【审定部编版】2020-2021年中考数学专题复习小练习专题12二次函数的图象与性质
2020中考数学 函数复习:二次函数及其图像(含答案)
2020中考数学 函数复习:二次函数及其图像(含答案)一、选择题1.抛物线22()y x m n =++(m n ,是常数)的顶点坐标是( )A .()m n ,B .()m n -,C .()m n -,D .()m n --,2.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值,可判断二次函数的图像与x 轴( )x …-1012…y…-147--247-…A .只有一个交点B .有两个交点,且它们分别在y 轴两侧C .有两个交点,且它们均在y 轴同侧D .无交点3.函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象可能是()4.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示,若点A (1,y 1)、B (2,y 2)是它图象上的两点,则y 1与y 2的大小关系是()A .21y y <B .21y y =C .21y y >D .不能确定B .C . D .5.将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a 的值为A .1B .2C .3D .46.在平面直角坐标系中,先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A .22y x x =--+ B .22y x x =-+- C.22y x x =-++ D .22y x x =++7.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x y C.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 8.某车的刹车距离y (m )与开始刹车时的速度x (m/s )之间满足二次函数2120y x =(x >0),若该车某次的刹车距离为5 m ,则开始刹车时的速度为( )A .40 m/sB .20 m/sC .10 m/sD .5 m/s二、填空题1.若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式,其中,m k 为常数,则m k +=.2.已知二次函数的图象经过原点及点(12-,14-),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为3.抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________.4.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x ,,且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是个.5.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示,则此抛物线的解析式为.6.函数(2)(3)y x x =--取得最大值时,x =______.三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.2.已知ABC ∆为直角三角形,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(0m >),线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过点B 、D .(1)求点A 的坐标(用m 表示);(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:(FC AC 3.已知二次函数过点A (0,2-),B (1-, (1)求此二次函数的解析式; (2)判断点M (1,12)是否在直线AC 上? (3)过点M (1,12)作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点(不同于A ,B ,C 三点),请自已给出E 点的坐标,并证明△BEF 是直角三角形.4.如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB=2OA,点A的坐标是(-1,2).(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO.5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?6.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数,且时,;时,.(1)求一次函数的表达式;(2)若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围.7.如图1,已知:抛物线与轴交于两点,与轴交于点C,经过B、C两点的直线是,连结.(1)B、C两点坐标分别为B(_____,_____)、C(_____,_____),抛物线的函数关系式为______________;(2)判断的形状,并说明理由;(3)若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边上)?若能,求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】选择题1.B 2.B 3. C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 填空题1.-32. 2y x x =+,21133y x =-+3.(1,5)4.45.223y x x =-++6.52解答题1. 解:设这个二次函数的关系式为得:解得:∴这个二次函数的关系式是,即2. (1)由(3,)B m 可知3OC =,BC m =,又△ABC 为等腰直角三角形,∴AC BC m ==,3OA m =-,所以点A 的坐标是(3,0m -).(2)∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-,则点D 的坐标是(0,3m -).又抛物线顶点为(1,0)P ,且过点B 、D ,所以可设抛物线的解析式为:2(1)y a x =-,得:22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ (3)过点Q 作QM AC ⊥于点M ,过点Q 作QN BC ⊥于点N ,设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+,则2(1)QM CN x ==-,3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=,得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=,得41FC x =+又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++即()FC AC EC +为定值8.3. (1)设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2(0a ≠), 把A (0,2-),B (1-,0),C (5948,)代入得2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩解得 a =2 , b =0 , c =-2,∴222y x =-(2)设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ,把A (0,-2),C (5948,)代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得522k b ==-, ,∴522y x =-当x =1时,511222y =⨯-= ∴M (1,12)在直线AC 上 (3)设E 点坐标为(1322--,),则直线EM 的解析式为4536y x =-第3由 2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=,即17()(2023x x +-=,∴F 点的坐标为(713618,).过E 点作EH ⊥x 轴于H ,则H 的坐标为(102-).∴3122EH BH ==,∴2223110()()224BE =+=,类似地可得 22213131690845(()186324162BF =+==,222401025001250()(186324162EF =+==, ∴2221084512504162162BE BF EF +=+==,∴△BEF 是直角三角形.4. 解:(1)过点A 作AF ⊥x 轴,垂足为点F ,过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为点E ,则AF =2,OF =1.∵OA ⊥OB ,∴∠AOF+∠BOE =90°.又∵∠BOE+∠OBE =90°,∴∠AOF =∠OBE .∴Rt △AFO ∽Rt △OEB .∴2===OAOBAF OE OF BE .∴BE =2,OE =4.∴B(4,2).(2)设过点A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的抛物线为y=ax 2+bx+c .∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a 解之,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a∴所求抛物线的表达式为x x y 23212-=.(3)由题意,知AB ∥x 轴.设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ,则S △ABP =AF AB d AB ⋅=⋅2121.∴d =2.∴点P 的纵坐标只能是0或4.令y =0,得023212=-x x ,解之,得x =0,或x =3.∴符合条件的点P 1(0,0),P 2(3,0).令y =4,得423212=-x x ,解之,得2413±=x .∴符合条件的点P 3(2413-,4),P 4(2413+,4).∴综上,符合题意的点有四个:P 1(0,0),P 2(3,0),P 3(2413-,4),P 4(2413+,4).(评卷时,无P 1(0,0)不扣分) 5.解:(1)当时,线段O A 的函数关系式为;当时,由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A (4,-40),设其解析式为在中,令x=10,得;∴B (10,320)∵B (10,320)在该抛物线上∴解得∴当时,=综上可知,(2) 当时,当时,当时,(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解:(1)根据题意得解得.所求一次函数的表达式为.(2),抛物线的开口向下,当时,随的增大而增大,而,当时,.当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.(3)由,得,整理得,,解得,.由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而,所以,销售单价的范围是.7. (1)(4,0),..(2)是直角三角形.证明:令,则...解法一:..是直角三角形.解法二:,..,.即.是直角三角形.(3)能.当矩形两个顶点在上时,如图1,交于.,..解法一:设,则,,.=.当时,最大..,.,.解法二:设,则..当时,最大..,.,.当矩形一个顶点在上时,与重合,如图2,,..解法一:设,,.=.当时,最大.,.解法二:设,,,,..=∴当时,最大,..∴综上所述:当矩形两个顶点在上时,坐标分别为,(2,0);当矩形一个顶点在上时,坐标为。
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析一、二次函数1.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣43与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32. (1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ;(3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【解析】【分析】(1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可;(2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可;(3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可.【详解】(1)当y=0时,140 33x-=,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=32,得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩,解得14ac=⎧⎨=-⎩,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m,∴直线m的解析式为y=13x.∵点P是直线1上任意一点,∴设P(3a,a),则PC=3a,PB=a.又∵PE=3PF,∴PC PBPF PE=.∴∠FPC=∠EPB.∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP⊥PE.(3)如图所示,点E在点B的左侧时,设E(a,0),则BE=6﹣a.∵CF=3BE=18﹣3a,∴OF=20﹣3a.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴22x x x xQ P F E++=,22y y y yQ P F E++=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q(﹣2,6).如下图所示:当点E 在点B 的右侧时,设E (a ,0),则BE=a ﹣6.∵CF=3BE=3a ﹣18,∴OF=3a ﹣20.∴F (0,20﹣3a ).∵PEQF 为矩形, ∴22x x x x Q P F E ++=,22y y y y Q P F E ++=, ∴Q x +6=0+a ,Q y +2=20﹣3a+0,∴Q x =a ﹣6,Q y =18﹣3a . 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a ﹣6)2﹣3(a ﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q (2,﹣6).综上所述,点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式,用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键.2.已知,点M 为二次函数y =﹣(x ﹣b )2+4b +1图象的顶点,直线y =mx +5分别交x 轴正半轴,y 轴于点A ,B .(1)判断顶点M 是否在直线y =4x +1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A ,B ,且mx +5>﹣(x ﹣b )2+4b +1,根据图象,写出x 的取值范围.(3)如图2,点A 坐标为(5,0),点M 在△AOB 内,若点C (14,y 1),D (34,y 2)都在二次函数图象上,试比较y 1与y 2的大小.【答案】(1)点M在直线y=4x+1上;理由见解析;(2)x的取值范围是x<0或x>5;(3)①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【解析】【分析】(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:图象在下方的函数值小,可得答案;(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.【详解】(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,∴M的坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上;(2)如图1,直线y=mx+5交y轴于点B,∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,∴A(5,0).由图象,得当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;(3)如图2,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,A(5,0),B(0,5)得直线AB的解析式为y=﹣x+5,联立EF,AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩,解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴点E(45,215),F(0,1).点M在△AOB内,1<4b+1<215,∴0<b<45.当点C,D关于抛物线的对称轴对称时,b﹣14=34﹣b,∴b=12,且二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,综上:①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【点睛】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是把点的坐标代入函数解析式检验;解(2)的关键是利用函数图不等式的关系:图象在上方的函数值大;解(3)的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围,又利用了二次函数的性质:a<0时,点与对称轴的距离越小函数值越大.3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.4.如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(﹣1,0).(1)求点B,C的坐标;(2)判断△CDB的形状并说明理由;(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.【答案】(Ⅰ)B(3,0);C(0,3);(Ⅱ)CDB∆为直角三角形;(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t tSt t t⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】【分析】(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标.(2)分别求出△CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形.(3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:①当0<t≤32时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形; ②当32<t <3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形. 【详解】解:(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上, ∴()2011c =---+,得4c = ∴抛物线解析式为:()214y x =--+, 令0x =,得3y =,∴()0,3C ;令0y =,得1x =-或3x =,∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下:由抛物线解析式,得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示,过点D 作DM x ⊥轴于点M ,则1OM =,4DM =,2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ,则1CN =,1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中,由勾股定理得:22223332BC OB OC =+=+=; 在Rt CND ∆中,由勾股定理得:2222112CD CN DN =+=+=; 在Rt BMD ∆中,由勾股定理得:22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=,∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+,∵()()3,0,0,3B C ,∴303k b b +=⎧⎨=⎩, 解得1,3k b =-=,∴3y x =-+,直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到,∴直线QE 的解析式为:()33y x t x t =--+=-++; 设直线BD 的解析式为y mx n =+,∵()()3,0,1,4B D ,∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得:2,6m n =-=, ∴26y x =-+.连续CQ 并延长,射线CQ 交BD 交于G ,则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中:(1)当302t <≤时,如答图2所示:设PQ 与BC 交于点K ,可得QK CQ t ==,3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ,则:263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩, ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时,如答图3所示:设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =,∴KQ t =,3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+,令x t =,得62y t =-, ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述,S 与t 的函数关系式为:2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.5.已知,点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点,直线5y mx =+分别交x 轴正半轴,y 轴于点,A B .(1)如图1,若二次函数图象也经过点,A B ,试求出该二次函数解析式,并求出m 的值. (2)如图2,点A 坐标为(5,0),点M 在AOB ∆内,若点11(,)4C y ,23(,)4D y 都在二次函数图象上,试比较1y 与2y 的大小.【答案】(1)2(2)9y x =--+,1m =-;(2)①当102b <<时,12y y >;②当12b =时,12y y =;③当1425b <<时,12y y < 【解析】 【分析】 (1)根据一次函数表达式求出B 点坐标,然后根据B 点在抛物线上,求出b 值,从而得到二次函数表达式,再根据二次函数表达式求出A 点的坐标,最后代入一次函数求出m 值.(2)根据解方程组,可得顶点M 的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案. 【详解】(1)如图1,∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ,∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上,∴25(0)41b b =--++,解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时,得15=x ,21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得,550m +=,∴1m =-(2)如图2,根据题意,抛物线的顶点M 为(,41)b b +,即M 点始终在直线41y x =+上,∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ,与y 轴交于点F ,而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ,(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内,∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴(直线x b =)对称时,1344b b -=-,∴12b =且二次函数图象的开口向下,顶点M 在直线41y x =+上 综上:①当102b <<时,12y y >;②当12b =时,12y y =;③当1425b <<时,12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用,难度系数大同学们需要认真分析即可.6.如图,抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (3,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)如图1,D 为抛物线对称轴上一动点,求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小; (3)如图2,点E 在第一象限抛物线上,AE 与BC 交于点F ,若AF :FE =2:1,求E 点坐标;(4)点M 、N 同时从B 点出发,分别沿BA 、BC 方向运动,它们的运动速度都是1个单位/秒,当点M 运动到点A 时,点N 停止运动,则当点N 停止运动后,在x 轴上是否存在点P ,使得△PBN 是等腰三角形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)248433y x x =-++(2)81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭(3)点P 的坐标P 1(﹣1,0)或P 2(7,0)或P 3(﹣95,0)或P 4(13,0). 【解析】 【分析】(1)直接待定系数法代入求解即可 (2)找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点,先求出直线BC ,然后D 点横坐标是1,直接代入直线BC 求出纵坐标即可 (3)作EH ∥AB交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,易证△ABF ∽△EHF ,得AB AF2EH EF==,得EH=2,设E (x ,248x x 433-++),则H (x ﹣2,420x 33-+),y E =y H ,解出方程x =1或x =2,得到E 点坐标 (4)△PBN 是等腰三角形,分成三种情况,①BP =BC 时,利用等腰三角性质直接得到P 1(﹣1,0)或P 2(7,0),②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴,易得△NHB ∽△COB ,利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH =BH ,BP ,进而得到OP ,即得到P 点坐标,③当PN =PB 时,取NB 中点K ,作KP ⊥BN ,交x 轴于点P ,易得△NOB ∽△PKB ,利用比例式求出PB ,进而得到OP ,即求出P 点坐标 【详解】解:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)代入y =ax 2+bx+4, 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a =43-,b =83, ∴抛物线的解析式248433y x x =-++; (2)22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x =1, ∴D 的横坐标为1,由(1)可得C (0,4), ∵B (3,0), ∴直线BC :4y 43x =-+ ∵DA =DB ,△DAC 的周长=AC+CD+AD =AC+CD+BD , 连接BC ,与对称轴交于点D ,此时CD+BD 最小, ∵AC 为定值,∴此时△DAC 的周长, 当x =1时,y =﹣43×1+4=83, ∴D (1,83); (3)作EH ∥AB 交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,∴△ABF ∽△EHF , ∵AF :FE =2:1,∴AB AF2EH EF ==, ∵AB =4, ∴EH =2,设E (x ,248x x 433-++),则H (x ﹣2,420x 33-+) ∵EH ∥AB , ∴y E =y H ,∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x =1或x =2,y =163或4, ∴E (1,163)或(2,4); (4)∵A (﹣1,0)、B (3,0),C (0,4) ∴AB =4,OC =4,点M 运动到点A 时,BM =AB =4, ∴BN =4,∵△PBN 是等腰三角形, ①BP =BC 时,若P 在点B 左侧,OP =PB ﹣OB =4﹣3=1, ∴P 1(﹣1,0),若P 在点B 右侧,OP =OB+BP =4+3=7, ∴P 2(7,0);②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴, △NHB ∽△COB ,∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH =45OC =445⨯=165,BH =45BC =125, ∴PH =BH =125, BP =245, ∴OP =BP ﹣OB =249355-=, ∴P 3(﹣95,0); ③当PN =PB 时,取NB 中点K ,作KP ⊥BN ,交x 轴于点P , ∴△NOB ∽△PKB ,∴PB BKBN OB= ∴PB =83,∴OP =OB ﹣PB =3﹣83=13P 4(13,0) 综上,当△PBN 是等腰三角形时,点P 的坐标P 1(﹣1,0)或P 2(7,0)或P 3(﹣95,0)或P 4(13,0). 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点,综合程度比较高,对综合能力要求比较高. 第一问比较简单,考查待定系数法;第二问最短距离,找到D 点是解题关键;第三问证明出相似是关键;第四问能够分情况讨论是解题关键7.已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1,a )、N (m ,b ). (1)当a =-1,m =1时,求抛物线2y ax bx c =++的解析式; (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ;(3)当a <0时,抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=,2b c a +≥,34m ≤-, 求a 的取值范围. 【答案】(1)11b c =⎧⎨=⎩;(2)b=-am ,c=-am ;(3)161393a -≤≤- 【解析】 【分析】(1)根据题意得到M (2,-1)、N (1,b ),代入抛物线解析式即可求出b 、c ;(2)将点M (m +1,a )、N (m ,b )代入抛物线2y ax bx c =++,可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩,化简即可得出;(3)把b am =-,c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+,把b am =-,c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-,然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解:(1)∵a =-1,m =1,∴M (2,-1)、N (1,b ) 由题意,得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩,解,得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1,a )、N (m ,b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①-②得,2am b b +=-,∴b am =- 把b am =-代入②,得c am =-(3)把b am =-,c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ,22141,4am am a m m∴+=∴=+把b am =-,c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥,1m ∴≥-34m Q ≤-,314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ,当2m >-时,24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质,由函数图像上点的坐标特征求出b am =-,c am =-是解题关键.8.如果一条抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点,那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a ,b ,c ]称为“抛物线系数”. (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题;(2)若一条抛物线系数为[1,0,﹣2],则其“抛物线三角形”的面积为 ;(3)若一条抛物线系数为[﹣1,2b ,0],其“抛物线三角形”是个直角三角形,求该抛物线的解析式;(4)在(3)的前提下,该抛物线的顶点为A ,与x 轴交于O ,B 两点,在抛物线上是否存在一点P ,过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ,使得△BPQ ∽△OAB ?如果存在,求出P 点坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)假;(2)3)y =-x 2+2x 或y =-x 2-2x ;(4)P (1,1)或P (-1,-3)或P (1,-3)或(-1,1). 【解析】分析:(1)当△>0时,抛物线与x 轴有两个交点,由此可得出结论;(2)根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-,由此可得出结论;(3)根据“抛物线三角形”定义得到y =-x 2+2bx ,它与x 轴交于点(0,0)和(2b ,0);当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形, 由抛物线顶点为(b ,b 2),以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯,解方程即可得到结论; (4)分两种情况讨论:①当抛物线为y =-x 2+2x 时,②当抛物线为y =-x 2-2x 时. 详解:(1)当△>0时,抛物线与x 轴有两个交点,此时抛物线才有“抛物线三角形”,故此命题为假命题;(2)由题意得:22y x =-,令y =0,得:x=,∴ S=122⨯=12x x ;(3)依题意:y =-x 2+2bx ,它与x 轴交于点(0,0)和(2b ,0); 当抛物线三角形是直角三角形时,根据对称性可知它一定是等腰直角三角形.∵y =-x 2+2bx =22()x b b --+,∴顶点为(b ,b 2),由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到:2122b b =⨯,∴2b b =,解得:b =0(舍去)或b =±1, ∴y =-x 2+2x 或y =-x 2-2x .(4)①当抛物线为y =-x 2+2x 时.∵△AOB 为等腰直角三角形,且△BPQ ∽△OAB ,∴△BPQ 为等腰直角三角形,设P (a ,-a 2+2a ),∴Q ((a ,0),则|-a 2+2a |=|2-a |,即(2)2a a a -=-.∵a -2≠0,∴1a =,∴a =±1,∴P (1,1)或(-1, -3). ②当抛物线为y =-x 2-2x 时.∵△AOB 为等腰直角三角形,且△BPQ ∽△OAB ,∴△BPQ 为等腰直角三角形,设P (a ,-a 2-2a ),∴Q ((a ,0), 则|-a 2-2a |=|2+a |,即(2)2a a a +=+.∵a +2≠0,∴1a =,∴a =±1,∴P (1,-3,)或(-1,1). 综上所述:P (1,1)或P (-1,-3)或P (1,-3,)或(-1,1).点睛:本题是二次函数综合题.考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义.解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论.9.综合与探究如图,抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ,BC ,DB ,DC . (1)求抛物线的函数表达式; (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++;(2)3;(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F ,先求出S △OAC =6,再根据S △BCD =34S △AOC ,得到S △BCD =92,然后求出BC 的解析式为362y x =-+,则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+,由此可得2334DG m m =-+,再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅,可得关于m 的方程,解方程即可求得答案;(3)存在,如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图,以BD 为边时,有3种情况,由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154,然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解;以BD 为对角线时,有1种情况,此时N 1点与N 2点重合,根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4,继而求得OM 1= 8,由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0),B(4,0),∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩, 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++; (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F , ∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA=2,由0x =,得6y =,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC=6, ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=, ∵S △BCD =34S △AOC , ∴S △BCD =39642⨯=,设直线BC 的函数表达式为y kx n =+,由B ,C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩,解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+, ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+, ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+, ∵点B 的坐标为(4,0),∴OB=4,∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅, ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+(), ∴239622m m -+=, 解得11m =(舍),23m =, ∴m 的值为3;(3)存在,如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图, 以BD 为边时,有3种情况, ∵D 点坐标为15(3,)4,∴点N 点纵坐标为±154,当点N 的纵坐标为154时,如点N 2,此时233156424x x -++=,解得:121,3x x =-=(舍), ∴215(1,)4N -,∴2(0,0)M ; 当点N 的纵坐标为154-时,如点N 3,N 4, 此时233156424x x -++=-,解得:12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-,415(114,)4N --, ∴3(14,0)M ,4(14,0)M -;以BD 为对角线时,有1种情况,此时N 1点与N 2点重合,∵115(1,)4N -,D(3,154),∴N 1D=4, ∴BM 1=N 1D=4, ∴OM 1=OB+BM 1=8, ∴M 1(8,0),综上,点M 的坐标为:1234(80)(00)(140)(140)M M M M -,,,,,,,.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识,运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10.在平面直角坐标系xOy 中(如图).已知抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0)和点B (0,52),顶点为C ,点D 在其对称轴上且位于点C 下方,将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD 的长;(3)将抛物线平移,使其顶点C 移到原点O 的位置,这时点P 落在点E 的位置,如果点M 在y 轴上,且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8,求点M 的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52;(2)线段CD 的长为2;(3)M 点的坐标为(0,72)或(0,﹣72). 【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;(2)利用配方法得到y=﹣12(x ﹣2)2+92,则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t ,则D (2,92﹣t ),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t ,则P (2+t ,92﹣t ),然后把P (2+t ,92﹣t )代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程,从而解方程可得到CD 的长;(3)P 点坐标为(4,92),D 点坐标为(2,52),利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为(2,﹣2),设M (0,m ),当m >0时,利用梯形面积公式得到12•(m+52+2)•2=8当m <0时,利用梯形面积公式得到12•(﹣m+52+2)•2=8,然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标.【详解】(1)把A (﹣1,0)和点B (0,52)代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52;(2)∵y=﹣12(x﹣2)2+92,∴C(2,92),抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,92﹣t),∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,∴∠PDC=90°,DP=DC=t,∴P(2+t,92﹣t),把P(2+t,92﹣t)代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12(2+t)2+2(2+t)+52=92﹣t,整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,∴线段CD的长为2;(3)P点坐标为(4,92),D点坐标为(2,52),∵抛物线平移,使其顶点C(2,92)移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移92个单位,而P点(4,92)向左平移2个单位,向下平移92个单位得到点E,∴E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,12•(m+52+2)•2=8,解得m=72,此时M点坐标为(0,72);当m<0时,12•(﹣m+52+2)•2=8,解得m=﹣72,此时M点坐标为(0,﹣72);综上所述,M点的坐标为(0,72)或(0,﹣72).【点睛】本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识,综合性较强,正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
2020中考数学 函数复习:二次函数及其图像(含答案)
2020中考数学函数复习:二次函数及其图像(含答案)一、选择题1.抛物线(是常数)的顶点坐标是()A.B.C.D.2.根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值,可判断二次函数的图像与x轴()x …-1 0 1 2 …y …-1 -2 …A.只有一个交点B.有两个交点,且它们分别在y轴两侧C.有两个交点,且它们均在y轴同侧D.无交点3.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是()4.二次函数的图象如图2所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.B.C.D.不能确定22()y x m n=++m n,()m n,()m n-,()m n-,()m n--,cbxaxy++=247-47-cbxaxy++=221yy<21yy=21yy>B.C.D.1111xoyyo xyo xxoy5.将函数的图象向右平移a 个单位,得到函数的图象,则a 的值为 A .1 B .2C .3D .46.在平面直角坐标系中,先将抛物线关于轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ) A . B .C. D .7.把二次函数用配方法化成的形式A. B. C. D. 8.某车的刹车距离y (m )与开始刹车时的速度x (m/s )之间满足二次函数(x >0),若该车某次的刹车距离为5 m ,则开始刹车时的速度为( ) A .40 m/s B .20 m/s C .10 m/sD .5 m/s二、填空题1.若把代数式化为的形式,其中为常数,则=.2.已知二次函数的图象经过原点及点(,),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为 3.抛物线的顶点坐标为__________.4.已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个.5.抛物线的图象如图所示, 则此抛物线的解析式为 .2y x x =+(0)a >232y x x =-+22y x x =+-x y 22y x x =--+22y x x =-+-22y x x =-++22y x x =++3412+--=x x y ()k h x a y +-=2()22412+--=x y ()42412+-=x y ()42412++-=x y 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 2120y x =223x x --()2x m k -+,m k m k +12-14-23(1)5y x =--+2y ax bx c =++x (20)-,1(0)x ,112x <<y (02),420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>2y x bx c =-++yx =16.函数取得最大值时,______. 三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.2.已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.(1)求点的坐标(用表示); (2)求抛物线的解析式;(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明:为定值.3.已知二次函数过点A (0,),B (,0),C ().(1)求此二次函数的解析式; (2)判断点M (1,)是否在直线AC 上? (3)过点M (1,)作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点(不同于A ,B ,C 三点),请自已给出E 点的坐标,并证明△BEF 是直角三角形.4.如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA ,且OB =2OA ,点A 的坐标是(2)(3)y x x =--x =ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ()FC AC EC +2-1-5948,1212l yxQPFE DC BA O(-1,2).(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的表达式;(3)连接AB,在(2)中的抛物线上求出点P,使得S△ABP=S△ABO.5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?6.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数,且时,;时,.(1)求一次函数的表达式;(2)若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围.7.如图1,已知:抛物线与轴交于两点,与轴交于点C,经过B、C两点的直线是,连结.(1)B、C两点坐标分别为B(_____,_____)、C(_____,_____),抛物线的函数关系式为______________;(2)判断的形状,并说明理由;(3)若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边上)?若能,求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】 选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 填空题 1. -32. ,3. (1,5)4. 45. 6. 解答题1. 解:设这个二次函数的关系式为得:解得:∴这个二次函数的关系式是,即2. (1)由可知,,又△ABC 为等腰直角三角形,∴,,所以点A 的坐标是(). (2)∵ ∴,则点的坐标是(). 又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得:解得 ∴抛物线的解析式为 2y x x =+21133y x =-+223y x x =-++52(3,)B m 3OC =BC m =AC BC m ==3OA m =-3,0m -45ODA OAD ∠=∠=︒3OD OA m ==-D 0,3m -(1,0)P B D 2(1)y a x =-22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩14a m =⎧⎨=⎩221y x x =-+(3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.∵ ∴∽ ∴ 即,得 ∵ ∴∽ ∴ 即,得 又∵ ∴ 即为定值8.3. (1)设二次函数的解析式为(), 把A (0,),B (,0),C ()代入得解得 a =2 , b =0 , c =-2, ∴(2)设直线AC 的解析式为 ,把A (0,-2),C ()代入得, 解得 ,∴ 当x =1时, ∴M (1,)在直线AC 上(3)设E 点坐标为(),则直线EM 的解析式为 由 化简得,即,∴F 点的坐标为().Q QM AC ⊥M Q QN BC ⊥N Q 2(,21)x x x -+2(1)QM CN x ==-3MC QN x ==-//QM CE PQM ∆PEC ∆QM PM EC PC =2(1)12x x EC --=2(1)EC x =-//QN FC BQN ∆BFC ∆QN BN FC BC =234(1)4x x FC ---=41FC x =+4AC =444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++()FC AC EC +c bx ax y ++=20a ≠2-1-5948,2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩222y x =-(0)y kx b k =+≠5948,29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩522k b ==-,522y x =-511222y =⨯-=121322--,4536y x =-2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩2472036x x --=17()(2)023x x +-=713618,第3题过E 点作EH ⊥x 轴于H ,则H 的坐标为(). ∴ ∴,类似地可得 , , ∴,∴△BEF 是直角三角形.4. 解:(1)过点A 作AF ⊥x 轴,垂足为点F ,过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为点E , 则AF =2,OF =1.∵OA ⊥OB ,∴∠AOF+∠BOE =90°. 又 ∵∠BOE+∠OBE =90°, ∴∠AOF =∠OBE . ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB . ∴. ∴BE =2,OE =4. ∴B(4,2).(2)设过点A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的抛物线为y=ax 2+bx+c . ∴解之,得∴所求抛物线的表达式为. (3)由题意,知AB ∥x 轴.设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ,102-,3122EH BH ==,2223110()()224BE =+=22213131690845()()186324162BF =+==222401025001250()()186324162EF =+==2221084512504162162BE BF EF +=+==2===OAOBAF OE OF BE ⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a x x y 23212-=则S △ABP =. ∴d =2.∴点P 的纵坐标只能是0或4. 令y =0,得,解之,得x =0,或x =3. ∴符合条件的点P 1(0,0),P 2(3,0). 令y =4,得,解之,得. ∴符合条件的点P 3(,4),P 4(,4). ∴综上,符合题意的点有四个: P 1(0,0),P 2(3,0),P 3(,4),P 4(,4). (评卷时,无P 1(0,0)不扣分) 5.解:(1)当时,线段O A 的函数关系式为;当时,由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A (4,-40),设其解析式为在中,令x=10,得;∴B (10,320)∵B (10,320)在该抛物线上 ∴解得∴当时,=综上可知,(2) 当时, 当时,当时,AF AB d AB ⋅=⋅2121023212=-x x 423212=-x x 2413±=x 2413-2413+2413-2413+(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解:(1)根据题意得解得.所求一次函数的表达式为.(2),抛物线的开口向下,当时,随的增大而增大,而,当时,.当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.(3)由,得,整理得,,解得,.由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而,所以,销售单价的范围是.7. (1)(4,0),..(2)是直角三角形.证明:令,则...解法一:..是直角三角形.解法二:,..,.即.是直角三角形.(3)能.当矩形两个顶点在上时,如图1,交于.,..解法一:设,则,,.=.当时,最大..,.,.解法二:设,则..当时,最大..,.,.当矩形一个顶点在上时,与重合,如图2,,..解法一:设,,.=.当时,最大.,.解法二:设,,,,..=∴当时,最大,..∴综上所述:当矩形两个顶点在上时,坐标分别为,(2,0);当矩形一个顶点在上时,坐标为。
