1.4全称量词与存在量词 1.4.3含有一个量词的命题的否定

1．4.3含有一个量词的命题的否定

整体设计

教材分析

本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

课时分配

1课时

教学目标

知识与技能

1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．

2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

情感、态度与价值观

在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．

重点难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学过程

引入新课

提出问题

回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？

活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．

活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．

设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知

提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；

(4)有些实数的绝对值是正数；

(5)某些平行四边形是菱形；

(6)x∈R，x2＋1＜0.

活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．

活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．

其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；

命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；

命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；

其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；

命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；

命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.

提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？

活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．

(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；

特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．

即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

理解新知

提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题

．．．

．．．及命题的

否定

．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？

活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．

活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；

命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．

设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．

运用新知

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：

(1)三角形内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口朝下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)

的形式，再进一步做出否定．

解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；

(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；

(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．

点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．

巩固练习

1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0

C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0

D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

2．已知命题p：∈R，sinx≤1，则()

A．p：x0∈R，sinx0≥1

B．p：x0∈R，sinx0≥1

C．p：x0∈R，sinx0>1

D．p：x∈R，sinx>1

答案：1.C 2.C

变练演编

1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．

2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．

思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．

答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤0

2．x∈R，x2－x＋3≤0

点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．

达标检测

1．“至多有三个”的否定为()

A．至少有三个B．至少有四个

C．有三个D．有四个

2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()

A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0

C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是0