3.2用配方法解二次项系数不为1一元二次方程(3)
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
2 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
当x取何值时，2x2+4x-5的值最小？试求出这个最小值.
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
变式：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的 值必定大于零.
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
例题讲解
例1 解方程 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得 x2 + 8 x - 1=0 3
方程两边都加上一次项系数一半的平方
8 x2 +
x+(
4 )2-1=(
4
)2
3
3
3
即（x + 4 ）2 =25 39
两边开方,得
（x + 4 ） = ± 5
3
3
即 x+ 4
=
5
或
x+
4 =
5
33
33
1
x1=
, 3
x2 =
-3
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 归纳解一元二次方程的步骤
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
二、一元二次方程的应用
例2 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高
度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10m的
移项，得
x2-6x= 40
方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得
x2-6x+32=40+32
即
（x-3）2=49>0
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程01 基础题知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．用配方法解方程2x 2－4x ＝3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上(A)A ．1B ．2C ．3D ．52．将方程3x 2－12x －1＝0进行配方，配方正确的是(D)A ．3(x －2)2＝5B ．(3x －2)2＝13C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝1333．用配方法解方程2x 2－3＝－6x ，正确的解法是(A)A ．(x ＋32)2＝154，x ＝－32±152B ．(x －32)2＝154，x ＝32±152C ．(x ＋32)2＝－154，原方程无解D ．(x ＋32)2＝74，x ＝－32±724．用配方法解下列方程：(1)2x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝4＋142，x 2＝4－142.(2)2x 2－7x ＋6＝0；解：x 1＝2，x 2＝32.(3)3x 2＋8x －3＝0；解：x 1＝13，x 2＝－3.(4)2x 2＋1＝3x ；解：x 1＝1，x 2＝12.(5)3x 2－2x －4＝0；解：x 1＝1＋133，x 2＝1－133.(6)6x ＋9＝2x 2.解：x 1＝3＋332，x 2＝3－332.5．数学活动课上，李老师出了这样一道题：用配方法解方程1－6x ＝3x 2.小红同学的解答过程：解：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝1.配方，得x 2＋2x ＋12＝1＋12.即(x ＋1)2＝2.所以x ＋1＝±2.所以x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2.请判断小红的解答过程是否有错，若有错，说明错因，并帮小红改正过来．解：有错，在化二次项系数为1时，方程中各项都要除以3，错解中方程右边的1漏除以3. 正确解法为：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝13.配方，得x 2＋2x ＋12＝13＋12，即(x ＋1)2＝43.所以x ＋1＝±233.所以x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.02 中档题6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(C)A ．2m 2＋m －1＝0化为(m ＋14)2＝916B ．2x 2＋1＝3x 化为(x －34)2＝116C ．2t 2－3t －2＝0化为(t －32)2＝2516D ．3y 2－4y ＋1＝0化为(y －23)2＝197．方程(2x －5)(x ＋2)＝3x －5的根为(C)A.－2±142 B ．0或－1C.2±142 D ．以上均不对8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝1，k ＝32．9．已知y 1＝4x 2＋5x ＋1，y 2＝2x 2－x ，则当x ＝－3±72时，y 1＝y 2.10．用配方法解下列方程：(1)2t 2－6t ＋3＝0； 解：t 1＝3＋32，t 2＝3－32.(2)23x 2＋13x －2＝0；解：x 1＝32，x 2＝－2.(3)2y 2－4y ＝4；解：y 1＝1＋3，y 2＝1－ 3.(4)(太原中考)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝2，x 2＝4.11．当k 为何值时，方程kxk 2－7－3kx ＋2＝3xk 2－7－kx －k 是关于x 的一元二次方程，并用配方法解此方程．解：依题意有k 2－7＝2且k ≠3，解得k ＝－3.当k ＝－3时，原方程为－6x 2＋6x －1＝0，解得x 1＝3＋36，x 2＝3－36.12．若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x 2－3x －5＝0的一个根，求这个三角形的周长．解：解方程2x 2－3x －5＝0，得x ＝52或x ＝－1(不合题意，舍去)． 故这个三角形的周长为2＋3＋52＝152.03 综合题13．用配方法说明：不论x 取何值，代数式3x 2＋3x 的值总比代数式x 2＋7x －4的值大，并求出当x 为何值时，两代数式的差最小．解：(3x 2＋3x)－(x 2＋7x －4)＝2x 2－4x ＋4＝2(x －1)2＋2>0，∴不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大．∵2(x－1)2≥0，∴当x＝1时，2(x－1)2取最小值为0，即2(x－1)2＋2的最小值为2.∴当x＝1时，两代数式的差最小．。
2.第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例4 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 a 2 6a + b 2 8b + c 5 + 25 = 0.
