【优选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题04 二次根式的运算(教师版)

专题04 二次根式的运算

≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质：

（1）

是非负数；

（2）（a ）2=a （a ≥0）；

（3）==a a 2

（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，

a （a ＞0） a -（a ＜0）

0 （a =0）；

即=

·（a≥0,b ≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即

=

（a ≥

0,b>0）。反之， ()

)

0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a

b a b a ab b a

4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。 7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

9．找有理化因式的方法：

（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：①

的有理化因式为

，②的有理

化因式为。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即

的有理化因式为

，的有理化因式为，的

有理化因式为

10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：

（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组

（3）合并同类二次根式

11．二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

（≥0，

≥0）。

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即

（≥0，

＞0）。

【例题1】（2019湖南常德）下列运算正确的是（ ） A ．

+

＝

B ．

＝3

C ．

＝﹣2

D ．

＝

【答案】D

【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

根据二次根式的加减法对A 进行判断；根据二次根式的性质对B 、C 进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D 进行判断．

A.原式＝+2，所以A 选项错误；

B.原式＝2

，所以B 选项错误；

C.原式＝2，所以C 选项错误；

D.原式＝

＝

，所以D 选项正确．

【例题2】（2019•山东威海）计算（﹣3）0

+

﹣（﹣）﹣1

的结果是（ ）

A ．1+

B ．1+2

C ．

D ．1+4

【答案】D

【解析】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解． 原式＝1+

＝1+

．

【例题3】（2019•山东省滨州市 ）计算：（﹣）﹣2

﹣|﹣2|+÷＝ ．

【答案】2+4

．

【解析】根据二次根式的混合计算解答即可． 原式＝，

故答案为：2+4

．

【例题4】（2019•广东）先化简，再求值：4

-x x -x 2-x 1-2-x x

2

2÷⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，其中x =2． 【答案】1+2.

【解析】原式=

x-1x-222x -x

x -4

÷ 专题典型题考法及解析

=x-1

x-2

×

()()

()

x2x-2

x x-1

+

=

x2

x

+

当x =2，原式=

22

2+

=222

2

+

=1+2.

一、选择题

1.（2019•四川省达州市）下列判断正确的是（）

A ．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0

C．＝ D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长

【答案】D．

【解析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．

A.2＜＜3，

∴＜＜1，本选项错误；

B.若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，本选项错误；

C.当a ≥0，b＞0时，＝，本选项错误；

D.3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确。

2.（2019•湖北省随州市）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：

==7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于-，设x=-，易知＞，故x＞0，由x2=（-）2=3++3--2=2，解得x=，即-=．根据以上方法，化简+-后的结果为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设x=-，且＞，

专题典型训练题