高二上重庆北大附中第一次月考
北京大学附属中学2024届高三上学期十月月考数学试题+答案解析
北大附中2024届高三阶段性检测数学2022.10一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{2,1,2}A =-,{|(2)(1)0}B x x x =+-≤，则A B ⋂=（）A.(2,1)-B.[2,1]- C.{2,1}- D.{2,1,2}-【答案】C 【解析】【分析】先解一元二次不等式化简B ，再根据交集的概念可求出结果.【详解】由(2)(1)0x x +-≤，得21x -≤≤，所以[2,1]B =-，因为{2,1,2}A =-，所以A B ⋂={2,1}-.故选：C2.命题“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是（）A.0,sin 1x x ∃≤>B.1x x ∃>≤ C.0,sin 1x x ∀≤> D.0,sin 1x x ∀>≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定判断即可.【详解】“0x ∀≤，sin 1x ≤”的否定是“0x ∃≤，sin 1x >”.故选A.3.下列函数中既是增函数又是奇函数的是（）A.1()f x x=- B.3()f x x = C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,+∞上单调递增，但在定义域为没有单调性，故错误；对B ：3()f x x =是奇偶性，在R 上单调递增，故正确；对C ：()2x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：()ln f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；故选：B4.已知角α的终边为射线(0)y x x =≤，则下列正确的是（）A.54πα=B.cos 2α=C.tan 12πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D.sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题知角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再结合诱导公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为角α的终边为射线(0)y x x =≤，所以，角[]0,2απ∈时，54πα=，所以，角α的集合为5=+2,Z 4k k πααπ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故A 选项错误；所以，5cos cos 242k παπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，故B 选项错误；53tan tan 2tan 12424k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；53sin sin 2sin 14442k ππππαπ⎛⎫⎛⎫+=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 选项错误.故选：C5.已知函数()=e e x x f x --，则下列说法错误的是（）A.()f x 有最大值B.()f x 有最小值C.00x ∃≠，使得()()00f x f x -=D.x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的单调性得到()f x 的最值情况，即可判断AB 选项；根据()()f x f x -=-、()0=0f 和函数的单调性判断CD 即可.【详解】根据()e e x x f x -=-得()f x 在定义域内单调递增，所以()f x 没有最大值也没有最小值，故AB 错；()()()x x x x f x f x ---=-=--=-e e e e ，故D 正确；()0=0f ，()f x 在定义域内单调递增，所以当00x ≠时，()00f x ≠，又()()f x f x -=-，所以不存在00x ≠，使()()00f x f x -=，故C 错.故选：ABC.6.设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.c a b<<【答案】A 【解析】【分析】通过0ln 21<<，所以判断出01a <<；又对122b =，133c =进行化简，得到121628b ==，131639c ==，从而判断出a ，b ，c 的大小关系.【详解】 ln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c <<∴a b c<<故选：A7.要得到函数ln(2)y x =的图像，只需将函数ln y x =的图像（）A.每一点的横坐标变为原米的2倍B.每一点的纵坐标变为原来的2倍C.向左平移ln2个单位D.向上平移ln2个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移结合对数运算逐个分析判断.【详解】对A ：所得函数为=ln2xy ，A 错误；对B ：所得函数为=2ln y x ，B 错误；对C ：所得函数为()ln 2y x =-，C 错误；对D ：所得函数为()ln ln 2ln 2y x x =+=，D 正确；故选：D.8.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .则“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理和大边对大角，小边对小角的性质判断即可.【详解】当A B >时，根据三角形中大边对大角，小边对小角，得a b >，再根据正弦定理得sin sin A B >，所以sin sin a A b B +>+;当sin sin a A b B +>+时，根据正弦定理2sin sin a bR A B==，得()()2sin sin 2sin sin 21sin 21sin R A A R B B R A R B +>+⇒+>+，又210R +>，所以sin sin A B >，根据正弦定理得a b >，所以A B >；所以“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的充分必要条件.故选：C.9.已知函数1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在()()11,x f x 处的切线与在()()22,x f x 处的切线相互垂直，那么12x x -的最小值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】B 【解析】【分析】求出()f x '，根据导数的几何意义得到12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-，根据余弦函数的最值可得1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，分两种情况求出12x x -，然后求出其最小值即可.【详解】因为1π()sin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1ππ()cos(2)2cos(2233f x x x '=+⨯=+，依题意可得12()()1f x f x ''⋅=-，所以12ππcos(2)cos(2)133x x +⋅+=-,所以1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-，或1πcos(2)13x +=-且2πcos(213x +=，当1πcos(2)13x +=且2πcos(2)13x +=-时，11π22π3x k +=，1k Z ∈，22π22π+π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=--，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=时，12||x x -取得最小值π2.当1πcos(213x +=-且2πcos(2)13x +=时，11π22π+π3x k +=，1k Z ∈，22π22π3x k +=，2k Z ∈，所以1212π()π2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以1212π|||()π|2x x k k -=-+，1k Z ∈，2k Z ∈，所以当120k k -=或121k k -=-时，12||x x -取得最小值π2.综上所述：12x x -的最小值是π2.故选：B10.对于201个黑球和100个白球的任意排列（从左到右排成一行），下列说法一定正确的是（）A.存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B.存在一个白球，它右侧的黑球个数等于白球个数的三倍C.存在一个黑球，它右侧的黑球个数等于白球个数的二倍D.存在一个黑球，它右侧的黑球个数大于白球个数的二倍【答案】C【解析】【分析】ABD 选项都可以利用反例推出不成立，对于C 选项，从最右端出发，分类讨论进行证明.【详解】A 选项，从左到右先排100个白球，再排201个黑球，可知每一个白球右侧都是201个黑球，不可能个数一样，A 错误；B 选项，从左到右依次排200个黑球，100个白球，1个黑球，那么每个白球右侧都是1个黑球，黑球无法成为白球的三倍，B 错误；D 选项，从左到右，先排201个黑球，然后100个白球，第一个黑球右侧有200黑球，100个白球，恰好二倍，但从第2个黑球起，其右侧黑球数量减少，白球始终是100个，比例会小于二倍，不会超过二倍，D 错误；C 选项，若从左至右，最后一个是黑球，那么这个球右侧0黑0白，满足黑球是白球的二倍，若最后一个是白球，从右至左进行“计数”操作，当白球比黑球为1:2的形式时，视作一个组合，每计数完这样一个组合，继续向左操作，若刚结束的组合左侧为黑球，那么这个黑球就为C 选项所找，若为白球，重复上述操作，直至刚找完的组合左侧为黑球为止，由于黑球总量是白球总量的二倍多一个，所以最极端的情况是找完所有组合，黑球在最左侧第一个，总之这样的黑球可以找到.故选：C二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln 2y x =-的定义域为___________【答案】(),2-∞【解析】【分析】根据对数的真数大于零，可求出函数定义域.【详解】要使函数()ln 2y x =-有意义，必有20x ->，即2x <.故答案为：(),2-∞12.复数z 满足()1i 1i z +=-，=z ___________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的四则运算可得z ，再利用模长公式直接得解.【详解】由()1i 1i z +=-，则()()()()221i 1i 1i 12i i 2ii 1i 1i 1i 1i 2z ----+-=====-++--，所以1z ==，故答案为：1.13.能够说明“若()g x 在R 上是增函数，则()xg x 在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =___________.【答案】x (答案不唯一，符合题意即可)【解析】【分析】根据单调性的概念分析理解.【详解】例如：()g x x =在R 上是增函数，则2()xg x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()xg x 在R 上不是增函数故答案为：x (答案不唯一，符合题意即可).14.已知函数2e ,0,()=2,>0x x x f x ax x x ⎧≤⎨-⎩，①当=1a -时，函数()f x 的最大值为___________.②如果()f x 存在最小值且最小值小于1e-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①.0；②.0<a <e.【解析】【分析】①分别求0x ≤和0x >时的最大值，然后比较大小即可；②分别求0x ≤和0x >时的最小值，让最小值小于1e-，解不等式即可.【详解】①当1a =-时，()2e ,0=2,>0x x x f x x x x ≤--⎧⎨⎩，当0x <时，0x x <e ，=0x 时，0x x =e ，所以此时()max 0f x =；当0x >时，没有最大值，且()0f x <，所以()f x 的最大值为0；②当0x ≤时，()()1e xf x x '=+，所以1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以0x ≤时，()()min 11f x f =-=-e；当0x >时，因为()f x 存在最小值且最小值小于1e -，所以>011<e a f a -⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得0e a <<；故答案为：①0；②0e a <<.15.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：()000()e rtKN N t N K N -=+-，其中0N ，r ，K 是常数，0N 表示初始时刻种群数量，r 叫做种群的内秉增长率，K 是环境容纳量.()N t 可以近似刻画t 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数()N t 的判断：①如果03KN =，那么存在00,()2t N t N >=；②如果00N K <<，那么对任意0,()t N t K ≥<；③如果00N K <<，那么存在0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '<；④如果002KN <<，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在最大值.全部正确判断组成的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】①解方程，求出2ln 2t r=，故①正确；②作差法比较大小，证明出结论；③求导，结合00N K <<，0t >，得到导函数大于0恒成立，③错误；.【详解】当03K N =时，()12e rt N t K -=+，令02212e 3rt K KN -==+，解得：2ln 2t r=，因为r 为种群的内秉增长率，0r >，所以2ln 20t r=>，①正确；()()()000000e ()e e rt rtrtK N KN N t K K N K N N K K N -----=-=+-+--，因为00N K <<，0t ≥，所以()()000e 0ert rtK N N K N K ---<+--，故对任意的0,()t N t K ≥<，②正确；()()00200e ()e rtrt N K N N t N K rK N ---'=⎡⎤+-⎣⎦，因为00N K <<，那么任意的0,()t N t >在t 点处的导数()0N t '>恒成立，故③错误；令()()()00200e ()e rtrtN K r N f N K t N t N K ---'==⎡⎤+-⎣⎦，则()()()()00003002e e e rt rtrtN K N K N N f t N K r K N ---⎡⎤--⎣⎦'=⎡-⎤+-⎣⎦因为002K N <<，令()0f t '>得：()00e0rtK N N -->-，解得：010ln K N t r N -<<，令()0f t '<得：()00e 0rtK N N --<-，解得：001ln K N t r N ->，所以()f t 在0010,lnK N rN -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在001ln ,+K N r N -∞⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，那么()N t 的导函数()N t '在(0,)+∞上存在极大值，也是最大值，④正确.故答案为：①②④【点睛】导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，常常用来解决实际问题，本题中，函数本身较为复杂，二次求导时要保证正确率，才能把问题解决.三､解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2sin(f x x x x π=--+.（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）0（2）T π=，()max f x 【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式，降幂公式，倍角公式，结合辅助角公式，可得答案；（2）根据（1）可得函数的解析式，根据周期计算公式，利用整体代入的方法，结合正弦函数的性质，可得答案.