试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得 a 3
2
b 4
2
c 5
0，
由非负式的性质可知
a 3
2
0， b 4
D .(x﹣2)2=9
2.[广西中考] 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是
(
B
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
)
3.[怀化中考] 已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数
根,则k的值为
A.4
( C )
B.-4
C.±4
D.±2
4.[永州中考] 若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,
把上面式子写成(x + n)2 +d 的情势，
其中n等于一次项系数的一半，
然后在求两个一元一次方程的解.
.
+
−
+
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程②呢？
25x2+ 50x - 11 = 0.
这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就好办了.我们可以
直接将左边化为(x + n)2的情势.
(2)当a 取满足条件的最小整数值时,求方程的解.
解：(1)根据题意得Δ=(-4)2-4(3-a)>0,
2用配方法求解一元二次方程 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15 t―5t2 小球何时能达到10m高？
课堂小结
1、怎样解二次系数不为1的一元二次方 程呢？
在用配方法解二次项系数不为1的一 元二次方程时，通常是先让方程的各项除 以二次项系数，即把这类方程转化为二次 项系数为 1的方程类型
2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把二次项系数化为1；
2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 用配方法解二次项系数不
为1的一元二次方程
学校：________ 教师：________
☞ 回顾与思考
上节课我们学习了配方法以及用其解二次项系数为1的一 元二次方程:
例如， x2-6x-40=0
移项，得
x2-6x= 40
方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得
即 x 2 2 7
3
9
驶向胜利 的彼岸开方，得 x 2 7来自33所以
x1
2 3
7 3
x2
2 3
7 3
反馈练习巩固新知
☞ 做一做
1、解下列方程 1) 4x2-8x-3=0 3）-3x2+6x-18=0 2) 2x2+6=7x 4) -x2-2x+6=0
实际运用， 你会吗？
2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一 边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
3、对于实际运用的题目，我们的步骤时什么呢？ 列方程解应用题步骤:一审;二设;三列;四解;
五验;六答.
课本P40 习题2.4
所以
x1
3 2
10 2
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
x-
22 6
2
=
196 36
.
解得x1
=
4 3
，x
2
=6.
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
.
解得x1
配方法解二次项系数不为的一元二次方程
方法技巧练
9 已知实数 x 满足 x2＋x12＋2x＋1x＝0，求 x＋1x的值．
【点拨】本题在解答过程中应用了换元法和整体思 想，即用 y 来代替 x＋1x，将已知等式转化成一元二 次方程求解．
认知基础练
7 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程 如下：
移项，得x2－2x＝－1，
A．－1 B．1 C．－5 D．5
4 对于任何实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋ 36的值总是( D ) A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
5 【2020·嘉兴】比较x2＋1与2x的大小． (1)尝试(用“<”“＝”或“>”填空)： ①当x＝1时，x2＋1___＝_____2x； ②当x＝0时，x2＋1___>_____2x； ③当x＝－2时，x2＋1____>____2x. (2)归纳：若x取任意实数，x2＋1与2x有怎样的大小关 系？试说明理由．
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
2．2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程两边 ___同__时__除__以__二__次__项__系__数_____，将它转化为二次项系数为___1___的一 元二次方程，再用__配__方___法求解．
3．(易错题)用配方法解方程 2x2－43x－2＝0，应把它先变形为
(D)
A．(x－23)2＝89 C．(x－13)2＝89
B．(x－23)2＝0 D．(x－13)2＝190
4．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
