分式方程转化为一元二次方程

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可化为一元二次方程的分式方程

可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。

以下是一个关于分式方程的完整解释。

分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。

一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。

将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。

要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。

这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。

步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。

这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。

步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。

这可以通过因子分解来完成。

步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。

这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。

为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。

步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。

例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。

步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。

人教版数学九年级上学期课时练习-可化为一元二次方程的分式方程专题(人教版)

专题21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题（专项练习）一、解答题1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？（1）231x =+ （2）131x x =-（3）22x x+（4）2211x x x =--2．解方程：2311x x x =+-．3．解方程：（1）241142x x =--- （2）11222x x x-+=--4．解方程： (1)3222xx x=---； (2)4x 2－8x +1＝0．5．解方程（1）21133x xx x =-++ （2）2227361x x x x x x +=+--6．解方程： (1)2430x x --= (2)213111x x x +-=--．7．解方程：(1)x 2+6x ＝﹣1（配方法） (2)263111x x -=--8．解方程：（1）2420x x --=；（2）53212x x =+-．9．解方程：(1)解方程：x 2－6x ＋9＝（2x －1）2(2)化简：2122(1)x x x --÷．10．解方程（组）：(1)28124x x x -=--(2)11232(3)3(2)x xx x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩11．解方程：(1)()()2240x x +-+=；(2)214123x x+=+．12．（1）计算：101|1()(2021)2π--+---（2）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩；（3）解方程：322112x x x=---；（4）解方程：x 2﹣4x +4＝3x ﹣6．13．解分式方程：224124xx x -=-+-14．解方程：2412x x x x--=-．15．解分式方程：252112x x x +-＝3．16．解方程214124x x +=-+-．17．解方程： (1)2x －6x －4＝0 (2)x －12x -＝+23x +118．解方程： (1)13012x x+=++(2)22440x x +-=19．解方程： (1)2340x x +-=(2)2269(52)x x x -+=-(3)(1)(3)12x x -+= (4)221111x x +=--20．解分式方程21211x x x -=++21．解方程(组)：(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩(2)213111x x x --=+-；(3)x (x －7)＝8(7－x ).22．解方程： (1)2230x x --=； (2)21124x x x -=--．23．解方程：22321=011x x x x x --+--.24．解方程：1y =25．解方程：2231224x xx --=--．26．解方程(1)21111x x x +=-- (2)x 2＋4x －1＝027．解方程：（1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．28．解方程：（1）24142x xx x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+29．解方程：（1）（x ﹣1）（x +3）＝2x +4；（2）2311x x x x-+--＝0．30．解方程：（1）31144x x x-+=--；（2）x 2﹣4x +2＝0；（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）．31．解方程：（1）2(5)360x --=；（2）230x x +-=．（3）214111x x x +-=---．32．（1）化简：a b a b b a +-- （2）解方程：261393x x x x -=+--33．计算题（1）分解因式：x 3﹣2x 2y +xy 2；（2）解不等式组：()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜；（3）解方程：2411x x x =+--1；（4）解方程：x （2x +1）＝8x ﹣3．参考答案1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．解：（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x +3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =-是分式方程，去分母可转化为3x =x -1，不是一元二次方程，（3）22x x+是分式，不是分式方程，（4）2211x x x =--是分式方程，去分母可转化为x 2+x =2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．x 1=-12，x 2=3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x (x -1)=3(x +1)，整理得：2x 2-5x -3=0，即(2x +1)(x -3)=0，解得：x 1=-12，x 2=3，检验：把x 1=-12，x 2=3代入得：（x +1）（x -1）≠0，∴x 1=-12，x 2=3都是方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（1）1x =-；（2）无解【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．解：（1）去分母，得()()()4222x x x =+-+-，整理，得220x x --=，解得11x =-，22x =，经检验，11x =-是原方程的根，22x =是增根，故原方程的根为1x =-．（2）去分母，得()1221x x +-=-，去括号，得1241x x +-=-，移项，合并同类项，得2x =，检验：把2x =代入20x -=，所以此方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注意：分式方程要检验．4．(1)73x =(2)x x ==【分析】（1）去分母，合并同类项，即可解出；（2）先配方，再求解(1)解：去分母得，32(2)()x x =---去括号得，334x =- 73x =(2)解：原方程变为，()22810x x -+=()222284410x x -+-+=()22415x -=x =x =x =【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键． 5．（1）34x =；（2）37x = 【分析】（1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．（2）两边同乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．解：（1）21133x xx x =-++，()()312131x xx x x +-=++ ， ()()()3163131x x xx x +-=++ ，两边同时乘以()31x +得： 633x x x =+- ， 43x = ， 34x =，经检验34x =是原方程的根．（2）2227361x x x x x x +=+--， ()()()()73611+11x x x x x x x +=+-- ，两边同乘以(1)(1)x x x -+得：()()()()()()()()71316111111x x x xx x x x x x x x x -++=+-+-+- ，7(1)3(1)6x x x x -++=， 277336x x x x -++= ， 271030x x -+= ，()()1730x x --= ，10x -=或730x -=，解得：1231,7x x ==， ∴220,10x x x -≠-≠ ， ∴1x ≠ ， ∴37x =，经检验37x =是原方程的根．【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．6．(1)1x =22x =x ＝12【分析】（1）首先把常数项夫－3移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4的一半的平方，配方完成后，开方求解即可求得答案；（2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．