功能梯度双材料复合悬臂梁受集中剪力作用的弹性力学解

合集下载

工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法

工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法悬臂梁是工程力学中常见的结构形式，它广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。

在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题至关重要。

本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并介绍相应的计算方法。

首先，我们来讨论悬臂梁的受力情况。

悬臂梁在受力时主要承受弯矩和剪力。

弯矩是悬臂梁上各点受力引起的弯曲效应，它使悬臂梁产生弯曲变形。

剪力则是悬臂梁上各点受力引起的剪切效应，它使悬臂梁产生剪切变形。

在实际工程中，我们需要计算和分析悬臂梁上各点的弯矩和剪力分布，以确保悬臂梁的安全性和稳定性。

悬臂梁的弯矩和剪力分布可以通过力学原理和结构力学知识进行计算。

在计算弯矩时，我们可以利用悬臂梁的受力平衡条件和弹性力学理论，根据悬臂梁上各点的受力情况和几何特征，推导出弯矩的计算公式。

而剪力的计算则需要考虑悬臂梁上各点的剪力平衡条件和结构特性，通过应力分析和静力平衡原理，得出剪力的计算公式。

除了计算弯矩和剪力分布，我们还需要了解悬臂梁的弯曲变形问题。

悬臂梁在受力时会发生弯曲变形，这对于悬臂梁的设计和施工具有重要影响。

弯曲变形可以通过弹性力学理论进行分析和计算。

我们可以利用悬臂梁的几何特征、材料性质和受力情况，推导出弯曲变形的计算公式。

通过计算弯曲变形，我们可以评估悬臂梁的变形程度，以及对结构的影响。

在实际工程中，为了更准确地计算悬臂梁的受力和弯曲变形，我们通常会借助计算机软件进行数值模拟和分析。

数值模拟可以更精确地模拟悬臂梁的受力和变形情况，提供更准确的计算结果。

同时，数值模拟还可以帮助工程师优化悬臂梁的设计方案，提高结构的安全性和稳定性。

总结起来，工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题是一个重要的研究领域。

通过分析悬臂梁的受力情况和弯曲变形问题，我们可以了解悬臂梁的力学特性，为悬臂梁的设计和施工提供依据。

同时，借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以更准确地计算悬臂梁的受力和变形情况，提高工程的安全性和稳定性。

功能梯度材料悬臂梁受复杂载荷作用的分层剪切理论

同的子层。里的子层可以由 Ⅳ 个弹性性质相近的这单层组成［。据热弹性力学理论，３根］可将复杂的机械载荷与当量热载合成为分布横向载荷ｇ（，个层）整
梁承受分布横向载荷ｇ（、向剪力７、部轴向ｚ）横１端力Ｎ和力矩Ｍ的作用，图１图２所示。如、假设用良，Ｅ，别表示第子层的宽度、ｈ，Ｇ分
材料为非均质性，材料弹性系数随梯度变化，应用边界条件，层间连续条件，得出了梁结构的变形与应力。结果表明，存在优化的梯度因子使得悬臂梁具有最佳的承载能力，载荷分布对结构应力场温度场有较大的影响。关键词：复杂载荷；非均质；功能梯度；分层剪切
维普资讯
第２３卷第４期
２００２年７月
字航学报
ＪｕｎｌｆＡｓｒｎｕｉｓｏｒａｔｏａｔｃｏ
ＶＯ１２３．ＮＯ．４
Ｊｌ０２ｕｙ２０
功能梯度材料悬臂梁受复杂载荷作用的分层剪切理论
随着工程领域新材料、结构的不断发展，新陶瓷／属功能梯度材料（ｕｃｉｎｌａｉｎｔｒ— 金ＦｎｔａｌＧｒｄｅｔＭａｅｉｏｙａｓ以下简称Ｆｌ，ＧＭ）汽车工程、航工程、物工在宇生

梯度功能材料层梁受机械／热载作用的结构特性分析

ｅ【ａｒｌｃｎｌｅｈａｄｂｌｍｔｉｓａｔｅｒｏｒｙＴｅａｉｖ
ＦＭａｌｅｅｍｄｌＦＭｓａｉＧｌＴｄｂａｍｏｅＧｉｎｓｍｉ【￣ｍｐＩｉａｍｅａｌｔｅｍａｅｉｌｒｐｒｅ【ｄｐｎｉｔｅｇａｊ玎ｙｔｓ￣ｕｄｔｔａｌｈｔｒｏｅｔｓ０ｈａｐｉｅｅｄＯｌｈｄｅｔｄＴｃ［ｔＬｅｄｓｏｔｎｓｅｓｉｏｔｉｅｒｕｉｔｄｃｎｅｂｔａｙａｄｌｍｉａｅｉｔａｅｃｎｉｕｕｏｃ — ｉｍｓｎｉｒｏｔｓｓｂａｎｄｔ￣ｎｒｕｉｇｔｅｍｄｒｎａｎｔｅｃ．ｏｔｏｓｃｎｅｔｉｒｈｏｈｎｒｆｎｈｔｒｉｓＩｅ
收穑日期：２０．－８０１１２０作者简介：李永［】）男，南洛阳＾．士，１０㈣清华大学汽车安全与节能国家重点实验室－事梯度功能材料热应力分析等｛，河博（００从张志民［斗）男．授．１９，教博士生导师，１嗍）京航空航天＾学复台材料力学研究所，事复台材料结掏力学＆梯度功能（０北从材料结构分析
中图分类号：４４１ｗ１９文献标识码：文章编号：０６３１（０２０—０００Ｖ１；４１Ａ１０ — ９２０｝１２－７９０
ＦｕｃｉｎｌａｉｎａｅｉｌｍｉｔｄＢｅｍｔｕｔｒｎｔｏａｌＧｒｄｅｔＭｔｒａｓＬａｎｅａＳｒｃｕｅｙ

悬臂梁的受力分析与结构优化

悬臂梁的受力分析与结构优化悬臂梁是一种常见的结构，由于其特殊的支持方式，受力分析和结构优化对于设计师来说是非常重要和关键的。

本文将详细介绍悬臂梁的受力分析和结构优化。

首先，我们需要了解悬臂梁的基本结构和受力情况。

悬臂梁由一个固定支座和一个悬挑段组成，其中，固定支座是悬挑段的唯一支撑点。

常见的悬臂梁结构包括悬臂梁、悬臂梁连接梁柱和榀架等。

悬臂梁的受力分析可以通过静力学的原理来进行。

在进行悬臂梁的受力分析时，可以采用以下步骤：1.确定受力类型：首先需要确定悬臂梁所受的外力类型，包括集中力、均布力以及倾覆力。

根据具体情况，可以分析受力的大小、方向和作用点位置。

2.绘制受力图：针对所确定的受力情况，绘制受力图可以帮助我们更加直观地了解悬臂梁的受力情况。

受力图包括受力箭头和标注力的大小、方向和作用点位置。

3.计算受力大小：利用受力图，可以通过应力平衡原理计算出悬臂梁各个部分的受力大小。

利用平衡方程，可以计算出悬臂梁在不同位置的剪力、弯矩和轴力。

4.分析受力状况：通过计算出的受力大小，可以分析悬臂梁的受力状况。

在分析过程中，需要注意各个受力点的正负号，以及受力的分布情况。

在进行悬臂梁的结构优化时，可以采用以下方法：1.材料选型：选择适当的材料是悬臂梁结构优化的重要因素之一、优先选择具有较高的强度和刚度的材料，以减小悬臂梁的自重；同时还要考虑材料的成本和可获得性。

