快速傅里叶变换FFT试题
傅里叶变换习题
n 1 N
设
N (t ) f (t ) sN (t )
N (t ) [ f (t ) a0 ( a1n cos n 0t b1n sin n 0t )]2
2 n 1 N
0
T
i1 (t )
T
v 2 (t )
i1 (t ) i1 (t )
2 bn T
1
a0 0, an 0
0
i (t ) sin n
0
tdt
T
2 [1 cos( 2n )] n T
2 ( sin n 0 tdt sin n 0 tdt) T 0
注意在要求均方误差En的过程中
f (t ) a0 (a n cos n0 t bn sin n0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
En 1 T
N N 1 2 2 2 f 2 (t ) a 0 (a1n b1n ) (a1n an b1n bn ) 2 n1 n 1
例六：P168.3-27
1 f 1 (t ). f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
2 T f (t ) E sin t[u(t ) u(t )] T 2
2 2 2 T f (t ) ( ) E sin t[u(t ) u(t )] T T 2
第三章 习题课 一.本章要点 1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离 散谱. 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱. 3.理解信号的时域与频域间的关系. 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换. 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
快速傅里叶变换(FFT)试题
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数。
解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。
利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。
因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。
3.4 设，，求，并作图表示和。
解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。
3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf
和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 快速傅里叶变换(FFT))
4.2 课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。
②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。
（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。
根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。
解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。
按频率抽取，见图4-1（a ）。
图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。
由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。
设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。
（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。
傅里叶变换例题和计算过程
傅里叶变换例题和计算过程傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，用来分析信号的频谱特性。
下面是一个傅里叶变换的例题和计算过程。
假设有一个离散的时域信号x(t)，其采样频率为Fs，长度为N。
我们希望将该信号转换为频域信号X(f)，其中f为频率。
傅里叶变换的计算公式如下：X(f) = Σ x[n] * exp(-j*2π*n*f/Fs)其中，n为时域信号的时间序列，X(f)为频域信号的幅度。
举一个简单的例子来说明：假设有一个时域信号x(t)，其采样频率为10Hz，长度为8，时间序列如下：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。
我们可以按照上述公式进行计算：X(0) = 1*exp(-j*2π*0*1/10) + 2*exp(-j*2π*1*1/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*1/10)X(1) = 1*exp(-j*2π*0*1/10) + 2*exp(-j*2π*1*1/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*1/10)...X(9) = 1*exp(-j*2π*0*9/10) + 2*exp(-j*2π*1*9/10) + ... +8*exp(-j*2π*7*9/10)通过以上计算，我们可以得到频域信号X(f)，其中f的取值为0到9。
这个例子中的计算是一个离散的傅里叶变换过程，实际应用中也可以进行连续傅里叶变换，具体的计算方法和公式会有所不同。
傅里叶变换的结果可以用来表示信号的频谱特性，可以分析信号的频率组成和幅度分布等信息。
对于时间序列信号，傅里叶变换可以将其转换为频谱图，直观地显示信号的频率分布情况。
快速傅里叶变换（FFT）略解
快速傅⾥叶变换（FFT）略解前⾔如果我们能⽤⼀种时间上⽐ \(O(n^2)\) 更优秀的⽅法来计算⼤整数（函数）的乘法，那就好了。
快速傅⾥叶变换（FFT）可以帮我们在 \ (O(n\log n)\) 的时间内解决问题。
函数乘积计算两个⼤整数之积时，我们发现\[(2x+3)(4x+5)=8x^2+22x+15\quad...(*)\\ 23\times45=1035\]⽽如果我们把 \((*)\) 式右边的每⼀位的系数看做⼀个数每位上的数码，正好得到了 \(1035\)。
事实上，对于所有的多项式乘法，以上规律同样成⽴。
证明：（提⽰）考虑竖式乘法的过程，和多项式乘法的过程，它们的本质都是⼀样的。
这样，我们就把问题转换为：计算两个已知函数之积的函数的解析式。
复平⾯、单位圆考虑 \(\sqrt{-9}\) 的值。
\[\begin{aligned}\sqrt{-9}&=\sqrt{-1}\times\sqrt9=3\sqrt{-1}.\end{aligned} \]类似地，\(\forall N\in \Z_-\) 我们都可以⽤类似的⽅法得到 $$\sqrt{N}=\sqrt{-N}\times\sqrt{-1}$$引⼊虚数单位 \(\text{i}\)，使 \(\text{i}^2=-1.\) 这样我们就重新认识了数的范围，从实数扩充到复数。
