浙江省高数竞赛6历届高等数学竞赛真题

115

历届高等数学竞赛真题

一、极限

1、n n n n n !

2lim ⋅∞→ 2、)2cos 2cos 2(cos lim 2n

n x x x ⋅⋅∞→ 3、)sin ln arctan(lim x x x x ⋅-+∞

→ 4、5

20

)sin(lim

x

dt xt x x ⎰

→

5、 1

10

1lim

21

arctan

t

t t te

te t

π→+- 6、0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →-- 7、))

1()1(1

2

211

11

(

lim 2

2

2

2

2

--+-+

+-++

-+∞

→n n n n n n

8、设10tan(tan )sin(sin )tan (sin )lim 0a a x x x b z x x -→⎡⎤

--=⎢⎥⎣⎦

，且0b ≠，求常数,a b 9、设)(1

lim

)(2212N n x bx

ax x x f n n n ∈+++=-∞

→，求a 、b 的值，使与)(lim 1

x f x →)(lim 1

x f x -→都存在.

10

、lim

n →∞

a 为常数。

11、(

)()

2

00cos 2lim tan 1

x t

x x e tdt x x x →----⎰ 12、∑=∞→++n k n k n k

n 12lim

13、设0,0>>b a ，求x

x x x b

a b a 1

110)(lim ++++→

14、⎰+

∞

→n n dx x

n

1

)1

1ln(1

lim

15、x e e x x x 3sin )

1()1sin(lim 4sin 0---+

→ 16、)12

2121

2(

lim 21

n

n n n n

n

n

n

n +

+++++∞

→ 17、0)1(lim 33=---∞→b ax x x ，求b a ,

18、设)(x f 在12=x 邻域内可导，0)(lim 12

=→x f x ，998)(lim /

12

=→x f x ，求

116

3

12

12

12

)

12(])([lim

x dt

du u f t x t

x -⎰

⎰→

19、设b a <<0，求t

t

x dx x a bx 11

00

))]1([(lim ⎰

-+→

20、设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠≠+-++=1

22,1)

2)(1()(4x x x x x b ax x x f 在1=x 处连续，求b a ,

21、设n n n x x x x x ⋅=

==++1221,2,1，求n n x ∞

→lim

22、x

x x x )21(lim 1

+∞→ 23、 n n n n 1

)!(1lim ∞→

24、设0)

()1(lim 321

0≠=++-+→d x

cx bx a x x

x ，求d c b a ,,, 25、设01>x ，n

n

n x x a x ++=

+11，求n n x ∞→lim

26、n

n n n

n n n ln )ln ln (lim -+∞→

27、))

ln(11(lim 3

2

3

4

2

3

4

x

e x x x x x x x x x x +⋅

+++-+++++∞→ 28、已知数列{}n x ，满足1lim()0n n n x x +→∞

-=，证明：lim

0n

n x n

→∞=

29、已知10=x ，13014x x =

+，41312+=x x ，…，4

1

31+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根 二、导数和微分

1、求x x y +-=11的n 阶导数

2、1

1arccos 22+-=x x y ，求/

y

3、)1()1)(1)(1(2842n

x x x x y ++++= ，求1/|=x y

117

4、设x y y x arctan

ln

22=+，当0,1==y x 时，求dx

dy 5、设dt t y x x ⎰=sec csc 2arctan ，求dx

dy

6、设⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+==⎰⎰--t t u du

u y du e x 021

40)1(2，求22,dx y d dx dy 7、)(x f 和)(x g 互为连续的反函数，3

2

)0(,1)0(/

-

==g f ，求)1(/g 8、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且0)()(==b f a f ，证明 （1）存在),(b a ∈ξ，使0)()(/=+ξξξf f （2）存在),(b a ∈η，使0)()(/=+ηηηf f

9、设函数)(x f 在),0[+∞上可导，且2

1)(0x

x

x f +≤

≤，证明存在0>ξ，使2

22

/

)

1(1)(ξξξ+-=f 10、求点（0，4）到抛物线10

2

x y =的最短距离

11、设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π上可导，证明至少存在一点),0(πξ∈使得

ξξξcot )()(/⋅-=f f

12、设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点

(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()

lim

()

x xf t tf x →

13、设()f x 在()1,1-内有()0f x ''<，且0

()sin lim

2x f x x

x

→-=，证明在()1,1-内有

()3f x x ≤.