2.梁型设计：根据实际需求，选择合适的梁型可以优化悬臂梁的结构。

常见的梁型包括矩形梁、圆形梁、槽式梁等，每种梁型具有不同的性能和应用范围。

3.截面设计：选择合适的悬臂梁截面形状和尺寸可以优化悬臂梁的结构性能。

通过计算悬臂梁的受力情况，可以确定截面的强度和刚度需求，然后选择合适的截面形状和尺寸。

4.强度验证：在进行结构优化后，需要进行强度验证。

通过对悬臂梁进行负荷测试或使用有限元分析方法，可以验证悬臂梁是否满足强度和刚度的要求。

如果不满足要求，需要对结构进行调整和优化。

悬臂梁受力分析

悬臂梁受力分析悬臂梁是一种常见的结构，其在工程领域中被广泛应用于各种场景中。

悬臂梁通常由一根横梁支撑在一侧固定点上，另一侧悬挂自由。

在这个题目中，我们需要对悬臂梁的受力进行分析。

通过对悬臂梁的受力分析，我们可以更好地了解悬臂梁的力学特性，从而为工程设计提供指导。

悬臂梁受力分析的过程中，需要考虑以下几个方面：均布载荷、集中载荷、弯矩和剪力。

首先，均布载荷是指沿悬臂梁长度均匀分布的外力。

均布载荷会导致悬臂梁产生弯矩和剪力。

弯矩是指沿悬臂梁截面产生的转矩，会引起梁的弯曲变形。

剪力是指悬臂梁截面上的内力，会引起梁切割时的剪切应力。

接下来，集中载荷是指作用在悬臂梁上的一个点载荷。

集中载荷也会导致悬臂梁产生弯矩和剪力，但其分布方式与均布载荷不同。

集中载荷通常是通过点载和反力作用于悬臂梁上，需要分析这些点载和反力之间的平衡关系。

悬臂梁受力分析中，需要确定各个部位的受力分布。

这可以通过应用梁的静力平衡原理和弹性力学理论来实现。

通过对悬臂梁进行等效力的划分和计算，可以得到悬臂梁上各个截面的受力状态。

在这个过程中，需要根据力的平衡条件，确定力的大小和方向。

在悬臂梁受力分析中，需要注意以下几个问题。

首先，弯矩和剪力的计算需要考虑悬臂梁的几何形状和材料特性。

其次，边界条件对悬臂梁的受力分布有重要影响。

边界条件包括支撑方式、固定约束和自由悬挂等。

最后，悬臂梁的载荷和受力分布需要满足梁的强度和刚度要求，从而保证悬臂梁能够承受设计要求。

悬臂梁受力分析可以应用于许多领域，如建筑结构、桥梁工程和机械设计等。

通过对悬臂梁的受力分析，可以确定悬臂梁的设计方案，并进行结构安全评估。

悬臂梁受力分析对于确保结构的安全性和稳定性具有重要意义。

总之，悬臂梁受力分析是一项重要的工程技术，可以帮助我们理解悬臂梁的受力特性。

通过合理的受力分析，可以为工程设计和结构优化提供科学依据。

悬臂梁受力分析需要考虑各种力的平衡关系和边界条件。

掌握悬臂梁受力分析的方法和技巧，对于工程师和设计师而言是至关重要的。

用Timoshenko修正理论研究有梯度界面层双材料梁的振动特性

用Timoshenko修正理论研究有梯度界面层双材料梁的振动特性吴晓;罗佑新;黄翀;杨立军【摘要】采用Timoshenko梁修正理论研究了有梯度界面层双材料梁的振动问题,利用静力方程确定了有梯度界面层双材料梁的中性轴位置,在此基础上应用Timoshenko梁修正理论建立了有梯度界面层双材料梁的振动方程,求得其自振频率表达式及其在简谐荷载作用下强迫振动的解析解.讨论分析了梯度界面层高度等因素对有梯度界面层双材料梁的振动影响,并用有限元法验证了Timoshenko梁修正理论.通过实例计算,得到了梯度界面层高度等因素对有梯度界面层双材料梁振动特性有较大影响的结论.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2013(011)004【总页数】6页(P369-374)【关键词】Timoshenko梁;梯度界面层;中性轴;振动【作者】吴晓;罗佑新;黄翀;杨立军【作者单位】湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000【正文语种】中文功能梯度材料是基于一种全新的材料设计概念合成的新型复合材料［1－11］，日本科学家于二十世纪八十年代末年提出了功能梯度材料的概念以来，在航空航天、材料、汽车、电子等领域得到了越来越广泛的应用．功能梯度材料根据具体的要求，选择使用两种不同性能的材料，通过连续平滑地改变两种材料的组织和结构，使其结合部位的界面消失，从而得到功能相应于组织变化而变化的均质材料，最终减小或消除结合部位的性能不匹配因素．现工程实际中又出现了以功能梯度材料为夹芯的有梯度界面层的夹芯板梁结构，即在涂层和基层之间增加一层功能梯度材料粘结层以降低热应力和层间应力、提高抗冲击能力［12］．基于上述原因，本文研究了弹性模量沿梁高呈线性变化的梯度界面层各向同性双材料梁的振动问题，并讨论分析了有关因素对有梯度界面层双材料梁振动特性的影响．有梯度界面层双材料梁的模型如图1所示，上下层分别为不同的均质材料，中间界面层为功能梯度材料．上层的弹性模量、密度分别为E1、ρ1，中间界面层的弹性模量、密度分别为 E2(z)、ρ2(z)，下层的弹性模量、密度分别为E3、ρ3．假设坐标原点建立在有梯度界面层双材料梁的中性轴上，中间层功能梯度材料的弹性模量、剪切模量、密度取任意函数的麦克劳林级数展开项中的0次和1次项，即:根据Timoshenko梁修正理论假设φ为梁截面弯曲转角，y为梁的挠度，可知有梯度界面层双材料梁的应力表达式为:有梯度界面层双材料梁弯曲时横截面内力应满足下式式中z0为梁中性轴与下层底边之间的距离．把式(1)、式(2)代入式(3)中可以得到利用式(2)可得有梯度界面层双材料梁的弯矩、剪力表达式为式中，k为剪切因子，对于图1所示在横向动荷载作用下的有梯度界面层双材料梁，参阅文献［13－17］可知采用Timoshenko梁修正理论得到振动微分方程为把式(5)、式(6)代入式(7)中可以得到把式(8)解耦后可得修正Timoshenko梁振动方程为令有梯度界面层双材料梁的自由振动位移及外载荷分别为把式(10)代入式(9)中可以得到由式(11)可以求得有梯度界面层双材料梁振型函数为以简支梁为例，可知有梯度界面层双材料梁的边界条件为利用式(12)、式(13)可以求得有梯度界面层双材料梁的自振频率为所以，有梯度界面层双材料梁的振动位移为为了研究有梯度界面层双材料梁的强迫振动，可令式(9)解为:假设式(11)在简支梁的边界条件下，对应于ωi和ωj的两个振型函数为 Yi(x)和Yj(x)，把式(16)代入式(11)中，于是有将式(17)乘以 Yj(x)、式(18)乘以 Yi(x)，然后把所得的两个乘式相减，再沿梁全长积分，注意在积分式中代入铰支座边界条件，即得所需要的正交性方程式l把式(16)及简支梁振型函数代入式(9)中并应用式(19)可以得到假设分布荷载q(x，t)在时间上与空间上可分离，可令把式(21)代入式(20)中积分可得设功能梯度材料梁的初始条件为由式(23)可以确定若作用在梁上的外扰力为沿梁长为均匀分布的简谐干扰力，利用式(22)可以求得若在简支梁x=l0处作用有一简谐干扰力P0sinΩt，则有 q(x，t)=P0δ(x －l0)sinΩt，利用式(22)可以得到为了分析有简支有梯度界面层双材料梁的动力特性，取梁长对该梁按式(14)进行理论计算，同时采用有限元软件ANASYS进行数值计算．在有限元数值计算中，为了模拟弹性模量沿高度线性变化的中间梯度层，将其均匀划为10层，每层看作是均质的，材料的弹性模量取每层的中间值．计算结果如表1所示．在图2～图3中假设初始条件Ti(0)、Ti(0)皆等于零时，采用 y(x，t)=及式(25)、式(26)进行计算得到有梯度界面层双材料梁中点处的动力曲线．由表1可以知道:采用Timoshenko梁修正理论计算的有梯度界面层双材料梁固有频率与有限元法计算的有梯度界面层双材料梁固有频率非常接近，且随着固有频率阶数的的增加，Timoshenko梁修正理论计算结果与有限元法计算结果的误差也在增大，但是都没超过工程所允许的误差．这说明采用Timoshenko梁修正理论计算有梯度界面层双材料梁的固有频率还是比较合理的．对表1进行分析可以看出，随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁的固有频率将减小;这说明中间梯度层的高度增加将使有梯度界面层双材料梁的刚度降低．而且中间梯度层的高度变化对梁固有频率增减的影响还是较大的，尤其是对有梯度界面层双材料梁低阶固有频率的影响是非常明显的．对图2、图3还可知道，随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁在外激励载荷作用下，梁中点动力响应曲线的振幅将增大．原因是中间梯度层的高度增加将使有梯度界面层双材料梁的刚度降低，这样就导致了梁中点动力响应曲线的振幅的增大．集中载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅要大于均布载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅．由以上分析可以得到以下结论:1)采用Timoshenko梁修正理论计算梁的固有频率是比较合理的．2)随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁的固有频率将减小，有梯度界面层双材料梁在外激励载荷作用下梁中点动力响应曲线的振幅将增大．3)集中载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅要大于均布载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅．2012－06－26 收到第 1 稿，2012－12－27 收到修改稿．【相关文献】1 吴晓，黄翀，杨立军，等．功能梯度材料圆板的非线性热振动及屈曲．动力学与控制学报，2012，10(1):52～57(Wu X，Huang C，Yang L J，et al．Nonlinear thermal vibration and buckling of functionally graded circular plate．Journal of Dynamics and control，2012，10(1):52 ～ 5 7(in Chinese))2 Zhong Z，Yu T．Vibration of a simply supported functionally graded piezoelectric rectangular plate．Smart Materials and Structures，2006，15:1404～14123 Zhong Z，Shang E T．Three－dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate．International Journal of Solids and Structures，2003，40(20):5335～53524 尚尔涛，仲政．功能梯度热释电材料平板柱形弯曲问题的精确解．应用力学学报，2003，20(4):122～125(Shang E T，Zhou Z．Exact solutions for functionally graded piezothermoelectric plates in cylindrical bending．Chinese Journal of Applied Mechanics，2003，20(4):122 ～125(in Chinese))5 Chen W Q，Ding H J．On free vibration of a functionally graded piezoelectric plates．Acta Mechanica，2002，153 ～2076 Wu X H，Chen C Q，Shen Y P，et al．A high order theory for functionally graded piezoelectric shells．International Journal of Solids and Structures，2002，39(20):5325 ～53447 王铁军，马连生，石朝锋．功能梯度中厚圆/环板轴对称弯曲问题的解析解．力学学报，2004，36(3):348～353(Wang T J，Ma L S，Shi Z F．Analytical solutions for axisymmetric bending of functionally graded circular/annular plates．Acta Mechanica Sinica，2004，36(3):348 ～353(in Chinese))8 马连生，赵永刚，杨静宁．功能梯度圆板的轴对称非线性分析－大挠度问题．兰州理工大学学报，2004，30(6):139 ～ 142(Ma L S，Zhao Y G，Yang J N．Axisymmmtric nonlinear analysis of functionally graded circular plate:large deflection bending problem．JournalofLanzhou University of Technology，2004，30(6):139 ～142(in Chinese))9 马连生，赵永刚，杨静宁．径向压力作用下功能梯度圆板的过屈曲．兰州理工大学学报，2006，32(4)::158～161(Ma L S，Zhao Y G，Yang J N．Post～buckling of a functionally graded circular plate subjected to radial compression．Journal of Lanzhou University of Technology，2006，32(4):158～161(in Chinese))10 沈惠申．功能梯度复合材料板壳结构的弯曲、屈曲和振动．力学进展，2004，34(1):53～60(Shen H S．Bending，buckling and vibration of functionally graded plates andshells ．Advances In Mechanics，2004，34(1):53～60(in Chinese))11 刘进，武兰河，张晓炜．功能梯度材料板的弯曲问题．石家庄铁道学院学报，2003，16(2):1～5(Liu J，Wu L H，Zhang X W．On bending of functionally graded rectangular plates．Journal of Shijiazhuang Railway Institute，2003，16(2):1～5(in Chinese))12 王美芹，刘一华．具有梯度界面层的双材料悬臂梁解析解．应用力学学报，2010，27(2):232～238(Wang M Q，Liu Y H．Analytical solution for bi～material cantilever beam with graded interface layer．Chinese Journal of Applied Mechanics，2010，27(2):232 ～238(in Chinese))13 陈镕，郑海涛，薛松涛等．无约束Timoshenko梁横向冲击响应分析．应用力学和数学，2004，25(11):1195～1201(Chen R，Zheng H T，Xue S T，et al．Analysis on transverse Impact response of an unrestrained Timoshenko beam．Applied Mathematics and Mechanics，2004，25(11):1195～1201(in Chinese))14 陈镕，万春风，薛松涛等．Timoshenko梁运动方程的修正及其影响．同济大学学报(自然科学版)，2005，33(6):711～715(Chen R，Zheng H T，Xue S T，et al．Modification of motion equation of Timoshenko beam and Its effect．Journal of Tongji University，2005，33(6):711 ～715(in Chinese))15 陈镕，万春风，薛松涛等．无约束修正Timoshenko梁的冲击问题．力学学报，2006，38(2):262～268(Chen R，Zheng H T，Xue S T，et al．Impact response of an unrestrained modified Timoshenko beam．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(2):262 ～268(in Chinese))16 吴晓，罗佑新．用Timoshenko梁修正理论研究功能梯度材料梁的动力响应．振动与冲击，2011，30(10):245～248(Wu X，Luo Y X．Dynamic responses of a beam with functionally graded materials with Timoshenko beam correction theory．Journal of Vibration and Shock ，2011，30(10):245～248(in Chinese))17 李清禄，李世荣．功能梯度材料梁在后屈曲构形附近的自由振动．振动与冲击，2011，30(9):76 ～78，135(Li Q L，Li S R．Free vibration of FGM Euler beam with post－buckling configuration subjected to axial force．Journal of Vibration and Shock ，2011，30(9):76 ～78，135(in Chinese))*The project supported by the construct program of the key discipline in Hunanprovince(Mechanical Design and Theory)and the Natural Science Foundation of Hunan Education Committee(11A081)† Corresponding author E－mail:wx2005220@163．com。