⼀复数 \(a+b\text{i}\) 中的 \(a,b\in\R\)，\(a\) 是它的实数部分，\(b\text{i}\) 是虚数部分。
若 \(b=0\)，则它是实数。
复数服从实数的⼤部分运算法则。
若两个复数，它们的实数部分相等，虚数部分之和为 \(0\)，我们称它们互为共轭复数。
我们知道，数轴上的每个点与每个实数⼀⼀对应。
类似地，我们可以使⽤复平⾯上的点表⽰复数。
复平⾯与平⾯直⾓坐标系类似，它的 \ (x\) 轴单位长度为 \(1\)，\(y\) 轴单位长度为 \(\text{i}\)。
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数。
解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。
（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。
证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。
利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。
（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。
（3）正确。
因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。
根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。
由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。
3.4 设，，求，并作图表示和。
解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。
解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。
3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。
（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。
（1）绘出与的线性卷积结果的图形。
（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。
（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。
解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。
（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。
数字信号处理考研试题
数字信号处理考研试题一、选择题1. 在数字信号处理中，下列哪个算法是用于谱分析的？A. 快速傅里叶变换（FFT）B. 自相关函数C. 互相关函数D. 数字滤波器设计2. 以下哪种滤波器设计方法是基于窗函数的？A. 巴特沃斯法B. 切比雪夫法C. 卡尔窗法D. 椭圆法3. 在数字信号处理中，采样定理的主要作用是？A. 信号的重构B. 信号的压缩C. 信号的滤波D. 信号的放大4. 以下哪种方法不是数字滤波器的实现结构？A. 直接型B. 级联型C. 并联型D. 转置型5. 在数字信号处理中，用于降低噪声的常用方法是？A. 信号增强B. 信号滤波C. 信号压缩D. 信号重构二、填空题1. 在数字信号处理中，__________是指用一组离散的数据来表示连续信号的数学方法。
2. 快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的__________算法，它可以快速计算序列的傅里叶变换。
3. 为了使数字滤波器具有线性相位特性，常用的窗函数有__________窗和__________窗。
4. 在数字信号处理中，__________是一种通过模拟信号的离散时间样本来表示信号的方法。
5. 为了减少数字信号处理中的量化误差，通常采用__________位以上的量化位数。
三、简答题1. 请简述数字信号处理中的傅里叶变换和Z变换的区别及各自的应用场景。
2. 描述数字滤波器的基本设计步骤，并给出一个设计实例。
3. 解释数字信号处理中的过采样和欠采样的概念，并讨论它们对信号处理的影响。
4. 讨论数字信号处理在通信系统中的应用及其重要性。
四、计算题1. 给定一个离散时间信号x[n] = {2, -3, 6, 5, -4, 0, 0, ...}，计算其前4项的傅里叶变换。
2. 设计一个低通数字滤波器，要求通带截止频率为0.2π rad/sample，阻带截止频率为0.3π rad/sample，使用窗函数法设计。
3. 给定一个数字信号的自相关函数r[n] = {1, 3, 5, 7, 9, 7, 5, 3, 1, ...}，根据自相关函数求出信号的功率谱密度。
快速傅里叶变换FFT试题
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
快速傅里叶变换（FFT）
快速傅⾥叶变换（FFT）其实很早就想学习⼀下 FFT 了，不过⽐赛的时候和 FFT 有关的题⽬我都交给了队友，所以也没什么动⼒学- -今天看到 Gilbert Strang 的线性代数书中竟然也介绍了 FFT，就顺便学习了⼀下。
FFT 解决的问题我们知道，⼀个 $n-1$ 次多项式可以这样表⽰：$$\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k$$ 这种表⽰⽅法称为多项式的“系数表⽰法”。
容易看出，只要确定了 $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ 的值，就能唯⼀确定⼀个 $n-1$ 次多项式。
事实上，⼀个 $n-1$ 次多项式还可以⽤“点值表⽰法”进⾏表⽰。
我们把多项式看成函数 $f(x)$，只要给出 $n$ 个点 $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\dots,(x_n,f(x_n))$，且这 $n$ 个点的 x 值互不相同，我们也能唯⼀确定⼀个 $n-1$ 次多项式。
确定这个多项式的过程称为“插值”。
为什么 $n$ 个点可以唯⼀确定多项式呢？我们可以把给出的 $n$ 个点看作⼀个⽅程组，⽤矩阵表⽰为 $$\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots &x_n^n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_n)\end{bmatrix}$$简记为 $Xa = f$，根据线性代数的知识我们知道，矩阵 $X$ 是范德蒙矩阵，其⾏列式为 $$\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)$$ 显然，只要 x 的值各不相等，该矩阵的⾏列式就不为 0，说明该矩阵可逆，则我们能唯⼀确定多项式的系数向量为 $a = X^{-1}f$。
