1.3.1函数的单调性与导数(1)

引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：任取x1<x2∈R，
取值 作差 变形
f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么y=f(x)单调递减。 定号、下结论 当2<x1<x2时，x1+x2－4>0，f(x1)<f(x2)， 那么y=f(x)单调递增。 下结论
作业:课本第31页A组第1题
函数f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1 单调递增；
函数f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1 单调递减. 函数f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1的单调递增区间为：
1 17 17 1 （ ， ）和（ ， ）， 2 2 单调递增区间为： 1 17 ， 17 1） （ . 2 2
3
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1. 2 (5) f ( x) 2 x - ln x
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(3) f ( x) sin x x, x (0, ); 解： f ( x) sin x x, x (0, ),
1 17 17 1 当f ( x) 0,即 2 x 2 时，
'
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(5) f ( x) 2 x - ln x
2
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x ) 的定义域 D
(2)求导数 f ( x ).
f ' ( x ) 0 得f(x)的单调递增区间; (3)解不等式组 x D
这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 综上，函数 f(x)图象的大致形状如图所示. y
y=f(x)
临界点
O 1 4 x
练习： x) f ( x) 1. 设 f '(是函数 的导函数，
y o
y的图象如 f '( x )
)
f ( x) 右图所示,则 y 的图象最有可能的是(
y f ( x)
1.3.1 函数的单调性与导数（1）
一、复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如 果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间 上是增函数.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是 减函数 .
f ' ( x) 0 解不等式组 得f(x)的单调递减区间. x D
四、练习:判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) (2) (3) f(x)=ex-x f(x)=3x-x3 f(x)=x+lnx
五、小结
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x ) 的定义域 D
' 2
y
y = x3
O
y
x 在(0,)递增
x (0,) y ' 2x 0
O
x
1 1 y - 20 y x x
'
函数在(-,0) 及(0， )递增
O
x
函数在(-,0) 及(0， )递减
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0
. . . . . ..
2
x
总结:该函数在区间 （－∞，2）上切线 斜率小于0,即其导 数为负,函数在区间 （－∞，2）上单调 递减;在区间（2， +∞）切线斜率大于 0,即其导数为正,函 数在区间（2，+∞） 上单调递增.而当 x=2时其切线斜率为 0,即导数为0.函数 在该点单调性发生 改变.
f ( x) cosx -1 0, f ( x) sin x x, 在(0, )内 单调递减.
'
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
17 1 1 17 或x 时， 当f ( x) 0,即 x 2 2
'
(4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1. 3 2 解： f ( x) 2 x 3x 24 x 1. 2 ' f ( x) 6 x 6 x 24,
1 2
x o y x
y
y f ( x)
1 2 x
C y
y f '( x )
2 x
(A)
y
(B)
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o
y f ( x)
2
y f ( x)
x
o 1
(C)
o 1 2
(D)
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(2) f ( x) x 2 x 3;
2
(1) f ( x) x 3x;
(2)求导数 f ( x ). f ' ( x ) 0 (3)解不等式组 得f(x)的单调递增区间; x D f ' ( x) 0 解不等式组 x D 得f(x)的单调递减区间. 说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区 间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的 定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围 时,要与定义域求两者的交集.
由上我们可得以下的结论:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数, f 那么函数y=f(x)在这个区间 如果在 这个区间内 >0,(x ) f (x) 内 的增函数; 如果在这个区间内 <0,那么函数 y=f(x)在这个区间内的减函数.
y
y=f(x) f '(x)>0 b
y
y=f(x)
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象： y
0
2
递减区间：(－∞，２). 递增区间：（２，+∞）.
x
那么如何求出下列函数的单调区间呢?
(1) (2) (3)
f(x)=ex-x 3 f(x)=3x-x f(x)=x+lnx
二、新课讲解：
课本P23（思考）观察下面一些函数的图象，探讨函数
的单调性与其导函数正负的关系. y y' 1 0 y
函数在R上 单调递增
y =x x
y ' 2x x (-,0) ' 2 y 2x 0 y=x
函数在(-,0)递减
O
y 3x x (-,0)， x (0,) y' 0
例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息： 当1<x<4时，f '( x) >0;当x>4,或x<1时，f '( x) <0; 当x=4,或x=1时， f '( x) =0.试画出函数f(x)图象的大致形状。
f '( 解： 当1<x<4时， x) >0， 可知f(x)在此区间内单调递增； '( x) 当x>4, 或x<1时, f <0， 可知f(x)在这两个区间内单调递减； x) 当x=4, 或x=1时, f '(=0，
f '(x)<0
o a
x
o a
b
x
注意:如果在某个区间内恒有 f (x) =0,
则 f (x) 为常数函数.
三、例题讲解：
例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息： f 当1<x<4时，'( x) >0; f 当x>4,或x<1时，'( x) <0; f 当x=4,或x=1时， '( x) =0.试画出函数f(x)图象 的大致形状。