双材料层合梁弯曲正应力的弹性解与试验分析

Vol.60No.3工程与试验ENGINEERING&TEST Sep.2020双材料层合梁弯曲正应力的弹性解与试验分析李苗苗1,吴晓2(1.常德职业技术学院土建系，湖南常德415000；2.湖南文理学院机械工程学院，湖南常德415000)摘要:利用双材料层合梁弯曲时的轴向静力平衡方程，确定了双材料层合梁弯曲时中性层的位置，采用弹性力学方法推导出了双材料层合梁拉伸区及压缩区弯曲正应力的表达式。

通过层合梁的弯曲应力试验，验证了弹性力学方法给出的双材料层合梁弯曲正应力计算公式的正确性。

通过试验及理论计算可知：弹性力学方法计算结果、材料力学方法计算结果与试验结果基本吻合；弹性力学方法给出的层合梁弯曲正应力公式考虑了剪切变形对层合梁弯曲正应力的影响，所以弹性力学方法对测试点的计算结果大部分优于材料力学方法对测试点的计算结果。

讨论分析表明，弹性力学方法推导出的双材料层合梁弯曲正应力公式计算结果与试验结果较为接近，可以在实际工程中推广应用。

关键词:双材料;层合梁；弯曲；正应力；试验;弹性力学中图分类号：0343文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1674-3407.2020.03.002Flexible Solution and Experimental Analysis onBending Normal Stress in Bi-material Laminated BeamLi Miaomiao1,Wu Xiao2(1.Department of Civil Architecture,Changde Vocational Technical College,Changde415000,Hunan,China；2.College of Mechanical Engineering,Hunan University of Arts and Science,Changde415000,Hunan,China)Abstract：Using the axial static equilibrium equation,the location of the neutral layer of the bending bi-material laminated beam is determined.Based on the elastic mechanics method,the calculation formulas of the bending normal stress on the stretching zone and the compression zone in the bi-material laminated beam are obtained.After the bending stress experiment on the laminated beam,it is verified that the calculation formula of the bending normal stress in the bi-material laminated beam by the elastic mechanics method is correct.The experiment and theoretical calculation show that the calculation results by the elastic mechanics and the material mechanics are basically consistent with the experimental results.Because the elastic mechanics takes into account the influence of the shear deformation on the bending normal stress of the laminated beam,the calculation results on the test points are better than most of the material mechanics.The analysis shows that the calculation results of the bending normal stress in the bi-material laminated beam by the elastic mechanics method are closer to the experimental values,so this method can be extended in practical engineering.Keywords:bi-material；laminated beam；bending；normal stress；experiment；elastic mechanics1引言在土木、机械等实际工程中，许多钢结构、混凝土承载构件都是螺栓连接的层合梁或高强粘合剂粘合的层合梁。

工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结和应用

工程力学中的悬臂梁受力和弯曲变形问题的分析与计算方法总结和应用悬臂梁是工程力学中常见的结构，广泛应用于桥梁、楼房等建筑物中。

在设计和施工过程中，了解悬臂梁的受力和弯曲变形问题是非常重要的。

本文将对悬臂梁的受力和弯曲变形进行分析，并总结计算方法的应用。

首先，我们来看悬臂梁的受力问题。

悬臂梁在受到外力作用时，会产生弯矩和剪力。

弯矩是指梁上各截面的内力矩，剪力则是指梁上各截面的内力。

悬臂梁的受力分析可以通过力的平衡条件和应力应变关系来进行。

在计算弯矩时，可以采用弯矩图的方法。

首先，根据悬臂梁的几何形状和受力情况，确定悬臂梁上各截面的受力状态。

然后，根据悬臂梁的几何形状和受力情况，绘制出悬臂梁的弯矩图。

弯矩图可以直观地反映出悬臂梁上各截面的弯矩大小和分布情况。

通过弯矩图，可以计算出悬臂梁上任意一点的弯矩值。

在计算剪力时，可以采用剪力图的方法。

剪力图是指悬臂梁上各截面的剪力大小和分布情况。

通过剪力图，可以计算出悬臂梁上任意一点的剪力值。

剪力图的绘制方法与弯矩图类似，只需要将受力状态和几何形状绘制在图上即可。

其次，我们来看悬臂梁的弯曲变形问题。

悬臂梁在受到外力作用时，会发生弯曲变形。

弯曲变形是指悬臂梁在受力作用下，横截面发生的变形。

悬臂梁的弯曲变形可以通过应力应变关系和位移分析来进行。

在计算弯曲变形时，可以采用弹性力学理论中的梁的弯曲理论。

根据梁的弯曲理论，可以得到悬臂梁上各截面的弯曲曲率和弯曲角。

通过弯曲曲率和弯曲角，可以计算出悬臂梁上任意一点的位移值。

位移值可以用来评估悬臂梁在受力作用下的变形情况。

除了受力和弯曲变形问题的分析，我们还可以应用计算方法来解决实际工程问题。

例如，在桥梁设计中，我们可以通过计算方法来确定悬臂梁的截面尺寸和材料选择。

在楼房设计中，我们可以通过计算方法来评估悬臂梁的受力和变形情况，从而确定合适的结构方案。

总之，悬臂梁的受力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。

通过分析和计算方法的应用，我们可以更好地理解悬臂梁的受力和变形规律，为实际工程问题的解决提供理论依据和技术支持。

功能梯度双层悬臂梁的有限元建模分析

ｌｉｎｅａｒｅｌｅｍｅｎｔｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｆｏｒｍｅｒｃｏｕｌｄｅｌｉｍｉｎａｔｅｔｈｅｓｈｅａｒｓｅｌｆ — ｌｏｃｋｉｎｇｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ；ａｓｔｏｔｈｅ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｐｅｆｒｅｃｔ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄｉｎｔｅｒｆａｃｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆａｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｉ－ｌａｙｅｒｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｂｅａｍ，ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｉｎｆｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔ．ｔｈｅｅｉｇｈｔ — ｎｏｄｅｓｅｃｏｎｄ — ｏｒｄｅｒｅｌｅｍｅｎｔｉｓｍｏｒｅｐｒｅｃｉｓｅｔｈａｎｔｈｅｆｏｕｒ．ｎｏｄｅ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｔｏｎ￣ｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００９２，Ｃｈｉｎａ）

