第七节_____旋转体的体积计算 ppt课件
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《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
旋转体的体积【创意版】.ppt
1
0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy
0
3 y 2 dy 2
5
y
.,
y=x3 1
y=x3
9
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1
x2 1 2 dx 22
2 1
0
2 x4dx
32 2 3 2
0
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
x3, y 1, x 0
绕x轴旋转一周
y=x3 x1
1
Vx
1
dx
0
1
x6dx
6
0
7
.,
y=x3
x
1
8
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴
1
绕y轴旋转一周
y
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
.,
c
x=g 5(y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
y P(h,r)
解 ：如图所示
直线OP的方程为 y r x ，
旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴。
可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴
最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
旋转体的体积
P
dy Q M
dV [PM 2 QM 2 ]dy 3 [(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 1 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线
x h及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
h R R
R2 x2dx 1 R2h. 2
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕
y轴旋转一周
绕非轴直线旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
思考题
求曲线xy 4， y 1，x 0 所围成 的图形绕y 轴旋转构成旋转体的体积.
o
y
x2 y2 R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
旋转体的体积市公开课金奖市赛课一等奖课件
例 1 求椭圆 x 2 y 2 1 a2 b2
分别绕x轴与y轴旋转产生
b y y b a2 x2 a
旋转体体积。 解: 椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
旋转体体积:
Vx 2
a 0
y2dx 2
a b 2 (a 2 x 2 )dx 0 a2
2 b 2 (a 2 x x 3 ) a 4 ab 2 。
体积为
O a x1
xi1 xi
xn b x
V lim n S(xi)xi b S(x)dx。
0 i1
a
第14页
二、平行截面面积为已知立体体积
假如一个立体不是旋转体, 但却知道该立体 上垂直于一定轴各个截面面积, 那么, 这个立体 体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于 x 轴
y2
2 a 3
2
x3
3
a
x [a, a]
o
ax
旋转体的体积
V
aa
a
2 3
2
x3
3
dx
32 105
a3 .
第8页
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围
成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
讨论：
Oa
旋转体体积如何求？
答案:
V b [f(x)]2dx b [f(x)]2dx。
a
a
yf (x) bx
第3页
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
处理复杂边界时可能遇到困难
对于具有复杂边界的旋转体，柱壳法可能需要更精细的柱壳划分， 增加了计算的复杂度和工作量。
对计算机性能要求较高
由于柱壳法需要进行大量的数值积分和数据处理，因此对计算机的 性能要求较高，特别是内存和处理器性能。
适用场合分析
适用于各种旋转体的体积计算
柱壳法适用于各种旋转体的体积计算，如球体、圆柱体、圆锥体等。
积，最后求和得到整个旋转体的体积。
柱壳法适用于各种形状的旋转体，如圆环、圆筒、球 等，具有广泛的适用性。
掌握柱壳法对于解决实际问题、提高数学建模能力以 及理解物理现象等方面都具有重要意义。
课程目标
01
掌握柱壳法的原理和计算步骤。
02 能够运用柱壳法计算不同形状旋转体的体 积。
03
理解柱壳法在解决实际问题中的应用，提 高数学建模能力。
微分方程求解
在一些偏微分方程的求解中，柱壳法可以作为一种数值方法，用于近似求解方程的解。
几何形状的体积和表面积计算
柱壳法可以用于计算一些复杂几何形状的体积和表面积，如旋转抛物面、旋转双曲面等 。
在工程领域的应用
机械设计
在机械设计中，柱壳法可以用于分ห้องสมุดไป่ตู้旋转机械的 动态特性和稳定性，如旋转轴、轴承和齿轮等。
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
目录 CONTENTS
• 引言 • “柱壳法”基本原理 • “柱壳法”应用实例 • “柱壳法”与其他方法的比较 • “柱壳法”的优缺点分析 • “柱壳法”的扩展应用
01
引言
主题介绍
柱壳法是一种计算旋转体体积的有效方法，通过将旋 转体分割成一系列柱壳，然后分别计算每个柱壳的体
流体动力学分析
在流体动力学中，柱壳法可以用 于分析流体在旋转体中的流动情 况，如离心泵和涡轮机的性能分 析。
对于具有复杂边界的旋转体，柱壳法可能需要更精细的柱壳划分， 增加了计算的复杂度和工作量。
对计算机性能要求较高
由于柱壳法需要进行大量的数值积分和数据处理，因此对计算机的 性能要求较高，特别是内存和处理器性能。
适用场合分析
适用于各种旋转体的体积计算
柱壳法适用于各种旋转体的体积计算，如球体、圆柱体、圆锥体等。
积，最后求和得到整个旋转体的体积。
柱壳法适用于各种形状的旋转体，如圆环、圆筒、球 等，具有广泛的适用性。
掌握柱壳法对于解决实际问题、提高数学建模能力以 及理解物理现象等方面都具有重要意义。
课程目标
01
掌握柱壳法的原理和计算步骤。
02 能够运用柱壳法计算不同形状旋转体的体 积。
03
理解柱壳法在解决实际问题中的应用，提 高数学建模能力。
微分方程求解
在一些偏微分方程的求解中，柱壳法可以作为一种数值方法，用于近似求解方程的解。
几何形状的体积和表面积计算
柱壳法可以用于计算一些复杂几何形状的体积和表面积，如旋转抛物面、旋转双曲面等 。
在工程领域的应用
机械设计
在机械设计中，柱壳法可以用于分ห้องสมุดไป่ตู้旋转机械的 动态特性和稳定性，如旋转轴、轴承和齿轮等。
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
目录 CONTENTS
• 引言 • “柱壳法”基本原理 • “柱壳法”应用实例 • “柱壳法”与其他方法的比较 • “柱壳法”的优缺点分析 • “柱壳法”的扩展应用
01
引言
主题介绍
柱壳法是一种计算旋转体体积的有效方法，通过将旋 转体分割成一系列柱壳，然后分别计算每个柱壳的体
流体动力学分析
在流体动力学中，柱壳法可以用 于分析流体在旋转体中的流动情 况，如离心泵和涡轮机的性能分 析。
旋转体的体积
五、求 x 2 y 2 a 2 绕 x b ( b a 0) 旋转所成旋转 体的体积 .