2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题及答案解析
2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题及答案解析一、二次函数1.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值;(3)如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E 与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=--+.(2)3210.(3)①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可.(2)根据BC 是定值,得到当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E 的横坐标为m ,表示出E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+),最后表示出EF 的长,从而表示出S 于m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C (0,3),∴a 1=-.∴抛物线的解析式为:()()y x 3x 1=-+-,即2y x 2x 3=--+.(2)∵△PBC 的周长为:PB+PC+BC ,且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称,∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点.∵AP=BP ,∴△PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3),∴2,10.∴△PBC 的周长最小是:3210.(3)①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为(﹣1,4),A (﹣3,0),∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ,∴E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+)∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++,∴当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).2.如图1,已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于C 点,点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P 的横坐标为t .(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴为l ,l 与x 轴的交点为D .在直线l 上是否存在点M ,使得四边形CDPM 是平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接BC ,PB ,PC ,设△PBC 的面积为S .①求S 关于t 的函数表达式;②求P 点到直线BC 的距离的最大值,并求出此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)当t=2时,点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由见解析;(3)y=﹣x+3;P点到直线BC 92,此时点P的坐标为(32,154).【解析】【分析】(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑:当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标;当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M;(3)①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式;②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论.【详解】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩,解得:23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1,当t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由如下:若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2,又∵t≠2,∴不存在;(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得303m nn+=⎧⎨=⎩,解得:13mn=-⎧⎨=⎩,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,﹣t+3),∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32(t﹣32)2+278;②∵﹣32<0,∴当t=32时,S取最大值,最大值为278.∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),∴线段BC=2232OB OC+=,∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=,此时点P的坐标为(32,154).【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是:(1)由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式;(2)分t=2和t≠2两种情况考虑;(3)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式;②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.3.抛物线y =ax 2+bx ﹣3(a≠0)与直线y =kx+c (k≠0)相交于A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点,且抛物线与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)求出C 、D 两点的坐标(3)在第四象限抛物线上有一点P ,若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形,求出点P 的坐标.【答案】(1)y =x 2﹣2x ﹣3;(2)C (0,﹣3),D (0,﹣1);(3)P (2,﹣2).【解析】【分析】(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入y =ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式. (2)当x =0时可求C 点坐标,求出直线AB 解析式,当x =0可求D 点坐标. (3)由题意可知P 点纵坐标为﹣2,代入抛物线解析式可求P 点横坐标.【详解】解:(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入y =ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩ ∴y =x 2﹣2x ﹣3(2)把x =0代入y =x 2﹣2x ﹣3中可得y =﹣3∴C (0,﹣3)设y =kx+b ,把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y =﹣x ﹣1∴D (0,﹣1)(3)由C (0,﹣3),D (0,﹣1)可知CD 的垂直平分线经过(0,﹣2)∴P 点纵坐标为﹣2,∴x 2﹣2x ﹣3=﹣2解得:x =2∵x >0∴x =2.∴P (2,﹣2)【点睛】本题是二次函数综合题,用待定系数法求二次函数的解析式,把x =0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标,知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标.4.已知抛物线26y x x c =-++.(1)若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围;(Ⅱ)设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =C 的值;(Ⅲ)点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,,PA QB 都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB ∆≅∆,求c 的取值范围.【答案】(I )9c -…;(Ⅱ)2c =-;(Ⅲ)c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点,则判别式为非负数,列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点,并根据勾股定理求出MN 的长度,列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知,P ,Q 两点的坐标特点,设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,代入二次函数,得到n,m 的关系,则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解:(I )∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点, ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
2020-2021中考数学二次函数的综合复习附答案
2020-2021中考数学二次函数的综合复习附答案一、二次函数1.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)点P(32-,154);(3)符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).【解析】【分析】(1)令y=0,求出点A的坐标,根据抛物线的对称轴是x=﹣1,求出点C的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)设点P(m,﹣m2﹣2m+3),利用抛物线与直线相交,求出点B的坐标,过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F,利用S△ABP=S△PBF+S△PFA,用含m的式子表示出△ABP的面积,利用二次函数的最大值,即可求得点P的坐标;(3)求出点E的坐标,然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式,再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式,即可求出交点坐标.【详解】解:(1)令y=0,可得:x﹣1=0,解得:x=1,∴点A(1,0),∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,∴﹣1×2﹣1=﹣3,即点C(﹣3,0),∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩==,解得:12ab-⎧⎨-⎩=,=∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动,∴设点P(m,﹣m2﹣2m+3),∵抛物线与直线y=x﹣1交于A、B两点,∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩==,解得:1145xy-⎧⎨-⎩==,221xy=,=⎧⎨⎩∴点B(﹣4,﹣5),如图,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,则点F(m,m﹣1),∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m+1=﹣m2﹣3m+4,∴S△ABP=S△PBF+S△PFA=12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)=-52(m+32)2+1258,∴当m=32-时,P最大,∴点P(32-,154).(3)当x=﹣1时,y=﹣1﹣1=﹣2,∴点E(﹣1,﹣2),如图,直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x﹣1,直线CE的解析式为y =﹣x﹣3,∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形,∴直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=﹣x﹣9,联立533y xy x+⎧⎨+⎩==得D1(0,3),同理可得D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7),综上所述,符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).【点睛】本题考查二次函数的综合应用,解决第(2)小题中三角形面积的问题时,找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键;对于第(3)小题,要注意分类讨论、数形结合的运用,不要漏解.2.如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N 从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.【答案】(1)二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3;(2)点P的坐标为:(0,2(0,3﹣2)或(0,-3)或(0,0);(3)当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.【解析】【分析】(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组,解方程组即可得二次函数的表达式;(2)先求出点B的坐标,再根据勾股定理求得BC的长,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;分别根据这三种情况求出点P的坐标;(3)设AM=t则DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=12×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t,把解析式化为顶点式,根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积;此时点M 在D 点,点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.【详解】解:(1)把A (1,0)和C (0,3)代入y=x 2+bx+c ,103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得:b=﹣4,c=3,∴二次函数的表达式为:y=x 2﹣4x+3;(2)令y=0,则x 2﹣4x+3=0,解得:x=1或x=3,∴B (3,0),∴BC=32, 点P 在y 轴上,当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,①当CP=CB 时,PC=32,∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1(0,3+32),P 2(0,3﹣32);②当PB=PC 时,OP=OB=3,∴P 3(0,-3);③当BP=BC 时,∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合,∴P 4(0,0);综上所述,点P 的坐标为:(0,3+32)或(0,3﹣32)或(﹣3,0)或(0,0);(3)如图2,设AM=t ,由AB=2,得BM=2﹣t ,则DN=2t ,∴S △MNB=12×(2﹣t )×2t=﹣t 2+2t=﹣(t ﹣1)2+1, 当点M 出发1秒到达D 点时,△MNB 面积最大,最大面积是1.此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x 元.求:(1)房间每天的入住量y (间)关于x (元)的函数关系式;(2)该宾馆每天的房间收费p (元)关于x (元)的函数关系式;(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w 有最大值?最大值是多少?【答案】(1)y=60-10x ;(2)z=-110x 2+40x+12000;(3)w=-110x 2+42x+10800,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元.【解析】 试题分析:(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10;(2)已知每天定价增加为x 元,则每天要(200+x )元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量;(3)支出费用为20×(60﹣10x ),则利润w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ),利用配方法化简可求最大值.试题解析:解:(1)由题意得: y =60﹣10x (2)p =(200+x )(60﹣10x )=﹣2110x +40x +12000 (3)w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ) =﹣2110x +42x +10800 =﹣110(x ﹣210)2+15210当x=210时,w有最大值.此时,x+200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w有最大值,且最大值是15210元.点睛:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.本题主要考查的是二次函数的应用,难度一般.4.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动,运动时间为t秒.过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M,交AC 于点N.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)当t为何值时,△ACM的面积最大?最大值为多少?(3)点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动,当t为何值时,在线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形?【答案】(1)A(1,4);y=-x2+2x+3;(2)当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)2085或20 13.【解析】(1)由矩形的性质得到点A的坐标,由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x -1)2+4,把点C的坐标代入即可求得a的值;(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标,由A、C的坐标得到直线AC的解析式,进而得到点N的坐标,即可用关于t的式子表示MN,然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积,利用二次函数的性质即可得到当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)①当点H在N点上方时,由PN=CQ,PN∥CQ,得到四边形PNCQ为平行四边形,所以当PQ=CQ时,四边形FECQ为菱形,据此得到,解得t值;②当点H在N点下方时,NH=CQ=,NQ=CQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2=CQ2,得:,解得t 值.解:(1)由矩形的性质可得点A (1,4),∵抛物线的顶点为A ,设抛物线的解析式为y =a (x -1)2+4,代入点C (3, 0),可得a =-1.∴y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3.(2)∵P (112t +,4), 将112x t =+代入抛物线的解析式,y =-(x -1)2+4=2144t -, ∴M (112t +,2144t -), 设直线AC 的解析式为,将A (1,4),C (3,0)代入,得:, 将112x t =+代入得, ∴N (112t +,), ∴MN, ∴, ∴当t =2时,△A MC 面积的最大值为1.(3)①如图1,当点H在N点上方时,∵N(112t +,),P (112t +,4), ∴P N=4—()==CQ ,又∵PN ∥CQ , ∴四边形PNCQ 为平行四边形,∴当PQ =CQ 时,四边形FECQ 为菱形,PQ 2=PD 2+DQ 2 =,∴, 整理,得240800t t -+=.解得12085t =-,22085t =+②如图2当点H在N点下方时, NH=CQ=,NQ =CQ 时,四边形NHCQ 为菱形,NQ 2=CQ 2,得:.整理,得213728000t t -+=.()()1320400t t --=.所以12013t =,(舍去).“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题,会用顶点式求抛物线,会用两点法求直线解析式,会设点并表示三角形的面积,熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.5.如图1,已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于C 点,点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P 的横坐标为t .(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴为l ,l 与x 轴的交点为D .在直线l 上是否存在点M ,使得四边形CDPM 是平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接BC ,PB ,PC ,设△PBC 的面积为S .①求S 关于t 的函数表达式;②求P 点到直线BC 的距离的最大值,并求出此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)当t=2时,点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由见解析;(3)y=﹣x+3;P点到直线BC 92,此时点P的坐标为(32,154).【解析】【分析】(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑:当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标;当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M;(3)①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式;②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论.【详解】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩,解得:23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1,当t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6);当t≠2时,不存在,理由如下:若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2,又∵t≠2,∴不存在;(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得303m nn+=⎧⎨=⎩,解得:13mn=-⎧⎨=⎩,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,﹣t+3),∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32(t﹣32)2+278;②∵﹣32<0,∴当t=32时,S取最大值,最大值为278.∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),∴线段BC=2232OB OC+=,∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=,此时点P的坐标为(32,154).【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是:(1)由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式;(2)分t=2和t≠2两种情况考虑;(3)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式;②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.6.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标. 【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】 【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2; 【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x2+32x+2;(2)∵点C与点D关于x轴对称,∴D(0,-2).设直线BD的解析式为y=kx-2.∵将(4,0)代入得:4k-2=0,∴k=12.∴直线BD的解析式为y=12x-2.当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(-1,0);当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,∴-2x+8=-21x2+32x+2,可求x=3或x=4(舍)∴x=3;∴Q(3,2)或Q(-1,0);(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A1(x,y),则C1(x+2,y-1),O1(x,y-1),①当A1、C1在抛物线上时,∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩,∴x 1y 3=⎧⎨=⎩,∴A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.7.如图,抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)过A (4,0),B (1,3)两点,点C 、B 关于抛物线的对称轴对称,过点B 作直线BH ⊥x 轴,交x 轴于点H . (1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C 的坐标,并求出△ABC 的面积;(3)点P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,是否存在这样的点P ,使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;(4)若点M 在直线BH 上运动,点N 在x 轴正半轴上运动,当以点C ,M ,N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN 的面积.【答案】(1)y=-x2+4x;(2)C(3,3),面积为3;(3)P的坐标为(5,-5);(4)52或5.【解析】试题分析:(1)利用待定系数法进行求解即可;(2)先求出抛物线的对称轴,利用对称性即可写出点C的坐标,利用三角形面积公式即可求面积;(3)利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求;(4)分情况进行讨论,确定点M、N,然后三角形的面积公式即可求.试题解析:(1)将A(4,0),B(1,3)代入到y=ax2+bx中,得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩,解得14ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.(2)∵抛物线的表达式为y=-x2+4x,∴抛物线的对称轴为直线x=2.又C,B关于对称轴对称,∴C(3,3).∴BC=2,∴S△ABC=12×2×3=3.(3)存在点P.作PQ⊥BH于点Q,设P(m,-m2+4m).∵S△ABP=2S△ABC,S△ABC=3,∴S△ABP=6.∵S△ABP+S△BPQ=S△ABH+S梯形AHQP∴6+12×(m-1)×(3+m2-4m)=12×3×3+12×(3+m-1)(m2-4m)整理得m2-5m=0,解得m1=0(舍),m2=5,∴点P的坐标为(5,-5).(4)52或5.提示:①当以M为直角顶点,则S△CMN=52;②当以N为直角顶点,S△CMN=5;③当以C为直角顶点时,此种情况不存在.【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查待定系数法求解析式,三角形面积、直角三角形的判定等,能正确地根据题意确定图形,分情况进行讨论是解题的关键.8.如图,已知二次函数的图象过点O (0,0).A (8,4),与x 轴交于另一点B ,且对称轴是直线x =3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M 是OB 上的一点,作MN ∥AB 交OA 于N ,当△ANM 面积最大时,求M 的坐标;(3)P 是x 轴上的点,过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q .过A 作AC ⊥x 轴于C ,当以O ,P ,Q 为顶点的三角形与以O ,A ,C 为顶点的三角形相似时,求P 点的坐标.【答案】(1)21342y x x =-;(2)当t =3时,S △AMN 有最大值3,此时M 点坐标为(3,0);(3)P 点坐标为(14,0)或(﹣2,0)或(4,0)或(8,0). 【解析】 【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定B (6,0),然后设交点式求抛物线解析式;(2)设M (t ,0),先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12,直线MN 的解析式为y=2x-2t ,再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N (42t,t 33),接着利用三角形面积公式,利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题; (3)设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭,根据相似三角形的判定方法,当PQ PO OC AC=时,△PQO ∽△COA ,则213m m 2|m |42-=;当PQ POAC OC=时,△PQO ∽△CAO ,则2131m m m 422-=,然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标. 【详解】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x =3, ∴B 点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y =ax (x ﹣6), 把A (8,4)代入得a•8•2=4,解得a =14, ∴抛物线解析式为y =14x (x ﹣6),即y =14x 2﹣32x ; (2)设M (t ,0),易得直线OA 的解析式为y =12x , 设直线AB 的解析式为y =kx+b ,把B (6,0),A (8,4)代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩,∴直线AB 的解析式为y =2x ﹣12, ∵MN ∥AB ,∴设直线MN 的解析式为y =2x+n , 把M (t ,0)代入得2t+n =0,解得n =﹣2t , ∴直线MN 的解析式为y =2x ﹣2t ,解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+,当t =3时,S △AMN 有最大值3,此时M 点坐标为(3,0); (3)设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭, ∵∠OPQ =∠ACO , ∴当PQ PO OC AC =时,△PQO ∽△COA ,即PQ PO 84=, ∴PQ =2PO ,即213m m 2|m |42-=, 解方程213m m 2m 42-=得m 1=0(舍去),m 2=14,此时P 点坐标为(14,0); 解方程213m m 2m 42-=-得m 1=0(舍去),m 2=﹣2,此时P 点坐标为(﹣2,0); ∴当PQ PO AC OC =时,△PQO ∽△CAO ,即PQ PO 48=, ∴PQ =12PO ,即2131m m m 422-=,解方程2131m m m 422=-=得m 1=0(舍去),m 2=8,此时P 点坐标为(8,0); 解方程2131m m m 422=-=-得m 1=0(舍去),m 2=4,此时P 点坐标为(4,0); 综上所述,P 点坐标为(14,0)或(﹣2,0)或(4,0)或(8,0). 【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.9.如图,抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C .直线y=x ﹣5经过点B ,C .(1)求抛物线的解析式;(2)过点A 的直线交直线BC 于点M .①当AM ⊥BC 时,过抛物线上一动点P (不与点B ,C 重合),作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ,若以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标; ②连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时,请直接写出点M 的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).【解析】分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以2,接着根据平行四边形的性质得到2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到2PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(12,-52),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b,把E(12,-52)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125,则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩==得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=13+62x,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.详解:(1)当x=0时,y=x ﹣5=﹣5,则C (0,﹣5), 当y=0时,x ﹣5=0,解得x=5,则B (5,0), 把B (5,0),C (0,﹣5)代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩,解得15a b =-⎧⎨=-⎩, ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5;(2)①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1,x 2=5,则A (1,0), ∵B (5,0),C (0,﹣5), ∴△OCB 为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM ⊥BC ,∴△AMB 为等腰直角三角形, ∴AM=2AB=2×4=22, ∵以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,AM ∥PQ , ∴PQ=AM=22,PQ ⊥BC ,作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ,如图1,则∠PDQ=45°,∴222=4,设P (m ,﹣m 2+6m ﹣5),则D (m ,m ﹣5), 当P 点在直线BC 上方时,PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣(m ﹣5)=﹣m 2+5m=4,解得m 1=1,m 2=4, 当P 点在直线BC 下方时,PD=m ﹣5﹣(﹣m 2+6m ﹣5)=m 2﹣5m=4,解得m 15+41,m 25-41, 综上所述,P 点的横坐标为4或5+412或5-412; ②作AN ⊥BC 于N ,NH ⊥x 轴于H ,作AC 的垂直平分线交BC 于M 1,交AC 于E ,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(12,﹣52,设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b,把E(12,﹣52)代入得﹣110+b=﹣52,解得b=﹣125,∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则M1(136,﹣176);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),∵3=13+ 62x∴x=236,∴M2(236,﹣76).综上所述,点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.10.二次函数y=x2-2mx+3(m>)的图象与x轴交于点A(a,0)和点B(a+n,0)(n >0且n为整数),与y轴交于C点.(1)若a=1,①求二次函数关系式;②求△ABC的面积;(2)求证:a=m-;(3)线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,求a的值.【答案】(1)y=x2-4x+3;3;(2)证明见解析;(3)a=1或a=−.【解析】试题分析:(1)①首先根据a=1求得A的坐标,然后代入二次函数的解析式,求得m的值即可确定二次函数的解析式;②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标,从而确定三角形的面积;(2)将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m,然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a,从而确定a、m、n之间的关系;(3)根据a=m-得到A(m-,0)代入y=(x-m)2-m2+3得0=(m--m)2-m2+3,求得m 的值即可确定a的值.试题解析:(1)①∵a=1,∴A(1,0),代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0,解得m=2,∴y=x2-4x+3;②在y=x2-4x+3中,当y=0时,有x2-4x+3=0可得x=1或x=3,∴A(1,0)、B(3,0),∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为(0,3),∴OC=3,△ABC的面积=×2×3=3;(2)∵y=x2-2mx+3=(x-m)2-m2+3,∴对称轴为直线x=m,∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称,∴a+n-m=m-a,∴a=m-;(3)y=x2-2mx+3(m>)化为顶点式为y=(x-m)2-m2+3(m>)①当a为整数,因为n>0且n为整数所以a+n是整数,∵线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,∴n=2,∴a=m-1,∴A(m-1,0)代入y=(x-m)2-m2+3得(x-m)2-m2+3=0,∴m2-4=0,∴m=2,m=-2(舍去),∴a=2-1=1,②当a不是整数,因为n>0且n为整数所以a+n不是整数,∵线段AB(包括A、B)上有且只有三个点的横坐标是整数,∴n=3,∴a=m-∴A(m-,0)代入y=(x-m)2-m2+3得0=(m--m)2-m2+3,∴m2=,∴m=,m=-(舍去),∴a=−,综上所述:a=1或a=−.考点:二次函数综合题.11.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(﹣1,10)或P(﹣1,﹣10)或P(﹣1,6)或P(﹣1,53);(3)存在,Q(﹣1,2);(4)63 8,315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作PQ⊥y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长,可根据M 的坐标得出,CQ=3﹣x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当CM=C P时,因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;(3)根据轴对称﹣最短路径问题解答;(4)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在△BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩, 解得:12a b =-⎧⎨=-⎩. ∴所求抛物线解析式为:y =﹣x 2﹣2x+3;(2)如答图1,∵抛物线解析式为:y =﹣x 2﹣2x+3,∴其对称轴为x =22-=﹣1, ∴设P 点坐标为(﹣1,a ),当x =0时,y =3,∴C (0,3),M (﹣1,0)∴当CP =PM 时,(﹣1)2+(3﹣a )2=a 2,解得a =53, ∴P 点坐标为:P 1(﹣1,53); ∴当CM =PM 时,(﹣1)2+32=a 2,解得a =±10,∴P 点坐标为:P 2(﹣1,10)或P 3(﹣1,﹣10);∴当CM =CP 时,由勾股定理得:(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a )2,解得a =6, ∴P 点坐标为:P 4(﹣1,6).综上所述存在符合条件的点P ,其坐标为P (﹣1,10)或P (﹣1,﹣10)或P (﹣1,6)或P (﹣1,53); (3)存在,Q (﹣1,2),理由如下:如答图2,点C (0,3)关于对称轴x =﹣1的对称点C′的坐标是(﹣2,3),连接AC′,直线AC′与对称轴的交点即为点Q .设直线AC′函数关系式为:y =kx+t (k≠0).将点A (1,0),C′(﹣2,3)代入,得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩, 解得11k t =-⎧⎨=⎩, 所以,直线AC′函数关系式为:y =﹣x+1.将x =﹣1代入,得y =2,即:Q (﹣1,2);(4)过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,设E (a ,﹣a 2﹣2a+3)(﹣3<a <0)∴EF =﹣a 2﹣2a+3,BF =a+3,OF =﹣a∴S 四边形BOCE =12BF•EF+12(OC+EF )•OF =12(a+3)•(﹣a 2﹣2a+3)+12(﹣a 2﹣2a+6)•(﹣a ) =﹣32a 2﹣92a+92=﹣32(a+32)2+638, ∴当a =﹣32时,S 四边形BOCE 最大,且最大值为638. 此时,点E 坐标为(﹣32 ,154). 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进行求解,不要漏解.12.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x =+.(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)+-或317(1,)--. 【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.详解:(1)依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A ,∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,得303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之得:13m n =⎧⎨=⎩, ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得: 13172t +=,23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.13.如图,若b 是正数,直线l :y =b 与y 轴交于点A ;直线a :y =x ﹣b 与y 轴交于点B ;抛物线L :y =﹣x 2+bx 的顶点为C ,且L 与x 轴右交点为D .(1)若AB =8,求b 的值,并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标;(2)当点C 在l 下方时,求点C 与l 距离的最大值;(3)设x 0≠0,点(x 0,y 1),(x 0,y 2),(x 0,y 3)分别在l ,a 和L 上,且y 3是y 1,y 2的平均数,求点(x 0,0)与点D 间的距离;(4)在L 和a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数.【答案】(1)b =4,(2,﹣2 );(2)1;(3)12;(4)当b =2019时“美点”的个数为4040个,b =2019.5时“美点”的个数为1010个.。
2021年中考复习数学 专题训练:二次函数的图象及性质(含答案)