此方程可变形为( A ) A．(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2 C．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac D．(x－2ba)2＝4a4c－a2 b2
5．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是(
A．(x＋32)2＝147，x＝－32±
17 2
B．(x－32)2＝147，x＝32±
17 2
C．(x＋32)2＝－147，原方程无解
D．(x＋32)2＝343，x＝－32±
33 2
A)
6．用配方法解下列方程：
(1)2x2－8x＋1＝0；
4＋ 14
4－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)2x2－7x＋6＝0；
解：x1＝2，x2＝32
(3)3x2＋8x－3＝0；
解：x1＝13，x2＝－3
(4)23x2＋13x－2＝0； 解：x1＝32，x2＝－2
ห้องสมุดไป่ตู้(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
14－2
专题11配方法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。
用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程
x²+6x +9=7 +9Biblioteka 即(x+3)²=16
两边开平方得， x+3=±4
x+3=4或x+3=-4
所以
x1=1 ,x2=-7
总结:一元二次方程③④⑤的特点是：方程的 左边是或者可以转化为(x+m)²=n(≧0)的形 式，解题思路是两边直接开平方便可求出 方程的解。
活动二
练习：用配方法求解一元二次方程 3x²+8x+1=0 -3x²+4x+1=0
小球何时能达到10m高？
总结：利用配方法求解二次项系数不为1的一元 二次方程的一般步骤：
1、系数化1：两边同时除以二次项系数
2、移项：把常数项移到方程的右边
3、配方：方程两边都加上一次项系数一半的平 方
4、变形：左边写成(x+m)²=n(≧0)的形式，右边 合并同类项
5、开方：两边同时开平方
6、求解：解一元一次方程
用配方法解一元二次方程
鄠邑区白庙初级中学 闫育平
复习
1、什么是配方法？ 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
思考
• 如何求出一元二次方程3x²+18x-21=0呢？
活动一
解3x²+18x-21=0 解：两边同时除以3，得
x²+6x-7=0 移项，得 x²+6x=7 方程两边同时加上 一次项系数一半的平方，得
解x²+12x+11=0
解：移项，得 x²+12x=-11 方程两边同时加上 一次项系数一半的平方，得
x²+12x +6²=-11 +6²
即(x+6)²=25
3.2用配方法解一元二次方程(3个课时)
九年级数学导学稿第3章一元二次方程课题：用配方法解一元二次方程导学案（第一课时）枳沟初中编写学习目标：1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．学习重点、难点重点：形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程的解法。
难点：同重点。
教学过程：【温故知新】1.平方根的定义，请复述出来。
【探索新知】1．自主学习师：不用估算的方法，怎样解以上这两个方程？与同学们交流生：例如 x2=4 (x+3)2=9x=±2 x+3=±3x1=0 x2= - 6师：形如x2=4、(x+3)2=9 的一元二次方程有什么特点呢？你是如何解它们的？（独立思考后，与同桌互相交流）总结：方程都可以写成 (x+m)2=n(n≥0) 的形式，两边开平方便可求出方程的解，这种方法叫做直接开平方法。
例一解方程：（1）4x2_7=0 （2）9（x-1）2=25（教师板书，）【巩固检测】练习：（1）3x2_2=0．（2）49x2=25 （3）3（x+2）2=21【课堂小结】知识回顾：用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程的一般步骤。
总结提升：（结合实例同学生一起总结）【达标检测】1.一个立方体的表面积是384cm2 ,求这个立方体的棱长。
2.解方程（3x+2）2=16 0.5 x2=25第3章一元二次方程课题：用配方法解一元二次方程导学案（第二课时）枳沟初中编写学习目标：1．利用配方法解一元二次方程的方法步骤。
2．进一步理解配方法的解题思路。
学习重点、难点：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的思路；给方程进行配方。
教学过程：【温故知新】做一做：填上适当的数，使下列等式成立（1）x2+12x+ =(x+6)2（2）x2―4x+ =(x― )2（3）x2+8x+ =(x+ )2在上面等时的左边，常数项和一次项有什么关系？【创设情境】（提出实际问题，让学生用数学知识解决问题）用彩灯围成一个面积为24平方米的长方形舞台，若要长比宽多4米，那么舞台的长和宽，该如何确定的呢？若想求出舞台的长和宽，需解方程 x2 + 4x-24=0 （学生列方程有困难，教师需引导。
2.2.2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件(共17张PPT)
B.总不小于9
C.总不小于-9
D.为任意实数
变式：试用配方法说明：无论k取何实数，多项式k²-4k+5的
值必定大于零.
