均值不等式及线性规划--李双云
浅谈均值不等式的应用
学科探索D i s ci pl i ne sE xpl or at i on浅谈均值不等式的应用王冬梅(吉林师范大学数学学院吉林四平136000)摘要均值不等式在很多领域都占有重要的地位，但它的应用是一个难点，本文从初等数学，高等数学，实际生活三个方面论述了均值不等式的应用，有利于对均值不等式的进一步理解及应用。
关键词均值不等式应用技巧中图分类号：G 634．6文献标识码：AO n t he A ppl i cat i on ofM eanI nequal i t yW A N G D ongm ei(Schoolof M at hem a t i cs ，Ji l i n N or m al U ni ver s i t y,Si pi ng ，J i l i n 136000)A bs t ra ctM ean i nequal i t y occupi es ani m port a nt posi t i on i n m a n y ar eas ，but it s appl i c at i on i sadi f f i cul t poi nt ，t h i s ar t i cl ef r om el em ent ar y m at h em at i cs ，advan ced m a t l l em at i cs ，pr a ct i ca l l i fe t hr e e a spec t s di s cuss m e a n i neq ual i t y ；i t is be ne f i c i a l f or f ur t he r und er s t andi ng of t he m ean i nequal i t y and appl i cat i ons ．K ey wor ds m e a n i ne qual i t y ；appl i cat i on ；ski l l均值不等式是数学科目在初级甚至高级阶段应用概率比较大的一个基本不等式。
期末复习三 线性规划 均值不等式
期末复习三 线性规划 均值不等式 线性规划1．若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ） A.m ＜-5或m ＞10 B.m=-5或m=10 C.-5＜m ＜10 D.-5≤m ≤10 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()3.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．5.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A.a ≥34B.0＜a ≤1C.1≤a ≤34D. 0＜a ≤1或a ≥346．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27.设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）A ． B ． C ． D ．48.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z＝kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是( )A.(-∞,-1］∪［1,+∞)B.［-1,1］C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1) 均值不等式应用题1、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
《平均值不等式》课件
详细描述
赫尔德不等式是数学分析中一个非常有用的工具，它 在解决一些数学问题时具有广泛的应用。这个不等式 可以用来证明一些重要的数学定理，如AM-GM不等 式和Holder不等式。赫尔德不等式在优化理论、概率 论和统计学等领域也有着广泛的应用。
详细描述
切比雪夫不等式表明，对于任何随机变量X，其概率分布 P(X)满足：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ Var(X) / k^2，其中E(X) 是X的期望值，Var(X)是X的方差，k是任意正实数。这个 不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，如大数定 律、中心极限定理等。
赫尔德不等式
总结词
01
平均值不等式的性 质
平均值不等式的传递性
总结词
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$都是正数，且$a_1/b_1, a_2/b_2, ..., a_n/b_n$是递增（或递减）的，那么 $frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+ b_n} geq frac{a_1}{b_1} geq frac{a_2}{b_2} geq ... geq frac{a_n}{b_n}$（或$leq$）。
01
平均值不等式的应 用
在数学中的应用
解决最值问题
平均值不等式可以用来解决函数的最值问题，通过比较函数在不同区间的平均值和极值，可以找到函数的最小值或最 大值。
证明不等式
平均值不等式可以用来证明一些数学不等式，例如通过比较不同项的平均值和最小值，可以证明一些数学序列或函数 的不等式关系。
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用课件北师大版必修5
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为 3_0_亩__、__2_0_亩__.
[解析] 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x 亩、y 亩， 则总利润 z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y，此时 x，y 满足条件
命题方向2 ⇨耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
例题 2 某公司的仓库A存有货物12 t，仓库B存有货物8 t．现按7 t、8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每 吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个 仓库运货物到三个商店的总运费最少？
复习课件
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用课件北师大版必修5
2021/4/17
高中数学第三章不等式4简单线性规划第3课时简单线性规
1
划的应用课件北师大版必修5
第三章
不等式 §4 简单线性规划
第3课时 简单线性规划的应用
自主预习学案
近20年来，中国的城市化取得了巨大的成就．城市人 口急剧增加，导致购房者大大增长．与装修有关的各个行 业发展迅速．某家具加工厂为了满足人们的需求，准备加 工书桌和书橱出售．家具厂现有方木90 m2，五合板600 m2. 已知生产每张书桌需要方木料0.1 m2，五合板2 m2，生产书 橱每个需要方木0.2 m2，五合板1 m2.出售一张书桌可获利润 80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利 润最大？要解决这个问题就要用到线性规划，下面让我们 来研究一下线性规划问题．
平均值不等式及其应用
平均值不等式及其应用摘要：平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 本文总结性地介绍了平均值不等式的几种具有代表性的证明方法，包括逆向归纳法、马克罗林的替代法、概率论方法、泰勒公式、不等式证明等，并归纳总结了其在不等式证明、求函数极值和最值、判断数列及级数的敛散性、解决积分不等式问题、比较大小等各方面应用，为今后此类问题的研究提供了便利，为解决其他不等式的证明提供了帮助.关键词：平均值不等式；数学归纳法；泰勒公式；应用Mean Value Inequality and its Application Abstract：The mean value inequality is of great importance in inequalities, and it is one of the most widely used inequality in modern analytical mathematic. In this paper ,we summarize several typical proof methods of the mean value inequality, including mathematic induction, Mark Rollin's alternative method, probability theory method, Taylor formua, inequality method. Furthermore, we introduce some applications of the mean value inequality through examples. It can use in proving inequalities, judging the divergence of certain sequences and the progression, and solving the integral inequality question, as well as seeking the extreme value of function and so on.Key words：mean value inequality；mathematic induction；Taylor formula；application1．引言平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是数学中最重要的基本不等式12之一，也是人们最为熟悉的不等式，因此，它在数学的很多领域中都有着广泛的应用.平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术-几何平均值不等式的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式.2．平均值不等式下面介绍一下平均值不等式：考虑n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均(n A )和几何平均(n G )：∑==ni i n a n A 11， n n n a a a G 21=平方平均(n Q )和调和平均(n H )：n a a a Q n n 22221+++= ，nn a a a nH 11121+++= 平均值不等式：n n n n Q A G H ≤≤≤，即22212121121111nnn n i i na a a na a a a n n a a a =+++≤≤≤+++∑ .其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.3．平均值不等式的证明关于平均值不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法.在介绍第一种证明方法之前，首先介绍一下逆向归纳法的证明思路. 逆向归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题，如果(1) 命题对于无穷多个自然数成立；(2) 假设命题对n =k 时成立，得出命题对n =k-1时也成立； 那么这个命题对于一切自然数n 都成立.3证法一[2]（逆向归纳法）证明 i) 首先证明命题对一切2(1,2,)k n k == 成立. 当2n =时，12122a a a a +≥，命题成立； 当4n =时，有不等式：2234121234()()22a a a a a a a a ++≤⋅ 2341222a a a a ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭43412412342224a a a a a a a a ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫≤=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即命题成立. 