导性，连续性与可微性．例7 1）求)ln(xy y z x =的二阶偏导数。

2）证明函数u =满足方程：22220u ux y∂∂+=∂∂．例8设ln()z x xy =，求32zx y∂∂∂ 。

多元函数微分学

函数可导
函数可微偏导数连续
(五)复合函数求导法则
定理1 如果函数 uu(t) 及 v v(t) 都在 t 点可导,
函数 zf(u,v)在对应点( u , v ) 具有连续偏导数,则
复合函数 zf[u (t),v(t)]在点t 可导,且
dzzduzdv. dt udt vdt
求全导数 d z .
u
dt
zv
t
解 dzzduzdvzdw dt udt vdt wdt
w
vetu ( sin t) co sw
e tc o s t e ts i n t c o s t
测试点复合函数求导的链式法则.
例5 设 zz(x,y) 是由方程 xyzx2y2z22
(二)方向导数和梯度的公式
设函数 f(x, y,z)在点 P(x, y,z)可微, 方向 l 的
方向余弦为 c o s,c o s,c o s,则函数 f(x, y,z)
在点 P(x, y,z) 沿方向 l 的方向导数为
ffcosfcosfcos.
l x y
z
dz z dxzdy x y
所确定的隐函数.求 zz(x,y)在点 (1,0,1)的全微分.
解令F (x ,y ,z ) x y z x 2 y 2 z 22
Fx yz
x ,
x2 y2 z2
Fy xz
y x2 y2 z2
z Fz xy x2y2z2
二、偏导数的应用
(一)微分法在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面
空间曲线 :x ( t ) ,y ( t ) , z ( t ) .
其上一点 P0(x0,y0,z0)

华中科技大学微积分下复习笔记—多元函数微分学

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关多元函数微分学的复习笔记，包含三部分——反例总结（基于自己的做题经验）、基本公式（基于华中科技大学微积分课本）和题型汇总（基于华中科技大学微积分学习辅导），请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。

反例总结1.在（0,0）不连续，但fx和fy都存在且为0，所以用它可以组很多反例。

，在（0,0）。

满足以下命题：1）一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但f(x,y)在(x0,y0)不连续。

2）偏导数存在但原函数不连续。

3）偏导数存在但不可微。

4）偏导数存在，但除了沿坐标轴的正负方向，其余方向导数均不存在。

2.f(x,y)=|x+y|在（0,0）连续，但是偏导数不存在。

可以满足以下命题：1）原函数连续但偏导不存在。

2）沿任意方向的方向导数均存在，但偏导数不存在。

3.其他反例：1）f(x,y)在(x0,y0)连续，则一元函数f(x,y0)与f(x0,y)分别在x0与y0连续，但反过来不成立。

，在(0,0)点不成立。

2）可微推不出偏导数连续。

复杂式子比较记1.在f(x0,y0)连续f(x0,y0)- f(x0,y0)=02.偏导数f x(x0,y0)===3.验证在定点可微, - f(x0,y0)4.复合函数相关公式1）求导链式法则：全导数；比如z=(x,y),y=(x),2）微分的链规则：df(u1,u2 … u n)=…;比如z=f(u1(x,y),u2(x,y))，dz=z x dx+z y dy=z u1du1+z u2du25.方向导数和梯度1）方向导数a.几何意义：指的是函数在n方向上切线的斜率，即描述了在n方向上函数的增长速度。

