教育部参赛_一类无理函数值域的解法探究_于小莉

一类无理函数值域的解法探究
赵韵 指导老师 嵇伟民 （淮阴师范学院数学系 江苏淮安 160501092）
摘要：本文主要探索型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常
数) ，m n >0 的无理函数的值域的新解法，主要有构造三角函数法、构造圆的方法、构造对偶函数法、构造向量法，并由此探索出求此类无理函数值域的一般性结论。

关键词：无理函数 值域 三角函数 圆 对偶函数 向量 一般性结论
有这样一道例题：求的值域。

在一般情况下，求函数的值域，常
用的方法有观察法、图像法、判别式法等等，但对于求型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域，就有很多的限制和不妥。

对此，我们来探索其他的一些新的方法和手段。

一、几种解法
（1）构造三角函数法
型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数，其式
子可化为 ⎛
⎝
，这时，可利用三角函数代换，设=sin θ，
=cos θ，有y=m sin θ+n cos θ），θ∈0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，利用“合二为一”的思想，
y= )θϕ⎤+⎦，其中tan ϕ=n
m
，可简记为y=A sin ()θϕ+,其中
A=
0<θ+ϕ<π，所以，当θ=0时，y m in =A sin θ，当θ=
2
π
时，
y m ax =A sin()2
π
ϕ+
，即y m ax =A cos ϕ。

从而，型如其中r (x) + s (x)
= c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为y ∈[]sin ,cos A A ϕϕ，其中，A=tan ϕ=
n m。

（2）构造对偶函数法
对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理
函数，在满足其定义域[],x a b ∈的前提下，构造对偶函数 y '=,则有
2
'2
39y y
+=，判断其在定义域上的单调性，可知其在定义域上为单调递增函数，故可分
别得到其最大值和最小值为y m ax ，y m in 。

从而可知所求无理函数的值域为[]min max ,y y 。

（3）构造向量法
对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数，构造向量O A
=(),m n ，因为,m n 为定值，所以点A 为定点。

构造
OB =
，因为()()g x f x c +=，所以O B =
B 在以坐
标原点O 为圆心，半径为且位于第一象限的圆弧上。

因为
(),))(()O A O B m
x n s x
=
而cos cos O A O B O A O B AO B AO B =∠=
∠
，因此，当A O B ∠最小时，
y =A O B ∠最小时，y =取最小值。

（4）构造圆的方法
型如r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函
数，设a=b=则y ma nb =+,其中，a 和b 满足a 2+b 2=c (a ≥0,b ≥0) ，
在直角坐标系aO b 内，作圆弧C:2a +2
b =
c ( a ≥0,b ≥0)及直线 l :b =
m a n
-
y n
的图像。

通过作图可知，当直线经过点p （0y 取到最小值y m in ，当直线 l 与圆弧C 相
切时，y 取最大值y m ax 。

从而可得到型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为[]min max ,y y 。

二、运用
求本文开头提到的那道例题：求
（1）运用构造三角函数法
原式可化为y =
，设
=sin α，
=cos α，
α0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦。

所以(3s i n 4c o 56s i n ()y αααϕ=
++，其中4t a n 3
ϕ
=且
(0,)2
π
ϕ∈。

因为0αβπ<+<，所有当0α=时，4s i n 5
y ϕ==
=。

当
2
π
α=
时，35
y ϕ==
= 2
π
αϕ+=
时，有max y =，所
以y ∈。

（2）运用构造对偶函数法
易知函数定义域为[4,2]x ∈-,构造对偶函数z =22
150y z +=。

又z 在[4,2]-上为单调递增函数，所以z -≤≤，从而可得2
096z ≤≤，所以
2
54150y ≤≤，又因为0y ≥，所以y ≤≤y ∈。

（3）运用构造向量法
设向量(3,4)O A = ，O B =。

当点B 的坐标为(时，A O B ∠最大，
y=3；当点B 的坐标为(345
5
时，A O B ∠最小，
y=3y ∈。

（4）运用构造圆的方法
设a b =
=
，则34y a b =+，其中a ，b 满足2
2
6(0,0)a b a b +=≥≥。

在
直角坐标系aO b 内，作圆弧C: 226(0,0)a b a b +=≥≥及直线34
4
b b a =-
+。

当直线l 经
过点P
时，min y =l 与圆弧C 相切时，y
=
知，max y =
y ∈。

三、一般性结论
在运用构造圆的方法的基础上，可以得到求型如
r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数值域的一般性结论。

设
y ma nb =+，其中a ，b 满足22(,)a b c a p b q +=≥≤。

在直角坐标系aO b 中，作圆弧：()2
2
,a b c a p b q +=≥≥及直线1:m l a y n
n
-
+
的图像。

当直
线l 经过点(),F
p q 时，m i n y m p n q =
+；当直线l 与圆弧C 相切时，y
取最大值，由
=
知
max y =
mp nq y +≤≤。

有此可得到
y=m
r (x) + s (x) = c (c 为常数)
，m n >0的无理函数值域为
m p nq ⎡+⎣。

毕业生简介：赵韵，女，江苏靖江人，淮阴师范学院05级数学系学生.
参考文献：
[1]陈德明 利用三角函数求一类无理函数的值域 [2]郭兴甫 构造对偶函数求一类无理函数的值域。