同理推出命题对3428,2,,2s n n n ==== 都成立(s 为任意自然数)，所以命题对无穷多个自然数成立.ii) 设命题对n k =成立，令 12k k a a a S k +++=，12111k k a a a S k --+++=- ，由上式立即得：12111k k k a a a S S k---++++= .由归纳假设得：121111211kk k k k k k a a a S Sa a a S k -----++++⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即 11121k k k S a a a ---≥ . 故12111211k k k a a a a a a k ---+++≥- ，从而命题对1n k =-也成立.综合i)、ii)，由反归纳法原理知，命题对一切自然数n 都成立.证法二[2] (马克罗林的替代法证明)证明 我们保持12a a s +=和不变，以122a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数122a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即有21212()2a aa a +≥，实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，且当两个数相等时等号成立.现在变动诸数12,,,n a a a ，但保持它们的和12n a a a s +++= 不变，这时乘4积12nn a a a 必须在12n a a a === 时取极大值，因为只要i j a a ≠，我们用2i ja a +分别代替i a 和j a ，这时和12n a a a s +++= 仍然不变，但它们的乘积却增加了，即有：121222i ji jn i j n a a a a a a a a a a a a ++>当且仅当12n a a a === 时，1212nn n a a a a a a n+++= .故1212n nn a a a a a a n+++≥ ，即命题成立.注：这个证明方法是由苏格兰科学家马克罗林给出的，所以我们称其为马克罗林替代法.证法三[3] (概率论证明方法) 证明 设1()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，则 111()()nni i i i i E a P a a n ξξ===⋅==⋅∑∑ 11n i i a n ==∑.所以 2211()n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.又由公式得：222211111()()nnn i i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，而22()()E E ξξ≤，所以221111n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 21111n n i i i i a a n n ==≤∑∑. (1) 由公式11111(ln )ln ()ln ln nnni i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，511ln()ln n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，而(ln )ln()E E ξξ≤，所以有：1111ln ln n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 1211ln ln nn n i i a a a a n =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故 1211nn n i i a a a a n =≤∑ (2)再设有分布列11()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，由(ln )ln()E E ξξ≤可得： 111111ln ln n n i i ii n a n a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 故1211n n ni ina a a a=≤∑ (3)综合(1)、(2)、(3)得： 212111111n n nn i i ni i i ina a a a a n n a ===≤≤≤∑∑∑ . 注：这里，我们利用概率论模型证明了平均值不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式找到了新的途径.证法四[4] (利用不等式1x e x ≥+，1x ≥-) 证明 设12nn a a a A n+++= ，12n n n G a a a = ，(0,1,2,,)i a i n >=由不等式1x e x ≥+，(1x ≥-)可知，对于每一i 有：exp 1i i n na aA A ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1,2,,i n = .求其乘积，得：6111exp 1exp 1nn i i i i n na a A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ 1nni n i n n a G A A =⎛⎫≥= ⎪⎝⎭∏ 故n n A G ≥，即1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= )注：利用不等式证明平均值不等式有几种方法，其中詹生不等式就是一种，而这里是利用不等式1x e x ≥+（1x ≥-）来得到证明.证法五 (利用泰勒公式)证明 设()log a f x x =，(01,0)a x <<>，则 ''21()0ln f x x a=>. 将()f x 在点0x 处展开，由泰勒公式，有：'''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-，其中00()x x x ξθ=+-，(01θ<<)因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-. 取011ni i x x n ==∑，(,)i x a b ∈，1,2,,i n = ，则有：'111111()()()()n nn i i i i i i i i f x f x f x x x n n n ===≥+-∑∑∑，1,2,,i n = . 故'1111111()()()()nn n n ni i i i i i i i i i f x nf x f x x x n n =====≥+-∑∑∑∑∑ 11()n i i nf x n ==∑， 即 1111()()n ni i i i f x f x n n ==≤∑∑.因此有121211log ()(log log log )an a a a n a a a a a a n n+++≤+++ . 于是7121211log ()log ()a n a n a a a a a a n n≥+++ 112121log ()log ()na n an a a a a a a n≥+++ 故1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= ).注：除了上面介绍的几种证明方法外，证明平均值不等式还有拉格朗日乘数法（见[5]）、排序不等式等.4．平均值不等式的应用在数学分析中，平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性，解决积分不等式问题，求函数极值等，并且其在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都具有巧妙的应用. 下面通过实例说明平均值不等式的一些应用.4.1 判断数列敛散性，并求其极限例1[6]．设13a =，11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞存在，并求其值.证明 先证有下界. 132a =>；假设2k a >，则有11612611=(1)2123163k k k kk k a a a a a a +⎛⎫⎡⎤+=+++- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 2611(1)223163k k a a ≥+⋅+⨯-=+. 由数学归纳法知：对任意正整数n ，有2n a >，即数列有下界. 再证数列单调递减. 事实上，对任意正整数n ，有11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭161(2)2212n n a a ⎛⎫<+=+ ⎪+⎝⎭()12n n n a a a <+=， 即1n n a a +<.8由单调有界原理，极限lim n n a →∞存在. 设lim n n a a →∞=，对等式11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限，得1621a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭解之得：2a =(负值不合题意，舍去) 故lim 2n n a →∞=.例2．证明：数列12n n n n nn a n ⎧⎫+++=⎨⎬⎩⎭收敛. 证明 首先证明数列是单调的. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有11111nn k n k k n n n n ++⋅+⎛⎫<= ⎪++⎝⎭， 所以11(1)(1)n n n n k k n n +++<+. 所以12n n n n n n a n +++= 1111123(1)(1)n n n n n n a n +++++++++<<+ . 即数列{}n a 是单调递增的.再证数列有上界. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有1111111kn kn n k n n n ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-≤-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 1kk e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以9(1)[(1)]n n n n n n n n n a n +-++--= 11111n nn n n -⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(1)1111n n e e ee ------<+++=- 1111ee e -<=--， 即数列有上界.由单调有界定理知，该数列收敛.4.2 判断级数敛散性例3[6]．设111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，证明：级数1n n b ∞=∑是发散级数.证明 因111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，由2a bab +≤有112n n +⋅≤，12(1)2n n +-≤，1,12n n ++≤ 故1211n n ≥+⋅，1212(1)n n ≥+-，12,11n n ≥+⋅ 从而有1112112(1)1n n b n n n n =+++≥+⋅-⋅ . 因lim 0n n b →∞≠，故级数1n n b ∞=∑发散.4.3 证明函数项级数一致收敛性10例4[7]．试证：22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑. 证明 设 2(1)()(1)n n n x x u x n x -=-，1x ≠，显然有 211lim ()2n x u x n →=. 