2004全国高考数学试题汇编——三角向量
2004年全国高考数学试题汇编——立体几何(二)
两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=。
若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为A. 104B. 38C. 134D. 164． 5． ①m α⎬⊂⎭ ② //m β⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个6．（2004年重庆高考·理工第8题）设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（2004年重庆高考·文史第12题）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 （ ） A ．258 B．234 C ．222 D ．2108．（2004年重庆高考·理工第12题）若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（ ）（C ） （D ）9．（2004年重庆高考·文史第16题）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。
又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里. 10．（2004年湖南高考·理工第4题，文史第5题）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°11．（2004年湖南高考·理工第10题，文史第10题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A ．56 B ．52 C ．48 D ．4012. （2004年天津高考理工第19题，本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
2004年高考试题——数学(江西卷)(理)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2} 2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ） A ．33π100cm B ． 33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 （ ）A ．6B ．12C ．24D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) 17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞ 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP.∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB, ∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB∴∠APB=.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.（1） （2）解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km kmy m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。
2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅳ)
2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅳ)王 瑛 整理9 解析几何(1)[全国卷Ⅰ理(7)]椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则 PF2 =( ).(A)32 (B)3 (C)72 (D)4[C](2)[全国卷Ⅰ理(8)]设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ).(A)[-12,12] (B)[-2,2](C)[-1,1](D)[-4,4][C](3)[全国卷Ⅱ理(4)]已知圆C与圆(x-1)2+ y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为( ).(A)(x+1)2+y2=1 (B)x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1(D)x2+(y-1)2=1[C](4)[全国卷Ⅱ理(8)]在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )条.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4[B](5)[全国卷Ⅲ理(4)]圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为( ).(A)x+3y-2=0 (B)x+3y-4=0(C)x-3y+4=0(D)x-3y+2=0[D](6)[全国卷Ⅲ理(7)]设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±12x,则该双曲线的离心率e=( ).(A)5 (B)5 (C)52 (D)54[C](7)[全国卷Ⅳ理(3)]过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( ).(A)2x+y-1=0 (B)2x+y-5=0(C)x+2y-5=0(D)x-2y+7=0[A](8)[全国卷Ⅳ文(8)]已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( ).(A)x2+y2-2x-3=0 (B)x2+y2+4x=0 (C)x2+y2+2x-3=0(D)x2+y2-4x=0[D](9)[全国卷Ⅳ理(8)]已知椭圆的中心在原点,离心率e=12,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ).(A)x24+y23=1 (B)x28+y26=1(C)x22+y2=1(D)x24+y2=1[A]第10题图(2)[北京卷理(4)]如图,在正方体A BCD-A1B1C1D1中,P是侧面B B1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( ).(A)直线 (B)圆(C)双曲线 (D)抛物线[D](11)[天津卷理(4)]设P是双曲线x2a2-y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若 PF1 =3,则 P F2 =( ).(A)1或5 (B)6 (C)7 (D)9[C](12)[天津卷理(7)]若P(2,-1)为圆(x-1)2 +y2=25的弦A B的中点,则直线A B的方程是( ).(A)x-y-3=0 (B)2x+y-3=0(C)x+y-1=0(D)2x-y-5=0[A](13)[天津卷文(7)]若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( ).(A)0<k<5 (B)-5<k<0(C)0<k<13(D)0<k<5[A](14)[天津卷文(8)]如图,定点A和B都在平面 内,定点P ,PB⊥ ,C是 内异于A和B的动点,且PC⊥A C.那么,动点C在平面 内的轨迹是( ).(A)一条线段,但要去掉两个点 第14题图(B)一个圆,但要去掉两个点(C)一个椭圆,但要去掉两个点(D)半圆,但要去掉两个点[B](15)[江苏卷(5)]若双曲线x28-y2b2=1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线离心率为( ).