(1)解：2430x x --=243x x -=24434x x -+=+2(2)7x -=∴2x -=∴1x =22x =(2)解：213111x x x +-=-- 方程两边同乘以（x +1）（x ﹣1）得：（x +1）2﹣3＝（x +1）（x ﹣1），整理得：x 2+2x +1﹣3＝x 2﹣1，解得：x ＝12 ，检验，当x ＝12时，（x +1）（x ﹣1）＝（12+1）（12﹣1）≠0，∴x ＝12是原方程的解．【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程与分式方程的求解方法．解题的关键是注意配方法的步骤与分式方程需检验．7．(1)x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣(2)x ＝﹣4【分析】（1）利用配方法求出解即可；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．(1)解：配方得：x 2+6x +9＝8，即（x +3）2＝8，开方得：x +3＝，所以x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣； (2)263111x x -=-- 解：方程两边都乘（x +1）（x -1），得6-（x +1）（x -1）=3（x +1），解得：x =-4或x =1，检验：当x =1时，（x +1）（x -1）=0，所以x =1是原方程的增根，当x =-4时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-4是原方程的解，即原方程的解是x =-4．【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．8．（1）12x =，22x =；（2）13x =-【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．解：（1）2420x x --=，24424x x -+=+，2(26)x -=，2x -=∴12x =，22x =；（2）解：53212x x =+-，去分母，得 ()()52321x x -=+，去括号，得 51063x x -=+，移项、合并同类项并系数化为1，得 13x =-，经检验，13x =-是该方程的解．【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．9．(1)143x =，22x =-(2)2x 【分析】（1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运算即可．(1)x 2－6x ＋9＝（2x －1）2解：方程可变为：()()22321x x -=-，移项得：()()223210x x ---=，因式分解得：()()3420x x ---=，∴340x -=或20x --=，解得：143x =，22x =-． (2)2122(1)x x x --÷ ()2211x x x x x -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ ()2121x x x x -=⋅- 2x =．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．10．(1)1x =-(2)30x -<<【分析】（1）方程两边同时乘以()()22x x +-，然后解整式方程即可，（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：(1)28124x x x -=-- 2248x x +-+=220x x -+=()()210x x -+=解得122,1x x ==-经检验，1x =-是原方程的根，2x =是原方程的增根∴方程的解为1x =- (2)11232(3)3(2)x x x x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩①②解不等式∴得：3x >-解不等式∴得：0x <∴不等式的解集为：30x -<<【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．11．(1)10x =，23x =-(2)113x =-，23x = 【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（ 2）整理后求出24b ac -的值，再代入公式求出答案即可．解：(1)()()2240x x +-+=，24440x x x ++--=，230x x +=，(3)0x x +=， 0x =或30x +=，解得：10x =，23x =-； (2)214123x x +=+， 23386x x +=+，23830x x --=，这里3a =，8b =-，3c =-，()()22484331000b ac -=--⨯⨯-=>，x ∴==解得：113x =-，23x =．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．12．（1）4- ；（2）1x ≤；（3）13x =- ；（4）122,5x x == 【分析】（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解；（2）先分别求出两个不等式，即可求解；（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．解：（1）101|1()(2021)2π--+---121=----4=- ；（2）3(2)41213①②--≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩x x x x 解不等式∴，得：1x ≤ ，解不等式∴，得：4x < ，所以不等式组的解集为1x ≤；（3）322112x x x=--- 两边同时乘以21x - ，得：()2213x x =-+ ，解得：13x =- ，检验：当13x =-时，152121033x ⎛⎫-=⨯--=-≠ ⎪⎝⎭ ，所以原方程的解为13x =-；（4）x 2﹣4x +4＝3x ﹣6整理得：27100x x -+= ，所以()()250x x --= ，解得：122,5x x == ．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点拨】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．14．x ＝4或x ＝1．【分析】设y ＝2x x -，方程变形为：y ﹣2y ＝1，将分式方程转化为整式方程，再解方程，注意结果要进行检验．解：2412x x x x--=-，整理，可得()2212x x x x --=- 设y ＝2x x -，方程变形为：y ﹣2y＝1，去分母得：y 2﹣y ﹣2＝0，即（y ﹣2）（y +1）＝0，解得：y ＝2或y ＝﹣1， ∴2x x -＝2或2x x -=-1，解得：x ＝4或x ＝1，经检验x ＝4或x ＝1都为分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝4或x ＝1．【点拨】本题考查解分式方程，因式分解法解一元二次方程，应用换元法解方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，特别注意：分式方程结果要进行检验．15．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 16．1x =【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可．解：214124x x +=-+-，去分母，得x -2+4=-x 2+4，移项，合并同类项，得x 2+x -2=0，即(x +2)(x -1)=0，则x 1=-2，x 2=1．经检验，2x =-是原分式方程的增根，1x =是分式方程的解，所以1x =．【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验．17．(1)13x =23x =x =7【分析】（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解．解：(1)∴2(6)41(4)52∆=--⨯⨯-=∴3x =即13x =23x =解：(2)去分母得：63(1)2(2)6x x x --=++去括号得：633246x x x -+=++移项得：632463x x x --=+-合并同类项得：x =7【点拨】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据方程的特点灵活选取解方程的方法．18．(1)54x =-(2)11x ，21x = 【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验；（2）原方程化简后，使用配方法解一元二次方程．解：(1)13012x x+=++ 方程两边都乘以()()12x x ++，得()2310x x +++= 解得54x =-．检验：当54x =-时，()()120x x ++≠ 所以54x =-是原分式方程的解解：(2)22440x x +-=整理，可得：2220x x +-=222x x +=x 2+2x +1=2+1，()213x +=1x +=11x =，21x =【点拨】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．19．(1)1241x x =-=，(2)12823x x ==，(3)1253x x =-=，(4)12x x ==【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解即可；（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．(1)解：2340x x +-=(4)(1)0x x +-=∴1241x x =-=，；(2)解：2269(52)x x x -+=-整理，得：22(3)(52)x x -=-∴352x x -=-或3(52)x x -=-- ∴12823x x ==，； (3)解：(1)(3)12x x -+=整理，得：22150x x +-=(5)(3)0x x +-=∴1253x x =-=，；(4)解：221111x x +=-- 方程两边同时乘21x -，得：22(1)1x x ++=-，整理，得：240x x --=∴12x x ==经检验12x x =是原分式方程的根，∴原方程的解为12x x ==．【点拨】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程的步骤和方法是解题关键．20．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．解：21211x x x -=++ 化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1≠0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．