令21(1)2n u n=，则()n u x 在[0,2]上连续，()0n u x ≥，应用几何平均-算术平均不等式，得21()(1)n n n x u x n x x -=+++ 222221212221n n n x x n n n x x -≤=≤⋅⋅ ，[0,2]x ∈， 又因为211n n∞=∑收敛， 根据魏尔斯特拉斯判别法，得级数1()n n u x ∞=∑在[0,2]上是一致收敛的.故21111111lim ()lim ()2n n x x n n n u x u x n ∞∞∞→→=====∑∑∑， 即 22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑.例5．试证级数2211cos 1nn n x nx x x x∞-=++++∑ 在(0,1]上一致收敛. 证明 设 21()1nn n x a x x x -=+++ ，()cos n b x nx =，1,2,n = ；显然{}()n a x 是递减的，因为21()1n n n x a x x x -=+++ 22112221n n n x x n nn x x -≤=≤⋅ ，(01)x ≤≤ 所以{}()n a x 是递减的且一致收敛于0. 注意到1111sin()sin1122cos 12sin sin sin242nk xn kx x x =+-=≤≤∑，1(1)2x ≤≤ 根据狄里克雷判别法，1()()n n n a x b x ∞=∑在1[,1]2上一致收敛.当102x ≤≤时，1()()2nn n n a x b x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，1,2,n = ， 而112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得 1()()n n n a x b x ∞=∑在1(0,]2上一致收敛. 故1()()n n n a x b x ∞=∑在(0,1]上一致收敛.4.4 求函数极值和最值平均值不等式是求最值的常用方法之一，运用平均值不等式求最值时，要注意三个条件：‚一正二定三相等‚，三者缺一不可，求值时，要注意所进行的必须是等价转化. 运用平均值不等式求最值的方法有：负变正法，乘‘1’法，配系数法，添项法，拆项法，平方法，换元法，引入参数法.例6[6]．求函数3()(33)(1)f x x x =-+在开区间(0,1)内的极大值.解 3()(33)(1)f x x x=-+ 44(33)(1)(1)(1)6814416x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 当且仅当331x x -=+，即12x =时，()f x 有极大值8116.例7[10]．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求414141a b c +++++的最大值.[分析] 当函数恒为正值时，有时对目标函数进行平方，可达到凑和为定值的目的.解 令414141u a b c =+++++，则0u ≥.12所以24()32(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)u a b c a b b c a c =++++++++++++72(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)a b b c a c =+++++++++7(442)(442)(442)a b b c a c ≤+++++++++ 138()21a b c =+++=.4.5 证明积分不等式例8．若函数()f x 在[,]a b 上连续，且当[,]x a b ∈时()0f x >，则2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰[分析] 证法一中利用了定积分的定义和平均值不等式，定积分的定义是很容易可以想到的，再加上对平均值不等式的熟练掌握和灵活应用，即可解决本题的证明. 另外，如果对定积分的性质比较熟悉的话，也可以直接利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz )不等式来证明.证法一[6]利用1212111nna a a n na a a +++≤+++ 的变形：21212111()()n na a a n a a a +++⋅+++≥ 由已知条件：()f x 与1()f x 在[,]a b 上均可积. 应用定积分定义，将[,]a b n 等分，得：111()()nn k k k k b a b af x n f x n ==--⋅∑∑ 2121()11[()()]()()n n b a f x f x n f x f x ⎡⎤-=++⋅++⎢⎥⎣⎦ 2222()()b a n b a n-≥⋅=-， 故对上式两边取极限n →+∞，得：2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰.13证法二 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据Cauchy-Schwartz 不等式，即()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰，得：221()()()b ab a f x dt f x ⎛⎫-=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰()221()()b b aa f x dt dt f x ⎛⎫≤⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()bbaadxf x dx f x =⎰⎰， 即命题得证.例9. 设正值函数()f x 在[0,1]上连续，证明：11()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.证明 由条件知()f x ，ln ()f x 在[0,1]上可积，将[0,1]进行n 等分，作积分和：111()lim ()n n i if x dx f n n →∞==∑⎰1011112ln ()lim ln ()lim ln[()()()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===∑⎰ 11limln[()]nn n i i f n →∞==∏ 所以11011lim ln[()]ln ()1lim[()]nn n i inf f x dx nn n i i e ef n→∞=→∞=∏⎰==∏由平均值不等式得：1111[()]()nn ni i i i f f n n n ==≤∑∏故得101()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.4.6 证明不等式平均值不等式在不等式的证明中具有非常重要的地位，如果能够灵活应用，往往会达到事半功倍的效果.14例10[9]．若n N +∈，证明：111(1)(1)1n n n n++>++. 证明 由平均值不等式知，1111(1)(1)(1)(1)1n n n n n +=+++⋅ 11(1)11n n n n +⎡⎤+⋅+⎢⎥<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1121()(1)11n n n n n +++==+++ 故得证.例11．设n N ∈且1n >，证明：2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦. 证明 由平均值不等式知，222221212nnn n n+++⋅< .又22112(1)(21)6n n n n n ⋅=++ 所以22(1)(21)126n n n n n ++⋅<两边作n 次乘方，即得2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦.例12．已知,,a b c 都是正实数，求证：(1) 555333222a b c a b c b c a ++≥++； (2) 555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.证明 (1)由平均值不等式可得，5553332225a a a b b a b b b++++≥, (1) 5553332225b b b c c b c c c ++++≥， (2) 5553332225c c c a a c a a a++++≥. (3)15(1)+(2)+(3)得：555333222a b c a b c b c a++≥++. (2) 由平均值不等式可得：552222225a a b b c a b c b c++++≥， (4) 552222225b b c c a b c a c a++++≥， (5) 552222225c c a a b c a b a b+++++≥. (6) (4)+(5)+(6)得：555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989：17-18.[2] 谢刚.证明一类重要不等式的几种方法[J].滁州职业技术学院学报，2010，9(1)：79-80. [3] 姚仲明.蒋秀梅，平均值与平均值不等式[J].安庆师范学院学报，2009，15(1)：96-98. [4] 陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报，2008，10(3)：129-130. [5] 黄东兰.算术-几何平均值不等式的证法[J].福建广播电视大学学报，2007，(4). [6] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报，2009，9(1)：14-16. [7] 饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学，2008，26(8)：900-903.[8] 伏春玲，董建德.均值不等式的性质推广及应用[J].甘肃联合大学学报，2010，24(6)：26-31.[9] 夏立标.均值不等式及其推广[J].宁德师专学报，2010，22(2)：125-127.[10] 沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学报，2007，23(6)：61-62.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.[12] 华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.[13] Akerberg B., A proof of arithmetic geometric mean inequality, Amer. Math Monthly, 1963,70:997-998.[14] Chong, Kong-Ming, An inductive proof of the A.M.-G.M. Inequality, Amer.Math Monthly,1976, 83:657-658.16。
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
2018学年高中数学必修5课件：3.3.3 简单的线性规划问题 精品
非线性目标函数最值问题的求解方法 1．非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如 两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数 形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
2．常见代数式的几何意义主要有： (1) x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
在这些点中，使目标
函数 z＝6x＋8y，取得最大值的点的坐标是________．
图 3-3-7
【解析】 由 z＝6x＋8y，变形为 y＝－34x＋8z，得到斜率为－34，在 y 轴上截 距为8z，随 z 变化的一族平行直线，由题图可知，过(0,5)点时， z＝6x＋8y 取最大 值．
【答案】 (0,5)
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； (2)z＝2xy＋＋11的取值范围.