(A)2 (B)22 (C)4 (D)42[A](16)[江苏卷(11)]设k >1,f (x )=k (x -1)(x ∈R ).在平面直角坐标系x Oy 中,函数y =f (x )的图像与x 轴交于A 点,它的反函数y =f -1(x )的图像与y 轴交于B 点,并且这两个函数的图像交于P 点.已知四边形OA PB 的面积是3,则k 等于( ).(A )3 (B)32 (C)43 (D )65[B](17)[浙江卷理(9)]若椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ).(A )1617 (B)41717 (C)45 (D)255[D ](18)[浙江卷理(2)]点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动23弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( ).(A )(-12,32) (B)(-32,-12)(C)(-12,-32)(D)(-32,12)[A ](19)[浙江卷理(4)]曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是( ).(A )y 2=8-4x (B)y 2=4x -8(C)y 2=16-4x (D )y 2=4x -16[C](20)[浙江卷文(2)]直线y =2与直线x +y -2=0的夹角是( ).(A ) 4 (B) 3 (C) 2 (D)3 4[A ](21)[福建卷理(4)]已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△A BF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ).(A )33 (B)23 (C)22 (D )32[A]第22题图(22)[福建卷理(12)]如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处,河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )万元.(A )(27-2)a (B)5a(C)(27+1)a (D)(23+3)a [B](23)[湖北卷理(1)]与直线2x -y +4=0平行的抛物线y =x 2的切线方程是( ).(A)2x-y +3=0 (B)2x -y -3=0(C)2x -y +1=0(D )2x -y -1=0[D ](24)[湖北卷理(6)]已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( ).(A )95 (B)3 (C)977 (D)94[D ](25)[湖北卷文(2)]已知点M 1(6,2)和M 2(1,7),直线y =mx -7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3∶2,则m 的值为( ).(A )-32 (B)-23 (C)14 (D )4[D ](26)[湖北卷文(4)]两个圆C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0与C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有( )条.(A )1 (B)2 (C)3 (D)4[B](27)[湖南卷理(2)]如果双曲线x 213-y212=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ).(A )135 (B)13 (C)5 (D)513[A ](28)[湖南卷文(2)]设直线ax +by +c =0的倾斜角为 ,且sin +co s =0,则a 、b 满足( ).(A )a +b =1 (B)a -b =1(C)a +b =0(D )a -b =0[D ](29)[重庆卷理(3)]圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( ).(A )2 (B)22 (C)1 (D)2[D ](30)[重庆卷理(10)]已知双曲线x 2a -y 2b =1,(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且 PF 1 =4 P F 2 ,则此双曲线的离心率e 的最大值为( ).(A )43 (B)53 (C)2 (D )73[B](31)[广东卷(8)]若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k =( ).(A )1 (B)4 (C)6 (D)8[C]第32题图(32)[广东卷(12)]如图,定圆半径为a ,圆心为(b ,c ),则直线ax +by +c =0与直线x -y +1=0的交点在( ).(A )第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D )第四象限[C](33)[全国卷Ⅰ理(14)]由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠A P B =60°,则动点P 的轨迹方程为.[x 2+y 2=4](34)[全国卷Ⅱ理(15)]设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.y 2=1](35)[全国卷Ⅲ理(16)]设P是曲线 y2=4 (x-1)上的一个动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是.[5](36)[全国卷Ⅲ文(16)]设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为.[1](37)[北京卷理(12)]曲线C:x=cos ,y=-1+sin( 为参数)的普通方程是, C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是.[x2+(y+1)2=1,1-2≤a≤1+2](38)[北京卷文(11)]圆x2+(y+1)2=1的圆心坐标是,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a的取值范围是.[(0,-1),1-2≤a≤1+2](39)[天津卷理(14)]如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.[(-∞,-34 )](40)[上海卷理(2)]设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=-1,则它的焦点坐标为.[(5,0)](41)[上海卷理(7)]在极坐标系中,点M(4, 3 )到直线l: (2cos +sin )=4的距离d=.[2155](42)[上海卷理(8)]圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.[(x-2)2+(y+3)2=5](43)[上海卷理(11)]教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.[用代数的方法研究图形的几何性质](44)[江苏卷(14)]以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是.[(x-1)2+(y-1)2=25](45)[浙江卷理(15)]设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有种(用数字作答).[5](46)[福建卷理(13)]直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于.[45](47)[湖南卷文(15)]F1、F2是椭圆C:x28+y24=1的焦点,在C上满足PF1⊥P F2的点P的个数为.