《数字信号处理》真题强化教程(第1讲 快速傅里叶变换FFT)
主讲人：杨治丽网学天地网学天地（ ）版权所有考点重点考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点考点4：FFT 的计算量考点5：FFT 的性质考点6：一个N 点FFT 同时计算两个N 点实序列考点7：一个N 点FFT 运算一个2N 点实序列考点8：利用FFT 求卷积、相关考点9：N 为复合数的FFT 算法。
考点10：分裂基FFT 算法。
网学天地（ ）版权所有考点1：基-2按时间抽取FFT 算法的原理，流图，特点。
例1：给出按时间抽取（DIT ）基2FFT 算法的蝶形运算公式，画出N =8时相应的算法流程图，并说明其特点。
网学天地（ ）版权所有N =8的算法流图：它的特点：原位运算，输入反序，输出自然顺序。
每列的蝶形类型（系数）比前一列增加一倍，参加蝶形运算的两个数据点的间距也增大一倍。
网学天地（ ）版权所有例2：网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例3：根据按时间抽取的基-2FFT 算法的思想，推导出用3个2点DFT 计算一个6点DFT 的快速算法，并画出算法流程图。
提示：6点数据按3个2点的分发为：{x (0), x (3)}，{x (1), x (4)}，{x (2), x (5)}。
解：考点2：按时间抽取的FFT 算法的变体网学天地（）版权所有网学天地（）版权所有网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例4：根据按时间抽取的基2 FFT 算法的思想推导出利用16点FFT 实现48点x (n )的DFT 的快速算法，并对具体步骤作简要说明。
网学天地（）版权所有网学天地（ ）版权所有例5：假设有一按时间抽取方式实现的8点FFT 芯片，试问如何利用这些芯片来计算24点的DFT ？请写出推导过程，并作简要说明。
网学天地（ ）版权所有22424()()()(),0,1,....15kk X k F k W G k W G k k =++=同理，可得：82(8)2424(8)()()()k k X k F k W G k W G k +++=++162(16)2424(16)()()()k k X k F k W G k W G k +++=++网学天地（ ）版权所有考点3：基-2按频率抽取FFT 算法的原理，流图，特点。
第三章_离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
傅里叶变换练习题
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
二 习题解答
1设 以 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ．
证：由题目设知 与 是以 为周期的函数，且光滑，
故 ，
，
且 ．
5.47．某信号的频谱密度函数为 则 （）
A． B。2
C． D。2
6.52．已知信号 的傅氏变换为 则 的傅氏变换为（）
A． B。
C． D。
7.98． 周期信号的傅立叶变换为（）
A． B。2 C。
8.3。符号函数 的频谱函数F(jω)=________________。
六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。（10分）
当 时，
．
于是
．
由贝塞尔不等式得 收敛，又 收敛，
从而 收敛，
故 在 上一致收敛．
2设 为 上可积函数，证明：若 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，则成立贝塞尔(Parseval)等式
，
这里 为 的傅里叶系数．
证：设 ，
因为 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，
所以 ，
．
于是 ．而
．
所以 时，
，
故 ．
3由于贝塞尔等式对于在 上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．
证：因为 为 上光滑函数，所以 为 上的连续函数，故可积．
由系数公式得
．
当 时，
．
故结论成立．
10证明：若三角级数 中的系数 满足关系 ， 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．
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第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
A. 8 B. 16 C. 1 D. 4 解：C3．在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。
在16点FFT 中，原来x(9)的位置扰乱后信号为：。
A．x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15)解：B4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
A.NB.N2C.N3D.Nlog2N解：D5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
A.NB.N2C.N3D.Nlog2N解：B6.N点FFT所需的复数乘法次数为( )。
A.NB.N2C.N3D.(N/2)log2N解：D7.下列关于FFT的说法中错误的是( )。
A.FFT是一种新的变换B.FFT是DFT的快速算法C.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类D.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)解：A8.不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( )。
A.1和2B.1和1C.2和1D.2和2解：A9．计算N=2L（L为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要( )级蝶形运算。
A．L B.L/2 C.N D.N/2解：A10.基-2 FFT算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算解：A11.计算256点的按时间抽取基-2 FFT，在每一级有______个蝶形。
( )A.256B.1024C.128D.64解：C12.如图所示的运算流图符号是_______基 2FFT 算法的蝶形运算流图符号。
( ) A.按频率抽取B.按时间抽取C.A 、B 项都是D.A 、B 项都不是 解：B13.求序列x(n)的1024点基2—FFT ，需要_____次复数乘法。
