复变函数与积分变换 傅里叶变换.

eik )
0
1 {[1 (1)k ] [(1)k
2 ik
1]}
0
2
i (2n 1)
(k 2n) (k 2n 1).
f (x) 2 +
1 e , i(2n1) x
i n 2n 1
二. 傅里叶积分与傅里叶变换
1. 傅里叶积分
有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周 期函数f(x) (定义域为 x + ) ,从方便于研究而言， 它又可以看作为以 为周2l 期的函数g(x)当 趋于l 无穷大 的函数。
傅里叶变换
一. 傅里叶级数 利用三角级数的周期性来展开周期函数
• 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开。
复变项级数
k (z) 1(z) 2 (z) k (z) , (1.1)
k 1
幂级数
(1.2) ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ak (z z0 )k
例 f (x) x,
(0,1)
f (x),g(x)
x
偶延拓
f (x), g(x) x
奇延拓
4. 复数形式的的傅里叶级数
,
i
e
kx
l
,,
e
i
x
l
,1,
i
e
x
l
,,
i
e
kx
l
,
i kx
i kx
cos kx
l
sin kx
l
e l
i
e
kx l
e l 2
i kx
e l
2i
+
i k x
f (x) cke l ,
l
l
(k n),
l sin kx sin nx dx 0
l
l
l
(k n),
l cos kx sin nx dx 0.
l
l
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
l
l
(1.4) (1.5)
ak
1 l
l f ( ) cos k d
(x)
a0 2
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
Hale Waihona Puke k x}.l此为傅里叶级数展开.
(1.3)
不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。
三角函数组具有正交性
因此
l 1 cos kx dx 0
l
l
(k 0),
l 1 sin kx dx 0,
l
l
l
kx
nx
cos cos dx 0
l
三角函数族：1, cosx , cos 2x ,, cos kx ,
l
l
l
sin x ,sin 2x ,,sin kx ,
l
l
l
a. 2l 周期性
cos k (x 2l) cos(kx 2lk ) cos(kx 2k ) cos kx
l
ll
l
l
同样
b. 按三角函数族展开
sin kx
l
f
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
g ( x)
a0 2
+
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
令：
k
k
l
,
k
k
k1
l
,
则
g(x) a0 l
2
+
{ak cos k x bk sin k x}k .
k 1
(2.1)
ak
1 l
l l
f ( ) cosk d ,
bk
k 1
l
,
其中
bk
1 l
l l
f ( )sin
k
l
d .
偶函数 f(x) 有
f
(x)
a0 2
+
ak
k 1
cos
k
l
x,
其中
ak
1 l
l l
f ( ) cos k d.
l
3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0, l).
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的 部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。
k 0
f (z) ln(z 1) ln(z 2) f (z) ln(z 1) ln(z2 2)
ln(z k) k 1
ln(zk k) k 1
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x 2l) f (x)
要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函 数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表 现 f(x)。这就是傅里叶级数。
f
( ) cosk d
cosk x}k
[ 1
+
f ( ) cos d ]cos xd.
0
同理，正弦部分的极限为：
l +
lim
l
k 1
1 l
l l
f ( ) sin k d sin k xk
＝[
1
+
f ( ) sin d ]sin xd.
1 l
l l
f ( ) sink d .
若lim l f ( )d 有限，则 l l
lim
l
a0
lim 1 l l
l
f ( )d 0.
l
(2.1)中的余弦部分的极限为：
l
lim
l
+ 1 {
k 1 l
l l
f ( ) cos k d cosk x}k
1
lim
k 0
+
{
k 1
l l
(2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则三角级数 (1.3) 收敛，且
f (x),
(1.3)
1 2
{
f
(x
0)
f
(x
0)}.
(在连续点x) (在间断点x)
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin kx
l
是奇函数，c
os
kx
l
是偶函数。
故 奇函数 f(x) 有
+
k x
f (x) bk sin
其中
k
ck
1 2l
l
i k
f ( )e l d.
l
例 矩形波
1 f (x) 1
(2m ,(2m 1) )
((2m 1) ,2m )
+
f (x) ck eikx ,
k
ck
1
2
f ( )eik d 1
2
0 eik d 1
2
eik d
0
1
2
(1 ik
eik )
0
1
2
(1 ik
l
l
1 l
l [ a0 l 2
n x
{an cos
n 1
l
bn sin
n x}]cos k
l
l
d
1 2l
a0
l l
cos k d
l
1 l n1
l
l an
cos n
l
x
cos
k
l
d
1 l n1
l
l bn
sin
n x
l
cos k
l
d
1 l
l
l ak
cos2
k x
l
d
1 l
l
l ak
1 [1 cos(2 k x )]d
2
l
1 l
ak
1 2
l
d
l
1 l
ak
2l 2
ak
此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足 够展开任何周期函数。
狄里克雷定理
函数和级数并不完全一样，例如幂级数就有收敛 域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一 致
若函数 f(x) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间 断点；