[2](48)[湖南卷理(16)]设F是椭圆x2+y2=1的右焦点,且椭圆上至少有213,…),使 FP1 , FP2 , PF3 ,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.[[-110,0)∪(0,110]](49)[重庆卷理(14)]曲线y=2-12x2与y= 14x3-2在交点处切线的夹角是.(用幅度数作答)[4](50)[重庆卷理(16)]对任意实数k,直线:y=kx+b与椭圆:x=3+2cos ,y=1+4sin . (0≤ ≤2 )恰有一个公共点,则b的取值范围是.[[-1,3]](51)[全国卷Ⅰ理(21)](见本刊2004年第7期P38)(52)[全国卷Ⅱ理(21)]给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小;(Ⅱ)设FB= A F,若 ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.解 (Ⅰ)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x- 1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=6,x1x2= 1. OA OB=(x1,y1) (x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=- 3. OA OB =x21+y21 x22+y22 =x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]=41. cos〈O A,OB〉=OA OBOA OB =-34141,所以OA与OB夹角的大小为 -ar cco s34141.(Ⅱ)由题设FB= A F得(x2-1,y2)= (1-x1,-y1),即x2-1= (1-x1),y2=- y1.由 得 y22= 2y21.∵ y21=4x1, y22=4x2,∴ x2= 2x1. 联立 、 解得x2= .依题意有 >0,∴ B( ,2 )或B( ,-2 ),又F(1,0),得直线l方程为( -1)y=2 (x-1)或 ( -1)y=-2 (x-1).当 ∈[4,9]时,l在y轴上的截距为2-1或-2-1.由2-1=1+1+1-1,可知上是递减的,故3≤2-1≤4,-4≤-2-1≤-3.即直线l在y轴上截距的变化范围为[-43,-34]∪[34,43].(53)[全国卷Ⅲ理(21)]设椭圆x2m+1+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0) (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线P F1与直线PF2垂直.(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q.若 Q F2P F2 =2-3,求直线P F2的方程.解 (Ⅰ)由题设有m>0,c=m.设点P的坐标为(x0,y0),由P F1⊥P F2,得y0 x0-c y0x0+c=- 1.化简得x20+y20=m.将 与x20m+1+y20=1联立,解得 x20=m2-1m, y20=1m.由 m>0,x20=m2-1m≥0,得 m≥1.所以m的取值范围是 m≥1.(Ⅱ)准线l的方程为x=m+1m.设点Q的坐标为(x1,y1),则 x1=m+1m.QF2 PF2 =x1-cc-x0=m+1m-mm-x0将 x0=m2-1m代入 ,化简得QF2 PF2 =1m-m2-1=m+m2- 1.由题设 Q F2P F2 =2-3,得m+m2-1=2-3,无解.将 x0=-m2-1m代入 ,化简得QF2 PF2 =1m+m2-1=m-m2- 1.由题设 Q F2P F2 =2-3,得m-m2-1=2-3.解得 m= 2.从而 x0=-32,y0=±22,c=2,得到PF2的方程 y=±(3-2)(x-2).(54)[全国卷Ⅳ理(21)]双曲线x2a2-y2b2=1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥45c,求双曲线的离心率e的取值范围.解 直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离 d1=b(a-1)a2+b2,同理得到点(-1,0)到直线l的距离 d2=b(a+1)a2+b2, s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.由s≥45c,得2abc≥45c,即 5a c2-a2≥2c2.于是得5e2-1≥2e2,即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得54≤e2≤5.由于e>1>0,所以e的取值范围是 52≤e≤5.第55题图(55)[北京卷理(17)]如图,过抛物线y2=2p x (p>0)上一定点P(x0,y0) (y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(Ⅰ)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离;(Ⅱ)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2y0的值,并证明直线A B的斜率是非零常数.解 (Ⅰ)当y=p2时,x=p8,又抛物线y2= 2p x的准线方程为x=-p2,由抛物线定义得,所求距离为p8-(-p2)=5p8.(Ⅱ)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k P B.由 y21=2p x1, y20=2p x0,相减得 (y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),故 k PA=y1-y0x1-x0=2py1+y0 (x1≠x0).同理可得 k PB=2py2+y0 (x2≠x0).由P A,PB倾斜角互补知 k P A=-k PB,即 2py1+y0=-2py2+y0,故 y1+y2y0=- 2.设直线A B的斜率为k A B,由y22=2p x2,y21=2p x1,相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),所以 k AB=y2-y1x2-x1=2py1+y2 (x1≠x2).将y1+y2=-2y0(y0>0)代入得k A B=2py1+y2=-py0,所以k AB是非零常数.(56)[天津卷理(22)]椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A, OF =2 FA ,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若OP OQ=0,求直线P Q的方程;(3)设A P= A Q( >1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明:FM=- F Q.(1)解 由题意,可设椭圆的方程为x2a2+y22=1 (a>2).由已知求得a=6, c= 2.所以椭圆的方程为x26+y22=1,离心率e=63.(2)解 由(1)可得A(3,0).设直线P Q的方程为y=k(x-3),与椭圆方程联立得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意 =12(2-3k2)>0,得-63<k<63.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=18k23k2+1 x1x2=27k2-63k2+1由直线P Q的方程得y1=k(x1-3), y2=k(x2-3).于是y1y2=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].∵ OP OQ=0,∴ x1x2+y2y2=0由 !得5k2=1,从而k=±55∈(-63,63).