b.条件：f在P。

点可微c.公式：其中，此事梯度指向函数值增长最快的方向，也指向法矢的方向。

d.定义公式：e.特殊地，梯度方向的方向导数是2）梯度a.几何意义：本质是一个向量，在这个方向上方向导数取最大，即梯度指向函数增长最快的方向，也即法矢。

高数下多元微分学复习

。
解：
z x
2xy
1 y2
，
2z xy
2x2
2 y3
。
7．已知 z ln ex ey ，求 z 和 2 z 。 x xy
解：
z x
ex ex ey
，
2z xy
exey ex ey
。
2
8．设 z exy yx2 ，则 zx 1,2 [ C ]。
(A) e 4 ； (B) e2 4 ；(C) 2e2 4 ；(D) 2e 4 。
9．已知
f
x,
y
cos x cos x
y y
，求
fy
,
4
。
解：
f
,
y
cos y cos y
1，故
fy
,
4
0。
10．已知 f x, y, z ex2 y2 z2 ，求 fyy 5,1, 0 。解： f 5, y,0 e25y2 ， f y 5, y,0 2 ye25 y2 ，
f yy 5, y, 0 2 4 y2 e25y2 ， fyy 5,1,0 6e26 。
11．试证函数 z y arcsin x 满足 x z y z 0 。
x
y
x y
解：
z x
y x2
arcsin
x y
y x
1 1
1 x y2 y
y x2
arcsin
x y
x
y； y2 x2
2 x2 y2 z2
x2 y2 z2
15．若 z f x, y 在点 x0, y0 处有连续一阶偏导数，
则 f x, y 在 x0, y0 处 [ B ]。
(A)不一定可微；

多元函数微分学知识点

多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。

在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。

本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。

多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。

在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。

而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。

偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。

对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。

它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。

偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。

第二个知识点是全微分。

全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。

全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。

全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。

例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。

最后一个知识点是梯度。

梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。

对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。

梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。

通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。

多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。

在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。

在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。

在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。

综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。

多元函数微分学总结

`第八章多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。

（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。

②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。

多元函数微分学复习题

多元函数微分学复习题多元函数微分学复习题一、偏导数与全微分在多元函数微分学中，偏导数与全微分是非常重要的概念。

偏导数用来描述一个函数在某一点上沿着某个坐标轴方向的变化率，而全微分则是描述函数在某一点上的变化率。

下面我们通过一些具体的例子来复习一下这两个概念。

例1：计算函数 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 在点 (1,2) 处的偏导数。

解：对于 f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 ，我们分别对 x 和 y 求偏导数。

对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，即有：∂f/∂x = 2x + 3y对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，即有：∂f/∂y = 3x + 2y所以，在点 (1,2) 处的偏导数分别为：∂f/∂x = 2(1) + 3(2) = 8∂f/∂y = 3(1) + 2(2) = 7例2：计算函数 f(x,y) = e^x + ln(y) 在点 (1,2) 处的全微分。

解：对于 f(x,y) = e^x + ln(y) ，我们需要先计算其偏导数。

对于 x 的偏导数，我们有：∂f/∂x = e^x对于 y 的偏导数，我们有：∂f/∂y = 1/y所以，在点 (1,2) 处的全微分为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy= e^x dx + (1/y) dy= e^1 dx + (1/2) dy= e dx + (1/2) dy二、梯度与方向导数梯度和方向导数是多元函数微分学中与偏导数和全微分密切相关的概念。

梯度描述了一个函数在某一点上的变化率最大的方向，而方向导数则描述了函数在某一点上沿着某个给定方向的变化率。

例3：计算函数 f(x,y) = x^2 + y^2 在点 (1,1) 处的梯度和方向导数，以及在方向(1,1) 上的方向导数。

解：对于函数 f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们先计算其梯度。

梯度的定义为：grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)= (2x, 2y)所以，在点 (1,1) 处的梯度为：grad(f) = (2(1), 2(1)) = (2, 2)接下来，我们计算函数在点 (1,1) 处沿着方向 (1,1) 的方向导数。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

考研数学三(多元函数微分学)-试卷2.doc

考研数学三（多元函数微分学）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.3.设 2.00）A.B.C.D.4. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.存在且不等于05.设u=f(r)，而f(r) 2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在．若用“P推出性质Q，则有 2.00）A.B.C.D.7.设函数u=u(x，y)满足u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x 2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2.00）A.B.C.D.8.利用变量代换u=x， 2.00）A.B.C.D.9.若函数f 2.00）A.x+yB.x－yC.x 2－y 2D.(x+y) 210.已知du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=－2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=－2，b=211.设u(x，y)在平面有界闭区域D 2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上12.设函数z=(1+e y )cosx－ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx +bzˊx = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=e z所确定，则 2.00）填空项1:__________________15.函数f(x，y，z)=－2x 2在条件x 2－y 2－2z 2 =2下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________16. 2.00）填空项1:__________________17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