( ) A.1024 B.1024×1024 C.512×10 D.1024×10 解：C4.3 问答题1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。
答：相同点：（1）进行原位运算（2）运算量相同，均为N N2log 2次复乘、N N 2log 次 复加；不同点：（1）时域抽选法输入为倒位序，输出为自然顺序。
频域抽选法正好与此相反，但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况（2）蝶形运算不同 2.回答以下问题：（1） 画出按时域抽取4=N点基FFT 2的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。
（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。
解：（1）)0(x )1(x )2(x )3(x )0(X )1(X )2(X )3(X )0(0Q )1(0Q )0(1Q )1(1Q 1-1-1-j -jkr001102W 02W 02W 12W k l001104W 04W 14W 2304W 04W 04W 24W 34W4点按时间抽取FFT 流图 加权系数 （2）⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q ⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q 1055)0()0()0(10=+=+=Q Q X 31)1()1()1(1140⋅+-=+=j Q W Q X055)0()0()2(1240=-=+=Q W Q Xj Q W Q X 31)1()1()3(1340--=+=即：3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X（3）具体步骤如下：1）对)(k X 取共轭，得)(*k X ；2）对)(k X *做N 点FFT ；3）对2）中结果取共轭并除以N 。
3.已知两个N 点实序列)(n x 和)(n y 得DFT 分别为)(k X 和)(k Y ，现在需要求出序列)(n x 和)(n y ，试用一次N 点IFFT 运算来实现。
解：依据题意)()(),()(k Y n y k X n x ⇔⇔取序列)()()(k jY k X k Z +=对)(k Z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。
又根据DFT 性质)()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题可知，)(),(n y n x 都是实序列。
再根据)()()(n jy n x n z +=，可得)](Im[)()](Re[)(n z n y n z n x ==4.4 计算题1. 对于长度为8点的实序列)(n x ，试问如何利用长度为4点的FFT 计算)(n x 的8点DFT ？写出其表达式，并画出简略流程图。
解：∑==78)()(n nkW n x k X3,2,1,0),()()()()12()2(83483430)12(83028=+=+=++=∑∑∑∑===+=k k H W k G Wr h WWr g W r x Wr x k r rk k r rk r kr r rk ①∑∑=++=++=+3)4(44830)4(4)()()1(r k r k r k r Wr h WWr g k X2,1,0),()()()(834834=-=-=∑∑==k k H W k G Wr h WWr g k r rk k r rk ②按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。
)2(x )4(x )6(x )1(x )3(x )5(x7(x )1(X )2(X )3(X )4(X )5(X )6(X )7(X )0(X )0(x2.][k X 是N 点序列)(n x 的DFT ，N 为偶数。
两个2N 点序列定义为])12[]2[(21][1++=n x n x n x120]),12[]2[(21][2-≤≤+-=N n n x n x n x ][1k X 和][2k X 分别表示序列][1n x 和][2n x 的2N点DFT ，试由][1k X 和][2k X 确定][n x N点DFT 。
解：DFT}{∑∑-=-===10221202][]2[]2[N l ml N N k mk N Wl x Wk x k x （l 为偶数）])2[][(2121][102N m X m X W W l x mlN N L lN N++=+=∑-= DFT}{∑∑-=--==+=+10212122][]12[]12[N l l m NN k mk N Wl x W k x k x ）（（l为奇数）mNm N ml N lN NN l W N m X m X W W Wl x ---=+-=-=∑]2[][(212)1(][21120],2[)1(41][)1(41][1-≤≤+-++=--N m N m X W m X W m X mN m N 120],2[)1(41][)1(41][2-≤≤+++-=--N m N m X W m X W m X m N m N 解上述方程可得120],[)1(][)1(][21-≤≤-++=Nm m X W m X W m X m N m N120],[)1(][)1(]2[21-≤≤++-=+N m m X W m X W N m X mN m N 3.已知长度为2N 的实序列)(n x 的DFT)(k X 的各个数值)12,...,1,0(-=N k ，现在需要由)(k X 计算)(n x ，为了提高效率，请设计用一次N 点IFFT 来完成。
解：如果将)(n x 按奇偶分为两组，即令1,,2,1,0)12()()2()(-=⎭⎬⎫+==N n n x n v n x n u K那么就有1,,2,1,0)()()()()()(22-=⎭⎬⎫-=++=N k k V W k U N k X k V W k U k X k N k N K其中)(k U 、)(k V 分别是实序列)(n u 、)(n v 的N 点DFT ，)(k U 、)(k V 可以由上式解出[][]1,,2,1,0)()(21)()()(21)(2-=⎪⎭⎪⎬⎫+-=++=-N k N k X k X W k V N k X k X k U kN K由于)12,...,1,0)((-=N k k X 是已知的，因此可以将)(k X 前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了)(k U 和)(k V 。
令)()()(n jv n u n y +=根据)(k U 、)(k V ，做一次N 点IFFT 运算，就可以同时得到)(n u 和)(n v )1,...,1,0(-=N n它们分别是)(n x 的偶数点和奇数点序列，于是序列)(n x )12,...,1,0(-=N n 也就求出了。