【小问1详解】2()2sin()cos f x x x x π=--1cos 22sin cos2xx x -=-sin 22x x =12sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则22T ππ==，由5,12x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则772,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令23t x π=+，则()2sin g t t =，则()g t 在73,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在37,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当73t π=，即x π=时，()()max f x f π==17.已知ABC 中，222a c b ac +=+.（1）求角B ；（2）若3sin b C A ==，求ABC 的面积.【答案】（1）3π（2）332【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出a 、c ，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为222a c b ac +=+，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又()0,B π∈，所以3B π=；【小问2详解】解：因为sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，又b =222a c b ac +=+，所以222293a a a +=+，解得a =c =，所以11sin 2222ABC S ac B === .18.已知函数32()f x x ax bx c =-+++.（1）从以下三个条件中选择两个作为已知，使()f x 存在且唯一确定，并求()f x 的极值点；条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称；条件③：()f x '是偶函数.（2）若2b a =，且()f x 在[]1,2上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）选择①和②，3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .（2）6a ≤-或2a ≥【解析】【分析】（1）化简条件①、②和③，分别选择①和②、①和③、②和③求出,,a b c ，可知只能选择①和②.再根据极值点的概念可求出结果；（2）转化为22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，再利用二次函数图象列式，可求出结果.【小问1详解】则由条件：①(1)=2f ，可得3a b c ++=，由条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，可得()f x 为奇函数，则有()()f x f x -=-，即3232x ax bx c x ax bx c +-+=---，即2+=0ax c 对R x ∈恒成立,所以0a c ==，由条件③：()f x '是偶函数，可得2()32f x x ax b '=-++为偶函数，则()()f x f x ''-=，即223232x ax b x ax b --+=-++，即40ax =对R x ∈恒成立，所以=0a ，若选①和②，由++=3==0a b c a c ⎧⎨⎩，得0a c ==，=3b ，此时3()3f x x x =-+，所以2()33f x x '=-+，由()0f x '>，得11x -<<，由()0f x '<，得1x <-或1x >，所以()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .若选①和③，由++=3=0a b c a ⎧⎨⎩，得=0a ，3b c +=，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；若选择②和③，由==0=0a c a ⎧⎨⎩，可知b 不确定，此时()f x 不唯一确定，不符合题意；综上所述：只能选条件：①(1)=2f ；条件②：()f x 的图像关于点(0,0)对称，此时3()3f x x x =-+，且()f x 的极小值点为1x =-，极大值点为=1x .【小问2详解】若2b a =，则322()f x x ax a x c =-+++，则22()32f x x ax a '=-++，因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以22()32(3)()f x x ax a x a x a '=-++=-+-0≥在[]1,2上恒成立，当=0a 时，2()30f x x '=-≤，不合题意；当0a >时，由二次函数的图象可知，132a a -≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得2a ≥；当0a <时，由二次函数的图象可知，123a a ≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得6a ≤-.综上所述：a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.19.已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.（1）直接写出()f x 的解析式；（2）若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）1118m π≥【解析】【分析】（1）根据函数图象直接可得函数周期及ω，再代入点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，可得ϕ；（2）由（1）函数解析式可得()f s 的取值范围，设()f s -的取值范围为A ，()f t 的取值范围为B ，可知A B ⊆，根据函数单调性及最值情况可得参数取值范围.【小问1详解】由图象可知5231894T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得23T π=，则23Tπω==，所以()()sin 3f x x ϕ=+，又函数图象经过点5,118π⎛⎫⎪⎝⎭，则5sin 3118f πϕ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得23k πϕπ=-+，Z k ∈，又22ππϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；【小问2详解】由0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23,333s πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当332s ππ-=时，()f s 取最大值为1，当333s ππ-=-时，()f s 取最小值为32-，所以()3,12f s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()31,2f s A ⎡-∈-=⎢⎣⎦，由对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，设()f t 的取值范围为B ，则A B ⊆，即32B ⎡-⊆⎢⎣⎦，又函数()sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令32,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，解得252,183183x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，令332,2322x k k πππππ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦Z k ∈，解得52112,183183x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数()f x 在252,183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，在52112,183183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递减，所以函数()f x 在50,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；又()02f =，518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，11118π⎫=- ⎪⎝⎭，所以1118m π≥.20.已知函数()2()1e x f x ax x -=++，其中a ∈R .（1）当=0a 时，求曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程；（2）当0a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，求a 的取值范围；（3）当0a ≤时，直接写出函数()()e g x f x x =-零点的个数（不用说明理由）.【答案】（1）e(1)y x =+（2）[e 2,)-+∞（3）2个【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得=1x -处的切线斜率，进而求得切线方程；（2）根据(0)1f =以及题意可知，=0x 为极小值点，结合二次函数的性质可知，另一极值点12x a =-必在=0x 右边，抓住12x a=-与=1x 的位置关系分类讨论即可求解；（3）将求()g x 的零点个数转化为探究11y ax x =++与1e x y +=的图象交点个数即可．【小问1详解】当=0a 时，()(1)e x f x x -=+，则()e (1)e e x x x f x x x ---'=-+=-，(1)e,(1)0f f '∴-=-=．所以，曲线=()y f x 在(1,(1))f --处的切线方程为e(1)y x =+．【小问2详解】当0a >时，[]()(21)e x f x x ax a -'=-+-，设()()21x x ax a ϕ=-+-，即()()e x f x x ϕ-'=，令()=0f x '，解得1210,2x x a==-，注意到(0)1f =，而函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，所以，=0x 是函数()f x 的极小值点，即在=0x 附近的左侧，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在=0x 附近的右侧，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，因为()()21x x ax a ϕ=-+-（0a >）为二次函数，结合二次函数图象（如下图）知，所以120a ->，即12a >．①若121a-≥，即1a ≥，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在(]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(0)1f =，符合题意；②若1021a <-<，即112a <<，则函数()f x 在[)1,0-上递减，在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在12,1a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递减，因为函数()f x 在区间[1,1]-上有最小值1，而(0)1f =，所以只要2(1)1e a f +=≥，即e 2a ≥-时满足题意，又112a <<，所以，e 21a -≤<．综上，a 的取值范围为[e 2,)-+∞．【小问3详解】当0a ≤时，由()0g x =得2(1)e e x ax x x -++=，易知0x =不是函数()g x 的零点，所以，111e x ax x +++=，令11()e 1x h x ax x+=---，121()e 0x h x a x +'=-+>，()h x ∴在()(),0,0,-∞+∞上递增．当0x >时，2(1)e 20h a =-->，且0x →时，()h x →-∞，0(0,1)x ∴∃∈使得0()0h x =，即当0x >时，()0g x =有唯一零点；当0x <，易知0x →，()h x →+∞，且x →-∞时，()h x →-∞，1(,0)x ∴∃∈-∞使得1()0h x =，即0x <时，()0g x =有唯一零点，综上：函数()()e g x f x x =-零点的个数为2个．2）中，抓住函数(0)1f =，即函数过定点这条性质先缩小a 的范围，从而减少分类讨论；在小问（3）中，探究函数的零点个数一般转化为左右两个函数图象的交点个数，因此，通过图象的直观性判断出零点个数，再用数学语言表达之．21.已知集合(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =⋯∈=⋯∈，定义A 与B 之间的距离：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-+⋯+-.若(,)1d A B =，则称A ，B 相关，记为A B ↔.若n S 中不同的元素12,,,(2)m A A A m ⋯≥，满足1211,,,m m m A A A A A A -↔⋯↔↔，则称12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环.（1）请直接写出2S 中的一个闭环1234,,,A A A A ；（2）若12,,,m A A A ⋯为n S 中的一个闭环，证明：m 为偶数；（3）若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，求m 的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）4046【解析】【分析】（1）写出集合2S ，按照(),1d A B =即可写出.（2）因为(),1d A B =，且各元素为0或1，所以若1i i A A +↔，则1i i A A +，只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以集合中元素有k 个1时，由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即集合个数为2k ，即可得证.（3）由（2）可知，2m k =，k 的最大值为2023，可求出m 的最大值.【小问1详解】解：()()()(){}20,0,0,1,1,1,1,0S =，()()()()12340,0,0,1,1,1,1,0A A A A ====.【小问2详解】解：(){}{}()12|,,0,1,1,22n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥ ，所以不妨设()10,0,0A = ，因为(,)1d A B =，所以2A 中只有一个元素为1，其余为0，可设()21,0,0A = ，同理，()31,1,00A = ，，直至 11,11,0,,0k k A +⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若21,k k A A ++↔则2k A +中有1k -个1，1n k -+个0，且2k k A A +≠，可设210,1,10k k A +-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，0，直至210,0,1,0,0k k A -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，21,k A A ↔所以2m k =，即m 为偶数；【小问3详解】由（2）可知，若12,,,m A A A ⋯为2023S 中的一个闭环，则2m k =，k 最大值为2023，所以m 最大值为4046.【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于充分理解(),1d A B =，即前后相关的两个集合只能有一个元素由0变为1或由1变为0，所以若集合中出现k 个1，则由0变为1的集合有+1k 个，由1变为0的集合有1k -个，即可证明结论。
重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(含答案)