21．(1)11x y =-⎧⎨=⎩(2)x ＝－12(3)x 1＝7，x 2＝－8 【分析】（1）根据代入消元法，可得方程组的解；（2）根据等式的性质，化为整式方程，根据解整式方程，可得答案；（3）先移项，再提公因式，再求解即可．(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩①②解：由∴，得y ＝3x ＋4∴将∴代入∴，得x －2(3x ＋4)＝－3，解得x ＝－1，将x ＝－1代入∴，解得y ＝1.所以原方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩； (2)213111x x x --=+-；解：方程两边都乘(x ＋1)(x －1)，得(x －1)2－3＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝－12.经检验，x ＝－12是原方程的解．(3)x (x －7)＝8(7－x ).解：原方程可变形为x (x －7)＋8(x －7)＝0，(x －7)(x ＋8)＝0.x －7＝0，或x ＋8＝0.∴x 1＝7，x 2＝－8.【点拨】本题考查了解二元一次方程组、分式方程及一元二次方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．22．(1)11x =-；23x =(2)32x =- 【分析】(1)利用因式分解法求方程的根．(2)化成整式方程，计算，注意验根．解：(1)2230x x --=，因式分解，得(3)(1)0x x -+=，解得11x =-；23x =，故方程的两个根为11x =-；23x =．解：(2)21124x x x -=--，去分母，得2(2)14x x x +-=-，解得32x =-，经检验，32x =-是原方程的根．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键．23．x =13- 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x -1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：因式分解得：()()()321=0111x x x x x x --++-- 方程的两边同乘（x +1）（x -1），得：()()()32110x x x x -+-+=整理得23210x x --=，因式分解得：(1)(31)0x x -+= 解得1211,3x x ==-．检验：把x =1代入（x +1）（x -1）=0，x =1是增根，把x =13-代入（x +1）（x -1）≠0． ∴原方程的解为：x =13-．【点拨】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．24．y =2【分析】利用平方法整理方程，进而再根据因式分解法求一元二次方程的解．解：1y =1y =-两边进行平方，得23(1)y y -=-2321y y y -=-+220y y --=∴（y -2）（y +1）=0解得y 1=2，y 2=-1又3-y ≥0，y -1≥0∴1≤y≤3∴ y =2综上可知∴ y =2【点拨】本题考查了平方法解方程，利用因式分解法求一元二次方程的解，二次根式有意义的条件．25．3x =-【分析】由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案．解：2231224x xx --=--，去分母，得：223(2)2(4)x x x -++=-，去括号，得：223228x x x -++=-，移项合并，得：260x x +-=，整理得：(3)(2)0x x +-=，解得：13x =-，22x =；检验：当22x =时，240x -=，则22x =是增根；当13x =-时，240x -≠；∴原分式方程的解为3x =-．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行解题，注意解分式方程需要检验．26．(1)2x =-(2)12x =-22x =-【分析】（1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）利用配方法求解即可．(1)解：（1）方程两边同乘(1)(1)x x +-得：2(1)11x x x ++=-，整理得：2x =-，经检验2x =-是原方程的根；(2)解：2410x x -=+，241x x +=，24414x x ++=+，即2(2)5x +=，2x ∴+=12x ∴=-22x =-【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．27．（1）11x =-21x =-2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握用配方法解一元二次方程，分式方程的解法与步骤是解题关键．28．（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =．【分析】（1）方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．解：（1）24142x x x x +=-+ ，方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =，当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-；（3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=，()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．【点拨】本题考查可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法与步骤是解题关键．29．（1）x 1x 2；（2）原分式方程无解【分析】（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；（2）两边都乘以x （x ﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可．解：（1）整理，得：x 2﹣7＝0，∴x 2＝7，则x ＝，即x 1x 2（2）两边都乘以x （x ﹣1），得：2x 2﹣4x +3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，∴方程无解，故原分式方程无解．【点拨】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题的关键．30．（1）3x =；（2）1222x x ==3）121,2x x ==-【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．解：（1）31144x x x-+=-- 两边同乘以最简公分母(4)x -，得：314x x --=-解得：3x =当3x =时，43410x -=-=-≠所以3x =是原方程的解；（2）x 2﹣4x +2＝02442x x -+=2(2)2x -=2x -=解得1222x x =+=（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(1)(2)0x x -+=解得121,2x x ==-．【点拨】本题考查了解分式方程，配方法和因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．31．（1）1211,1x x ==-;（2）12x x ==；（3）2x =- 【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．解：（1）2(5)360x --=2(5)36x -=56x -=±解得1211,1x x ==-（2）230x x +-=211344x x ++=+ 2113()24x +=12x +=解得：12x x == （3）214111x x x +-=--- 去分母得：22(1)41x x +-=-220x x +-=21944x x ++= 219()24x += 1322x +=± 解得：121,2x x ==-当1x =时，210x -=当2x =-时，2130x -=≠∴原方程的根为2x =-【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．32．（1）1；（2）x =1【分析】（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.解：（1）a b a b b a +-- a b a b a b =--- a b a b-=- 1=；（2）∴261393x x x x -=+--， ∴()()336133x x x x x +=+-+-， ∴()363x x x -+=+，∴2430x x -+=，∴()()130x x --=，解得1x =或3x =，经检验3x =是方程的增根，故3x =不符合题意；经检验1x =是方程的根，∴1x =.【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.33．（1）x （x ﹣y ）2；（2）﹣1≤x ＜2；（3）x ＝3；（4）x 112=，x 2＝3．【分析】（1）先提公因式x ，再利用完全平方公式分解即可；（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．（4）先将方程整理成一般形式，再运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解．解：（1）原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2；（2）()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜①② 解不等式①得：x ＜2，解不等式②得：x ≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，（3）两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得：x （x +1）＝4+（x +1）（x ﹣1），解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解．（4）将方程整理，得2x 2-7x +3＝0，将方程左边因式分解，得（2x -1）（x ﹣3）＝0，所以2x -1＝0或x ﹣3＝0，所以x 112=，x 2＝3．【点拨】本题主要考查解分式方程、解不等式组、一元二次方程及因式分解，熟练掌握解运算法则是解题的关键．。