所以直线PQ的方程为x-5y-3=0 或 x+5y-3=0.(3)证明 A P=(x1-3,y1),A Q=(x2-3,y2).由已知得方程组x1-3= (x2-3),y1= y2,x21 6+y212=1,x22 6+y222= 1.注意 >1,解得x2=5 -12.因F(2,0),M(x1,-y1),故FM=(x1-2,-y1)=( (x2-3)+1,-y1)=(1-2,-y1)=- (-12,y2).而 F Q=(x2-2,y2)=( -12,y2),所以F M=- FQ.(57)[上海卷理(20)]已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函数f(x)的表达式;第57题图(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.(1)解 由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴ f1(x)=x2.设f2(x)=kx (k>0),它的图像与直线y=x的交点分别为A(k,k),B(-k,-k).由 A B =8,得k=8, ∴ f2(x)=8x.故f(x)=x2+8x.(2)证明 f(x)=f(a),得x2+8x=a2+8a,即8x=-x2+a2+8a.在同一坐标系内作出f2(x) =8x和f3(x)=-x2+a2+8a的大致图像,其中f2(x)的图像是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图像是以(0,a2+8a)为顶点,开口向下的抛物线.因此,f2(x)与f3(x)的图像在第三像限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+8a,当a>3时,f3(2)-f2(2)=a2+8a-8>0,∴ 当a>3时,在第一象限f3(x)的图像上存在一点(2,f(2))在f2(x)图像的上方.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.(58)[上海卷理(22)]设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P n(x n,y n)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1= OP1 2,a2= OP2 2,…,a n= OP n 2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记S n=a1+a2+…+a n.(1)若C的方程为 x2100+y225=1,n= 3.点P1(3,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求S n的最小值;(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…,P n存在的充要条件,并说明理由.解 (1)a1= O P1 2=100,由S3=32(a1+a3) =255,得a3= OP3 3=70.由 x2100+y225=1,x23+y23=70. 得 x23=60,y23=10.∴ 点P3的坐标可以为(215,10).(2)解法1 原点O到二次曲线C:x2a2+y2b2= 1 (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. ∵ a1= OP1 2=a2, ∴ d<0,且 a n= OP n 2=a2+(n-1)d≥b2,∴ b 2-a 2n -1≤d <0.又n ≥3,n (n -1)2>0,∴ S n =na 2+n (n -1)2d 在[b 2-a 2n -1,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+n (n -1)2 b 2-a 2n -1=n (a 2+b 2)2.解法2 对每个自然数k (2≤k ≤n ),由 x 2k +y 2k =a 2+(k -1)d ,x 2k a 2+y 2kb 2=1,解得y 2k =-b 2(k -1)da 2-b 2.∵ 0<y 2k ≤b 2,得 b 2-a 2k -1≤d <0,∴ b 2-a 2n -1≤d <0.以下与解法1相同.(3)解法1 若双曲线C : x 2a 2-y 2b2=1,点P 1(a ,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是d >0.由于原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[ a ,+∞),且 OP 1 =a 21,故点P 1,P 2,…,P n 存在当且仅当 OP n 2> OP 1 2,即d >0.解法2 若抛物线C :y 2=2x ,点P 1(0,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是d >0.理由同上.解法3 若圆C :(x -a )2+y 2=a 2 (a ≠0),P 1(0,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是0<d ≤4a 2n -1.∵ 原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2 a ,且 OP 1 =0,∴ d >0,且 OP n 2=(n -1)d ≤4a 2.即0<d ≤4a 2n -1.第59题图(59)[上海卷文(20)]如图,直线y =12x 与抛物线y=18x 2-4交于A 、B 两点,线段A B 的垂直平分线与直线y =-5交于Q 点.(1)求点Q 的坐标;(2)当P 为抛物线上位于线段A B 下方(含A 、B )的动点时,求△O PQ 面积的最大值.解 (1)解方程组y =12x ,y =18x 2- 4.得x 1=-4,y 1=- 2. x 2=8,y 2= 4.即A (-4,-2),B (8,4),从而A B 的中点为M (2,1).由k A B =12,直线A B 的垂直平分线方程y -1=12(x -2),令y =-5,得x =5,∴ Q (5,-5).(2)直线OQ 的方程为 x +y =0,设P (x ,18x 2-4).由于点P 到直线OQ 的距离d = x +18x 2-42=182 x 2+8x -32 ,O Q =52,∴ S △OP Q =12 OQ d =516x 2+8x -32 .又P 为抛物线上位于线段A B 下方的点,且P 不在直线OQ 上,得-4≤x <43-4或43-4<x ≤8.∵ 函数y =x 2+8x -32在区间[-4,8]上单调递增,∴ 当x =8时,△OP Q 的面积取到最大值30.(60)[江苏卷(21)]已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是F (-m ,0)(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若 M Q =2 QF ,求直线l 的斜率.解 (Ⅰ)设所求椭圆方程是x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b >0).由已知,得c =m ,c a =12,所以a =2m ,b =3m .故所求的椭圆方程是 x 24m 2+y 23m 2= 1.(Ⅱ)设Q (x Q ,y Q ),直线l :y =k (x +m ),则点M (0,k m ).当M Q =2Q F 时,由于F (-m ,0),M (0,k m ),由定比分点坐标公式,得x Q =0-2m 1+2=-2m 3, y Q =k m +01+2=13km .又点Q (-2m 3,k m 3)在椭圆上,所以4m 294m 2+k 2m 293m 2= 1.解得 k =±26. 当M Q =-2QF 时,x Q =0+(-2)×(-m )1-2=-2m ,y Q =km1-2=-k m .于是 4m 24m 2+k 2m23m 2=1,解得 k =0.