2021中考数学专题训练:二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A. (3,1)B. (3,-1)C. (-3,1)D. (-3,-1)3. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:有下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上的两点,则x1<x2.其中正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.54. 某人画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下表(计算没有错误):根据此表判断:一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1满足下列关系式中的() A.3.2<x1<3.3 B.3.3<x1<3.4 C.3.4<x1<3.5 D.3.1<x1<3.25. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①b2>4ac;②abc<0;③2a +b-c>0;④a+b+c<0.其中正确的是()A.①④B.②④C.②③D.①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1<x2,x1+x2>2m,则y1<y2;④当–1<x<2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A.①B.②C.③D.④7. (2020·常德)二次函数的图象如图所示,下列结论:240b ac ->①;0abc <②;40a b +=③;420a b c -+>④.其中正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .18. (2020·湖北孝感)将抛物线:y =-2x +3向左平移1个单位长度,得到抛物线,抛物线与抛物线关于x 轴对称,则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4,0),B (-2,0),C (0,3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示,抛物线y =ax 2-3x +a 2-1经过原点,那么a 的值是________.11. 已知函数y =ax 2+c 的图象与函数y =-3x 2-2的图象关于x 轴对称,则a =________,c =________.12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,若42M a b =+,=-.则M、N的大小关系为M__________N.(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x 轴,与拋物线相交于P,Q两点,则线段PQ的长为.14. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是________.三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1,0),B(0,3),且对称轴是直线x=2,求该抛物线的解析式.16. 把抛物线y=x2先向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到如图5-ZT -4所示的二次函数的图象.(1)求此二次函数的解析式;(2)在平移后的抛物线上存在一点M,使△ABM的面积为20,请直接写出点M的坐标.17. 如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.2021中考数学专题训练:二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断,由二次函数y=(x-2)2+1,得它的顶点坐标是(2,1),对称轴为直线x=2,当x=2时,函数的最小值是1,图象开口向上,当x≥2时,y的值随x值的增大而增大,当x<2时,y的值随x值的增大而减小,可由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以选项C是错误的,故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),∴y=2(x -3)2+1的顶点坐标是(3,1).3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确.由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确.由图象可以看出当0<x<4时,y<0,所以结论③错误.由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1<x2,也有可能x1>x2,所以结论⑤错误.4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看,当3.2≤x≤3.5时,y随x的增大而增大,且x=3.3时,y=-0.17<0,x=3.4时,y=0.08>0,故y=0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得,∴方程的根也在此范围内.故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故①正确.②图象开口向下,故a<0.图象与y轴交于正半轴,故c>0.因为对称轴为直线x=-1,所以-b2a=-1,所以2a=b,故b<0,所以abc>0,故②错误.③因为a<0,b<0,c>0,所以2a +b -c<0,故③错误.④当x =1时,y =a +b +c ,由图可得,当x =-3时,y<0.因为抛物线的对称轴为直线x =-1,所以由对称性可知,当x =1时,y<0,即a +b +c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ,–m+1)代入y=–x+1,–m+1=–m+1,左=右,故①正确; 当–(x –m)2–m+1=0时,x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m),即m2–m=0,∴m=0或1时,∴存在一个m 的值,使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形;故②正确; 当x1<x2,且x1、x2在对称轴右侧时,∵–1<0,∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小,即y1>y2,故③错误; ∵–1<0,∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大, ∴m≥2,故④正确, 故选C .7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点,∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根,240b ac ∴->,故①正确,由图象知,抛物线的对称轴为直线2x =,22ba∴-=,40a b ∴+=,故③正确,由图象知,抛物线开口方向向下,0a ∴<.∵40a b +=,0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,0c ∴>.0abc ∴<,故②正确,由图象知,当2x =-时,0y <,420a b c ∴-+<,故④错误.综上所述,正确的结论有3个,因此本题选B .8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减,左加右减”得抛物线得解析式:y =-2(x +1)+3,整理得y =+2,再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变,纵坐标互为相反数”得:y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2),把C (0,3)代入上式得3=a (0-4)(0+2),解得a=-,故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】-1 [解析] 因为抛物线经过原点(0,0),所以a 2-1=0,即a =±1.因为抛物线的开口向下,所以舍去a =1.故a =-1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时,0y a b c =-+>, 当2x =时,420y a b c =++<,()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<, 即M N <, 故答案为:<.13. 【答案】2[解析]当y=0时,-x 2+x +2=0,解得x 1=-2,x 2=4,∴点A 的坐标为(-2,0).当x=0时,y=-x 2+x +2=2,∴点C 的坐标为(0,2). 当y=2时,-x 2+x +2=2,解得x 1=0,x 2=2, ∴点D 的坐标为(2,2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0),将A (-2,0),D (2,2)代入y=kx +b ,得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时,y=x +1=1,∴点E 的坐标为(0,1). 当y=1时,-x 2+x +2=1,解得x 1=1-,x 2=1+, ∴点P 的坐标为(1-,1),点Q 的坐标为(1+,1),∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】-2 [解析] 抛物线y =ax 2+bx 的顶点C 的坐标为(-b 2a ,-b24a).把x =-b 2a 代入y =ax 2,得点B 的坐标为(-b 2a ,b 24a ).在y =ax 2+bx 中,令y =0,则ax 2+bx =0,解得x 1=0,x 2=-b a ,∴A(-ba ,0).∵四边形ABOC 为正方形,∴BC =OA ,∴2·b 24a =-b a ,即b 2+2b =0.解得b =-2或b =0(不符合题意,舍去).三、解答题15. 【答案】解:∵抛物线的对称轴是直线x =2且经过点A(1,0),∴由抛物线的对称性可知,抛物线还经过点(3,0).设抛物线的解析式为y =a(x -1)(x -3).把(0,3)代入解析式,得3=3a ,∴a =1,∴y =(x -1)(x -3),即该抛物线的解析式为y =x2-4x +3.16. 【答案】解:(1)此二次函数的解析式为y =(x +1)2-4,即y =x2+2x -3.(2)∵当y =0时,x2+2x -3=0,解得x1=-3,x2=1,∴A(1,0),B(-3,0),∴AB =4. 设点M 的坐标为(m ,n).∵△ABM 的面积为20,∴12AB·|n|=20,解得n =±10. 当n =10时,m2+2m -3=10,解得m =-1+14或m =-1-14,∴点M 的坐标为(-1+14,10)或(-1-14,10);当n =-10时,m2+2m -3=-10,此方程无解.故点M 的坐标为(-1+14,10)或(-1-14,10).17. 【答案】解:(1)D(-2,3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0),根据题意,得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】(1)将A(1,2)、O(0,0)、C(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-,72b=,0c=.所以23722y x x=-+.(2)如图2,过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′,如果梯形ABPM是等腰梯形,那么AM′=BP′,因此yA-y M′=yP′-yB.直线OC的解析式为12y x=,设点P的坐标为1(,)2x x,那么237(,)22M x x x-+.解方程23712()222x x x--+=,得123x=,22x=.x=2的几何意义是P与C重合,此时梯形不存在.所以21(,)33P.图2 图3(3)如图3,△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ,作EK ⊥OD 于K .设点A ′移动的水平距离为m ,那么OG =1+m ,GB ′=m .在Rt △OFG 中,11(1)22FG OG m ==+.所以21(1)4OFG S m ∆=+. 在Rt △A ′HG 中,A ′G =2-m ,所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-. 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=. 在Rt △OEK 中,OK =2 EK ;在Rt △EHK 中,EK =2HK ;所以OK =4HK . 因此4432332OK OH m m ==⨯=.所以12EK OK m ==. 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=. 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+. 因为0<m <1,所以当12m =时,S 取得最大值,最大值为38.。
2020-2021中考数学专题《二次函数》综合检测试卷附答案
2020-2021中考数学专题《二次函数》综合检测试卷附答案一、二次函数1.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数,a≠0)的“衍生直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”.已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与x 轴负半轴交于点C .(1)填空:该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;(2)如图,点M 为线段CB 上一动点,将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折,点C 的对称点为N ,若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”,求点N 的坐标;(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“衍生直线”上,是否存在点F ,使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2323y=;(-2,231,0); (2)N 点的坐标为(0,3-3),(0,23+3);(3)E (-1,43F (023)或E (-1,43),F (-4103) 【解析】【分析】(1)由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可;(2)过A 作AD ⊥y 轴于点D ,则可知AN=AC ,结合A 点坐标,则可求出ON 的长,可求出N 点的坐标;(3)分别讨论当AC 为平行四边形的边时,当AC 为平行四边形的对角线时,求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】(1)∵2234323y x x =-+a=233-,则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-;联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩,解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩,∴A(-2,23),B(1,0);(2)如图1,过A作AD⊥y轴于点D,在223432333y x x=--+中,令y=0可求得x= -3或x=1,∴C(-3,0),且A(-2,23),∴AC=22-++2133=(23)()由翻折的性质可知AN=AC=13,∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”,∴N在y轴上,且AD=2,在Rt△AND中,由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3,∵OD=23,∴ON=23-3或ON=23+3,∴N点的坐标为(0,23-3),(0,23+3);(3)①当AC为平行四边形的边时,如图2 ,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,则有AC∥EF且AC=EF,∴∠ ACK=∠ EFH,在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH,∴FH=CK=1,HE=AK=23,∵抛物线的对称轴为x=-1,∴ F点的横坐标为0或-2,∵点F在直线AB上,∴当F点的横坐标为0时,则F(0,23),此时点E在直线AB下方,∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43,即E的纵坐标为-43,∴ E(-1,-43);当F点的横坐标为-2时,则F与A重合,不合题意,舍去;②当AC为平行四边形的对角线时,∵ C(-3,0),且A(-2,23),∴线段AC的中点坐标为(-2.5,3),设E(-1,t),F(x,y),则x-1=2×(-2.5),y+t=23,∴x= -4,y=23-t,23-t=-233×(-4)+233,解得t=43-3,∴E(-1,43-3),F(-4,1033);综上可知存在满足条件的点F,此时E(-1,-43)、(0,23)或E(-1,43-),F(-4,103)【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查,熟练掌握二次函数,几何图形及辅助线方法是解决本题的关键,属于压轴题2.如图1,对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2x2+bx+c,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且点A坐标为(-1,0).又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与抛物线对称轴交于点E,点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.(1)求点B 的坐标和抛物线的表达式;(2)当AE:EP=1:4 时,求点E 的坐标;(3)如图 2,在(2)的条件下,将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′,旋转角为α(0°<α<90°),连接C ′D、C′B,求C ′B+23C′D 的最小值.【答案】(1)B(3,0);抛物线的表达式为:y=12x2-x-32;(2)E(1,6);(3)C′B+23C′D4103【解析】试题分析:(1)由抛物线的对称轴和过点A,即可得到抛物线的解析式,令y=0,解方程可得B的坐标;(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15,从而求出E的坐标;(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,得到D(0,3).如图,取点M(0,43),连接MC′、BM.则可求出OM,BM的长,得到△MOC′∽△C′OD.进而得到MC′=23C′D,由C′B+23C′D=C′B+MC′≥BF可得到结论.试题解析:解:(1)∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1,∴-122b=1,∴b=-1.∵抛物线过点A(-1,0),∴12-b+c=0,解得:c=-32,即:抛物线的表达式为:y=12x2-x-32.令y=0,则12x2-x-32=0,解得:x1=-1,x2=3,即B(3,0);(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.∵EG∥PF,AE:EP=1:4,∴AEAP =AGAF=EGPF=15.又∵AG=2,∴AF=10,∴F(9,0).当x=9时,y=30,即P(9,30),PF=30,∴EG=6,∴E(1,6).(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,则D(0,3).∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称,∴EG=6,∴C(2,0),∴OC′=OC=2.如图,取点M(0,43),连接MC′、BM.则OM=43,BM=2243()3+=97.∵423'23OMOC==,'23OCOD=,且∠DOC′=∠C′OD,∴△MOC′∽△C′OD.∴'2'3MCC D=,∴MC′=23C′D,∴C′B+23C′D=C′B+MC′≥BM=4103,∴C′B+23C′D的最小值为4103.点睛:本题是二次函数的综合题,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的性质和判定,求得AF的长是解答问题(2)的关键;和差倍分的转化是解答问题(3)的关键.3.已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(14,y1),D(34,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.【答案】(1)点M在直线y=4x+1上;理由见解析;(2)x的取值范围是x<0或x>5;(3)①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【解析】【分析】(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:图象在下方的函数值小,可得答案;(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.【详解】(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,∴M的坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上;(2)如图1,直线y=mx+5交y轴于点B,∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,∴A(5,0).由图象,得当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;(3)如图2,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,A(5,0),B(0,5)得直线AB的解析式为y=﹣x+5,联立EF,AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩,解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴点E(45,215),F(0,1).点M在△AOB内,1<4b+1<215,∴0<b<45.当点C,D关于抛物线的对称轴对称时,b﹣14=34﹣b,∴b=12,且二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,综上:①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【点睛】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是把点的坐标代入函数解析式检验;解(2)的关键是利用函数图不等式的关系:图象在上方的函数值大;解(3)的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围,又利用了二次函数的性质:a<0时,点与对称轴的距离越小函数值越大.4.某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚?若能,请说明理由;若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润?【答案】(1)y =﹣20x +500,(x ≥6);(2)当x =15.5时,w 的最大值为1805元;(3)当x =13时,w =1680,此时,既能销售完又能获得最大利润.【解析】【分析】(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:y =kx +b 即可求解;(2)由题意得:w =y (x ﹣6)=﹣20(x ﹣25)(x ﹣6),∵﹣20<0,故w 有最大值,即可求解;(3)当x =15.5时,y =190,50×190<12000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;由50(500﹣20x )≥12000,解得:x ≤13,当x =13时,既能销售完又能获得最大利润.【详解】解:(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式:y =kx +b 得:2001530010k b k b=+⎧⎨=+⎩, 解得:20500k b =-⎧⎨=⎩, 即:函数的表达式为:y =﹣20x +500,(x ≥6);(2)设:该品种蜜柚定价为x 元时,每天销售获得的利润w 最大,则:w =y (x ﹣6)=﹣20(x ﹣25)(x ﹣6),∵﹣20<0,故w 有最大值,当x =﹣2b a =312=15.5时,w 的最大值为1805元; (3)当x =15.5时,y =190,50×190<12000,故:按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完;设:应定销售价为x 元时,既能销售完又能获得最大利润w ,由题意得:50(500﹣20x )≥12000,解得:x ≤13,w =﹣20(x ﹣25)(x ﹣6),当x =13时,w =1680,此时,既能销售完又能获得最大利润.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).5.在平面直角坐标系中,O为原点,抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -,对称轴为直线l ,点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴,交y 轴于点C .(Ⅰ)求该抛物线的解析式及对称轴;(Ⅱ)点P 在y 轴上,当PA PB +的值最小时,求点P 的坐标;(Ⅲ)抛物线上是否存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线2x =;(Ⅱ)P 点坐标为9(0,)4-;(Ⅲ)存在,Q点坐标为或(-,理由见解析【解析】【分析】(Ⅰ)将3)A -点代入二次函数的解析式,即可求出a ,再根据对称轴的公式即可求解.(Ⅱ)先求出B 点胡坐标,要求PA PB +胡最小值,只需找到B 关于轴的对称点1B ,则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ,根据待定系数法求出AB 1的解析式,令y=0,即可求出P 点的坐标.(Ⅲ)设点Q 的坐标,并求出△AOQ 面积,从而得到△AOQ 面积,根据Q 点胡不同位置进行分类,用m 及割补法求出面积方程,即可求解.【详解】(Ⅰ)∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -,∴232a -=⨯-12a =, ∴抛物线的解析式为212y x x =,∵21222b x a -=-=-=⨯∴抛物线的对称轴为直线2x =. (Ⅱ)∵点(0,0)O,对称轴为x =, ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B,得1(B -,设直线AB 1的解析式为y kx b =+,把点3)A -,点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩,解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-,∵P 点坐标为9(0,)4-.(Ⅲ)∵3)A -,//AC x 轴,∴AC =3OC =,∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅= 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=,∴3AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)22m m m -, 如图情况一,作QR CA ⊥,交CA 延长线于点R ,∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形,∴(2111133322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-- ⎪ ⎪⎭⎝213222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭,化简整理得2180m -=,解得1m =2m =-如图情况二,作QN AC ⊥,交AC 延长线于点N ,交x 轴于点M , ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形, ∴2211331133(3m)3()222222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)22m m --+-=,化简整理得23180m m --=, 解得133m =,223m =-, ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-, ∴抛物线上存在点Q ,使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质,以及求两边和的最小值,面积等常见的题型,计算量较大,但难度不是很大.6.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示),拱高6m ,跨度20m ,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示),其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ,c 的值. (2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.【答案】(1)y=-350x 2+6;(2)5.5米;(3)一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. 【解析】试题分析:(1)根据题目可知A .B ,C 的坐标,设出抛物线的解析式代入可求解. (2)设N 点的坐标为(5,y N )可求出支柱MN 的长度.(3)设DN 是隔离带的宽,NG 是三辆车的宽度和.做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解.试题解析: (1) 根据题目条件,A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入2y ax c =+,得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+. (2) 可设N (5,N y ), 于是2356 4.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽,EG 是三辆车的宽度和, 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2+2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ,则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.7.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上,动点N 在对称轴l 上. ①当PA ⊥NA ,且PA=NA 时,求此时点P 的坐标;②当四边形PABC 的面积最大时,求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣32,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c ba++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得21(舍去)或x=21-,∴点P (21-,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P(32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.8.如图,抛物线y =ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ,B (1,0)两点,交y 轴于点C ,一次函数y =x +3的图象交坐标轴于A ,D 两点,E 为直线AD 上一点,作EF ⊥x 轴,交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式;(2)若点F 位于直线AD 的下方,请问线段EF 是否有最大值?若有,求出最大值并求出点E 的坐标;若没有,请说明理由;(3)在平面直角坐标系内存在点G ,使得G ,E ,D ,C 为顶点的四边形为菱形,请直接写出点G 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y =13x 2+23x ﹣1;(2)4912,(12,72);(3)点G 的坐标为(2,1),(﹣2,﹣2﹣1),2,2﹣1),(﹣4,3). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)由函数图象上点的坐标特征:可设点E 的坐标为(m ,m +3),点F 的坐标为(m ,13m 2+23m ﹣1),由此得到EF =﹣13m 2+13m +4,根据二次函数最值的求法解答即可; (3)分三种情形①如图1中,当EG 为菱形对角线时.②如图2、3中,当EC 为菱形的对角线时,③如图4中,当ED 为菱形的对角线时,分别求解即可. 【详解】解:(1)将y =0代入y =x +3,得x =﹣3. ∴点A 的坐标为(﹣3,0).设抛物线的解析式为y =a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2),点A 的坐标为(﹣3,0),点B 的坐标为(1,0), ∴y =a (x +3)(x ﹣1). ∵点C 的坐标为(0,﹣1), ∴﹣3a =﹣1,得a =13, ∴抛物线的解析式为y =13x 2+23x ﹣1; (2)设点E 的坐标为(m ,m +3),线段EF 的长度为y , 则点F 的坐标为(m ,13m 2+23m ﹣1) ∴y =(m +3)﹣( 13m 2+23m ﹣1)=﹣13m 2+13m +4 即y =-13(m ﹣12) 2+4912, 此时点E 的坐标为(12,72);(3)点G 的坐标为(2,1),(﹣,﹣﹣1),,﹣1),(﹣4,3). 理由:①如图1,当四边形CGDE 为菱形时. ∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y =132-+=1, 将y =1带入y =x +3,得x =﹣2. ∵EG 关于y 轴对称, ∴点G 的坐标为(2,1);②如图2,当四边形CDEG 为菱形时,以点D 为圆心,DC 的长为半径作圆,交AD 于点E ,可得DC =DE ,构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ,n +3), 点D 的坐标为(0,3)∴DE ∵DE =DC =4,∴4,解得n 1=﹣,n 2=.∴点E的坐标为(﹣22,﹣22+3)或(22,22+3)将点E向下平移4个单位长度可得点G,点G的坐标为(﹣22,﹣22﹣1)(如图2)或(22,22﹣1)(如图3)③如图4,“四边形CDGE为菱形时,以点C为圆心,以CD的长为半径作圆,交直线AD 于点E,设点E的坐标为(k,k+3),点C的坐标为(0,﹣1).∴EC=22(0)(31)k k-+++=22816k k++.∵EC=CD=4,∴2k2+8k+16=16,解得k1=0(舍去),k2=﹣4.∴点E的坐标为(﹣4,﹣1)将点E上移1个单位长度得点G.∴点G的坐标为(﹣4,3).综上所述,点G的坐标为(2,1),(﹣22,﹣22﹣1),(22,22﹣1),(﹣4,3).【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用对称解决最值问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.9.如图,直线y=-12x-3与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)当点D 在第三象限,设△DAC 的面积为S ,求S 与m 的函数关系式,并求出S 的最大值及此时点D 的坐标;(3)连接BC ,若∠EAD =∠OBC ,请直接写出此时点D 的坐标.【答案】(1)y =14x 2+x ﹣3;(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274;△ADC 的面积最大值为274;此时D(﹣3,﹣154);(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21). 【解析】 【分析】(1)求出A 坐标,再用待定系数法求解析式;(2)设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为:(m ,14m 2+m ﹣3),则点F 的坐标为:(m ,﹣12m ﹣3),根据S △ADC =S △ADF +S △DFC 求出解析式,再求最值;(3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD =∠ABC .②作点D(﹣4,﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4,3),直线AD′的解析式为y =32x+9,解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解:(1)在y =﹣12x ﹣3中,当y =0时,x =﹣6, 即点A 的坐标为:(﹣6,0),将A(﹣6,0),B(2,0)代入y =ax 2+bx ﹣3得:366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解得:141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为:y =14x 2+x ﹣3;(2)设点D 的坐标为:(m ,14m 2+m ﹣3),则点F 的坐标为:(m ,﹣12m ﹣3), 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF =﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)=﹣14m 2﹣32m , ∴S △ADC =S △ADF +S △DFC=12DF•AE+12•DF•OE =12DF•OA =12×(﹣14m 2﹣32m)×6 =﹣34m 2﹣92m =﹣34(m+3)2+274,∵a =﹣34<0, ∴抛物线开口向下,∴当m =﹣3时,S △ADC 存在最大值274, 又∵当m =﹣3时,14m 2+m ﹣3=﹣154,∴存在点D(﹣3,﹣154),使得△ADC 的面积最大,最大值为274; (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD =∠ABC . ②作点D(﹣4,﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4,3), 直线AD′的解析式为y =32x+9, 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩,此时直线AD′与抛物线交于D(8,21),满足条件, 综上所述,满足条件的点D 坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21)【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,一次函数的应用,二次函数的性质等知识,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会构建一次函数解决实际问题,属于中考压轴题..10.如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点,其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)265y x x =-+-;(2)当2m =,即2AP =时,MPN S ∆最大,此时3OP =,所以()3,0P ;(3)存在点Q 坐标为2-3(,)或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 【解析】分析:(1)把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值,确定出A 与B 坐标,代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可;(2)由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,得到∠MPN 为直角,由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积,利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可;(3)存在,分两种情况,根据相似得比例,求出AQ 的长,利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可.详解:(1)把A (m ,0),B (4,n )代入y =x ﹣1得:m =1,n =3,∴A (1,0),B (4,3).∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ,∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩,解得:65b c =⎧⎨=-⎩,则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5;(2)如图2,△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形,∴∠APM =∠DPN =45°,∴∠MPN =90°,∴△MPN 为直角三角形,令﹣x 2+6x ﹣5=0,得到x =1或x =5,∴D (5,0),即DP =5﹣1=4,设AP =m ,则有DP =4﹣m ,∴PM =2m ,PN =2(4﹣m ),∴S △MPN =12PM •PN =12m (4﹣m )=﹣14m 2﹣m =﹣14(m ﹣2)2+1,∴当m =2,即AP =2时,S △MPN 最大,此时OP =3,即P (3,0);(3)存在,易得直线CD 解析式为y =x ﹣5,设Q (x ,x ﹣5),由题意得:∠BAD =∠ADC =45°,分两种情况讨论:①当△ABD ∽△DAQ 时,AB DA =BD AQ ,即4=4AQ ,解得:AQ =3,由两点间的距离公式得:(x ﹣1)2+(x ﹣5)2=1283,解得:x =73,此时Q (73,﹣83);②当△ABD ∽△DQA 时,BDAQ=1,即AQ ,∴(x ﹣1)2+(x ﹣5)2=10,解得:x =2,此时Q (2,﹣3).综上,点Q 的坐标为(2,﹣3)或(73,﹣83). 点睛:本题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定与性质,两点间的距离公式,熟练掌握各自的性质是解答本题的关键.11.(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m ,宽是4 m .按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示,且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ,到地面OA 的距离为172m. (1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ,宽为4m ,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m ,那么两排灯的水平距离最小是多少米?【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4,拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ;(2)两排灯的水平距离最小是3.【解析】【详解】 试题分析:根据点B 和点C 在函数图象上,利用待定系数法求出b 和c 的值,从而得出函数解析式,根据解析式求出顶点坐标,得出最大值;根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0)),然后求出当x=2或x=10时y 的值,与6进行比较大小,比6大就可以通过,比6小就不能通过;将y=8代入函数,得出x 的值,然后进行做差得出最小值.试题解析:(1)由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩,解得24b c =⎧⎨=⎩,所以21246y x x =-++ 所以,当62b x a =-=时,10t y =≦ 答:21246y x x =-++,拱顶D 到地面OA 的距离为10米 (2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0)) 当x=2或x=10时,2263y =>,所以可以通过 (3)令8y =,即212486x x -++=,可得212240x x -+=,解得12623,623x x =+=-1243x x -=答:两排灯的水平距离最小是3考点:二次函数的实际应用.12.已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .(1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上,A M 两点之间的部分(不包含,A M 两点),是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的表达式为:228y x x =-++,直线AB 的表达式为:21y x =-;(2)存在,理由见解析;点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2).【解析】【分析】(1)二次函数表达式为:y=a (x-1)2+9,即可求解;(2)S △DAC =2S △DCM ,则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ,,即可求解; (3)分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)二次函数表达式为:()219y a x =-+,将点A 的坐标代入上式并解得:1a =-,故抛物线的表达式为:228y x x =-++…①,则点()3,5B ,将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB 的表达式为:21y x =-;(2)存在,理由:二次函数对称轴为:1x =,则点()1,1C ,过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设点()2,28D x x x -++,点(),21H x x -, ∵2DAC DCM S S ∆∆=, 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V , 解得:1x =-或5(舍去5),故点()1,5D -;(3)设点(),0Q m 、点(),P s t ,228t s s =-++,①当AM 是平行四边形的一条边时,点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ,同理,点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --,即为点P , 即:4m s -=,6t -=,而228t s s =-++,解得:6s =或﹣4,故点()6,16P -或()4,16--;②当AM 是平行四边形的对角线时,由中点公式得:2m s +=-,2t =,而228t s s =-++, 解得:17s =± 故点()17,2P 或()17,2;综上,点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.13.如图①,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1,0) 、B(3,0) 两点,且与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴,并沿x 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点(点P 在点Q 的左侧),连接PQ ,在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ,连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-,求△DPQ 面积的最大值,并求此时点D 的坐标; ②直尺在平移过程中,△DPQ 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.【答案】(1)抛物线y=-x 2+2x+3;(2)①点D ( 31524,);②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析:(1)根据点A 、B 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)(I )由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-x+54),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72,再利用二次函数的性质即可解决最值问题; (II )假设存在,设点P 的横坐标为t ,则点Q 的横坐标为4+t ,进而可得出点P 、Q 的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式,设点D 的坐标为(x ,-x 2+2x+3),则点E 的坐标为(x ,-2(t+1)x+t 2+4t+3),进而即可得出DE 的长度,利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4(t+2)x-2t 2-8t ,再利用二次函数的性质即可解决最值问题. 详解:(1)将A (-1,0)、B (3,0)代入y=ax 2+bx+3,得:309330a b a b -+⎧⎨++⎩==,解得:12a b -⎧⎨⎩==, ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3.(2)(I )当点P 的横坐标为-12时,点Q 的横坐标为72, ∴此时点P 的坐标为(-12,74),点Q 的坐标为(72,-94).设直线PQ的表达式为y=mx+n,将P(-12,74)、Q(72,-94)代入y=mx+n,得:17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩==,解得:154mn-⎧⎪⎨⎪⎩==,∴直线PQ的表达式为y=-x+54.如图②,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-x+54),∴DE=-x2+2x+3-(-x+54)=-x2+3x+74,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+6x+72=-2(x-32)2+8.∵-2<0,∴当x=32时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8,此时点D的坐标为(32,154).(II)假设存在,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,∴点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点Q的坐标为(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),利用待定系数法易知,直线PQ的表达式为y=-2(t+1)x+t2+4t+3.设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),∴DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,∴S△DPQ=12DE•(x Q-x P)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+8.∵-2<0,∴当x=t+2时,△DPQ的面积取最大值,最大值为8.∴假设成立,即直尺在平移过程中,△DPQ面积有最大值,面积的最大值为8.点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)(I)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+72;(II)利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t.14.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.【答案】(1)E(3,1);(2)S最大=214,M坐标为(32,3);(3)F坐标为(0,﹣32).【解析】【分析】1)把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值,确定出二次函数解析式,与一次函数解析式联立求出E坐标即可;(2)过M作MH垂直于x轴,与直线CE交于点H,四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大,构造出二次函数求出最大值,并求出此时M坐标即可;(3)令y=0,求出x的值,得出A与B坐标,由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似,由相似得比例求出OF的长,即可确定出F坐标.【详解】(1)把C(0,2),D(4,﹣2)代入二次函数解析式得:2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩,解得:2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩,即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2,联立一次函数解析式得:2225233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩, 消去y 得:﹣13x+2=﹣23x 2+53x+2, 解得:x=0或x=3,则E (3,1); (2)如图①,过M 作MH ∥y 轴,交CE 于点H ,设M (m ,﹣23m 2+53m+2),则H (m ,﹣13m+2), ∴MH=(﹣23m 2+53m+2)﹣(﹣13m+2)=﹣23m 2+2m , S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =12×2×3+12MH•3=﹣m 2+3m+3, 当m=﹣a b =32时,S 最大=214,此时M 坐标为(32,3); (3)连接BF ,如图②所示,当﹣23x 2+53x+20=0时,x 15+73,x 2=5-734, ∴OA=73-54,OB=734, ∵∠ACO=∠ABF ,∠AOC=∠FOB ,∴△AOC ∽△FOB ,∴OA OC OF OB = ,即73-545+73OF = ,解得:OF=32,则F坐标为(0,﹣32).【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数图象与性质,以及图形与坐标性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.15.复习课中,教师给出关于x的函数(k是实数).教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选择如下四条:①存在函数,其图像经过(1,0)点;②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数;教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由,最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真,②假,③假,④真,理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析:根据方程思想,特殊与一般思想,反证思想,分类思想对各结论进行判断.试题解析:①真,②假,③假,④真.理由如下:①将(1,0)代入,得,解得.∴存在函数,其图像经过(1,0)点.∴结论①为真.②举反例如,当时,函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时,二次函数(k是实数)的对称轴为,∴可举反例如,当时,二次函数为,当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时,二次函数的最值为,。
2021年中考数学专题训练 二次函数的图象及其性质含答案