可化为一元二次方程的分式方程

例1 解方程.解：原方程就是去分母，得整理后，得 022=--x x解这个方程，得经检验，2=x 是增根，1-=x 是原方程的根.说明去分母前的排列，变号（如本题中的x -22变为22--x ），去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待.例 2 解方程x x x x +=-+222322 解法一：原方程可化为设y x x =+2，则原方程化为去分母，得解这个方程，得当21-=y 时，212-=+x x ，,021<-=∆ ∴ 此方程无实根. 当2=y 时，22=+x x .解这个方程，得经检验，1,221=-=x x 都是原方程的根.解法二：去分母，整理，得02=+x 或 01=-x .方程01222=++x x 的084<-=∆，无实数根.经检验，1,221=-=x x 都是原方程的根.说明从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法，因为)(22222x x x x +=+，设y x x =+2，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把x x +2看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些.例 3 当a 取何值时，方程)1)(2(21221+-+=+----x x a x x x x x 去分母，得解这个方程，得∵ 方程的解为负数，∴025<+a ，解得 5-<a . ∴ 1,2-≠≠x x . 即 125,225-≠+≠+a a . ∴ 当5-<a 且7-≠a 时，方程的解为负数.说明分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字母系数的值时，要特别注意这一点.例 4 某工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？分析设原计划每小时做x 个零件，那么预计用的时间就是x480小时，实际每小时生产了)10(+x 个零件，共计生产了)10480(+个，所以实际所用的时间是1010480++x 小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程.解：设原计划每小时做x 个零件.根据题意，有去分母，整理，得解这个方程，得经检验，60,8021=-=x x 都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取60=x .当60=x 时，860480480==x . 答：原计划每小时生产60个零件，预计用8小时完成任务. 例5 甲、乙二人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地早1小时21分.求两人的速度.分析本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分，可用等式602112727=-甲速乙速表示.题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系，27千米的路程，二人用3小时相遇，就是说二人的速度与是每小时9千米，如果设甲每小时走x 千米，那么乙每小时走（x -9）千米.解：设甲每小时走x 千米，那么乙每小时走（x -9）千米. 依题意，有化简得201191=--x x 去分母，整理，得解这个方程，得经检验，5,3621=-=x x 都是原方程的根，但速度不能为负数，所以只取5=x .当5=x 时，4599=-=-x .答：甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.说明本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米. 根据题意，有方程组用代入消元法求解.典型例题六例若解分式方程x x x x m x x 1)1(112+=++-+产生增根，则m 的值是（）.分析解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母——含未知数的整式.当这个整式的值为0时，就产生增根，所以解这类题目的方法是先去分母，将分式方程化为整式方程，再将所有可能的增根代入这个整式方程，求出m 的值.解原方程即是x x x x m x x 1)1(112+=++-+ 去分母，得 .)1()1(222+=+-x m x这个方程可能地增根是 .10-==x x 或把0=x 代入整式方程，得.1)1(0=+-m 解得2-=m ；把1-=x 代入整式方程，得.)11()1()1(222+-=+--⨯m 解得.1=m .21 -=∴或m 故选D.典型例题七例已知x 是实数，且2)3(3322=+-+x x xx ，那么x x 32+的值为（） A ．1 B ．－3或1 C ．3 D ．－1或3误解设y x x =+32，则原方程可变为23=-y y ，即.0322=-+y y 剖析 332-=+x x 时，即是0332=++x x ，此时031432<⨯⨯-=∆，方程无实数解，即x 不是实数，与题设不符，应舍去；当132=+x x 时，即是0132=-+x x ，此时,0)1(1432>-⨯⨯-=∆方程有实数解，即x 是实数，符合题设，故.132=+x x正确答案：选A.说明此题由解分式方程演变而来，大大增加了成就机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃.还有一类题目由无理方程演变而来，如“已知x 为实数，且3246222++=++x x x x ，则x x 22+的值等于_________”.典型例题八例阅读理解题：关于x 的方程：c c x x 11+=+的解是cx c x 1,21==； c c x x 11-=-（即c c x x 11-+=-+）的解是cx c x 1,21-==； c c x x 22+=+的解是cx c x 2,21==； c c x x 22-=-（即c c x x 22-+=-+）的解是cx c x 2,21-==； c c x x 33+=+的解是c x c x 3,21==；（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程c m c x m x +=+（0≠m ）与它们的关系，猜想这个方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的与，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数.那么这样的方程可以直解.请你试用上述结论解关于x 的方程：解：（1）cm x c x ==21,. 验证，当c x =1时，左边=右边，=+c m c ∴ c x =1是原方程的解. 当c m x =2时，左边==+=+cm c cm m c m 右边 ∴ cm x =2是原方程的解. （2）原方程可化为由以上结论可知：,11-=-a x 或121-=-a x . ∴ 11,21-+==a a x a x 均为原方程的解. 典型例题九例解分式方程：分析：由于本例中分子的次数不低于分母的次数，首先可将分式化为整式部分与真分式部分之与的形式，以简化运算. 解 1021108-+=--x x x ，（这种变形要注意借鉴） ∴原方程化为左右两边分别通分，并整理，得经检验，8=x 是原方程的根.说明：先化简再求解是本例的关键所在.把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整式部分与真分式之与的一般方法是带余除法.