故直线l 的斜率是0,±26.第61题图(61)[浙江卷理(21)]已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线A P 的距离为1.(Ⅰ)若直线A P 的斜率为k ,且 k ∈[33,3],求实数m 的取值范围;(Ⅱ)当m =2+1时,△A PQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.解 (Ⅰ)由条件得直线A P 的方程y =k (x -1),即kx -y -k =0.因为点M 到直线A P 的距离为1,∴ mk -k k 2+1=1,即 m -1 =k 2+1k =1+1k 2.由 k ∈[33,3],得233≤ m -1 ≤2,解得233+1≤m ≤3或-1≤m ≤1-233.故m 的取值范围是[-1,1-233]∪[1+233,3].(Ⅱ)可设双曲线方程为x 2-y 2b 2=1 (b ≠0),由M (2+1,0),A (1,0),得 A M =2.又因为M 是△A P Q 的内心,M 到A P 的距离为1,所以∠M A P =45°,直线A M 是∠PA Q 的角平分线,且M 到A Q 、PQ 的距离均为1.因此,k AP =1,k A Q =-1,(不妨设P 在第一象限)直线P Q 的方程为x =2+2,直线A P 的方程为y =x -1,解得P 点的坐标是(2+2,1+2),将P 点坐标代入x 2-y 2b 2=1得 b 2=2+12+3.故所求双曲线方程为x 2-2+32+1y 2=1,即x 2-(22-1)y 2= 1.第62题图(62)[福建卷理(22)]如图,P 是抛物线C :y =12x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q .(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求 STSP+STSQ的取值范围.解 (Ⅰ)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由 y =12x 2, 得 y ′=x .∴ 过点P 的切线的斜率k 切=x 1,∵ x 1=0不合题意, ∴ x 1≠0.∴ 直线l 的斜率 k 1=-1k 切=-1x 1,直线l 的方程为 联立 消去y ,得 x 2+2x 1x -x 21-2=0.∵ M 为PQ 的中点,∴ x 0=x 1+x 22=-1x 1,y 0=12x 21-1x 1(x 0-x 1).消去x 1,得 y 0=x 20+12x 20+1 (x 0≠0),故P Q 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x 2+1 (x ≠0).(Ⅱ)设直线l :y =kx +b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T (0,b ).分别过P 、Q 作PP ′⊥x 轴,QQ ′⊥y 轴,垂足分别为P ′、Q ′,则 ST SP + ST SQ = OT P ′P + O T Q ′Q = b y 1 + by 2.由y =12x 2,y =kx +b .消去x ,得y 2-2(k 2+b )y +b 2=0.则y 1+y 2=2(k 2+b ),y 1y 2=b 2.解法1 ∴ ST SP + ST S Q = b (1y 1+1y 2)≥2 b 1y 1y 2=2 b 1b 2= 2.∵ y 1、y 2可取一切不相等的正数,∴ S T S P + S T S Q 的取值范围是(2,+∞).解法2ST SP + ST SQ = b y 1+y 2y 1y 2= b 2(k 2+b )b 2.当b >0时, ST SP + ST SQ =b2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )b =2k 2b+2>2;当b <0时, ST SP + ST SQ =-b2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )-b.又由方程 有两个相异实根,得=4(k 2+b )2-4b 2=4k 2(k 2+2b )>0,于是k 2+2b >0,即k 2>-2b .所以 S T S P + S T SQ >2(-2b +b )-b= 2.∵ 当b >0时,2k 2b可取一切正数,∴ S T S P + S T S Q 的取值范围是(2,+∞).(63)[湖北卷理(20)](见本刊2004年第7期P 42)(64)[湖南卷理(21)]如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P (0,m )(m >0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.分有向线段A 所成的比为 ,证明:B );(Ⅱ)设直线A B 的方程是x -2y +12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.解 (Ⅰ)依题意,可设直线A B 的方程为y =k x +m ,代入抛物线方程x 2=4y 得x 2-4k x -4m =0, 设A 、B 两点的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程 的两根.所以x 1x 2=-4m .由点P (0,m )分有向线段A B 所成的比为 ,第64题图得 x 1+ x 21+=0,即 =-x1x 2.又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,-m ),从而 Q P =(0,2m ).QA - Q B =(x 1,y 1+m )- (x 2,y 2+m )=(x 1- x 2,y 1- y 2+(1- )m ).QP (QA - QB )=2m [y 1- y 2+(1- )m ]=2m [x 214+x 1x 2 x 224+(1+x 1x 2)m ]=2m (x 1+x 2) x 1x 2+4m2=2m (x 1+x 2) -4m +4m4x 2=0.所以QP ⊥(QA - Q B ).(Ⅱ)由x -2y +12=0,x 2=4y .得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(-4,4).由x 2=4y 得y =14x 2,y ′=12x ,所以抛物线x 2=4y 在点A 处切线的斜率为y ′ x =6= 3.设圆C 的方程是(x -a )2+(y -b )2=r 2,则b -9a -6=-13,(a -6)2+(b -9)2=(a +4)2+(b -4)2.解之得 a =-32,b =232,r 2=(a +4)2+(b -4)2=1252.所以圆C 的方程是 (x +32)2+(y -232)2=1252,即 x 2+y 2+3x -23y +72=0.(65)[湖南卷理(22)]如图,直线l 1:y =kx +1-k (k ≠0,k ≠±12)与l 2:y =12x +12相交于点第65题图P .直线l 1与x 轴交于点P 1,过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1,过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2,过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2,…,这样一直作下去,可得到一系列点P 1,Q 1,P 2,Q 2,….点P n (n =1,2,…)的横坐标构成数列{x n }.(Ⅰ)证明:x n +1-1=12k (x n-1),n ∈N *;(Ⅱ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅲ)比较2 P P n 2与4k 2 P P 1 2+5的大小.(Ⅰ)证明 设点P n 的坐标是(x n ,y n ),由已知条件得点Q n 、P n +1的坐标分别是:(x n ,12x n +12), (x n +1,12x n +12).