大学课程考试《弹性力学》作业考核试题

大学课程考试《弹性力学》作业考核试题试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分)1.应力函数必须是（）A.多项式函数B.三角函数C.重调和函数D.二元函数正确答案 :C2.在平面应力问题中（取中面作xy平面）则（）A.σz=0，w=0B.σz≠0，w≠0C.σz=0，w≠0D.σz≠0，w=0正确答案 :C3.弹性力学研究（）由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移A.弹性体B.刚体C.粘性体D.塑性体正确答案 :A4.在弹性力学中规定，线应变（），与正应力的正负号规定相适应。

A.伸长时为负，缩短时为负B.伸长时为正，缩短时为正C.伸长时为正，缩短时为负D.伸长时为负，缩短时为正正确答案 :C5.所谓“完全弹性体”是指（）A.材料应力应变关系满足虎克定律B.材料的应力应变关系与加载时间.历史无关C.本构关系为非线性弹性关系D.应力应变关系满足线性弹性关系6.用应变分量表示的相容方程等价于（）A.平衡微分方程B.几何方程C.物理方程D.几何方程和物理方程7.A.AB.BC.CD.D8.下列材料中，（）属于各向同性材料。

A.竹材B.纤维增强复合材料C.玻璃钢D.沥青9.关于薄膜比拟，下列错误的是（）。

A.通过薄膜比拟试验, 可求解扭转问题。

B.通过薄膜比拟, 直接求解薄壁杆件的扭转问题。

C.通过薄膜比拟, 提出扭转应力函数的假设。

D.薄膜可承受弯矩，扭矩，剪力和压力。

10.在平面应变问题中（取纵向作z轴）A.AB.BC.CD.D11.所谓“应力状态”是指A.斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B.一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C.3个主应力作用平面相互垂直；D.不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

12.下列力不是体力的是：（）A.重力B.惯性力C.电磁力D.静水压力13.下面不属于边界条件的是（）。

A.位移边界条件B.流量边界条件C.应力边界条件D.混合边界条件14.应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（）A.没有考虑面力边界条件B.没有讨论多连域的变形C.没有涉及材料本构关系D.没有考虑材料的变形对于应力状态的影响15.将两块不同材料的金属板焊在一起，便成为一块（）A.连续均匀的板B.不连续也不均匀的板C.不连续但均匀的板D.连续但不均匀的板16.应力不变量说明（）A.应力状态特征方程的根是不确定的B.一点的应力分量不变C.主应力的方向不变D.应力随着截面方位改变，但是应力状态不变17.在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于（）A.平衡微分方程B.几何方程C.物理关系D.平衡微分方程、几何方程和物理关系18.下列外力不属于体力的是（）A.重力B.磁力C.惯性力D.静水压力19.关于差分法，下列叙述错误的是（）。

功能梯度悬臂梁弯曲问题的解析解

材料常数沿厚度方向按同一函数规律变化，采用弹性力学半逆解法，求得功能梯度悬臂梁在端部集中力和力矩作
用下的解析解．所得到的解，对任意梯度函数均成立，退化到各向同性均匀弹性情况下的结果，已有的理论解且与
相一致．对弹性模量分别按指数函数和幂函数梯度变化的算例进行了分析，结果显示功能梯度梁的轴向位移仍近
ｒｓｉ．Ｄｅｅｅａｅｒｓｌｏｓｔｏｉｏｇｎｏｓｅａｔａｅ８ｅｃｉｃｄｄｗｅｌｔｘｓｉｇａａｙｉｅｇｎｒｔｅｕｔｆｒｉｏｒｐｃｈｍｏｅｅｕｌｓｉｃｓｏｎｉｅｌｗｉｈｅｉｔｎｌｔｓｃｚｎ —
维普资讯
第３４卷第４期２００６年４月
同济大学学报（然科学版）自ＪＵＮＬＯＮＪＵＩＥＳＹＮＩＲＬＣＥＣ）ＯＲＡＦＩＧ１ＮＶＲＩ（Ｎ、ＡＩＥＤＴｕＳＮ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｂａｅｎｔｅｓｉｏｔｉｅｏｕｃｉｎｌｒｄｄｓｄｏｈｅ．ｖｒｅｍｔｏａｎｌｔｌｏｕｉｂａｎｄｆｒａｆｎｔａｌｇａｅｉｃｏｓｏｙ
ＧｒｄｄＣａｔＩｖ．ａｅｎ＿ｅｒＢｅａｅｍ
ＺＨＯＮＧｈｎ．ｙＵｏＺｅｇＴａ
（ｃｏｌｆｅｏｐｃｎｉｅｉｇａｄＡｐｌｄＭｅｈｎｃ，ｏｇｉｉｒｉ，ｈｎｈｉ００２Ｃｈｎ）ＳｈｏｏｒａｅＥｇｎｒｎｐｉｃａｉｎｊＵｎｖｓｙＳａｇａ２０９，ｉＡｓｅｎｅｓｆｅｔａ

材料力学悬臂梁应力计算

材料力学悬臂梁应力计算材料力学是一门研究材料在力学作用下的力学性能的学科。

悬臂梁是材料力学中一个重要的力学结构，其应力计算是材料力学研究的重点内容之一悬臂梁是一根一端固定，另一端自由悬挂的梁，在实际工程中广泛应用于建筑、桥梁、汽车和航空等领域。

