湖北省武汉市49中等部分重点中学2020届高三10月月考数学试题 Word版含解析

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新高考湖北省武汉一中2023届高三上学期10 月月考数学试题及答案

3.5.湖北省武汉一中2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.若z =i (3-i )，则z-|z |=()A.1+3iB.-1-3iC.-1+3iD.1-3i2.已知A ={1,2,3},B ={2,4}，定义A -B ={x ∣x ∈A 且x ∉B }，则A -B =()A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}3.已知函数f (x )的导函数为f (x )，且满足f (x )=2xf (1)+ln x ，则f (1)=()A.-e B.-1C.1D.e4.设函数f (x )=1x 3+1，则下列函数中为偶函数的是()A.f (x +1)B.f (2x )C.f (x -1)D.f (x 2)5.已知a =e 0.01，b =ln1.01e ，c =2cos1.1，则()A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >a >b6.已知点A 、B 在单位圆上，∠AOB =34π，若OC =2OA +xOB (x ∈R )，则|OC |2的最小值是()A.2B.3C.5-22D.47.已知函数f x =2sin ωx -π12 sin ωx +5π12 0<ω<1 的图象关于点π3,0 对称，将函数f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g x 的图象，则g x 的一个单调递增区间是()A.-3π2,π2B.-π,πC.-π2,3π2D.0,2π8.已知函数f (x )=e x -1 ,x >0-x 2-2x +1,x ≤0，若方程f 2x +bf x +2=0有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A.-4,-2B.(-4,-22)C.-3,-2D.(-3,-22)二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题

2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{41,}N x x k k Z ==±∈，则（） A ．MNB ．M N ≠⊂C ．N M ≠⊂ D ．ZN M =【答案】A【解析】由k Z ∈，从而k 可以表示成2k n =，或21,k n n Z =-∈，这样代入集合M 便可得到{}|41,M x x n n Z ==±∈，从而便可看出集合M 是表达形式同集合N 的相同，这样既可判断集合,M N 的关系. 【详解】因为k Z ∈，所以2k n =，或21,k n n Z =-∈，所以{|41M x x n ==+或}{}41,|41,x n n Z x x n n Z =-∈==±∈，又{}|41,N x x k k Z ==±∈，所以M N ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2．已知复数z 满足(12)3z i i -=+，则共轭复数z 的模为（）A ．75B ．1CD ．2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】由(12)3z i i -=+，得3(3)(12)3261712(12)(12)555i i i i i z i i i i +++-++====+--+，所以z z === 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3．“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由题可知()()120x y --=，可以解得1x =或2y =，则从()()120x y --=不能推出1x =且2y =，即不能满足其充分性，而由1x =且2y =能推出()()120x y --=，即能证明其必要性满足，所以“()()120x y --=”是“1x =且2y =”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如103(mod 7)≡. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2，所以应该满足是15的倍数多2，并且是比26大的最小的数，故输出的n 为32，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5．已知ln 2ln33,2,2x y z ===，则,x y 的大小关系是（） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x y z => D ．y z x >>【答案】C【解析】首先对,x y 分别取以e 为底的对数，可以发现x y =，利用指数函数的单调性，可知y z >，从而得到其大小关系. 【详解】因为ln 2ln33,2x y ==，所以ln 2ln ln 3ln 2ln 3x ==，ln3ln ln 2ln 3ln 2y ==，所以x y =，又ln31222y z =>==，所以x y z =>，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B（） A ．60B >︒ B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围. 【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=，根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=，即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=，化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=，整理得：2(2)0a c b +-=，即2a c b +=，所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为22(2)()4b a c ac =+≥，所以2b ac ≥，所以233111222b ac ⋅-≥-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B ≤<，所以060B <≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7．某同学研究曲线1133:1C x y +=的性质，得到如下结论：①x y 、的取值范围是R ；②曲线C 是轴对称图形；③曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为8. 其中正确的结论序号为（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】D【解析】把方程变形可得,x y 的取值范围，在方程中,x y 互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】因为曲线C 的方程11331x y +=，所以11331y x=-，式子中x 的范围为R ，对应的y 的范围为R ，所以命题①正确；在11331x y +=中，令,x y y x ==，方程不变，所以曲线C 的图象关于直线y x =对称，所以命题②正确；设曲线C 上点的坐标为(,)A x y ，因为11331x y +=，所以11333()1x y +=，即21123333331x y x y x y +++=，所以111133333()1x y x y x y +++=，即111133333()1x y x y x y +++=，所以113331x y x y ++=，又11331x y =+≥，所以113314x y ⋅≤，所以11331134x y x y +=-≥，则8OA d ==≥≥=，当且仅当x y =时取等号，所以曲线C ，所以命题③正确；所以正确命题的序号是①②③，故选D. 【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（） A ．∅ B ．{}1-C ．{}1,0-D ．⎪⎪⎩⎭【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，所以2x OA xOB OB OC --+=，因为,,A B C 三点共线，所以2(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意，所以1x =-，即解集为{}1-，故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．B ．1-C ．2-D ．0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y 轴对称，得到,62k k Z ππϕπ-=+∈，结合题中所给的条件2πϕ<，求得3πϕ=-，求得函数解析式，利用[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，从而确定出函数的最小值. 【详解】函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移12π个单位长度后，对应的解析式为2sin[2()]2sin(2)126y x x ππϕϕ=-+=-+，因为其函数图象关于y 轴对称，所以有,62k k Z ππϕπ-=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以当233x ππ-=-时，()f x 取得最小值故选A. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于y 轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10．已知O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==则()AO AC AB ⋅-等于（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A【解析】根据点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB ==()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<>，得到答案.【详解】因为点O 为ABC ∆的外心，且4,23AC AB == 所以()AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅cos ,cos ,AC AO AC AO AB AO AB AO =<>-<> 111(442222AC AC AB AB =⋅-⋅=⨯-=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11．已知实数a 、b 、c 、d 满足2113aa e cb d --==-（e 是自然对数的底数），则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．10B ．18C ．8D ．12【答案】B【解析】由已知可得2,4a b a e d c =-=-,则可知点(,)a b 在曲线2xy x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,进而可得22()()a c b d -+-表示的是曲线2xy x e =-到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可.【详解】实数a b c d ,,,满足2113a a e cb d --==-,2,4a b a e d c ∴=-=-.∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-,点(,)c d 在曲线4y x =-上,22()()a c b d ∴-+-的几何意义就是曲线2x y x e =-上的点到曲线4y x =-上点的距离最小值的平方.12x y e '=-求出2x y x e =-上和直线4y x =-平行的切线方程, 12=-1x y e '=- ∴令12=-1x y e '=-,解得0x =, ∴切点为(0,2)-,该切点到直线4y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离,故22()()a c b d -+-的最小值为218d =. 故选:B . 【点睛】本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般.12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a （0a >），向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为（） A ．2p alB ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，从中解出2lpaπ=，从而得出答案. 【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2lP aπ=，所以2l paπ=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13．已知()f x 为奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于直线2y x =+对称，若(1)7g =，则(5)f -=_________. 【答案】3-【解析】首先根据题意确定出函数()y g x =的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出(5)3f =，利用奇函数的定义求得(5)3f -=-，得到结果. 【详解】根据题意有，点(1,7)在函数()y g x =的图象上，且点(1,7)关于直线2y x =+的对称点在函数()y f x =的图象上，设点(1,7)关于直线2y x =+的对称点为(,)m n ，则有71171222n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得53m n =⎧⎨=⎩，所以有(5)3f =，因为函数()f x 是奇函数，所以有(5)3f -=-，故答案是：3-. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14．已知sin ,20()2ln ,0x x f x x x π⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x k =有四个实根1234,,,x x x x ，则这四根之和1234x x x x +++的取值范围是_________.【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出1234x x x x +++关于3x 的函数，从而得出答案.【详解】作出()f x 的函数图象，如图所示：设1234x x x x <<<，则122x x +=-，且3411x x e e<<<<，因为34ln ln x x -=，所以34ln 0x x =，所以341x x =，所以12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-，设11()2,(,1)g x x x x e =+-∈，则21'()10g x x=-<，所以()g x 在1(,1)e上单调递减，所以10()2g x e e<<+-，所以1234x x x x +++的取值范围是：1(0,2)e e+-，故答案是：1(0,2)e e+-. 【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15．已知ABC ∆中，角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，sin 1cos sin 2cos A AB B+=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，则a =__________.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得2a b c =+，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，根据三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】因为sin 1cos sin 2cos A AB B +=-，4cos 5A =，6ABC S ∆=，所以2sin sin cos sin sin cos A AB B B A -=+，所以2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+ 所以由正弦定理可得：2a b c =+，并且有3sin 5A ==，16sin 2bc A =，所以20bc =，由余弦定理可得222222222()242323404cos 2222405b c a b c bc a a bc a a bc a A bc bc bc bc +-+------======，整理得224a =，解得a =，故答案是：【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16．定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），则(2)(1)f f 的取值范围是__________. 【答案】()4,8 【解析】令32()()(),()f x f x g x h x x x==，求出(),()g x h x 的导数，得到(),()g x h x 的单调性，可得(2)(1),(2)(1)g g h h <>，由(1)0f >，即可得到(2)48(1)f f <<，得到结果. 【详解】令3()()f x g x x=，则3264'()3()'()3()'()f x x x f x xf x f x g x x x--==，因为'()3()xf x f x <，即'()3()0xf x f x -<，所以)'(0g x <在(0,)+∞恒成立，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，可得(2)(1)g g <，即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <；令2()()f x h x x =，243'()2()'()2()'()f x x xf x xf x f x h x x x ⋅--==，因为'()2()xf x f x >，即'()2()0xf x f x ->，所以'()0h x >在(0,)+∞上单调递增，可得(2)(1)h h >，即(2)(1)4f f >，则(2)4(1)f f >，即有(2)48(1)f f <<，故答案是：(4,8).【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17．已知ABC ∆是圆O （O 为坐标原点）的内接三角形，其中13(1,0),(,)22A B --，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .（1）若点C 的坐标是34(,)55-，求cos COB ∠的值；（2）若点C 在优弧AB 上运动，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）343-；（2）2333a b c <++≤ 【解析】（1）由点,C B 的坐标可得,OC OB 的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；（2）根据题意，可求得120AOB ∠=︒，3AB =，60ACB ∠=︒，利用正弦定理可得22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意求得角A 的范围，从而可求得323a b <+≤，进而得到三角形的周长的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得34(,)55OC =-，13(,22OB =--， 343343cos cos ,101010OC OB COB OC OB OC OB⋅-∠===-=（2）∵120AOB ∠=︒，3AB =，∴60ACB ∠=︒∴32sin sin sin 60a b A B ===︒∴22sin 2sin 23sin 36a b A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203A π<<，323a b <+≤ ∴2333a b c <++≤. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2AC =，23BD =，且AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.（1）求证AC DE ⊥；（2）已知二面角A PB D --的余弦值为34，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（231313【解析】（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =，平面PAB 的法向量为2233,1,n ⎛= ⎭，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BDPD D =，∴AC ⊥平面PBDDE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥（2）连OE ，在PBD ∆中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设PD t =，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，0,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,P t -.由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3030x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，则2233,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭ 因二面角A PB D --的余弦值为34， ∴12233cos ,4124n n t==+，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2233,1,n ⎛= ⎭，∴233233sin cos ,131394134144323EC n θ--====++⋅. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19．若a R ∈，函数2()f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ，求()g a 的表达式并求当a 为何值时，()g a 的值最小.【答案】()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当()221a =-时，()g a 取最小值.【解析】分类讨论，分0a ≤时和0a >时两种情况，当0a ≤时，()2f x x ax =-在区间[0,1]上为增函数，求出最大值，当0a >时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，然后确定()g a 的最小值点. 【详解】（1）0a ≤时，∵01x ≤≤，∴()2f x x ax =-，()f x 单调递增.∴()()11g a f a ==- （2）当0a >，如图所示，令()24a f x =，得2a x =或21x +=①当12a≥，即2a ≥时，()()11g a f a ==- ②当21122aa +<<，即()2212a -<<时，()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当2112a +≤，即()0221a <≤-时，()()11g a f a ==-综上，()()()21,221,221241,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩显然当()221a =-时，()g a 取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、. 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设1122(,),(,)A x y C x y ，用,A C 的坐标表示S ；（2）设1l 与2l 的斜率之积与直线CA CB 、的斜率之积均为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）12212x y x y -；（2）22S =【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线1l 的方程110xy yx -=，利用点到直线的距离公式求得点C 到直线1l 的距离d ，利用面积公式求得2ABC S S ∆=12212x y x y =-，得到结果；（2）设出直线方程11:l y K x =，22:l y K x =，利用两点斜率坐标公式求得22212221CA CBy y K K x x -⋅=-，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2221222211y y x x a -=--，利用已知条件可得2112CA CB K K a ⋅=-=-，从而求得22a =，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得()()2221212221121848412K K S K K +=⋅⨯=+，从而得到22S =，得到结果. 【详解】（1）直线111:0l xy yx -=.12212211x y x y d x y-=+221122AB AO x y ==+∴2ABC S S AB d ∆==⋅1221221122112x y x y x y x y -=++12212x y x y =-（2）设11:l y K x =，22:l y K x =； ∵2221212122212121CA CBy y y y y y K K x x x x x x -+-⋅=⋅=-+- 又∵2222121222x x y y a a+=+，∴2221222211y y x x a -=-- ∴2112CA CB K K a ⋅=-=- ∴22a = ∴椭圆方程为2212x y +=联立12222122212y K x x K x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩ ∴2121212x K =+，同理可得2222212x K =+又∵1221211222S x y x y K K x x =-=-∴()222221124S K K x x =-∴()()()22212212441212S K K K K =-⋅++将2112K K =-代入()22121121144211212S K K K K ⎛⎫=+⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭得 ()()2221212221121848412K K SK K +=⋅⨯=+，∴S =【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）求0P ，1P ，2P ；（2）写出n P 与1n P -、2n P -的递推关系299n ≤≤）；（3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）34；（2）()121129922n n n P P P n --=+≤≤；（3）9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】（1）结合题设条件能够求出01P =，112P =，211132224P =+⨯=；（2）依题意，棋子跳到第n 站有两种可能：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -，由此能够得到n P 与12,n n P P --的递推关系；（3）由()11212n n n n P P P P ----=--，知数列{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】（1）依题意得01P =，112P =，211132224P =+⨯= （2）依题意知，棋子跳到第n 站有两种情况：第一种，棋子先到2n -站，又掷出反面，其概率为212n P -；第二种，棋子先到1n -站，又掷出正面，其概率为112n P -. ∴()121129922n n n P P P n --=+≤≤ （3）由（2）知，()11212n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=- ∴{}1n n P P --是以12-为首项，12-为公比的等比数列. ()()()()9901021329998P P P P P P P P P P =+-+-+-++-2991111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10010011212113212⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭+ 又991001P P += ∴1009911132P⎛⎫=+⎪⎝⎭或10098991111232P P ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭ ∴玩该游戏获胜的概率为9911132⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【答案】（1）[)1,+∞；（2）1604ln 35S <<- 【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，()f x 是定义域上的增函数，转化为()0f x '≥，即221x a x ≥+恒成立，从而求出a 的取值范围；（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<，设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<，利用韦达定理可得121=x x ，122x x a +=，由11121023x x a <+=<，从而得到1113x <<，根据题意可得S m n =-11122ln a ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由21120ax x a -+=得12121x a x =+，将其代入上边式子可得221121114ln 12x S x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，之后令21x t =，则119t <<，从而有()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，利用导数研究函数可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ ∵2211x x ≤+ ∴1a ≥ 所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x =，∵121=x x ，122x x a +=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭ 1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+= ∴12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t = ()()()221021t g t t t --'=<+ ∴()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 即()40ln 35g t <<-∴1604ln 35S <<-. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.。

湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题含解析

高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数2i1i z =-+，则其共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.12i+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：()()()21i 2i=i=12i 1i 1i 1i z -=---++-，∴由共轭复数的定义得12i z =+.故选：C.2.已知全集U =R ，{}223A x x x =+<，20x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A.{}30x x -<< B.{}30x x -<≤ C.{}32x x -<< D.{}01x x ≤<【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式223x x +<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，解不等式20x x-≤，得02x <≤，即{|02}B x x =<≤，{|0U B x x =≤ð或2}x >，所以(){}30U A B x x ⋂=-<≤ð.故选：B3.命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.1a ≤B.1a <C.a<0D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知1a ≤，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为20x a ->，即2x a >，且()1,2x ∈，则()21,4x ∈，由题意可得1a ≤，选项中只有选项D 满足{}|1a a ≤是{}|2a a <的真子集，所以命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是2a <.故选：D.4.如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，,,A B C 在一条直线上，且2AB CB =- ，则（）A.1433c a b=-+B.1322c a b=-+C.5322c a b=-D.3122c a b=-【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()33132222=+=+=+-=-+uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu r uuu r OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ，即1322c a b =-+ .故选：B.5.已知曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为（）A.4B.2C.3- D.6-【答案】B 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为11'=++k y x ，可得1|12='=+x k y ，即曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k ，且直线20x y +=的斜率为12-，由题意可得：11122⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭k ，解得2k =.故选：B.6.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，当12x <<时，()2log 1f x x =+，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2log 3B.2log 31- C.2log 3- D.2log 31--【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得4为()f x 的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，可知4为()f x 的周期，且20231425322=⨯-，可得222023133log 1log 32222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：C.7.已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-的结果是（）A.αB.αC.αD.α【答案】A 【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为πcos2sin4ααα⎛⎫===-=-⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得πsin04α⎛⎫->⎪⎝⎭，)π2sin sin cos4ααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；α=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos0α<，α=；)sin cosαααα=-=.故选：A.8.已知向量()22sinm x x=，()cos,2n x=-，若关于x的方程12m n⋅=在()0,π上的两根为()1212,x x x x<，则()12sin x x-的值为（）A.14- B.4- C.12- D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，)22sin cos sin21cos2m n x x x x x⋅=-=-+1π12sin2cos22sin22232x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得：π1sin234x⎛⎫-=⎪⎝⎭，设()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,πx∈当0πx<<时，ππ5π2333x-<<-.且由ππ232x-=，得()f x在()0,π上的对称轴为5π12x=.∵方程12m n⋅=-()0,π上的两根为()1212,x x x x<，∴()11π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且由125π212x x +=得125π6x x +=，∴215π6x x =-.∴()12115ππsin sin 2cos 263x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵当0πx <<时，1π1sin 2034x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴1π203x ->，即有1π6x >.又∵12x x <，∴1π5π612x <<，则1ππ0232x <-<，∴由1π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1πcos 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12115ππsin sin 2cos 2634x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数()sin y A ωx φ=+图象的对称轴和对称中心可结合sin y x =图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈，可解得对称轴方程；令πx k ωϕ+=，Z k ∈，可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.对于()cos y A x ωϕ=+、()tan y A x ωϕ=+，可利用类似方法求解（注意()tan y A x ωϕ=+的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A.数列246,,,S S S 是等比数列B.2q =C.6126S = D.数列(){}lg 2n S +是等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据等比数列的性质得到231432a a a a ==，即可得到关于2a 和3a 方程组，结合条件解得1a 和q ，从而得到n S ，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则231432a a a a ==，由23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，则322a q a ==或12，又q 为整数，所以2q =，且24a =，38a =，所以B 选项正确；又212a a q ==，所以()12122212n n n S +-==--，则32226S =-=，542230S =-=，7622126S =-=，所以C 选项正确；因为6424S S S S ≠，所以246,,,S S S 不是等比数列，所以A 选项错误；又有()()211lg 2lg 2lg 2lg 2211n n n n S S n n ++++-+=-=+--=，所以数列(){}lg 2n S +是公差为1的等差数列，所以D 选项正确；故选：BCD.10.已知实数x ，y ，z 满足23x =，34y =，45z =，则下列结论正确的是（）A.43y <B.2xyz > C.y z<D.x y +>【答案】BD 【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项，根据3443>即可判断；根据对数的换底公式得到2log 5xyz =，即可判断；对于C 选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D 选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为23x =，34y =，45z =，所以2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项：因为3443>，则3433log 4log 3>，即33log 44>，所以34log 43y =>，故A 选项错误；对于B 选项：23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=，故B 选项正确；对于C 选项：()234lg 4lg 3lg 5lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4lg 3lg 4y z --=-=-=，因为0lg3lg 4lg5<<<，所以22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 4lg 3lg 50->，即0y z ->，所以y z >，故C 选项错误；对于D 选项：因为2log 31x =>，3log 41y =>，所以23log 3log 4x y +=+>==，故D 选项正确；故选：BD.11.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2π3ϕ=-B.函数()f x 的零点为ππ,032k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C.若()()124f x f x ⋅=，则12π2k x x -=，k ∈ZD.若00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，则0sin 13x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得A 和ω，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，从而得到()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦的函数的性质判断ABC 选项，对于D 选项：利用三角恒等变换得到()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合同角三角函数关系即可求解.【详解】对A ：由函数图象得2A =，且函数()f x 的周期T 满足：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，解得：2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭得：7ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得：2π2π,3k k ϕ∈=-+Z ，又π<ϕ，所以2π3ϕ=-，故A 选项正确；则()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：令()0f x =，得2π2π3x k -=，k ∈Z ，解得：ππ32k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ32k x =+，k ∈Z ，故B 选项错误；对C ：因为()[]2π2sin 22,23f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=，即()12f x =，且()22f x =，则21π22T k x x k -=⋅=，k ∈Z ，所以C 选项正确；对D ：又00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即00π2π37π2π2sin 22sin 223321223x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯--=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则0000π2sin 3sin 2sin 3cos 2x x x x ⎛⎫+--=+= ⎪⎝⎭()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故213cos 13θ=，所以0π2π2x k θ+=+，k ∈Z ，即0π2π2x k θ=+-，k ∈Z ，则0π213sin sin 2πcos 213x k θθ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以D 选项正确；故选：ACD.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足22n T tn n >-对任意*n ∈N 恒成立，则下列命题正确的是（）A.21n a n =-B.当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C.2284n T n n =+ D.t 的取值范围为(),2-∞-【答案】AC 【解析】【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥可判断A ；求出n b ，分n 为奇数、n 为偶数，求出n T 可判断BC ；分n 为奇数、为偶数，利用22n T tn n >-分离t ，再求最值可判断D.【详解】当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-，故A 正确；所以()()()()1122111nnn n n b n a a n +=---+=，当n 为奇数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯++----+ ()()2437112341n n =⨯++++---⎡⎤⎣⎦()2323144122n n n +--=⨯⨯--2221n n =--+，故B 错误；当n 为偶数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯+---+-+ ()4371121n =⨯++++-⎡⎤⎣⎦ 321422n n+-=⨯⨯()22222n n n n =+=+，所以()()222222284n T n n n n =+=+，故C 正确；当n 为奇数时，n T =2221n n --+，若22n T tn n >-，则222212tn n n n ->-+-，即2222112-+=-+<t n n n，所以2min 12t n ⎛⎫<-+⎪⎝⎭，而2122n-+>-，即(],2t ∞∈--；当n 为偶数时，则22n T tn n >-得22222>-+n tn n n ，即2442+=+<t n n n ，而422n+>，即(],2t ∞∈-，综上所述，(],2t ∞∈--，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b = ，那么b 在a上的投影向量坐标为______.【答案】()1,2-【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】()3,4b =，所以5b == ，同理可得：a ==且13245a b =⨯-⨯=-r r g，·cos ,5a b a b a b==-，b 在a上的投影向量为：()cos ,1,2a b a b a a⨯⨯=-=- 故答案为：()1,2-14.已知函数()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的最小值是______.【答案】e -【解析】【分析】由于()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则()e 0x f x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，可得以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e x a x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()e x h x x =-，求导确定单调性即可得最值从而可得a 的取值范围，即可得所求.【详解】因为函数()21e 12x f x ax =+-在()0,∞+上是增函数，所以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e xa x≥-在()0,∞+上恒成立，令()e xh x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x h x x=-'-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，函数()h x 递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 递减，则()()max 1e h x h ==-，故e a -≥，所以a 的最小值是e -.故答案为：e -.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，每次购n kg ，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x ，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y ，利用作差法，即可比较x ，y 的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，按甲策略，每次购n kg ，按这种策略购物时，两次的平均价格121222p n p n p p x n ++==，按乙策略，第一次花m 元钱，能购物1kg m p 物品，第二次仍花m 元钱，能购物2kg m p 物品，两次购物的平均价格121222=11++m y m m p p p p =，比较两次购物的平均价格1212121212221122+p p p p p p x y p p p p ++-=-=-+221212121212()4()02()2()p p p p p p p p p p +--==≥++，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.16.