秘密★启用前2022~2023学年度上期学情调研高二数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2332132243334201520172016a a a a a a a a a a a a ----=A ．1B ．2017C ．-1D ．-20172．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为22221(0)x ya b a b+=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ）A ．2218116x y +=B ．2216581x y +=C ．22110064x y +=D ．22164100x y +=3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．4x =4．已知{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +成等比数列，且公比为q ，则q ＝（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-5．在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（ ）A ．B ．-C ．±D ．3π6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ）A ．38B ．35C ．32D ．297．已知双曲线()()220022:10,0,,x y C a b P x y a b-=>>是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点.则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(C ．()2,∞+D ．)+∞8．数列{}n a 满足11a =，对任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111...a a a +++=（ ）A ．20152016B ．20162017C ．40342017D ．40322017二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和，且11,*.n n n a a b n N +=∈若40,S =55a =，则（ ）A ．25n a n =-B ．24n S n n=-C ．16n T <-D ．()5n n a b +的最大值为210．关于函数()xf x e =，()lng x x =下列说法正确的是（ ）A ．对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立B ．对x ∀∈R ，()f x ex ≥恒成立C ．若a b e >>，()()ag b bg a <D ．若不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e11．设数列{}n a 是公差为d 等差数列，n S 为其前n 项和，10a <，且20202023S S =，则（ ）A ．0d >B ．20220a =C ．56S S <D ．2021S ，2022S 为n S 的最小值12．已知双曲线22:1169x y C -=，下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±B ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为3C ．若直线l 与C 相交于A 、B 两点且AB 的中点为()8,3，则l 的斜率为32-D ．若直线y kx =与C 没有交点，则k 的取值范围是33,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．顶点在原点，经过圆2220C x y x +-+=：的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．14．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ），则2020a =__.15．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC ∆，则a 的值为__________．16．已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝14，且a 1，a 3，a 11成等比数列，设bn ＝(－1)n ＋1an ，数列{bn }的前n 项的和为Sn ，则S 2 021＝________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k ∈N ．记2112n n b a n -=++，*n ∈N ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n a a S =+，且12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n b n a =+，求221n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．对于数列A ：a 1，a 2，a 3，…，定义A 的“差数列” ∆A ：213243,,a a a a a a ---，…（I ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的通项公式121n n a -=+，写出∆A 的前3项；（II ）试给出一个数列A ：a 1，a 2，a 3，…，使得∆A 是等差数列；（III ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的差数列的差数列 ∆（∆A ）的所有项都等于1，且19a =92a =0，求1a 的值.20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，直线0x y +=过其短轴的一个端点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.21．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知132a a +=-，1575S =（*n ∈N ）．（Ⅰ）求9S ；（Ⅱ）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F，点M ⎛ ⎝在椭圆C 上，且椭圆C 上存在点N 与点F 关于直线y x =对称．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，点A ，B 是x 轴上关于原点对称的两点，且点A ，B 在直线l 上的射影分别为P ，Q ，判断是否存在点A ，B ，使得AP BQ ⋅为定值，若存在，求出A ，B 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n 为偶数时，2211n n n a a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=，所求式子最末项2015n =，从而可得结果.由题意得：21321a a a -=，22431a a a -=-，23541a a a -=，…∴当n 为偶数时，2211n n na a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=()()()()23321322433342015201720161a a a a a a a a a a a a ∴---⋅⋅⋅-=-本题正确选项：C本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律.2．A由方程的要求，排除两个选项，再由矩形ABCD 的面积确定正确选项．由题意椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，排除BD ，矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22a b ⋅144=，36ab =．在椭圆2218116x y +=中，9,4a b ==，36ab =，满足题意，在椭圆22110064x y +=中10,8a b ==，80ab =, 不满足题意．故选：A ．3．B试题分析：双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0 故抛物线22y px =中242p p =⇒= 故其准线方程为2x =-考点：抛物线的焦点，双曲线的焦点，抛物线的准线方程4．C设{}n a 是公差为d 的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得1d =-，再由等比数列的定义，计算可得所求值．解：设{}n a 是公差为d 的等差数列，若11a +，33a +，55a +成等比数列，可得2315(3)(1)(5)a a a +=++，即2111(23)(1)(45)a d a a d ++=+++，化为2210d d ++=，解得1d =-，则1(1)n a a n =--，则公比为3111323111a a q a a +-+===++，故选：C ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．5．C利用韦达定理可得28a a ，再根据等比数列的性质即可得出答案.解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a =所以33575a a a a ==±.故选：C.6．B由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =，故选：B.本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型.7．B由直线20bx ay a -+=与渐近线0bx ay -=的距离得到圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为2a d c=，再根据圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，由2a d c =求解.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为0bx ay -=，因为点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，又直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离为：2a d c=，即圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为：2ad c=,因为圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，所以2ad c =c e a=≤1e >,所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线0bx ay -=与直线20bx ay a -+=.8．D利用累加法可得(1)2n n n a +=，再裂项相消求和即可由题意得，对11n n a a a n +=++，故11a =，212a a =+，323a a =+，…，1n n a a n -=+，累加可得(1)12...(2)2n n n a n n +=+++=≥，11a =满足，所以(1)2n n n a +=，则1112(1n a n n =-+，122016111a a a +++ 1111140322(1223201620172017=-+-++-= 故选：D ．9．ABD由题意，列方程组求出等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 即可求解n a 与n S ，选项A 、B 可判断；由n a 可得n b ，又111136T b ==>-即可判断选项C ，由()1515282n n a b n n+=+-，利用单调性即可求解最大值.解：因为数列{}n a 为等差数列，40S =，55a =，所以1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，()232542n n n S n n -+-==-，故选项A 、B 正确；又因为11n n n a a b +=，所以()()1112523n n n b a a n n +==--，因为1n =时，111136T b ==>-，所以选项C 错误；因为()()()2221515252341615282nnn n a b n n n n n n+===---++-，1n =时，()11235a b =+，2n =时，()2245a b =-+，3n ≥时，因为15282n n+-随着n 的增大而增大，且大于0，所以()()33255n n a b a b +≤=+，综上，()5n n a b +的最大值为2，故选项D 正确；故选：ABD.10．ABD选项A ：构造函数()()ln 10h x x x x =-+>，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项B ：构造函数()()x f x ex ϕ=-，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项C ：构造函数()()()0g x m x x x=>，根据导数判断函数在(),e +∞内单调递减，从而判断选项错误；选项D ：把不等式()()f ax ax x g x -≥-变形为ln ln ax x e ax e x -≥-，所以只需研究函数()x F x e x =-的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.选项A ：令()()ln 10h x x x x =-+>，则()111xh x x x-'=-=，因为0x >，所以由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >，所以()h x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，所以()h x 的最大值为()10h =，所以对0x ∀>，()0h x ≤恒成立，即对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立，故选项A 正确；选项B ：令()()x x f x ex e ex ϕ=-=-，则()x x e e ϕ'=-，由()0x ϕ'>得1x >；由()0x ϕ'<得1x <，所以()x ϕ在()1,+∞内单调递增，在(),1∞-内单调递减，所以()x ϕ的最小值为()10ϕ=，所以对x ∀∈R ，()0x ϕ≥恒成立，即对x ∀∈R ，()f x ex ≥恒成立，故选项B 正确；选项C ：令()()ln ()0g x x m x x x x==>，则21ln ()xm x x -'=，所以由()0m x '>得0<<x e ；由()0m x '<得>x e ，所以()m x 在()0,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以当a b e >>时，()()m a m b <，即()()g a g b a b<，所以a b e >>，()()ag b bg a >成立，故选项C 错误；选项D ：因为不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，即不等式ln ax e ax x x -≥-对1x ∀>恒成立，又因为ln ln ln x x x e x -=-，所以不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立；令()x F x e x =-，则 ()1x F x e '=-，当0x >时，()10x F x e '=->恒成立，所以()x F x e x =-在()0,∞+单调递增，所以由不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立，得ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即ln xa x≥对1x ∀>恒成立，由选项C 知，()ln ()1xm x x x=>在()1,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以()m x 的最大值为1()m e e =，所以只需1a e ≥，即正实数a 的最小值为1e .故选：ABD.利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）()f x a >恒成立型的可转化为min ()f x a >；（3）()()f xg x >恒成立型的可以通过作差法构造函数()()()h x f x g x =-，然后求min ()0h x >，或者转化为min max()()f x g x >.11．ABD根据题干条件找出1a 和d 的等量关系，分析出1a 和d 的符号后逐一判断即可.根据20202023S S =可知，2021202220230a a a ++=，由等差中项可得，202120222023202203a a a a ++==，即20220a =，故B 正确；10a <，2022102021a a d ==+，故102021a d =->，故A 正确；10a <，0d >可知，等差数列单调递增，但20220a =，说明()12021,n a n n ≤≤∈Z 都是负数，故2021S 最小，又20220a =，于是20212022S S =，它们均是最小值，故D 正确；据刚才分析，60a <，而6560S S a -=<，故C 错误.故选：ABD 12．AB结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正确选项.依题意，双曲线22:1169x y C -=，4,3,5a b c ===，双曲线的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，A 选项正确.焦点()5,0F 到渐近线340x y -=的距离为1535=，B 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,1169169x y x y -=-=，两式相减并化简得12121212916y y y y x x x x +-=⋅+-，若AB 的中点为()8,3，则12121212933,1682y y y y x x x x --=⋅=--，即l 的斜率为32，C 选项错误.