悬臂梁的应力计算是设计和分析该结构强度和稳定性的关键步骤。

为了进行悬臂梁的应力计算，首先需要了解材料的力学性质。

材料力学性质包括弹性模量、屈服强度、断裂韧度等。

这些性质描述了材料在力学作用下的变形、强度和断裂性能。

悬臂梁的应力计算可以分为静力学分析和弹性力学分析两个步骤。

在静力学分析中，根据悬臂梁的受力情况，可以得到悬臂梁上的切线力和弯矩。

在弹性力学分析中，可以根据悬臂梁的几何形状和材料性质计算出悬臂梁上的应力。

常见的应力计算公式包括悬臂梁的弯曲应力公式和剪切应力公式。

对于悬臂梁的弯曲应力计算，可以使用悬臂梁的弯曲方程进行计算。

弯曲方程描述了悬臂梁上的弯曲曲线和应力分布，可以根据悬臂梁的载荷和几何形状计算出悬臂梁上的最大应力。

悬臂梁的弯曲方程可以通过一些经典方法求解，例如Euler-Bernoulli悬臂梁理论和Timoshenko悬臂梁理论。

对于悬臂梁的剪切应力计算，可以使用剪切力的变化率进行计算。

剪切力是悬臂梁上的横向力，可以通过静力学分析得到。

剪切应力是悬臂梁上截面上垂直剪切力作用下的应力，可以通过剪切力和悬臂梁的截面面积计算得到。

除了弯曲应力和剪切应力，还需要考虑其他引起应力的因素，例如温度变化和预应力等。

温度变化会引起悬臂梁的热应力，而预应力可能会改变悬臂梁的应力分布。

总结起来，悬臂梁的应力计算是材料力学中一个重要的研究内容。

它可以通过静力学分析和弹性力学分析来计算悬臂梁上的应力。

悬臂梁的应力计算不仅可以用于设计和分析悬臂梁的结构强度和稳定性，还可以用于预测悬臂梁在使用过程中的变形和破坏情况。

因此，悬臂梁的应力计算对于材料力学的研究和实际工程应用有着重要的意义。

l形功能梯度悬臂梁的应用场景

形功能梯度材料是一种在材料内部具有不同功能或性质的材料。

这种材料通常通过控制材料的组成、结构或形貌来实现，在材料内部形成特定的功能梯度分布。

形功能梯度悬臂梁是一种利用形功能梯度材料制造的悬臂梁结构，具有特殊的力学性能和应用潜力。

形功能梯度悬臂梁的应用场景可以涉及多个领域，以下将从结构设计、材料选择、力学性能以及具体应用案例等方面对其应用场景进行深入探讨。

一、结构设计形功能梯度悬臂梁的结构设计是其应用的重要前提。

悬臂梁是一种梁结构，其一端固定，另一端悬空，常用于支撑或传输载荷。

形功能梯度悬臂梁的设计需要考虑其受力情况、载荷类型以及所需的力学性能等。

利用形功能梯度材料的特性，可以通过合理设计形态和材料组成，实现悬臂梁在不同位置具有不同的力学性能，以满足特定工程应用的需求。

二、材料选择形功能梯度悬臂梁的应用需要选择适合的形功能梯度材料。

这种材料通常需要具有多种功能性能，如强度、韧性、导热性等。

材料的制备工艺也需要考虑，以保证形功能梯度材料的制备过程和成本可控。

常见的材料包括聚合物基形功能梯度材料、金属基形功能梯度材料以及陶瓷基形功能梯度材料等，其中不同材料的选择将直接影响形功能梯度悬臂梁的性能和应用场景。

三、力学性能形功能梯度悬臂梁的力学性能是其应用的重要考量。

由于形功能梯度材料的特殊属性，形功能梯度悬臂梁在力学性能上具有很大的优势。

通过在悬臂梁的不同位置设计不同的形功能梯度材料，可以实现悬臂梁在受力时局部强度增加、韧性提高等效果，从而在工程应用中获得更好的表现。

形功能梯度悬臂梁还具有良好的适应性和耐久性，可适应不同环境条件和长期使用。

四、应用案例形功能梯度悬臂梁已经在多个领域得到了应用。

在航空航天领域，形功能梯度悬臂梁可以用于制造轻量化、高强度的飞行器结构部件，如机翼、尾翼等，提高飞行器的性能和经济性。

在汽车工程领域，形功能梯度悬臂梁可以用于制造车辆底盘结构，减轻车辆重量、提高结构强度，同时提高汽车的安全性和燃油经济性。

悬臂梁的受力分析与结构优化

悬臂梁的受力分析与结构优化吴鑫龙3136202062【摘要】悬臂梁不管是在工程设计还是在机械设计中都有着广泛的应用，其有着结构简单，经济实用等优点。

但受到其自身结构的限制，一般悬臂梁的力学性能和使用性能都会受到很大的限制。

本篇主要探究悬臂梁在使用中的受力情况并从材料力学的角度来对其进行优化设计,并对新设计悬臂梁进行分析。

【Abstract 】Cantilever whether in engineering or mechanical design have a wide range of applications, it has a simple structure, economical and practical advantages. But by its own structural limitations, the general cantilever mechanical properties and performance will be greatly limited. This thesis is focus on exploring the cantilever in use from the perspective of the forces and the mechanical design to be optimized., and analysis the new design cantilever .【关键词】悬臂梁受力设计【Keywords】cantilever force analysis optimization背景及意义悬臂梁是指梁的一端为不产生轴向、垂直位移和转动的固定支座，另一端为自由端（可以产生平行于轴向和垂直于轴向的力）。

在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

但是悬臂梁的缺点在于它的受力性能不好，即使只是在悬臂梁末端施加一个较小的载荷，通过较长力臂的放大作用，也会对底部连接处产生一个很大的弯矩。

双材料叠合悬臂梁受集中荷载作用的解析解和有限元分析

双材料叠合悬臂梁受集中荷载作用的解析解和有限元分析董继蕾;缪广红;张宏学;卢小雨
【期刊名称】《廊坊师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(24)2
【摘要】以两根等长等宽等高的矩形截面异质双材料叠合悬臂梁为对象,研究双材料叠合悬臂梁受集中荷载作用时的解析解和有限元解。

先利用弹性理论对双材料叠合悬臂梁进行内力分析,然后利用有限元分析软件对双材料叠合悬臂梁进行数值模拟分析,并将模拟结果和应力解析解进行比较。

结果表明:叠合梁上、下两层梁中,弯矩-剪力是按照其刚度来分布的,当上层梁自由端上所承受的外力总和大于或等于某值时,上层梁与下层梁的弯矩才能维持相对稳定的接触;解析解和有限元解比较一致,验证了弹性理论应力解析解的正确性。

【总页数】5页(P52-56)
【作者】董继蕾;缪广红;张宏学;卢小雨
【作者单位】安徽理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TB301
【相关文献】
1.双材料叠合悬臂梁端部受集中力作用的理论解
2.功能梯度双材料复合悬臂梁受集中剪力作用的弹性力学解
3.功能材料力-电耦合问题的几个基本解——（Ⅱ）悬臂
梁梁端受轴向集中力作用4.自由端受集中力作用下压电悬臂梁弯曲问题解析解5.双材料叠合简支梁受均布载荷作用时的解析解
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

均布荷载作用下功能梯度悬臂梁弯曲问题的解析解_于涛

(z)]
+C3 z +C4
{ u
=
x3 6
(C
1
z
+C2 )
+g1 (z)
+x
-
s013 s011
(1 5)
{ d2 f2 (z) dz2
=
1 s011F (z)
-
s013 s011
C1 z3 +C 2 z2 62
-
s044 s011
[
C1 T1 (z)
+C 2T0
(z)]
- C3 s044G0 (z) +
- H3
-
h 2
+C2 2
H2
h 2
-
H2
-
h 2
+ss040141 C1 N 1
h 2
- N1
-
h 2
+
C2 N 0
h 2
- N0
-
h 2
+C 3 s044 G10
h 2
-
G
1 0
-
h 2
+ss010131
C1
⌒
H
1 1
h 2
-
⌒
H
1 1
-
h 2
+
ห้องสมุดไป่ตู้C2
⌒
H
1 0
第 27卷第 1期 2006年 3月
固体力学学报 ACTA M ECHAN ICA SOL IDA SIN ICA
均布荷载作用下功能梯度悬臂梁弯曲问题的解析解*
Vo.l 27 No. 1 M arch 2006
于涛仲政
(同济大学航空航天与力学学院, 上海 , 200092)