由P n +1在直线l 1上,得12x n +12=kx n +1+1-k .所以 12(x n-1)=k (x n +1-1),即 x n +1-1=12k (x n-1), n ∈N *.(Ⅱ)解 由题设知x 1=1-1k ,x 1-1=-1k ≠0,又由(Ⅰ)知x n +1-1=12k (x n-1),所以数列{x n -1}是首项为x 1-1,公比为12k的等比数列.从而 x n -1=-1k (12k )n -1,即 x n =1-2 (12k)n , n ∈N *.(Ⅲ)解 由y =k x +1-k ,y =12x +12.得点P 的坐标为(1,1).所以 2 PP n 2=2(x n -1)2+2(k x n +1-k -1)2=8 (12k )2n +2 (12k )2n -2, 4k 2 P P 1 2+5=4k 2[(1-1k-1)2+(0-1)2]+5=4k 2+9.(i)当 k >12,即k <-12或k >12时,4k 2 P P 1 2+5>1+9=10.而此时0< 12k<1,所以 2 P P n 2<8×1+2=10.故 2 P P n 2<4k 2 P P 1 2+ 5.(ii)当0< k <12,即k ∈(-12,0)∪(0,12)时,4k 2 PP 1 2+5<1+9=10.而此时 12k>1,所以 2 P P n 2>8×1+2=10.故 2 P P n 2>4k 2 P P 1 2+ 5.(66)[重庆卷理(21)]设p >0是一常数,过点Q (2p ,0)的直线与抛物线y 2=2p x 交于相异两点A 、B ,以线段A B 为直径作圆H (H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上;并求圆H 的面积最小时直线A B 的方程.解 由题意,直线A B 不能是水平线,故可设直线方程为:ky =x -2p .又设A (x ,y ),B (x B ,y B ),则其坐标满足k y =x -2p ,y 2=2p x .消去x 得 y 22p k y -4p 2=0.由此得 y A +y B =2p k ,y A y B =-4p 2.x A +x B 4p +k (y A +y B )=(4+2k 2)p ,x A x B =(y A y B )2(2p )2=4p 2.因此 O A OB =x A x B +y A y B =0即OA ⊥OB .故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H (x H ,y H )是A B 的中点,故第66题图x H =x A +x B2=(2+k 2)p ,y H =y A +y B2=k p .由前已证,OH 应是圆H 的半径,且 OH =x 2H +y 2H=p k 4+5k 2+ 4.从而当k =0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小.此时,直线A B 的方程为:x =2p .(67)[广东卷(20)]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s .已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s;相关各点均在同一平面上)第67题图解 如图以接报中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系,设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A (-1020,0),B (1020,0),C (0,1020).设P (x ,y )为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得 P A =P C ,故P 在A C 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y =-x .因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故 P B - P A =340×4=1360.由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线x 2a 2-y2b 2=1上,依题意a =680,c =1020,∴ b 2=c 2-a 2=10202-6802=5×3402.故双曲线方程为 x 26802-y 25×3402= 1.用y =-x 代入上式,得 x =±6805.由 PB > PA ,得x =-6805,y =6805,即P (-6805,6805).故 PO =68010(m).答 巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010m.(68)[广东卷(22)]设直线相交于A 、B 两点,l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点,C 、D 三等分线段A B .求直线l 的方程.解 首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况.第68题图设直线l 的方程为 y =kx +b ,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为:A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (y 3,y 3)、D (x 4,y 4)依题意有A C =D B ,A B =3CD .由 y =kx +b ,x 225+y 2= 1. 得(16+25k 2)x 2+50bk x +(25b 2-400)=0(1)所以 x 1+x 2=-50bk16+25k 2.由 y =kx +b ,x 2-y 2= 1.得 (1-k 2)x 2-2bkx -(b 2+1)=0.(2)若k =±1,则l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1.所以x 3+x 4=2bk1-k 2.由A C =D B x 3-x 1=x 2-x 4 x 1+x 2=x 3+x 4. -50bk 16+25k 2=2bk1-k 2 bk =0 k =0 或 b =0.当k =0时,由(1)得 x 1、2=±5416-b 2.由(2)得 x 3、4=±b 2+ 1.由 A B =3CD x 2-x 1=3(x 4-x 3).即 10416-b 2=6b 2+1 b =±1613.故l 的方程为 y =±1613.当b =0时,由(1)得 x 1、2=±2016+25k 2,由(2)得 x 3、4=±11-k 2.由A B =3CD x 2-x 1=3(x 4-x 3).即 4016+25k 2=61-k 2k =±1625.故l 的方程为 y =±1625x .再讨论l 与x 轴垂直时的情况.设直线l 的方程为x =c ,分别代入椭圆和双曲线方程可解得y 1、2=±4525-c 2,y 3、4=±c 2- 1.由 A B =3 CD y 2-y 1 =3 y 4-y 3 ,即8525-c 2=6c 2-1 c =±25241.故l 的方程为 x =±25241.综上所述,直线l 的方程是:=±1625x , y =±1613 和 x。
2004-2010云南省三角函数解答题目高考题目及答案
评析：本小题考生得分易，但得满分难。
2008年
17．解：
（Ⅰ）由 ，得 ，
由 ，得 ．
所以 ．5分
（Ⅱ）由 得
，
由（Ⅰ）知 ，
故 ，8分
又 ，
故 ， ．
所以 ．10分
2007年
17．解：（1） 的内角和 ，由 得 ．
应用正弦定理，知
，
．
因为 ，
所以 ，
2005年
（19）（I）由cosB= 得 ，
于是
=
(II)由 得
由余弦定理 得
a+c=3
2004年
17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.