已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()1f x a x =-，a ∈R 有4个不同的实数根，则a 的取值范围为______.【答案】(](61,3- 【解析】【分析】作出()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩与()1f x a x =-的图象，即可判断【详解】作出()2222ln ,1ln ,01ln ,0,43,1043,0,43,3143,3x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧>⎧⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎪==++-<<⎨⎨++≤⎪⎪----≤≤-⎪⎪++<-⎪⎪⎩⎩的图象，因为,11,1ax a x y a x a ax x ->⎧=-=⎨-≤⎩的图象是过定点(1,0)，并且是绕着该点旋转的两条关于1x =对称的的射线.当0a =时，1y a x =-为x 轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当a<0时，1y a x =-的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故0a >，先考虑[1,)+∞时两图象的交点情形，当1a =时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩,与|ln |y x =刚好只交于(1,0)点.证明如下：当1x ≥时，在点(1,0)处，由ln y x =，故1y x '=，令1x =，则1k =，所以切线方程为：1y x =-；当01x <≤时，在点(1,0)处，由ln y x =-，故1y x'=-，令1x =，则1k =-，所以切线方程为：1y x =-；所以当1a =时在(0,)+∞，两图象只有一个交点，此时考虑(,0)x ∈-∞，当3x <-，两函数图象必有一个交点，当0x =时，21|01|0403-<+⋅+，所以两函数图象在(1,0)-有一个交点，当31x -≤≤时，联立得221,340,Δ916043y x x x y x x =-⎧∴++==-<⎨=---⎩，无解，所以没有交点；所以当1a =时，只有3个交点，不合题意.当1a >时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线更加陡峭，两函数图象在1x >时，没有交点，在(0,1)有一个交点，则在(0,)+∞有两个交点，另外两个交点要在(,0)-∞取得，当2|01|0403a -<+⋅+，即3a ≤时，在(1,0)-和(,3)-∞-各一个交点；故在(1,3]a ∈时，两图象有4个交点.当1a <时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线趋于平缓，则两函数图象在(1,)+∞有一个交点，在(0,1)没有交点，则在(0,)+∞有2个交点，另两个必须在(,0)-∞取得，若y a ax =-与243y x x =---相切，则联立得222,(4)(3)0,Δ(4)4(3)043y a ax x a x a a a y x x =-⎧∴+-++==--+=⎨=---⎩，21240,642,1,642a a a a a ∴-+=∴=±<∴=- ；此时两函数图象在(,0)-∞有三个公共点.所以在6421a -<<时，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有2个公共点，符合题意；当0642a <<-，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有3个公共点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围为(](642,1)1,3- .故答案为：(](642,1)1,3-四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值.【答案】（1）1a =-，3b =（2）最小值是18-，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】()3f x ax bx =+，()23f x ax b '=+.∵函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=，解得1a =-，3b =，∴()33f x x x =-+，经验证在1x =处取得极大值2，故1a =-，3b =.【小问2详解】()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<，令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此()f x 在[)2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，在(]1,3上单调递减，()()3181f f =-<-，故函数()f x 的最小值是18-，()()221f f -==，故函数()f x 的最大值是2.18.设函数()()π2πcos 12f x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的值域和单调递增区间；（2）当()135f α=，且π2π63α<<时，求cos 2α的值.【答案】（1）[]51,32,266k k ππππ⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .（2）750-【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再求出3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】()πsin 12sin 13f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域是[]1,3-.令πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【小问2详解】由()π132sin 135f αα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2πππ4324sin 22sin cos 23335525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以222ππ37cos 22cos 12133525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2π2π12π7cos 2cos 2cos 2sin 233323250αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知0a >且1a ≠，函数()x x x x a a f x b a a---=++在R 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得=a ______，b =______.（2）在（1）的情况下，关于x 的方程()4xf x m =-在[]1,1x ∈-上有两个不等实根，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①②，12a =，0b =（2）172,20⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和()315f =-列方程求解即可；（2）参变分离可得()241241x x m =++-+，[]1,1x ∈-，41x r =+，换元转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调递减函数，故②()315f =-，③()315f -=-不会同时成立，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数.因为函数的定义域为R ，所以()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②.选择①②，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a-------+=+++=++，即0b =，而()11315a a fb a a ---=+=-+，解得12a =.【小问2详解】由（1）可得()111422141122x xx x x x f x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭⎭，由()4x f x m =-，则14414x x x m -=-+，即()14244121441x x x x x m -=+=++-++，令41x r =+，因为[]1,1x ∈-，所以5,54r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，显然，函数()22g t t t =+-在54⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 2g t g==，又517420g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1755g =，要使22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，则17220m -<≤，所以m的取值范围是172,20⎛⎤- ⎥⎝⎦.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =，2b =，且cos sin 3a C c A b +=.（1）求ABC ∠的正弦值；（2）BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求DGE ∠的余弦值.【答案】（1）7（2）266-【解析】【分析】（1）运用正弦定理对cos sin 3a C c Ab +=进行转化，得出角A ，再由正弦定理解出ABC ∠的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出c 、BE 、AD 的值，根据题意得到G 为重心，从而得出AG 、BG ，进而得出DGE ∠的余弦值.【小问1详解】解：因为3cos sin 3a C c Ab +=，由正弦定理可得，sin cos sin sin sin 3A C C A B +=，即sin cos sin sin sin cos cos sin 3A C C A A C A C +=+，整理得sin sin cos sin 3C A A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos 3A A =，即tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.由正弦定理sin sin a b A B =，得32sin 212sin 7b A ABC a ⨯∠===.【小问2详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即22212222c c =+-⨯⨯⨯，所以3c =.在ABE 中，由余弦定理得22213213cos 607BE =+-⨯⨯⨯︒=，则BE =.在ABC 中，2AB AC AD += ，所以222219223421922444AB AB AC AC AB AC AD +⨯⨯⨯++⋅+⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，解得192AD =.由AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的中线可知G 为ABC 的重心，可得233BG BE ==，233AG AD ==.在ABG中，由余弦定理得222cos 2266GA GB AB AGB GA GB +-∠==-⋅，又因为AGB DGE ∠=∠，所以cos cos 266DGE AGB ∠=∠=-.21.数列{}n a 满足1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，13n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2024n m T <对任意*n ∈N 都成立的最小正整数m .（参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=，*n ∈N ）【答案】（1）n a n=（2）1012【解析】【分析】（1）先写出12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，结合题中条件的式子，两式相减可得出n a 与1n a +之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ 中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出n S ，裂项求解出n T ，从而求解出满足题意m 的值.【小问1详解】解：1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，当2n ≥时，12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，作差，得11n n n a a a n +=-，即11n n a a n n +=+.因为11a =，22a =，所以2121a a =，满足11n n a a n n +=+，即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即1n a n =，n a n =.【小问2详解】由题意，()()121321n S n n n n =⋅+⋅-+⋅-++⋅ ，即()()()12123131n S n n n n n n =⋅+⋅+-+⋅+-++⋅+- .设()21k d k n k kn k k =+-=+-，1,2,3,,k n = ，则()()()222121231212n n S d d d n n n n =+++=++++++++-+++ ()()()()()()11121122266n n n n n n n n n n n ++++++=⋅+-=，()()()()()1211312112n n b S n n n n n n n ===-+++++，()()()()()111111111122323341122122n T n n n n n n =-+-++=-<⨯⨯⨯⨯+++++ .因为2024n m T <对任意*n ∈N 都成立，所以120242m ≥，即1012m ≥，m 的最小值为1012.22.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ，()cos sin e xx x g x -=.（1）讨论()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）若()()2f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求导得到()2cos ex x g x -'=，再分别解不等式()0g x '<和()0g x '>，即可得到()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）根据条件得到0x ≥时，2sin cos e 20e x x x x ax -+-≥，构造函数()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-（0x ≥），求导得到()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，再利用导数研究函数的单调性，从而得到()h x '在[)0,∞+上单调递增和()()042h x h a ''≥=-分类讨论2a ≥和2a <即可求解.【小问1详解】由题意得：()2cos e xx g x -'=，()0,πx ∈.由()0g x '<，得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0g x '>，得π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【小问2详解】由0x ≥时，()()2f x g x ≥，得2cos sin e 2e x x x x ax --≥，即2sin cos e 20ex x x x ax -+-≥.设()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-，0x ≥，则()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，设()()x h x ϕ='，则()32π4e 2sin 2cos 44e e e x x x xx x x x ϕ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=+=当[)0,x ∈+∞时，34e 4x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>，所以()x ϕ即()h x '在[)0,∞+上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-.①当2a ≤时，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，则()0420h a '=-<，且x →+∞时，()h x '→+∞，则必存在正实数0x 满足当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()00,x 上单调递减，此时()()000h x h <=，不符合题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明()2sin cos e 2e x xx x h x ax -=+-在[)0,∞+上的最小值大于0即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.。

湖北省武汉市部分重点中学2020届高三月考数学(理)试卷含答案

四、解答题
17．
在锐角
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．已知
cos
2C
3 4
.
（Ⅰ）求 sin C ；
（Ⅱ）当 c 2a ，且 b 3 7 时，求 a .
18．已知数列an 满足： a1 1， a1 a2 a3 an n2an . （1）求an 的通项公式；
（2）求an 的前 n 项和 Sn .
3
B． f (x) 的极小值是 15
C．当 a 2 时，对任意的 x 2 且 x a ，恒有 f (x) f （a） f （a） (x a)
D．函数 f (x) 有且只有一个零点
-2-
三、填空题
13．
(2017·厦门一检)已知函数
f
(x)
(1 2a)x 3a, x 2x1, x 1
旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为
60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为 10 6 米，则旗杆的高度为______米.
16．已知函数 f x 的导数为 f x ，若 x2 1 f x 2xf x ，且 f 2 5 ，则不等式
f x2 3x x2 3x 2 1的解集为______.
-8-
所以 x y x 2 y 15 的展开式中 x3 y2 项的系数为 120 (40) 80
故选：C.
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题
8．B
【解析】
f ' x 2 f 'e 1 ，所以 f 'e 2 f 'e 1 ，得 f 'e 1 ，故选 B。

湖北省部分重点中学2021届高三上学期期末联考数学试题(word版,无答案)