双曲线的渐近线34y x =±与双曲线没有交点，34k =±，所以D 选项错误.故选：AB 13．试题分析：由题意圆的圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点代入得，解得，因此抛物线方程．考点：抛物线的标准方程．14．2020当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭，即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，所以20202020a =.故答案为：2020.本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.15．根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理和比例性质求得22bc a sinBsinC sin A=，结合△ABC 的面积求出a 的值．△ABC 中，由cos 2A ﹣cos 2B +sin 2C ＝sin B sin C 14=，得1- sin 2A -（1- sin 2B ）+sin 2C ＝sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ，∴b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理得cos A 222122b c a bc +-==，又A ∈（0，π），∴A 3π=；由正弦定理a b csinA sinB sinC==，∴22bc a sinBsinC sin A=，即22143bc a sin π=，化简得a 2＝3bc ；又△ABC 的面积为S △ABC 12=bc sinA =∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝故答案为本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题．16．3032根据已知条件求得n a ，进而求得n b ，利用分组求和法求得2021S .设等差数列{}n a 的公差为d ，由于a 1，a 3，a 11成等比数列，∴23111a a a =⋅，即(a 5－2d )2＝(a 5－4d )·(a 5＋6d ).∴14d 2＝3a 5d .又d ≠0，a 5＝14，知d ＝3，因此an ＝a 5＋(n －5)×3＝3n －1，bn ＝(－1)n ＋1(3n －1).∴S 2 021＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 021＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5)＋…＋(b 2 020＋b 2 021)2310103032=+⨯=.故答案为：303217．（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析.（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可．（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++，且11332b a =+=， 所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ，所以123112n n b a n --=+-+， (23122)b a =++，11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……．而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ，()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ，()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>．本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．18．（1）2nn a =；（2）()()221n n n ++.（1）由题意结合数列n a 与n S 的关系可得12n n a a -=，进而可得{}n a 是公比2q =的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意()22221111n n b n n +=-+，再由裂项相消法即可得解.（1）由12n n a a S =+可得当2n ≥时，1112n n a a S --=+，∴1122n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，又12a =，∴{}n a 是公比2q =的等比数列，∴112n nn a a q -==；（2）由（1）知，()()()221log 1log 21nn n b n a n n n =+=+=+，∴()()2222221211111nn n b n n n n ++==-++，∴()22222211111112231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()22222211111112231n n =-+-++-+ ()()()2221111n n n n +=-=++.本题考查了数列n a 与n S 关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19．（I ）1，2，4；（II ）数列A ：2，2，2，2，…；（III ）819（I ）先计算数列A 的前4项，然后利用差数列的定义写出∆A 的前3项；（II ）由差数列定义知常数列即满足题意；（III ）根据差数列的定义利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值.（I）数列A：2，3，5，9，数列 A：1，2，4（II ）数列A ：2，2，2，2，… （III ）数列∆（∆A ）：1，1，1，1，…，设数列∆A ：k ，k+1，k+2，k+3，…则数列A ：a 2－a 1=k a 3－a 2=k+1…()12n n a a k n --=+-以上叠加得()()()11212n n n a a n k ---=-+，即()()()11212n n n a n k a--=-++则19192118179914591a k a a k a =+⨯+⎧⎨=+⨯+⎩，则154819k a =-⎧⎨=⎩.本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力.20．（1）22143x y +=；（2）直线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3(1,)2M ．（1）由离心率得12c a =，由直线过短轴端点得b =，从而可求出a ，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解．（1）直线l 与y轴交点为(0,，它是椭圆短轴端点，则b =又12c e a ==，所以22214a b a -=，解得2a =．∴椭圆方程为22143x y +=；（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由221431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12k =-，此时121x x ==，1232y y ==，即3(1,2M ．直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．切线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3(1,)2M ．本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题．过椭圆外一点作椭圆的切线有两条，要注意考虑斜率不存在的情形．特别是设斜率k 求解时只有一解，说明还有一条是斜率不存在的．21．（Ⅰ）18；（Ⅱ）24n nT n =+.试题分析：（1）根据等差数列{}n a 满足132a a +=-，1575S =，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，根据等差数列的求和公式可得9S 递的值；（2）由（1）知3n a n =-，从而可得()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，则{112221510575a d a d +=-+=即{1111510575a d a d +=-+=，解得{121a d =-=，所以()998921182S ⨯=⨯-+⨯=. （也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I ）知()2113n a n n =-+⋅-=-，()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，∴ 123n n T b b b b =++++= 111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11.2224n n n =-=++ 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．（1）22142x y +=；（2），存在点)A ，()B 或()A ，)2,0B，使得AP BQ ⋅为定值，该定值为2．（1）依题意可得点M ⎛ ⎝，()0,N c -在椭圆上，代入得到方程组，解得即可；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，消元，根据0∆=，得到,k m 的关系，设()(),00A t t ≠，则(),0B t -，求出点到直线的距离AP 、BQ ，即可得到AP BQ ⋅为定值时t 的值，再计算斜率不存在时AP BQ ⋅也为定值；解：（1）因为点M ⎛ ⎝在椭圆C 上，所以221123a b +=．由题意知(),0F c -，因为点N 与点F 关于直线y x =对称，所以点N 的坐标为()0,N c -，代入椭圆C 的方程，得221c b =，即2221a b b-=，所以222a b =，与221123a b +=联立并求解，得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）存在点A ，B ，使得AP BQ ⋅为定值．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，则()()()2224412240km km∆=-+-=，得2242m k =+．设()(),00A t t ≠，则(),0B t -，点(),0A t 到直线l点(),0B t -到直线l 所以()22222224211t km t k AP BQ k k -+-⋅==++，当242t -=，即t =时，2AP BQ ⋅=，为定值，所以存在点)A，()B 或()A ，)B，使得2AP BQ ⋅=．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，)A，()B 或()A ，)B均满足2AP BQ ⋅=．综上，存在点)A ，()B 或()A ，)B，使得AP BQ ⋅为定值，该定值为2．【得解】解决本题时，易忽略直线l 的斜率不存在的情况．一般地，解决关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论．当直线的斜率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线的斜率存在时得到的结论，借助几何图形直观求解．。
全国名校第一次月考试卷数学高二
全国名校第一次月考试卷数学高二示例文章篇一：《我的高二数学第一次月考之旅》哎呀呀，说起这次高二的第一次月考数学试卷，那可真是一场“惊心动魄”的旅程！考试前的那几天，我感觉自己就像个上紧了发条的小机器人，不停地转动着大脑，拼命复习那些数学公式和定理。
我心里一直在想：“这次月考可千万不能考砸了，不然怎么对得起我每天埋头苦读的那些时光呢？”终于到了考试那天，我紧张得手心都出汗了。
走进考场的时候，我看到同学们有的一脸轻松，好像胜券在握；有的则眉头紧锁，跟我一样紧张得不行。
我忍不住在心里问自己：“他们是不是都复习得特别好啊？我会不会比不过他们？”试卷发下来的那一刻，我的心都提到了嗓子眼儿。
我快速地浏览了一遍题目，心里稍微松了一口气，还好，大部分题目看起来不算太难。
我开始认真地答题，就像在战场上冲锋陷阵的战士，每一道题都是我的敌人。
遇到简单的题目，我心里乐开了花，“这题也太容易了吧，简直就是送分题嘛！”可是碰到难题的时候，我就像被一块大石头挡住了去路，怎么也绕不过去。
我抓耳挠腮，绞尽脑汁地想啊想，“这道题到底该怎么做呢？老师好像讲过类似的，可我怎么就想不起来了呢？”就在我苦思冥想的时候，我听到旁边的同学轻轻地叹了口气，我心想：“难道他也被这道题难住了？”我偷偷地瞟了一眼他的试卷，发现他还空着一大片没写呢，我心里突然又有了点信心，“哼，我可不能比他差！”时间一分一秒地过去，我的笔在试卷上不停地写着。
写到后面的大题时，我感觉自己的脑袋都要炸了，那些复杂的图形和密密麻麻的数字，就像一群调皮的小猴子在我眼前上蹿下跳，让我眼花缭乱。
“哎呀，这道题怎么这么难啊！我怎么就这么笨呢！”我忍不住在心里抱怨着。
就在我快要绝望的时候，我突然想起了老师讲过的一个解题方法，“哈哈，有办法啦！”我兴奋得差点叫出声来。
终于，考试结束的铃声响了，我长长地舒了一口气，把试卷交了上去。
走出考场的时候，我感觉自己整个人都虚脱了。
和同学们对答案的时候，我发现自己有好几道题都做错了，心情一下子又变得低落起来，“完了完了，这次肯定考砸了！”现在，我就等着成绩出来了，真希望能有个好结果啊！我觉得这次考试就像一次冒险，有惊喜，也有惊吓。
重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成[50,60),[)[)60,70,70,80,[80,90),[90,100)五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（）据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．4．D【分析】分甲得2个和甲得1个磁力片两种情况分类求解，再由分类加法计数原理得解.【详解】若甲分得两个磁力片，共有1232C A 6=种分法，若甲只分得一个磁力片，共有2232C A 6=种分法，由分类加法计数原理，可得共有6612+=种分法.故选：D 5．A【分析】根据递推关系式可知数列{}n a 是以6为周期的周期数列，根据周期性和对数运算法则可求得结果.【详解】由题意知：0n a >，31n n a a +=Q ，361n n a a ++\=，6n n a a +\=，即数列{}n a 是以6为周期的周期数列；()()()1234561425361a a a a a a a a a a a a ==Q ，()()()33712202412202412345612ln ln ln ln ln ln a a a a a a a a a a a a a a \++×××+=×××××=+ln1ln 2ln 2=+=.故选：A.6．C【分析】根据题意找出相应的规律，第37个数为第21行第3个数，从而可求解.【详解】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，所以20n =，3r =，所以3122020C C 190-==.故C 正确.故选：C.=。