功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展_仲政

第40卷第5期力学进展Vol.40No.5 2010年9月25日ADVANCES IN MECHANICS Sep.25,2010功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展*仲政1,†吴林志2陈伟球31同济大学航空航天与力学学院,上海2000922哈尔滨工业大学复合材料研究所,哈尔滨1500013浙江大学工程力学系,杭州310027摘要功能梯度材料的宏观材料特性在空间上是连续变化的,因此即使在线弹性理论范围内,由于控制偏微分方程是变系数的,相应的力学分析具有很大的挑战性.综述了功能梯度材料与结构若干力学问题的最新研究进展,包括功能梯度材料梁、板、壳结构的解析解与半解析解以及简化理论的研究、功能梯度材料结构的数值计算方法研究、功能梯度材料的断裂力学研究.最后对未来功能梯度材料与结构的力学研究进行了展望.关键词功能梯度材料,结构分析,数值计算,断裂力学1引言功能梯度材料是一种多相材料,在材料的制备过程中通过连续地控制各组分含量的分布,使材料宏观特性在空间位置上呈现梯度变化,从而满足结构元件不同部位对材料使用性能的不同要求,达到优化结构整体使用性能的目的.功能梯度材料在自然界早就存在,如竹子、贝壳和动物的骨头等.但是功能梯度材料作为一种材料设计的概念,是由日本科学家在20世纪80年代中期提出来的,旨在满足航天、国防等高新技术领域对材料提出的苛刻要求.最早研制的功能梯度材料一面为耐高温的陶瓷,而另一面为高强度、高韧性的金属,中间部分为不同混合比的陶瓷和金属相.这种材料及结构中各组分相呈连续变化,不存在明显的界面,相应的热力学性能和物理性能也呈现梯度变化的形式.通过对梯度材料进行剪裁,可设计出理想的功能梯度复合材料及结构,使高温条件下表层陶瓷和底层金属之间热膨胀失配导致的热应力得到很大程度的缓解.现在功能梯度材料已经拓展到各种材料体系,在许多工程领域都有广阔的应用前景.在功能梯度材料与结构的设计、制造与服役过程中出现了大量富有挑战性的力学研究课题.固有的材料性能不均匀性,给力学分析带来了很大的困难,以往针对均匀材料引入和发展的力学概念、理论、计算方案和实验手段,有许多已不再适用于功能梯度材料,需要进行探索和创新.对这些力学问题的深入研究,是进一步推广应用功能梯度材料的前提,同时也促进非均匀介质力学研究的发展.因此,对功能梯度材料与结构的关键力学问题进行系统深入的研究,具有重要的理论意义和深厚的应用背景.本文首先介绍功能梯度材料与结构若干力学问题的最新研究进展,包括:(1)功能梯度材料梁、板、壳结构分析的理论研究;(2)功能梯度材料结构的数值计算方法;(3)功能梯度材料的断裂力学研究.在此基础上,指出了今后值得重视的若干研究方向.2功能梯度材料梁、板、壳结构的理论分析梁、板、壳以及它们的组合是目前功能梯度材料的常见结构形式,对这些典型结构进行受力与变形分析乃至多场耦合分析是功能梯度材料与结构一体化设计所不可缺少的.分析方法主要以简化的结构理论为主[1∼5],也有一些是从三维方程出发进行直接求解[6∼10].功能梯度材料板壳结构力学方面的综述可见文献[11∼13].由于以往针对均匀材料建立的经典梁、板、壳结构理论并不能完收稿日期:2009-03-05,修回日期:2010-07-05∗国家自然科学基金重点资助项目(10432030)†E-mail:zhongk@第5期仲政等:功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展529全适用于功能梯度材料,因此必须发展针对功能梯度材料特点的梁、板、壳结构分析方法,寻找功能梯度材料梁、板、壳结构的解析解、半解析解以及简化理论解,下面将分别阐述.2.1解析解对于功能梯度材料梁、板、壳结构,由于控制方程通常为变系数的微分方程,其边值问题的解析求解难度非常大,因此在现有文献中,解析解非常少.解析解的价值在于它们能为其他理论模型或计算方案提供假设的依据和验证的考题.Sankar[14]针对材料常数沿厚度为指数分布的正交各向异性功能梯度梁受任意垂直载荷作用的情形推导得到了弹性力学精确解.稍后Sankar等[15]给出了考虑温度效应的一个精确解.仲政等[16]基于状态空间列式给出了四边简支压电矩形板的精确解.这些工作都假设材料参数沿厚度以同一指数变化.对于沿厚度非指数变化的情况,还没有弹性力学精确解的报道.在解析解方面,Lekhnitskii在其名著[17]中给出了正交各向异性悬臂梁端部受剪/弯的解,但其后近40年几乎没有任何进展.最近几年,仲政等[18∼23]和丁皓江等[24∼28]系统发展了考虑力、热、电、磁等作用的各向异性功能梯度材料直梁二维问题的广义应力函数解法,获得的解析解适用于各材料参数沿厚度方向的任意梯度分布情况,可在Saint–Venant意义上考虑简支、固支等不同的位移约束边界条件和集中力、弯矩等端部载荷作用.这一方法将Lekhnitskii[17]在各向异性平面弹性问题上的研究推进了一大步,丰富了非均匀材料力学的求解手段,具有重要的科学意义.Huang等[29]进一步研究了功能梯度压电执行器的响应特性,给出了解析表达式并与一维梁理论、有限元和实验结果等进行了比较,说明了解析解的有效性及一维梁理论解的不足之处. Jiang等[30,31]则发展了基于调和函数表示的通解解法,求得了密度功能梯度材料悬臂梁的两个解析解.智能功能梯度结构的响应特性近几年得到了很多研究者的关注[32,33].已有的研究大都假设压电层和功能梯度材料主体结构之间粘结完好.文献[34,35]则提出在此类结构中考虑界面弱化的影响,采用界面的线弹簧模型以模拟实际使用中粘结剂性能退化或者由于粘结过程中操作不当引起的粘结不良等现象.计算发现,由于界面的弱化,使得结构系统的静动力特性发生了一定程度的改变,从而可能导致作动器或者传感器性能的变化,必须加以重视.陈伟球等[36]将辛空间的弹性力学解法[37]推广应用到功能梯度材料结构的解析研究中,提出了移位Hamilton矩阵的概念,发现材料的功能梯度属性将改变有关特征函数的形式,对不同的特征函数建立了共轭辛正交关系,并提出了稳定的数值计算方法[38].最近,他们又将工作进一步推广到功能梯度压电材料,详细研究了非均匀参数对Saint-Venant解的影响[39].在轴对称载荷作用下的圆/环板的弯曲问题是弹性力学的一个经典问题[40].Horgan等[41]假设弹性模量沿径向按幂律分布,考察了功能梯度旋转圆盘的一维轴对称变形问题.Li等[42,43]将Ding等[24∼28]提出的直梁的分析方法进一步推广应用于功能梯度弹性圆板.对于横观各向同性功能梯度圆板的纯弯曲问题,首次给出了解析形式的弹性力学解.与直梁问题类似,这一方法可以考察材料常数沿厚度方向的任意变化以及圆周边界上的简支或固支边界条件.Li等[44]通过在位移表达式中引入适当的对数函数项,获得了内外圆周边界条件任意组合时在均布载荷作用下横观各向同性功能梯度圆环板的解析解,该解可以考虑材料常数沿厚度方向的任意分布.对于均匀电势作用下的功能梯度圆板和均布载荷作用下的功能梯度压电压磁板,同样通过假设位移、电势和(或)磁势的适当形式,导出了相应的轴对称解析解[45,46].针对沿厚度方向材料常数任意变化的情形, Kaprielian等[47]及Mian等[6]提出了一种非常有效的求解方法,即通过假设位移的适当形式将三维问题化为二维问题以简化求解过程;但与经典的板壳理论不同,在位移模式中含有很多与厚度坐标有关的未知函数,因此可以考虑材料特性沿板厚的任意变化.但他们的研究仅局限于各向同性材料,且板的上下表面没有载荷作用.Yang 等[48]推广了非均匀材料板的Spencer分析方法,并求解了均布载荷作用下横观各向同性材料环板的位移和应力场,从二维简化解构造出相应的材料沿厚度方向任意变化的圆环板的三维解.在文献[49]中,Yang等人将推广的Spencer方法进一步用于分析矩形板的柱形弯曲,获得了可考虑板厚方向任意材料梯度变化的解析解.对于对边简支矩形板的弯曲问题,通过在级数项外引入适当的多项式项,一方面简化了求解,另一方面也加快了解的收敛[50].张晓日等[51]假设材料的力学和电学性质530力学进展2010年第40卷沿板厚方向按统一的指数函数形式梯度分布,获得了周边为广义刚性滑动和广义简支两种边界条件下轴对称功能梯度压电圆板自由振动问题的精确频率方程,数值求解不同板厚和不同梯度变化情况下的轴对称圆板自由振动的固有频率.Chen 等[52,53]通过假设径向位移和轴向位移的适当形式,获得了匀速旋转的横观各向同性功能梯度圆板和圆环板问题的解析解,该解可考虑材料参数沿厚度方向的任意分布情形.Zhong等[54]假设材料的力学、电学和热学性质沿板厚方向按统一的指数函数形式梯度分布,获得了四边简支、接地和等温的正交各向异性功能梯度压电材料矩形板,在上下表面作用机械载荷、电载荷和热载荷情况下的三维静力精确解.文献[55]获得了四边简支、接地的正交各向异性功能梯度压电材料矩形板(指数梯度分布)在不同表面边界条件下的自由振动和强迫振动的三维精确解.文献[56]则给出了当弹性模量或弹性柔度为厚度方向坐标的线性函数情况下,四边简支的各向同性功能梯度矩形板在上下表面受机械载荷作用的封闭解析解.Zhang等[57]对于任意的材料梯度分布形式,利用Haar小波级数展开法,得到四边简支功能梯度材料矩形板和功能梯度压电材料矩形板弯曲问题的三维Haar小波级数解.文献[58∼60]还利用Peano级数展开法对功能梯度平板的二维和三维问题进行了分析.Huang等[61]考察了双参数地基对功能梯度材料板弯曲特性的影响,发现地基参数的变化对结构的应力分布影响较大,尤其是对于较厚的梁板,地基参数越大,中性面的位置逐渐向加载的表面移动,应力分布也逐渐趋于缓和,即应力水平逐渐减小.研究结构的瞬态响应,在工程实际中有重要的意义,这是因为结构的瞬态响应中包含丰富的信息,如载荷、材料特性以及结构特性等,通过分析瞬态响应特征,可以在更深层次上把握结构特性,但是瞬态响应分析一直是理论难点.一般采用的积分变换法在实现时间域的反变换过程中通常会遇到很大的困难,目前仍没有非常有效的手段.在已有的均匀壳体动力分析的研究基础上,Wang 等[62∼66]发展了适合于多层结构瞬态响应的有效分析方法,将静动态分解技术、分离变量技术、正交展开技术以及传递矩阵列式完美地结合了起来.这一方法与采用积分变换求解方法相比,具有分析精度高、计算速度快的优点.利用该方法,他们研究了多层球面各向同性压电球壳的球对称动力响应问题,得到波前的精确演化过程[62];在此基础上还进一步获得了热电耦合和磁电弹耦合球壳的球对称动力响应问题的解[63,64],并研究了多层压电和热释电柱壳的广义平面应变动力问题[65,66].结合层合近似模型,这一解析方法可以方便地用于功能梯度壳体的动力响应分析.