高中数学选修教材教学建议

（一）
南京外国语学校 陈光立 guanglichen1943@yahoo.com.cn
实行新课程标准，提高教学 质量，教育理念是灵魂，教材建
设是关键，教师素质是根本，课 堂教学是核心，教学评价是导向，
现代化技术是推进器.
祝愿我们数学教育工作者做出无愧于 时代的贡献，给我们所有的学生
一双能用数学视角观察世界的眼睛，
数学的理性精神被看成西方文明的核心
数学教育方法的核心是学生的再创 造. 教师不应该把数学当作一个已经完 成了的形式理论来教，不应该将各种定 义、规则、算法灌输给学生，而是应该 创造合适的条件，让学生在学习数学的
过程中，用自己的体验，用自己的思维
方式，重新创造有关的数学知识.
Freudenthal
点线
在选修系列1和系列2中，有些内容是相同的，
如常用逻辑用语、数系的扩充与复数的引入；有些
内容从标题来看是相同的，但是在内容的要求上有 所区别，如圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计 案例、推理与证明；还有一些内容分别安排在不同 的系列中，如框图只在选修系列1中才有，空间向
量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列2中
选修系列3和选修系列4的设置和实施是一个 动态发展的过程,在教学方式上应深入浅出，不 可过度的形式化，不追求非常严格的系统性．
系列3内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式
必修教材强调知识形成的过程，重 视数学思想方法的渗透．如函数概念的 形成过程等；
选修教材也强调知识的形成过程， 重视数学思想的渗透，更突出数学的文 化价值的体现．如导数、推理与证明、 对称与群等．
一个能用数学思维思考世界的头脑， 一副为谋国家富强人民幸福的心肠． ――张孝达
M. Kline 在《西方文化中的数学》中
指出，数学是一种精神，一种理性精神，
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使
人类的物质、道德和社会生活，试图回答 人类自身存在提出的问题，努力去理解和 控制自然，尽力去探索和确立已经获得知 识的最深刻和最完善的内涵．
选修 1－1 第 2 章 （12课时）
选修2对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲 线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进 一步体会数形结合的思想。同时，在学习平面解析几 何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲 线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质， 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用． 与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究 曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分 开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其 研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式 化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．
圆锥曲线这一章的内容可以采用不同的组 织方法，例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线 合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再 求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应 用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线， 对每一种曲线按定义、方程、几何性质分别讨 论．这些方法各有利弊．前一种方法可以使学 生对圆锥曲线有一个统一的认识，也可以节省 教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方 法学生接受较容易，但削弱了几种圆锥曲线之 间的联系，使知识凌乱，重复过多．
选修1、选修2的构成及其定位
高中数学的选修系列1和系列2，是在必修课程的 基础上，为不同发展方向的学生设置的数学课程．必 修课程是为所有的学生在义务教育的基础上，获得较 高的数学素养的而设置的．对大多数学生来说，仍然 有进一步选修数学的必要．系列1和系列2，则是为这 些学生而设置的、供选择的数学课程．学生在高中数 学必修课程的基础上，再进一步提高数学修养而设置 的学习内容．对于大多数高中学生来说，它们依然是 必要的和基础性的课程．其中，选修系列1是为希望在 人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选修系列2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的．
理解量词含义，不追求形式化定义
教学中应让学生通过生活和数学中的丰 富实例，理解全称量词与存在量词的意义， 不要追求形式化的定义．形式化的定义，对 于学生来说，很难理解，并且很难找到具体 应用的背景．会判定一个全称命题或存在性 命题真假．通过具体实例理解对含有一个量 词的命题的否定的意义，并能正确地对含有 一个量词的命题进行否定．
在使用过程中掌握常用逻辑用语的用法
引导学生在使用常用逻辑用语的过程中， 掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑 错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容 的准确性、简洁性．帮助学生完善表述方式， 学会使用逻辑用语表达数学内容，进而形成 逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能 力．
选修 2－1 第 2 章 （16课时）
选修系列3和系列4的构成及其定位
随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到， 数学无处不在，科学技术的发展需要数学，各行各业 的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学， 现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。学生在 学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有有 了比较高的数学素养和比较开阔的视野，才能比较自 觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周围 的世界，去主动地运用数学知识，处理和解决所遇到 的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣 和需要，了解更多、更广的数学知识，具有更高的数 学素养，《标准》设置了选修系列3和系列4的学习内 容．
与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或 在要求和侧重点方面有所调整。例如，削弱了三角函 数恒等变换化的证明；不等式中减少不等式证明的要 求，而侧重介绍现实世界中的不等关系中优化的思想； 立体几何中减少综合证明的内容，重在对于图形的把 握，发展空间观念， 运用向量方法解决计算问题；微 积分初步中不再系统地讲极限概念，只通过瞬时变化 率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。这样 的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的思 想和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应 用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学 应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问 题的能力，为学生日后的进一步学习，或在工作、生 活中的应用，打下更好坚实的基础。