2021中考数学专题训练 二次函数的图象及其性质一、选择题(本大题共12道小题)1. 抛物线y =x 2+2x +3的对称轴是( )A. 直线x =1B. 直线x =-1C. 直线x =-2D. 直线x =22. 如图,抛物线的函数解析式是()A .y =x 2-x +2B .y =x 2+x +2C .y =-x 2-x +2D .y =-x 2+x +23. 如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y 随x 的增大而增大;④一元二次方程cx 2+bx+a=0的两根分别为x 1=-,x 2=;⑤<0;⑥若m ,n (m<n )为方程a (x+3)·(x -2)+3=0的两个根,则m<-3,n>2,其中正确的结论有 ( )A .3个B .4个C .5个D .6个4. (2019•雅安)在平面直角坐标系中,对于二次函数22()1y x =-+,下列说法中错误的是A .y 的最小值为1B .图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C .当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D .它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到5. 已知二次函数y =ax 2-bx -2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0),当a -b 为整数时,ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或346. (2019•成都)如图,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A,()5,0B ,下列说法正确的是A .0c <B .240b ac -<C .0a b c -+<D .图象的对称轴是直线3x =7. 已知m>0,关于x 的一元二次方程(x+1)(x -2)-m=0的解为x 1,x 2(x 1<x 2),则下列结论正确的是 ( ) A .x 1<-1<2<x 2 B .-1<x 1<2<x 2 C .-1<x 1<x 2<2D .x 1<-1<x 2<28. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,OA =OC ,由抛物线的特征写出如下含有a ,b ,c 三个字母的等式或不等式:①4ac -b 24a =-1;②ac +b +1=0;③abc >0;④a -b +c >0.其中正确的个数是( )A .4B .3C .2D .19. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,有下列说法:①ac>0;②2a +b>0;③4ac<b 2;④a +b +c<0;⑤当x>0时,y 随x 的增大而减小.其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .②③④D .③④⑤10. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,其对称轴为直线x =1,有下列结论:①abc >0;②2a +b =0;③4a +2b +c <0;④若(-32,y 1),(103,y 2)是抛物线上的两点,则y 1<y 2.其中正确的结论是( )A .①②B .②③C .②④D .①③④11. 2019·资阳如图是函数y =x 2-2x -3(0≤x ≤4)的图象,直线l ∥x 轴且过点(0,m ),将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折,在直线l 下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m 的取值范围是( )A .m ≥1B .m ≤0C .0≤m ≤1D .m ≥1或m ≤012. 如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,且OA=OC.有下列结论:①abc<0;②b 2-4ac 4a >0;③ac -b +1=0;④OA·OB =-ca .其中正确的结论有( )A .4个B .3个C .2个D .1个二、填空题(本大题共6道小题)13. 经过A (4,0),B (-2,0),C (0,3)三点的抛物线解析式是_____________.14.抛物线y =-8x 2的开口向________,对称轴是________,顶点坐标是________;当x >0时,y 随x 的增大而________,当x <0时,y 随x 的增大而________.15. 如图,抛物线y =ax 2与直线y =bx +c 的两个交点分别为A (-2,4),B (1,1),则方程ax 2=bx +c 的解是____________.16. 若二次函数y =2x 2-4x -1的图象与x 轴交于A (x 1,0)、B (x 2,0)两点,则1x 1+1x 2的值为________. 17. 已知函数y =⎩⎨⎧-x 2+2x (x >0),-x (x ≤0)的图象如图所示,若直线y =x +m 与该图象恰有三个不同的交点,则m 的取值范围为________.18. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点,顶点C 的纵坐标为-2,现将抛物线向右平移2个单位长度,得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①b >0;②a -b +c <0;③阴影部分的面积为4;④若c =-1,则b 2=4a.三、解答题(本大题共3道小题)19. (2019•云南)已知k 是常数,抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 的对称轴是y 轴,并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值:(2)若点P 在抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 上,且P 到y 轴的距离是2,求点P 的坐标.20. (2019·湖北黄冈)如图①,在平面直角坐标系xOy 中,已知A(–2,2),B(–2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M 以每秒2个单位长度的速度沿B →C →D 运动(M 不与点B 、点D 重合),设运动时间为t(秒). (1)求经过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式;(2)点P 在(1)中的抛物线上,当M 为BC 的中点时,若△PAM ≌△PBM ,求点P 的坐标;(3)当M 在CD 上运动时,如图②.过点M 作MF ⊥x 轴,垂足为F ,ME ⊥AB ,垂足为E .设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并求出S 的最大值;(4)点Q 为x 轴上一点,直线AQ 与直线BC 交于点H ,与y 轴交于点K .是否存在点Q ,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.21. 如图,在平面直角坐标系中,直线y =x +2与x 轴交于点A ,点B 是这条直线上第一象限内的一个点,过点B 作x 轴的垂线,垂足为D ,已知△ABD 的面积为18.(1)求点B 的坐标;(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ,求抛物线的解析式; (3)已知(2)中的抛物线与y 轴相交于点C ,该抛物线对称轴与x 轴交于点H ,P 是抛物线对称轴上的一点,过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ,如果点Q 在线段AH 上,且AQ =CP ,求点P 的坐标.答案一、选择题(本大题共12道小题)1. 【答案】B 【解析】已知解析式为抛物线解析式的一般式,利用对称轴公式直接求解.抛物线y =x 2+2x +3的对称轴是直线x =-b 2a =-22×1=-1 .2. 【答案】D [解析] 先设出函数解析式,然后把(0,2),(-1,0),(2,0)分别代入函数解析式,列出方程组,求出各系数即可.3. 【答案】C[解析]①由图象可知a<0,b<0,c>0,∴abc>0,故①正确; ②由于对称轴是直线x=-, ∴a=b.∵图象与x 轴的一个交点是(-3,0),∴另一个交点是(2,0), 把(2,0)代入解析式可得4a +2b +c=0, ∴6a +c=0,∴3a +c=-3a ,∵a<0,∴-3a>0,∴3a +c>0,故②正确;③由图象可知当-<x<0时,y 随x 的增大而减小,∴当x<0时,y 随x 的增大而增大是错误的;④一元二次方程ax 2+bx +c=0的两根为x 1=-3,x 2=2,∴一元二次方程cx 2+bx +a=0的两根分别为x 1=-,x 2=,正确; ⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知,>0,∴<0,正确;⑥若m ,n (m<n )为方程a (x +3)(x -2)+3=0的两个根,则a (x +3)(x -2)=-3,由图象可知,当y=-3时,m<-3,n>2,⑥正确,综上,正确的结论有5个, 故选C .4. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+,10a =>,∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线2x =,顶点为(2,1),当2x =时,y 有最小值1,当2x >时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x <时,y 的值随x 值的增大而减小;故选项A 、B 的说法正确,C 的说法错误; 根据平移的规律,2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-,再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+, 故选项D 的说法正确, 故选C .5. 【答案】A【解析】由二次函数过点(-1,0)可得a +b =2,把x =1代入y =ax 2-bx -2得y =a -b -2,即a -b =2+y.由a +b =2和a -b =2+y 得a =2+12y ,由题意得a >0,b >0,所以2+12y >0,解得y >-4,又由顶点在第四象限,可得y =-3或-2或-1.当y =-3时,可得a =12,b =32,则ab =34;当y =-2时,可得a =1,b =1,则ab =1;当y =-1时,可得a =32,b =12,则ab =34,综上ab 的值为34或1.6. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴,故c>0,A 选项错误; 函数图象与x 轴有两个交点,所以24b ac ->0,B 选项错误; 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0,所以a-b+c>0,C 选项错误; 根据图象与x 轴交点可知,对称轴是(1,0),(5,0)两点的中垂线,1532x +==, 即x=3为函数对称轴,D 选项正确, 故选D .7. 【答案】A[解析]关于x 的一元二次方程(x +1)(x -2)-m=0的解为x 1,x 2,可以看作二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点的横坐标,∵二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图: 当m>0时,就是抛物线位于x 轴上方的部分,此时x<-1,或x>2. 又∵x 1<x 2, ∴x 1<-1,x 2>2, ∴x 1<-1<2<x 2,故选A.8. 【答案】A[解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是-1,∴4ac-b24a=-1.故①正确.(2)∵OA=OC=|c|,∴A(c,0),∴ac2+bc+c=0.又c≠0,∴ac+b+1=0.故②正确.(3)从图象中易知a>0,b<0,c<0,∴abc>0.故③正确.(4)当x=-1时,y=a-b+c,由图象知点(-1,a-b+c)在第二象限,∴a-b +c>0.故④正确.综上所述,4个结论均正确,故选A.9. 【答案】C[解析] ①由图象可知:a>0,c<0,∴ac<0,故①错误;②由对称轴可知:-b2a<1,∴2a+b>0,故②正确;③由于抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,即4ac<b2,故③正确;④由图象可知:x=1时,y=a+b+c<0,故④正确;⑤当x>-b2a时,y随着x的增大而增大,故⑤错误.故选C.10. 【答案】C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴b=-2a>0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,∴①错误.∵b=-2a,∴2a+b=0,∴②正确.∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,∴③错误.∵点(-32,y1)到对称轴的距离比点(103,y2)到对称轴的距离远,∴y1<y2,∴④正确.故选C.11. 【答案】C12. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下,∴a <0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧,∴b >0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,∴c >0, ∴abc <0,故①正确.∵抛物线与x 轴有两个交点,∴Δ=b 2-4ac >0, 而a <0,∴b 2-4ac4a <0,故②错误.∵C(0,c),OA =OC ,∴A(-c ,0).把(-c ,0)代入y =ax 2+bx +c ,得ac 2-bc +c =0, ∴ac -b +1=0,故③正确. 设A(x 1,0),B(x 2,0),∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ,B 两点, ∴x 1和x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根, ∴x 1·x 2=ca .又∵x 1<0,∴OA·OB =-ca ,故④正确.故选B.二、填空题(本大题共6道小题)13. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2),把C (0,3)代入上式得3=a (0-4)(0+2),解得a=-,故y=-(x -4)(x +2).14. 【答案】下y 轴 (0,0) 减小 增大15. 【答案】x 1=-2,x 2=1[解析] 方程ax 2=bx +c 的解即抛物线y =ax 2与直线y =bx +c 交点的横坐标.∵交点是A(-2,4),B(1,1),∴方程ax 2=bx +c 的解是x 1=-2,x 2=1.16. 【答案】-4【解析】由题意可知,x 1,x 2为方程2x 2-4x -1=0的两根,所以x 1+x 2=2,x 1x 2=-12,则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2-12=-4.17. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23,00<m<14 [解析] 联立y =x +m 与y =-x 2+2x ,得x +m =-x2+2x ,整理得x 2-x +m =0,当有两个交点时,b 2-4ac =(-1)2-4m>0,解得m<14.当直线y =x +m 经过原点时,与函数y =⎩⎨⎧-x 2+2x (x>0)x (x≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.18. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上,∴a >0.又∵对称轴为直线x =-b 2a>0,∴b <0,∴结论①不正确; ∵当x =-1时,y >0,∴a -b +c >0,∴结论②不正确;根据抛物线的对称性,可将阴影部分的面积进行转化,从而求得阴影部分的面积=2×2=4,∴结论③正确;∵4ac -b 24a=-2,c =-1,∴b 2=4a ,∴结论④正确. 综上,正确的结论是③④.三、解答题(本大题共3道小题)19. 【答案】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 的对称轴是y 轴, ∴26022b k k x a +-=-=-=, 即k 2+k-6=0,解得k=-3或k=2,当k=2时,二次函数解析式为y=x 2+6,它的图象与x 轴无交点,不满足题意,舍去,当k=-3时,二次函数解析式为y=x 2-9,它的图象与x 轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.(2)∵P 到y 轴的距离为2,∴点P 的横坐标为-2或2,当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5,∴点P 的坐标为(2,-5)或(-2,-5).20. 【答案】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,将点A(–2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得2422042a b cca b c=-+==++⎧⎪⎨⎪⎩,∴14122abc=-=-=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,∴y=–14x2–12x+2;(2)∵△PAM≌△PBM,∴PA=PB,MA=MB,∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,∵AB=2,∴点P的纵坐标是1,∴1=–14x2–12x+2,∴x=–或x=–1∴P(–11)或P(–,1);–,CM=2t–4,(BC+CM)=4–t–t,MF=2MD=4–t,∴BF=4–4+t=t,∴S=12×(GM+BF)×MF=12×(2t–4+t)×(4–t)=–32t2+8t–8=–32(t–83)2+83;当t=83时,S最大值为83;(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=x+2,直线AQ的解析式y=–22m+(x+2)+2,∴K(0,22mm+),H(–44m+,244mm++),∴OK2=(22mm+)2,OH2=(44m+)2+(244mm++)2,HK2=(44m+)2+(244mm++−22mm+)2,①当OK=OH时,(22mm+)2=(44m+)2+(244mm++)2,∴3m2+12m+8=0,∴m=–2+23m=–2–23②当OH=HK 时,(44m +)2+(244m m ++)2=(44m +)2+(244m m ++−22m m +)2, ∴3m2+12m+8=0,∴m=–2+23m=–2–23不符合题意,舍弃)③当OK=HK 时,(22m m +)2=(44m +)2+(244m m ++−22m m +)2, ∴m2+4m –8=0,∴m=–或m=–2–综上所述:Q(–0)或Q(–2–,0).【名师点睛】本题考查二次函数综合;熟练应用待定系数法求函数解析式,掌握三角形全等的性质,直线交点的求法是解题的关键.21. 【答案】(1)直线y =x +2与x 轴的夹角为45°,点A 的坐标为(-2, 0).因为△ABD 是等腰直角三角形,面积为18,所以直角边长为6.因此OD =4.所以点B 的坐标为(4, 6).(2)将A (-2, 0)、B (4, 6)代入212y x bx c =-++,得220,84 6.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得b =2,c =6. 所以抛物线的解析式为21262y x x =-++.(3)由21262y x x =-++,得抛物线的对称轴为直线x =2,点C 的坐标为(0, 6). 如果AQ =CP ,那么有两种情况:①如图2,当四边形CAQP 是平行四边形时,AQ //CP ,此时点P 的坐标为(2, 6). ②如图3,当四边形CAQP 是等腰梯形时,作AC 的垂直平分线交x 轴于点F ,那么点P 在FC 上.设点F 的坐标为(x , 0),根据F A 2=FC 2列方程,得(x +2)2=x 2+62.解得x =8.所以OF =8,HF =6. 因此39tan 642PH HF F =⋅∠=⨯=.此时点P 的坐标为9(2,)2.图2 图3考点伸展第(3)题等腰梯形CAQP 时,求点P 的坐标也可以这样思考: 过点P 作PE //x 轴交AC 于E ,那么PE =PC .直线AC 的解析式为y =3x +6,设E (m , 3m +6),那么P (2, 3m +6).根据PE 2=PC 2列方程,得(2-m )2=22+(3m )2. 解得12m =-.所以P 9(2,)2.其实第(3)题还有一个“一石二鸟”的方法:设QH =n ,那么AQ =4-n ,PH =3n ,P(2, 3n ).根据AQ 2=CP 2,列方程,得.(4-n )2=22+(3n -6)2.整理,得2n 2-7n -6=0.解得n 1=2,232n =.当n 1=2时,P (2, 6),对应平行四边形CAQP (如图2); 当232n =时,P 9(2,)2,对应等腰梯形CAQP (如图4).图4。
中考数学专题复习资料-二次函数
专题12 二次函数1.二次函数的概念:一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax 2+bx+c(a≠0,a 、b 、c 为常数),则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质(1)对称轴:2b x a=-(2)顶点坐标:24(,)24b ac b a a-- (3)与y 轴交点坐标(0,c ) (4)增减性:当a>0时,对称轴左边,y 随x 增大而减小;对称轴右边,y 随x 增大而增大; 当a<0时,对称轴左边,y 随x 增大而增大;对称轴右边,y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
(1)一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。
(3)交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式。
4.根据图像判断a,b,c 的符号(1)a 确定开口方向 :当a>0时,抛物线的开口向上;当a<0时,抛物线的开口向下。
(2)b ——对称轴与a 左同右异。
(3)抛物线与y 轴交点坐标(0,c ) 5.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根。
抛物线y=ax 2+bx+c ,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x 轴有两个交点; 24b ac -=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x 轴有一个交点; 24b ac -<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x 轴没有交点。
2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质
第 1 页 共 16 页2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点1:二次函数的顶点、对称轴、增减性1.关于二次函数y=2x 2+4x-1,下列说法正确的是( )A.图像与y 轴的交点坐标为(0,1)B.图像的对称轴在y 轴的右侧C.当时,x<0的值随y 值的增大而减小D.y 的最小值为-32.如图,函数y=ax 2-2x+1和y=ax-a (a 是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y 随x 的增大而增大;④方程ax 2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知二次函数y=-(x-h)2(h 为常数),当自变量x 的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或65.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或26.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点2:抛物线特征和a,b,c的关系1.已知二次函数图形如图所示,下列结论:①abc;②;③;④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上,则有y1y2. 其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a−b=0D.a−b+c=0第 2 页共16 页第 3 页 共 16 页3.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A (-1,0),B (3,0),下列结论: ① 2a-b=0; ② ; ③当-1 时,y 0; ④当a=1,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y= -2,其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④4.抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)图象如图所示,下列结论错误的是( )A .abc <0B .a+c <bC .b 2+8a >4acD .2a+b >0考点3:抛物线的平移、旋转、轴对称1.把抛物线y=2x 2-4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为_____.2.将抛物线y=-5x 2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+33.已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则点C的坐标为_____.4.抛物线y=(x﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是()A.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度5.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)考点4:二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数y=x2+2x−m的图象与x轴有且只有1个交点,则m的值为___.2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.33.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则第 4 页共16 页第 5 页 共 16 页①二次函数的最大值为a+b+c ;②a ﹣b+c <0;③b 2﹣4ac <0;④当y >0时,﹣1<x <3.其中正确的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 44.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a ),下列结论:①4a+2b+c >0;②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2,且x 1<x 2,则-5<x 1<x 2<1;④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数y=x 2-x+41m-1的图象与x 轴有交点,则m 的取值范围是( ) A.m≤5 B.m≥2 C.m <5 D.m >2二次函数的综合应用考点1:线段、周长问题1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第 6 页共16 页2. 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,求线段DE长度的最大值;第7 页共16 页3.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(,0)和点B,交y轴于点C(0,4),一次函数y=kx+m 的图象经过点B,C,点P是抛物线上第二象限内一点.(1)求二次函数和一次函数的表达式;(2)过点P作x轴的平行线交BC于点D,作BC的垂线PM交BC于点M,设点P的横坐标为t,△PDM 的周长为l.①求l关于t的函数表达式;②求△PDM的周长的最大值时点P的横坐标;第8 页共16 页考点2:图形面积问题1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;第9 页共16 页2.如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第10 页共16 页考点3:特殊三角形的存在性问题1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由.第11 页共16 页2. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.第12 页共16 页考点4:特殊四边形的存在性问题1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由第13 页共16 页2. 如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;()如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D坐标,若不存在请说明理由.第14 页共16 页3.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a-2ax-3a与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),经过点A的直线y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD =4AC.⑴求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴。
专题12二次函数图象性质与应用问题(共38题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)专题12二次函数图象性质与应用问题(共38题)一.选择题(共23小题)1.(2022•新疆)已知抛物线y=(x﹣2)2+1,下列结论错误的是()A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴为直线x=2C.抛物线的顶点坐标为(2,1)D.当x<2时,y随x的增大而增大2.(2022•陕西)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当﹣1<x1<0,1<x2<2,x3>3时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y2<y3<y13.(2022•嘉兴)已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为()A.1B.C.2D.4.(2022•宁波)点A(m﹣1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x﹣1)2+n的图象上.若y1<y2,则m 的取值范围为()A.m>2B.m>C.m<1D.<m<25.(2022•泰安)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是()A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴为直线x=C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)D.函数y=ax2+bx+c的最大值为6.(2022•株洲)已知二次函数y=ax2+bx﹣c(a≠0),其中b>0、c>0,则该函数的图象可能为()A.B.C.D.7.(2022•温州)已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x﹣1)2﹣2上,点A在点B左侧,下列选项正确的是()A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<cC.若c>0,则a<c<b D.若c>0,则a<b<c8.(2022•绍兴)已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是()A.0,4B.1,5C.1,﹣5D.﹣1,59.(2022•舟山)已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为()A.B.2C.D.110.(2022•凉山州)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,﹣3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是()A.a>0B.a+b=3C.抛物线经过点(﹣1,0)D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根11.(2022•泸州)抛物线y=﹣x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是()A.y=﹣x2+x B.y=﹣x2﹣4C.y=﹣x2+2021x﹣2022D.y=﹣x2+x+112.(2022•成都)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B两点,对称轴是直线x =1,下列说法正确的是()A.a>0B.当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4,0)D.4a+2b+c>013.(2022•滨州)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣2,0)、B(6,0),与y轴相交于点C,小红同学得出了以下结论:①b2﹣4ac>0;②4a+b=0;③当y>0时,﹣2<x<6;④a+b+c<0.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.114.(2022•随州)如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(﹣1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有()①abc>0;②2a+b=0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为﹣4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,则﹣<a<0.A.1个B.2个C.3个D.4个15.(2022•广元)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3b﹣2c>0;(4)若点A(﹣2,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)4a+2b≥m(am+b)(m为常数).其中正确的结论有()A.5个B.4个C.3个D.2个16.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0<a<c)经过点(1,0),有下列结论:①2a+b<0;②当x>1时,y随x的增大而增大;③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.317.(2022•陕西)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当﹣1<x1<0,1<x2<2,x3>3时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y318.(2022•杭州)已知二次函数y=x2+ax+b(a,b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是()A.命题①B.命题②C.命题③D.命题④19.(2022•达州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,与y轴交于(0,﹣1),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②a>;③对于任意实数m,都有m(am+b)>a+b成立;④若(﹣2,y1),(,y2),(2,y3)在该函数图象上,则y3<y2<y1;⑤方程|ax2+bx+c|=k(k≥0,k为常数)的所有根的和为4.其中正确结论有()个.A.2B.3C.4D.520.(2022•自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是()A.方案1B.方案2C.方案3D.方案1或方案221.(2022•自贡)已知A(﹣3,﹣2),B(1,﹣2),抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动,形状保持不变,与x轴交于C,D两点(C在D的右侧),下列结论:①c≥﹣2;②当x>0时,一定有y随x的增大而增大;③若点D横坐标的最小值为﹣5,则点C横坐标的最大值为3;④当四边形ABCD为平行四边形时,a=.其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.①③④22.(2022•南充)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2﹣2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1<x2时,都有y1<y2,则m的取值范围为()A.0<m≤2B.﹣2≤m<0C.m>2D.m<﹣223.(2022•湖州)将抛物线y=x2向上平移3个单位,所得抛物线的解析式是()A.y=x2+3B.y=x2﹣3C.y=(x+3)2D.y=(x﹣3)2二.填空题(共8小题)24.(2022•武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(﹣1,0),B(m,0)两点,且1<m<2.下列四个结论:①b>0;②若m=,则3a+2c<0;③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x1<x2,且x1+x2>1,则y1>y2;④当a≤﹣1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.其中正确的是(填写序号).25.(2022•新疆)如图,用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为m2.26.(2022•武威)如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t=s.27.(2022•连云港)如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线y=﹣0.2x2+x+2.25运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是m.28.(2022•凉山州)已知实数a、b满足a﹣b2=4,则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是.29.(2022•南充)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距O点3m.那么喷头高m时,水柱落点距O 点4m.30.(2022•遂宁)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a﹣b+c,则m的取值范围是.31.(2022•成都)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=﹣5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h 的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w的取值范围是;当2≤t≤3时,w的取值范围是.三.解答题(共7小题)32.(2022•常德)如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,当△OAB的面积为15时,求B的坐标;(3)P是抛物线上的动点,当P A﹣PB的值最大时,求P的坐标以及P A﹣PB的最大值.33.(2022•湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m )和21m 长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE =1m 的水池,且需保证总种植面积为32m 2,试分别确定CG 、DG 的长;(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC 应设计为多长?此时最大面积为多少?34.(2022•随州)2022年的冬奥会在北京举行,其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱,多地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空,该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买,并且从第二天起,每天比前一天多供应m 个(m 为正整数).经过连续15天的销售统计,得到第x 天(1≤x ≤15,且x 为正整数)的供应量y 1(单位:个)和需求量y 2(单位:个)的部分数据如下表,其中需求量y 2与x 满足某二次函数关系.(假设当天预约的顾客第二天都会购买,当天的需求量不包括前一天的预约数) 第x 天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量y 1(个) 150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y 2(个)220229…245…220…164(1)直接写出y 1与x 和y 2与x 的函数关系式;(不要求写出x 的取值范围)(2)已知从第10天开始,有需求的顾客都不需要预约就能购买到(即前9天的总需求量超过总供应量,前10天的总需求量不超过总供应量),求m 的值;(参考数据:前9天的总需求量为2136个) (3)在第(2)问m 取最小值的条件下,若每个“冰墩墩”售价为100元,求第4天与第12天的销售额.35.(2022•武汉)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.运动时间t/s01234运动速度v/cm/s109.598.58运动距离y/cm09.751927.7536小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);(2)当黑球减速后运动距离为64cm时,求它此时的运动速度;(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由.36.(2022•孝感)为增强民众生活幸福感,市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场,计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉.市场调查发现:甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉种植费用为15元/m2.(1)当x≤100时,求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2,且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时.①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少?最少是多少元?②受投入资金的限制,种植总费用不超过6000元,请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围.37.(2022•绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.38.(2022•滨州)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.(1)求y关于x的一次函数解析式;(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.。
2020-2021中考数学复习二次函数专项综合练及答案
2020-2021中考数学复习二次函数专项综合练及答案一、二次函数1.(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=1 6-x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为172m.(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是3.【解析】【详解】试题分析:根据点B和点C在函数图象上,利用待定系数法求出b和c的值,从而得出函数解析式,根据解析式求出顶点坐标,得出最大值;根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0)),然后求出当x=2或x=10时y的值,与6进行比较大小,比6大就可以通过,比6小就不能通过;将y=8代入函数,得出x的值,然后进行做差得出最小值.试题解析:(1)由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩,解得24bc=⎧⎨=⎩,所以21246y x x=-++所以,当62bxa=-=时,10ty=≦答:21246y x x=-++,拱顶D到地面OA的距离为10米(2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0)) 当x=2或x=10时,2263y =>,所以可以通过 (3)令8y =,即212486x x -++=,可得212240x x -+=,解得1266x x =+=-12x x -=答:两排灯的水平距离最小是考点:二次函数的实际应用.2.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是3元,经市场预测,销售单价为40元时,可售出600个;销售单价每涨1元,销售量将减少10个设每个销售单价为x 元. (1)写出销售量y (件)和获得利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系; (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少? 【答案】(1)y =﹣10x+1000;w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 (2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元. 【解析】 【分析】(1)利用销售单价每涨1元,销售量将减少10个即可表示出y =600﹣10(x ﹣40),再利用w= y•(x ﹣30)即可表示出w 与x 之间的关系式;(2)先将w =﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式,找到对称轴,利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x =46时有最大值,代入求值即可解题. 【详解】 解:(1)依题意,易得销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系:y =600﹣10(x ﹣40)=﹣10x+1000获得利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系为:w =y•(x ﹣30)=(1000﹣10x )(x ﹣30)=﹣10x 2+1300x ﹣30000(2)根据题意得,x≥14时且1000﹣10x≥540,解得:44≤x≤46 w =﹣10x 2+1300x ﹣30000=﹣10(x ﹣65)2+12250 ∵a =﹣10<0,对称轴x =65 ∴当44≤x≤46时,y 随x 的增大而增大 ∴当x =46时,w 最大值=8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价,熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.3.如图,菱形ABCD 的边长为20cm ,∠ABC =120°,对角线AC ,BD 相交于点O ,动点P 从点A 出发,以4cm /s 的速度,沿A →B 的路线向点B 运动;过点P 作PQ ∥BD ,与AC 相交于点Q ,设运动时间为t 秒,0<t <5.(1)设四边形PQCB 的面积为S ,求S 与t 的关系式;(2)若点Q 关于O 的对称点为M ,过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD (或CD )于点N ,当t 为何值时,点P 、M 、N 在一直线上?(3)直线PN 与AC 相交于H 点,连接PM ,NM ,是否存在某一时刻t ,使得直线PN 平分四边形APMN 的面积?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) S=﹣231003t 0<t <5); (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】(1)如图1,根据S=S △ABC -S △APQ ,代入可得S 与t 的关系式;(2)设PM=x ,则AM=2x ,可得3,计算x 的值,根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ,列方程可得t 的值; (3)存在,通过画图可知:N 在CD 上时,直线PN 平分四边形APMN 的面积,根据面积相等可得MG=AP ,由AM=AO+OM ,列式可得t 的值. 【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°,AC ⊥BD , ∴∠OAB=30°, ∵AB=20,∴OB=10,3 由题意得:AP=4t , ∴PQ=2t ,3, ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ,=11··22AC OB PQ AQ -, =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ , =﹣23t 2+1003(0<t <5); (2)如图2,在Rt △APM 中,AP=4t , ∵点Q 关于O 的对称点为M , ∴OM=OQ , 设PM=x ,则AM=2x , ∴AP=3x=4t , ∴x=3, ∴AM=2PM=3, ∵AM=AO+OM ,∴3=103+103﹣23t ,t=307; 答:当t 为307秒时,点P 、M 、N 在一直线上; (3)存在,如图3,∵直线PN 平分四边形APMN 的面积, ∴S △APN =S △PMN ,过M 作MG ⊥PN 于G ,∴11··22PN AP PN MG = , ∴MG=AP ,易得△APH ≌△MGH ,∴3,∵AM=AO+OM ,同理可知:3﹣3,3333t , t=3011.答:当t 为3011秒时,使得直线PN 平分四边形APMN 的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.4.如图,抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-,(4,0)B 两点,交y 轴于点C ,与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点221(6)()82x x -+=,点P 是抛物线上一动点. (1)求抛物线解析式及点D 的坐标;(2)点E 在x 轴上,若以A ,E ,D ,P 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P 的坐标;(3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将CPQ V沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =-++;点D 坐标为(32),; (2)P 1(0,2); P 2(412,-2);P 3(3412-,-2) ; (3)满足条件的点P 13 -9+13),(13--9-13). 【解析】 【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可 【详解】解:(1)∵抛物线22y ax bx =++经过A (10)-,,B (40),两点, ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得:12a =-,32b =,∴抛物线解析式为:213222y x x =-++; 当2y =时,2132222x x -++=,解得:13x =,20x =(舍),即:点D 坐标为(32),.(2)∵A ,E 两点都在x 轴上,∴AE 有两种可能:①当AE 为一边时,AE ∥PD ,此时点P 与点C 重合(如图1),∴1(0,2)P ,②当AE 为对角线时,P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等, ∴P 点的纵坐标为2-(如图2),把2y =-代入抛物线的解析式,得:2132222x x -++=-, 解得:13412x =,23412x =,∴P 点的坐标为3+41(2)-,341(2)2-, 综上所述:1(0,2)P ; 2P 3+412)-;3P 341(2)2- . (3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,213222a a -++), ①当P 点在y 轴右侧时(如图3),p CQ x a ==,2132(2)22c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -,又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒, 90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,又90COQ Q FP ''∠=∠=︒,∴COQ Q FP ''V :V , ∴'''Q C Q PCO Q F=, ∵Q C CQ a '==,2CO =,Q P PQ '==21322a a -,∴213222'a a a Q F-=,∴'3Q F a =-,∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=,CQ =CQ '2222'2313CO OQ +=+=即13a =,∴点p 139132-), ②当p 点在y 轴左侧时(如图4),此时0a <,2132022a a -++<,CQ =P x =a -, PQ =2-(213222a a -++)=21322a a -,又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒,90CQ O OCQ ''∠+∠=︒,∴FQ P OCQ ''∠=∠,又90COQ Q FP ''∠=∠=︒ ∴COQ Q FP ''V :V ,∴'''Q C Q PCO Q F=, ∵Q C CQ a '==-,2CO =,Q P PQ '==21322a a -, ∴213222'a aa Q F--=,∴'3Q F a =-, ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=,CQ =CQ '2222'2313CO OQ +=+=此时13a =P 的坐标为(13913--). 