【导学号：91730063】
【解】 (1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂足在 AC 上，
2．在约束条件xx－ ＋yy－ ≤11≤ ，0， x≥0
下，目标函数 z＝10x＋y 的最优解是________．
【解析】 作可行域如图，平移直线 y＝－10x 可知，z＝10x＋y 的最优解是
(1,0)，(0，－1)．
【答案】 (1,0)，(0，－1)
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
第9讲 均值不等式和不等式的解法---Pdf
讨论：①
a
>
1 2
或
a<−3
时，解集为
⎧ ⎨
x
⎩
x
>
a −1 ⎫
2a
−
⎬ 1⎭
② a = 1 时 原式 0 > − 7 恒成立 解集为 R
2
4
③ −3 < a < 1 时 2
解集为
⎧ ⎨
x
⎩
x
<
a −1 ⎫
2a
−
⎬ 1⎭
④a = −3 时 0>0 不成立 解集为φ
【例 14】解：y = f(x)的零点为 − 1 ， 1 23
=
2(lg 5
−
lg 2)
=
2(1 −
2lg 2)
=
2
−
4lg 2
当且仅当
⎧x ⎨⎩ x
= +
y y
=
5
∴ x = y = 5 时取“=” 2
x+ y
3
5
【例 10】解： 2x + 2y ≥ 2 2x ⋅ 2y = 2 × 2 2 = 2 × 22 = 22
当且仅当 x = y = 3 时取“=” 2
（2） (2x −1)a2 + (5x − 2)a > 3(x −1) (a ∈ R) .
【例 14】已知二次函数 y = x2 + px + q ，当 y < 0 时，有 − 1 < x < 1 ，解关于 x 的不等式 23
qx2 + px + 1 > 0 .
3
参考答案： 典型例题
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不等式简单的线性规划问题线性规划的实际应用
目标函数的线性规划
二维线性规划问题的概念
二维不等式线性规划问题是指具有两个决策变量和一组不等式约束条件的线性规划问题。
二维线性规划问题的求解方法
求解二维不等式线性规划问题通常采用图解法和单纯形法。
二维不等式线性规划问题
多维不等式线性规划问题
多维不等式线性规划问题是指具有多个决策变量和一组不等式约束条件的线性规划问题。
详细描述
运输问题优化在实际应用中需要考虑多个因素，如运输方式、运输距离、运输成本、运输时间等。通过不等式简单的线性规划方法，我们可以得到最优的运输计划方案，实现运输成本和时间的最佳组合。
运输问题的优化案例
资源分配问题优化是一种解决资源利用和分配问题的技术，通过合理的资源分配计划，企业可以实现资源的最大化利用和经济效益的最大化。
总结词
线性规划可以确定最经济的生产计划，通过对生产计划中的各种因素进行限制和优化，可以最大化企业的利润或最小化成本。
详细描述
生产计划优化
运输问题是企业物流管理的重要环节，线性规划可以用来优化运输计划，提高物流效率和降低成本。
线性规划可以确定最经济的运输计划，通过对运输路线、运输量、运输成本等因素进行限制和优化，可以最大化运输效率并降低运输成本。
要点一
要点二
详细描述
人员安排问题优化在实际应用中需要考虑多个因素，如人员素质、工作经验、工作能力、岗位需求等。通过不等式简单的线性规划方法，我们可以得到最优的人员安排计划方案，实现人力资源的最大化和员工工作效率的最大化。
人员安排问题的优化案例
THANKS
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应用场景的特定约束条件的定义
应用场景的特定约束条件对线性规划的影响
处理应用场景的特定约束条件的方法
2018学年高中数学必修5“同课异构”教学课件 3.3.2 简单的线性规划问题1 精品
目标定位
【学习目标】 1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域； 2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件. 【重、难点】 重点：用图解法解决简单的线性规划问题 难点：准确求得线性规划问题的最优解
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元一次不等式表 示的平面区域的操作要点，怎样画二元一次不等式组 表示的平面区域？
14万元.
t
探究（二）：线性规划的有关概念 p
1 2
பைடு நூலகம்
5730
（1）线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，
这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，称为线性约束 条件．
（2）线性目标函数：
上述关于x、y的一次解析式z＝2x＋y是关于变量x、y的 二元一次函数，是求最值的目标，称为线性目标函数．
2.在现实生产学科网 、生活中，经常会遇到资源利用、人力 调配、生产安排等问题，如何利用数学知识、方法解 决这些问题，是我们需要研究的课题.
t
探究（一）：线性规划的实例分析 p
1 2
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h；每生产 一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h 计算.
（3）线性规划问题：
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题．
（4）可行解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．
（5）可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域． （6）最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解．
高中数学第三章不等式2简单线性规划课件必修5高一必修5数学课件
意义．
(1)截距型：形如z＝Ax＋By(B≠0)，即y＝－AB
x＋Bz
，
z 为该 B
直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B
倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
12/13/2021
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，z表示平面区域内的 动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方．
12/13/2021
(1)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件
x＋y－3≤0 x－2y－3≤0 x≥m，
A．－1
则实数m的最大值为( B )
B．1
3 C.2
D．2
12/13/2021
x≥1 (2)已知a>0，x，y满足约束条件 x＋y≤3 y≥ax－3，
y的最小值为1，则a＝( B )
12/13/2021
规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个 是两点间的距离模型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线 的距离模型，但其本质还是二元函数的最值问题．熟悉这些模 型有助于更好地解决问题．
12/13/2021
x＋y－3≥0 已知实数x，y满足 x－y＋1≥0
9
x≤2，
__2_.
12/13/2021
【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，直线ax＋2y＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，即－4<a<2.
12/13/2021
规律方法 对于线性规划的逆向思维问题，解答时必须明确 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数 形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函 数斜率的关系．
则z＝x2＋y2的最小值为
线性规划问题中的不等式解法
Part Four
不等式解法的改进 和优化方法
不等式解法的改进方法
迭代法：通过不断迭代逼近最优解，提高解的精度和稳定性 梯度下降法：利用函数梯度的性质，快速找到最优解 牛顿法：利用泰勒级数展开，以二次收敛速度逼近最优解 内点法：针对约束优化问题，通过迭代逼近最优解
不等式约束的求解方法：常用的求解方法有单纯形法、梯度法、牛顿法等。
Part Two
不等式解法的原理 和步骤
不等式解法的原理
线性规划问题的定义和分类
不等式解法的概念和适用范围
不等式解法的原理和数学模型
不等式解法的步骤和算法流程
不等式解法的步骤
列出不等式
移项
合并同类项
化简不等式
不等式解法的注意事项
04 不 等 式 解 法 的 改 进 和优化方法
Part One
线性规划问题的定 义和分类
线性规划问题的定义
线性规划问题是一种数学优化问题，旨在找到一组变量的最优组合，使得某个线性目标函数 达到最大或最小值。
该问题通常被建模为一组线性不等式约束下的线性目标函数。
这些不等式表示某些变量的取值范围或限制条件。
不等式解法在解决实际问题中的应用技巧和注意 事项
确定问题类型：判 断是否适合使用不 等式解法
建立不等式模型： 根据问题实际情况， 建立不等式模型
解不等式：使用适 当的方法求解不等 式
验证解的有效性： 在实际问题中验证 解的可行性和正确 性
THANKS
汇报人：XX
线性规划问题中的不等式约束
定义：线性规划问题中的不等式约束是指在一组线性不等式约束条件下，求线性目标 函数的最大值或最小值。
第3讲 不等式与线性规划
的值是最大值为 12,则 2 + 3 的最小值为
.
ab
解析:(3)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,
所以 2 3 =（ 2 3 ） 2a 3b = 13 +（ b a ）≥ 13 +2= 25 （当且仅当 a=b= 6 时取等号）.
ab ab
6 6 ab
6
6
5
答案:(3) 25
6
︱高中总复习︱二轮·理数
第3讲 不等式与线性规划
︱高中总复习︱二轮·理数
热点训练 2:(1)(2019·天津卷)设 x>0,y>0,x+2y=5,则 x 12y 1 的最小值为
;
xy
解析:(1)因为 x>0,y>0,所以 xy >0.