将上述方法推广到材料常数是径向坐标的幂函数的功能梯度材料球壳和柱壳的动力响应分析上,发现改变梯度参数,可以调整环向应力,但对不同部位所起的作用是不同的[67,68],因此在进行动载荷作用下的功能梯度圆柱壳的设计时需要作仔细的计算分析.高立名等采用分层法[69]、Frobenius法[70]和同伦分析法[71]研究功能梯度平板表面波的传播问题,发现表面波的两种变化模式在功能梯度材料中的效应是不同的.分层法虽然概念简单,但收敛速度较慢;Frobenius法可以求出精确解,但求解过程繁琐,而且对数值计算过程的精度要求比较高;同伦法可以求得包括Frobenius解的一般解,而且收敛速度和精度可以通过选择适当的参数来调整.潘永东等利用Peano级数展开法研究功能梯度材料中波的传播特性[72,73],求解了圆杆和圆管表面上功能梯度涂层的表面波频散曲线,通过数值计算说明了表面波频散曲线对涂层材料声速梯度分布的依赖性,为激光超声实验测量表征材料梯度分布特性提供了理论依据.针对功能梯度材料厚板中波的传播问题,Chen等[74,75]提出了回传射线矩阵分析方法.采用均匀层合模型将各向同性功能梯度材料板划分成若干层,在每层建立互反的两个局部坐标系并获得层内的相位关系,根据界面处连续条件获得散射关系,最终建立体系的回传矩阵整体代数方程.由于采用了两个局部坐标系,该方法摒除了具有正实部指数的指数函数,从而在计算中避免了传统状态空间法中普遍存在的大数相减,得到了绝对稳定的数值计算结果,表明回传射线矩阵法对于结构高频振动计算具有不可替代的优越性.从上述最一般的理论出发,文献[76∼79]对非均匀弹性杆、各向异性功能梯度板(包括层合板)和功能梯度压电薄膜及其体波谐振器内的波传播问题进行了系统的研究.2.2半解析半数值解传统的状态空间法只能适用于具有特殊边界条件(如简支、滑支)的结构的求解.为了克服这一限制,范家让提出用叠加原理和广义函数的Fourier级数展开来求解具有固支和自由边界的板壳结构静动力响应[80],但该方法收敛速度慢,且不第5期仲政等:功能梯度材料与结构的若干力学问题研究进展531容易使用.Chen等[81,82]针对复合材料梁板提出了一种有效的半解析半数值方法,该方法将状态空间法和微分求积法结合在一起,在面内采用微分求积法离散可以处理任意侧面边界条件,而在厚度方向采用状态空间法进行精确求解.该方法拓宽了弹性力学传统状态空间法的求解范围,可以用于分析层合和厚度方向功能梯度梁、板、壳结构静动力问题.L¨u等利用该方法获得了功能梯度层合梁[83∼86]以及压电层合板[87]在简支、固支、自由等边界条件下的自由振动与静力弯曲问题的解答.在计算中发现,当微分求积法中点数取值较大时,会产生一定的数值不稳定问题,为此L¨u 等[88]采用Nagem和Williams针对空间结构分析提出的耦合节点矩阵法,进行功能梯度梁的热应力分析和多跨板的振动分析,克服了数值不稳定的现象.Nie等[89∼91]对状态空间法和微分求积法相结合的半解析半数值方法进行了改进,提出了将位移和位移的一阶导数作为状态变量的求解方法,与应力和位移混合作为状态变量的状态空间法相比较,更易处理某些边界条件和圆板中心的正则性条件.利用该方法,研究了功能梯度圆板、圆环板、扇形板在简支、固支、自由等各种边界条件下的静力响应与自由振动问题.基于状态空间的微分求积法还被推广应用于求解双向功能梯度材料梁[92]和双向功能梯度材料圆板[93]的分析.文献[94]针对一般微分求积法求解结构受不连续载荷、集中载荷作用时精度不高的缺陷,将小波函数与微分求积法相结合,提出了结合小波微分求积法和一般微分求积法各自优点的混合微分求积法,对功能梯度材料平板柱形弯曲以及一组对边简支、一组对边任意边界情况下的功能梯度材料平板弯曲问题进行了分析.文献[95∼97]构造半解析单元对复杂边界条件的功能梯度板进行了三维分析.2.3简化理论解曹志远等人采用经典板壳理论,获得了各类功能梯度矩形板固有频率与振型的解析解[98∼101]和各类功能梯度复合材料圆柱壳固有频率的解析解[102∼105].为了对更复杂条件下功能梯度梁、板、壳结构进行分析,必须发展适合于功能梯度材料特点的梁、板、壳简化理论.在各种高阶板理论中, Soldatos等[106]提出的含有随厚度坐标变化的翘曲函数理论独具优势.Bian等[107]将Soldatos层合板理论推广用于功能梯度板的分析,构造了状态空间列式来确定翘曲函数的厚度方向分布,然后针对Soldatos层合板理论构造了状态空间列式对单跨以及多跨柱形板的弯曲进行求解.L¨u等[108]针对功能梯度材料薄膜,基于经典薄板假设,提出了考虑表面弹性的连续介质模型.研究表明,对于给定的表面材料性质,当薄膜厚度减小到微米尺度时,其抗弯刚度和固有频率表现出明显的尺度效应,并随厚度的进一步减小,表面效应的影响越来越明显.采用Soldatos板理论的位移假设,以表面力学基本方程代替经典理论中表面剪应力为零的约束条件,确定自适应形函数的具体形式,获得了无限长功能梯度材料薄膜的解析解.李尧臣等[109]基于若干基本假设,提出了指数型功能梯度压电材料圆板在轴对称载荷作用下的简化理论与解析解,获得了板的周边固定或简支并接地情况下中性层法线转角的解和用Fourier-Bessel级数表示的电势解,这个解有足够的精度,在形式上比精确解简洁得多,便于数值计算和应用.3功能梯度材料梁、板、壳结构的数值分析对于较复杂的功能梯度结构,数值计算方法是强有力的分析工具.但是将常规的数值计算方法如有限元法用于功能梯度结构的分析,技术上存在着很大的困难.由于材料性质宏观上的不均匀性,利用常规有限元对功能梯度材料结构进行三维分析,势必需要划分大量的单元,计算工作量巨大.因此建立针对功能梯度材料特点的、新的或改进的有限元法是十分必要的.人们提出了各种梯度有限元法[110∼113],但仍需要进一步的深入研究,例如即使在一维波动问题中,文献[110,113]所提出的梯度有限元与精确解的比较也并不令人满意.3.1功能梯度材料结构非传统Hamilton变分原理和有限元分析在Luo等[114]提出的均匀材料非传统Hamil-ton变分原理基础上,文献[115]系统地建立了针对功能梯度材料结构弹性动力学各类非传统Hamil-ton变分原理,以及相空间非传统Hamilton变分原理.这类变分原理能够反映功能梯度材料结构弹性动力学初值–边值问题的全部特征,是与动力学问题完全等价的变分原理.文献[116]基于相空间非传统Hamilton变分原理提出了针对功能梯度532力学进展2010年第40卷材料结构的辛空间有限元–时间子域法.该算法通过引入位移和动量这一组基本变量,通过空间域和时间域的离散,将动力学问题归结为求解线性代数方程组,使计算效率大为提高.通过对任意梯度变化、多种边界条件以及载荷作用的功能梯度材料矩形板的动力响应问题进行三维分析,表明辛空间有限元–时间子域法是一种计算精度很高、实用性很强的算法,计算得到了多种边界条件和载荷作用下功能梯度材料板的动力响应特性.文献[117]引入板变形的Mindlin假设和面内电势分布的一种新假设,基于变分原理,推导出功能梯度压电材料平板的有限元基本格式,并对四边简支、接地的功能梯度压电方形板的挠度和电势分布进行了数值模拟.3.2功能梯度材料结构分析的细观元法曹志远等提出了一种适合于功能梯度结构分析的细观元法[118∼130].细观元法在结构的常规有限单元内部设置密集细观单元以反映材料的细观构造,又通过协调条件将各细观元结点自由度转换为同一常规有限元自由度.这种细观元法既能充分反映材料功能梯度变化特性,实现材料细观结构到构件宏观响应的跨尺度分析;其计算单元与自由度又和常规有限元一样,是一种针对功能梯度结构宏细观跨尺度分析的有效数值方法.这种细观元法的特点是:(1)大规模节省计算工作量(相对于传统有限元法);(2)适用于材料内部任意梯度变化(相对于边界元法);(3)可求解非周期变化构造材料(相对于渐近均匀化法);(4)可直接从材料组分或细观结构出发求解宏观响应(相对于梯度有限元法).利用细观元法,可以探讨各种复杂情况下功能梯度材料构件的三维分析.文献[120,121,123]对不同梯度分布、不同边界条件的功能梯度矩形板进行了的三维分析.文献[119]则按组分材料配比分布直接进行功能材料构件三维分析.文献[122,125,126]对沿结构中面(而非厚度方向)单向或双向变化的功能梯度材料构件进行了三维分析.文献[124,126,128]利用动力细观元法对功能梯度材料构件进行了三维模态分析.细观元法还可以实现直接输入金相图片进行功能梯度材料构件宏观与细观力学分析.文献[129,130]对金相图片进行极密网格划分及所有网格内材料扫描识别,再将单一网格作为计算单元进行材料参数与空间位置输入,并利用细观元法转换为常规宏观单元运算矩阵,进行功能梯度材料或结构的宏观与细观力学分析.文献[127]基于细观元法的正、反演相结合技术,从已知的材料内部组分分布识别材料有效性能梯度分布函数.4功能梯度材料的断裂力学研究功能梯度材料的断裂力学研究对于功能梯度材料及其结构的设计、优化及安全评价具有十分重要的意义.以往的研究表明,功能梯度材料裂纹尖端应力场的奇异性与普通均匀材料相同(r−1/2),并且不具有界面裂纹问题的应力振荡性,因此可以像经典的均匀材料断裂力学那样定义功能梯度材料裂纹尖端的应力强度因子等断裂力学参量,但是这些断裂参量除了与裂纹及结构尺寸、载荷形式及大小等有关外,还取决于材料性质的梯度变化规律.4.1功能梯度材料的静态断裂力学研究在静态机械载荷作用下功能梯度材料的断裂力学研究方面,Delale等[131]研究了泊松比为常数,杨氏模量为指数函数变化的非均匀平面的断裂问题.他们发现,泊松比对裂纹尖端应力强度因子的影响非常小.Delale等[132]分析了处于均匀半平面和非均匀半平面之间的界面裂纹问题,假设两个半平面的力学属性在界面处保持连续,非均匀材料的剪切模量和泊松比取为指数函数形式.研究表明,只要材料的力学属性在裂纹尖端保持连续,非均匀材料与均匀材料裂纹尖端应力场的奇异性是一致的.随后的20余年间又有大量有关功能梯度材料断裂问题的文章发表,如文献[133∼136].仲政等[137∼141]针对各向同性功能梯度材料,假设剪切模量是坐标的幂函数分布而泊松比为常数,获得了功能梯度材料板条、功能梯度材料夹层、功能梯度材料涂层裂纹问题的应力变形场的解析解,并研究了材料梯度变化参数、裂纹长度、板厚或层厚等几何参数对裂纹尖端应力强度因子和裂纹起裂角的影响.Guo等[142]研究集中载荷作用下功能梯度涂层-基底结构的界面裂纹问题,讨论了混合型应力强度因子和应变能释放率随材料非均匀参数的变化规律,并分析了集中载荷作用位置及材料非均匀参数对裂纹扩展方向的影响.Dag等[143]考虑了含有边裂纹的半无限大功能梯度材料在接触载荷作用下的平面问题,其中接触载荷由材料表面滑动触头产生,而裂纹平行于材料属性的变化方向.上述静态问题研究主要针对无限大功能梯度。