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考生须知：1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分.2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知等差数列通项公式为，则公差为（）A 5B. 4C. 2D. 32. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D.3. 已知函数，下面说法正确的是（ ）A. 在上的平均变化率为1B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为24. 在数列中，，且，则其前项的和为（）A. 841B. 421C. 840D. 4205. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）的.{}n a 32n a n =+()0,∞+ln y x x=+3y x x =+1y x x=+2sin y x x=+()sin2f x x =()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos2f x x'=π3x =()f x ()f x 0x ={}n a 11a =()*12N n n a a n n ++=∈41()y f x =R ()y f x ='A. 2是的极大值点B. 在处的切线斜率大于0C.D. 在上一定存在最小值6. 设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）A. 3B. 6C. 7D. 88. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 9. 给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②④10. 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：①；②；③设，则；④设，则有最大值，但没有最小值.其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知等比数列中，，，则该数列的前项和为______.12. 设，使存在极值的一个的值可以是______.13. 设，若的单调减区间为，则______，______..()f x ()f x ()()0,0f ()()34f f <()f x ()3,5-{}n a n n S 321a a a >>{}n S {}n a n S n 83S S >130S <n S n =()2ln 2x f x x =-(),m +∞m [)1,+∞()1,+∞()0,1(]0,1k e k =-1e k =-0k =1k =()e xk f x x=-{}n a 11a =22a =33a =312n n n n a a a a +++=+-20232023a =20242020a =-123n n S a a a a =++++ 20235056S =123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ n T {}n a 28a =-34a =4()3231f x x ax x =+++()f x a ()2ln f x ax bx x =++()f x ()1,2=a b =14. 函数的定义如下表：1234551234已知，且数列满足对任意的，均有.若，则正整数的值为______.15. 牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用. 如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的1次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当，时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：______；（2）若取作为2次近似值为______（用分数表示）.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最小值.17. 已知数列为等差数列，，，数列满足，.的的()f x x ()f x 04a ={}n a *n ∈N ()1n n a f a -=123180105m m m a a a a +++++++= m r ()0f x =0x r ()()00,x f x ()y f x =()()00,x f x 1l ()00f x '≠1l x 1x r ()()11,x f x ()y f x =()()11,x f x 2l ()10f x '≠2l x 2x r r {}n x ()0n f x '≠*n ∈N r 1n +1n x +n n x 1n x +=02x =r ()3211233f x x x x =+-+()y f x =0x =()f x ()f x []1,4-{}n a 11a =2410a a +={}n b 11b =121n n b b +=+（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.18. 设函数.（1）求的单调区间；（2）若，设，求证：不存在极大值.19. 已知数列是无穷数列，.（1）若，，写出，的值；（2）已知数列中，求证：数列中有无穷项为；（3）已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.{}n a {}1n b +n n n c a b =+{}n c n n S ()2e axf x x =()f x 1a =()()g x f x x =-()g x {}n a 11111,0,0n n n n n n n n na a a a a a a a a --+----≥⎧=⎨--<⎩11a =22a =4a 5a {}n a 0k a ={}n a 0{}n a 0120a a >>{}()*212max ,n n n b a a n -=∈N{}max ,m n m n {}n b北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.【11题答案】【答案】10【12题答案】【答案】（答案不唯一）.【13题答案】【答案】①.## ②. 【14题答案】【答案】145【15题答案】【答案】 ①. ②. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）（2）增区间，减区间 （3）【17题答案】【答案】（1） （2）证明略 （3）【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）证明略【19题答案】【答案】（1）， （2）证明略（3）证明略4140.2532-()()n n n f x x f x '-975631y x =+()(),1,3,-∞+∞()1,3133-21n a n =-1222n n n ++--41a =50a =。
2023-2024学年重庆市西南大学附中高二上学期10月阶段性检测数学试卷及答案
西南大学附中高2025届高二上阶段性检测（一）数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A ．1B ．2C ．3D ．42． 样本中共有5个个体，其值分别为12345x x x x x ，，，，．若该样本的平均数为3，则131x +，234531313131x x x x ++++，，，的平均数为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．103． 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B ．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C ．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D ．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4． 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率．记事件A ：甲踢进球；事件B ：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，()P A B =（ ）A ．45B ．910C ．1825D ．49505． 过点A （1，−2）且与直线:2630l x y −−=平行的直线方程是（ ）A ．370x y −−=B ．350x y −+=C ．310x y +−=D ．350x y −−=6． 抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5能够构成锐角三角形的概率是（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．237． 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有700人、600人、700人．其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ） A ．0.433B ．0.435C ．0.442D ．0.4518． “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序． A ．72B ．78C ．96D ．120二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A =“两人都中奖”；B =“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（ ） A ．BC D =B ．AC ≠∅ C ．CD ⊆ D ．B D B =10． 小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5．下列说法正确的是（ ） A ．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B ．小张测试表现时而好，时而糟糕 C ．小陈比小张的测试发挥水平更稳定D ．平均来说小陈比小张数学成绩更好11． 下列说法错误有（ ）A ．“1a =−”是“210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− C ．直线22cos sin 10x y αα+−=恒过定点（1，1）D ．经过点（1，2）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=12． 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1、2、3的三个号签；乙袋有编号为1、2、3、4、5、6的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ） A ．1()18P AB =B ．1()9P C =C ．事件A 与事件C 相互独立D ．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 数据2，4，5，8，a ，10，11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为__________． 14． 若A ，B 两个事件相互独立，且1()3P AB =，则()P A B = ．15． 已知两点A （−1，1），B （3，−2），过点P （2，−1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l （不考虑斜率不存在的情况）的斜率k 的取值范围是__________．16． 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3∶1取得胜利的概率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa ）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这10件产品的平均抗拉强度x 和标准差s ；(2) 该10件产品的抗拉强度位于x s −和x s +之间所占的百分比是多少？18． (12分) 已知平面内两点P （−1，−3），Q （3，3）．(1) 求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当||||OA OB +取得最小值时，求直线l 的方程．19． (12分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验，随机抽取了100位同学的测试成绩作为样本，得到以[8090)，，[90100)，，[100110)，，[110120)，，[120130)，，[130140)，，[140150]，分组的样本频率分布直方图如图．(1) 求直方图中x 的值；(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到0.1） (3) 样本内数学分数在[130140)，，[140150]，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130140)，中的概率．20． (12分）已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()cos A B C B A C +=−=，． (1) 求sin A ；(2) 若3b =，求AC 边上的高．数学分数21． (12分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项．(1) 求该同学11题得5分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．22． (12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111386B A B C AA AB BC AB BC ====⊥，，，，，D 为AC 中点，15tan 12BB D ∠=． (1) 求证：1BC B D ⊥；(2) 线段11B C 上是否存在一点E ，使得AE 与面11BCC B 的夹角．A参考答案一、选择题1—4BDCD 5—8ACCB 9.ACD 10.BC11.ABD12.ABD二、填空题13.914.2315.2(,1][,)3-∞--+∞ 16.0.17417.（1）91090590089690791291589390389990410x +++++++++==22222222222(910904)(905904)(900904)(896904)(907904)(912904)(915904)(893904)(903904)(899904)45.810s -+-+-+-+-+-+-+-+-+-==∴45.8s =（2）∵645.87<∴897898x s <-<，910911x s <+<∴610010⨯％=60％18.（1）∵(1,3),(3,3)P Q --∴PQ 中点3(1,0),2PQ M k =∴23k =-直线222:(1)333l y x x =--=-+（2）设(,0),(0,)A a B b 其中（,0a b >）则直线:1x y l a b+=∵Q 在直线上∴331a b+=∴3333()()612b aa b a b a b a b+=++=++≥当且仅当6a b ==时，等号成立此时，:6l y x =-+19.（1）(0.0120.0220.0280.0180.0080.002)101x ++++++⨯=解得0.01x =（2）中位数0.1610010105.70.28=+⨯=0.12850.22950.281050.181150.11250.081350.02145107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[130,140)：1000.088⨯=（人）；[140,150]:1000.022⨯=（人）∴在[130,140)中抽取4人，[140,150]中抽取1人总共有10种情况，A:恰有一人成绩在[130,140)中：4种∴42()105P A ==20.（1）∵2,A B C A B C π+=++=∴3C π=sin()cos cos()B AC A B -==-+sin cos cos sin cos cos sin sin B A B A A B A B-=-+化简得(cos sin )(cos sin )0B B A A +-=∴344B A ππ==（舍）或∴2sin 2A =（2）212362sin sin()sin cos cos sin 22224B AC A C A C =+=+=+=由正弦定理sin sin b c B C =，可得92362c =∴92362933sin 222c A -==21.解：（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,AB AC AD BC BD CD .所以1113618P =⨯=…………………………………………………………………………………….5分（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分,记事件1A ：11题得2分；事件2A ：11题得5分；事件1B ：12题得2分；事件2B ：12题得5分则1121()244P A =⨯=；21()18P A =1131113()=243224P B =⨯+⨯；2111()6424P B =⨯=………………………………..9分12212237()()()864P P A B P A B P A B =++=……………………………………………….12分22.（1）证明：连接BD ∵8,6,AB BC AB BC ==⊥∴10AC =∵D 为AC 中点∴5BD =∵15tan 12BB D ∠=，∴2221111112cos 213B D BB BD BB D B D BB +-∠==⋅∴112B D =∵22211B D BD BB +=∴1B D BD ⊥……………………………………….2分∵11B A BC =且D 为AC 中点∴1B D AC ⊥………………………………………3分∵11B D ACB D BD AC BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩∴1B D ABC ⊥面…………………………………4分∵BC ABC⊂面∴1BC B D ⊥……………………………………….5分（2）如图，以D 为原点，CB 为x 轴正向，AB 为y 轴正向，1DB为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.11(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12),(6,0,12)A B C B C ---，1(6,0,0),(3,4,12)BC BB =-=--令111B E B C λ= ，则(6,0,12)E λ-，(63,4,12)AE λ=--………………………………..…………….7分令面11BCC B 的法向量为n10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴(0,3,1)n = ……………………………………………………………………..10分||1274sin cos 185||||n AE n AE θα⋅===⋅解得13λ=所以E 是靠近1B 的三等分点 (12)分。
