材料力学(刘鸿文)第三章 扭转

练习1 作内力图
练习2 传动轴如图所示，主动轮A输入功率50马力，
从动轮B、C、D输出功率分别为15马力，15马力，
20马力,轴的转速为300r/min。试画出轴的扭矩图。
B
C
A
D
3、已知PA＝20KW，PB＝PC＝6KW，PD＝ 8KW，转数ｎ＝191转/分，作扭矩图
PB
PC
PA
PD
4、作扭矩图
2、求扭矩
T1 m2 0
m2
m3
1
2 m1 3 m4
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
m2
T2 9.56kN m
T3 m4 0
m2
T3 m4 6.37kN m
1
2
3
T1
m3 T2
m4
T3
3、绘制扭矩图 T 9.56 kN m max
m2
m3
m1
m4
BC段为危险截面;
mx 0
T m0
m
m
T m
x
m
T
扭矩的符号规定：
右手螺旋法则 “T”矢量离开截面为正，反之为负。
扭矩图：扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。
目
①扭矩变化规律；
的
②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
m
m
T
x
危险面 处处是危险面
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW， P4=200kW，试绘制扭矩图。
3KNm 2KNm 1KNm
2KNm
2KNm
5、轴上作用有均布力偶，轴长为L＝1.2米
M0=2KNm/m
§3–3 纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：
壁厚
t
1 10
rm
rm：为平均半径
1、观察圆筒变形
纵向线发生了倾斜；
2、观察现象
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变； 只是绕轴线作了相对转动；
T1
T1 M B 63.7( N m )
T2 M B MC 0
T2
T2 M B MC 159.2( N m )
T3 M D 0
T3 M D 159.2( N m )
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T1 63.7( N m ) T2 159.2( N m ) T3 159.2( N m )
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
1 计算外力偶矩
m1
9.55
P1 n
15.9(kN m)
n =300r/min，P1=500kW，
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
4.78 (kN m)
m4
9.55 P4 n
6.37 (kN m)
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm2t T
一、等直圆杆扭转实验
观察不变量
通过变形观察现象
1、各圆周线的大小、形状、间距 保持不变； 半径仍保持 为直线；
圆筒两端的相对扭转角为φ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
rL
a
´
c
´
b
d t
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，
切应力与切应变成线形关系；
a
´
c
´
b
d t
G
G 材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有
G
E
21
§3–4 圆轴扭转时的应力 ·强度条件
T1 4.78kN m
T2 9.56kN m T3 6.37kN m
A
B
C
T
4.78KNm 9.56KNm
D
6.37KNm
x
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
T Nm
159.2
63.7
159.2
Tmax 159.2( N m )
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7 Mn,max 318.3(N m)
159.2
AD段
318.3
因此将A、D轮的位置更换不合理。
3
(1)计算外力偶矩
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA
9.549
PA n
318.3( N m )
MB
9.549
PB n
63.7( N m )
n=300r/min
MC 95.5(N m),
M D 159 .2(N m),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1 M B 0
T
2 rm2t
rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;
二、切应力互等定理
切应力互等定理
mz 0
tdy dx tdx dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现；
且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线；
方向： 共同指向或共同背离该交线；
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， 使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶作功： W M 2 n 60
M 60P( KW )
2n( r / min)
9.549 P (KN m) n
M
60P(马 力 ) 2n( r / min)
0.7355
7.024
P ( KN n
m)
二、扭转变形横截面的内力
扭矩：构件扭转变形时，横截面上的内力偶矩； 记作T。 求扭矩的方法 ——截面法
§3–1 扭转的概念和实例 §3–2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3–3 纯剪切 §3–4 圆轴扭转时的应力 §3–5 圆轴扭转时的变形 §3–6 非圆截面杆扭转的概念
§3-1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M