湖北省部分省级示范性重点中学 2021届高三统一质量检测数学试题第I 卷(选择题满分60分)一､单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1.已知集合1ln {|1},x a e a x A x xx--+=-≤集合202122{|}01B x x lnx =+≥,若A ∩B=A ∪B,则实数a 的取值范围为 A.[-e,1]B.[-e,e]C.[-1,e]D.[-1,1]2.已知复数1z 和2z 满足1112|814|5|46|,||3,z i z i z z --=---=2||z 的取值范围为A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]3.已知θ为锐角,且tan311,tan θθ=满足则tan2θ的值为 3.4A4.3B2.3C 3.2D 4.“你是什么垃圾?”这句流行语火爆全网,垃圾分类也成为时下热议的话题｡某居民小区有如下六种垃圾桶:一天,张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放,发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了,作为一名法外狂徒,张三要随机投放垃圾,则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为1.2A5.9B 67120C ⋅133.240D 5.在△ABC 中,满足222sin 2sin 2sin 2,A B C +=则下列说法中错误的是A.C 可能为4π B.C 可能为2π C.C 可能为34πD.△ABC 可能为等腰Rt △6.已知正数a,b 满足22ln (),na b b a e<则正整数n 的最大值为A.7B.8C.9D.11 7.现有一个三棱锥形状的工艺品P-ABC,点P在底面ABC的投影为Q,满足22222211,,23QAB QAC OBC ABC PABPAC PBC S S S QA QB QC S S S S AB BC CA ∆∆∆∆∆∆∆++=====++若要将此工艺品放入一个球形容器(不计此球形容器的厚度)中,则该球形容器的表面积的最小值为 A.42πB.44πC.48πD.49π8.已知11()ln )3x x a x x e a ----+≥+21[,)x e ∈+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为 1.(,4][0,)2A -∞-⋃1.[0,)2B.(,2]C -∞-⋃.D 二､多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,会有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知数列{}n a 的首项a 1=m 且满足14[75(1)]22(1)n n a a n n a a +=-⋅-⋅+-⋅- 其中*,n N ∈则下列说法中正确的是 A.当m=1时,有3n n a a +=恒成立 B.当m=21时,有47n n a a ++=恒成立 C.当m=27时,有108111n n a a ++=恒成立 D.当*2()k m k N =∈时,有2n k n k a a +++=恒成立10.已知函数f(x)=sinax-asinx, x ∈[0,2π],其中a-lna>1,则下列说法中正确的是 A.若f(x)只有一个零点,则(0,)2a π∈B.若f(x)只有一个零点,则f(x)≥0恒成立C.若f(x)只有两个零点,则3(1,)2a ∈ D.若f(x)有且只有一个极值点0,x 则01|31|()2a a f x π+--<⋅恒成立11.已知抛物线H:22y px =的准线与x 轴交于E(-1,0),其焦点为F.过点F 的直线与抛物线H 交于A ､B 两点,则下列说法中正确的是 A.||EA FB EB FA ⋅=⋅B.若在准线上存在一点C,使△ABC 为等边三角形,则△ABC 的周长为36C.若在准线上存在一点C,使△ABC 为直角三角形,则△ABC 的内切圆的面积可能为1625πD.若在准线上存在一点C,使直线AC 与x 轴的交点为D 且△ABC 的重心G 在x 轴上,则当AFG CDGS S取得最小值时,ABCS=12.已知函数3(),f x x ax b =++若在曲线y=f(x)的图象上存在四个点构成正方形,且该正方形的面积为f(0),则下列说法中正确的是A.当a 取得最大值时,b 取得最小值,且a 的最大值为-2B.b 的最小值为8C.10a+7b 的最小值为24D.当b 取得最小值时,设g(x)=f(ax+b)-b, 则g(x)有三个零点且各零点处切线斜率的倒数之和为8a+3b第II 卷(非选择题满分90分)三､填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知不共线的单位向量1e 和2e 满足1212||||1,e e e e λλ+--=其中λ≥12,e e <>的取值范围为______. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e.若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合,满足BFAe BAF∠=∠恒成立,则双曲线C 的渐近线的方程为_____.15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 点P 为椭圆C 上的动点,点A(-a,b),点B(a,b).在点P 的运动过程中,12PF Fcos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+=∠∠成立的点P 有且只有3个｡当点P 在x 轴的下方运动时,记12PF F 的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则rR的最大值为_____.△PAB 的外接圆面积的取值范围为_____.16.西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展｡在输气管道工程建设过程中,某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷,勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角,用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O,半径OM=ON 且为1米,而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角,需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷,如图所示,位于峡谷悬崖壁上的两点A,B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T(点A,T,B 在同一水平面内),若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角,其长度不能超过_____米｡四､解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)在△ABC 中,A<B<C 且tanA, tanB,tanC 均为整数. (1)求A 的大小; (2)设AC 的中点为D,求BCBD的值.18.(本小题满分12分) 已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根,记1[],2n n a x =其中[x]表示不超过x 的最大整数且n ∈N *.若130n n a a ++⋅>恒成立,求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)数列{}n a 的前n 项和.n S19.(本小题满分12分)如图所示,已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面四边形是菱形,点E,F,P,Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动,且满足:BF=DQ,124444AA AC BD CP BF DQ AE ===-=-=4.(1)求证:EF//平面PQB;(2)是否存在点P 使得二面角B PQ E --10?若存在,求出CP 的长度;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0x y C a b a b+=>>)的左､右顶点分别为A,B 且左､右焦点分别为12,,F F 点P 为椭圆C 上的动点,在点P 的运动过程中,有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形,且12PF F 的内切圆半径的最大值为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点,记MN 的中点为Q, 求点A 到直线BQ 的距离的最大值.21.(本小题满分12分)射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击,以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体,而且可以培养细致､沉着､坚毅等优良品质,有益于身心健康.为了度过愉快的假期,感受体育运动的美好,法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有k(k ∈N *)发子弹,假设张三每次打靶的命中率均为p (0<p<1),靶场主规定:一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶.上的子弹数量为随机变量X,求X 的分布列和数学期望.(2)张三在休息之余用手机逛B 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段:中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘｡这让张三不由得想起了半人半鬼,神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”｡由此,在接下来的射击体验中,张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917,弹容为6发的左轮手枪,弹巢中有m 发实弹,其余均为空包弹.现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行n(n ∈N)次射击后,记弹巢中空包弹的发数为.n X (i)当n ∈N *时,探究数学期望()n E X 和1()n E X -之间的关系;(ii)若无论m 取何值,当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹(以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据,当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹),求该种情况下最小的射击次数0.n(参考数据:1g2≈0.301､lg3≈0.477)22.(本小题满分12分)已知函数23()3xe f x ax =+的定义域为R .(1)当a 取得最小值时,记函数f(x)在x=a 处的切线方程为y=g(x). 若f(x)≥g(x)恒成立且a ∈Z,求a 的最大值; (2)若f(x)有两个极值点1x 和2,x 求证:1212()()13332244f x f x e e ea x x a+-+<<++.。

湖北省武汉市49中等部分重点中学2020届高三数学10月月考试题(含解析)