综上所述,满足条件的点P 139132-+),(13-913--). 【点睛】此题考查二次函数综合题,解题关键在于运用待定系数法的出解析式,难度较大5.如图1,二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点()0,3C-.(1)求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;(2)若点D 在二次函数图像上,且45DBC ABC S S =△△,求点D 的横坐标;(3)将直线BC 向下平移,与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧),如图2,过M 作ME y ∥轴,与直线BC 交于点E ,过N 作NF y ∥轴,与直线BC 交于点F ,当MN ME +的值最大时,求点M 的坐标.【答案】(1)y =239344x x --,A (﹣1,0),B (4,0);(2)D 点的横坐标为22﹣2,2;(3)M (13,﹣113) 【解析】 【分析】(1)求出a ,即可求解;(2)求出直线BC 的解析式,过点D 作DH ∥y 轴,与直线BC 交于点H ,根据三角形面积的关系求解;(3)过点M 作MG ∥x 轴,交FN 的延长线于点G ,设M (m ,34m 2﹣94m ﹣3),N(n ,34n 2﹣94n ﹣3),判断四边形MNFE 是平行四边形,根据ME =NF ,求出m +n =4,再确定ME +MN =﹣34m 2+3m +5﹣52m =﹣34(m ﹣13)2+6112,即可求M ;【详解】(1)y =ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C (0,﹣3), ∴a =34, ∴y =34x 2﹣94x ﹣3,与x 轴交点A (﹣1,0),B (4,0);(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,∴403k bb+=⎧⎨=-⎩,∴343kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴y=34x﹣3;过点D作DH∥y轴,与直线BC交于点H,设H(x,34x﹣3),D(x,34x2﹣94x﹣3),∴DH=|34x2﹣3x|,∵S△ABC=1155323⨯⨯=,∴S△DBC=41552⨯=6,∴S△DBC=2×|34x2﹣3x|=6,∴x=2+22,x=2﹣22,x=2;∴D点的横坐标为2+22,2﹣22,2;(3)过点M作MG∥x轴,交FN的延长线于点G,设M(m,34m2﹣94m﹣3),N(n,34n2﹣94n﹣3),则E(m,34m﹣3),F(n,34n﹣3),∴ME=﹣34m2+3m,NF=﹣34n2+3n,∵EF∥MN,ME∥NF,∴四边形MNFE是平行四边形,∴ME=NF,∴﹣34m2+3m=﹣34n2+3n,∴m+n=4,∴MG=n﹣m=4﹣2m,∴∠NMG=∠OBC,∴cos∠NMG=cos∠OBC=MG OBMN BC,∵B(4,0),C(0,﹣3),∴OB=4,OC=3,在Rt△BOC中,BC=5,∴MN=54(n﹣m)=54(4﹣2m)=5﹣52m,∴ME+MN=﹣34m2+3m+5﹣52m=﹣34(m﹣13)2+6112,∵﹣34<0,∴当m=13时,ME+MN有最大值,∴M(13,﹣113)【点睛】本题考查二次函数图象及性质,一次函数图象及性质;熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法,结合三角形的性质解题.6.如图,已知抛物线经过原点O,顶点A(1,﹣1),且与直线y=kx+2相交于B(2,0)和C两点(1)求抛物线和直线BC的解析式;(2)求证:△ABC是直角三角形;(3)抛物线上存在点E(点E不与点A重合),使∠BCE=∠ACB,求出点E的坐标;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BDF是等腰三角形?若存在,请直接写出点F的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x,y=﹣x+2;(2)详见解析;(3)E(5524,);(4)符合条件的点F 的坐标(111,1,2【解析】 【分析】(1)将B (2,0)代入设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1,求得a ,将B (2,0)代入y =kx +2,求得k ;(2)分别求出AB 2、BC 2、AC 2,根据勾股定理逆定理即可证明;(3)作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .根据对称与三角形全等,求得A '(3,1),然后求出A 'C 解析式,与抛物线解析式联立,求得点E 坐标;(4)设F (1,m ),分三种情况讨论:①当BF =BD=②当DF =BD=,③当BF =DFm =1,然后代入即可. 【详解】(1)设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1, 将B (2,0)代入, 0=a (2﹣1)2﹣1, ∴a =1,抛物线解析式:y =(x ﹣1)2﹣1=x 2﹣2x , 将B (2,0)代入y =kx +2, 0=2k +2, k =﹣1,∴直线BC 的解析式:y =﹣x +2; (2)联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩, 解得1113x y =-⎧⎨=⎩,2220x y =⎧⎨=⎩,∴C (﹣1,3),∵A (1,﹣1),B (2,0), ∴AB 2=(1﹣2)2+(﹣1﹣0)2=2, AC 2=[1﹣(﹣1)]2+(﹣1﹣3)2=20, BC 2=[2﹣(﹣1)]2+(0﹣3)2=18, ∴AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 是直角三角形;(3)如图,作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .∵∠BCE =∠ACB ,∠ABC =90°, ∴点A 与A '关于直线BC 对称, AB =A 'B ,可知△AFB ≌△A 'HB (AAS ), ∵A (1,﹣1),B (2,0) ∴AG =1,BG =OG =1, ∴BH =1,A 'H =1,OH =3, ∴A '(3,1), ∵C (﹣1,3), ∴直线A 'C :1522y x =-+, 联立:215222y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩,解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴E (52,54); (4)∵抛物线的对称轴:直线x =1, ∴设F (1,m ),直线BC 的解析式:y =﹣x +2; ∴D (0,2) ∵B (2,0),∴BD =12x x222(21)(0)1BF m m =-+-=+ 222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+①当BF =BD 2122m += m =7∴F 坐标(1,7)或(1,﹣7) ②当DF =BD 时,24522m m -+=, m =2±7,∴F 坐标(1,2+7)或(1,2﹣7) ③当BF =DF 时,22145m m m +=-+, m =1,F (1,1),此时B 、D 、F 在同一直线上,不符合题意.综上,符合条件的点F 的坐标(1,7)或(1,﹣7)或(1,2+7)或(1,2﹣7).【点睛】考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.7.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x =+.(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.详解:(1)依题意得:1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A , ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,得303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之得:13m n =⎧⎨=⎩,∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得:13172t =,23172t -=.综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.8.如图,对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点,其中A 点的坐标为(-3,0).(1)求点B 的坐标;(2)已知a 1=,C 为抛物线与y 轴的交点.①若点P 在抛物线上,且POC BOC S 4S ∆∆=,求点P 的坐标;②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值. 【答案】(1)点B 的坐标为(1,0). (2)①点P 的坐标为(4,21)或(-4,5). ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】(1)由抛物线的对称性直接得点B 的坐标.(2)①用待定系数法求出抛物线的解析式,从而可得点C 的坐标,得到BOC S ∆,设出点P 的坐标,根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标.②用待定系数法求出直线AC 的解析式,由点Q 在线段AC 上,可设点Q 的坐标为(q,-q-3),从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3),从而线段QD 等于两点纵坐标之差,列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解:(1)∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ,且A 点的坐标为(-3,0), ∴点B 的坐标为(1,0).(2)①∵抛物线a 1=,对称轴为x 1=-,经过点A (-3,0),∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩,解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为(0,-3).∴OB=1,OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3),则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=,∴3p 62=,解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=;当p 4=-时,2p 2p 35+-=, ∴点P 的坐标为(4,21)或(-4,5).②设直线AC 的解析式为y kx b =+,将点A ,C 的坐标代入,得:3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩,解得:k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上,∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-,-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx ﹣3(a≠0)与x 轴交于点A (﹣2,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K ,使S △CBK :S △PBQ =5:2,求K 点坐标.【答案】(1)y=38x 2﹣34x ﹣3(2)运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910(3)K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158)【解析】 【详解】试题分析:(1)把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a 、b 的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t 秒.利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910(t ﹣1)2+910.利用二次函数的图象性质进行解答; (3)利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3).如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △CBK =94.则根据图形得到:S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•(4﹣m ),把相关线段的长度代入推知:﹣34m 2+3m=94.易求得K 1(1,﹣278),K 2(3,﹣158).解:(1)把点A (﹣2,0)、B (4,0)分别代入y=ax 2+bx ﹣3(a≠0),得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩, 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以该抛物线的解析式为:y=38x 2﹣34x ﹣3;(2)设运动时间为t 秒,则AP=3t ,BQ=t . ∴PB=6﹣3t .由题意得,点C 的坐标为(0,﹣3).在Rt △BOC 中,BC=2234+=5. 如图1,过点Q 作QH ⊥AB 于点H .∴QH ∥CO , ∴△BHQ ∽△BOC , ∴HB OC BGBC=,即Hb 35t=,∴HQ=35t . ∴S △PBQ =12PB•HQ=12(6﹣3t )•35t=﹣910t 2+95t=﹣910(t ﹣1)2+910.当△PBQ 存在时,0<t <2 ∴当t=1时,S △PBQ 最大=910. 答:运动1秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是910; (3)设直线BC 的解析式为y=kx+c (k≠0). 把B (4,0),C (0,﹣3)代入,得403k c c +=⎧⎨=-⎩, 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3. ∵点K 在抛物线上.∴设点K 的坐标为(m ,38m 2﹣34m ﹣3). 如图2,过点K 作KE ∥y 轴,交BC 于点E .则点E 的坐标为(m ,34m ﹣3).∴EK=34m﹣3﹣(38m2﹣34m﹣3)=﹣38m2+32m.当△PBQ的面积最大时,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ=9 10.∴S△CBK=94.S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•(4﹣m)=12×4•EK=2(﹣38m2+32m)=﹣34m2+3m.即:﹣34m2+3m=94.解得 m1=1,m2=3.∴K1(1,﹣278),K2(3,﹣158).点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意该点的运动范围,即自变量的取值范围.10.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y =at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?【答案】(1)足球飞行的时间是85s 时,足球离地面最高,最大高度是4.5m ;(2)能. 【解析】试题分析:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t 2+5t+,当t=时,y 最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门.解:(1)由题意得:函数y=at 2+5t+c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5), ∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣t 2+5t+,∴当t=时,y 最大=4.5;(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8, ∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,∴他能将球直接射入球门. 考点:二次函数的应用.11.如图,在平面直角坐标系中,已知点B 的坐标为()1,0-,且4OA OC OB ==,抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点.(1)求,A C 两点的坐标; (2)求抛物线的解析式;(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点,作PD AC ⊥于点D ,当PD 的值最大时,求此时点P 的坐标及PD 的最大值.【答案】解:(1)点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,﹣4);;(2)抛物线的表达式为:234y x x =﹣﹣ ; (3)PD 有最大值,当x =2时,其最大值为2,此时点P (2,﹣6). 【解析】 【分析】(1)OA =OC =4OB =4,即可求解;(2)抛物线的表达式为:234y x x =a (x+1)(x-4)=a(﹣﹣) ,即可求解; (3)22434--++=()PD x x x ,即可求解. 【详解】解:(1)OA =OC =4OB =4,故点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,﹣4);(2)抛物线的表达式为:234y x x =a (x+1)(x-4)=a(﹣﹣), 即﹣4a =﹣4,解得:a =1,故抛物线的表达式为:234y x x --= ;(3)直线CA 过点C ,设其函数表达式为:4y kx -=, 将点A 坐标代入上式并解得:k =1, 故直线CA 的表达式为:y =x ﹣4, 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ,∵OA =OC =4,45OAC OCA ∴∠∠︒== ,∵//PH y 轴,45PHD OCA ∴∠∠︒==,设点234P x x x --(,),则点H (x ,x ﹣4), 2224342222--+++=()=-PD x x x x x∵2-<0,∴PD 有最大值,当x =2时,其最大值为22, 此时点P (2,﹣6). 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等,其中(3),用函数关系表示PD ,是本题解题的关键12.如图1,抛物线经过平行四边形的顶点、、,抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.(1)求抛物线的解析式; (2)当何值时,的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点使为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,最大值的立方根为=;(3)存在满足条件的点P,t的值为1或【解析】试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x 轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.试题解析:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴BC=AD=2,∵B(﹣1,0),∴C(1,0),∴线段AC的中点为(,),∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,∴直线l过平行四边形的对称中心,∵A、D关于对称轴对称,∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,∴直线l的解析式为y=﹣x+,联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,∴F(﹣,),如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,∵P点横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,∴最大值的立方根为=;(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠PAG=∠APG=45°,∴PG=AG,∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),②当∠APE=90°时,如图3,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,∴△PKE∽△AQP,∴,即,即t2﹣t﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),综上可知存在满足条件的点P,t的值为1或.考点:二次函数综合题13.如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).【解析】分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以2,接着根据平行四边形的性质得到2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到2PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(12,-52),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b,把E(12,-52)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125,则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩==得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=13+62x,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.详解:(1)当x=0时,y=x ﹣5=﹣5,则C (0,﹣5), 当y=0时,x ﹣5=0,解得x=5,则B (5,0), 把B (5,0),C (0,﹣5)代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩,解得15a b =-⎧⎨=-⎩, ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5;(2)①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1,x 2=5,则A (1,0), ∵B (5,0),C (0,﹣5), ∴△OCB 为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM ⊥BC ,∴△AMB 为等腰直角三角形, ∴AM=2AB=2×4=22, ∵以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,AM ∥PQ , ∴PQ=AM=22,PQ ⊥BC ,作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ,如图1,则∠PDQ=45°,∴222=4,设P (m ,﹣m 2+6m ﹣5),则D (m ,m ﹣5), 当P 点在直线BC 上方时,PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣(m ﹣5)=﹣m 2+5m=4,解得m 1=1,m 2=4, 当P 点在直线BC 下方时,PD=m ﹣5﹣(﹣m 2+6m ﹣5)=m 2﹣5m=4,解得m 15+41,m 25-41, 综上所述,P 点的横坐标为4或5+412或5-412; ②作AN ⊥BC 于N ,NH ⊥x 轴于H ,作AC 的垂直平分线交BC 于M 1,交AC 于E ,如图2,∵M1A=M1C,∴∠ACM1=∠CAM1,∴∠AM1B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,﹣2),易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(12,﹣52,设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b,把E(12,﹣52)代入得﹣110+b=﹣52,解得b=﹣125,∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则M1(136,﹣176);作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),∵3=13+ 62x∴x=236,∴M2(236,﹣76).综上所述,点M的坐标为(136,﹣176)或(236,﹣76).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.14.复习课中,教师给出关于x的函数(k是实数).教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选择如下四条:①存在函数,其图像经过(1,0)点;②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数;教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由,最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真,②假,③假,④真,理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析:根据方程思想,特殊与一般思想,反证思想,分类思想对各结论进行判断.试题解析:①真,②假,③假,④真.理由如下:①将(1,0)代入,得,解得.∴存在函数,其图像经过(1,0)点.∴结论①为真.②举反例如,当时,函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时,二次函数(k是实数)的对称轴为,∴可举反例如,当时,二次函数为,当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时,二次函数的最值为,∴当时,有最小值,最小值为负;当时,有最大值,最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想,特殊与一般思想,反证思想,分类思想考点:1.曲线上点的坐标与方程的关系;2.二次函数的性质;3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.15.如图,直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,抛物线y=﹣x 2+bx+c 与直线y=c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ,连接PB ,得△PCB ≌△BOA (O 为坐标原点).若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ,设M 是点C ,F 间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m .(1)直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式;(2)当m 为何值时,△MAB 面积S 取得最小值和最大值?请说明理由;(3)求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标.【答案】(1)点P 的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4;(2)当m=0时,S 取最小值,最小值为12;当m=3时,S 取最大值,最大值为5.(3)满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为(0,4)或(247,12449). 【解析】 【分析】(1)代入y=c 可求出点C 、P 的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标,再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值,进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标,过点M 作ME ∥y 轴,交直线AB 于点E ,由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标,进而可得出ME 的长度,再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12(m ﹣3)2+5,由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值;(3)分两种情况考虑:①当点M 在线段OP 上方时,由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出:当点C 、M 重合时,∠MPO=∠POA ,由此可找出点M 的坐标;②当点M 在线段OP 下方时,在x 正半轴取点D ,连接DP ,使得DO=DP ,此时∠DPO=∠POA ,设点D 的坐标为(n ,0),则DO=n ,()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值,进而可得出点D 的坐标,由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式,再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组求出点M 的坐标.综上此题得解.。
2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题附详细答案
2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题附详细答案一、二次函数1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.(1)求抛物线的解析式;(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E点坐标为(1132+,﹣1132);(3)点Q的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.【解析】【分析】(1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=12CD=CE.利用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标;(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛物线的解析式联立,得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩,求解即可得出点Q的坐标.【详解】(1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0),∴x1+x2=m,x1•x2=﹣(m+1),∵x 12+x 22﹣x 1x 2=13,∴(x 1+x 2)2﹣3x 1x 2=13,∴m 2+3(m +1)=13,即m 2+3m ﹣10=0,解得m 1=2,m 2=﹣5.∵OA <OB ,∴抛物线的对称轴在y 轴右侧,∴m =2,∴抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3;(2)连接BE 、OE .∵在Rt △BCD 中,∠CBD =90°,EC =ED ,∴BE =12CD =CE . 令y =x 2﹣2x ﹣3=0,解得x 1=﹣1,x 2=3,∴A (﹣1,0),B (3,0),∵C (0,﹣3),∴OB =OC ,又∵BE =CE ,OE =OE ,∴△OBE ≌△OCE (SSS ),∴∠BOE =∠COE ,∴点E 在第四象限的角平分线上,设E 点坐标为(m ,﹣m ),将E (m ,﹣m )代入y =x 2﹣2x ﹣3,得m =m 2﹣2m ﹣3,解得m =1132±, ∵点E 在第四象限,∴E 113+113+); (3)过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ,连接CF ,则S △ACQ =S △ACF .∵S △ACQ =2S △AOC ,∴S △ACF =2S △AOC ,∴AF =2OA =2,∴F (1,0).∵A (﹣1,0),C (0,﹣3),∴直线AC 的解析式为y =﹣3x ﹣3.∵AC ∥FQ ,∴设直线FQ 的解析式为y =﹣3x +b ,将F (1,0)代入,得0=﹣3+b ,解得b =3,∴直线FQ 的解析式为y =﹣3x +3.联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩, 解得11312x y =-⎧⎨=⎩,2223x y =⎧⎨=-⎩, ∴点Q 的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3).【点睛】本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.2.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求△PBC 周长的最小值;(3)如图(2),若E 是线段AD 上的一个动点( E 与A 、D 不重合),过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ,交x 轴于点G ,设点E 的横坐标为m ,△ADF 的面积为S . ①求S 与m 的函数关系式;②S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=--+.(2)3210+.(3)①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可.(2)根据BC 是定值,得到当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可.(3)设点E 的横坐标为m ,表示出E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+),最后表示出EF 的长,从而表示出S 于m 的函数关系,然后求二次函数的最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C (0,3),∴a 1=-.∴抛物线的解析式为:()()y x 3x 1=-+-,即2y x 2x 3=--+.(2)∵△PBC 的周长为:PB+PC+BC ,且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时,△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称,∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点.∵AP=BP ,∴△PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3),∴2,10.∴△PBC 的周长最小是:3210.(3)①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为(﹣1,4),A (﹣3,0), ∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ,∴E (m ,2m+6),F (m ,2m 2m 3--+)∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++,∴当m=﹣2时,S 最大,最大值为1,此时点E 的坐标为(﹣2,2).3.对于某一函数给出如下定义:若存在实数m ,当其自变量的值为m 时,其函数值等于﹣m ,则称﹣m 为这个函数的反向值.在函数存在反向值时,该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离.特别地,当函数只有一个反向值时,其反向距离n 为零.例如,图中的函数有4,﹣1两个反向值,其反向距离n 等于5.(1)分别判断函数y =﹣x +1,y =1x-,y =x 2有没有反向值?如果有,直接写出其反向距离;(2)对于函数y =x 2﹣b 2x ,①若其反向距离为零,求b 的值;②若﹣1≤b ≤3,求其反向距离n 的取值范围; (3)若函数y =223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值,并写出相应m 的取值范围.【答案】(1)y =−1x有反向值,反向距离为2;y =x 2有反向值,反向距离是1;(2)①b =±1;②0≤n ≤8;(3)当m >2或m ≤﹣2时,n =2,当﹣2<m ≤2时,n =4.【解析】【分析】 (1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值,有反向值的可以求出相应的反向距离;(2)①根据题意可以求得相应的b 的值;②根据题意和b 的取值范围可以求得相应的n 的取值范围;(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题.【详解】(1)由题意可得,当﹣m =﹣m +1时,该方程无解,故函数y =﹣x +1没有反向值,当﹣m =1m -时,m =±1,∴n =1﹣(﹣1)=2,故y =1x-有反向值,反向距离为2, 当﹣m =m 2,得m =0或m =﹣1,∴n =0﹣(﹣1)=1,故y =x 2有反向值,反向距离是1;(2)①令﹣m =m 2﹣b 2m ,解得,m =0或m =b 2﹣1,∵反向距离为零,∴|b 2﹣1﹣0|=0,解得,b =±1;②令﹣m =m 2﹣b 2m ,解得,m =0或m =b 2﹣1,∴n =|b 2﹣1﹣0|=|b 2﹣1|,∵﹣1≤b ≤3,∴0≤n ≤8;(3)∵y =223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩, ∴当x ≥m 时,﹣m =m 2﹣3m ,得m =0或m =2,∴n =2﹣0=2,∴m >2或m ≤﹣2;当x <m 时,﹣m =﹣m 2﹣3m ,解得,m =0或m =﹣4,∴n =0﹣(﹣4)=4,∴﹣2<m ≤2,由上可得,当m >2或m ≤﹣2时,n =2,当﹣2<m ≤2时,n =4.【点睛】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题目中的新定义,找出所求问题需要的条件,利用新定义解答相关问题.4.如图1,二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点()0,3C -.(1)求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;(2)若点D 在二次函数图像上,且45DBC ABC S S =△△,求点D 的横坐标; (3)将直线BC 向下平移,与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧),如图2,过M 作ME y ∥轴,与直线BC 交于点E ,过N 作NF y ∥轴,与直线BC 交于点F ,当MN ME +的值最大时,求点M 的坐标.【答案】(1)y =239344x x --,A (﹣1,0),B (4,0);(2)D 点的横坐标为22﹣2,2;(3)M (13,﹣113) 【解析】【分析】(1)求出a ,即可求解;(2)求出直线BC 的解析式,过点D 作DH ∥y 轴,与直线BC 交于点H ,根据三角形面积的关系求解;(3)过点M 作MG ∥x 轴,交FN 的延长线于点G ,设M (m ,34m 2﹣94m ﹣3),N (n ,34n 2﹣94n ﹣3),判断四边形MNFE 是平行四边形,根据ME =NF ,求出m +n =4,再确定ME +MN =﹣34m 2+3m +5﹣52m =﹣34(m ﹣13)2+6112,即可求M ; 【详解】(1)y =ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C (0,﹣3),∴a =34, ∴y =34x 2﹣94x ﹣3, 与x 轴交点A (﹣1,0),B (4,0);(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b ,∴403k bb+=⎧⎨=-⎩,∴343 kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴y=34x﹣3;过点D作DH∥y轴,与直线BC交于点H,设H(x,34x﹣3),D(x,34x2﹣94x﹣3),∴DH=|34x2﹣3x|,∵S△ABC=1155323⨯⨯=,∴S△DBC=41552⨯=6,∴S△DBC=2×|34x2﹣3x|=6,∴x=2+22,x=2﹣22,x=2;∴D点的横坐标为2+22,2﹣22,2;(3)过点M作MG∥x轴,交FN的延长线于点G,设M(m,34m2﹣94m﹣3),N(n,34n2﹣94n﹣3),则E(m,34m﹣3),F(n,34n﹣3),∴ME=﹣34m2+3m,NF=﹣34n2+3n,∵EF∥MN,ME∥NF,∴四边形MNFE是平行四边形,∴ME=NF,∴﹣34m2+3m=﹣34n2+3n,∴m+n=4,∴MG=n﹣m=4﹣2m,∴∠NMG=∠OBC,∴cos∠NMG=cos∠OBC=MG OBMN BC,∵B(4,0),C(0,﹣3),∴OB=4,OC=3,在Rt△BOC中,BC=5,∴MN=54(n﹣m)=54(4﹣2m)=5﹣52m,∴ME+MN=﹣34m2+3m+5﹣52m=﹣34(m﹣13)2+6112,∵﹣34<0,∴当m=13时,ME+MN有最大值,∴M(13,﹣113)【点睛】本题考查二次函数图象及性质,一次函数图象及性质;熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法,结合三角形的性质解题.5.如图,已知抛物线经过原点O,顶点A(1,﹣1),且与直线y=kx+2相交于B(2,0)和C两点(1)求抛物线和直线BC的解析式;(2)求证:△ABC是直角三角形;(3)抛物线上存在点E(点E不与点A重合),使∠BCE=∠ACB,求出点E的坐标;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BDF是等腰三角形?若存在,请直接写出点F的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x,y=﹣x+2;(2)详见解析;(3)E(5524,);(4)符合条件的点F的坐标(17171,71,27【解析】【分析】(1)将B (2,0)代入设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1,求得a ,将B (2,0)代入y =kx +2,求得k ;(2)分别求出AB 2、BC 2、AC 2,根据勾股定理逆定理即可证明;(3)作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .根据对称与三角形全等,求得A '(3,1),然后求出A 'C 解析式,与抛物线解析式联立,求得点E 坐标;(4)设F (1,m ),分三种情况讨论:①当BF =BD=②当DF =BD=,③当BF =DFm =1,然后代入即可.【详解】(1)设抛物线解析式y =a (x ﹣1)2﹣1,将B (2,0)代入,0=a (2﹣1)2﹣1,∴a =1,抛物线解析式:y =(x ﹣1)2﹣1=x 2﹣2x ,将B (2,0)代入y =kx +2,0=2k +2,k =﹣1,∴直线BC 的解析式:y =﹣x +2;(2)联立222y x y x x=-+⎧⎨=-⎩, 解得1113x y =-⎧⎨=⎩,2220x y =⎧⎨=⎩, ∴C (﹣1,3),∵A (1,﹣1),B (2,0),∴AB 2=(1﹣2)2+(﹣1﹣0)2=2,AC 2=[1﹣(﹣1)]2+(﹣1﹣3)2=20,BC 2=[2﹣(﹣1)]2+(0﹣3)2=18,∴AB 2+BC 2=AC 2,∴△ABC 是直角三角形;(3)如图,作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .∵∠BCE =∠ACB ,∠ABC =90°,∴点A 与A '关于直线BC 对称,AB =A 'B ,可知△AFB ≌△A 'HB (AAS ),∵A (1,﹣1),B (2,0)∴AG =1,BG =OG =1,∴BH =1,A 'H =1,OH =3,∴A '(3,1),∵C (﹣1,3),∴直线A 'C :1522y x =-+, 联立:215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩,解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴E (52,54); (4)∵抛物线的对称轴:直线x =1,∴设F (1,m ),直线BC 的解析式:y =﹣x +2;∴D (0,2)∵B (2,0),∴BD =12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+①当BF =BD 2122m +=m =7∴F坐标(1,7)或(1,﹣7)②当DF=BD时,24522m m-+=,m=2±7,∴F坐标(1,2+7)或(1,2﹣7)③当BF=DF时,22145m m m+=-+,m=1,F(1,1),此时B、D、F在同一直线上,不符合题意.综上,符合条件的点F的坐标(1,7)或(1,﹣7)或(1,2+7)或(1,2﹣7).【点睛】考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.6.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(﹣110)或P(﹣110P(﹣1,6)或P(﹣1,53);(3)存在,Q(﹣1,2);(4)63 8,315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M 点的坐标,由于C 是抛物线与y 轴的交点,因此C 的坐标为(0,3),根据M 、C 的坐标可求出CM 的距离.然后分三种情况进行讨论:①当CP =PM 时,P 位于CM 的垂直平分线上.求P 点坐标关键是求P 的纵坐标,过P 作PQ ⊥y 轴于Q ,如果设PM =CP =x ,那么直角三角形CPQ 中CP =x ,OM 的长,可根据M 的坐标得出,CQ =3﹣x ,因此可根据勾股定理求出x 的值,P 点的横坐标与M 的横坐标相同,纵坐标为x ,由此可得出P 的坐标.②当CM =MP 时,根据CM 的长即可求出P 的纵坐标,也就得出了P 的坐标(要注意分上下两点).③当CM =C P 时,因为C 的坐标为(0,3),那么直线y =3必垂直平分PM ,因此P 的纵坐标是6,由此可得出P 的坐标;(3)根据轴对称﹣最短路径问题解答;(4)由于四边形BOCE 不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算,过E 作EF ⊥x 轴于F ,S 四边形BOCE =S △BFE +S 梯形FOCE .直角梯形FOCE 中,FO 为E 的横坐标的绝对值,EF 为E 的纵坐标,已知C 的纵坐标,就知道了OC 的长.在△BFE 中,BF =BO ﹣OF ,因此可用E 的横坐标表示出BF 的长.如果根据抛物线设出E 的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值.即可求出此时E 的坐标.【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (﹣3,0), ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩, 解得:12a b =-⎧⎨=-⎩. ∴所求抛物线解析式为:y =﹣x 2﹣2x+3;(2)如答图1,∵抛物线解析式为:y =﹣x 2﹣2x+3,∴其对称轴为x =22-=﹣1, ∴设P 点坐标为(﹣1,a ),当x =0时,y =3,∴C (0,3),M (﹣1,0)∴当CP=PM时,(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得a=53,∴P点坐标为:P1(﹣1,53);∴当CM=PM时,(﹣1)2+32=a2,解得a=±10,∴P点坐标为:P2(﹣1,10)或P3(﹣1,﹣10);∴当CM=CP时,由勾股定理得:(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,∴P点坐标为:P4(﹣1,6).综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(﹣1,10)或P(﹣1,﹣10)或P(﹣1,6)或P(﹣1,53);(3)存在,Q(﹣1,2),理由如下:如答图2,点C(0,3)关于对称轴x=﹣1的对称点C′的坐标是(﹣2,3),连接AC′,直线AC′与对称轴的交点即为点Q.设直线AC′函数关系式为:y=kx+t(k≠0).将点A(1,0),C′(﹣2,3)代入,得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩,解得11kt=-⎧⎨=⎩,所以,直线AC′函数关系式为:y=﹣x+1.将x=﹣1代入,得y=2,即:Q(﹣1,2);(4)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a∴S四边形BOCE=12BF•EF+12(OC+EF)•OF=12(a+3)•(﹣a 2﹣2a+3)+12(﹣a 2﹣2a+6)•(﹣a ) =﹣32a 2﹣92a+92=﹣32(a+32)2+638, ∴当a =﹣32时,S 四边形BOCE 最大,且最大值为638. 此时,点E 坐标为(﹣32 ,154). 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进行求解,不要漏解.7.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x =+.(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2-. 【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P的坐标.详解:(1)依题意得:1 23baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x=--+.∵对称轴为1x=-,且抛物线经过()1,0A,∴把()3,0B-、()0,3C分别代入直线y mx n=+,得303m nn-+=⎧⎨=⎩,解之得:13mn=⎧⎨=⎩,∴直线y mx n=+的解析式为3y x=+.(2)直线BC与对称轴1x=-的交点为M,则此时MA MC+的值最小,把1x=-代入直线3y x=+得2y=,∴()1,2M-.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为()1,2-.(注:本题只求M坐标没说要求证明为何此时MA MC+的值最小,所以答案未证明MA MC+的值最小的原因).(3)设()1,P t-,又()3,0B-,()0,3C,∴218BC=,()2222134PB t t=-++=+,()()222213610PC t t t=-+-=-+,①若点B为直角顶点,则222BC PB PC+=,即:22184610t t t++=-+解得:2t=-,②若点C为直角顶点,则222BC PC PB+=,即:22186104t t t+-+=+解得:4t=,③若点P为直角顶点,则222PB PC BC+=,即:22461018t t t++-+=解得:1317t+=2317t-=.综上所述P的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+-⎝⎭或3171,2⎛-⎝⎭.点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.8.综合与探究如图,抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ,BC ,DB ,DC .