因为 x+2y=5,所以 x 12y 1 = 2xy x 2y 1 = 2xy 6
2
4
所以 3=ab+a+b≤ a b2 +(a+b),即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,
4
解得 a+b≥2 或 a+b≤-6(舍去).Leabharlann 当a b, ab a
b
3
时,等号成立,
即 a=b=1 时,等号成立.
所以 a+b 的最小值为 2.
答案:(2)2
【教育专用】专题32 均值不等式的灵活应用-名师揭秘2019年高考数学(文)命题热点全覆盖
专题32 均值不等式的灵活应用一．【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等. 类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b 2≥ab ；变式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P24；(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四．典例分析（一）基本不等式比较大小例1．若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定【答案】B【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，且，∴，即．故选B．练习3．设f(x)＝e x,0<a<b，若，，，则下列关系式中正确的是( ) A．q＝r<p B．p＝r<q C．q＝r>p D．p＝r>q【答案】C【解析】由题意得，∵，∴，又函数为增函数，∴．故选C．（二）利用基本不等式证明例2.已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，，上面三式相加，得：，所以，.练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A【解析】原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.【答案】见解析练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．【答案】①③④【解析】要使，只需成立，即，不为且同号即可，故①③④能使成立．.故答案为：①③④.（三）由基本不等式求积的最值例3. 4．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，即，解得，又由，且，联立方程组，解得.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时练习1．已知，且，则的最大值是（）A．B．4C．D．8【答案】C【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．故选C．【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．练习2．已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab 的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得．故选：B．练习3．已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1（四）基本不等式求和的最值例4.已知实数，满足，，则的最小值是A．10B．9C．D．【答案】B【解析】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.练习1．若正数满足，则的最小值为( )A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为：A．练习2．已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.练习3．已知，且，则的最小值为______．【答案】15（五）条件等式求最值例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( ) A．10B．C．D．【答案】C【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当a b时取等号）故选：C．练习1．已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．练习2．若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1【解析】∵点在椭圆上运动，即，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.练习4．已知，，，则的最小值为_______．【答案】3【解析】因为，，所以=（六）基本不等式的恒成立问题例6.已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2),使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得不等式可化为或或或解得．所以不等式的解集为．(2)，使得成立，等价于.由(1)知，当时，，当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，又，所以．故实数的取值范围为．【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，当等号成立.故恒成，化简得，解得，故选C.练习2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]【解析】（1）∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当x=y时取等号由x+y+xy=8，可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）.解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．对任意满足条件的m，n，恒有成立，则：．当且仅当n=m时取等号．∴λ≤9．即λ的取值范围是（﹣∞，9]．练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(－∞，4)【解析】原不等式可化为＞.∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.∴不等式λ＜恒成立．∵＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴λ＜4.故实数λ的取值范围是(－∞，4)．（七）对勾函数求最值例7．已知。
第42讲 平均不等式
平均不等式本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，也就是),(2+∈≥+R b a ab ba),,(33+∈≥++R c b a abc c b a),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a na a a n nn n对于一般正整数n 的平均不等式，我们将在本节的附录里给出证明． A 类例题例1 证明：对任意实数a >1,b >1， 有81122≥-+-a b b a分析：由对称性，容易算出当a =b =2时等号成立，此时4)1(41)1(4122=-=-=-=-a a b b b a证明：)1(4.12)1(4122--≥-+-b b a b b a即a b b a 4)1(412≥-+-同理b a a b 4)1(412≥-+-两同向不等式相加得81122≥-+-a b b a ，a =b =2时等号成立． 说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性． 链接：本题可以稍作引申：当a >1,b >1,c >1时，12111222≥-+-+-a c c b b a例2 已知a 2,…, a n 是n 个正数，满足c =1求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n3≥ (1989年全国联赛题)分析：考虑到已知条件a 1.a 2…a n =1，因此如何从（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）过渡到能用已知条件就成关键．再注意到2+ a 1，2+ a 2等都与3比较接近，并且还有相等的可能，因此证法便自然得到．证明：1+1+ a 131.1.13a ≥即 2+ a 1313a ≥ 同理 2+ a 2323a ≥ …2+ a n 33n a ≥将这n 个同向不等式相乘得（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n3≥.n n a a a 3...321=，当a 1= a 2= a n 时等号成立．说明：本题证明中将2+ a 1拆成1+1+ a 1，这种恒等变形（分拆）还有形形色色的“凑”和“配”，在解题时是经常用到的．这些技巧的运用并无固定的程式和章法可套，只能根据题目的特点，因题而异．经验和洞察力要靠我们不断地实践和积累．链接：本题也可以从左边入手乘开，或将3n 表为（2+1）n二项展开都可以获得成功，过程略显繁琐．例3 设a >b >0，那么a 2+)(1b a b -的最小值是_____（2005年全国高中联赛江苏赛区初赛）分析：本题取自课本的一个习题（人教社版，第二册（上）），题中有两个变量a ，b ，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和-b 之和为a ，因式22)(ab a b b a b =-+≤- 解：2)(a b a b ≤-⇒)(1b a b -24a≥ a 2+)(1b a b -4422≥+≥a a ，因此a 2+)(1b a b -的最小值是4．当⎪⎩⎪⎨⎧==222b a 时取得最小值． 