本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，
满分12分.
（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解： ，
即 ，将 代入上式并整理得
2009年
17（本小题满分10分）
设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。
2010年
（17）（本小题满分10分）
中， 为边 上的一点， ， ， ，求 。
2004年～2009年云南省历年高考数列题参考答案
2009年
分析：由 ，易想到先将 代入 得 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。
（2）因为
，
所以，当 ，即 时， 取得最大值 ．
2006年
17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分
2004全国各省市高考模拟数学试题汇编——三角解答题
1．(2004年“天津耀华、东北育才、大连育明、哈尔滨三中”四校联考数学第17题，本题满分12分)已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.2．(2004年江苏省盐城市高三第三次调研考试数学第17题，本题满分12分)已知55,8,,011AC AB AD DB CD AB ===⋅=．（1）求AB AC -；（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)= 4/5，4x ππ-<<-，求sinx ．3．(2004年山东省潍坊市高三统一考试数学第17题，本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||=求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.4．（北京西城区2004年4月抽样测试——高三数学第16题，本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34cos cos ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.5．（北京东城区2004年4月高三年级综合练习数学第16题，本题满分13分）在△ABC 中，若.sin sin )cos (cos sin B A B A C +=+（Ⅰ）求∠C 的度数；（Ⅱ）在△ABC 中，若角C 所对的边c=1，试求内切圆半径r 的取值范围.6．(2004年黄冈市高三模拟第18题)（本小题满分12分）已知△ABC 中， 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2－c 2，求tanC 的值。
2004年高考.全国卷Ⅱ.理科数学试题及答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21（B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54，53)，点O (0，0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511（C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 解题思路：1、 已知集合M={x|x 2<4}，N={x|x 2-2x-3<0},则集合M ∩N=( C )A {x|x<-2}B {x|x>3}C {x|-1<x<2}D {x|2<x<3} 解法一：(直接求解)由M={x|x 2<4}={x|-2<x<2}，N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3} 则：M ∩N={x|-2<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|-1<x<2}。
04-汇编3(8套)—三角、向量
2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(三)1．（2004年湖北高考数学·理工第4题，文史第7题）已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2004年江苏高考数学第16题）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 3．(2004年浙江高考数学·文史第4题)已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且∥，则αtan = (A)43(B)43-(C)34 (D)34-4．（2004年福建高考数学·理工第8题，文史第8题）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 5．（2004年浙江高考数学·理工第14题）6．（2004年浙江高考数学·文史第14题）7．（2004年湖北高考数学文史第13题）tan2010°的值为 . 8．（2004年福建高考数学·理工第2题，文史第2题）tan15°+cot15°的值是 （ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3349．（2004年辽宁高考数学第1题）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．（2004年江苏高考数学第2题）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π411． (2004年浙江高考数学·文史第8题)“21sin =A ”“A=30º”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 12．（2004年浙江高考数学·理工第8题）在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 （ ）(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件13．（2004年辽宁高考数学第7题）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数14．（2004年辽宁高考数学第11题）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==15．（2004年湖北高考数学·理工第12题，文史第12题）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=16．（2004年福建高考数学·文史第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，则 （ ）A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin3π)>f (cos 3π)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f (sin 23)>f (cos 23)17．（2004年福建高考数学·理工第11题）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ） A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π)D ．f (cos2)>f (sin2)18．（2004年江苏高考数学第17题）已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.20．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第18题，本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin 2++的值； ▲（Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（此问高二和高三学生做）21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）设全集U=R（1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若（ ∪A ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.参考答案1．B 2．)53,54(- 3．A 4．B 5．25- 6．– 4 7．33 8．C 9．D 10．B 11．B 12．B 13．B 14．C 15．A 16．C 17．D 18．（2004年江苏高考数学第17题）本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 19．（2004年湖北高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα20． (2004年浙江高考数学·理工第17题，本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49.21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题）本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 .cos 2121)(222222θa a BCPQ a a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a CQ BP a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ 22．（2004年福建高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23. ∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π， 即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.23．（2004年辽宁高考数学第18题，本小题满分12分）本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满分12分.解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得 当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或……………………3分 （2）当1>a 时，（ ∪A ）=φ；当1≤a 时， ∪A=}.2|{a x a x -≤≤……………………5分 因)3cos(3)3sin(ππππ-+-x x .sin 2]3sin )3cos(3cos)3[sin(2x x x πππππππ=-+-=由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得πππ…………8分当（ ∪A ）∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a …12分※ 此专题汇编到此结束，祝广大高一学子期末考试顺利！！！试题整理者：陈斌E-mail：cqsbcqsb@注：（1）平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；（2）2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，辽宁1套）。
2004年高考数学全国卷Ⅲ文科(必修+选修Ⅰ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（ U N ）=（ ）A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，2，3，5}D ． {0，1，3，4，5} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．()1ln 2(0)2y x x => 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为 （ ）A ．26 B ．6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径5．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象 （ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平 面ABC 的距离为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= . 15．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 是数列{n a }的前n 项和，证明.1212≤⋅++n n n S S S已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．23 15．21- 16．2 三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分. 解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. a 1q=6, 依题意，得方程组a 1q 4=162. 解此方程组，得a 1=2, q=3.故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率 P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3）=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABAD AE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的射影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+by a x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(b a a b d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=.222221c ab b a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即 解不等式，得 .5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。