湖北省武汉市49中等部分重点中学2020届高三数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，{|11}A x x =-<<，{|0}B y y =>，则()A C B ⋂=R （）A. (10)-， B. (10]-， C. (0)1， D. [01)，【答案】B 【解析】【分析】由全集U ＝R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【详解】∵{}0B y y =又由全集U ＝R ，∴R C B ＝{y |y ≤0 }，则A ∩（∁U B ）＝{x |1x -<≤0 }=(]10-，．故选：B ．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合B 的补集是关键，属于基础题． 2.在复平面内，复数21iz i=- 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】()()()21222i 1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+， ∴复数21iz i=- 对应的点位于第二象限故选：B点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．3.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件C. 若命题p ：n N ∃∈，21000n >，则:p n ⌝∀∈N ，21000n ≤D. 命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是真命题【答案】D 【解析】【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断出A 选项的正误；根据充分必要性判断出B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C 选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D 选项的正误.【详解】对于A 选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A 选项正确；对于B 选项，若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则1a >，所以，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，特称命题的否定为全称，C 选项正确；对于D 选项，当0x <时，由于函数32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，则03331222x x x ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23x x ∴>，D 选项错误.故选：D.【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 4.已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（） A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D.c a b >>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】0.201.100.20.2a 1.1 1.11,?b log 1.1log 10,?0c 0.20.21=>==<=<=<=,故a c b >> 故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．5.已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则{}n a 中一定为0的项是（） A. 6a B. 8aC. 10aD. 12a【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由324=3a a 得，()114(+2d)=3a a d +，解得：150a d +=，所以，6150a a d =+=，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题. 6.已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin4x 的值为( ) A.725B. 725±C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题意结合诱导公式和二倍角的余弦公式即可求得sin 4x 的值.【详解】因为π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 4x ＝cos （π2-4x ）＝1–22πsin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭725=，故选A ．【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式的应用，属于中等题.7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x <时，f(x)=()2log x m -+，1()2f =，则实数m =（）B. 1 D. 1【答案】D 【解析】【分析】由奇函数得12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入f(x)=()2log x m -+即可求解m.【详解】函数f(x)是定义在R 上的奇函数,1122f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则211m 1,22f log m ⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题. 8.函数()()sin 2f x x ϕ=+，()0,ϕπ∈的图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，已知()g x 是偶函数，则tan 6πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C. 3-D.3【答案】D 【解析】分析：由图象变换得到()g x 的表达式，再由()g x 是偶函数，得到ϕ值，代入tan 6πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭求值即可.详解：函数()()sin 2f x x ϕ=+，()0,ϕπ∈的图象向左平移12π个单位得到函数()sin 212g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又()g x 是偶函数， ∴sin 16πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，又()0,ϕπ∈，∴3πϕ=，∴3tan tan 636πππϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 9.如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为（）A. 30°B. 60︒C. 0︒D. 120︒【答案】B 【解析】【分析】通过辅助线将AB 、PC 平移至同一个平面内，再通过长度以及余弦定理计算所成角. 【详解】如图所示：取AC 中点G ，连接,EG FG ，因为E 、F 分别是棱AP 、BC 的中点，且G 为AC 中点，所以GE PC P 且152GE PC ==，所以GF AB ∥且132GF AB ==；所以异面直线AB 与PC 所成的角即为EGF ∠或其补角，则2225371cos 2352EGF +-∠==-⨯⨯，所以120EGF ∠=︒，所以异面直线AB 与PC 所成的角即为EGF ∠的补角：60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，难度一般.当通过余弦定理计算出的角是钝角时，一定要注意取其补角，这里异面直线所成角的范围是：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.10.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A. 7πB. 8πC. 9πD. 10π【答案】C 【解析】【分析】将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易2222213++=，从而外接球的表面积为9π. 故答案为：C.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（） A.9429B.4715C.5116D.5317【答案】B 【解析】【分析】先通过条件列出不等式组，画出可行域；根据满足条件的概率120m==可行域面积比上总面积，由此计算出m 的值..【详解】由条件可知：22110101x y x y x y +>⎧⎪+<⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，作出可行域如图阴影部分所示：所以落在阴影部分的概率：134421120120m π-==，解得：4715m =，故选：B.【点睛】本题考查几何概型的应用，难度一般.当几何概型的概率和随机数的模拟产生联系时，可通过将概率表示成随机数的个数之间的比率关系.12.已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =u u u r u u u u r，则||MN =（）A.212B.323C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】由题意可得直线PF 的方程为()32y x =±-，再将直线的方程与抛物线28y x =的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．【详解】抛物线C ：28y x=的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ，由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+，于是124MN MF NF x x =+=++．作MH ⊥l 于H ， ∵3PF MF =u u u v u u u v，∴22PM MF MH ==， ∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB 的斜率为3 ∴直线PF 的方程为)32y x =±-.由)2328y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=，∴12203x x +=．于是1220324433MN x x =++=+=．故选B ．【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量a r ，b r满足2=r a ，3b =r ，两向量的夹角为60°，则a b -=r r ．．【解析】试题分析：因为()222222122cos ,4223972a b a ba ab b a a b a b b -=-=-⋅+=-〈〉+=-⨯⨯⨯+=r r r r r rr r r r r r r r ，所以a b -rr ．考点：平面向量的数量积的定义和性质．14.若x ，y 满足约束条件23020x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为_______．【答案】2 【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线20x y -=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数2z x y =-在点()2,2A --处取得最大值，且最大值为()242z =---=.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.已知直线l ：330mx y m +++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，若23AB =实数m 的值为________． 3【解析】【分析】利用几何法：半径、圆心距、半弦长构成直角三角形，来求解m 的值. 【详解】因为圆心距2331m d m +=+且2212332l d R ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（R 是圆的半径，l 是所截弦长）23331m m +=+，解得：3m =. 【点睛】本题考查根据直线所截圆的弦长计算参数，难度一般.解答圆的弦长问题时，可通过几何法和代数法两种方法求解，几何法主要是利用半径、圆心距、半弦长构成直角三角形解决问题，代数法则是通过相应的坐标运算解答问题.16.已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线31y x ax =+-相切，则实数a =________．【答案】2 【解析】【分析】先求解ln y x x =+在点(1,1)处的切线方程；然后写出31y x ax =+-上某点()30,1x xax +-的切线方程，两条切线方程作对比，求解出a 的值.【详解】令()ln y f x x x ==+，()31y g x x ax ==+-，所以()11f x x'=+，所以()12f '=，所以()f x 在()1,1处切线方程为：21y x =-；设21y x =-与()g x 切点为()3000,1x x ax +-，且()2003g x x a '=+，所以()g x 在()30,1x xax +-处切线方程为：()()23000031y x a x x x ax =+-++-，即()2300321y x a x x =+--，所以202032211x a x ⎧+=⎨--=-⎩，所以2a =. 【点睛】本题考查通过公切线方程求解参数的值，难度一般.对于求解曲线的切线有关问题，一定要明确是“在某点处的切线”还是“过某点处的切线”，“在”表示该点一定在曲线上，“过”表示该点有可能不在曲线上，注意区分.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知函数()2sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.【答案】(1)最小正周期T π=，单调递减区间是5[,]36k k ππππ++()k Z ∈；(2)5a =. 【解析】试题分析：（1）解析式可化为()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得最小正周期，将26x π-代入正弦函数的增区间，求得x 的范围即可得到函数的单调增区间．（2）由3()22Af =可得3A π=，根据ABC ∆的面积为23可得8bc =，然后由余弦定理可得5a =．试题解析：（1）∵∴的最小正周期由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得,,∴函数的单调递减区间是．（2）由（1）得，∴3()sin()1262Af A π=-+=， ∴1sin()62A π-=， ∵∴.又13sin 2323ABC S bc bc π∆===， ∴，由余弦定理得，又，∴ 2273825a =-⨯=， ∴ 5a =．点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2nn T m =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n Q . 【答案】（1）()*2n a n n N =∈,12n nb-=；（2）12(1)2n n Q n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥求解{}n a 通项公式，同理根据1(2)n n n b T T n -=-≥求解{}n b 的通项公式，都要注意1n =的验证；（2）n n a b ⋅符合等差乘以等比的形式，用错位相减法完成求和.【详解】（1）由2n S n n =+，得：221(1)(1)n S n n n n -=-+-=-，12(2)n n n a S S n n -=-=≥∵211112a S ==+=符合公式，()*2n a n n N =∈同理：由2nn T m =+，推得：12(2)n n b n -=≥，12b m =+∵{}n b 是等比数列，∴11112n n b m b -=⇒=-⇒=或：22134(2)4b b b m =⇒=+112n n m b -⇒=-⇒= （2）2nn n n c a b n =⋅=⋅，n Q 是其前n 项和， ∵1231222322nn Q n =⨯+⨯+⨯++⋅L∴23412122232(1)22n n n Q n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L两式相减得：23122222n n n Q n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅ ∴12(1)2n n Q n +=+-⋅【点睛】本题考查求数列的通项以及错位相减法求和，难度一般.（1）当一个数列的通项公式符合：等差⨯等比的形式，此时对数列求和用错位相减法；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求解通项公式时，一定要记得检验1n =的情况.19.如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD V 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 22=.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）求三棱锥P EBC -的体积. 【答案】（1）见解析；（223【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD ，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC 得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果. 【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD， ∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，又BC⊥BE，PC∩BC=C， ∴EB⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC ，∴EB⊥PB，由PE 22=222PB PE EB =-=,∴△PBC 为等边三角形， ∴2323PBC S ∆=⨯=, ∴113233P EBC E PBC PBC V V S EB --∆==⋅=⨯⨯ 233=. 解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC ，∴EB⊥PB，由PE 22=，得222PB PE EB =-=, ∴△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP ，则3PO =,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD ，∴211123332P EBC EBC V S PO -∆=⋅=⨯⨯⨯ 23=.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．【答案】（1）70分；（2）76,77,78,79；（3）25. 【解析】【分析】（1）根据物理82分判断所处的百分比，根据百分比确定分数；（2）先排除赋分70分的分数，然后利用百分比计算赋分60分的人数，结合数据，给出可能的取值；（3）采用列举法以及古典概型的概率计算公式来求解. 【详解】（1）∵1[110(0.0050.0150.0250.035)]0.12⨯-⨯+++=，100.0050.05⨯=， ∴此次考试物理成绩落在(80,90]，(90,100]内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的物理成绩为82分，大于80分，处于前15%， ∴小明物理成绩的最后得分为70分.（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89，91，92，93，93，96；赋分60分的有4035%14⨯=人，其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78，79.（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A ，a ，b ，c ，d ，e ，小明的所有可能选法有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e ，(,,)A b c ，(,,)A b d ，(,,)A b e ，(,,)A c d ，(,,)A c e ，(,,)A d e 共10种，其中包括化学的有(,,)A a b ，(,,)A a c ，(,,)A a d ，(,,)A a e 共4种，∵若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：42105P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图、茎叶图以及古典概型的应用，难度一般.理解频率分布直方图时，注意其横轴和纵轴所表示数据的含义.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且12MF F ∆的周长为4+．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 是圆O ：2243x y +=上动点()()0000,0P x y x y ⋅≠处切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据条件列出方程，求解a b 、的值；（2）先写出切线方程，然后联立椭圆和切线方程，计算出1212x x y y 、的值，然后考虑两个值之间的关系，从而确定QOR ∠为定值.【详解】（1）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b c = 可得a =，又因为12PF F ∆的周长为4+2a c +=c =2a =，b =C 的方程为22142x y +=. （2）证明：直线l 的方程为0043x x y y +=，且220043x y +=，记以()11,Q x y ，()22,R x y ，联立方程22001,424,3x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22220000163224039y x x x x y +-+-=，∴01222001632x x x y x +=+，212220032492y x x y x -=+，12y y =()2012012201164 93x x x x x x y ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦20220016492x y x -=+，从而1212x x y y +2200222200003216449922y x y x y x --=+++()2200220016432x y y x -+=+220016163302y x -==+， ∴90QOR ∠=︒为定值.【点睛】（1）椭圆的焦点三角形的周长为定值：22a c +；（2）圆222x y R +=，圆上一点()00,x y 处的切线方程为：200x x y y R +=.22.已知函数2()ln (0)f x ax x x a =-+>．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值及函数()()2ln g x f x x =-的单调区间；（2）若()f x 的极大值和极小值分别为m ，n ，证明：2ln 23m n +<-．【答案】（1）当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用切线与直线相互垂直，得到斜率之间的关系，计算出a 的值；对()g x 求导后，对导函数因式分解，然后判断符号并写出单调区间；（2）设出极大值点和极小值点，利用导函数找到韦达定理与a 的关系（注意a 范围），同时将m n +化简至全部用a 表示，然后构造函数分析最值.【详解】（1）解：由2()ln (0)f x ax x x a =-+>，得221()ax x f x x-+='，∴(1)2f a '=，又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，∴22a =，即1a =.则2()ln g x x x x =--，得1()21g x x x =--'(21)(1)(0)x x x x+-=>，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；（2）设1x ，2x 为方程()0f x '=的两个实数根，则1212x x a +=，1212x x a=，由题意得121218000a x x x x ∆=->⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得108a <<，又因为函数()f x 的极大值和极小值分别为m ，n ，则()()12m n f x f x +=+22111222ln ln ax x x ax x x =-+++-，()212121212ln 2x x a x x x x x x ⎡⎤=++---⎣⎦1ln ln 214a a=---.令1()ln ln 214g a a a =---，则241()4a g a a '-=-，当108a <<时，()0g a '>，所以()g a 是增函数，则1()2ln 238g a g ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，即2ln 23m n +<-.【点睛】本题考查导数的综合应用，难度较难.对于同时出现极大值点和极小值点的情况，可对导函数分析，最好可以将极大值点和极小值点与韦达定理联系在一起，后面去求解范围或者证明时可以用韦达定理形式作替换，使变量能够统一，这样即可构造新函数来解决问题.。

2020-2021学年高一10月月考数学试题 Word版含解析 (1)