(1)求抛物线的函数表达式;(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++;(2)3;(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可;(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F ,先求出S △OAC =6,再根据S △BCD =34S △AOC ,得到S △BCD =92,然后求出BC 的解析式为362y x =-+,则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+,由此可得2334DG m m =-+,再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅,可得关于m 的方程,解方程即可求得答案; (3)存在,如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图,以BD 为边时,有3种情况,由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154,然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解;以BD 为对角线时,有1种情况,此时N 1点与N 2点重合,根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4,继而求得OM 1= 8,由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0),B(4,0),∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩, 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++; (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F ,∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA=2,由0x =,得6y =,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC=6,∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=, ∵S △BCD =34S △AOC , ∴S △BCD =39642⨯=, 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+,由B ,C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩,解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+, ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+, ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+, ∵点B 的坐标为(4,0),∴OB=4,∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅, ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+(), ∴239622m m -+=, 解得11m =(舍),23m =,∴m 的值为3;(3)存在,如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图, 以BD 为边时,有3种情况,∵D 点坐标为15(3,)4,∴点N 点纵坐标为±154, 当点N 的纵坐标为154时,如点N 2, 此时233156424x x -++=,解得:121,3x x =-=(舍), ∴215(1,)4N -,∴2(0,0)M ; 当点N 的纵坐标为154-时,如点N 3,N 4, 此时233156424x x -++=-,解得:12114,114x x ==∴315(114,)4N +-,415(114,)4N -, ∴3(14,0)M ,4(14,0)M -;以BD 为对角线时,有1种情况,此时N 1点与N 2点重合, ∵115(1,)4N -,D(3,154), ∴N 1D=4,∴BM 1=N 1D=4,∴OM 1=OB+BM 1=8,∴M 1(8,0), 综上,点M 的坐标为:1234(80)(00)(14(14M M M M -,,,,,,,.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识,运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9.如图,对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点,其中A 点的坐标为(-3,0).(1)求点B 的坐标;(2)已知a 1=,C 为抛物线与y 轴的交点.①若点P 在抛物线上,且POC BOC S 4S ∆∆=,求点P 的坐标;②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值.【答案】(1)点B 的坐标为(1,0).(2)①点P 的坐标为(4,21)或(-4,5).②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】(1)由抛物线的对称性直接得点B 的坐标.(2)①用待定系数法求出抛物线的解析式,从而可得点C 的坐标,得到BOC S ∆,设出点P 的坐标,根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标.②用待定系数法求出直线AC 的解析式,由点Q 在线段AC 上,可设点Q 的坐标为(q,-q-3),从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3),从而线段QD 等于两点纵坐标之差,列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解:(1)∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ,且A 点的坐标为(-3,0), ∴点B 的坐标为(1,0).(2)①∵抛物线a 1=,对称轴为x 1=-,经过点A (-3,0), ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩,解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为(0,-3).∴OB=1,OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3),则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=,∴3p 62=,解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=;当p 4=-时,2p 2p 35+-=,∴点P 的坐标为(4,21)或(-4,5).②设直线AC 的解析式为y kx b =+,将点A ,C 的坐标代入,得:3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩,解得:k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上,∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-,-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.10.已知二次函数的图象以A (﹣1,4)为顶点,且过点B (2,﹣5)(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15.【解析】【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,故A'(2,4),B'(5,﹣5),∴S△OA′B′=12×(2+5)×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15.【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.11.如图1,抛物线C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G.(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值:(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3,点G的坐标为(1,4);(2)k=1;(3)M1(1132+,0)、N1131);M2(1132+,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).【解析】【分析】(1)由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A、C坐标代入解析式求解可得;(2)设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为(m+1,0),点G′的坐标为(1,3m),代入所设解析式求解可得;(3)设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x的值从而进一步求解即可.【详解】(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),∴OA=1,∴OC=3OA,∴点C的坐标为(0,3),将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得:203a a cc++=⎧⎨=⎩,解得:13ac=-⎧⎨=⎩,∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,所以点G的坐标为(1,4);(2)设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ,设BD′=m ,∵△A′B′G′为等边三角形,∴G′D=3B′D=3m ,则点B′的坐标为(m+1,0),点G′的坐标为(1,3m ),将点B′、G′的坐标代入y=﹣(x ﹣1)2+4﹣k ,得:24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩, 解得:1104m k =⎧⎨=⎩(舍),2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ∴k=1;(3)设M (x ,0),则P (x ,﹣x 2+2x+3)、Q (x ,﹣x 2+2x+2),∴PQ=OA=1,∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角,∴△AOQ ≌△PQN ,如图2,延长PQ 交直线y=﹣1于点H ,则∠QHN=∠OMQ=90°,又∵△AOQ ≌△PQN ,∴OQ=QN ,∠AOQ=∠PQN ,∴∠MOQ=∠HQN ,∴△OQM ≌△QNH (AAS ),∴OM=QH ,即x=﹣x 2+2x+2+1,解得:x=1132±当x=1132+时,HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-,点M (1132+,0), ∴点N 坐标为(113++131-,﹣1),即(13,﹣1); 或(113+﹣131-,﹣1),即(1,﹣1); 如图3,同理可得△OQM ≌△PNH ,∴OM=PH ,即x=﹣(﹣x 2+2x+2)﹣1,解得:x=﹣1(舍)或x=4,当x=4时,点M 的坐标为(4,0),HN=QM=﹣(﹣x 2+2x+2)=6,∴点N 的坐标为(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1); 综上点M 1113+0)、N 1131);M 2113+0)、N 2(1,﹣1);M 3(4,0)、N 3(10,﹣1);M 4(4,0)、N 4(﹣2,﹣1).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等,熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.12.如图,直线y =﹣x +4与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B ,C 两点,与x 轴另一交点为A .点P 2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动(点P 不与点B 和点C 重合),设运动时间为t 秒,过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ,交抛物线于点M .(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ,连接MN 交BC 于点Q ,当12MQ NQ =时,求t 的值;(3)如图②,连接AM 交BC 于点D ,当△PDM 是等腰三角形时,直接写出t 的值.【答案】(1)y =﹣x 2+3x +4;(2)t 的值为12;(3)当△PDM 是等腰三角形时,t =1或t 2﹣1.【解析】【分析】(1)求直线y=-x+4与x 轴交点B ,与y 轴交点C ,用待定系数法即求得抛物线解析式. (2)根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°,又PE ⊥x 轴于点E ,得到△PEB 是等腰直角三角形,由2PB =求得BE=PE=t ,即可用t 表示各线段,得到点M 的横坐标,进而用m 表示点M 纵坐标,求得MP 的长.根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽,故有12MP MQ NC NQ ==,把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程,求解即得到t 的值. (3)因为不确定等腰△PDM 的底和腰,故需分3种情况讨论:①若MD=MP ,则∠MDP=∠MPD=45°,故有∠DMP=90°,不合题意;②若DM=DP ,则∠DMP=∠MPD=45°,进而得AE=ME ,把含t 的式子代入并解方程即可;③若MP=DP ,则∠PMD=∠PDM ,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD .用t 表示M 的坐标,求直线AM 解析式,求得AM 与y 轴交点F 的坐标,即能用t 表示CF 的长.把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组,解得x 的值即为点D 横坐标.过D 作y 轴垂线段DG ,得等腰直角△CDG ,用DG 即点D 横坐标,进而可用t 表示CD 的长.把含t 的式子代入CF=CD ,解方程即得到t 的值.【详解】(1)直线y =﹣x +4中,当x =0时,y =4∴C (0,4)当y =﹣x +4=0时,解得:x =4∴B (4,0)∵抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B ,C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得:34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4(2)∵B (4,0),C (0,4),∠BOC =90°∴OB =OC∴∠OBC =∠OCB =45°∵ME ⊥x 轴于点E ,PBt∴∠BEP =90°∴Rt △BEP 中,PE sin PBE PB ∠==∴2BE PE PB t ===, ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ===﹣=﹣,== ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++=﹣(﹣)(﹣)=﹣, ∴24MP MP y y t t +=﹣=﹣ , ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO =∠NOE =∠PEO =90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON =PE =t∴NC =OC ﹣ON =4﹣t∵MP ∥CN∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=- 解得:12142t t =,=(点P 不与点C 重合,故舍去)∴t 的值为12(3)∵∠PEB =90°,BE =PE∴∠BPE =∠PBE =45°∴∠MPD =∠BPE =45°①若MD =MP ,则∠MDP =∠MPD =45°∴∠DMP =90°,即DM ∥x 轴,与题意矛盾②若DM =DP ,则∠DMP =∠MPD =45°∵∠AEM =90°∴AE =ME∵y =﹣x 2+3x +4=0时,解得:x 1=﹣1,x 2=4∴A (﹣1,0)∵由(2)得,x M =4﹣t ,ME =y M =﹣t 2+5t∴AE =4﹣t ﹣(﹣1)=5﹣t∴5﹣t =﹣t 2+5t解得:t 1=1,t 2=5(0<t <4,舍去)③若MP =DP ,则∠PMD =∠PDM如图,记AM 与y 轴交点为F ,过点D 作DG ⊥y 轴于点G∴∠CFD =∠PMD =∠PDM =∠CDF∴CF =CD∵A (﹣1,0),M (4﹣t ,﹣t 2+5t ),设直线AM 解析式为y =ax +m∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩解得:a t m t =⎧⎨=⎩ , ∴直线AM :y tx t +=∴F (0,t )∴CF =OC ﹣OF =4﹣t∵tx +t =﹣x +4,解得:41t x t -=+, ∴41D x t t DG -=+==, ∵∠CGD =90°,∠DCG =45° ∴)2421t CD DG t -+==, ∴)2441t t t -+﹣ 解得:21t =﹣综上所述,当△PDM 是等腰三角形时,t =1或21t =﹣.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解二元一次方程组和一元二次方程,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,涉及等腰三角形的分类讨论,要充分利用等腰的性质作为列方程的依据.13.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+53x+c 的图象经过点C (0,2)和点D (4,﹣2).点E 是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点. (1)求二次函数的解析式及点E 的坐标.(2)如图①,若点M 是二次函数图象上的点,且在直线CE 的上方,连接MC ,OE ,ME .求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标.(3)如图②,经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ,求点F 的坐标.【答案】(1)E (3,1);(2)S 最大=214,M 坐标为(32,3);(3)F 坐标为(0,﹣32). 【解析】【分析】 1)把C 与D 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值,确定出二次函数解析式,与一次函数解析式联立求出E 坐标即可;(2)过M 作MH 垂直于x 轴,与直线CE 交于点H ,四边形COEM 面积最大即为三角形CME 面积最大,构造出二次函数求出最大值,并求出此时M 坐标即可;(3)令y=0,求出x 的值,得出A 与B 坐标,由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF 相似,由相似得比例求出OF 的长,即可确定出F 坐标. 【详解】(1)把C (0,2),D (4,﹣2)代入二次函数解析式得:2016232a c c ⎧++=-⎪⎨⎪=⎩ , 解得:2a 32c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,即二次函数解析式为y=﹣23x 2+53x+2, 联立一次函数解析式得:2225233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩, 消去y 得:﹣13x+2=﹣23x 2+53x+2, 解得:x=0或x=3,则E(3,1);(2)如图①,过M作MH∥y轴,交CE于点H,设M(m,﹣23m2+53m+2),则H(m,﹣13m+2),∴MH=(﹣23m2+53m+2)﹣(﹣13m+2)=﹣23m2+2m,S四边形COEM=S△OCE+S△CME=12×2×3+12MH•3=﹣m2+3m+3,当m=﹣ab=32时,S最大=214,此时M坐标为(32,3);(3)连接BF,如图②所示,当﹣23x2+53x+20=0时,x15+73,x25-73∴73-5,5+73,∵∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,∴△AOC∽△FOB,∴OA OCOF OB=,即73-545+73OF=,解得:OF=32,则F坐标为(0,﹣32).【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数图象与性质,以及图形与坐标性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.。
2020-2021学年九年级数学:二次函数的图象与性质(附答案解析)
第 1 页 共 29 页 2020-2021学年九年级数学:二次函数的图象与性质注意事项:本试卷满分100分,考试时间80分钟,试题共24题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南省初三期末)关于抛物线:23(1)2y x =-++,下列说法正确的是( )A .它的开口方向向上B .它的顶点坐标是(1,2)C .当1x <-时,y 随x 的增大而增大D .对称轴是直线1x = 2.(2020·河北省初三期末)将抛物线2112y x =+绕顶点旋转180︒,则旋转后的抛物线的解析式为( ) A .221y x =-+ B .221y x =-- C .2112y x =-+ D .2112y x =-- 3.(2020·江苏省初三期末)设()12,A y -,()21,B y ,()32,C y 是抛物线2(1)y x k=-++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( )A .123y y y >>B .132y y y >>C .231y y y >>D .312y y y >>4.(2020·广东省初三一模)函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )A .B .C .D . 5.(2020·河南省初三三模)在平而直角坐标系中,抛物线()()31y x x =-+经过变换后得到抛物线()()31y x x =+-,则这个变换可以是( )A .向左平移2个单位B .向右平移2个单位C .向左平移4个单位D .向右平移4个单位6.(2020·四川省中考)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面。
2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案
2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案一、二次函数1.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y 轴交于点N,其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)当x=﹣12时,△APC的面积取最大值,最大值为278,此时点P的坐标为(﹣12,154);(3)在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为102【解析】【分析】(1)根据点A,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),进而可得出PF的值,由点C的坐标可得出点Q的坐标,进而可得出AQ的值,利用三角形的面积公式可得出S△APC=﹣32x2﹣32x+3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C,N的坐标可得出点C,N关于抛物线的对称轴对称,令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,则此时△ANM周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论.【详解】(1)将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,解得:23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的函数关系式为y =﹣x 2﹣2x +3; 设直线AC 的函数关系式为y =mx +n (m ≠0), 将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =mx +n ,得:023m n m n +=⎧⎨-+=⎩,解得:11m n =-⎧⎨=⎩, ∴直线AC 的函数关系式为y =﹣x +1.(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,如图1所示.设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),∴PE =﹣x 2﹣2x +3,EF =﹣x +1,EF =PE ﹣EF =﹣x 2﹣2x +3﹣(﹣x +1)=﹣x 2﹣x +2. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点Q 的坐标为(﹣2,0), ∴AQ =1﹣(﹣2)=3, ∴S △APC =12AQ •PF =﹣32x 2﹣32x +3=﹣32(x +12)2+278. ∵﹣32<0, ∴当x =﹣12时,△APC 的面积取最大值,最大值为278,此时点P 的坐标为(﹣12,154). (3)当x =0时,y =﹣x 2﹣2x +3=3, ∴点N 的坐标为(0,3). ∵y =﹣x 2﹣2x +3=﹣(x +1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线x =﹣1. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点C ,N 关于抛物线的对称轴对称.令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,如图2所示. ∵点C ,N 关于抛物线的对称轴对称, ∴MN =CM ,∴AM +MN =AM +MC =AC , ∴此时△ANM 周长取最小值. 当x =﹣1时,y =﹣x +1=2, ∴此时点M 的坐标为(﹣1,2).∵点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(﹣2,3),点N 的坐标为(0,3),∴AC=,AN ,∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=32+10.∴在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为32+10.【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=﹣32x2﹣32x+3的最值;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.2.抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与直线y=kx+c(k≠0)相交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点,且抛物线与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)求出C、D两点的坐标(3)在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形,求出点P的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)C(0,﹣3),D(0,﹣1);(3)P(2,﹣2).【解析】 【分析】(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入y =ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式. (2)当x =0时可求C 点坐标,求出直线AB 解析式,当x =0可求D 点坐标. (3)由题意可知P 点纵坐标为﹣2,代入抛物线解析式可求P 点横坐标. 【详解】解:(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入 y =ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y =x 2﹣2x ﹣3(2)把x =0代入y =x 2﹣2x ﹣3中可得y =﹣3∴C (0,﹣3) 设y =kx+b ,把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y =﹣x ﹣1 ∴D (0,﹣1)(3)由C (0,﹣3),D (0,﹣1)可知CD 的垂直平分线经过(0,﹣2) ∴P 点纵坐标为﹣2, ∴x 2﹣2x ﹣3=﹣2解得:x =∵x >0∴x =. ∴P (,﹣2) 【点睛】本题是二次函数综合题,用待定系数法求二次函数的解析式,把x =0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标,知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A (﹣1,0)B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式;(2)请在y 轴上找一点M ,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P ,使以点A ,P ,C 为顶点,AC 为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.4.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P2﹣1,2);②P(﹣32,154)【解析】试题分析:(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标;②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c ba++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得x=21-(舍去)或x=21--,∴点P (21--,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P(32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.5.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标. 【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】 【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2; 【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩, ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x 2+32x+2;(2)∵点C 与点D 关于x 轴对称, ∴D (0,-2).设直线BD 的解析式为y=kx-2. ∵将(4,0)代入得:4k-2=0, ∴k=12. ∴直线BD 的解析式为y=12x-2. 当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q (-1,0);当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形, 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8, ∴-2x+8=-21x 2+32x+2,可求x=3或x=4(舍) ∴x=3;∴Q (3,2)或Q (-1,0); (3)两个和谐点; AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1), ①当A 1、C 1在抛物线上时,∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩,∴x 1y 3=⎧⎨=⎩,∴A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.6.如图甲,直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ,经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P .(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使以C ,P ,M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0<x <3时,在抛物线上求一点E ,使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).【答案】(1)y=x 2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC 的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,∴B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),设M(2,t),且C(0,3),∴MC=,MP=|t+1|,PC=,∵△CPM为等腰三角形,∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),∵0<x<3,∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.考点:二次函数综合题.7.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣3x。
2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题
2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题一、二次函数1.如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为223y x x =--+,直线的解析式为3y x =+.(2)(1,2)M -;(3)P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析:(1)先把点A ,C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ,c 的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a ,b ,c 的值即可得到抛物线解析式;把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ,解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式;(2)设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ,此时MA+MC 的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y 的值,即可求出点M 坐标;(3)设P (-1,t ),又因为B (-3,0),C (0,3),所以可得BC 2=18,PB 2=(-1+3)2+t 2=4+t 2,PC 2=(-1)2+(t-3)2=t 2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标.详解:(1)依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-,且抛物线经过()1,0A ,∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+,得303m n n -+=⎧⎨=⎩,解之得:13m n =⎧⎨=⎩, ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.(2)直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ,则此时MA MC +的值最小,把1x =-代入直线3y x =+得2y =,∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. (注:本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小,所以答案未证明MA MC +的值最小的原因).(3)设()1,P t -,又()3,0B -,()0,3C ,∴218BC =,()2222134PB t t =-++=+,()()222213610PC t t t =-+-=-+, ①若点B 为直角顶点,则222BC PB PC +=,即:22184610t t t ++=-+解得:2t =-,②若点C 为直角顶点,则222BC PC PB +=,即:22186104t t t +-+=+解得:4t =,③若点P 为直角顶点,则222PB PC BC +=,即:22461018t t t ++-+=解得: 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大,是一道不错的中考压轴题.2.如图,已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C (0,-3),对称轴是直线x =1,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D .(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC 的函数表达式;(3)点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交CE 于点F ,交抛物线于P 、Q 两点,且点P 在第三象限.①当线段PQ =34AB 时,求tan ∠CED 的值; ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标.【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =x 2-2x -3.(2)直线BC 的函数表达式为y =x -3.(3)①23.①P 1(122),P 2(16,74). 【解析】【分析】已知C 点的坐标,即知道OC 的长,可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长,即可得出B 点的坐标.已知了△AOC 和△BOC 的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO 与OB 的比.由此可求出OA 的长,也就求出了A 点的坐标,然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式.【详解】(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴− 221bb a-⨯==1 ∴b=-2 ∵抛物线与y 轴交于点C (0,-3),∴c=-3,∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3;(2)∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点,当y=0时,x 2-2x-3=0.∴x 1=-1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧,∴A (-1,0),B (3,0)设过点B (3,0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m ,则033k m m ==+⎧⎨-⎩, ∴13k m ⎧⎨-⎩==∴直线BC的函数表达式为y=x-3;(3)①∵AB=4,PQ=34 AB,∴PQ=3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴,则由抛物线的对称性可得PM=32,∵对称轴是直线x=1,∴P到y轴的距离是12,∴点P的横坐标为−12,∴P(−12,−74)∴F(0,−74),∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F,∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DG⊥CE于点G,∴DG=1,CG=1,∴GE=CE-CG=52-1=32.在Rt△EGD中,tan∠CED=23 GDEG=.②P1(,-2),P2(-52).设OE=a,则GE=2-a,当CE为斜边时,则DG2=CG•GE,即1=(OC-OG)•(2-a),∴1=1×(2-a),∴a=1,∴CE=2,∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2,把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:或∵点P在第三象限.∴P1(-2),当CD为斜边时,DE⊥CE,∴OE=2,CE=1,∴OF=2.5,∴P和F的纵坐标为:-52,把y=-52,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:∵点P在第三象限.∴P2(1-2,-52).综上所述:满足条件为P1(-2),P2(-52).【点睛】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.3.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值;(3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2-4x+3.(2)当m=52时,四边形AOPE面积最大,最大值为758.(3)P点的坐标为:P1(3+5,15-),P2(35-,1+5),P3(5+5,1+5),P4(552-,152-).【解析】分析:(1)利用对称性可得点D的坐标,利用交点式可得抛物线的解析式;(2)设P(m,m2-4m+3),根据OE的解析式表示点G的坐标,表示PG的长,根据面积和可得四边形AOPE的面积,利用配方法可得其最大值;(3)存在四种情况:如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△OMP≌△PNF,根据OM=PN列方程可得点P 的坐标;同理可得其他图形中点P的坐标.详解:(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,由对称性得:D(3,0),设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入得:3=3a,a=1,∴抛物线的解析式;y=x2-4x+3;(2)如图2,设P(m,m2-4m+3),∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OA=3,∴E(3,3),易得OE的解析式为:y=x,过P作PG∥y轴,交OE于点G,∴G(m,m),∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE,=12×3×3+12PG•AE,=92+12×3×(-m2+5m-3),=-32m2+152m,=32(m-52)2+758,∵-32<0,∴当m=52时,S有最大值是758;(3)如图3,过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交l于N,∵△OPF 是等腰直角三角形,且OP=PF ,易得△OMP ≌△PNF ,∴OM=PN ,∵P (m ,m 2-4m+3),则-m 2+4m-3=2-m ,解得:m=5+52或552-, ∴P 的坐标为(5+5,1+5)或(55-,15-); 如图4,过P 作MN ⊥x 轴于N ,过F 作FM ⊥MN 于M ,同理得△ONP ≌△PMF ,∴PN=FM ,则-m 2+4m-3=m-2,解得:3+535- P 3+515-35-1+52); 综上所述,点P 5+51+555-1523+515-)或(35-,1+5). 点睛:本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数的综合应用,相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法,解第(2)问时需要运用配方法,解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.4.如图,抛物线y =ax 2+bx+c 经过A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)三点. (1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P 为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC 面积为3,求点P 的坐标; (3)如图2,D 为抛物线的顶点,在线段AD 上是否存在点M ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x+3;(2)点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3);(3)存在,(32-,32)或(34-,94),见解析. 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式; (2))过P 点作PQ 垂直x 轴,交AC 于Q ,把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ,把PQ 作为两个三角形的底,通过点A ,C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积.(3)通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,∠AOM=∠CAB=45°,即OM 为y=-x ,若∠AOM=∠CBA ,则OM 为y=-3x+3,然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M .【详解】(1)把A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)代入抛物线解析式y =ax 2+bx+c 得 93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以抛物线的函数表达式为y =﹣x 2﹣2x+3.(2)如解(2)图1,过P 点作PQ 平行y 轴,交AC 于Q 点,∵A (﹣3,0),C (0,3),∴直线AC 解析式为y =x+3,设P 点坐标为(x ,﹣x 2﹣2x+3.),则Q 点坐标为(x ,x+3),∴PQ =﹣x 2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x 2﹣3x .∴S △PAC =1PQ A 2O ⋅, ∴()213332x x --⋅=, 解得:x 1=﹣1,x 2=﹣2.当x =﹣1时,P 点坐标为(﹣1,4),当x =﹣2时,P 点坐标为(﹣2,3),综上所述:若△PAC 面积为3,点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),(3)如解(3)图1,过D 点作DF 垂直x 轴于F 点,过A 点作AE 垂直BC 于E 点,∵D 为抛物线y =﹣x 2﹣2x+3的顶点,∴D 点坐标为(﹣1,4),又∵A (﹣3,0),∴直线AC 为y =2x+4,AF =2,DF =4,tan ∠PAB =2,∵B (1,0),C (0,3)∴tan ∠ABC =3,BC =10,sin ∠ABC=310,直线BC 解析式为y =﹣3x+3. ∵AC =4,∴AE =AC•sin ∠ABC =3104⨯=610,BE =210, ∴CE =310, ∴tan ∠ACB =2AE CE =, ∴tan ∠ACB =tan ∠PAB =2,∴∠ACB =∠PAB ,∴使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,如解(3)图2Ⅰ.当∠AOM =∠CAB =45°时,△ABC ∽△OMA ,即OM 为y =﹣x ,设OM 与AD 的交点M (x ,y )依题意得:3y x y x =-⎧⎨=+⎩, 解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 即M 点为(32-,32). Ⅱ.若∠AOM =∠CBA ,即OM ∥BC ,∵直线BC 解析式为y =﹣3x+3.∴直线OM 为y =﹣3x ,设直线OM 与AD 的交点M (x ,y ).则依题意得:33 y xy x=-⎧⎨=+⎩,解得3494 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即M点为(34-,94),综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(32-,32)或(34-,94).【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用,函数和几何图形的综合题目,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.5.(2017南宁,第26题,10分)如图,已知抛物线2239y ax ax a=--与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D 的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;(3)证明:当直线l绕点D旋转时,11AM AN+均为定值,并求出该定值.【答案】(1)a=13-,A30),抛物线的对称轴为x32)点P的坐标为3034);(33【解析】试题分析:(1)由点C的坐标为(0,3),可知﹣9a=3,故此可求得a的值,然后令y=0得到关于x的方程,解关于x的方程可得到点A和点B的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;(2)利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°,依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为(3,a ).依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长,然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可; (3)设直线MN 的解析式为y =kx +1,接下来求得点M 和点N 的横坐标,于是可得到AN 的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长,最后将AM 和AN 的长代入化简即可.试题解析:(1)∵C (0,3),∴﹣9a =3,解得:a =13-.令y =0得:22390ax ax a --=,∵a ≠0,∴22390x x --=,解得:x =﹣3或x =33,∴点A 的坐标为(﹣3,0),B (33,0),∴抛物线的对称轴为x =3.(2)∵OA =3,OC =3,∴tan ∠CAO =3,∴∠CAO =60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠DAO =30°,∴DO =33AO =1,∴点D 的坐标为(0,1). 设点P 的坐标为(3,a ).依据两点间的距离公式可知:AD 2=4,AP 2=12+a 2,DP 2=3+(a ﹣1)2.当AD =PA 时,4=12+a 2,方程无解.当AD =DP 时,4=3+(a ﹣1)2,解得a =0或a =2(舍去),∴点P 的坐标为(3,0). 当AP =DP 时,12+a 2=3+(a ﹣1)2,解得a =﹣4,∴点P 的坐标为(3,﹣4). 综上所述,点P 的坐标为(3,0)或(3,﹣4).(3)设直线AC 的解析式为y =mx +3,将点A 的坐标代入得:330m -+=,解得:m =3,∴直线AC 的解析式为33y x =+.设直线MN 的解析式为y =kx +1.把y =0代入y =kx +1得:kx +1=0,解得:x =1k -,∴点N 的坐标为(1k -,0),∴AN =13k-+=31k -. 将33y x =+与y =kx +1联立解得:x =3k -,∴点M 的横坐标为3k -.过点M 作MG ⊥x 轴,垂足为G .则AG =33k +-.∵∠MAG =60°,∠AGM =90°,∴AM =2AG 233k -233k k -,∴11AM AN +=323231k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32. 点睛:本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,分类讨论是解答问题(2)的关键,求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题(3)的关键.6.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上,动点N 在对称轴l 上.①当PA ⊥NA ,且PA=NA 时,求此时点P 的坐标;②当四边形PABC 的面积最大时,求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣32,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c b a++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+),①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得x=21-(舍去)或x=21--,∴点P (21--,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P (32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.7.如图,已知直线AB 与抛物线C :2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式;⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点,以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时,求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标;⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17y4=的距离,若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】⑴2y x2x3=-++;⑵当12a=,S□MANB=2S△ABM=274,此时115M,24⎛⎫⎪⎝⎭;⑶存在. 当15F1,4⎛⎫⎪⎝⎭时,无论x取任何实数,均有PG PF=. 理由见解析.【解析】【分析】(1)利用待定系数法,将A,B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式;(2)过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,求出直线AB的解析式,设点M(a,-a2+2a+3),则K(a,a+1),利用函数思想求出MK的最大值,再求出△AMB面积的最大值,可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;(3)如图2,分别过点B,C作直线y=174的垂线,垂足为N,H,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离,其中F(1,a),连接BF,CF,则可根据BF=BN,CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组,解方程组即可.