复合材料双悬臂梁试验Ⅰ型分层扩展的三维近场动力学模拟

复合材料双悬臂梁试验Ⅰ型分层扩展的三维近场动力学模拟姜晓伟; 汪海【期刊名称】《《科学技术与工程》》【年(卷),期】2019(019)021【总页数】6页(P35-40)【关键词】复合材料; 近场动力学; Ⅰ型分层扩展; 双悬臂梁试验【作者】姜晓伟; 汪海【作者单位】上海交通大学航空航天学院上海200240【正文语种】中文【中图分类】O351.2纤维增强复合材料在航空结构中已经得到广泛的应用，主要源于其比刚度、比强度很高、热膨胀系数很低以及优良的抗疲劳特性。

在复合材料结构设计中，由于复合材料的昂贵，设计人员往往需要采用一定的分析手段来取代试验。

这其中，涉及到复合材料损伤扩展的分析，传统解析方法所能提供的结果比较有限，公开资料中，数值分析方法已经成为主流的分析方法。

分层损伤作为复合材料结构的主要损伤模式之一，是纤维增强复合材料结构设计与分析中需要着重考量的关键因素[1—4]。

目前复合材料分层损伤的分析主要采用有限元法，具体技术包括粘接元(cohesive zone method, CZM)和虚拟裂纹闭合技术(virtual crack closure technique, VCCT)。

尽管这些分析手段已经能够解决很多分层损伤的问题[5—7]，通常情况下，这些技术需要预先设置分层的扩展路径，这对很多实际的工程问题来说是很困难的。

此外，正如这些研究工作[8—10]中指出的，构建于连续介质力学基础上的有限元方法，理论上与复材分层扩展带来的空间不连续性相冲突，这种冲突常常会引起分层前缘的收敛性问题。

近年来，Silling 教授等[11—13]提出的近场动力学理论(peridynamics，PD)作为计算力学领域的前沿性理论，在复合材料损伤扩展分析中体现出了一定的优势。

近场动力学已经被成功地应用于复合材料的损伤分析，并能够捕捉分层损伤。

Askari 等[8,14]给出了复合材料层板低速冲击下的层间分层损伤。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（１１）
ｅ虹一炬差炬扫一，一十篝＋
ｅ虹一
（２）
上下层间的界面条件为
Ｏ＇１＝＝：０＂２ｙ，ｒ１＝＝＝，１＝＝＝Ｕ２，ｗｌ：＝＝
沿梁厚度方向指数变化功能梯度简支梁的二维弹性
１基本方程与模型
如图１所示的功能梯度双材料层合悬臂梁，长
为Ｌ，厚度为２，在自由端受集中剪力Ｐ的作用．该层合梁上下层均为功能梯度材料，每层厚度均为ｈ，
各自沿厚度方向以功能函数Ｆ１（）和Ｆ２（）变化．
功能梯度双材料复合悬臂梁受集中剪力作用的弹性力学解
杨青，郑百林，张锴，朱建新
２０００９２）
（同济大学航空航天与力学学院，上海
摘
要：采用应力函数的方法，求解了功能梯度双材料层合悬臂梁在端部受集中剪力作用下的弹性解．该梁中含有
／
解，并纠正了Ｓａｎｋａｒ［］求解中的一些错误．仲政［７］等将二维梁看作平面应力问题，利用应力函数半逆解法，求得了模量以任意梯度函数变化时悬臂梁问
题的解析解．ＶｅｎｋａｔａｒａｍａｎＥ］求解了功能梯度夹芯梁的应力分布，其中表层结构利用梁理论进行了假设．Ｈｓｕｅｈ［９］等分析了梯度夹芯梁的热应力分布．Ａｎ－ｄｅｒｓｏｎ－ｒ。］分析了三维板结构在横向力作用下的弹性
第１期
杨青等：功能梯度双材料复合悬臂梁受集中剪力作用的弹性力学解
２１

ｂｔ－０１ｚ＋孥＝０，譬＋孥＝０
几何方程为
（１）
价，为简便计，应力函数可如下表达：
（五，Ｙ）＝∑ｘＪｆ＃（ｆ）
（１０）
目前关于双层和多层结构的均为功能梯度层的研究还较少．本文涉及方法具有一般性，可以推广至功能梯度多层及夹芯梁的平面问题求解．
目前，功能梯度材料及相关结构的研究已经取得了丰富的成果．李永｛】等利用层合法，将功能梯度结构沿梯度方向分成若干层，每层等效为各向同性均匀材料，当分层数足够多时，可以逼近精确解，但计算较大，易产生计算误差．Ｓａｎｋａｒ［］给出了功能梯度简支梁受横向载荷作用问题的二维弹性解，并采用梁理论的基本假设，建立了功能梯度梁的一维简化模型，其材料弹性模量沿梁厚度方向呈指数函数变化．校金友ｌＬ６］等利用应力函数法求得了弹性模量
第３２卷
第１期
兰
州
交
通
大
学
学
报
Ｖｏ１．３２Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１３
２０１３年２月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
文章编号：１００１ — ４３７３（２０１３）０１ — ００２０ — ０５
ｗｉｔｈａｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄｓＩＩｅａｒｆｏｒｃｅ
在不考虑体力的情况下，平面问题的应力平衡
方程为
基金项目：国家自然科学基金（４１０７２２０７）作者简介：杨青（１９８１一），男，甘肃兰州人，博士生，主要研究方向为固体力学复合材料力学．Ｅ — ｍａｉｌ：１１７ｙａｎｇｑｉｎｇ＠ｔｏｎｇｊｉ．ｅｄｕ．ｃｎ
收稿日期：２０１２ — １２ — ２７
／／／／／＼＼＼ ‘
ｙ
／／／／／＼＼＼／
／
图１功能梯度双层梁端部受集中剪力
Ｆｉｇ．１Ｔｈｅｂｉ — ｌａｙｅｒｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅＦＧＭｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｂｅａｍ
料科技与设计水平的不断提高，功能梯度材料在工程领域中的应用非常广阔Ｌ２－３Ｊ．
解．王美芹［一］等将含功能梯度夹芯层的双材料梁看作为二维平面应力问题求得了其横向均布载荷下的解析解．本文采用应力函数方法，研究了双层功能梯度层合悬臂梁在自由端受集中剪力作用下的弹性解．
两个功能梯度层，每层的弹性模量均可以沿厚度方向独立变化，对任意的变化梯度均成立，当退化至各向同性材料
时，与已有的单层悬臂梁理论解一致．该方法具有一般性，可椎广至功能梯度夹芯梁的求解．关键词：应力函数；功能梯度层；悬臂梁；集中剪力；弹性力学解
中图分类号：ＴＵ３２３．３文献标志码：Ａ
功能梯度材料概念，是日本科学家２Ｏ世纪８０年代中期首先提出来的，旨在解决航天技术领域高温环境下的材料热应力问题［１］．由于功能梯度材料的性质具有渐变的特点，可以消除因材料性质不匹配及结构设计缺陷所带来的失效问题，所以随着材