邻城一中2020年高10月月考数学试题一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. 若2x A xZ ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，12y B y Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B 等于（） A. BB. AC. ∅D. Z【★答案★】C 【解析】【分析】由条件可得A 为偶数集，B 为奇数集.【详解】{}2.A xx n n Z ==∈∣为偶数集，{}21,B y y n n Z ==-∈∣为奇数集， ∴AB =∅故选：C【点睛】本题考查的是集合的交集运算，较简单. 2. 命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是( ) A. x ∀∈R ，x e x <B. x ∀∈R ，x e x ≤C. x ∃∈R ，x e x <D. x ∃∈R ，x e x ≤【★答案★】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题分析解答.【详解】由题得命题“x ∀∈R ，x e x >”的否定是“x ∃∈R ，x e x ≤”. 故★答案★为D【点睛】本题主要考察全称命题和特称命题的否定，意在考察学生对这些基础知识的理解和掌握水平.3. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】D 【解析】【分析】根据条件可得甲⇒乙⇔丙⇐丁，然后可分析出★答案★.【详解】由甲⇒乙⇔丙⇐丁，可知丁推不出甲，甲推不出丁，所以丁是甲的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.4. 已知集合{}{}4,5,61,2,3M N ==，，定义{|}M N x x m n m M n N ⊕==-∈∈，，，则集合M N ⊕的所有真子集的个数为（） A. 32 B. 31C. 30D. 以上都不正确【★答案★】B 【解析】本题考查的是集合子集个数问题．由条件可知，所以集合M N ⊕的所有真子集的个数为，应选B ．5. 已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 4【★答案★】A 【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.6. 已知集合{}51A x x =-≤<∣，{}2B x x =≤∣，则A B =（）A. {}51x x -≤<∣ B. {}52x x -≤≤∣ C. {}1xx <∣ D. {}2xx ≤∣ 【★答案★】D 【解析】【分析】根据集合的交集运算可得★答案★.【详解】因为{}51A xx =-≤<∣，{}2B x x =≤∣，所以{}2A B x x =≤∣故选：D【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.7. 若非空集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A A B ⊆成立的所有a的集合是（）． A. {}19a a ≤≤ B. {}69a a ≤≤C. {}9a a ≤D. ∅【★答案★】C 【解析】(1)A =∅,则2135a a +>-，得6a <;(2)A ≠∅,则62133522a a a ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，得69a ≤≤,综上,9a ≤，故选C.点睛：含参的集合包含题型是集合的常考题型，主要利用分类讨论的思想解题：分为空集和非空两类解题．解题中利用数轴帮助解决集合的包含问题，则可以很好的解决集合问题，最后综上则注意集合的并集合并即可．8. 若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若AB =∅，则()()U U A B U ⋃=（2）若A B U ⋃=，则()()UU A B ⋂=∅（3）若A B =∅，则A B ==∅A. 个B. 个C. 个D. 个【★答案★】D 【解析】【分析】采用逐一验证法，（1）根据公式()()()UU UA B A B ⋃=⋂可得结果；（2）根据()()()⋂=⋃UU UA B A B 可得结果；（3）利用()A A B ⊆⋃，简单化简即可. 【详解】（1）()()()⋃=⋂=∅=UU UUA B A B U ；（2）()()()⋂=⋃==∅UU UUA B A B U ；（3）()A A B ⊆⋃即⊆∅A ，又A ∅⊆，所以A =∅，同理B =∅，所以A B ==∅ 故选：D【点睛】本题考查集合的运算以及基本关系，熟悉公式()()()UU UA B A B ⋃=⋂，()()()⋂=⋃UU UA B A B ，属基础题.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知全集U =R ，{2A x x =<或4}x >，{}B xx a =≥∣，且U C A B ⊆，则实数a 的取值范围可以是（） A. 2a < B. 2a > C. 2a ≤ D. 2a ≥【★答案★】AC 【解析】【分析】求出UA ，根据集合的包含关系求参数的范围.【详解】由{2A x x =<或4}x >，得{}24UA x x =≤≤∣，因为UA B ⊆，{}B xx a =≥∣，所以2a ≤，所以实数a 的取值范围可以是2a ≤，2a <. 故选：AC【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 10. 下列关于二次函数2(2)1y x =--的说法正确的是（） A. x R ∀∈，2(2)11y x =--≥B. 1a ∀>-，x R ∃∈，2(2)1y x a =--<C. 1a ∀<-，x R ∃∈，2(2)1y x a =--=D. 12x x ∃≠，()()22122121x x --=--【★答案★】BD 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，得到二次函数的开口向上对称轴为2x =，最小值为1-，再结合全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】由二次函数()221y x =--开口向上对称轴为2x =，且最小值为1-.对于A 中，由二次函数()2211y x =--≥-，所以x R ∀∈，2(2)11y x =--≥错误，即A 错误；对于B 中，由二次函数2(2)11y x =--≥-，所以1a ∀>-，2,(2)1x R y x a ∃∈=--<正确，即B 正确；对于C 中，由二次函数2(2)11y x =--≥-，所以1a ∀<-，x R ∃∈，2(2)1y x a =--=错误，即C 错误；对于D 中，根据二次函数的对称性可知，12x x ∃≠，()()22122121x x --=--正确，即D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及含有一个量词的命题的真假判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 11. 已知集合{},,0A a a =-，{},,1B b a b =+，若A B =，则ab 的取值为（） A. 2-B. 1-C. 0D. 1【★答案★】BC 【解析】【分析】分1a -=、1a =两种情况讨论即可.【详解】因为{},,0A a a =-，{},,1B b a b =+，且A B =， ①当1a -=，则{}1,1,0A =-，{},1,1B b b =-，则0b =，所以()010ab =⨯-=；②当1a =，则{}1,1,0A =-，{} ,1,1B b b =+ 则1b =-，所以()111ab =⨯-=-. 故选：BC【点睛】本题考查的是由集合相等求参数，考查了分类讨论的思想，较简单. 12. 如图所示，阴影部分表示的集合是（）A.()UA BB.()UA B ⋂C.()UA B ⋂D.()UAA B【★答案★】AD 【解析】【分析】利用集合的运算结合阴影部分可选出★答案★. 【详解】利用集合的运算结合阴影部分可知，()UA B ，()UAA B 即为所求.故选：AD【点睛】本题考查的是对集合运算的理解，较简单.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知集合{|2,12,}A y y x x y Z ==--≤≤∈，用列举法表示集合A =______．【★答案★】{4,3,2,1,----0，1，2} 【解析】【分析】先由x 的范围推出y 的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为12x -≤≤，422x ∴-≤-≤，即42y -≤≤，又y Z ∈，4y ∴=-，3y =-，2y =-，1y =-，0y =，1y =，2y = 故★答案★为{4,3,2,1,----0，1，2} 【点睛】本题考查了集合的表示法.属基础题．14. 命题“(0,)x ∃∈+∞，2390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【★答案★】2a ≤【解析】【分析】将条件转化为(0,)x ∀∈+∞，2390x ax -+≥恒成立，然后分离参数转化为最值问题即可. 【详解】若命题“(0,)x ∃∈+∞，2390x ax -+<”为假命题，则命题“(0,)x ∀∈+∞，2390x ax -+≥”为真命题；即命题“(0,)x ∀∈+∞，29333x x a x x+≤=+”为真命题.∵(0,)x ∈+∞时，332233x x x x+≥⋅=，当且仅当33x x =，即3x =时等号成立所以2a ≤故★答案★为：2a ≤【点睛】本题考查的是根据特称命题的真假性求参数范围和利用基本不等式求最值，较简单.15. 设p ：(4x －1)2＜1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___________.【★答案★】1[,0]2- 【解析】【分析】p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件，即()2411x －＜的解集是()()22110x a x a a ≤－＋＋＋的解集是子集，利用子集定义计算即可.【详解】由()2411x －＜，解得102x <＜. 由()()22110x a x a a ≤－＋＋＋，即()()10x a x a ⎡⎤≤⎣⎦－－＋，解得1a x a ≤≤＋. 又因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则p 是q 的充分不必要条件，所以0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩.解得102a ≤≤－.所以实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查充分不必要条件和必要不充分条件.16. 集合{}2,A aa k k N ==∈∣，集合()211(1)1,8n Bb b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭∣，下列A ，B 间的关系：①A 为B 的真子集；②B 为A 的真子集；③A B =，其中正确的是___________.（填写相应序号）【★答案★】② 【解析】【分析】分n 为偶数、n 为奇数可得集合B 与A 的关系.【详解】当n 为偶数时，0b =，当n 为奇数时，令21()n k k Z =-∈，则212(21)1(1)8b k k k ⎡⎤=⨯⨯+-=+⎣⎦其必为偶数且只是部分偶数所以B 为A 的真子集故★答案★：②【点睛】本题考查的是集合间的基本关系，属于基础题.四、解答题（第17题12分，第18题10分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 正数x ，y 满足191x y+=. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．【★答案★】(1)36；(2)1962+ 【解析】【分析】(1)由基本不等式可得191912x y x y=+≥⋅，再求解即可； (2)由1929292(2)19192y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅⎪⎝⎭，再求解即可.【详解】解：(1)由191912x y x y=+≥⋅得xy ≥36，当且仅当19x y =，即2,18x y ==时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得1929292(2)191921962y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+⎪⎝⎭，当且仅当29y x x y=，即2292x y =时取等号，故x ＋2y 的最小值为1962+.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题. 18. 设全集为R,{}{}{}|25,|38;|12A x x B x x C x a x a =<≤=<<=-<<. （1）求AB 及()RC A B ⋂（2）若()A B C ⋂⋂=∅，求实数a 的取值范围.【★答案★】（1）A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}，∁R （A ∩B ）＝{x |x ≤3或x ＞5}，（2）（﹣∞，32]∪[6，+∞）【解析】【分析】（1）由A ＝{x |2＜x ≤5}，B ＝{x |3＜x ＜8}，能求出A ∩B 及∁R （A ∩B ）．（2）由A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}，（A ∩B ）∩C ＝∅，当C ＝∅时，a ﹣1≥2a ，当C ≠∅时，1223a aa -⎧⎨≤⎩＜或1215a aa -⎧⎨-≥⎩＜，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】（1）因为A ＝{x |2＜x ≤5}，B ＝{x |3＜x ＜8}，所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， ∁R （A ∩B ）＝{x |x ≤3或x ＞5}．（2）因为A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}，（A ∩B ）∩C ＝∅，当C ＝∅时，a ﹣1≥2a ，解得a ≤﹣1；当C ≠∅时，1223a a a -⎧⎨≤⎩＜或1215a aa -⎧⎨-≥⎩＜，解得﹣1＜a 32≤或a ≥6．综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，32]∪[6，+∞）．【点睛】本题考查交集、并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 已知:210p x -，:11(0)q m x m m -+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【★答案★】{}|03m m <≤ 【解析】【分析】根据集合的包含关系得关于m 的不等式组，求解得★答案★．【详解】解：:210p x -，:11(0)q m x m m -+>，且p 是q 的必要不充分条件，所以{}|11(0)x m x m m -+>{}|210x x -∴121100m m m --⎧⎪+⎨⎪>⎩，解得03m <．∴实数m 的取值范围是{}|03m m <≤．【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题． 20. 已知f (x )＝x 2－1a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x ＋1. （1）当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；（2）若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0. 【★答案★】（1）122x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）★答案★见解析【解析】【分析】（1）当a ＝12时，分解因式即可求解；（2）分解因式得()1()0f x x x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，分类讨论a 与1a 的大小关系即可. 【详解】（1）当a ＝12时，不等式为f (x )＝x 2－52x ＋1≤0， ∴12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)≤0， ∴不等式的解集为122xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）()1()0f x x x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当0<a <1时，有1a a >，所以不等式的解集为1x a x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当a >1时，有1a a <，所以不等式的解集为1x x a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当a =1时，不等式的解集为{}1x x =【点睛】本题考查一元二次不等式的解法（含参与不含参），遇含参问题常采用分类讨论法，属于基础题.21. 某森林岀现火灾，火势正以每分钟2100m 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去救火，5分钟后到达火灾现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火250m ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁21m 森林的损失费为60元，问：应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失费最少？最少损失费是多少？注：（()20,0a b ab a b +≥≥≥，当且仅当a b =时取等号）【★答案★】应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.【解析】【分析】设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，y =灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费，求出y ，利用基本不等式即可求出最值.【详解】设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y 元，则510010501002t x x ⨯==--，因为0t >，所以2x >，y =灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费12510060(500100)tx x t =+++10600001251003000022x x x x =⋅+++--()2x > 22600001250100(22)3000022x y x x x -+=⋅+-+++-- 6250031450100(2)31450210062500364502x x =+-+≥+⨯=-，当且仅当62500100(2)2x x -=-，即27x =时，y 有最小值36450. 答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.【点睛】本题考查阅读理解的能力以及利用基本不等式求最值凑定值的能力，是中档题. 22. 解不等式：2(31)2(21)210k x k x k ---+->.【★答案★】★答案★见解析.【解析】【分析】分13k =、0k ≤、103k <<、1132k <<、12k =、12k >六种情况讨论. 【详解】（1）当13k =时，不等式为12102x x ->⇒>，不等式的解集为12∣⎧⎫>⎨⎬⎩⎭x x . （2）当13≠k 时，24(21)4(31)(21)4(12)k k k k k ∆=----=-. ①当0k ≤时，310k -<，0∆≤，故不等式的解集为∅； ②当103k <<时，310k -<，>0∆， 121(12)31k k k x k -+-=-，221(12)31k k k x k ---=-， 12x x >，不等式的解集为：21(12)21(12)3131k k k k k k x x k k ⎧⎫----+-⎪⎪<<⎨⎬--⎪⎪⎩⎭③当1132k <<时，310k ->，>0∆，121(12)31k k k x k -+-=-，221(12)31k k k x k ---=-， 12x x >，不等式的解集为：21(12)21(12)3131k k k k k k x x x k k ⎧⎫-+----⎪⎪><⎨⎬--⎪⎪⎩⎭或. ④当12k =时，310k ->，0∆=，不等式的解集为{}0x x ≠； ⑤当12k >时，310k ->，∆<0，不等式恒成立，不等式的解集为R . 综上，不等式的解集： ①当13k =时，为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； ②0k ≤时，为∅ ③103k <<时，21(12)21(12)3131k k k k k k x x k k ⎧⎫----+-⎪⎪<<⎨⎬--⎪⎪⎩⎭； ④1132k <<时，21(12)21(12)3131k k k k k k x x x k k ⎧⎫-+----⎪⎪><⎨⎬--⎪⎪⎩⎭或； ⑤12k =时，为{}0x x ≠； ⑥12k >时，为R . 【点睛】本题考查的是含参的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