【详解】(1)由题意把点(-1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,得,20443a ca c-+=⎧⎨++=⎩,解得a=-1,c=3,∴此抛物线C函数表达式为:y=-x2+2x+3;(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,将点(-1,0)、(2,3)代入y=kx+b中,得,23k bk b-+⎧⎨+⎩==,解得,k=1,b=1,∴y AB=x+1,设点M(a,-a2+2a+3),则K(a,a+1),则MK=-a2+2a+3-(a+1)=-(a-12)2+94,根据二次函数的性质可知,当a=12时,MK有最大长度94,∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=12MK•AH+12MK•(x B-x H)=12MK•(x B-x A)=12×94×3=278,∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,S最大=2S△AMB最大=2×278=274,M(12,154);(3)存在点F,∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴对称轴为直线x=1,当y=0时,x1=-1,x2=3,∴抛物线与点x轴正半轴交于点C(3,0),如图2,分别过点B,C作直线y=174的垂线,垂足为N,H,抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离,设F(1,a),连接BF,CF,则BF=BN=174-3=54,CF=CH=174,由题意可列:2222225 (21)(3)417(31)4aa⎧⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得,a=154,∴F(1,154).【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,△ABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.(14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,在x 轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)12;(3)t=或t=或t=14.【解析】试题分析:(1)首先利用根与系数的关系得出:,结合条件求出的值,然后把点B,C的坐标代入解析式计算即可;(2)(2)分0<t<6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论,据此即可求出三角形的最大值;(3)(3)分2<t≤6时和t>6时两种情况进行讨论,再根据三角形相似的条件,即可得解.试题解析:解:(1)由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根,∴x1+x2=8,由.解得:.∴B(2,0)、C(6,0)则4m﹣16m+4m+2=0,解得:m=,∴该抛物线解析式为:y=;.(2)可求得A(0,3)设直线AC的解析式为:y=kx+b,∵∴∴直线AC的解析式为:y=﹣x+3,要构成△APC,显然t≠6,分两种情况讨论:当0<t<6时,设直线l与AC交点为F,则:F(t,﹣),∵P(t,),∴PF=,∴S△APC=S△APF+S△CPF===,此时最大值为:,②当6≤t≤8时,设直线l与AC交点为M,则:M(t,﹣),∵P(t,),∴PM=,∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===,当t=8时,取最大值,最大值为:12,综上可知,当0<t≤8时,△APC面积的最大值为12;(3)如图,连接AB,则△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2,Q(t,3),P(t,),①当2<t≤6时,AQ=t,PQ=,若:△AOB∽△AQP,则:,即:,∴t=0(舍),或t=,若△AOB∽△PQA,则:,即:,∴t=0(舍)或t=2(舍),②当t>6时,AQ′=t,PQ′=,若:△AOB∽△AQP,则:,即:,∴t=0(舍),或t=,若△AOB∽△PQA,则:,即:,∴t=0(舍)或t=14,∴t=或t=或t=14.考点:二次函数综合题.9.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)A(-1,0),;(2);(3)P的坐标为(1,)或(1,-4).【解析】试题分析:(1)在中,令y=0,得到,,得到A(-1,0),B(3,0),由直线l经过点A,得到,故,令,即,由于CD=4AC,故点D的横坐标为4,即有,得到,从而得出直线l的函数表达式;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE==,故△ACE的面积的最大值为,而△ACE的面积的最大值为,所以,解得;(3)令,即,解得,,得到D (4,5a),因为抛物线的对称轴为,设P(1,m),然后分两种情况讨论:①若AD是矩形的一条边,②若AD是矩形的一条对角线.试题解析:(1)∵=,令y=0,得到,,∴A(-1,0),B(3,0),∵直线l经过点A,∴,,∴,令,即,∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4,∴,∴,∴直线l的函数表达式为;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE===,∴△ACE的面积的最大值为,∵△ACE的面积的最大值为,∴,解得;(3)令,即,解得,,∴D(4,5a),∵,∴抛物线的对称轴为,设P(1,m),①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a),∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P1(1,);②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为(,),Q(2,),m =,则P(1,8a),∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P2(1,-4).综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1,)或(1,-4).考点:二次函数综合题.10.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=12x2+32x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.(1)求直线l的解析式;(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=122x--;(2)DE=3225;(3)存在点P(139,9881),使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;(3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.【详解】(1)∵抛物线y=1 2 x2+32x-2,∴当y=0时,得x1=1,x2=-4,当x=0时,y=-2,∵抛物线y=12x2+32x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,∴点A的坐标为(-4,0),点B(1,0),点C(0,-2),∵直线l经过A,C两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b,402k bb-+⎧⎨-⎩==,得122kb⎧-⎪⎨⎪-⎩==,即直线l的函数解析式为y=−12x−2;(2)直线ED与x轴交于点F,如图1所示,由(1)可得,AO=4,OC=2,∠AOC=90°,∴5∴4525=,∵OD⊥AC,OA⊥OC,∠OAD=∠CAO,∴△AOD∽△ACO,∴AD AOAO AC=,即425AD=,得85,∵EF⊥x轴,∠ADC=90°,∴EF∥OC,∴△ADF∽△ACO,∴AF DF ADAO OC AC==,解得,AF=165,DF=85, ∴OF=4-165=45, ∴m=-45, 当m=-45时,y=12×(−45)2+32×(-45)-2=-7225,∴EF=7225, ∴DE=EF-FD=7225−85=3225; (3)存在点P ,使∠BAP=∠BCO-∠BAG ,理由:作GM ⊥AC 于点M ,作PN ⊥x 轴于点N ,如图2所示,∵点A (-4,0),点B (1,0),点C (0,-2), ∴OA=4,OB=1,OC=2,∴tan ∠OAC=2142OC OA ==,tan ∠OCB=12OB OC =,5, ∴∠OAC=∠OCB ,∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ,∠GAM=∠OAC-∠BAG , ∴∠BAP=∠GAM ,∵点G (0,-1),5OA=4, ∴OG=1,GC=1, ∴17,••22AC GM CG OA =25?142GM ⨯, 解得,25, ∴22AG GM -222595(17)()55-=,∴tan ∠GAM=29GM AM =, ∴tan ∠PAN=29, 设点P 的坐标为(n ,12n 2+32n-2), ∴AN=4+n ,PN=12n 2+32n-2, ∴2132222 49n n n +-+=, 解得,n 1=139,n 2=-4(舍去),当n=139时,12n 2+32n-2=9881,∴点P 的坐标为(139,9881), 即存在点P (139,9881),使∠BAP=∠BCO-∠BAG . 【点睛】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,作出合适的辅助线,找出所求问题需要的条件,利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答.11.综合与探究 如图,抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ,交BC 于点F .(1)求A ,B ,C 三点的坐标;(2)试探究在点P 运动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以A ,C ,Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长,并求出m 为何值时QF 有最大值.【答案】(1)C(0,﹣4);(2)Q 5252﹣4)或(1,﹣3);(3)当m=2时,QF有最大值.【解析】【分析】(1)解方程13x2−13x-4=0得A(-3,0),B(4,0),计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标;(2)利用勾股定理计算出AC=5,利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4,则可设Q(m,m-4)(0<m<4),讨论:当CQ=CA时,则m2+(m-4+4)2=52,当AQ=AC时,(m+3)2+(m-4)2=52;当QA=QC时,(m+3)2+(m-4)2=52,然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标;(3)过点F作FG⊥PQ于点G,如图,由△OBC为等腰直角三角形.可判断△FQG为等腰直角三角形,则FG=QG=22FQ,再证明△FGP~△AOC得到34FG PG=,则PG=223FQ,所以PQ=26FQ,于是得到32,设P(m,13m2-13m-4)(0<m<4),则Q(m,m-4),利用PQ=-13m2+43m得到32-13m2+43m),然后利用二次函数的性质解决问题.【详解】(1)当y=0,13x2−13x-4=0,解得x1=-3,x2=4,∴A(-3,0),B(4,0),当x=0,y=13x2−13x-4=-4,∴C(0,-4);(2)2234=5+,易得直线BC的解析式为y=x-4,设Q(m,m-4)(0<m<4),当CQ=CA 时,m 2+(m-4+4)2=52,解得m 1=522,m 2=-522(舍去),此时Q 点坐标为(522,522-4); 当AQ=AC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m 1=1,m 2=0(舍去),此时Q 点坐标为(1,-3);当QA=QC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m=252(舍去), 综上所述,满足条件的Q 点坐标为(522,522-4)或(1,-3); (3)解:过点F 作FG ⊥PQ 于点G ,如图,则FG ∥x 轴.由B (4,0),C (0,-4)得△OBC 为等腰直角三角形 ∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG 为等腰直角三角形, ∴FG=QG=22FQ , ∵PE ∥AC ,PG ∥CO , ∴∠FPG=∠ACO , ∵∠FGP=∠AOC=90°, ∴△FGP ~△AOC . ∴FG PG OA CO =,即34FG PG=, ∴PG=43FG=43•22FQ=223FQ , ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=26FQ , ∴32PQ , 设P (m ,13m 2-13m-4)(0<m <4),则Q (m ,m-4),∴PQ=m-4-(13m2-13m-4)=-13m2+43m,∴FQ=327(-13m2+43m)=-27(m-2)2+427∵-27<0,∴QF有最大值.∴当m=2时,QF有最大值.【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,会利用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.12.如图,抛物线交轴于点,交轴于点,已知经过点的直线的表达式为.(1)求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标;(2)如图①,点是线段上的一个动点,其中,作直线轴,交直线于,交抛物线于,作∥轴,交直线于点,四边形为矩形.设矩形的周长为,写出与的函数关系式,并求为何值时周长最大;(3)如图②,在抛物线的对称轴上是否存在点,使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形.若存在,直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.图① 图②【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,顶点C坐标为(-1,4);(2)L=-4m2-12m=-4(m+)2+9;当m=-时,最大值L=9;(3)点Q的坐标为(-1,),(-1,-),(-1,3+),(-1,3-).【解析】试题分析:(1)由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标,然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值,从而得到解析式,进而得到顶点的坐标;(2)由题意可表示出D、E的坐标,从而得到DE的长,由已知条件可得DE=EF,从而可表示出矩形DEFG的周长L,利用二次函数的性质可求得最大值;(3)分别以点A、点B为圆心,以AB长为半径画圆,圆与对称轴的交点即为所求的点.试题解析:(1)直线y=x+3与x轴相交于A(-3,0 ),与y轴相交于B(0,3)抛物线y=-x2+bx+c经过A(-3,0 ),B(0,3),所以,,∴,所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以,顶点坐标为C(-1,4).(2)因为D在直线y=x+3上,∴D(m,m+3).因为E在抛物线上,∴E(m,-m2-2m+3).DE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m.由题意可知,AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°,∴DE=EF.L=4DE=-4m2-12m.L=-4m2-12m=-4(m+)2+9.∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时,最大值L=9.(3)点Q的坐标为(-1,),(-1,-),(-1,3+),(-1,3-).考点:1、待定系数法;2、正方形的判定;3、二次函数的性质的应用;4、等腰三角形.13.空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米.(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;(2)已知0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值.【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米.(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD ,表示AB 构成方程;(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系.【详解】(1)设AD=x 米,则AB=1002x -米 依题意得,(100)2x x -=450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米.(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得:S=2(100)1(50)125022x x x ---+=,0<x <a ∵0<a <50∴x <a <50时,S 随x 的增大而增大 当x=a 时,S 最大=50a-12a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x =+---+++,a≤x <50+2a 当a <25+4a <50时,即0<a <1003时, 则x=25+4a 时,S 最大=(25+4a )2=21000020016a a ++, 当25+4a ≤a ,即1003≤a <50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -, 综合①②,当0<a <1003时,21000020016a a ++-(21502a a -)=2(3100)16a ->0 21000020016a a ++>21502a a -,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米 当1003≤a <50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等. ∴当0<a <1003时,围成长和宽均为(25+4a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米; 当1003≤a <50时,围成长为a 米,宽为(50-2a )米的矩形菜园面积最大,最大面积为(21502a a -)平方米. 【点睛】 本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系.14.如图,已知抛物线2y ax bx c =++(a≠0)经过A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时,求点P 的坐标;(3)点M 也是直线l 上的动点,且△MAC 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =--;(2)P (1,0);(3).【解析】试题分析:(1)直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可; (2)由图知:A .B 点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,直线l 与x 轴的交点,即为符合条件的P 点;(3)由于△MAC 的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ;可先设出M 点的坐标,然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长,再按上面的三种情况列式求解.试题解析:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)代入抛物线2y ax bx c=++中,得:0{9303a b c a b c c -+=++==-,解得:1{23a b c ==-=-,故抛物线的解析式:223y x x =--.(2)当P 点在x 轴上,P ,A ,B 三点在一条直线上时,点P 到点A 、点B 的距离之和最短,此时x=2b a-=1,故P (1,0); (3)如图所示:抛物线的对称轴为:x=2b a -=1,设M (1,m ),已知A (﹣1,0)、C (0,﹣3),则:2MA =24m +,2MC =2(3)1m ++=2610m m ++,2AC =10;①若MA=MC ,则22MA MC =,得:24m +=2610m m ++,解得:m=﹣1; ②若MA=AC ,则22MA AC =,得:24m +=10,得:m=6;③若MC=AC ,则22MC AC =,得:2610m m ++=10,得:10m =,26m =-; 当m=﹣6时,M 、A 、C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M 点,且坐标为 M (16)(1,6-)(1,﹣1)(1,0).考点:二次函数综合题;分类讨论;综合题;动点型.15.如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.(1)求此抛物线的解析式;(2)求证:AO=AM;(3)探究:①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.【答案】解:(1)y=x2﹣1(2)详见解析(3)详见解析【解析】【分析】(1)把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解。
2020-2021中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含详细答案
2020-2021中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含详细答案一、二次函数1.如图,对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点,其中A 点的坐标为(-3,0).(1)求点B 的坐标;(2)已知a 1=,C 为抛物线与y 轴的交点.①若点P 在抛物线上,且POC BOC S 4S ∆∆=,求点P 的坐标;②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值.【答案】(1)点B 的坐标为(1,0).(2)①点P 的坐标为(4,21)或(-4,5).②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】(1)由抛物线的对称性直接得点B 的坐标.(2)①用待定系数法求出抛物线的解析式,从而可得点C 的坐标,得到BOC S ∆,设出点P 的坐标,根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标.②用待定系数法求出直线AC 的解析式,由点Q 在线段AC 上,可设点Q 的坐标为(q,-q-3),从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3),从而线段QD 等于两点纵坐标之差,列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解:(1)∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ,且A 点的坐标为(-3,0), ∴点B 的坐标为(1,0).(2)①∵抛物线a 1=,对称轴为x 1=-,经过点A (-3,0), ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩,解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为(0,-3).∴OB=1,OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3),则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=,∴3p 62=,解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=;当p 4=-时,2p 2p 35+-=,∴点P 的坐标为(4,21)或(-4,5).②设直线AC 的解析式为y kx b =+,将点A ,C 的坐标代入,得:3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩,解得:k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上,∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ,∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-,-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2.新春佳节,电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮,已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元,市场调查发现,该种电子鞭炮每天的销售量y (盒)与销售单价x (元)有如下关系:y=﹣2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元.(1)求w 与x 之间的函数关系式;(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润,又想卖得快.那么销售单价应定为多少元?【答案】(1)w=﹣2x 2+480x ﹣25600;(2)销售单价定为120元时,每天销售利润最大,最大销售利润3200元(3)销售单价应定为100元【解析】【分析】(1)用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润,即()()()80802320w x y x x =-=--+, 然后化为一般式即可; (2)把(1)中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+,然后根据二次函数的最值问题求解;(3)求2400w =所对应的自变量的值,即解方程()2212032002400x --+=.然后检验即可.【详解】(1)()()()80802320w x y x x =-=--+,2248025600x x =-+-,w 与x 的函数关系式为:2248025600w x x =-+-;(2)()2224802560021203200w x x x =-+-=--+,2080160x -<≤≤Q ,,∴当120x =时,w 有最大值.w 最大值为3200.答:销售单价定为120元时,每天销售利润最大,最大销售利润3200元.(3)当2400w =时,()2212032002400x --+=.解得:12100140x x ,.== ∵想卖得快, 2140x ∴=不符合题意,应舍去.答:销售单价应定为100元.3.如图,抛物线y=ax 2+bx 过点B (1,﹣3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x 轴的正半轴交于点A .(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x 的取值范围; (2)在第二象限内的抛物线上有一点P ,当PA ⊥BA 时,求△PAB 的面积.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ,自变量x 的取值范图是0≤x≤4;(2)△PAB 的面积=15.【解析】【分析】(1)将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中,再和对称轴方程联立求出待定系数a 和b ;(2)如图,过点B 作BE ⊥x 轴,垂足为点E ,过点P 作PE ⊥x 轴,垂足为F ,设P (x ,x 2-4x ),证明△PFA ∽△AEB,求出点P 的坐标,将△PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积.【详解】(1)由题意得,32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩==,解得14ab-⎧⎨⎩==,∴抛物线的解析式为y=x2-4x,令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,结合图象知,A的坐标为(4,0),根据图象开口向上,则y≤0时,自变量x的取值范围是0≤x≤4;(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,设P(x,x2-4x),∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=,即244213x x x--=-,解得,x= −1,x=4(舍去)∴x2-4x=-5∴点P的坐标为(-1,-5),又∵B点坐标为(1,-3),易得到BP直线为y=-4x+1所以BP与x轴交点为(14,0)∴S△PAB=115531524⨯⨯+=【点睛】本题是二次函数综合题,求出函数解析式是解题的关键,特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出,利用点的坐标求三角形的面积是关键.4.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15.【解析】【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,故A'(2,4),B'(5,﹣5),∴S△OA′B′=12×(2+5)×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15.【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.5.某商场销售一种商品的进价为每件30元,销售过程中发现月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系如图所示.(1)根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式.(2)设这种商品月利润为W (元),求W 与x 之间的函数关系式.(3)这种商品的销售单价定为多少元时,月利润最大?最大月利润是多少?【答案】(1)y =180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩;(2)W =222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;(3)这种商品的销售单价定为65元时,月利润最大,最大月利润是3675.【解析】【分析】(1)当40≤x≤60时,设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ,当60<x≤90时,设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ,解方程组即可得到结论;(2)当40≤x≤60时,当60<x≤90时,根据题意即可得到函数解析式;(3)当40≤x≤60时,W=-x 2+210x-5400,得到当x=60时,W 最大=-602+210×60-5400=3600,当60<x≤90时,W=-3x 2+390x-9000,得到当x=65时,W 最大=-3×652+390×65-9000=3675,于是得到结论.【详解】解:(1)当40≤x ≤60时,设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ,将(40,140),(60,120)代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得:1180k b =-⎧⎨=⎩, ∴y 与x 之间的函数关系式为y =﹣x +180;当60<x ≤90时,设y 与x 之间的函数关系式为y =mx +n ,将(90,30),(60,120)代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩, 解得:3300m n =-⎧⎨=⎩,∴y =﹣3x +300;综上所述,y =180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩; (2)当40≤x ≤60时,W =(x ﹣30)y =(x ﹣30)(﹣x +180)=﹣x 2+210x ﹣5400, 当60<x ≤90时,W =(x ﹣30)(﹣3x +300)=﹣3x 2+390x ﹣9000,综上所述,W =222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩; (3)当40≤x ≤60时,W =﹣x 2+210x ﹣5400,∵﹣1<0,对称轴x =2102--=105, ∴当40≤x ≤60时,W 随x 的增大而增大,∴当x =60时,W 最大=﹣602+210×60﹣5400=3600,当60<x ≤90时,W =﹣3x 2+390x ﹣9000,∵﹣3<0,对称轴x =3906--=65, ∵60<x ≤90,∴当x =65时,W 最大=﹣3×652+390×65﹣9000=3675,∵3675>3600,∴当x =65时,W 最大=3675,答:这种商品的销售单价定为65元时,月利润最大,最大月利润是3675.【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键.6.如图,已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ,与y 轴相交于点()0,5B -,对称轴为直线l ,点M 是线段AB 的中点.(1)求抛物线的表达式;(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式;(3)设动点P ,Q 分别在抛物线和对称轴l 上,当以A ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是平行四边形时,求P ,Q 两点的坐标.【答案】(1)21452=-+-y x x ;(2)()2,1-M ,25y x =-;(3)点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1.【解析】【分析】(1)函数表达式为:()243y a x ==+,将点B 坐标代入上式,即可求解;(2)()4,3A 、()0,5B -,则点()2,1-M ,设直线AB 的表达式为:5y kx =-,将点A 坐标代入上式,即可求解;(3)分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)函数表达式为:()243y a x ==+,将点B 坐标代入上式并解得:12a =-, 故抛物线的表达式为:21452=-+-y x x ; (2)()4,3A 、()0,5B -,则点()2,1-M ,设直线AB 的表达式为:5y kx =-,将点A 坐标代入上式得:345k =-,解得:2k =,故直线AB 的表达式为:25y x =-;(3)设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭, ①当AM 是平行四边形的一条边时,点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M , 同样点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s , 即:24m -=,214542m m s -+--=, 解得:6m =,3s =-,故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-;②当AM 是平行四边形的对角线时,由中点定理得:424m +=+,2131452m m s -=-+-+, 解得:2m =,1s =,故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1;故点P 、Q 的坐标分别为()6,1,()4,3-或()2,1、()4,3-,()2,1或()4,1.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,避免遗漏.7.如图1,抛物线C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G.(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值:(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3,点G的坐标为(1,4);(2)k=1;(3)M1(1132+,0)、N1131);M2(1132+,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).【解析】【分析】(1)由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A、C坐标代入解析式求解可得;(2)设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为(m+1,0),点G′的坐标为(1,3m),代入所设解析式求解可得;(3)设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x的值从而进一步求解即可.【详解】(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),∴OA=1,∴OC=3OA,∴点C的坐标为(0,3),将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得:203a a cc++=⎧⎨=⎩,解得:13a c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣(x ﹣1)2+4, 所以点G 的坐标为(1,4);(2)设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ,即y=﹣(x ﹣1)2+4﹣k , 过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ,设BD′=m ,∵△A′B′G′为等边三角形,∴G′D=3B′D=3m ,则点B′的坐标为(m+1,0),点G′的坐标为(1,3m ), 将点B′、G′的坐标代入y=﹣(x ﹣1)2+4﹣k ,得:24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩, 解得:1104m k =⎧⎨=⎩(舍),2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ∴k=1;(3)设M (x ,0),则P (x ,﹣x 2+2x+3)、Q (x ,﹣x 2+2x+2), ∴PQ=OA=1,∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角,∴△AOQ ≌△PQN ,如图2,延长PQ 交直线y=﹣1于点H ,则∠QHN=∠OMQ=90°,又∵△AOQ ≌△PQN ,∴OQ=QN ,∠AOQ=∠PQN ,∴∠MOQ=∠HQN ,∴△OQM ≌△QNH (AAS ),∴OM=QH ,即x=﹣x 2+2x+2+1,解得:x=1132±(负值舍去), 当x=1132+时,HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-,点M (1132+,0), ∴点N 坐标为(1132++1312-,﹣1),即(13,﹣1); 或(113+﹣131-,﹣1),即(1,﹣1); 如图3,同理可得△OQM ≌△PNH ,∴OM=PH ,即x=﹣(﹣x 2+2x+2)﹣1,解得:x=﹣1(舍)或x=4,当x=4时,点M 的坐标为(4,0),HN=QM=﹣(﹣x 2+2x+2)=6,∴点N 的坐标为(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1); 综上点M 1113+0)、N 1131);M 2113+0)、N 2(1,﹣1);M 3(4,0)、N 3(10,﹣1);M 4(4,0)、N 4(﹣2,﹣1).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等,熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.8.如图1,抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点,G 是其顶点,将抛物线C 绕点O 旋转180o ,得到新的抛物线'C .(1)求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标;(2)如图2,直线12:5l y kx =-经过点A ,D 是抛物线C 上的一点,设D 点的横坐标为m (2m <-),连接DO 并延长,交抛物线'C 于点E ,交直线l 于点M ,2DE EM =,求m 的值;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG 、AB ,在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ,使得DEP GAB ∠=∠?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)24y x x =--,顶点为:(2,4)G -;(2)m 的值为﹣3;(3)存在,点P 的横坐标为:773+-737-. 【解析】【分析】 (1)运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中,即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式,再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标; (2)根据抛物线C 绕点O 旋转180o ,可求得新抛物线'C 的解析式,再将(4,0)A -代入125y kx =-中,即可求得直线l 解析式,根据对称性可得点E 坐标,过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ,过E 作//EK y 轴交直线l 于K ,由2DE EM =,即可得13ME MD =,再证明MEK ∆∽MDH ∆,即可得3DH EK =,建立方程求解即可;(3)连接BG ,易证ABG ∆是Rt ∆,90ABG ∠=o ,可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=,在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥,在OH 上截取123OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ,连接EH 交抛物线C 于点P ,点P 即为所求的点;通过建立方程组求解即可.【详解】(1)将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中,得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为:24y x x =--,配方,得:224(2)4y x x x =--=-++,∴顶点为:(2,4)G -; (2)∵抛物线C 绕点O 旋转180o ,得到新的抛物线'C .∴新抛物线'C 的顶点为:'(2,4)G -,二次项系数为:'1a =∴新抛物线'C 的解析式为:22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中,得12045k =--,解得35k =-, ∴直线l 解析式为31255y x =--, ∵2(,4)D m m m --,∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+,由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称,可得点D 、V 关于原点对称,∴2(,4)E m m m -+如图2,过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ,过E 作//EK y 轴交直线l 于K , 则312(,)55H m m --,312(,)55K m m --, ∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+,2231217124()5555EK m m m m m =+--=++, ∵2DE EM = ∴13ME MD =, ∵//DH y 轴,//EK y 轴∴//DH EK∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==,即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得:13m =-,225m =-,∵2m <-∴m 的值为:﹣3;(3)由(2)知:3m =-,∴(3,3)D -,(3,3)E -,OE =如图3,连接BG ,在ABG ∆中,∵222(14)(30)18AB =-++-=,22BG =,220AG =∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形,90ABG ∠=o ,∴1tan 3BG GAB AB ∠===, ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=, 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥,在OH上截取13OH OE == 过点E 作ET y ⊥轴于T ,连接EH 交抛物线C 于点P ,点P 即为所求的点; ∵(3,3)E -,∴45EOT ∠=o∵90EOH ∠=o∴45HOT ∠=o∴(1,1)H --,设直线EH 解析式为y px q =+,则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩,解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--, 解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩,得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P的横坐标为:74+-或74.【点睛】本题考查了二次函数图象和性质,待定系数法求函数解析式,旋转变换,相似三角形判定和性质,直线与抛物线交点,解直角三角形等知识点;属于中考压轴题型,综合性强,难度较大.9.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点,求△BCP 面积的最大值;(3)直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ,N ,当△BMN 是等腰三角形时,直接写出m 的值.【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3;(2)S △BCP 最大=278;(3)当△BMN 是等腰三角形时,m 22,1,2.【解析】分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PE 的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;(3)根据等腰三角形的定义,可得关于m 的方程,根据解方程,可得答案.详解:(1)将A (1,0),B (3,0)代入函数解析式,得309330a b a b ++⎧⎨++⎩==, 解得14a b ⎧⎨-⎩==, 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3;(2)当x=0时,y=3,即点C (0,3),设BC 的表达式为y=kx+b ,将点B (3,0)点C (0,3)代入函数解析式,得300k b b +⎧⎨⎩==, 解这个方程组,得13k b -⎧⎨⎩== 直线BC 的解析是为y=-x+3,过点P 作PE ∥y 轴,交直线BC于点E(t,-t+3),PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,∴S△BCP=S△BPE+S CPE=12(-t2+3t)×3=-32(t-32)2+278,∵-32<0,∴当t=32时,S△BCP最大=278.(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)MN=m2-3m,2|m-3|,当MN=BM时,①m22(m-3),解得2,②m22m-3),解得2当BN=MN时,∠NBM=∠BMN=45°,m2-4m+3=0,解得m=1或m=3(舍)当BM=BN时,∠BMN=∠BNM=45°,-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍),当△BMN是等腰三角形时,m22,1,2.点睛:本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用面积的和差得出二次函数,又利用了二次函数的性质,解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程,要分类讨论,以防遗漏.10.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,﹣2).点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图②,经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.【答案】(1)E(3,1);(2)S最大=214,M坐标为(32,3);(3)F坐标为(0,﹣32).【解析】【分析】1)把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值,确定出二次函数解析式,与一次函数解析式联立求出E坐标即可;(2)过M作MH垂直于x轴,与直线CE交于点H,四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大,构造出二次函数求出最大值,并求出此时M坐标即可;(3)令y=0,求出x的值,得出A与B坐标,由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似,由相似得比例求出OF的长,即可确定出F坐标.【详解】(1)把C(0,2),D(4,﹣2)代入二次函数解析式得:2016232a cc⎧++=-⎪⎨⎪=⎩,解得:2a32c⎧=-⎪⎨⎪=⎩,即二次函数解析式为y=﹣23x2+53x+2,联立一次函数解析式得:2225233y xy x x﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩,消去y得:﹣13x+2=﹣23x2+53x+2,解得:x=0或x=3,则E(3,1);(2)如图①,过M作MH∥y轴,交CE于点H,设M(m,﹣23m2+53m+2),则H(m,﹣13m+2),∴MH=(﹣23m2+53m+2)﹣(﹣13m+2)=﹣23m2+2m,S四边形COEM=S△OCE+S△CME=12×2×3+12MH•3=﹣m2+3m+3,当m=﹣ab=32时,S最大=214,此时M坐标为(32,3);(3)连接BF,如图②所示,当﹣23x2+53x+20=0时,x15+73,x25-73∴OA=73-54,5+73,∵∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,∴△AOC∽△FOB,∴OA OCOF OB=,即73-545+734OF=,解得:OF=32,则F坐标为(0,﹣32).【点睛】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数图象与性质,以及图形与坐标性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.11.已知抛物线21322y x x=--的图象如图所示:(1)将该抛物线向上平移2个单位,分别交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则平移后的解析式为.(2)判断△ABC的形状,并说明理由.(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =--+;(2)△ABC 是直角三角形;(3)存在,302,⎛⎫- ⎪⎝⎭、311222⎛-+ ⎝⎭,、311222⎛-- ⎝⎭,. 【解析】【分析】(1)根据函数图象的平移规律,可得新的函数解析式;(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得A ,B ,C 的坐标,根据勾股定理及逆定理,可得答案;(3)根据等腰三角形的定义,分三种情况,可得关于n 的方程,根据解方程,可得答案.【详解】(1)将该抛物线向上平移2个单位,得:y 12=-x 232-x +2. 故答案为y 12=-x 232-x +2; (2)当y =0时,12-x 232-x +2=0,解得:x 1=﹣4,x 2=1,即B (﹣4,0),A (1,0). 当x =0时,y =2,即C (0,2). AB =1﹣(﹣4)=5,AB 2=25,AC 2=(1﹣0)2+(0﹣2)2=5,BC 2=(﹣4﹣0)2+(0﹣2)2=20.∵AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形;(3)y 12=-x 232-x +2的对称轴是x 32=-,设P (32-,n ),AP 2=(132+)2+n 2254=+n 2,CP 294=+(2﹣n )2,AC 2=12+22=5.