典型例题十例解关于x 的方程：分析：利用换元法求解.解设m b a x =-，n ab x =-，则原方程可变形为 nm n m 11+=+，即整理，得∴0=+n m 或01=-mn当0=+n m 时，即0=-++ab x b a x当01=-mn 时，即01=--⋅-a b x b a x解之，得02=x ，b a x +=3 经检验：b a b a x ++=221，02=x ，b a x +=3都是原方程的根.说明：本例的求解中用了两次换元，使解法显得巧妙，望能适当利用.典型例题十一例解关于x 的分式方程：分析：本例是含有字母参数的分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，求出用a 表示x 的根，再给以讨论.解去分母，得)(5))((22x a a x a x a ax -=+-+，即解之，得a x 31=，a x 212=由原方程可知0≠a ，0≠-x a ，即0≠≠a x检验：把a x 3=，a x 21=分别代入原方程，分母均不为零. ∴原方程的根是a x 3=，a x 21= 说明：解含有字母参数的分式方程与一般的分式方程的方法相同，但应特别注意从题目中识别字母系数的取值范围，并根据情况进行讨论.典型例题十二例解方程：1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 分析：注意到211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ，于是可采取换元法解之.解把原方程化为1132122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，即设y x x =+1，则原方程可化为解之，得11-=y ，252=y .当1-=y 时，11-=+x x ，即该方程的判别式0341<-=-=∆，所以，它无实数解. 当25=y 时，251=+x x ，即解之，得21=x ，212=x 经检验，21=x ，212=x ∴原方程的根是21=x ，212=x 说明：该例中，211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ，切莫把221x x +看作2)1(xx +求解，否则，将会造成错误.选择题1. 使分式122+--x x x 的值为零的x 的值为（）.A ．2B ．－1C ．2或－1D ．1或－22. 如果方程x x m x x x x +=+-+2112有增根，则m 的值等于（）.A ．1或－2B ．－1或－2C ．－1或2D ．1或23. 方程22144212-+=-++x x x x 的解的个数为（）. A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．3个4. 下列方程①053212=-+x x ②251=+x ③22312=++x x ④0112=--xx是分式方程的个数为（）.A ．4B ．3C ．2D ．15. 用换元法解方程25211322=-+-x x x x ，下列变形正确的是（）. A ．设y x x =-132，变形，为251=+y y B ．设y x x =-132，变形，为2511=-+y y C ．设y x x =-12，变形，为2513=-y y D ．设y xx =-12，变形，为2523=+y y . 6. 方程2224164x x x =--的解的个数有（）. A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 7. 如果09612=+-x x ，那么x 3的值等于（） A ．1- B ．1 C ．2- D ．1±8. 若每人每天工效相同，a 个人b 天可做s 个零件，则b 个人做a 个零件需要的天数为（）.A ．s a 2B ．a s 2C ．2a sD ．sa 答案：1. A ；2. C.3. A4. B5. D6. D7. B8. A.填空题1.方程1412112-=--+-x x x x x x 可以采用左边通分后得方程_________，由等式性质只要解整式方程___________；2. 方程112353=-++x x x 如果有增根，则x 的值是_________； 3.当x =_________时，分式23--x x 与23-x 相等； 4. 方程2224222+=+x x x 的根是___________； 5. 方程2216x x xx ++=+，可用_________法，设________，化简原方程为________；6. 甲、乙两组加工零件，甲在a 天内可加工c 个零件，乙在b 天内可加工d 个零件，若两人同时加工t 个零件，则需要的天数是_________；7. 当k =_________时，方程551-=--x k x x 无实根答案： 1.14113222-=-+x x x x ；x x 4132=+; 2. 5-或21; 3. 2135±; 4. 2±=x ; 5.换元法2x x y +=，y y +=16; 6. ad bc abt +; 7. 4.解答题1．解下列方程：（1）31346=+-x x ；（2）3353112-+=--+x x x x x x ；（3）21122442++=-+-x x x x ；（4）71)1(61)1(2=-+++-x x x x ；（5）02366)1(2321222=+-+-+-+-++x x x x x x x x x . 2．用换元法解下列方程：（1）025311322=--+-x x x x ；（2）xx x x +=++2221；（3）022*********=++---+x x x x ；（4）1)1(61=+-+xx x x ；（5）05161=--+-x x x x ；（6）025615622=+-+-xx x x ；（7）07432122=+--x x ；（8）223825493x x x x x x --+=--；（9）0293912=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ；（10）0677122=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x . 3．某工厂计划在数天内制造1000台机床，后来在实际生产时，每天比原计划多生产25台，结果提前两天完成，这个工厂实际生产的天数是多少天？4．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少15天，如果甲队单独工作10天后，乙队再单独工作15天，就可以完成这项工程的32，求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 5．A 、B 两地相距km 99，甲骑自行车由A 地驶向B 地，经过min 30后乙骑自行车以每小时比甲快km 3的速度由B 地驶往A 地，两人在相距km 54处相遇，求甲、乙两人的速度。

知识卡片-解分式方程--可化为一元二次方程

解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。

简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。

如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。

●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

可化为一元二次方程的分式方程的应用题

可化为一元二次方程的分式方程的应用题可化为一元二次方程的分式方程是八年级代数的一个重点内容，它的应用题作为初中阶段围绕方程的一系列知识的终结点，是中考的一个主要考察对象，也是一个难点。