湖北省武汉市第三中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题

湖北省武汉市第三中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．92．已知命题:p “x R ∀∈，22240x mx m -+-=”，则p ⌝为( ）A ．0x R ∃∈，2200240x mx m -+-≠B ．0x R ∃∈，2200240x mx m -+-=，C ．不存在x ∈R ，22240x mx m -+-=D ．x R ∀∈，22240x mx m -+-≠ 3．当b a <时，不等式1x a x b ->-的解是（） A ．{}x x b < B ．{}x x b > C ．R D ．以上均不对 4．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H 与下降时间t 之间的函数关系的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（）A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(2,3)8．定义[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.81=，[]1.42-=-，[]33-=-，函数[]y x =的图象如图所示，则方程[]212x x =的解为（）A或B ．1或2C ．1或2-D ．0二、多选题 9．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b>-- 10．下列四个函数值域为R 的函数为（）A ．211y x =+B ．3y x =-C ．2210y x x =+- D ．()()010x x y x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩11．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a +b ，a -b ，ab ，ab∈P (b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是（） A ．数域必含有0，1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 一定是数域D ．数域中有无限多个元素12．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（）A．a b ++≥B ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C．2≥+ab a bD22a b ≥+三、填空题 13．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________．14．已知集合A ={x |1<x <3}，B ={x |-1<x <m +2}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是______.15．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是______________． 16．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．四、解答题17．已知集合{}02A x x =≤≤，{}21,B x a x a a R =+≤≤-∈（1）当1a =-时，求()R A B ⋃；（2）若A B =∅，求a 的取值范围． 18．已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<．（1）解不等式()2220x a x a +-->；（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？19．已知函数222(+1)1x x f x x ++=+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上单调递减.20．已知函数()f x =（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的取值范围．21．某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（()0m ≥满足31x k m =-+）（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2004年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．设a 为实数，函数()21f x x x a =--+，x ∈R ． (I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．参考答案1．C【解析】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个．故选C ．2．A【解析】【分析】全称量词改成存在量词,等于改成不等于即可得到.【详解】因为:p “x R ∀∈，22240x mx m -+-=”,所以p ⌝:22000",240"x R x mx m ∃∈-+-≠.故选A.【点睛】本题考查了含一个量词的命题的否定,属于基础题.3．A【解析】【分析】不等式可化为0b a x b->-，根据b a <可得x b <，即得解. 【详解】 1x a x b ->-，10x a x b -->-∴，即0b a x b->-， b a <，即0b a -<，0x b ∴-<，即x b <，故不等式的解集为{}x x b <.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解，属于基础题.4．C【解析】【分析】A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断；D. 由(),0,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨<⎩，利用一次函数的性质判断；【详解】A. 由一次函数的性质知：()3f x x =-在()0,∞+上为减函数，故错误；B. 由二次函数的性质知：()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，故错误；C. 由反比例函数的性质知：()11f x x =-+在(),1-∞- 上递增，在()1,-+∞递增，则在()0,∞+上为增函数，故正确；D. 由(),0,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨<⎩知：函数在()0,∞+上为减函数，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.5．B【解析】【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的12比较．【详解】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可得结果．故选：B．【点睛】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．属于基础题．6．C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到结论．【详解】由a＞b，①当a＞b≥0时，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②当0＞a＞b时，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③当a≥0＞b时，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立；由a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上可得“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的基本性质的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.7．B【解析】∵ 函数241y x x =-+∴函数241y x x =-+是开口向上，对称轴为2x =的抛物线∵函数241y x x =-+的定义域为[]1,t∴当1x =时，2y =-，当2x =时，3y =-∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5∴当2y =-时，1x =或3x =∴23t ≤≤故选B8．D【解析】【分析】分12x ≤<、01x ≤<、0x <和2x ≥时依次求解即可.【详解】当12x ≤<时，2112x =，解得x = 当01x ≤<时，2102x =，解得0x =；当0x <时，[]0x <，所以方程无解；当2x ≥时，[]x x <，2210222x x x x --=>，即2[]2x x >，所以方程[]212x x =无解.所以方程[]212x x =的解为0故选：D.【点睛】本题主要考查了方程的求解，理解[]x 的定义是解题的关键，难度一般.9．ABC【解析】【分析】根据不等式的基本性质对各项依次进行判断，即可选出正确答案.【详解】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a>>，故A 正确； B.由a b >及2c ≥0得22ac bc ≥，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--， 322-<-，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了不等关系与不等式、不等式的性质，属于基础题.10．BD【解析】【分析】分别求出各个函数的值域，即可判断.【详解】对于A ，211x +≥，21011x ∴<≤+，故211y x =+的值域为(]0,1，故A 错误；对于B ，3y x =-的值域为R ，故B 错误；对于C ，()2221011111y x x x =+-=+-≥-，则2210y x x =+-的值域为[)11,-+∞，故C 错误；对于D ，当0x ≤时，0y x =-≥，当0x >时，10y x=-<，故该函数的值域为R ，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查函数值域的求解，属于基础题.11．AD【解析】【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可．【详解】当a b =时，0a b -=、1a P b =∈，故可知A 正确；当1a =，2b =，12Z ∉不满足条件，故可知B 不正确；当{}M Q i =⋃,则1i M +∉所以它也不是一个数域，故可知C 不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．故选：AD .【点睛】本题主要考查集合的新定义问题，解题时一定要抓住题目中对定义的理解，属于中档题． 12．ABD【解析】【分析】选项A，利用基本不等式得a b +≥，再利用基本不等式得≥次等号成立的条件必须相同；选项B ，把()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，利用基本不等式即可证明；选项C ，由基本不等式可判断；选项D ，作差法证明()()22220a b ab a b +-+≥即得. 【详解】对A，0,0,a b a b >>∴+≥≥=a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，即2a b ==时，等号成立，故A 正确；对B ，()110,0,224b a a b a b a b a b ⎛⎫>>∴++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即a b =时等号成立，故B 正确；对C ，0,0a b >>，2ab a b ∴≤=+a b =时等号成立，故C 错误；对D ，0,0a b >>，()()()()()()2222233220a b ab a b a b a b a b a ab b ∴+-+=--=-++≥,()()2222a bab a b ∴+≥+，()()2222ab a bab+∴≥+，22a b ≥+，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题. 13．1-或0 【解析】【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案. 【详解】若()211,a +=则0a =或2,a =-当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：1-或0. 【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合元素的互异性是关键点，属基础题. 14．m 1≥ 【解析】【分析】由x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，A 是B 的一个真子集求解．【详解】∵x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，∴A B ，∴23m +≥，∴m 1≥. 故答案为:m 1≥. 【点睛】本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系，考查充分不必要条件的应用，属于基础题. 15．12[,)23【解析】由已知可得21012{123213x x x -≥⇒≤<⇒-< 正确答案为12[,)23.16．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 17．（1）{0x x <或}2x >；（2）12a >-. 【解析】【分析】（1）代入1a =-，求出集合B ，先求出AB ，即可求出()RA B ⋃；（2）分B =∅，B ≠∅讨论求解a 的取值范围. 【详解】（1）1a =-时，{}12B x x =≤≤，{}02A B x x ∴⋃=≤≤， (){0RA B x x ∴⋃=<或}2x >；（2）当B =∅时，则21a a +>-，得12a >-；当B ≠∅时，则2110a a a +≤-⎧⎨-<⎩或2122a aa +≤-⎧⎨+>⎩，无解，综上，12a >-. 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查根据集合的交集求参数范围，属于基础题. 18．（1）{|1x x <-或3}2x >；（2）66b -≤≤．【解析】【分析】（1）由已知条件结合韦达定理可求出a 的值，进而求出一元二次不等式求其解集；（2）由（1）得2330x bx ++≥的解集为R ，所以判别式小于等于零，可求出b 的范围. 【详解】（1）由题意知10a -<且－3和1是方程2(1)460a xx 的两根，∴10421631a a a⎧⎪-<⎪⎪=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩ 解得3a =. ∴不等式22(2)0xa x a ，即为2230x x -->，解得1x <-或32x >. ∴所求不等式的解集为{|1x x <-或3}2x >；（2）230ax bx ++≥，即为2330x bx ++≥，若此不等式的解集为R ，则24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和由一元二次不等的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题. 19．（1）1()f x x x=+；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）可得出2(1)1(1)1x f x x +++=+，从而得出211()x f x x x x+==+；（2）根据单调性的定义，设任意的1x ，2(0,1)x ∈，并且12x x <，然后作差，通分，提取公因式，从而得出12121212()(1)()()x x x x f x f x x x ---=，然后说明12()()f x f x >即可．【详解】（1）2222(1)1(1)11x x x f x x x +++++==++，∴211()x f x x x x+==+；（2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则： 1212121212121212()(1)111()()()()(1)x x x x f x f x x x x x x x x x x x ---=+-+=--=， 1x ，2(0,1)x ∈，1201x x ∴<<，1210x x -<，又由12x x <，得120x x -<，于是121212()(1)0x x x x x x -->，即12())0(f x f x ->，12()()f x f x ∴>，∴函数1()f x x x=+在(0,1)上单调递减．【点睛】考查换元法求函数解析式的方法，已知[()]f g x 求()f x 的方法，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法． 20．（1）5,111⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）51,11⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题可知()()2213160a xa x -+-+≥恒成立，讨论210a -=和210a -≠两种情况求解；（2）先讨论210a -=时的情况，再讨论210a -≠时，可得()()22210914610a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-≥⎪⎩，解出即可. 【详解】（1）若()f x 的定义域为R ，则()()2213160a xa x -+-+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，①若1a =，则60≥恒成立，符合题意，②若1a =-，则660x +≥，解得1x ≥-，不符合题意，当210a -≠时，则()()22210914610a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-≤⎪⎩，解得5111a -≤<，综上，5111a -≤≤；（2）当210a -=时，1a =±，①若1a =，则()f x =，不符合题意， ②若1a =-，则()0f x =≥，符合题意，当210a -≠时，则()()22210914610a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-≥⎪⎩，解得5111a -<≤-，综上，5111a -≤≤-.【点睛】本题考查根据函数的定义域和值域求参数范围，属于中档题. 21．（1）16[(1)]29(0)1y m m m =-+++≥+；（2）21万元. 【解析】【分析】（1）由0m =时，1x =，解得2k =，得到每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯元，进而列出函数的解析式；（2）由0m ≥时，结合基本不等式，求得16(1)81m m ++≥+，即可求解. 【详解】（1）由题意，当0m =时，1x =（万件），可得13k =-，解得2k =，所以231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元， ∴2004年的利润()8161.581648x y x x m x m x +⎡⎤=⋅⨯-++=+-⎢⎥⎣⎦21648(3)[(1)]29,(0)11m m m m m =+--=-+++≥++. （2）因为0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+，所以82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++时，即3m =（万元）时，max 21y =（万元）. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中正确理解题意，列出函数关系式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 22．（I ）见解析;（II ）当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a - 【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据0a =时，x 在[0]2，上，去绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区间[0]2，上的最大值和最小值；（Ⅱ）利用零点分段去绝对值，根据对称轴分情况讨论即可求函数f x （）的最小值试题解析：（I ）当0a =，[]0,2x ∈时，函数()21f x x x =-+，因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =，所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34；当2x =时，()f x 值最大，最大值为3.（II ）①当x a ≤时，函数()2213124f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭.若12a ≤-，则()f x 在(],a -∞上单调递减，在(],a -∞上的最小值为()21f a a =+；若12a >-，则函数()f x 在(],a -∞上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ②当x a >时，()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭. 若12a <，则()f x 在[),a +∞上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；若12a ≥，则()f x 在[),a +∞上单调递增，()()21f x f a a >=+. 所以，当12a ≤-时，22311042a a a ⎛⎫⎛⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的最小值为34a +. 当12a ≥时，22311042a a a ⎛⎫⎛⎫+--=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的最小值为34a -.当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者.所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．。

