三角形的三条中线交于一点
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为什么三角形的三条中线交于一点？（1.相似三角形法）（附图）（原创）
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE
证明：
如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD
∴MO/BD=NO/CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF
∴PO/BF=QO/AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE
∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE
∴MR/AE=PR/CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
下面的是第二种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE
证明：
如图，
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（绿）= S△AOB（红）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（绿）= S△BOC（蓝）
∴S△AOB（红）= S△BOC（蓝）
∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（红）= S△COE:S△BOC（蓝）
∵S△AOB（红）= S△BOC（蓝）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证。
下面的是第三种方法：中位线法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE
证明：
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证。