2023-2024学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高二上学期10月月考数学试卷含详解
2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2B.C. D.4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂α C.l α⊥ D.l ⊂α或//l α5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3- B.3C.4D.66.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C < B.0C > C.0BC > D.0BC <7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤-B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.2C.14D.34二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.17.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=-分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯=___________．20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅的最小值为_________.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO 平面ABC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；OH平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.（3）若//2023-2024学年度第一学期第一次月考高二年级数学学科试卷（考试时间90分钟，总分150分）一、单选题（本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-【答案】A【分析】运用斜率公式计算即可.【详解】由题意知，1(1)210k --==-，即直线l 的斜率为2.故选：A.2.直线50x ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为35333y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D3.在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于（）A.2 B.C. D.【答案】D【分析】根据空间中两点之间的距离公式即可求解.【详解】根据空间中两点之间的距离公式可得AB =,故选:D4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b，若0a b ⋅=，则（）A.//l αB.l ⊂αC.l α⊥D.l ⊂α或//l α【答案】D【分析】依题意可得a b ⊥，即可判断.【详解】∵直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b 且0a b ⋅=，即a b ⊥ ，∴l ⊂α或//l α.故选：D5.已知(2,1,3)a =- ，(4,1,)b t =- ，且a b ⊥，则实数t 的值为（）A.3-B.3C.4D.6【答案】B【分析】运用空间向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以2(4)1130t ⨯--⨯+=，解得3t =.故选：B.6.已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有（）．A.0C <B.0C > C.0BC > D.0BC <【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线的斜率、纵截距，再列不等式求解作答.【详解】依题意，直线0Ax By C ++=的斜率为AB -，纵截距为BC -，又该直线不经过第一象限，因此0A B -<，且0CB-<，即0AB >，0BC >，选项A ，B 不一定正确，D 不正确，C 正确.故选：C ．7.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a = ，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122-+ a b c B.1122a b c+-C.1122a b c-++D.1122--+a b c【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB，即得答案.【详解】111111()22MB MB BB DB AA AB AD AA =+=+=-+1122a b c =-+ ,故选;A8.已知直线1l ：()2140x a y +-+=，2l ：340ax y --=，则“3a =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充要条件的定义判断.【详解】解：当3a =时，直线1l ：20x y -+=，2l ：3340x y --=，则12l l ∥，当12l l ∥时，()()()23102440a a a ⎧⨯---⨯=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即26020a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得3a =，故“3a =”是“12l l ∥”的充要条件，故选：C9.已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A.144k -≤≤- B.4k ≤-或14k ≥-C.344k -≤≤D.344k -≤≤【答案】B【分析】数形结合法，讨论直线l 过A 、B 时对应的斜率，进而判断率k 的范围.【详解】如下图示，当直线l 过A 时，31421k --==--，当直线l 过B 时，211314k -==---，由图知：4k ≤-或14k ≥-.故选：B10.若直线l：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解方程得到33k >，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围.【详解】联立2360y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得6332362323x k k y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以633023623023k k k⎧+>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解得33k >，所以直线l 的倾斜角的范围为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.11.已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（）A.12B.22C.14D.34【答案】A【分析】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()22，距离的平方，求出()22，到直线10x y --=的距离，即可得到答案.【详解】()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10x y --=的距离2d ==，所以()2,2的最小值为212d =．故选：A二、多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，请选出所有符合题意的选项，如有错选不得分）12.己知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF =1，点Q 是棱A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则下面结论中正确的是（）A.PQ 与EF 一定不垂直B.平面PEF 与平面EFQ 夹角的正弦值是1010C.三角形PEF的面积是D.点P 到平面QEF 的距离是定值【答案】BCD【分析】根据点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥判断A 选项；根据二面角平面角的定义得到1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，然后求正弦值判断B 选项；根据四边形11ABC D 为矩形得到P 到EF 的距离和1AD 相等，然后求三角形面积即可判断C 选项；根据线面平行的判定定理得到11D C ∥平面QEF ，然后结合线面平行的性质得到点P 到平面QEF 的距离为定值即可判断D 选项.【详解】当点P 和点1D 重合时，PQ EF ⊥，故A 错；取11B C 中点H ，连接QH ，AQ ，1AD ，BH ，1BC ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11D C AB ∥，QH AB ∥，AB ⊥平面11AA D D ，所以平面PEF 即平面11ABC D ，平面EFQ 即平面ABHQ ，因为1,AQ AD ⊂平面11AA D D ，所以AB AQ ⊥，1AB AD ⊥，因为平面11ABC D ⋂平面ABHQ AB =，所以1QAD ∠为平面PEF 与平面EFQ 的夹角，由题意得，AQ ==，1AD ==2QD =，所以2221111310cos 210QA AD QD QAD QA AD +-∠===⋅⋅，因为()10,QAD ∠∈π，所以110sin QAD ∠==，故B 正确；由题意得四边形11ABC D 为矩形，所以P 到EF 的距离和1AD 相等，所以112EFP S =⨯⨯=V C 正确；因为11D C AB ∥，即11D C EF ∥，11D C ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11D C ∥平面QEF ，又11P D C ∈，所以点P 到平面QEF 的距离为定值，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13.已知点()1,1A ，()1,5B -，则线段AB 中点C 的坐标为______.【答案】(0,3)【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.【详解】点()1,1A ，()1,5B -，所以线段AB 中点C 的坐标为(0,3).故答案为：(0,3)14.若1,,02a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0x >）是单位向量，则x =__________.【答案】2【分析】运用单位向量的定义及空间向量模长公式计算即可.【详解】由题意知，||1a =r1=，解得32x =或32x =-，又因为0x >，所以x =.故答案为：32.15.已知向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c = ，则6a b c +- 的坐标为______.【答案】()10,3,17-【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.【详解】向量()2,3,1a =-- ，()2,0,3b = ，()0,0,2c =，则()()()()2,0,30,0,210,3,1762,3,16a b c +-=--+-=- .故答案为：()10,3,17-.16.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数=a ___________.【答案】0【分析】利用两直线的位置关系求解.【详解】因为直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，且12l l ⊥，所以110a a ⨯+⨯=，解得0a =，故答案为：017.直线1:l y kx k =-+过定点为_____．【答案】()1,1【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.【详解】直线l 可化为点斜式()11y k x -=-，所以直线1:l y kx k =-+过定点()1,1.故答案为：()1,1.18.设()()121,2,2,2,3,2v v =-=- 分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线1l ，2l 所成角的大小为___________.【答案】90︒##π2【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】因为121212cos ,0v v v v v v ⋅==⋅ ，所以1v 与2v 的夹角为90︒，即直线1l ，2l 所成角的大小为90︒.故答案为：90︒.19.两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,a b a b a b ⨯=〈〉 ．若(1,0,1)a = ，(0,2,2)b = ，则a b ⨯= ___________．【答案】【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.【详解】因为a b ==== 2a b →→⋅=，所以21cos ,42a b a b a b ⋅===⋅ ，故sin ,2a b == ，所以2a b ⨯== ，故答案为：20.平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线CD 上运动，则PA PC ⋅ 的最小值为_________.【答案】14-【分析】设1PC D C λ=uu u r uuu r ，然后根据空间向量的线性运算和数量积的运算律得到211224PA PC λ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭uu r uu u r ，最后求最小值即可.【详解】设1PC D C λ=uu u r uuu r，()PA PC PC CB BA PC ⋅=++⋅uu r uu u r uu u r uu r uu r uu u r ()11D C AD AB D Cλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()11A B AD AB A Bλλ=--⋅uuu r uuu r uu u r uuu r ()()11AB AA AD AB AB AA λλλλ=---⋅-uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ()()2222111111AB AA AB AD AB AB AA AA AD AA λλλλλλλλ=--⋅-⋅--⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()222211112AB AA AB AD AB AA AD AA λλλλλλλ=---⋅-⋅++⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ()()221424cos 602cos 6042cos 60λλλλλλλ=-⨯--⨯︒-⨯︒++⋅︒242λλ=-21112244λ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当14λ=时等号成立，所以PA PC ⋅ 的最小值为14-.故答案为：14-.四、解答题（本大题共3个小题，共50分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,1)且与直线31y x =-垂直的直线方程；（2）过点(1,2)且与直线2100x y +-=平行的直线方程；（3）求过点(0,2)A -，斜率是直线61y x =--的斜率的14的直线方程；（4）求过点(1,3)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的直线方程.【答案】（1）360x y +-=（2）240x y +-=（3）3240x y ++=（4）30x y +=或20x y +-=【分析】（1）由两直线垂直可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）由两直线平行可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（3）由已知可得所求直线的斜率，结合点斜式方程求解即可.