本课中的例题及练习题都给出了三种解法，目的是增加解题手段，并附有专门用于解特殊一元二次方程的变形的求根公式，帮你解决困难。

解答中出现的“同类量”是指与所设未知数有相同单位的量，“相关量”是指由已知数据和所设未知数及其同类量能表示的量. 一般情况下，由“相关量”得出方程.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米. 中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.解法1：(直接法)设大客车每小时行驶x 千米，(同类量)中巴车每小时行驶(相关量)大客车跑完全程需,300小时x 中巴车需,20300小时 x 则(x +20)千米,例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法1：).2120300300=+-x x 根据题意, 得去分母, 得600x +1200–600x= x2+20x ,整理得x 2+20x –1200=0,解得x 1=100,x 2= –120.(解法1：)经检验，x1=100, x2= –120都是原方程的根,但速度为负不符合题意,∴只取x=100,这时，100+20=120.答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法2：(间接法)设大客车行驶全程需y 千小时，(同类量)中巴车行驶全程需(相关量)大客车速度为,/300小时千米y 中巴车速度为,)21(小时-y ,/21300小时千米-y 则例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：).2030021300=--y y 根据题意, 得去分母, 得30y –15(2y –1)=2y 2–y ,整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：)经检验，y1=3, y2= –2.5都是原方程的根,但时间为负不符合题意,∴只取y=3,100+20=120.这时，300÷3=100,答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法3：(方程组法)设大客车每小时行驶x 千米，则中巴车每小时行驶(x +20)千米,行驶全程需y 千小时，行驶全程需,)21(小时 y 例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：)①,300=xy 根据题意, 得展开②式, 得把①式代入并化简得∵y ≠0,两边都乘以y,得②.300)21)(20(=-+y x ,300102021=-+-y x xy ,0102021=-+-y x {例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：),01020212=-+-y y xy 再次把①式代入并整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.但时间为负不符合题意, ∴只取y =3,这时，300÷3=100,答：(略.)100+20=120.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.评：本题是四年制代数课本第三册(2002年版)解法1的优点是直接得到所求, 解法2的优点是方程比较容易解, 解法3的优点是不需检验, 第116页例3的“现代版”.缺点是由于得数绝对值大, 因而方程的常数项绝对值也大, 使解方程的难度加大;但必须注意所得结果不是所求, 还需再计算一步;并且适合有两问缺点是解方程组的过程稍麻烦.的题目;课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务. 原计划每天挖多少米?解法1：设原计划每天挖x 米，则(同类量)实际每天挖(相关量)原计划工期为,960天x 实际工期为.20960天 x (x +20) 米，课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法1：).420960960=+-x x 根据题意, 得去分母, 得960x +19200–960x= 4x 2+80x ,整理得x 2+20x –4800=0,解得x 1=60,x 2= –80.(解法1：)经检验，x1=60, x2= –80 都是原方程的根,但工效为负不符合题意,∴只取x=60.答：原计划每天挖60米.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法2：(间接法)设原计划工期为y 天，(同类量)实际工期为(相关量)原计划每天挖,960米y实际每天挖,)4(天-y ,4960米-y 则课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?.209604960=--yy 根据题意, 得去分母, 得960y –(960y –3840)=20y 2–80y ,整理得y 2–4y –192=0,解得y 1=16,y 2= –12.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?经检验，y1=16, y2= –12都是原方程的根,但工期为负不符合题意,∴只取y=16,这时，960÷16=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法3：(方程组法)设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(x +20)米,工期为y 天，工期为,)4(天-y ①,960=xy 根据题意, 得②.960)4)(20(=-+y x {课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?展开②式, 得把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,96080204=-+-y x xy ,0205=+-y x (解法3：),02052=+-x xy x 课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法3：)再次把①式代入并整理得x2+20x–4800=0,解得x1=60,x2= –80.∵工期为负不符合题意,∴只取x=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解法1：设原计划用x 天，则(同类量)实际用了(相关量)原计划每天用煤,350吨x .20350吨 x (x +20) 天,实际每天用煤.220350350=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x 2+20x –3500=0,解得x 1=50,x 2= –70.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，, x1=50, x2= –70都是原方程的根.∵时间为负不符合题意,∴只能取x=50.这时，350÷50=7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法2：(间接法)设原计划每天用y 吨，(同类量)实际每天用(相关量)原计划和实际分别用,350天y ,)2(吨-y .2350天-y 则课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，.203502350=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得y2–2y –35=0,解得y 1=y 2=,7.5-课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，y1=7,y2= –5都是原方程的根.∵每天用量为负不符合题意,∴只能取y=7.这时，350÷7=50.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法3：(方程组法)则实际用了每天用.)2(吨-y (x +20)天,设原计划用x 天，每天用y 吨，①,350=xy 根据题意, 得②.350)2)(20(=-+y x {课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，展开②式, 得,35040220=--+x y xy 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得③,01020=-+y x ,03500202=-+x x 课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解得x 1=50,x 2= –70.代入③式, 得y 1=y 2=,7.5 ∵负数不符合题意，舍去.∴{x =50,y =7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作,6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作各需多少天完成?解法1：设乙班单独工作需x 天完成，则(同类量)甲班单独工作需(相关量)两班的效率分别为,1x.51 x (x –5) 天,.61151=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x2–17x +30=0,解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作经检验，, x1=15, x2=2都是原方程的根.当x=15 时, x–10=5.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意,∴只能取x=15.答：单独工作甲班需10小时完成，乙班需15小时.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法2：(间接法)设乙班的效率为y ，(同类量)甲班的效率为(相关量)单独完成工作两班分别需要,611天y -),61(y -.1天y 则课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：).56111=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得30y2–17y +1=0,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解得y 1=y 2=,151.21(解法2：)经检验，y 1=y 2= 都是原方程的根.,15121,151时当=y ,151=y =-y 611.10课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：)答：(略.),41时当=y ,3611,21-=-=y y.,舍去不合题意课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法3：(方程组法)则甲班需每天完成).61(y 设单独工作乙班需x 天完成，乙班的每天完成的工作量为y ，(x –5)天,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作①,1=xy 根据题意, 得②.1)61)(5(=--y x {展开②式, 得,156561=+--y xy x 课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,03017=+-y x ,030172=+-x x 解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法3：)当x=15 时, x–5=10.当x=2 时, x–5= –3.∵时间不能是负数,∴只能取x=15.答：(略.)课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作, 10天以后,甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成.如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天. 求各组单独完成这项工作所需的天数.解法1：设单独完成工作乙组需x 天，则(同类量)单独完成甲组需(相关量)两组的效率分别为,1x .41 x (x –4) 天,.112410=+-xx 根据题意, 得去分母并整理得x 2–26x +48=0,解得x 1=24,x 2=2.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.经检验，, x1=24, x2=2都是原方程的根.当x=24 时, x–4=20.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意, ∴只能取x=24.这时，x–4=20.答：单独完成, 甲组需20天，乙组需24天.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法2：(间接法)设乙组的效率为y ，(同类量)甲组的效率为(相关量)单独完成分别需,12110天y -,10121y -.1天y则课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：).4121101=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得48y2–26y +1=0,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解得y 1=y 2=,241.21(解法2：)经检验，y 1= y 2= 都是原方程的根.,24121,241时当=y ,241=y .2012110=-y课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：)答：(略.),21时当=y .,,212110,21舍去不合题意-=-=yy 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法3：(方程组法)则甲组需每天完成.10121y 设单独完成工作乙组需x 天，乙组每天完成的工作量为y ，(x –4)天,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.①,1=xy 根据题意, 得②.110121)4(=--y x {(解法3：)展开②式并整理, 得,0144812=-+-y xy x 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,04826=+-y x ,048262=+-x x 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.。