说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．链接：如果题目变为a >b >0，求a 2+)(1b a b -的最小值，你会做吗？情景再现 1. 设a >b >c ，证明4≥--+--cb ca b a c a 2. 设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1221322221...X X X X X XX X n n n X 1+ X 2+…+ X n3. 证明 3)2(2)3(3ab ba abc cb a -+≥-++，其中a ，b ，c ∈R + B 类例题例4 已知abc =0，求证21444444444444444≤++++++++cb ac c b a b c b a a （2004年北京市中学生数学竞赛高一）分析：如果通分或去分母也许能行得通，但计算量太大，因此这种情况下往往考虑利用“≤”或“≥”的变形（而不是恒等变形）统一分母．证明：4a 4+b 4+c 4= 2a 4+ a 4+ b 4+ a 4+ c 4≥2a 4+2a 2b 2+2a 2c 2所以44444c b a a ++≤)(2)(2222222224c b a a c b a a a ++=++ 同理可得44442c b a b ++≤)(22222c b a b ++44444c b a c ++≤)(22222c b a c ++三式相加得21)(2444222222444444444444=++++≤++++++++c b a c b a c b a c c b a b c b a a 当a 2=b 2=c 2≠0时上式等号成立．说明：平均不等式还有一些特殊形式，从中还能推导出另外一些“副产品”，而所有这些在证题中是常常用得到的，例如：a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ）a +a 1≥2 （a ∈R +） abb a +≥2 （ab >0） A 3+b 3+c 3≥3abc （a ，b ，c ∈R +）2222b a b a +≤+ （a ，b ∈R ） 33222c b a c b a ++≤++ （a ，b ，c ∈R ） 此外该题处理分母的方法给我们深刻印象，值得借鉴．例5 已知a ，b ，c 是正数且abc ≤1试证：)(2c b a bac a c b c b a ++≥+++++ 分析：不等式的左边是分式，处理分式的原则一般是能不通分时尽量不通分，能不去分母时尽量不去分母，避开它，绕道走，减小计算量，却同样达到目的．改变结构，转换命题，使得新命题便于用已知条件，便于用平均值不等式．证明：原题等价于证明2)()()(≥+++++++++++c b a b ac c b a a c b c b a c b a而)(c b a c b a +++=cb ac c b a c c c b a ++-=++-++11)()( 因而cb ac b a c b a b a c c b a a c b c b a c b a ++-++=+++++++++++3111)()()(2123313333≥=-≥abcabc abc 当a =b =c =1时等号成立．说明：转换命题或加强命题是证题的一个重要手段，也是一个策略．例5与例4都是分式不等式，都用平均不等式解决问题，但途径、风格截然不同．例6 设a ，b ，c 是正实数，且满足abc ＝1，证明1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a ． （第41届IMO ）分析：不等式左边三个括号所代表的数有可能为负数（或零），因此，不能直接用平均不等式．但仔细观察、计算发现三个括号最多只能有一个不是正数．因此，应先讨论．此外，即使全正，用三个正数的算术平均，推导也难以进行．故应该用两个正数的算术平均不小于相应的几何平均． 证法一：1°b a 11+-，c b 11+-，ac 11+-三个式的值如果一个不为正（即为零或负），另两个为非负，不等式显然成立．2°以上三个式的值最多有一个不为正数，证明如下．假设有两个不正，不妨设)1(011011=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-abc c b ba ⇒⎩⎨⎧≤-+≤-+0101c bcb ab ⇒⎩⎨⎧≤-+≤-+001c bc abc b ab ⇒⎩⎨⎧≤-+≤-+0101b ab b ab （相加）⇒2ab ≤0这不可能，故三个式子的值最少两个为正． 3°如三个数全为正2)211(1)1)(1(1)11)(11(ab b ab b b ab b ab b b c b b a +-++-≤+-+-=+-+-＝a 2b同理 c b ac c b 2)11)(11(≤+-+-a c ba a c 2)11)(11(≤+-+- 三式相乘得[)11)(11)(11(a c c b b a +-+-+-]21)(3=≤abc因此1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a .当a =b =c =1时等号成立．综上原不等式成立. 证法二：令a =yx ，b =z y ，c =x z (x ，y ，z ∈R +)代入后原不等式化为要证 （x-y+z ）(y -z +x )(z -x +y )≤xyz.说明：两种政法殊途同归.第二种证法告诉我们，如果能把一个新问题转化为一个我曾经解决过的问题，那么新问题也就得解.链接：本题可推广为n 个任意正整数，a ，b ，c ∈R +，abc =1，那么1)11)(11)(11(≤+-+-+-n n n n n n ac c b b a 情景再现4. 证明对所有正实数a ，b ，c 有abcabc a c abc c b abc b a 1111333333≤++++++++5. 设a ，b ，c 为正实数，求cb a cc b a b c b a c a 382423++-++++++的最小值.（第三届中国女子数学奥林匹克）C 类例题例7 x ，y ，z ∈R ，求u=2222zy x yzxy +++的最大值. 分析：u 的值可正，可负也可为零.因此最大值肯定为正值.xy ,2yz 都可以通过不等式建立与x 2+y 2,y 2+z 2的联系.解：引入待定正的常数21,λλxy +2yz ≤2222121222221211)21(211)1(21z y x z y y x λλλλλλλλ+++=+++令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=212111212121λλλλλ 解此方程组得 ⎪⎩⎪⎨⎧==552521λλ这样便有xy +2yz )(25222z y x ++≤25222≤+++z y x yz xy ．u max =25，当⎪⎩⎪⎨⎧==z y x y 255 （x ≠0）时取得最大值. 说明：我们也可以从判别式入手，同样可以求得u 的最大值.解法如下：最大值应为正值，因此u >0.原式化为uz 2-2yz +(ux 2+uy 2-xy )=0.将此式看作是关于z 的方程，该方程必有解．故 △1＝0)(44222≥-+-xy uy ux u y ．即 0)1(2222≤-+-u y uyx x u ．将此式看作是关于ｘ的不等式，该不等式必定有解)0(2>u ，故△2＝0)1(422222≥--u y u y u ．u 取正值时原式中ｙ≠0，于是得2554≤⇒≤u u ．也就是u max =25． 比较两种解法，后者显得自然流畅，而前者把待定系数法应用到不等式中使人感到耳目一新．链接：本题解法为我们解决多元函数的最值提供了新的方法．例8 a ，b 为正实数，ｘ∈（０，2π），求x bx a cos sin +的最小值． 分析：这是一道含有三角函数的题．因此解题过程一定会用上三角公式，经验告诉我们如果直接不好求，则可转而求其平方的最值． 解：令原式为f (x )，则[f (x )]2=xb x x ab x a 2222cos cos sin 2sin ++=xx x b x x x x ab x x x a 2222222222cos )cos (sin cos sin )cos (sin 2sin )cos (sin +++++=a 2+b 2+a 2cot 2x +2ab tan x +2ab cot x +b 2tan 2x= a 2+b 2+(a 2cot 2x +ab tan x +ab tan x )+(b 2tan 2x +ab cot x +ab cot x ) 23323234232422)(33b a b a b a b a +=+++≥当tan x ．ab ＝a 2cot x ，也就是tan x ＝ba时取得最小值． 链接：本题做法很多，可以用柯西不等式来证，也可以用求导数的方法求得结果，其过程都不很长．本题有明显的几何背景：如图点p 位于第一象限，过p 引直线交x 轴正方向与Ａ，交ｙ轴正方向与Ｂ，求线段ＡＢ的最小值．令∠ABO =x ,容易算得｜PB ｜=x a sin ，｜PA ｜=x a cos ，则｜AB ｜=x a sin +xb cos ，n 是任意正整数，还有相应的不等式x a n sin +xbncos 222222)(++++≥n n n b a ，这个不等式的证明也不很困难，只要用上n 个正数的平均值定理即可，这个不等式证完．例8就可以看作是它的一个特例．例9 设ｕ，ｖ，ｗ为正实数，满足条件1≥++uv w wu v vw u ，试求ｕ＋ｖ＋ｗ的最小值． （第三届中国女子数学奥林匹克）分析：从改造已知条件入手，vw 是ｖ与ｗ的几何平均，很容易想到vw wv ≥+2，因此有1222.≥++≥+++++uv w wu v vw u vu w u w v w v u ．也即1≥++wu vw uv 这个条件从形式上更接近于ｕ＋ｖ＋ｗ．解：由于uv vu ≥+2，因此由已知条件可得1≥++wu vw uv 又（ｕ＋ｖ＋ｗ）2＝wu vw uv wu vw uv wu vw uv w v u 222222222+++++≥+++++3)(3≥++=wu vw uv（ｕ＋ｖ＋ｗ）3≥另一方面，显然ｕ＝ｖ＝ｗ＝33满足题中条件，因此ｕ＋ｖ＋ｗ的最小值为3． 说明：本题实质是据一个已知不等式，去证明另一个不等式，其中的过程就是一个简单的乘法公式和平均值不等式的应用．例10 n 为任意正整数，求证1)111()11(+++<+n n n n 分析：原不等式等价于证明1)11(12++>++n n nn n ．