分三种情况讨论: ①当AP =AC 时,AP 2=AC 2,254+n 2=5,方程无解;②当AP =CP 时,AP 2=CP 2,254+n 294=+(2﹣n )2,解得:n =0,即P 1(32-,0); ③当AC =CP 时,AC 2=CP 2,94+(2﹣n )2=5,解得:n 1=2112+,n 2=2112-,P 2(32-,2112+),P 3(32-,2112-). 综上所述:在抛物线对称轴上存在一点P ,使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,点P 的坐标(32-,0),(32-,2112+),(32-,2112-). 【点睛】本题考查了二次函数综合题.解(1)的关键是二次函数图象的平移,解(2)的关键是利用勾股定理及逆定理;解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n 的方程,要分类讨论,以防遗漏.12.综合与探究 如图,抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ,交BC 于点F .(1)求A ,B ,C 三点的坐标;(2)试探究在点P 运动的过程中,是否存在这样的点Q ,使得以A ,C ,Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请用含m 的代数式表示线段QF 的长,并求出m 为何值时QF 有最大值.【答案】(1)C (0,﹣4);(2)Q 5252﹣4)或(1,﹣3); (3)当m=2时,QF 有最大值. 【解析】 【分析】 (1)解方程13x 2−13x-4=0得A (-3,0),B (4,0),计算自变量为0时的二次函数值得C 点坐标;(2)利用勾股定理计算出AC=5,利用待定系数法可求得直线BC 的解析式为y=x-4,则可设Q (m ,m-4)(0<m <4),讨论:当CQ=CA 时,则m 2+(m-4+4)2=52,当AQ=AC 时,(m+3)2+(m-4)2=52;当QA=QC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标;(3)过点F 作FG ⊥PQ 于点G ,如图,由△OBC 为等腰直角三角形.可判断△FQG 为等腰直角三角形,则FG=QG=2FQ ,再证明△FGP ~△AOC 得到34FG PG =,则PG=3FQ ,所以PQ=6FQ ,于是得到,设P (m ,13m 2-13m-4)(0<m<4),则Q (m ,m-4),利用PQ=-13m 2+43m 得到-13m 2+43m ),然后利用二次函数的性质解决问题. 【详解】(1)当y=0,13x 2−13x-4=0,解得x 1=-3,x 2=4, ∴A (-3,0),B (4,0),当x=0,y=13x 2−13x-4=-4, ∴C (0,-4);(2), 易得直线BC 的解析式为y=x-4, 设Q (m ,m-4)(0<m <4),当CQ=CA 时,m 2+(m-4+4)2=52,解得m 1m 2(舍去),此时Q 点坐标为-4); 当AQ=AC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m 1=1,m 2=0(舍去),此时Q 点坐标为(1,-3);当QA=QC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m=252(舍去),综上所述,满足条件的Q 点坐标为(2,2-4)或(1,-3); (3)解:过点F 作FG ⊥PQ 于点G ,如图,则FG ∥x 轴.由B (4,0),C (0,-4)得△OBC 为等腰直角三角形 ∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG 为等腰直角三角形, ∴FG=QG=22FQ , ∵PE ∥AC ,PG ∥CO , ∴∠FPG=∠ACO , ∵∠FGP=∠AOC=90°, ∴△FGP ~△AOC . ∴FG PG OA CO =,即34FG PG=, ∴PG=43FG=43222FQ , ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=26FQ , ∴32PQ , 设P (m ,13m 2-13m-4)(0<m <4),则Q (m ,m-4), ∴PQ=m-4-(13m 2-13m-4)=-13m 2+43m , ∴32(-13m 2+43m )2(m-2)242∵2<0, ∴QF 有最大值.∴当m=2时,QF 有最大值. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,会利用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.13.如图,直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,抛物线y=﹣x 2+bx+c 与直线y=c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ,连接PB ,得△PCB ≌△BOA (O 为坐标原点).若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ,设M 是点C ,F 间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m .(1)直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式;(2)当m 为何值时,△MAB 面积S 取得最小值和最大值?请说明理由; (3)求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标.【答案】(1)点P 的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4;(2)当m=0时,S 取最小值,最小值为12;当m=3时,S 取最大值,最大值为5.(3)满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为(0,4)或(247,12449).【解析】【分析】(1)代入y=c 可求出点C 、P 的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标,再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值,进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标,过点M 作ME ∥y 轴,交直线AB 于点E ,由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标,进而可得出ME 的长度,再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12(m ﹣3)2+5,由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值;(3)分两种情况考虑:①当点M 在线段OP 上方时,由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出:当点C 、M 重合时,∠MPO=∠POA ,由此可找出点M 的坐标;②当点M 在线段OP 下方时,在x 正半轴取点D ,连接DP ,使得DO=DP ,此时∠DPO=∠POA ,设点D 的坐标为(n ,0),则DO=n ,()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值,进而可得出点D 的坐标,由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式,再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组求出点M 的坐标.综上此题得解. 【详解】(1)当y=c 时,有c=﹣x 2+bx+c ,解得:x1=0,x2=b,∴点C的坐标为(0,c),点P的坐标为(b,c),∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3),∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,∵△PCB≌△BOA,∴BC=OA,CP=OB,∴b=3,c=4,∴点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)当y=0时,有﹣x2+3x+4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴点F的坐标为(4,0),过点M作ME∥y轴,交直线AB于点E,如图1所示,∵点M的横坐标为m(0≤m≤4),∴点M的坐标为(m,﹣m2+3m+4),点E的坐标为(m,﹣3m+3),∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,∴S=12OA•ME=﹣12m2+3m+12=﹣12(m﹣3)2+5,∵﹣12<0,0≤m≤4,∴当m=0时,S取最小值,最小值为12;当m=3时,S取最大值,最大值为5;(3)①当点M在线段OP上方时,∵CP∥x轴,∴当点C、M重合时,∠MPO=∠POA,∴点M的坐标为(0,4);②当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=∠POA,设点D的坐标为(n,0),则DO=n,∴n2=(n﹣3)2+16,解得:n=256,∴点D的坐标为(256,0),设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0),将P(3,4)、D(256,0)代入y=kx+a,342506k a k a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:2471007k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴直线PD 的解析式为y=﹣247x+1007, 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组,得:2241007734y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩﹣,解得:1134x y =⎧⎨=⎩,2224712449x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴点M 的坐标为(247,12449). 综上所述:满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为(0,4)或(247,12449).【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次(二次)函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质,解题的关键是:(1)利用全等三角形的性质求出b 、c 的值;(2)利用三角形的面积公式找出S=﹣(m ﹣3)2+5;(3)分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标.14.如图,已知抛物线2y ax bx c =++(a≠0)经过A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)三点,直线l 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时,求点P 的坐标;(3)点M 也是直线l 上的动点,且△MAC 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =--;(2)P (1,0);(3).【解析】试题分析:(1)直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可; (2)由图知:A .B 点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,直线l 与x 轴的交点,即为符合条件的P 点;(3)由于△MAC 的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ;可先设出M 点的坐标,然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长,再按上面的三种情况列式求解.试题解析:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,﹣3)代入抛物线2y ax bx c=++中,得:0{9303a b c a b c c -+=++==-,解得:1{23a b c ==-=-,故抛物线的解析式:223y x x =--.(2)当P 点在x 轴上,P ,A ,B 三点在一条直线上时,点P 到点A 、点B 的距离之和最短,此时x=2ba-=1,故P (1,0); (3)如图所示:抛物线的对称轴为:x=2ba-=1,设M (1,m ),已知A (﹣1,0)、C (0,﹣3),则:2MA =24m +,2MC =2(3)1m ++=2610m m ++,2AC =10;①若MA=MC ,则22MA MC =,得:24m +=2610m m ++,解得:m=﹣1; ②若MA=AC ,则22MA AC =,得:24m +=10,得:m=6;③若MC=AC ,则22MC AC =,得:2610m m ++=10,得:10m =,26m =-; 当m=﹣6时,M 、A 、C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M 点,且坐标为 M (16)(1,6-)(1,﹣1)(1,0).考点:二次函数综合题;分类讨论;综合题;动点型.15.如图1,抛物线2112y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M .将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直l 的抛物线2y .(1)求抛物线2y 的解析式;(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ∆是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由;(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ,点Q 关于直线l 的对称点为R ,若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ∆全等,求直线PR 的解析式. 【答案】(1)抛物线2y 的解析式为2111424y x x =-+-;(2)T 点的坐标为13137(1,4T +,23137(1,4T -,377(1,)8T -;(3)PR 的解析式为13y x 24=-+或1124y x =--.【解析】分析:(1)把()1,0B 和30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2112y ax x c =-+求出a 、c 的值,进而求出y 1,再根据平移得出y 2即可;(2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰,得到关于t 的方程,解方程即可;(3)设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭,根据对称性得21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等求解即可. 详解:(1)由题意知,34102c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩, 解得14a =-, 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =--+; 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B , 所以抛物线2y 的解析式为()22114y x =--, 即: 22111424y x x =-+-; (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 过点T 作TE y ⊥轴于E ,则22221TC TE CE =+=+ 2233254216t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,222TA TB AB =+= ()2221316t t ++=+,215316AC =, 当TC AC =时,即232515321616t t -+=, 解得131374t +=或231374t -=; 当TC AC =时,得21531616t +=,无解; 当TC AC =时,得2232516216t t t -+=+,解得3778t =-; 综上可知,在抛物线2y 的对称轴l 上存在点T 使TAC ∆是等腰三角形,此时T 点的坐标为131371,T ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,231371,T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,3771,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (3)设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭, 因为,Q R 关于1x =对称,所以21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭, 情况一:当点P 在直线的左侧时,2113424PQ m m =--+- 21111424m m m ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭,22QR m =-,又因为以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等, 当PQ GM =且QR AM =时,0m =, 可求得30,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,即点P 与点C 重合 所以12,4R ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设PR 的解析式y kx b =+,。
2020-2021初中数学二次函数图文解析(2)
2020-2021初中数学二次函数图文解析(2)一、选择题1.某二次函数图象的顶点为()2,1-,与x 轴交于P 、Q 两点,且6PQ =.若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点,则a 、b 、c 、d 之值何者为正?( ) A .aB .bC .cD .d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴,开口方向和与x 轴的交点坐标,从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负,本题得以解决.【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点,且PQ=6, ∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=2,∴图形与x 轴的交点为(2-3,0)=(-1,0),和(2+3,0)=(5,0),∵此函数图象通过(1,a )、(3,b )、(-1,c )、(-3,d )四点,∴a <0,b <0,c=0,d >0,故选:D .【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.2.如图,二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,对称轴为直线2x =,且OA OC =,则下列结论:①0abc >;②930a b c ++<;③1c >-;④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-,其中正确的结论个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号,从而可判断①;由图像可知当x =3时,y <0,可判断②;由OA =OC ,且OA <1,可判断③;把﹣1a代入方程整理得ac 2-bc +c =0,结合③可判断④;从而得出答案.【详解】由图像开口向下,可知a <0,与y 轴的交点在x 轴的下方,可知c <0,又对称轴方程为x =2,∴﹣2b a>0,∴b >0,∴abc >0,故①正确;由图像可知当x =3时,y >0,∴9a +3b +c >0,故②错误;由图像可知OA <1,∵OA =OC ,∴OC <1,即﹣c <1,故③正确;假设方程的一个根为x =﹣1a ,把﹣1a 代入方程,整理得ac 2-bc +c =0, 即方程有一个根为x =﹣c ,由②知﹣c =OA ,而当x =OA 是方程的根,∴x =﹣c 是方程的根,即假设成立,故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系,熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3.已知,二次函数y=ax 2+bx+a 2+b (a≠0)的图象为下列图象之一,则a 的值为( )A .-1B .1C .-3D .-4【答案】A【解析】【分析】 分别对图形进行讨论:若二次函数的图形为第一个,则b=0,其顶点坐标为(0,a 2),与图形中的顶点坐标不符;若二次函数的图形为第二个,则b=0,根据顶点坐标有a 2=3,由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ,所以a=-4,它们相矛盾;若二次函数的图形为第三个,把点(-1,0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0,解得a=-1;若二次函数的图形为第四个,把(-2,0)和(0,0)分别代入解析式可计算出a 的值.【详解】解:若二次函数的图形为第一个,对称轴为y 轴,则b=0,y=ax 2+a 2,其顶点坐标为(0,a 2),而a 2>0,所以二次函数的图形不能为第一个;若二次函数的图形为第二个,对称轴为y 轴,则b=0,y=ax 2+a 2,a 2=3,而当y=0时,x 2=−a ,所以−a=4,a=−4,所以二次函数的图形不能为第二个;若二次函数的图形为第三个,令x=−1,y=0,则a−b+a 2+b=0,所以a=−1;若二次函数的图形为第四个,令x=0,y=0,则a 2+b=0①;令x=−2,y=0,则4a−2b+a 2+b=0②,由①②得a=−2,这与图象开口向上不符合,所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系:a >0,开口向上;a <0,开口向下;抛物线的对称轴为直线x=-;顶点坐标为(-,);也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.4.要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++,下列平移方法正确的是( ) A .向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C .向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(-1,2),由此确定平移办法.【详解】y=x 2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(-1,2),抛物线y=x 2的顶点坐标是(0,0),则平移的方法可以是:将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度. 故选:A .【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换.解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移,寻找平移方法.5.如图,抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ,两点,D 是以点()0,4C 为圆心,1为半径的圆上的动点,E 是线段AD 的中点,连接,OE BD ,则线段OE 的最小值是( )A .2B .322C .52D .3【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标,结合题意进一步可以得出BC 长为5,利用三角形中位线性质可知OE=12BD ,而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-, ∴当0y =时,21019x =-, 解得:=3x ±,∴A 点与B 点坐标分别为:(3-,0),(3,0),即:AO=BO=3,∴O 点为AB 的中点,又∵圆心C 坐标为(0,4),∴OC=4,∴BC 长度5=,∵O 点为AB 的中点,E 点为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线,即:OE=12BD , ∵D 点是圆上的动点,由图可知,BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,∴BD 的最小值为4,∴OE=12BD=2, 即OE 的最小值为2,故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.6.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )A .BC .32D .52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解.【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B , ∴A(2,c-4),B(0,c),∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,∴'(24),'(0)A c B c ---,,,, ∵四边形''ABA B 为矩形,∴''AA BB =,∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =. 故选D .【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.7.在抛物线y =a (x ﹣m ﹣1)2+c (a≠0)和直线y =﹣12x 的图象上有三点(x 1,m )、(x 2,m )、(x 3,m ),则x 1+x 2+x 3的结果是( ) A .3122m -+ B .0 C .1 D .2 【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果.【详解】 解:如图,在抛物线y =a (x ﹣m ﹣1)2+c (a≠0)和直线y =﹣12x 的图象上有三点A (x 1,m )、B (x 2,m )、C (x 3,m ),∵y =a (x ﹣m ﹣1)2+c (a≠0)∴抛物线的对称轴为直线x =m+1, ∴232x x +=m+1, ∴x 2+x 3=2m+2,∵A (x 1,m )在直线y =﹣12x 上, ∴m =﹣12x 1,∴x 1=﹣2m ,∴x 1+x 2+x 3=﹣2m+2m+2=2,故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形.8.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表: x ···1- 0 1 3 ··· y··· 1- 3 5 3··· 下列结论错误的是( )A .0ac <B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x -<<时,()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知:当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-,当0x =时,3y =,即3c =,当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确; C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x -<<,故本选项正确;故选:C .【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.9.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( )A .0<t <5B .﹣4≤t <5C .﹣4≤t <0D .t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解;【详解】解:∵对称轴为直线x =2,∴b =﹣4,∴y =x 2﹣4x ,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,∵﹣1<x <4,∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5,∴﹣4≤t <5;故选:B .【点睛】本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键.10.函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,则8x =时,函数值等于( )A .5B .52-C .52D .-5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性,求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴,进而判断与8x =的函数值相等时x 的值,由此可得结果.【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为:1742x +==, ∴8x =与0x =的函数值相等,∴当8x =时,250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=,即8x =时,函数值等于5,故选:A .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性.掌握二次函数的对称性和对称轴的求法,是解题的关键.11.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么下列结论中正确的是( )A .ac >0B .b >0C .a +c <0D .a +b +c =0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知:a <0,c >0,∴ac <0,故A 错误;B.由对称轴可知:x =2b a -<0, ∴b <0,故B 错误;C.由对称轴可知:x =2b a -=﹣1, ∴b =2a ,∵x =1时,y =0,∴a +b +c =0,∴c =﹣3a ,∴a +c =a ﹣3a =﹣2a >0,故C 错误;故选D .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.12.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc >0;②a +b +c =2;③a 12>;④b >1,其中正确的结论个数是( )A .1个B .2 个C .3 个D .4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象,可以判断各个小题中的结论是否正确,本题得以解决.【详解】由图象可得,a >0,b >0,c <0,∴abc <0,故①错误,当x =1时,y =a +b +c =2,故②正确,当x =﹣1时,y =a ﹣b +c <0,由a +b +c =2得,a +c =2﹣b ,则a ﹣b +c =(a +c )﹣b =2﹣b ﹣b <0,得b >1,故④正确, ∵12b a ->-,a >0,得122b a >>,故③正确, 故选C .【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.13.如图,已知()4,1A --,线段AB 与x 轴平行,且2AB =,抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ,若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移,设平移的时间为t (秒).若抛物线与线段AB 有公共点,则t 的取值范围是( )A .010t ≤≤B .210t ≤≤C .28t ≤≤D .210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数,得出B 点坐标,分别得出当抛物线l 经过点B 时,当抛物线l 经过点A 时,求出y 的值,进而得出t 的取值范围;【详解】解:(1)把点C (0,3)和D (3,0)的坐标代入y=-x 2+mx+n 中,得,23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3,设点B 的坐标为(-2,-1-2t ),点A 的坐标为(-4,-1-2t ),当抛物线l 经过点B 时,有y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5,当抛物线l 经过点A 时,有y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21,当抛物线l 与线段AB 总有公共点时,有-21≤-1-2t≤-5,解得:2≤t≤10.故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识,正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键.14.抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示:x… –2 –1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 …从上表可知,下列说法错误的是A .抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2,0)B .抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)C .抛物线的对称轴是直线x=0D .抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【答案】C【解析】【分析】【详解】解:当x=-2时,y=0,∴抛物线过(-2,0),∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为(-2,0),故A 正确;当x=0时,y=6,∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6),故B 正确;当x=0和x=1时,y=6,∴对称轴为x=12,故C 错误; 当x <12时,y 随x 的增大而增大, ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D 正确;故选C .15.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) A . B . C . D .【答案】C【解析】【分析】根据a 、b 的符号,针对二次函数、一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除.【详解】当a >0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A 、D 不正确;由B 、C 中二次函数的图象可知,对称轴x=-2b a>0,且a >0,则b <0, 但B 中,一次函数a >0,b >0,排除B .故选C .16.平移抛物线2:L y x =得到抛物线L ',使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上,下列的平移中,不能得到满足条件的抛物线L '的是( )A .向右平移1个单位,再向下平移2个单位B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位C .向左平移32个单位,再向下平移92个单位 D .向左平移3个单位,再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式,再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】解:由A 选项可得L '为:2(1)2y x =--,则顶点为(1,-2),顶点(1,-2)关于原点的对称点为(-1,2),当x =-1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故A 选项不符合题意;由B 选项可得L '为:2(1)2y x =+-,则顶点为(-1,-2),顶点(-1,-2)关于原点的对称点为(1,2),当x =1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故B 选项不符合题意;由C 选项可得L '为:239()22y x =+-, 则顶点为(-32,-92),顶点(-32,-92)关于原点的对称点为(32,92), 当x =32时,y =92,则对称点在该函数图像上,故C 选项不符合题意; 由D 选项可得L '为:2(3)9y x =+-,则顶点为(-3,-9),顶点(-3,-9)关于原点的对称点为(3,9),当x =3时,y =27≠9,则对称点不在该函数图像上,故D 选项符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,熟练掌握平移的规律“左加右减,上加下减”是解决本题17.如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2,其中﹣2<x 1<﹣1,0<x 2<1.下列结论:①4a ﹣2b+c <0;②2a ﹣b <0;③abc <0;④b 2+8a <4ac .其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a <0,抛物线交y 轴于正半轴,则c >0,而抛物线与x 轴的交点中,﹣2<x 1<﹣1、0<x 2<1说明抛物线的对称轴在﹣1~0之间,即x =﹣2b a >﹣1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】 由图知:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴x=﹣2b a>﹣1,且c >0; ①由图可得:当x=﹣2时,y <0,即4a ﹣2b+c <0,故①正确; ②已知x=﹣2b a>﹣1,且a <0,所以2a ﹣b <0,故②正确; ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧,则a 、b 同号,又c >0,故abc >0,所以③不正确;④由于抛物线的对称轴大于﹣1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:244ac b a >2,由于a <0,所以4ac ﹣b2<8a ,即b 2+8a >4ac ,故④正确;因此正确的结论是①②④.故选:C .【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.18.如图抛物线交轴于和点,交轴负半轴于点,且.有下列结论:①;②;③.其中,正确结论的个数是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向,对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系,即可得出结论.【详解】解:根据图象可知a>0,c<0,b>0,∴, 故③错误;∵.∴B(-c,0)∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)和B(-c,0)两点,∴, ac2-bc+c=0∴,ac-b+1=0,∴,故②正确;∴,b=ac+1∴,∴2b-c=2,故①正确;故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点.19.在平面直角坐标系中,点P 的坐标为()1,2,将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次,使其经过点P ,则平移的最短距离为( )A .12B .1C .5D .52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标,求出平移距离,即可得出选项.【详解】解:21322y x x =-+=()215322x --, 当沿水平方向平移时,纵坐标和P 的纵坐标相同,把y=2代入得:解得:x=0或6,平移的最短距离为1-0=1;当沿竖直方向平移时,横坐标和P 的横坐标相同,把x=1代入得:解得:y=12-, 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭, 即平移的最短距离是1,故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键.20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结i 论:①abc >0;②b 2﹣4ac >0;③2a+b =0;④a ﹣b+c <0.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围,根据对称轴的位置确定b 的取值范围,根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围,根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围,根据x =﹣1函数值可以判断.【详解】解:Q 抛物线开口向下,0a ∴<,Q 对称轴12b x a=-=, 0b ∴>,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,0c ∴>,0abc ∴<,故①错误;Q 抛物线与x 轴有两个交点,240b ac ∴->,故②正确;Q 对称轴12b x a=-=, 2a b ∴=-, 20a b ∴+=,故③正确;根据图象可知,当1x =-时,0y a b c =-+<,故④正确;故选:C .【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用是解题关键.。
专题12 二次函数中的销售最值问题(解析版)-备战2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题12二次函数中的销售最值问题【专题训练】一、解答题1.(2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟)某书店销售儿童书刊,一天可售出20套,每套盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元,平均每天可多售出2套,故每套书降价x元时,书店一天可获利润y元.(1)求y关于x的函数解析式(化为一般形式).(2)当每套书降价多少元时,书店可获最大利润?最大利润为多少?【答案】解:(1)设每套书降价x元时,所获利润为y元,则每天可出售(20+2x)套.由题意得:y=(40-x)(20+2x)=-2x2+80x-20x+800=-2x2+60x+800.(2)y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,∵-2<0,∵当x=15时,y取得最大值1250;即当降价15元时,该书店可获得最大利润,最大利润为1250元.【点睛】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题;解题的关键是准确列出二次函数解析式,灵活运用函数的性质解题.2.(2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟)我市某汽车销售商店销售某种型号的新能源汽车,每辆进货价为15.5万元,市场调查表明:当销售价为18万元时,平均每月能售出6辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每月能多售出2辆,如果设每辆汽车降价x 万元,这种汽车平均每月的销售利润为y 万元.(1)在保证商家不亏本的前提下,先写出x 的取值范围;再求出y 关于x 的函数关系式;(2)当每辆这种新能源汽车的定价为多少万元时,平均每月的销售利润最大?最大利润是多少?【答案】解:(1)∵每辆进货价为15.5万元,销售价为18万元,∵自变量的取值范围是:0≤x ≤2.5,y =(2.5-x )(6+0.5x ×2) =(2.5-x )(6+4x )=-4x 2+4x +15;(2)当x =()4224b a -=-⨯-=0.5(属于取值范围0≤x ≤2.5)时,y 有最大值, 即每辆这种汽车的定价为:18-0.5=17.5(万元),最大利润是y =244ac b a-=16万元. 答:每辆这种汽车的定价为17.5万元时,平均每月的销售利润最大,最大利润是16万元.【点睛】本题考查的是二次函数的应用,利用利润=销量×每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式是解题关键. 3.(2020·浙江杭州市·八年级其他模拟)某商家经销一种绿茶,已知绿茶每千克成本50元,在第一个月的试销时间内发现,销量随销售单价的变化而变化,具体变化规律如下表:(1)请根据上述关系,完成表格.(2)用含有x 的代数式表示月销售利润;并利用配方法求月销售利润最大值;(3)在第一个月里,按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于90元;且加上其他费用3000元.若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?【答案】解:(1)由题意可知,销售单价每增加5元,月销售量下降10千克,1080(8580)8010705--=-=, 1080(80)802(80)5x x --=-- 802160x =-+2240x =-+故答案为:70,2240x -+;(2)设月销售利润为y ,y =(x ﹣50)•(﹣2x +240)=﹣2x 2+340x ﹣12000,=﹣2(x 2﹣170x )﹣12000,=﹣2(x 2﹣170x +7225﹣7225)﹣12000,=﹣2(x ﹣85)2+14450﹣12000,=﹣2(x ﹣85)2+2450,故当x =85时,y 的值最大为2450;答:月销售利润为﹣2x 2+340x ﹣12000,月销售利润最大值为2450;(3)故第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回,则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即y =2250才可以,可得方程﹣2(x ﹣85)2+2450=2250,解这个方程,得x 1=75,x 2=95;根据题意,x 2=95不合题意应舍去.答:当销售单价为每千克75元时,可获得销售利润2250元,即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元.【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值以及二次函数与一元二次方程的关系等知识,注意题目中细节描述得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即y =2250进而求出是解题关键.4.(2020·浙江九年级其他模拟)某网店销售一种儿童玩具,进价为每件30元,物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%.在销售过程中发现:当销售单价为35元时,每天可售出350件,若销售单价每提高5元,则每天销售量减少50件.设销售单价为x 元(销售单价不低于35元)(1)当这种儿童玩具以每件最高价出售时,每天的销售量为多少件?(2)求这种儿童玩具每天获得的利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式;(3)当销售单价为多少元时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是多少元?【答案】解:(1)每件的最高价为30×(1+50%)=45(元),4535350505--⨯=250(件), ∵当这种儿童玩具以每件最高价出售时,每天的销售量为250件;(2)w =(x -30)(350-50·355x -)=210100021000x x -+-, ∵w 与x 的函数关系式w =210100021000x x -+-;(3)w =210100021000x x -+-;=()210504000x --+;∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50%,∵35≤x ≤45,∵a =-10<0,∵抛物线开口向下,又∵抛物线的对称轴是x =50,∵当35≤x ≤45时,w 随x 的增大而增大,∵当x =45时,w 有最大值,w 的最大值为3750,∵当销售单价为45元,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大,最大利润是3750元.【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用,明确题意找到函数关系式是解题的关键.5.(2020·浙江九年级一模)某超市在端午节来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒. (1)试求出每天的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式;(2)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元,每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P (元)最大?最大利润是多少?【答案】解:(1)设每天的销售量为y 盒,每盒售价x 元,由题意得:()7002045201600y x x =--=-+,∵销售量y 与售价x 的函数关系式为:201600y x =-+;(2)设每天销售的利润为P 元,由(1)及题意得:()()()22201600402024006400020608000P x x x x x =-+-=-+-=--+,∵200a =-<,对称轴为直线60x =,∵每盒售价不得少于45元,且每盒售价不得高于58元,∵4558x ≤≤,∵当4558x ≤≤时,y 随x 的增大而增大, ∵当x =58时,y 取最大值,即()()222060800020586080007920P x =--+=-⨯-+=(元), 答:每盒售价定为58元时,每天销售的利润P (元)最大,最大利润为7920元.【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用,熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.6.(2020·湖北黄冈市·思源实验学校九年级月考)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题12 二次函数的图象与性质
1.2018·广安抛物线y =(x -2)2
-1可以由抛物线y =x 2
平移而得到,下列平移正确的是( )
A .先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度
B .先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度
C .先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度
D .先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度
2.2018·成都关于二次函数y =2x 2
+4x -1,下列说法正确的是( ) A .图象与y 轴的交点坐标为(0,1) B .图象的对称轴在y 轴的右侧
C .当x <0时,y 的值随x 值的增大而减小
D .y 的最小值为-3
3.2018·青岛已知一次函数y =b a
x +c 的图象如图Z -12-1,则二次函数y =ax 2
+bx +c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )
图Z -12-1
图Z -12-2
4.2018·毕节已知二次函数y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象如图Z -12-3所示,下列结论:①abc >0;②2a +b >0;③b 2
-4ac >0;④a -b +c >0,其中正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
图Z -12-3
5.2018·巴中已知二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示,那么它的图象与x 轴的另一个交点的坐标是________.
6.2018·镇江已知二次函数y =x -4x +k 的图象的顶点在x 轴下方,则实数k 的取值范围是________.
7.2018·德阳已知函数y =⎩
⎪⎨⎪⎧(x -2)2
-2,(x ≤4)
(x -6)2
-2.(x >4)使y =a 成立的x 值恰好只有3
个时,则a 的值为________.
8.2018·宁波已知抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点(1,0),(0,3
2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)将抛物线y =-12x 2
+bx +c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法
及平移后的函数解析式.
详解详析
1.D 2.D 3.A 4.D 5.(3,0) 6.k <4 7.2
8.解:(1)把(1,0)和(0,32)代入y =-1
2x 2
+bx +c ,得⎩⎪⎨⎪⎧-1
2+b +c =0,c =32,
解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-1,c =32,
∴抛物线的函数解析式为y =-12x 2-x +3
2.
(2)∵y=-12x 2-x +32=-12(x +1)2
+2,
∴此抛物线的顶点坐标为(-1,2),
∴将抛物线y =-12x 2-x +3
2平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法为先向右平移
1个单位长度,再向下平移2个单位长度.(答案不唯一)
平移后的函数解析式为y =-12x 2
.。