1977年普通高等学校招生考试(黑龙江省)数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案

1．解答下列各题：

（1）解方程.443=+x

解：方程两边平方得,0432=--x x

x=4,x=-1（增根）

故 x=4是原方程的根

（2）解不等式|x|<5.

解：-5

（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长

解：设正三角形的边长为a ，则

).(18)(92

33630cos 21cm a cm R a =∴=⋅=︒= 2．计算下列各题：

（1）.222a ma m +- 解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时 当.2,22m a a ma m a m -=+-<时

（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值）

解：原式=)3045sin(15sin 3sin 12cos 3cos 12sin ︒-︒=︒=︒⋅︒+︒⋅︒

.4

)13(230sin 45cos 30cos 45sin -=︒

︒-︒︒= （3）)6arcsin(cos

π 解：原式=.3

23arcsin π=

3．解下列各题：

（1）解方程.1893

2

1=-+x x 解：18331=-+x x

.2,393,

18)13(32=∴===-x x x

（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和

解：由题设可知，此等比数列的首项21=a 公比2=q

.20461

2)12(21)1(1010110=--⋅=--=∴q q a S 4．解下列各题：

（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积 解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=,36306=︒ctg 圆锥母线,1230sin 6=︒

=l ∴侧面积)(3722cm Rl S π=π=

（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程 解：因为直线0352=+-y x 的斜率为52，所以所求直线的斜率为2

5-所求直线的方程为01325=-+y x

5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE

证：连结BE （如图） ∵∠CAE=∠EAB ，∠ACB=∠AEB ， ∴△ACD ∽△AEB ，

B

∴.AB

AD AE AC = ∴AB ·AC=AD ·AE

6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？

解：设后两年造林面积的年平均增长率为x ，依照题意可得

200+200（1+x ）+200（1+x ）2=728，

200（1+x)2+200（1+x ）-528=0，

（1+x)2+（1+x ）-2.64=0，

[（1+x ）-1.2][（1+x ）+2.2]=0，

1+x=1.2，x=0.2=20%

1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去）

故后两年造林面积的年平均增长率为20%

7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x

解：,2lg 2lg )5lg 1()1622lg(x x x x x ==-=-+

.

8,162,

21622=∴=∴=-+∴x x x x x

8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长

解：设三角形三边的长分别为,,,d a a d a +-则依题意有

⎩

⎨⎧=---+-=+++-)2(54)18)(18)(18(18)

1(36)()( d a a d a d a a d a

由（1）得).(12cm a =

代入（2）得,54)6(6)6(18=-⋅⋅+d d

.3,

9,273622±===-d d d

故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.

9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标为什么当α是直角时，P ∠是最大？

解：过A 作AB ⊥OP

设x 为点P 的横坐标，则 x=OP=OB+BP=

α⋅-+α222sin cos R l R 因为∠P 随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P 的最大值是一样的

故可以考虑π≤α≤0内∠P 变化的情况，由正弦定理得

α⋅=∠sin sin l

R P 在π≤α≤0内，当2π=

α时，αsin 的值最大，因而P ∠sin 的值也最大∵OA ＜AP ，∴∠P ＜α，即∠P 总是锐角 在20π

<∠

π=α时，∠P 最大 10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积

解：设旋转体的体积为V ，则

A

.202sin 2)2(cos 2222cos 222cos 1sin 22

20002π=π⋅π-π=⋅π-π=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-ππ=-π=π=⎰⎰⎰⎰ππππx x xd xdx dx x xdx v