该式左边可看作是某n ＋１个正数的算术平均．如右边能写成相应的几何平均，则问题得证．证明：考虑n ＋１个正数个，，，n n n n )11(...)11()11(+++，１，由平均不等式11.)11(11)11(...)11()11(++>++++++++n n nn n n n即11)111()11()11(11++++<+⇒+>++n n n n n n n n n 说明：证题的关键是命题的改造和巧妙的“配”和“凑”，有针对性的“配”、“凑”能使已知条件和相关定理得到最合理的运用．同时，它也使得条件和结论的内在联系显现出来．因此这种技能和技巧值得我们很好地学习和用心去体会．从原题形式看不出它与平均值不等式有什么直接联系，这需要我们对题目要进行进一步的挖掘，并且要增强运用平均不等式的意识．链接：从数列的观点看，该不等式表明数列｛nn)11(+｝是一个单调递增数列．在高等数学里还进一步证明它是有界数列，e nn n =+∞→)11(lim，ｅ是与π同样活跃的一个超越数．例10 的证法很多，相比之下用平均值不等式的证明可说是最为自然和简捷． 情景再现6.ｘ＞０，求证：1633)1(22≤+x x 7. 设ｘ，y ，z ，w 是不全为０的实数，求22222wz y x zwyz xy +++++的最大值． 习题1. 已知ｘ，y ，z ∈R +，且ｘyz （ｘ+y +z ）=1，证明（ｘ+y ）（y + z ）2≥，并指出何时等号成立.2. n >2，求证：n n n n 11log log +-<.3. 设数列{n a }满足a 1=1，a n +1a n =n +1 (n 为任意正整数)，求证：)11(211-+≥∑=n a nk k． 4. 设a ，a 1，b ，b 1均为正实数，1222121=+=+b a b a ，求证11313≥+b b a a ．5. a ，b ，c ∈+R ，求证：111≤++++++++cac cbc b a b ab a a ．6. +∈R x x x x 4321,,,，且111112424232322222121=+++++++x x x x x x x x ，求证：91...4321≤x x x x ． 7. a ，b ，c ∈+R ，１）证明9)111)((≥++++cb ac b a 2）证明)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++ 3）证明23≥+++++a c b c b a b a c （1963年莫斯科数学竞赛） 8. 设正实数ｘ，y 满足y x y x -=+33，求证：1422<+y x ．（2005年女子数学奥林匹克） 9. 设a ，b ，ｘ，y 都是正数，并且122=+y x ，求证b a x b y a y b x a +≥+++22222222．10. 设正实数ｘ，y ，z 满足ｘ+y +z =ｘyz ，求)1()1()1(777-+-+-zy z zx y yz x 的最小值． （2003年中国国家集训队测试题）11. 设实数a ，b 满足ab >0，证明：12104)(223222bab a b a b a ++≤+，并求等号成立的条件．一般地，证明：对任意实数a ，b 均有34)(223222bab a b a b a ++≤+，并求等号成立的条件． （第十四届爱尔其数学奥林匹克） 12. 0<a i <1 (i =1,2,…,n )，证明nnn n n a a a na a a ...111...11112121-≥-++-+-． 附录：设a 1，a 2，…，a n >0，A n =na a a n+++...21，G n =n n a a a ...21，则A n ≥G n ，当且仅当a 1=a 2…=a n 时等号成立．我们用数学归纳法来证明它，１时不等式显然成立．假设n ＝k 时不等式成立，那么A k +1=])1(...[212)1()1(221121111+++++-+++++=-++=k k k k k k A k a a a a kk A k A k k kA ]......[21])1(...[211111211121kA A A a k a a a k A k a k a a a k k k k k k k k ++++++++++++++=-+++++=（其中有k －1个1-k A ）kk k k k k k k k kk A a a a a A a a a a 1112111121)()...(])(...[21-++-++≥+≥11111121211111)()()(]).()[(++-++++-+++≥⇒≥⇒=k k k k k k k k kk k k k G A A G A A G ．即n ＝k ＋1时不等式成立．由上可知，对n +∈N 不等式成立． 本节“情景再现”解答 1.411≥--++--+=--+-+--+-=--+--cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 2. 122212x x x x ≥+，333222x x x x ≥+，…，1212--≥+n n n n x x x x ，n n x x x x 2112≥+，相加后即得．3.)2(2)3(3323333ab b a abc c b a abc ab c ab ab c ab ab c -+≥-++⇒≥+⇒≥++4. 由0))((22≥--b a b a 得，b a ab b a 2233+≥+，)(11332233c b a ab abc b a abc b a ab abc b a ++≤++⇒++≥++， 同理)(1133c b a bc abcc b ++≤++，)(1133c b a ac abc a c ++≤++，相加后对不等式右边稍作化简便得． 5. 令x =a +2b +c ，y = a +b +2c ，z =a +b +3c ，则有x -y = b -c ，z -y = c ，由此可得a +3c =2y -x ，b = z +x -2 y ，c = z - y ，故z y z y y x z x x y c b a c c b a b c b a c a )(8)2(42382423---++-=++-++++++ 212173228217844217+-=++-≥++++-=zyy z y x x y ．上式中的等号可以成立．事实上，由上述推导过程知，等号成立当且仅当平均不等式中的等号成立，而这等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y yz y x x y 8442，也即⎪⎩⎪⎨⎧==222222y z x y ，即⎩⎨⎧==x z x y 22，亦即 ⎩⎨⎧++=++++=++)2(23)2(22c b a c b a c b a c b a ，解此不定方程，得到⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ac ab )234()21(，只要满足此条件便能取得最小值21217+-．6. 422274313131x x ≥+++，即3316)1(22x x ≥+，也就是1633)1(22≤+x x 7. 该题解法可完全仿照例7，显然只需考虑ｘ>0，y >0，z >0，w >0的情形．引进待定正常数γβα,,，则有,2,2,2222222222zw w z yz z y xy y x γγββαα≥+≥+≥+即,22,2,22222222zw w z yz z y xy y x ≥+≥+≥+γγββαα将上述三式相加得 ,221)21()21(22222zw yz xy w z y x ++≥+++++γγββαα令γγββαα2121212=+=+=，解得12,1,12-==+=γβα，于是 zw yz xy w z y x ++≥++++2)(2122222，∴21222222+≤+++++wz y x zw yz xy ，即所求最大值是212+． 本节习题解答1. 2)(2)())((2=++≥+++=+++=++z y x xzy z y x y xz yz y xz xy z y y x ，容易算得⎩⎨⎧-===121y z x 时取得等号．2. ∵n >2 ∴11log,log+-n n n n皆为正数，21111]2log log [log.log+-+-+<n n n n n nn n1)2log (]2log [22)1(22=<=-n nn n，据对数换底公式nn n n 11log log +-<． 3. 由已知，易证...)3,2,1(0=>n a n ,又a 2=2．n ≥2时 ,11+=+n a a n n n a a n n =-1，相减得111111)(-+-+-=⇒=-n n n n n n a a a a a a ，据此1321a a a -=，2431a a a -=， 3541a a a -=，．．．，211---=n n n a a a ，111-+-=n n n a a a ，相加得2111-+=+=∑n n nk ka a a)11(2221-+=-≥+n a a n n4. 362113133a a a a a a ≥++，即2211332a a a a ≥+．同理2211332b b b b ≥+，相加1)(3)(213132221211313≥+⇒+≥+++b b a a b a b a b b a a 5. 分析：欲证原不等式成立，只要证cac cabc b b ab a a +++≤+++++1111，去分母，即证)1)(1)(1()]1()1()[1(bc b ab a ca ab a b bc b a ca c +++++≤+++++++，经过展开，化简，即证abc c b a 21222≥+，此式显然成立，原不等式获证6. 令)4,3,2,1(122=+=i x x u ii i ，据已知则有14321=+++u u u u ， 343214*********u u u u u u u u u u x ≤++=-=，同理34312223u u u u x ≤，34213233u u u u x ≤，33214243u u u u x ≤，相乘得91811)(432124321≤⇒≤x x x x x x x x 7. 1）33abc c b a ≥++，313111abcc b a ≥++，相乘便得 2）据1）9)111)].