选修系列3和系列4的内容，有些看起来很深奥， 以往只有上大学才能够学到，例如球面上的几何、 对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、 三等分角与数域扩充等．现在把它们引入高中数学 课程，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住 这些数学内容的主要精髓，把它们的基本思想介绍 给高中学生． 另外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、 数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初 等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的 基础上，进一步加深对已学知识和相关知识的了解 和认识．
选修3－1 ：数学史选讲； 选修3－2 ：信息安全与密码； 选修3－3 ：球面上的几何； 选修3－4 ：对称与群； 选修3－5 ：欧拉公式与闭曲面分类； 选修3－6 ：三等分角与数域扩充；
系列4由10个专题组成
* 选修4－1 ：几何证明选讲； * 选修4－2 ：矩阵与变换； 选修4－3 ：数列与差分； * 选修4－4 ：坐标系与参数方程； * 选修4－5 ：不等式选讲； 选修4－6 ：初等数论初步； 选修4－7 ：优选法与试验设计初步； 选修4－8 ：统筹法与图论初步； 选修4－9 ：风险与决策； 选修4－10：开关电路与布尔代数。
还有一些内容，例如信息安全与密码、优选法与 实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开 关电路与布尔代数等，它们反映了数学与现实世界的 紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识，可以 加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识．这些 内容的教材编写和教学，并不要求很严格的系统性， 但是又不是像有些科普通俗介绍那样只是简单地讲讲 故事，而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方 法有一个初步的了解．
本章总体设计思路是“总－分－总”，即 先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、 双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想 分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质， 进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆 锥曲线的关系．最后在学生对直线、圆及圆锥 曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念， 并用方程观点认识和研究曲线交点等问题．这 样在汲取上述两种方案的优点的同时，也克服 了它们的弊端．这一设计体现了数学的文化价 值、科学价值及应用价值，反映了数学的美学 意义，遵循了“适度形式化”的课程理念．
一、本章结构
几何背景 圆锥曲线 概念 圆锥曲线 方程 曲线与方程 圆锥曲线 性质
总 对圆锥曲线而言 从圆锥截线 的角度认识 圆锥曲线
分
总
分别对椭圆、 双曲线、抛物 线进行研究
圆锥曲线的 统一定义
对解析几何总体来说 直线 曲线 圆 圆锥曲线 曲线与方程
从统一的结构体现解析几何的基本思想
几何特征
建立方程
研究性质
二、内容解析与教学建议
经历由具体情境抽象出圆锥曲线 模型的过程
观察
探索
发现
形成 过程
建议： (1)“适度引导” (2)重点在椭圆，另两个可直接给出 (3)要求恰当，不要过分
三、内容解析与教学建议 重点关注四种命题相互关系和充要条件
本章考虑的命题是指明确地给出条件和结 论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否 命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高 中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难 和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经 历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的 积累后，对这些问题的理解就不成为问题 了．这里不研究含有 “或”、“且”、“非” 的命题的逆命题、否命题和逆否命题．
才有．这两个选修系列的内容，同样是给学生的发 展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，是
为学生打好不同的基础而设置的．学生可以根据自
己的发展志向，主动作出选择．
《标准》与《大纲》内容比较
与以往的高中数学课程相比，《标准》选 定的必修内容以及选修系列1和系列2的学习内 容，基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修 改审定的《大纲》的内容，只是根据时代的要 求，增加了一些算法初步、推理与证明、框图 这样的新内容． 在概率统计方面，对于统计 思想及其应用和随机概念有所加强．与此同时 并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求 和侧重点方面有所调整．
复数
选修 2－1 第 1 章
选修 1－1 第 1 章
（8课时）
一、本章结构
背景 命题
四种命题关系
充分必要条件
逻辑联结词
量词
命题的否定
应用Hale Waihona Puke Baidu
二、本章内容的定位
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具 备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从 事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自 己的思维，使得思维清晰明了，说理有据． 学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有 关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知 识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．《大 纲》里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的 简易数理逻辑，新课程标准所讲的是一种常用的 逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用．
结合具体实例，避免抽象讨论
对逻辑联结词“或”“且”“非”的含
义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联
结词有效地表达相关的数学内容．因此，内
容的设计上要求通过具体的数学实例来进行
展开，避免抽象地讨论．不要涉及简单命题、
复合命题的概念．要注意命题的否定与否命
题是不一样的，对含有逻辑联结词的命题的
否定不作要求．
选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用 选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数的引入、框图 选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何 选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系 的扩充与复数的引入 选修2－3：计数原理、统计案例、概率
系列3由6个专题组成
本章的重点是要求学生关注四种命题的
相互关系和命题的必要条件、充分条件、充
要条件，并在今后的使用过程中加深理
解． “若 p 则 q”为真命题时， p是 q成立的
充分条件，不能误认为p是这个命题的充分
条件．本章中，“若 p则 q”形式的命题中的
p与q，都是不含有逻辑联结词“或”、 “且”、“非”，并且p 与 q本身也不是 “若 r 则 s ”形式的命题．