空间解析几何及多元函数微分学期末复习

2、二元隐函数 F ( x, y, z) 0 z f ( x, y)
z Fx , z Fy x Fz y Fz
注：对“抽象函数”和“隐函数”会求“一阶”偏导数即可。
例. 设 x2 y2 z2 4z , 求 z . x
解：设 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z
数量积
坐标表达式： a b axbx ayby azbz
常用公式
(1) a a
a aa
(2)
ab 0
（3）两向量的夹角公式：cos(a,b)
ab
（4） Pr j b a b
a
a
向量积
定义表达式：a b
方向: a b a , a b b
z t 1
代入平面方程: 3(3t 3) (t 1) (t 1) 20 0
11t 11 0 t 1 x 33 6 y 11 2
z 11 0
点A在平面上的投影点:P(6, 2,0).
例、求点(2,3,1)到直线x 7 y 2 z 2的距离。 23
y)
2
y y2 4x D1x
解：定义域
lim f ( x, y) f ( 1 , 0 ) 2
x

1 2
y0
2
ln 34
2. 几个基本概念的关系书P76 :5 ; P129 :1
函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
沿任意方向 l 的方向导数存在
若 fxy ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。

多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。

xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。

)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

多元函数微分

多元函数微分在结束了一段旅途之后，我们重新回到了微积分的世界中。

但你我都知道，经历过线性代数世界的我们，有些事已经发生了改变。

在将微积分从一元推广向多元以前，先来重新复习一下导数与微分的概念。

导数与可微我们知道，对于一元函数，其在一点 x_0 处的导数定义为：f\prime(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}如果我们切换一下视角，实际上可以将这个式子看作：f(x)-f(x_0)\approx f\prime(x_0)(x-x_0)换句话说， x_0 处的导数 f\prime(x_0) 实际上起到的作用是使得在该点处附近的自变量差值与函数差值近似的形成一个倍乘关系。

如果我们将 f\prime(x_0) 记作一个确定数值，比如 k ，而后将 x_0 附近的自变量差值记作为新的自变量，比如\delta ，则我们可以将导数的这个近似函数写作：\Delta f(x)=g(\delta)\approx k\cdot \delta这个简单而熟悉的倍乘关系，一下子就能让你联想到我们在《线性代数-0.线性》一文中提到的线性性质之一——齐次性，即 f(kx)=kf(x)而，微分的定义，函数增量（差值）的线性主部，即将这个函数中的近似符号改为等号：df(x)=k\cdot \delta可以看到，当我们说函数在一点处可微，实际上就是将函数在一点处附近看作是线性的。

不过由于对于一元函数，其定义域与值域一般来说是实数域到实数域的映射，即标量到标量的映射，故一般只能体现出线性的齐次性。

但是，当我们从一元推广到二元后，定义域与值域的情况就有了新的变化。

对于二元函数 f(x,y) ，参照一元函数的导数定义进行推广，即在一点 (x_0,y_0) 处的函数差值与自变量差值的比值。

其中，函数差值的部分没有问题，即 f(x,y)-f(x_0,y_0) ，但自变量的差值就出现了变化，即该如何定义 (x,y)-(x_0,y_0) 的差值。

多元函数微分学-3 (4月14日)

主讲人：王秀玲
z z 定理2 定理 (充分条件) 若函数的偏导数 , x y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点续证：z = f (x + x, y + y) f (x, y)
= [ f (x + x, y + y) f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) f (x, y)]
证:令 F(x, y) = f (x0 + x, y0 + y) f (x0 + x, y0 ) 令
φ (x) = f (x, y0 + y) f (x, y0 ) ψ ( y) = f (x0 + x, y) f (x0, y)
则 F(x, y) =φ (x0 + x) φ (x0 )
= [ f x (x0 +θ1 x, y0 + y) f x (x0 +θ1 x, y0 ) ]x
主讲人：王秀玲
例1. 求函数 z = e z 解: = ex+2y x
x+2y
2 z x+2y =e 2 x 2 2 z z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 yx y 3 2 z z = ( ) = 2ex+2y yx2 x yx 2 z 2 z 注意:此处注意 = , 但这一结论并不总成立. xy yx
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
2 z z z z ( )= = f x y (x, y) ( ) = 2 = f xx (x, y); y x xy x x x z 2z z 2z ( )= = f yx (x, y); ( ) = 2 = f y y (x, y) x y yx y y y