高中数学第一章_集合与常用逻辑用语

第一章⎪
⎪⎪
集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：
集合 自然数集
正整数集 整数集 有理数集
实数集 符号
N
N *或N ＋
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言 记法
基本关系
子集
集合A 的元素都是集合B 的
元素
x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A
真子集
集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不
属于A
A ⊆
B ，且存在x 0∈B ，x 0∉A A B 或B A
相等 集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集
任意的x ，x ∉∅，∅⊆A
∅
3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言
符号语言 图形语言 记法
交集
属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合
{x |x ∈A ，且x ∈B }
A ∩B
并集
属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合
{x |x ∈A ，或x ∈B }
A ∪B
补集
全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ，且x ∉A }
∁U A
素组成的集合
4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；
(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；
(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]
1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：D
2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：5
3．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1}，N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪
⎪
y ＝1
x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)
D ．[－e ，e]
解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B. 2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．
解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，
如图所示，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥2，m ≥－3，m ≤3，
所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．
答案：{m |m ≤3}
3．已知集合A ＝{0, x ＋1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.
若x ＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x ＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x ＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5
考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；
②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，6
4，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－1
2＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.
2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B 由已知得a ≠0，则b
a ＝0，所以
b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.
3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98
C ．0
D ．0或9
8
解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝2
3
，符合题意．
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝9
8，
所以a 的值为0或9
8
.
4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．
解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：
观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个
D ．2个
解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1
B ．2或－1
C ．－2或1或0
D ．－1
2
或1或0
解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－1
2；当x ＝1时，
a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30
D ．29
解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．
当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .
∴0＜m ≤1.
综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]
考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有： (1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：集合的运算
1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}
D ．{－1,0,1,2}
解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，
B＝{－2,0,1,2}，
∴A∩B＝{0,1}．故选A.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：选B∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，
∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．
则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
角度二：利用集合运算求参数
3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为()
A．1 B．2
C．1
2D．
3
2
解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.
角度三：新定义集合问题
4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对”一共有()个()
A．5个B．6个
C．7个D．8个
解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
[演练冲关]
1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁R A)∩B＝() A．{1,4} B．{4,5}
C．{1,4,5} D．{2,3}
解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．
法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.
2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为() A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.
3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B 的子集个数最多为()
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，
x＞0}，则A B为()
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A B ＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，则M∪N＝() A．[0,1)B．(－1,2)
C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2}，又N＝{x|－1＜x＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.
法二：取x＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取x＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.
2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝()
A．[－1,2) B．(－2,2)
C．(－2,3] D．[－1,3]
解析：选A由|x|＜2，可得－2＜x＜2，所以P＝{x|－2＜x＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．
3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞0}，则()
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q
解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.
4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．
解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.
答案：4
5．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：
因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，如图所示，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·杭州七校联考)已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合A∩B中的元素个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，A∩B＝{－2,2}，故选B.
2．(2019·浙江六校联考)已知集合U＝{x|y＝3
x}，A＝{x|y＝log9x}，B＝{y|y＝－2x}则A∩(∁U B)＝()
A．∅B．R
C．{x|x＞0} D．{0}
解析：选C由题意得，U＝R，A＝{x|x＞0}，因为y＝－2x＜0，所以B＝{y|y＜0}，所以∁U B＝{x|x≥0}，故A∩(∁U B)＝{x|x＞0}．故选C.
3．(2019·永康模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则()
A．M⊆N B．N⊆M
C．M∪N＝R D．M∩N＝∅
解析：选C由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.
4．(2019·宁波六校联考)已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选B∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a ＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.
5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
y ＝lg
2－x
x ，N ＝{x |x ＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)
D ．(0，＋∞)
解析：选C 集合M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
y ＝lg
2－x
x ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞，2)．故选C.
6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________.
解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}
7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.
解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．
答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}
8．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；
(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使
z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝9
2
.
答案：(1)[2，＋∞) (2)9
2
9．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
1－x x ＋2＞0. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
1－x x ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．
当A ＝∅时，m ＝4
3，不符合题意．
当A ≠∅时，m ≠4
3
.
①当－2m ＜m －4，即m ＞4
3
时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，
又因为B ⊆A ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧ m ＞43
，
－2m ≤－2，
m －4≥1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞43
，
m ≥1，m ≥5，
所以m ≥5.
②当－2m ＞m －4，即m ＜4
3
时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，
又因为B ⊆A ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＜43
，
－2m ≥1，
m －4≤－2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜4
3
，m ≤－12
，m ≤2，
所以m ≤－1
2
.
综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－1
2∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时，m ＝4
3，符合题意．
当A ≠∅时，m ≠4
3
.
①当－2m ＜m －4，即m ＞4
3时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，
又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2， 即m ≤－12或者m ≤2，所以4
3
＜m ≤2.
②当－2m ＞m －4，即m ＜4
3时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，
又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2， 即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜4
3.