（4）分别研究截距为0与截距不为0时直线方程即可.【小问1详解】因为31y x =-的斜率为3，所以所求直线的斜率为13k =-，所以由点斜式方程可得11(3)3y x -=--，即360x y +-=.【小问2详解】因为2100x y +-=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为2k =-，所以由点斜式方程可得22(1)y x -=--，即240x y +-=.【小问3详解】因为61y x =--的斜率为6-，所以所求直线的斜率为13642k =-⨯=-，所以由点斜式方程可得32(0)2y x +=--，即3240x y ++=.【小问4详解】①当截距为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点(1,3)A -，所以3k =-，即3k =-，所以直线方程为3y x =-，即30x y +=.②当截距不为0时，设直线方程为1x y a a+=（0a ≠），因为直线过点(1,3)A -，所以131a a -+=，解得2a =，所以直线方程为221x y +=，即20x y +-=.综述：所求直线方程为30x y +=或20x y +-=.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，24PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）16【分析】（1）利用中位线定理证得//PA MN ，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角的坐标公式计算即可.【小问1详解】证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以//PA MN ，又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC .【小问2详解】由题意知，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,4)P ，(2,2,0)B ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ，所以(2,2,4)PB =- ，(0,2,2)NC =- ，(1,0,2)MN =- ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n NC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则2x =，1y =，所以(2,1,1)n = ，设直线PB 与平面MNC 所成角为θ，则222222|||222141|21sin |cos ,|6||||26622(4)211PB n PB n PB n θ⋅====⨯++-⨯++ ，故直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.23.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8AC =，5PA PC ==，O 为AC 中点，H 为PBC 内的动点（含边界）.（1）求证：PO ⊥平面ABC ；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值；（3）若//OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）817（3）3317[,]517【分析】（1）运用面面垂直的性质定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可.（3）设点H 坐标，由//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC 可表示H 坐标，结合线面角坐标公式计算可得31122sin x α⎛⎫+ ⎪=02x ≤≤），运用换元法求此函数的值域即可.【小问1详解】证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC .【小问2详解】在三棱锥-P ABC 中，连接OB ，因为O 为AC 中点，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则OB OC ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABC ，所以以O 为原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，4OB OA OC ===，又5PA PC ==，则3OP =，则(0,0,3)P ，(0,4,0)-A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，所以(0,4,3)PA =-- ，(4,0,3)PB =- ，(0,4,3)PC =- ，设平面PAB 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111430430n PA y z n PB x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取13x =，则13y =-，14z =，则(3,3,4)n =- ，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z = ，则2222430430m PB x z m PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取23x =，则23y =，24z =，则(3,3,4)m = ，设平面PAB 与平面PBC 夹角为θ，则||168cos |cos ,|3417||||n m n m n m θ⋅===== ，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为817.【小问3详解】如（2）建系及图可知，平面PAB 的法向量为(3,3,4)n =- ，平面PBC 的法向量为(3,3,4)m =，(0,0,3)P ，设(,,)H x y z ，则(,,)OH x y z = ，(,,3)PH x y z =- ，因为//OH 平面PAB ，PH ⊂面PBC ，所以3340334(3)0n OH x y z m PH x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，解得33(,2,)24H x x -，所以33(,2,)24PH x x =-- ，又因为OP ⊥平面ABC ，所以(0,0,1)p =是平面ABC 的一个法向量，设直线PH 与平面ABC 所成角为α，则3331|||1|2422sin |cos ,|x x p PH α--+== 又H 为PBC 内的动点（含边界），所以04330324x x ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得02x ≤≤，所以31122sin x α⎛⎫+ ⎪=（02x ≤≤），令112t x =+，则2(1)x t =-，（12t ≤≤），所以3322sin 31t t α=⨯33==（12t ≤≤），因为12t ≤≤，所以1112t ≤≤，所以21110()24t ≤-≤，所以2111732()17252t ≤-+≤，所以117517≤≤，即33173517≤，所以直线PH 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围为3317[,]517.。
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
重庆市北碚区朝阳中学2024-2025学年高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆市北碚区朝阳中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设空间向量a =(1,2,−1)，b =(−2,−4,k)，若a //b ，则实数k 的值为( )A. 2B. −10C. −2D. 102.已知空间向量p =2a−3b +3c ，q =3a +b +c ，则p +q 以{a ,b ,c }为单位正交基底时的坐标为( )A. (5,−3,4)B. (5,−2,4)C. (2,−3,3)D. (3,1,1)3.点A(2,3−μ,−1+v)关于x 轴的对称点为A′(λ,7,−6)，则( )A. λ=−2，μ=−1，v =−5B. λ=2，μ=−4，v =−5C. λ=2，μ=10，v =8D. λ=2，μ=10，v =74.已知空间向量a =(1,0,3),b =(2,1,0),c =(5,2,z)，若a ,b ,c 共面，则实数z 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 35.已知a =(−1,2,1),b =(2,−2,0)，则a 在b 方向上的投影为( )A. − 6B. 6C. −3 22D. 3 226.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB =5，AD =3，AA′=7，∠BAD =60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，则AC′的长为( )A. 98+56 2B. 98−56 2C. 89+56 2D. 89−56 27.已知向量a =(2,−1,3)，b =(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为( )A. (−∞,−6)B. (−∞,−6)∪(−6,103)C. (103,+∞) D. (−∞,103)8.如图，已知正四棱锥P−ABCD 的所有棱长均为1，E 为PC 的中点，则线段PA 上的动点M 到直线BE 的距离的最小值为( )A. 33 B. 22C. 13D. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。
北大附中 北师大实验中学月考试卷调研
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新课 标 教材 里 的基 础知 识 或 由教 材 中 的例 题 、 习题 改编 而 成 ， 目的主 其
要 考查 数 学概 念 和 基 本 技 能 ， 于 属 容 易题 或 中等难 度 题 ；第 ２ 题 是 北 ０ 京 高考 最后 一 题 常 考 的一 种 形 式 ， 主要 考 查 分析 问题 和 解 决 问题 的能 力 ， 于难题 ． 属
二、 空题 ：、 ｉ 填 １火 ≮６小 也 ． 小 ５ｊ ， ３ ， ． ， 』 （ ， ）
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北京市北大附中2024-2025高三语文10月月考试卷
北大附中2025届10月阶段检测语文本试卷满分150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束，试卷和答题卡一并收回。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面材料，完成1-5题。
材料一中国传统都城中轴线的形成与发展有着悠久的历史,早在先秦时期,就已形成以南北向轴线统领的营城制度｡北京中轴线始建于元,成型､丰富于明清,发展､传承于近现代,是逾7个世纪城市历史遗存不断累积叠压的结果,成为北京老城独特景观秩序的极致体现｡明永乐四年(1406年)至明嘉靖四十三年(1564年),北京城形成“凸”字形城郭格局,北京中轴线的整体格局基本形成｡中华人民共和国成立后,天安门广场的规划与建设延续并强化了中轴线居中､对称的规划格局,北京中轴线作为北京城市发展的基准线仍然发挥着统领性作用｡北京中轴线中段北部,城市景观主要由明清时期的皇家宫苑和祭祀建筑构成｡古代皇家宫苑建筑居于轴线之上,故宫居南,内金水河环抱整个皇家宫殿区;景山居北,山体苍翠森然,为其靠山;南侧的午门､端门､天安门以层层门阙形成严整的景观序列｡位于北京中轴线核心区域的天安门､外金水桥和天安门广场及建筑群(包括天安门广场､人民英雄纪念碑､毛主席纪念堂､人民大会堂和中国国家博物馆)构成中段南部,是自明清时期延续至今的重要礼仪活动空间｡在不同历史阶段的城市发展中,北京中轴线整体的规划格局与景观秩序均得到尊重与延续,展现出持久的生命力,同时又在时代需求的驱动下得到不断发展与传承,见证了中华文明的伟大成就,展现出中国传统都城中轴线规划理念对于城市发展的深远影响｡（选自《中国文物报》，有删改）材料二北京中轴线成功申遗背后,多项数字技术为其提供了高精度､三维立体的空间数据底板｡这也是全球首次数字化技术全过程参与世界文化遗产申报｡数字化已经成为北京中轴线申遗的重要创新标签｡确定轴线走向在北京中轴线的申遗进程中,需对其方位､走向､空间格局等进行精确测定｡相比于定性式描述,精确测定更能展现北京中轴线严谨的空间秩序和丰富的细节。
2023-2024学年北京首师大附中高二(上)月考语文试卷(10月份)
2023-2024学年北京首师大附中高二（上）月考语文试卷（10月份）一、本大题共1小题，共15分。
1．（15分）阅读下面的材料，完成下列各题。
材料一①一篇文章的优劣，取决于能否映射现实、有无社会观照。
倘若文风浮夸自大，标题一惊一乍，这不仅唐突了读者，也丧失了传播价值②最近在网上，“美国害怕了”“日本吓傻了”“欧洲后悔了”之类的文章，总能赚取不少莫名点击。
然而，其实却了无新意，一味夸大，有的任意拔高、以偏概全，高喊《在这些领域；有的自我安慰、贻人口实，鼓吹《别怕，居世界第一》；有的内容一厢情愿、断章取义，放大成“中国在世界舞台上占据中心位置…中国现在是全球第一经济体”等声音。
③这些“雄文”的共性，一无事实骨架，二无内容血肉，徒有浮躁外壳，经不起一点风吹日晒。
要知道，国家也不会因为自大而变强。
挑动极端情绪、肆意传播偏见，容易造成公众走进夜郎自大、自吹自擂的狂妄误区④新闻学有一种观点认为，“最好的编辑一定是个营销专家”。
而某些媒体，其浮夸自大的文风，一触即破。
这类文章的始作俑者，把标题当作一枚带着诱饵的鱼钩，给标题大加“刺激”的猛料，以博人眼球，新闻不是爽文。
如果只讲营销不讲营养，只要眼球不讲责任，也是在误导大众。
⑤有网友感慨，进入了自媒体时代，新闻越来越多，浮夸自大的文风套路，看似抄了“10万+”的近路，去年新媒体运营行业人数超过300万，各类机构对内容创业者的投资金额超过50亿元，又有“钱途”。
然而，面对如此大好的形势，就更需恪守自律。
倘若毫无底线蹭热点，肆无恩障造噱头，偏离法治轨道，消解媒体公信力。
⑥言之无文，行而不远。
有人疑惑，是文章不会写了吗？并不是。
还记得，“中国一点都不能少”的新闻作品却产生共鸣。
针锋相对却有礼有节，气贯长虹而又言之有物，怎能不引发舆论场同声同气？全媒体时代，真实客观理性的新闻准绳没有变，平实求实务实的文风导向也没有变。
只有创作者自律自觉，将文风与世风勾连，方能写出真正从容自信的作品。
北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题