2020-2021学年湖北省部分重点中学高三(上)联考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）联考数学试卷（10月份）1.已知全集U=R，M={x|x<−1}，N={x|x(x+2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A. {x|−1≤x<0}B. {x|−1<x<0}C. {x|−2<x<−1}D. {x|x<−1}2.从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为()A. 55B. 80C. 90D. 1103.已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2−a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤54.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是()A. 此人第六天只走了5里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C. 此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a6.函数f(x)=Asin(ωx+π4)(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000+12×1000×2=32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000+12×32×1000×2=94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间约为( )(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)A. 34小时B. 37小时C. 40小时D. 43小时8. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)9. 如图，点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论，其中正确的结论有( )A. 三棱锥A −D 1PC 的体积不变B. A 1P 与平面ACD 1所成的角大小不变C. DP ⊥BC 1D. DB 1⊥A 1P10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个顶点分别是A 1，A 2，左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( )A. |PF1|−|PF2|=2aB. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2C. 使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有4个D. 焦点到渐近线的距离等于b11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，b=4，下列判断：A.若c=√3，则角C有两解；B.若a=92，则角C有两解；C.△ABC为等边三角形时周长最大；D.△ABC为等边三角形时面积最小．其中判断正确的是()A. AB. BC. CD. D12.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，其中e为自然对数的底数，k∈R.若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，则下列命题正确的是()A. k=e2+1eB. 曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线与直线x−ey+1=0平行C. 函数y=g(x)+2ex2在[0,e]上的最大值为2e2+1D. 函数y=g(x)−xe−e2x在(0,1)上单调递增13.(x+2y)(x+y)4的展开式中x3y2的系数为______．14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a=______．15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数f(x)=13x3+bx2+(a2+ c2−ac)x+1有极值点，则∠B的范围是______ ．16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)={1p,当x=qp(p,q都是正整数,qp是既约真分数)0,当x=0,1或[0,1]上的无理数，若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2−x)+f(x)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(lg103)−f(85)=______．17.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+14n2−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．19.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；(Ⅱ)求证：AB⊥VC；(Ⅲ)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√52,√32)，离心率为2√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x=a2c的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立，(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．22.已知函数f(x)=x2+ax−a，其中a∈R．e x(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程；(2)求证：若f(x)有极值，则极大值必大于0．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用Venn图表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．由图可得图中阴影部分为N∩(∁U M)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．【解答】解：图中阴影部分为N∩(∁U M)，∵M={x|x<−1}，∴∁U M={x|x≥−1}，又N={x|x(x+2)<0}={x|−2<x<0}，∴N∩(∁U M)={x|−1≤x<0}，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．由已知求得A或B等级所占比例，乘以200得答案．【解答】解：由题意，A、B等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，则A或B等级所占比例为55%，∴200人的样本中，获得A或B等级的学生一共有：200×45%=90人．故选：C．3.【答案】C【解析】解：因为命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题，所以“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，所以a≥4，a ≤4，a ≤5是真命题的既不充分也不必要条件，所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5，故选：C ．将命题“∀x ∈A ，x 2−a ≤0”是真命题，转化为“∀x ∈A ，a ≥x 2”恒成立求得a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断．本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．4.【答案】BCD【解析】解：设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x =192．A .此人第六天只走了125×192=6里路，因此不正确；B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多=192−(378−192)=6里，正确；C .此人第二天走的路程比全程的14还多=12×192−14×378=1.5里，正确； D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的(1+12+122)x(123+124+125)x =8倍，正确．故选：BCD ．设此人第一天行走x 里，由题意可得：x +12x +122x +123x +124x +125x =378，化为：1−1261−12x =378，解得x.进而判断出结论．本题考查了等比数列的求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数， ∴f(−1)=f(1)，即2|−1−m|−1=2|1−m|−1，解得m =0， ∴f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减， ∵2−3=18∈(0,1)，3m =1，|log 0.53|=log 23>1， ∴f(2−3)<f(3m )<f(log 0.53)，即a <b <c ．故选：A ．由题意可得m =0，可得f(x)=2|x|−1在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象及其变换规律，属于中档题．函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知周期T =2π3，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．【解答】解：由题意，函数f(x)=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，可知最小正周期T =2π3，那么：ω=2πT=2π×32π=3．则f(x)=Asin(3x +π4)=Asin3(x +π12).要得到g(x)=Acos3x =Asin(3x +π2)=Asin3(x +π6)的图像，只需将f(x)向左平移π12即可．故选A ．7.【答案】C【解析】解：设第n 个小时后细胞个数为a n ，则a n+1=12a n +12a n ×2=32a n ，又a 1=32×1000，可得{a n }是等比数列， ∴a n =32×1000×(32)n−1=1000×(32)n ，由a n =1000×(32)n >1010，得(32)n >107，即nlg 32>7，∴n >7lg3−lg2=70.4771−0.3010≈40．故选：C．设第n个小时后细胞个数为a n，由题意结合等比数列的通项公式求得a n，再由a n= 1000×(32)n>1010，结合对数的运算性质求解．本题考查等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，由题意知AD1//BC1，AD1⊂面ACD1，BC1⊄面ACD1，∴BC1//面ACD1，故BC 1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，△ACD1面积为定值，而V A−D1PC =V P−AD1C，所以，以动点P在BC1任何位置，三棱锥A−D1PC体积不变，故A正确；对于B，如图，连接A1B，A1C1，由正方体性质可知，A1C1//AC，A1C1⊄面ACD1，AC⊂面ACD1，∴A1C1//面ACD1，由A知：BC1//面ACD1，A1C1∩BC1=C1，故平面ACD1//平面A1C1B，而A1P⊂面A1C1B，由面面平行的性质易得：A1P//平面ACD1，故B正确；对于C，∵DC⊥面BCC1D1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥面DCP，则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，故C错误，对于D，如图，由正方形A1B1C1D1可得A1C1⊥B1D1，又BB1⊥面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，D1B1∩BB1=B1，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴DB1⊥A1C1，同理，DB1⊥BC1，∴DB1⊥面BA1C1，∵A1P⊂面A1BC1，∴DB1⊥A1P，故D正确，故选：ABD．对于A选项，可将三棱锥A−D1P的体积转化为求P−AD1C的体积进行求证；对于B选项，可通过证明面ACD1//面A1C1B，进而证明出A1P//平面ACD1；对于C选项，可利用线面垂直的判定以及性质进行证明；对于D选项，可通过证明DB1⊥面BA1C1，进而证明出，DB1⊥面BA1C1．本题考查了三棱锥体积，空间中线面夹角求法，以及空间中线线垂直的判定，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a，故A不正确；由点差法知，直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2，故B正确．若点P在第一象限，可以分别以点F1，F2为顶点构成等腰三角形，根据对称性，一共有八个等腰三角形，故C错误．由点F(c,0)到直线y=ba x的距离为√a2+b2=b，故D正确，故选：BD．由双曲线的定义可判断A不正确；由点差法可判断B正确；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断C不正确，由点到直线的距离公式可得D正确．本题考查双曲线的性质及命题真假的判断，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，由bsinB =csinC，得sinC=csinBb=√3sin60°4=38，由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，A错误；对于B，同理，由asinA =bsinB，可得sinA=9√3256<1，由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，B正确；对于C，由b2=a2+c2−2accosB，得16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2．故a+c≤8，当且仅当a=c时取等号，此时三角形周长最大，三角形为等边三角形，C正确；对于D，由C推导过程知得16=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，即ac≤16，当且仅当a=c时取等号，此时三角形ABC面积最大，又B=60°，所以三角形为等边三角形，D正确，故选：BC．根据A、B选项给出的条件，利用正弦定理解出sin C和sin A，结合角度大小进行判断；C，D选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．本题考查的是正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=lnx，g(x)=x3−2ex2+kx，若函数y=f(x)−g(x)有唯一零点，可得f(x)=g(x)，即为lnxx=x2−2ex+k有唯一解．设ℎ1(x)=lnxx，ℎ2(x)=x2−2ex+k，ℎ1(x)的导数为ℎ1′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ1(x)递减；当0<x<e时，ℎ1(x)递增，可得ℎ1(x)的最大值为1e，ℎ2(x)=x 2−2ex +k 的最小值为ℎ2(x)min =ℎ2(e)=k −e 2，所以k −e 2=1e ，即k =e 2+1e ，故A 正确；由g(x)=x 3−2ex 2+kx 的导数为g′(x)=3x 2−4ex +e 2+1e ，g′(e)=1e ，g(e)=1，所以切线的方程为y −1=1e (x −e)，即为x −ey =0，故切线与直线x −ey +1=0平行，故B 正确；由函数y =F(x)=g(x)+2ex 2=x 3+(e 2+1e )x ，导数为F′(x)=3x 2+e 2+1e >0，可得函数F(x)在[0,e]上递增，可得最大值为F(e)=2e 3+1，故C 错误；设G(x)=g(x)−xe −e 2x =x 3−2ex 2的导数为G′(x)=3x 2−4ex ，可得当0<x <43e 时，G′(x)<0，G(x)递减，则G(x)在(0,1)上递减，故D 错误．故选：AB ．由函数方程的关系，求得函数的最值，可判断A ；求得g(x)的导数，可得切线的斜率，求得切点，可得切线的方程，可判断B ；设F(x)=g(x)+2ex 2，求得导数和单调性，可得最大值，即可判断C ；设G(x)=g(x)−xe −e 2x ，求得导数和单调性，可判断D ．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：因为(x +y)4展开式的通项公式为：T r+1=∁4r ⋅x4−r⋅y r ；令4−r =2可得r =2；令4−r =3可得r =1；∴(x +2y)(x +y)4的展开式中，x 3y 2的系数为：∁42+2×∁41=14．故答案为：14．求出(x +y)4展开式的通项公式，进而求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形可得：a2−(a+2)x21−x2=1，必有a=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，即ln(2x1+x +a)+ln(−2x1−x+a)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．15.【答案】(π3,π)【解析】解：∵f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1，∴f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，又∵函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点，∴x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，∴△=(2b)2−4(a2+c2−ac)>0，即ac>a2+c2−b2，即ac>2accosB；即cosB<12；故∠B的范围是(π3,π)；故答案为：(π3,π)．先求导f′(x)=x2+2bx+(a2+c2−ac)，从而化函数f(x)=13x3+bx2+(a2+c2−ac)x+1有极值点为x2+2bx+(a2+c2−ac)=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：根据题意，对任意x 都有f(2−x)+f(x)=0，令x =25，则有f(85)=−f(25)，又由f(25)=R(25)=15，故f(85)=−15 又由0<lg103=1−lg3<1，则有f(lg 103)=R(lg 103)=0，故f(lg 103)−f(85)=0−(−15)=15；故答案为：15．根据题意，运用特殊值法可得f(85)=−f(25)，由函数的解析式求出f(25)和f(lg 103)的值，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及对数的运算性质，是基础题．17.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2，当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)，又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2， ∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x +π3)，(2)由x ∈[π6,m]，可知5π6≤3x +π3≤3m +π3， ∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32，由余弦定理的性质得：π≤3m +π3≤7π6，∴2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9,5π18].【解析】(1)依题意，易求A =1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式． (2)x ∈[π6,m]⇒5π6≤3x +π3≤3m +π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m +π3≤7π6，从而可求m 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵M ，N 分别为VA ，VB 的中点， ∴MN//AB ，∵AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB//平面CMN ．(Ⅱ)证明：∵△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB =BC ，AC =CV =2，M ，N 分别为VA ，VB 的中点． ∴AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，∵平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC ∩平面ABC =AC ， ∴VC ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥VC ．(Ⅲ)解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，V(√2,0，2)，B(0,0，0)，C(√2,0，0)，N(√22,0，1)，A(0,√2,0)，M(√22,√22,1)， BV ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,1)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0，1)，设平面CMN 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y +z =0n ⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√2)，设直线VB 与平面CMN 所成角为θ，则直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为： sinθ=|BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BV ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2√6⋅√6=2√23．【解析】(Ⅰ)推导出MN//AB ，由此能证明AB//平面CMN ．(Ⅱ)推导出AB ⊥BC ，VC ⊥AC ，从而VC ⊥平面ABC ，由此能证明AB ⊥VC ． (Ⅲ)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意得 { a 2=b 2+c 254a 2+34b 2=1c a =2√55，解得a =√5，b =1，c =2，所以椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x =52，AB 1与A 1B 的交点是(94,0)．②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2+5y 2=5⇒(1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0，所以x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2，A 1(52,y 1)，B 1(52,y 2)，所以l AB 1：y =y 2−y 152−x 1(x −52)+y 2，l A 1B ：y =y 2−y 1x 2−52(x −52)+y 1，联立解得x =x 1x 2−254x 1+x 2−5=20k 2−51+5k 2−25420k21+5k 2−5=−45(1+k 2)−20(1+k 2)=94，代入上式可得 y =k(x 2−x 1)−10+4x 1+y 2=−9k(x 1+x 2)+4kx 1x 2+20k4x 1−10=−9k⋅20k 21+5k 2+4k⋅20k 2−51+5k 2+20k 4x 1−10=0，综上，直线AB 1与A 1B 过定点(94,0)．【解析】(1)由过点(√52,√32)，离心率为2√55，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线AB 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，写出直线AB 1的方程，直线A 1B 的方程，联立解得x ，y 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) =34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅23⋅12+34⋅23⋅13⋅12=512．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，P(ξ=0)=C 30(712)3=3431728，P(ξ=1)=C 31(512)(712)2=7351728， P(ξ=2)=C 32(512)2(712)=5251728，P(ξ=3)=C 33(512)3=1251728，∴ξ的分布列为：∵ξ～B(3,512)，∴Eξ=3×512=54．【解析】(1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)，由事件A ，B ，C ，D 相互独立能求出结果．(2)由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,512)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)的导数f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x=−(x+a)(x−2)e x，当a =0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e ，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ， (2)证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递减，无极值； ②当−a <2，即a >−2时，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(2)=a+4e 2>2e 2>0，③当−a >2，即a <−2时，=−ae a>0，所以函数f(x)存在极值，函数f(x)的极大值为f(−a)=−ae−a综上，当f(x)有极值时，函数f(x)的极大值必大于0．【解析】(1)利用导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，分a=−2，a>−2，a>−2讨论即可．本题考查了导数的几何意义，即利用导数求函数极值，属于中档题．第21页，共21页。