综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b 2＝1，
c 2＝b 时，b ＋c ＋
d 等于( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．i
解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.
2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≥－9
4，x ∈R ，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )
A.⎝⎛⎭⎫－94，0
B.⎣⎡⎭
⎫－9
4，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎤－∞，－9
4∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝
⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.
3．已知函数f (x )＝x －3－1
7－x
的定义域为集合A ，且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}，C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．
(1)求：A 和(∁R A )∩B ；
(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－
1
7－x
， 应满足x －3≥0，且7－x ＞0，解得3≤x ＜7， 则A ＝{x |3≤x ＜7}， 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，
而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．
(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ， 则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类
真命题、假命题
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件
p 是q 的必要不充分条件
p ⇒/ q 且q ⇒p
B 是A 的真子集
p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/p
A ，
B 互不包含
[小题体验]
1．下列命题是真命题的是( )
A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数
B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题
C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件
D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题 答案：B
2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π
6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，
如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π
3
.故选D.
3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．
[小题纠偏]
1．(2019·杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.
解析：原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B都是锐角．
否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，
则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()
A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2
解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.
2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()
A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，
显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
[谨记通法]
1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．命题真假的2种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1．(2019·杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋1
4＞0(x∈R)”的()
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A若x2＋ax＋1
4＞0(x∈R)，则a
2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋
1
4＞0(x
∈R)”的必要不充分条件．故选A.
2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.
法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.
[由题悟法]
充要条件的3种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这
个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．
[即时应用]
1．设a ＞0，b ＞0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＋1＞0，故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2，即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.
显然，若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1，则必有a 2＋b 2≥1，反之则不成立，所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件，即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．
2．(2019·浙江期初联考)若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2
D ．b ＜－4
解析：选D 对选项A ，若a ＝b ＝2，则|a |＋|b |＝2＋2≥4，不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.
3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．
考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
若不等式x －m ＋1x －2m
＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．
解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜1
2，所以B ⊆A .
①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．
由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪
⎧ m －1≤1
3，2m ≥12
，m ＞－1，
解得14≤m ≤4
3
；
②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}． 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧
2m ≤1
3
，m －1≥12
，m ＜－1，
此时m 无解．
综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤
14，43. 答案：⎣⎡⎦⎤14，43
[由题悟法]
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点
(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[即时应用]
1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，1]
C ．[－3，＋∞)
D ．(－∞，－3]
解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.
2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．
解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.
因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.
答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝1
2或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.
故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．
2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1
b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1
b ，故充分性成立；
当1a ＞1
b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．
4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，
当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.
5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)
D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A ．a ≥4
B ．a ≤4
C ．a ≥3
D ．a ≤3
解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.
3．有下列命题：
①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④
D ．①④
解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，
∴应有⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1.
∴③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π
4”是“k ≤1”
的充分不必要条件，故选A.
5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1
D ．a ＞1
解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．
6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．
解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0，结论成立．
若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：
①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；
③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确． 答案：②③
8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜1
3
”的________条件．
解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜1
3，则有sin(α＋β)＜
13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜1
3，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜1
3
”的充分不必要条件．
答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足
m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程
x 2m －1＋y 2
2－m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
解析：由
a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得
3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 2
2－m
＝1
表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜3
2.因为p 是q 的充分不必
要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤3
8，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤
13，38
10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪⎪
y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：y ＝x 2－32
x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋7
16，
∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴
7
16
≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪
716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤
7
16
， 解得m ≥34或m ≤－3
4
，
故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫3
4，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ，q ：3
x ＋1
＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
解析：选B 由3x ＋1＜1得，3
x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q
的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.
2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．
①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．
解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．
答案：①②③⑤
3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪
⎪⎭
⎬⎫x －2
x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .
(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}， 所以x 的取值范围为(2,12]．
(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞1
3
时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，
应满足条件⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得1
3＜a ≤3－52；
当3a ＋1＝2，即a ＝1
3时，A ＝∅，不符合题意；
当3a ＋1＜2，即a ＜1
3
时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，
应满足条件⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜1
3；
综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤13，3－52.
命题点一 集合及其运算
1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．
2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |0＜x ＜2}
解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．
3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)
D ．(1,2)
解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5
D ．4
解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1
命题点二 充要条件
1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：选A
∵f (x )＝x 2＋bx ＝
⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 2
4，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 2
4
，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝
⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 2
4，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 2
4，当－b 2≥－b 2
4时，f (f (x ))可以取到最小值－b 2
4，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.
2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4
＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.
3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0， 所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.
故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．
4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜1
2”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜1
2，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜1
2”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥1
2， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜1
2
”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜1
2
”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜1
2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π
6
， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π
12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜1
2
”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜1
2
”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，
所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .
由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，
所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 命题点三 四种命题及其关系
1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．
2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求． 当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b .
答案：1，－1(答案不唯一)
3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．
解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题． 由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。