北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}139,{Z 1}x A x B x x =<≤=∈≥∣∣，则A B =I （ ） A ．(1,2] B ．{1,2} C ．[1,2] D ．{1}2．已知复数12i2iz +=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12-B ．2i +C ．i -D ．i3．已知a b <，则（ ） A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b <4．已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π4x x -=，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在ABC V 中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r.若DE xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．136．若α是第二象限角，且()1tan π2α-=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．7．已知数列{}n a 为无穷项等比数列，n S 为其前n 项和，10a >，则“{}n S 存在最小项”是“20S ≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 10．数列 a n 满足431n a -=-，411n a -=，2n n a a =，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数T ，*N n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*N n ∀∈，都有22n S =-二、填空题11．若()2log 10x +≤，则实数x 的取值范围是．12．已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是.（写一个即可）13．在矩形ABCD 中，||2,||1AB AD ==u u u r u u u r，且点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，则()AE AF AC +⋅=u u u r u u u r u u u r．14．已知函数()cos 2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是.15．已知平面内点集{}()12,,,1n A P P P n =⋅⋅⋅>，A 中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合{}(){}1,2,,,0,1,2,,i j i j i m B PP m n m i PP PP i n =∀∈≠<≤=u u u u r u u u u r u u u rL u L ，{},1,2,,i i j M P PP B i n =∈=u u u u L r. 给出以下四个结论：①若2n =，则A M =； ②若n 为奇数，则A M ≠； ③若n 为偶数，则A M =；④若{}12,,,k j j i i j i P P P P P B P ⊆u u u u r u u u u r u u u u r L ，则5k ≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．在等差数列 a n 中，25a =，3620a a +=． (1)求数列 a n 的通项公式：(2)设12n n n a b a =+，其中*N n ∈，求数列 b n 的前n 项和n S ． 17．已知函数()2πsin 22cos 6π6f x a x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中a ＞0．且()f x 的图象与直线=3y -的两个相邻交点的距离等于π． (1)求函数()f x 的解析式及最小正周期：(2)若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上恰有两个不同解，求实数m 的取值范围．18．在ABC V 中，sin 2sin b A B =． (1)求A ∠；(2)若ABC V 的面积为再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =②：b c =③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知函数()e 1x x af x x +=--． (1)求证：对R a ∀∈．曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线恒过定点； (2)当2a >时，判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由．20．设函数()()()2121ln 142f x ax a x x =-++-+．其中0a >．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)当12a =时．对于(]122,x x m ∀∈,，不等式()()21124f x f x ≤-恒成立，求m 的取值范围． 21．已知无穷数列 a n ， b n 各项都是正整数，定义集合：{},1,2,a n n j D n a b j +=≤=L ，{},1,2,b n n j D n b a j +=≤=L ；(1)已知21n a n =-，32n b n =-，直接写出集合,a b D D ；(2)若()11,2,n n a b n -==L ，11a =，a b D D =∅I ，求证： a n 中有无穷多个1； (3)若 a n ， b n 均为等差数列，且a D ，b D 均为无限集，求证：a b D D =．。
2023-2024学年北师大二附中高二语文上学期10月考试卷附答案解析
2023-2024学年北师大二附中高二语文上学期10月考试卷试卷满分100分。
考试时长90分钟一、本大题共6小题，共12分。
1. 下列句中加点字的解释错误的一项是（）A. 文胜质则史史：虚饰，浮夸B. 天下归仁焉归：回归C. 恻隐之心，仁之端也端：萌芽，发端D. 吾为其无用而掊之掊：击破2. 下列加点字的意义和用法都相同的一组是（）A. 若火之始然民之从事B. 任重而道远死而不亡者寿C. 是以圣人无为足以保四海D. 天下归仁焉见贤思齐焉3. 下列加点字的意义和用法相同的－组是（）A. 以不忍人之心行不忍人之政以辅万物之自然而不敢为B. 人而不仁，如礼何我树之成而实五石C. 贼其君者也有道者不处D. 其恕乎其未兆易谋4. 下列句子翻译有误的一项是（）A. 有一言可以终身行之者乎？有一句话可以终身奉行它的吗？B. 非所以要誉于乡党朋友也，非恶其声而然也。
并非用来在同乡朋友间博取名誉，并非因为厌恶孩子的哭声才这样。
C. 学不学，复众人之所过。
学习常人所不学习的，不再犯众人所犯的过错。
D. 宋人有善为不龟手之药者，世世以洴澼絖为事。
有个善于制作防止手冻裂药物的宋人，世世代代都以漂洗丝絮为业。
5. 下列句子没有语病的一项是（）A. 安徽芜湖一大学生因患乙肝不被用人单位录用，便将芜湖市人事局告上法庭，这个案件成为中国第一例乙肝歧视案。
B. 事故调查结果表明，施工单位指挥不当和现场管理人员的违章施工，导致了这起事故的直接发生。
C. 2021年举办的东京奥运会异彩纷呈，新人辈出，许多运动员不畏强手，奋力拼搏，创造了一项又一项前所未有的新纪录。
D. 在这次大选中，不仅民主党无法在这类涉及国家安全的重大问题上过度批评拜登，而且在这些问题上摇摆不定的立场还成了对手攻击的靶子。
6. 下列句子没有语病的一项是（）A. 作为最大的发展中国家和碳排放大国，中国的选择不仅决定着世界的未来，而且决定着未来自身的核心竞争力与综合发展前景。
2022年北大附中预科部月考试卷含部分答案
本试卷共 10 页， 100 分 。
考试时长 90 分钟 。
考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效 。
考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
1. 除淀粉外的复杂糖类， 如纤维素 、果胶等， 被称为膳食纤维 。
膳食纤维大量存在于蔬菜 、水果 、海藻和粮食 (特别是粗粮) 等植物性食物中， 科学家把它称作人类的“第七类营养素”。
下列说法不正确的 是A.植物细胞壁的主要成分是纤维素和果胶B.纤维素是动物细胞的主要能源物质C.构成纤维素的基本单位是葡萄糖分子D.膳食纤维能够促进胃肠的蠕动和排空2. 下列与高等植物叶肉细胞中ATP 有关的说法不正确的是A.细胞内氧气的跨膜运输 、蛋白质的合成均消耗 ATPB.ATP 脱去 2 个磷酸基团后可以作为合成 RNA 的原料C.在有氧呼吸过程中ATP 主要在线粒体内膜处产生D.ATP/ADP 的比值偏高会反馈抑制细胞呼吸的进行3. 为研究植物光合产物运输的特点， 研究者进行了如下实验。
将玉米以叶脉为界分为左半叶和右半叶 (如下左图)， 用 14CO 2 处理左半叶， 成熟后收获果穗逐行检测其 14C 放射性强度和每行籽粒总重量， 结果如下右图所示 。
根据结果推测不正确的是注： 黑柱和白柱之和为每行籽粒总重量 (mg)； 黑柱为每行籽粒 14C 总放射性 (cpm)； 果穗上 1 → 10 行的顺序是从左到右A.叶片的光合产物主要运输到同侧的果实中B.果穗中含有 14C 的有机物主要为糖类C.如果用 14C 处理右半叶， 黑白柱的数据不变 D.叶片中的光合产物会运输到果实中储存4. 将某种澳大利亚蚂蚁 (2n=2) 的一个精原细胞中的 DNA 全部用 15N 标记， 其染色体上有基因R 和r 。
然后将此精原细胞培养在含 14N 的环境中连续分裂两次， 产生四个子细胞， 分裂过程中无基因突变和染色体畸变发生 。
下列叙述中正确的是A ． 若四个子细胞中均含 1 条染色体， 则有一半子细胞含有 r 基因B ． 若四个子细胞中均含 2 条染色体， 则每个子细胞中均含 2 个 R 基因C ． 若每个子细胞中的核 DNA 均含 15N ， 则每个子细胞均含 2 条染色体D ． 若每个子细胞中有一半核 DNA 含 15N ， 则每个子细胞均含 1 条染色体6 7 8 9 1 02 3 4 5c p m8 0 0 06 0 0 04 0 0 02 0 0 0呈8 0 0 06 0 0 040002 0 0 0行14CO2处理2022. 12下列分析不正确的是 5. 在细胞分裂间期， 线粒体的数目增多， 其增多的方式有 3 种假设： Ⅰ． 细胞利用磷脂 、蛋白质等重新合成； Ⅱ． 细胞利用其他生物膜装配形成； Ⅲ． 分裂增殖形成 。
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北大附中重庆实验学校2019-2019学年10月月考高二化学试题考试时间：90分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Na-23第Ⅰ卷(选择题)1、对于可逆反应2SO2(g) + O2(g) ⇌2SO3(g)，下列措施能使反应物中活化分子百分数、化学反应速率和化学平衡常数都变化的是( ) A、增大压强B、升高温度C、使用催化剂D、多充入O22、在恒温、体积为2 L的密闭容器中进行反应2A(g) ⇌3B(g) + C(g)，若反应物在前20 s A物质由3 mol降为1.8 mol，则前20 s的平均反应速率为( )A、v(B)=0.03 mol/(L•s)B、v(B)=0.045 mol/(L•s)C、v(C)=0.03 mol/(L•s)D、v(C)=0.06 mol/(L•s)3、下列叙述中一定能判断某化学平衡发生移动的是( )A、混合物中各组分的浓度改变B、正、逆反应速率改变C、混合物中各组分的含量改变D、混合体系的压强发生改变4、反应4A(s) + 3B(g) ⇌2C(g) + D(g)，经2 min，B的浓度减少0.6 mol•L-1，对此反应速率的表示正确的是( )A、用A表示的反应速率是0.4 mol•L-1•min-1B、分别用B、C、D表示反应速率，其比值是3:2:1C、在2 min末的反应速率，用B表示是0.3 mol•L-1•min-1D、在2 min内的反应速率，用C表示是0.3 mol•L-1•min-15、在不同条件下分别测得反应2SO2 + O2 ⇌2SO3的化学反应速率，其中表示该反应进行得最快的是( )A、V(SO2)=4 mol•L-1•min-1B、V(O2)=3 mol•L-1•min-1C、V(SO2)=0.1 mol•L-1•s-1D、V(O2)=0.1 mol•L-1•s-16、在密闭容器中进行如下反应：X2(g) + Y2(g) ⇌2Z(g)，已知X2、Y2、Z的起始浓度分别为0.1 mol•L-1、0.3 mol•L-1、0.2 mol•L-1，在一定条件下，当反应达到平衡时，各物质的浓度有可能是( )A、Z为0.3 mol•L-1B、X2为0.2 mol•L-1C、Y2为0.4 mol•L-1D、c(X2) + c(Y2) + c(Z)= 0.55 mol•L-17、在一定温度下，反应A2(气) + B2(气) ⇌2AB(气)达到平衡的标志是( )A、单位时间生成n mol的A2同时生成n mol的ABB、容器内的总压强不随时间变化C、单位时间生成2n mol的AB同时生成n mol的B2D、单位时间生成n mol的A2同时生成n mol的B28、在一定条件下，反应2NO + O2 ⇌2NO2在定容容器中发生，对该反应达到平衡的标志的描述中，错误的是( )A、混合气体的总分子数不再变化B、混合气体的颜色不再变化C、容器的总压强不再变化D、混合气体的总质量不再变化9、将等物质的量的X、Y气体充入一个密闭容器中，在一定条件下发生如下反应并达到平衡：X(g) + Y(g) ⇌2Z(g) ∆H<0。
当改变某个条件并达到新平衡后，下列叙述正确的是( )A、升高温度，X的体积分数减小B、增大压强(缩小容器容积)，Z的浓度不变C、保持容器容积不变，充入一定量的惰性气体，Y的浓度不变D、保持容器容积不变，充入一定量的Z，X的体积分数增大10、在密闭容器中，一定条件下进行如下反应：NO(g) + CO(g) ⇌21N2(g) + CO2(g) ∆H= -373.2 kJ/mol，达到平衡后，为提高该反应的速率和NO的转化率，采取的正确措施是( )A、加催化剂同时升高温度B、加催化剂同时增大压强C、升高温度同时充入N2D、降低温度同时增大压强11、如图是恒温下某化学反应的反应速率随反应时间变化的示意图。
下列叙述与示意图不相符合的是( )A、反应达平衡时，正反应速率和逆反应速率相等B、该反应达到平衡状态Ⅰ后，增大反应物浓度，平衡发生移动，达到平衡状态ⅠC、该反应达到平衡状态Ⅰ后，减小反应物浓度，平衡发生移动，达到平衡状态ⅠD、同一种反应物在平衡状态Ⅰ和平衡状态Ⅰ时浓度不相等12、X、Y、Z三种气体，取X和Y按1:1的物质的量之比混合，放入密闭容器中发生如下反应：X + 2Y ⇌2Z，达到平衡后，测得混合气体中反应物的总物质的量与生成物的总物质的量之比为3:2，则Y的转化率最接近于( )A、33%B、40%C、50%D、65%13、1000 K时反应C(s) + 2H2(g) ⇌CH4(g)的K=0.5，当各气体物质的量浓度分别为H2 0.7 mol•L-1、CH4 0.2 mol•L-1时，上述反应( ) A、正向移动B、逆向移动C、达到平衡D、不一定14、在一定温度不同压强(P1<P2)下，可逆反应2X(g) ⇌2Y(s) + Z(g)中，生成物Z在反应混合物中的体积分数(ψ)与反应时间(t)的关系有以下图示，正确的是( )A、B、C、D、15、符合图1、图2的反应是( )A、X + 3Y ⇌2Z ∆H>0B、X + 3Y ⇌2Z ∆H<0C、X + 2Y ⇌3Z ∆H<0D、5X + 3Y ⇌4Z ∆H<016、下列事实，不能用勒夏特列原理解释的是( )A、氨水中加酸，NH4+的浓度增大B、合成氨工业中不断从反应混合物中液化分离出氨气C、实验室中常用排饱和食盐水的方法收集Cl2D、合成氨控制在500 ℃左右的温度17、在相同温度下(T=500 K)，有相同体积的甲、乙两容器，且保持体积不变，甲容器中充入1 g SO2和1 g O2，乙容器中充入2 g SO2和2 g O2。
下列叙述中错误的是( )A、化学反应速率：乙>甲B、平衡时O2的浓度：乙>甲C、平衡时SO2的转化率：乙>甲D、平衡时SO2的体积分数：乙>甲17、某温度时，N2(g) + 3H2(g) ⇌2NH3(g)的平衡常数K=a，则此温度下，NH3(g) ⇌23H2(g) +21N2(g)的平衡常数为( )A、a21-B、C、a21D、a-2第Ⅰ卷(非选择题)19、(14分)在密闭容器中，使2 mol N2和6 mol H2混合发生下列反应：N2(g) + 3H2(g) ⇌2ΝΗ3(g) ∆H<0(1)当反应达到平衡时，N2和H2的浓度比是；N2和H2的转化率比是。
(2)升高平衡体系的温度(保持体积不变)，混合气体的平均相对分子质量，密度。
(填“变大”、“变小”或“不变”)(3)当达到平衡时，充入氩气，并保持压强不变，平衡将(填“正向”、“逆向”或“不”)移动。
(4)若容器恒容、绝热，加热使容器内温度迅速升至原来的2倍，平衡将(填“向左移动”、“向右移动”或“不移动”)。
达到新平衡后，2a容器内温度(填“大于”、“小于”或“等于”)原来的2倍。
20、(6分)T Ⅰ时，A气体与B气体反应生成C气体，反应过程中，A、B、C浓度变化如图(I)所示，若保持其他条件不变，温度分别为T1和T2时，B的体积分数与时间的关系如图(Ⅰ)所示。
根据以上条件，回答下列问题：(1)A与B反应生成C的化学方程式为，正反应为(填“吸热”或“放热”)反应。
(2)t1 min后，改变下列某一条件，能使平衡向逆反应方向移动的有。
(填字母序号)A、保持其他条件不变，增大压强B、保持容器总体积不变，通入少量稀有气体C、保持其他条件不变，升高温度21、(10分)一定条件下，在体积为3 L的密闭容器中化学反应CO(g) + 2H2(g) ⇌CH3OH(g)达到平衡状态。
(1)该反应的平衡常数表达式K=，根据图示，升高温度K值将(填“增大”、“减小”或“不变”)。
(2)500 Ⅰ时，从反应开始到达到化学平衡，以H2的浓度变化表示的化学反应速率是(用n B、t B表示)。
(3)判断该可逆反应达到平衡状态的标志是(填字母)。
a、υ生成(CH3OH)=υ消耗(CO)b、混合气体的密度不再改变c、混合气体的平均相对分子质量不再改变d、CO、H2、CH3OH的浓度不再改变(4)300 Ⅰ时，将容器的容积压缩到原来的21，在其他条件不变的情况下，对平衡体系产生的影响是。
a、c(H2)减小b、正反应速率加快，逆反应速率减慢c、CH3OH的物质的量增加d、重新平衡时c(H2)/c(CH3OH)减小22、(16分)一定温度下，在容积固定的V L密闭容器中加入n mol A、2n mol B，发生反应：A(g) + 2B(g) ⇌2C(g) ∆H<0，反应达平衡后测得平衡常数为K，此时A的转化率为x。
(1)一段时间后上述反应达到平衡，则下列说法中正确的是。
A、物质A、B的转化率之比为1:2B、起始时刻和达到平衡后容器中的压强之比为3n:(3n-nx)C、当2v正(A)=v逆(B)时，反应一定达到平衡状态D、充入惰性气体(如Ar)，平衡向正反应方向移动(2)K和x的关系满足K=。
在保证A浓度不变的情况下，扩大容器的体积，平衡。
A、向正反应方向移动B、向逆反应方向移动C、不移动(3)该反应的逆反应速率与时间的关系如图所示。
①由图可知，反应在t1、t3、t7时都达到了平衡，而t2、t8时都改变了一种条件，试判断改变的条件：t2时；t8时。
②t2时平衡向(填“正反应”或“逆反应”)方向移动。
③若t4时降压，t5时达到平衡，t6时增大反应物的浓度，请在图中画出t4~t6时逆反应速率与时间的关系线。
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