教育部参赛_一类无理函数值域的解法探究_于小莉

一类无理函数值域的解法探究

赵韵 指导老师 嵇伟民 （淮阴师范学院数学系 江苏淮安 160501092）

摘要：本文主要探索型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常

数) ，m n >0 的无理函数的值域的新解法，主要有构造三角函数法、构造圆的方法、构造对偶函数法、构造向量法，并由此探索出求此类无理函数值域的一般性结论。

关键词：无理函数 值域 三角函数 圆 对偶函数 向量 一般性结论

有这样一道例题：求的值域。在一般情况下，求函数的值域，常

用的方法有观察法、图像法、判别式法等等，但对于求型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域，就有很多的限制和不妥。对此，我们来探索其他的一些新的方法和手段。

一、几种解法

（1）构造三角函数法

型如其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数，其式

子可化为 ⎛

⎝

，这时，可利用三角函数代换，设=sin θ，

=cos θ，有y=m sin θ+n cos θ），θ∈0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，利用“合二为一”的思想，

y= )θϕ⎤+⎦，其中tan ϕ=n

m

，可简记为y=A sin ()θϕ+,其中

A=

0<θ+ϕ<π，所以，当θ=0时，y m in =A sin θ，当θ=

2

π

时，

y m ax =A sin()2

π

ϕ+

，即y m ax =A cos ϕ。从而，型如其中r (x) + s (x)

= c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为y ∈[]sin ,cos A A ϕϕ，其中，A=tan ϕ=

n m

。

（2）构造对偶函数法

对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理

函数，在满足其定义域[],x a b ∈的前提下，构造对偶函数 y '=,则有

2

'2

39y y

+=，判断其在定义域上的单调性，可知其在定义域上为单调递增函数，故可分

别得到其最大值和最小值为y m ax ，y m in 。从而可知所求无理函数的值域为[]min max ,y y 。

（3）构造向量法

对于型如y=m r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数，构造向量O A

=(),m n ，因为,m n 为定值，所以点A 为定点。构造

OB =

，因为()()g x f x c +=，所以O B =

B 在以坐

标原点O 为圆心，半径为且位于第一象限的圆弧上。因为

(),))(()O A O B m

x n s x

=

而cos cos O A O B O A O B AO B AO B =∠=

∠

，因此，当A O B ∠最小时，

y =A O B ∠最小时，y =取最小值。

（4）构造圆的方法

型如r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函

数，设a=b=则y ma nb =+,其中，a 和b 满足a 2+b 2=c (a ≥0,b ≥0) ，

在直角坐标系aO b 内，作圆弧C:2a +2

b =

c ( a ≥0,b ≥0)及直线 l :b =

m a n

-

y n

的图像。

通过作图可知，当直线经过点p （0y 取到最小值y m in ，当直线 l 与圆弧C 相

切时，y 取最大值y m ax 。从而可得到型如，其中r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0 的无理函数的值域为[]min max ,y y 。

二、运用

求本文开头提到的那道例题：求

（1）运用构造三角函数法

原式可化为y =

，设

=sin α，

=cos α，

α0,2π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

。所以(3s i n 4c o 56s i n ()y αααϕ=

++，其中4t a n 3

ϕ

=且

(0,)2

π

ϕ∈。因为0αβπ<+<，所有当0α=时，4s i n 5

y ϕ==

=。当

2

π

α=

时，35

y ϕ==

= 2

π

αϕ+=

时，有max y =，所

以y ∈。

（2）运用构造对偶函数法

易知函数定义域为[4,2]x ∈-,构造对偶函数z =22

150y z +=。

又z 在[4,2]-上为单调递增函数，所以z -≤≤，从而可得2

096z ≤≤，所以

2

54150y ≤≤，又因为0y ≥，所以y ≤≤y ∈。

（3）运用构造向量法

设向量(3,4)O A = ，O B =

。当点B 的坐标为(时，A O B ∠最大，

y=3；当点B 的坐标为(345

5

时，A O B ∠最小，

y=3y ∈。

（4）运用构造圆的方法

设a b =

=

，则34y a b =+，其中a ，b 满足2

2

6(0,0)a b a b +=≥≥。在

直角坐标系aO b 内，作圆弧C: 226(0,0)a b a b +=≥≥及直线34

4

b b a =-

+

。当直线l 经

过点P

时，min y =l 与圆弧C 相切时，y

=

知，max y =

y ∈。

三、一般性结论

在运用构造圆的方法的基础上，可以得到求型如

r (x) + s (x) = c (c 为常数) ，m n >0的无理函数值域的一般性结论。

设

y ma nb =+，其中a ，b 满足22(,)a b c a p b q +=≥≤。在直角坐标系aO b 中，作圆弧：()2

2

,a b c a p b q +=≥≥及直线1:m l a y n

n

-

+

的图像。当直

线l 经过点(),F

p q 时，m i n y m p n q =

+；当直线l 与圆弧C 相切时，y

取最大值，由

=

知

max y =

mp nq y +≤≤

。有此可得到

y=m

r (x) + s (x) = c (c 为常数)

，m n >0的无理函数值域为

m p nq ⎡+⎣。

毕业生简介：赵韵，女，江苏靖江人，淮阴师范学院05级数学系学生.

参考文献：

[1]陈德明 利用三角函数求一类无理函数的值域 [2]郭兴甫 构造对偶函数求一类无理函数的值域