一元二次方程讲义——绝对经典实用

一元二次方程讲义——绝对经典实用一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2.一般地，这样的方程都整理成为形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

其中ax2，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。

如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

一元二次方程的求根方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

直接开平方法是指形如x=m（m≥0）的方程都可以用开平方的方法写成x=±m，求出它的解。

配方法是通过配方将原方程转化为(x+n)2=m（m≥0）的方程，再用直接开平方法求解。

配方是组成完全平方式的变形过程。

公式法是指一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为x=(-b±√(b2-4ac))/2a。

因式分解法是把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。

一元二次方程根的判别式的定义为b2-4ac，运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方得到实数根。

这里b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。

只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根。

一元二次方程的根由其系数a、b、c确定，其根的情况（是否有实数根）由判别式Δ=b²-4ac确定。

设一元二次方程为2ax²+bx+c=0（a≠0），其根的判别式为Δ=b²-4ac，则解为x1,2=(-b±√Δ)/(2a)。

判定方程的根的情况有三种：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根。

若a、b、c为有理数，且Δ为完全平方式，则方程的解为有理根；若Δ为完全平方式，同时-b±√Δ是2a的整数倍，则方程的根为整数根。

一元二次方程单元知识复习与总结

一元二次方程单元知识复习与总结一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707~1783）,既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。

如下题：“父亲临终时立下遗嘱,要按下列方式分配遗产:老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……;以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？"这道题需要列方程求解。

解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗，老大分得遗产［100+110(100x2-100）］克朗，得方程100+110（100x2—100）=100x.同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.（x-9)（x-1）=0，∴x1=9，x2=1(舍去)。

遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。

点评:二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０;然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程,常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。

例１：用适当的方法解下列一元二次方程:(1)（2x-1）2—9=0; （2）x2+x-1=0; (3）x2-4x=1; （4）3x2-16x+5=0;（5）（3x+2）2=4（x—3)2; （6）（y-1）2=2y（1-y）；（7)3a2x22=0(a≠0) （8)x2+2mx=(n+m)（n—m）.解析 (1)两边开平方,得 2x-1=3或2x-1=—3，∴ x1=2,x2=-1;（2）已知:a=1，b=1,c=—1。

∴ x1,x2；（3)整理原方程，得 x2-4x—1=0，∴ (x—2）2=5。

∴ x12=2(4）原方程可化为(3x-1)（x-5)=0,∴ x1=13，x2=5；(5)两边开平方,得3x+2=2（x-3）或3x+2=—2（x —3)，∴ x 1=—8, x 2=45. （6）原方程可化为（y-1）(3y —1)=0，∴ y 1=1， y 2=13。

高考考点知识点专题总结复习：一元二次方程

一元二次方程基础知识1 、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项， a 、 b 分别是二次项和一次项的系数。

如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项， 2 ，－ 4 分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2 . 一元二次方程求根方法（ 1 ）直接开平方法形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（ 2 ）配方法通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为 1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为 1 ，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为 1 。

（ 3 ）公式法求根公式：方程的求根公式步骤：1 ）把方程整理为一般形式：，确定 a 、 b 、 c 。

2 ）计算式子的值。

3 ）当时，把 a 、 b 和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（ 4 ）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3 、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．4 、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则① 方程有两个不相等的实数根．② 方程有两个相等的实数根．③ 方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．5 、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（ 4 ）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6 、韦达定理如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设，是方程的两个根，则，．7 、韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为 1 ）是．一般地，如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．8 、韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．⑵若，则方程必有实数根．⑶若，方程不一定有实数根．⑷若，则必有一根．⑸若，则必有一根．9 、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10 、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴为完全平方数；⑵或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根 ( 其中、、均为有理数 )11 、一元二次方程的应用1 ．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