(()()[(≥++++++++++ac c b b a a c c b b a 即)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++ 3）由于2）⇒≥+++++++9)111)((2ac c b b a c b a 2911129≥++++++++⇒≥+++++++++++a c b c b a b a c a c c b a c b c b a b a c b a23≥+++++⇒a c b c b a b a c8. 由平均不等式得242234525xy y x y x y >≥+，所以332244y y y x xy <--，又1444))(4(332233322322=-+<+⇒+<--+=-+yx y x y x y x y y x xy x y x y x9. 分析法，将欲证不等式两边平方，即证ab x b y a y b x a ≥++))((222222222222222222))((b a x b y a y b x a ≥++⇔，乘开即证222244422224)(b a y x b y x b a y x a ≥+++，而22442b a b a ≥+，因此问题变更为要证22222244222)(b a y x b a y x b a ≥++．此式显然成立，原不等式得证10. 因为ｘ，y ，z >0,且ｘ+y +z =ｘyz ，所以y x xy z +=-)1(，同理x z xz y +=-)1(，z y yz x +=-)1(，又由平均不等式有3333≥⇒≥++=xyz xyz z y x xyz ，当且仅当3===z y x 时等号成立．所以)1()1()1(777-+-+-xy z zx y yz x6141414666666666666)()()(z y x y xz zz xy zy yx x y x z x z y z y x =≥+++++=3162)3(6)(6737=≥=xyz ，故原式最小值为3162．注：此题更一般的推广形式为：设ｘ，y ，z >0,xyz z y x p =++≥,2，则)()()(y x z z x y z y x pp p +++++21)(+++≥p p zx yz xy λ，其中2132-=p p λ，由此可解决下面有趣的问题，若ｘ，y ，z >0,xyz z y x p =++≥,2，求)1()1()1(-+-+-xy z zx y yz x p p p 的最小值11. 0>ab 时，]4)([31]24)([31)10(1212222ab ab b a ab b a b ab a +++=++=++（ba =时取等号）32224)(b a b a +≥．对任意b a ,，若0>ab ，322b ab a ++121012)(34222222ab b a b a ab b a ++≥++++=（据前已证结论）32224)(b a b a +≥（b a =时取等号）．若0≤ab ，32121)(3)(32222abab b a ab b a b ab a --+=-+=++ 3222324)()21)(21()(b a b a ab ab b a +=--+≥，等号在ab b a 21)(2-=+时成立，即2b a -=或2ab -=时取到12. 配对．据n 个正数的平均不等式易得)].1(...)1()1[(21nn n n a a a -++-+- 221])1(1...)1(1)1(1[n a a a nn n n ≥-++-+-．即211]11)].[([n a a n ni n in i ni ≥--∑∑-- （1） 又nn n n ni nia a a na 1211...≥∑-0)...1( (1)21211>-≥-⇒≥⇒∑∑==ni n i n n ni n ia n a a a n a a na a （2）（1）（2）相乘便得n ni nia a a na ...111211-≥-∑=．。
17、线性规划、均值不等式
满足C不等式组表示的点集记为不等式组B C，+的最小值为，且使得+C D满足约束条件的动点满足约束条件是不等式组+则不等式组所表示的平面区18．（2014•枣庄校级模拟）为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元、已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP最大？19．（2015•滕州市校级模拟）已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．21．（2015•广安模拟）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点M的横纵坐标分别为茎叶图中位数和众数，若点N（x，y）的坐标满足，求•的最大值．满足解：，解得的最小值为，不等式组不等式组DA对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为）=，S=2015•温江区校级模拟）某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为6．（2015•哈尔滨校级二模）设a＞b＞0，则a++的最小值为a++=+++b==a++的最小值为：7．（2015•安庆二模）设实数m，n满足m＞0，n＜0，且，解：因为（，所以5+当且仅当+=1（+）+2+2使得+使得=（=≥=，不时，∴=时，∴=∴最小值为10．（2015•黑龙江模拟）设x，y满足约束条件，则，解得二．填空题（共6小题）11．（2015•西安校级二模）已知满足条件的动点解：不等式组解得，=1S=满足约束条件x+，是不等式组表示的平面4=4，．（2015•温州一模）已知a，b∈R，若a（﹣，±；的取值范围是（﹣，+=2+浙江模拟）向量，）满足，17．（2014•安徽模拟）已知函数f（x）=a x﹣2﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（m，n），则不等式组所表示的平面区∴不等式组为，）=3（2014•枣庄校级模拟）为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元、已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个如何安排甲、乙两满足得得＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．）由题意可得，解得=+，∴＞＞=+=++5+2当且仅当=即时，等号成立．20．（2014•肇庆模拟）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品满足y复习17、线性规划、均值不等式21．（2015•广安模拟）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点M 的横纵坐标分别为茎叶图中位数和众数，若点N（x，y）的坐标满足，求•的最大值．•=23x+23y=，z=46•的最大值是．。
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书香教案
学生姓名：李双云
年级：高二
科目：数学 辅导方式：一对一 教师：左秀国 教学内容: 不等式
教学时间：2015-10--
教学目标： 均值不等式及线性规划
教学重难点：均值不等式及线性规划
1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．
2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；
⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；
⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．
3、一元二次不等式解法：
（1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根；
（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径；
4、均值定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a b ab +≥． ()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； 2
a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立
1．(09·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.32
B.23
C.43
D.34
2．(2010·西安中学)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y≤x x ＋y≥2y≥3x －6
，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( ) A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
3．(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元
4.(理)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y≥0y≤2x －1x ＋y≤m
，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y≥0x ＋y≤1x ＋2y≥1
，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________． 6.（1）已知0＜x ＜3
1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x
1的值域.
7. 当x ＞-1时，求f(x)=x+1
1+x 的最小值.
8.求函数y=1
33224+++x x x 的最小值.
9.求f(x)=3+lgx+x
lg 4的最小值（0＜x ＜1）.
10.已知x ＜
45，求函数y=4x-2+5
41-x 的最大值.。