六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴 长分别为 2 A , 2B 和2a , 2b ,高为 h ，求这截锥体 的体积 .
七、设直线 y ax b与直线x 0 ，x 1 及y 0 所围 成梯形面积等于A ，试求a , b 使这个梯形 绕 y 轴 旋转所得体积最小 .
a
a
y 2dx
a a
b2 a2
(a 2x 2)dx
O
b2 a2
[a
2x
1 3
x
3
]aa
4 3
a
b
2．
ax
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
a3 .
例3
计算由椭圆 x2 a2
y2 b2
1
所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 a
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．
体积元素为 dV y 2dx ，
微积分_旋转体体积共68页
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
微积分_ 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
微积分_ 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
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2
2
立体体积
V
RRA(x)dx12
R(R2x2)ta ndx
R
2020/10/28
2 R3 tan.
10
3
小结
V b[f(x)]2dx by2dx
a
a
y
d
y
yf(x)
x(y)
c
o
x xdx
x
o
x
V d [(y)]2dy d x2dy
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
2020/10/28
1
Vy
(
0
4y)2dy
1
4 ydy
0
4
y2 2
1
2
0
2020/10/28
6
222
例4 求星形线 x3y3a3(a0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
222
解 y3a3x3,
y2
2 a3
2
x3
3
x[a,a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V a[f(x)2]dx
aa32
2
x3
3dx
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
2020/10/28
13
4a2b.
3
2020/10/28
12
练习
求摆线
xa(t sint) y a(1cost)
的一拱与
y
= 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
Vx
2ay2dx
0
o
2 a 2 (1 cto )2 d [s a (t sti)n ] 0
2a x
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
环体体积为 V aa(x12x22)dy
a[b ( a 2 y 2)2 (b a 2 y 2)2 ]dy a
4b a a2y2dy8b a a2y2dy2a2b2
a
0
2020/10/28
8
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间，
第七节 旋转体的体积计算
• 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积.
教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
2020/10/28
1
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
2020/10/28
圆锥
圆台
2
精品资料
旋转体的体积为 V b[f(x)]2dx by2dx
a
a
2020/10/28
4
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x)2dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
2020/10/28
体积微元d为VA(x)dx , 从而 2020/10/28
b
V A(x)dx. a
9
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2y2R2
x
截面面积 A(x) 1 y ytan 1(R2x2)tan
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
yf(x)
x[a,b]
在[a, b]上任取小区
o
间[ x, x dx]，
x xdx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [f(x)2 ]dx
32 a3.
a
a
105
2020/10/28
7
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 xx1(y)ba2y2
b
左半圆弧方程为 xx2(y)ba2y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
d V [x 1 (y )2 d ] y[x 2 (y )2 d ]y [x1 2(y)x2 2(y)d ] y
用垂直于 x 轴的任一平面截
A(x)
此立体所得的截面积 A(x)
是 x 的已知函数，
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间
[x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
5
例2. 求由曲线 x2 4y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
122 2(x2)2dx 04
2
16
2 0
x4dy
2
16
x5 5
2
o
8 5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
11
练习
求
由
椭 x2 a2
圆by22
1,绕x轴
旋
转
所
成
旋积转 .
体
解 上 半 椭 圆 的y方 2 ab程 22(a为 2x： 2)
由 公 式 V知 a： y2dx a
a a
ab22(a2
x2)
4 ab 2 .
3
同理得椭圆y轴 绕旋转所成的旋转体的
体积为 V
b b
a2 b2
(b2
y2)dy