可化为一元二次方程的分式方程练习题

可化为一元二次方程的分式方程练习题1、如果关于x的方程$\frac{m}{x}+n x=2$是分式方程，那么$m$、$n$的取值范围是什么？2、方程的解是什么？$$\frac{x-1}{m}=\frac{x}{x-2}$$3、当$m=1$时，方程$x-\frac{3}{x-3}=0$无解。

4、若方程$\frac{5+m}{1}=-1$有解$x=2$，则$m=-\frac{7}{2}$。

5、当$m=-2$时，方程$x-\frac{2}{x-2}=0$会产生增根。

6、方程$x^2+2x+2$的实数解是$x=-1$。

7、用换元法解方程$\frac{2(x^2+1)}{6(x+1)}=\frac{2}{x+1}-7$，设$y=x+1$。

于是原方程变形为$y^2+6y-7=0$。

8、用换元法解方程$x^2+\frac{191}{x}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+7=0$，设$y=x+\frac{1}{2}$，则原方程化为关于$y$的方程$y^2-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}=0$。

9、求解分式方程$\frac{x^2+2x}{x^2-4x+1}=\frac{1}{2}$，将分式化简为$\frac{x^2+2x}{(x-2)^2-3}=\frac{1}{2}$，设$y=x-2$，则原方程变形为$2y^2+4y-1=0$。

10、求解方程$x^2+2x+\frac{1}{x^2-1}=1$，将分母有理化得$x^2+2x+\frac{1}{(x+1)(x-1)}=1$，设$y=x+1$，则原方程变形为$y^4+2y^3-3y^2-2y+1=0$。

11、方程$x^2-3x+2=\frac{1}{x-1}$的解为$x=2$。

12、分式方程$x+\frac{3}{x+3}=0$的根为$x=-3$。

13、分式方程$\frac{x-4}{x-2}+\frac{2}{x+1}=2$的根为$x=4$。

可化为一元二次方程的分式方程数学教案

可化为一元二次方程的分式方程数学教案标题：一元二次方程的分式方程数学教案【教学目标】1. 学生能够理解并掌握分式方程的基本概念和性质。

2. 学生能够熟练地将分式方程转化为一元二次方程，并解出其解。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

【教学内容】一、分式方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述分式方程的定义，性质等基础知识）二、一元二次方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述一元二次方程的定义，性质等基础知识）三、分式方程到一元二次方程的转化方法1. 通过通分，将分式方程转化为整式方程。

2. 利用因式分解，将整式方程转化为一元二次方程。

四、实际问题的应用（在此部分，可以设计一些实际问题，让学生运用所学的知识去解决）【教学过程】1. 引入新课：以生活中的实际问题引入，激发学生的兴趣。

2. 讲授新课：按照教学内容进行讲解，注重理论与实践的结合。

3. 练习巩固：设计一些练习题，让学生自己尝试解答，然后集体讨论答案。

4. 总结归纳：总结本节课的主要内容，强调重点难点。

【教学策略】1. 采用情境教学法，使学生在具体的情境中理解和掌握知识。

2. 运用合作学习法，鼓励学生之间的交流和合作，提高他们的团队协作能力。

3. 实施探究性学习，引导学生自主探索和发现知识，培养他们的创新精神和实践能力。

【教学评价】1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，如参与度，积极性等。

2. 结果评价：通过作业和测试来评估学生的学习效果。

【教学反思】在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方式和方法，以便更好地适应学生的学习需求，提高教学效果。

专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」

专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=；（2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。

一元二次方程知识点总结和例题

知识点总结：一兀二次方程一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。

学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。

应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0 （a冬0）及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。

二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根；3.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如（x+而2=n （n>0）的方程，领会降次——转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，？再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的讨论。

4.通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+n）2=n （n> 0）的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

、知识框架四、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，，是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解．一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1）若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2）若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3）已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4）当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1）用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-．（2）用配方法解方程：22310x x ++=．（3）用分解因式法解方程：2()2136x x -=-．（4）用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1）解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=．（2）解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=．【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和有公共根，则该公共根为．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1）解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2）解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1）解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069．（3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--．（2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．（3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是。

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ．【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是．【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---；（2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（，解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。

二次分式方程

二次分式方程二次分式方程是一种含有二次项的分式方程，通常可以写成如下形式：$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}=0$。

其中，$a, b, c, d, e, f$为实数且$d, e, f$不全为零。

解二次分式方程的一种常用方法是将其化为二次方程求解。

具体步骤如下：步骤一：将二次分式方程化为一元二次方程。

首先，我们可以通过乘以分母的倒数来消去分母，得到一个一元二次方程。

例如，对于$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}=0$，我们可以乘以$\frac{dx^2+ex+f}{a}$，得到$\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\cdot \frac{dx^2+ex+f}{a}=0$，即$\frac{(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)}{a}=0$，化简后得到$(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=0$。

步骤二：将一元二次方程化为标准形式。

将得到的一元二次方程展开，并将其整理成标准形式$Ax^2+Bx+C=0$，其中$A, B, C$为实数且$A\neq 0$。

步骤三：求解一元二次方程。

根据一元二次方程的求解公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，我们可以求解出方程的根。

其中，$\pm$表示两个相反的解，即正根和负根。

步骤四：检验解的合法性。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足原方程。

如果满足，则该解是原方程的解；如果不满足，则该解不是原方程的解。

通过上述步骤，我们可以解出二次分式方程的解。

下面通过一个例子来具体说明。

例：解方程$\frac{2x^2+3x-2}{x^2+4x+3}=0$。

步骤一：将方程化为一元二次方程，得到$(2x^2+3x-2)(x^2+4x+3)=0$。

步骤二：将一元二次方程化为标准形式，展开并整理得到$2x^4+11x^3+18x^2+7x-6=0$。

步骤三：求解一元二次方程，根据一元二次方程的求解公式得到$x=\frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot 2\cdot (18\cdot (-6)-7^2)}}{4}$。