解:k²-4k+5=k²-4k+4+1=(k-2)²+1.
因为(k-2)²≥0,所以(k-2)²+1≥1.
所以无论k取何实数，多项式k²-4k+5的值必定大于零.
)
二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤：
③写成(x+m)²=n(n≥0)的形式；
④直接开平方法解方程）
小组讨论 （4min）
用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x²-6x+9的值恒大于0.
1.思考若证明一个代数式的值恒大于0，需把代数式整理成什么形式？
一个完全平方式与一个正数的和的形式
2.小组讨论完成本题的解答过程.
证明：
自主探究 （10min）
（2）观察方程2x²+2x=5，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有
什么想法？ （这个方程不是一般形式且它的二次项系数不为
1，只要把方程中的二次项系数化为1 即可）
（3）如何解方程2x²+2x=5，你能写出它的解答过程吗？
解：方程两边同时除以2，得 + =
得 +
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②将常数项移到方程的右边，方程两边同时除以二次项的系数，使二次
项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
2.2.2用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与配方法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示配方法的基本原理。
五、教学反思
在本次教学中，我发现学生们对于配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程这一知识点，普遍存在一些疑惑和难点。首先，学生在理解配方法的基本原理上还存在一定的困难，尤其是将二次项系数化为1的过程，以及为何要添加和减去同一个数。在接下来的教学中，我需要更加细致地解释这一过程，通过具体例题和图示，让学生直观地感受到配方法的优势。
-二次项系数的转换：将非1的二次项系数转换为1是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习逐步突破。
-实际问题中的方程提取：从实际问题中抽象出一元二次方程，对学生的抽象思维能力要求较高，是教学难点之一。
-举例：
*难点解析：在2x^2 - 4x + 1 = 0的求解过程中，学生可能会对为何要添加和减去(4/2)^2 = 4这一步骤感到困惑，需要教师详细解释其目的。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“配方法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，学生在实际应用方面也遇到了挑战。他们往往难以从实际问题中抽象出一元二次方程，这说明我们在培养学生数学抽象素养方面还需加强。在以后的教学中，我会多设计一些与实际生活相关的案例，让学生在实践中提高这一能力。
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3.2用配方法解二次项系数不为1一元二次方程(3)
教师寄语：勇于探索、敢于实践
学习目标：
1、学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。
3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。
课前准备：1.解方程：x2+x-1=0
2.用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
学习过程
一.导入新课，明确目标
二.自学课本，尝试训练
1、检查课前准备
2、解方程：
（1）2x2+3x-1=0 (2)3x2-5x-2=0
三.精讲点拨，基本训练
3、用配方法解下列方程：
（1）3Y2-12=2Y (2) 3x2+4x-1=0 (3)2x2
总结方法：用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为_________，然后把方程的_____________________移到方程的右边，再把左边配成一个_____________________，如果右边是________________，就可以进一步通过直接开平方求它的解.
四、例题解析、强化训练
4、用配方法解方程x(2x-1)=3
5、实际应用：当x 取何值时，2x 2-3x+1的值等于3.
6、如果P 与ｑ都是常数，且P 2≥4ｑ,你会用配方法解关于x 的一元二次方程x 2+Px+ｑ=0
吗？试一试。
五.课堂检测、达标训练：
1.用配方法解方程2x 2-3=-6x,正确的解法是（ ）
A: (x+32)2=154 , x=﹣32±2 B: (x-32)2=154 , x=32±2
C: (x+32)2=﹣154 , 原方程无解。
D: (x+32)2= 74, x=﹣32 2.若用配方法解方程，2x 2-
32x-4=0时，原方程可变形为__________________. 3.将方程x 2-6x+5=0，配方成(x+m)2=n 的形式，则m= n=
4．用配方法解下列方程：
（1）3 x 2-6x=0 (2)2x 2-7x+3=0
六.课堂反思：
通过本节课的学习，
你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________， 在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________， 你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。