2004年高考试题——数学(全国1)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅰ理参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60 1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b|=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于 （ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间. 20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212s i n 41)c o s s i n1(21)c o s s i n 1(2c o s s i n 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分. （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k(－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004高考试题分类汇编---解析几何(三)
2004年全国高考数学试题汇编——解析几何(三)1．（2004年湖北高考·文史类第2题）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为（ ）A ．23-B ．32-C ．41 D ．42．（2004年湖北高考·文史类第4题）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．（2004年湖北高考·理工类第1题）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x4．（2004年湖北高考·理工类第6题）已知椭圆191622=+yx的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779D ．495．（2004年浙江高考·文史类第2题）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （ ）(A)4π (B)3π (C)2π(D)43π6．（2004年浙江高考·理工类第2题，文史类第5题）点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ） (A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21-- (D) ()21,23-7．（2004年浙江高考·理工类第4题，文史类第6题）曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是 （ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y8．（2004年浙江高考·理工类第5题）设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 （ ）(A) 1(B) –1 (C) 3 (D) –39．（2004年浙江高考·文史类第11题）椭圆)0(12222〉〉=+b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b ，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716 (B)17174 (C)54 (D)55210．（2004年浙江高考·理工类第9题）若椭圆)0(12222〉〉=+b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716 （B ）17174 （C ）54 （D ）55211．(2004年福建高考·理工类第4题，文史类第4题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33 B ．32 C ．22 D ．2312．(2004年福建高考·文史类第12题)13．(2004年福建高考·理工类第12题)如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的 北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算， 从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元14．(2004年福建高考·理工类第13题，文史类第13题)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 15．（2004年广东高考第8题）若双曲线2220)x yk k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 416．（2004年广东高考第10题）变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )17．（2004年广东高考第12题）如右下图,定圆半径为a 、圆心为 ( b ,c ),则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在 ( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限18．（2004年江苏高考第5题）若双曲线18222=-by x的一条准线与抛物线xy82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．2419．（2004年江苏高考第11题）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6520．（2004年江苏高考第14题）以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 21．（2004年辽宁高考第6题）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线22．（2004年辽宁高考第9题）x已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是A ．26 B ．23 C ．3 D ．223．（2004年辽宁高考第13题）若经过点P （－1，0）的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上 的截距是 . 24．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题，本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 25．（2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.26．（2004年浙江高考·理工类第22题，本题满分14分）如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题，本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离.28．（2004年福建高考·理工类第22题，本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST的取值范围.29． (2004年广东高考第20题，12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)30．(2004年广东高考第22题，14分)设直线 与椭圆2212516xy+=相交于A 、B 两点， 又与双曲线x 2–y 2=1相交于C 、D 两点， C 、D 三等分线段AB ． 求直线 的方程.31．（2004年江苏高考第21题）已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.32．（2004年辽宁高考第19题，本小题满分12分）设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最小值与最大值.参考答案1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B13．B 14． 45 15．C 16．B 17．C 18．A 19．B 20．25)2()1(22=-+-y x 21．D 22．A 23．124．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题）本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k……③把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.25． (2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk即221111kkkm +=+=-.∵],3,33[∈k∴,21332≤-≤m解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332.∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-by x 得，32122++=b所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-yx即.1)122(22=--y x26．（2004年浙江高考·理工类第22题，满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y∴321121++++++=n n n n y y y a=221121++++++n n n n y y y y=,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+ ,41n b -=又∵,041431≠-=-=y y b∴{}n b 是公比为41-的等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）把x =2代入221x y =，得y=2， ∴点P 坐标为（2，2）.由 221x y =， ① 得x y ='， ∴过点P 的切线的斜率k 切=2，直线l 的斜率k l =－切k 1=,21-∴直线l 的方程为y －2=－21(x －2)，即 x +2y －6=0.（Ⅱ）设.21),,(20000x y y x P =则∵ 过点P 的切线斜率k 初=x 0，当x 0=0时不合题意，.00≠x ∴ 直线l 的斜率k l =－切k 1=01x -，直线l 的方程为 ).(1210020x x x x y --=-②方法一：联立①②消去y ，得x 2+02x x －x 02－2=0. 设Q ).,(),,(11y x M y x∵M 是PQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=.12121)1(1,122020********x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+1212+x(x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx xx y x上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+方法二：设Q ).,(),,(11y x M y x 则由y 0=21x 02，y 1=21x 12，x =,210x x +∴ y 0－y 1=21x 02－21x 12=21(x 0+x 1)(x 0－x 1)=x (x 0－x 1)，∴,101010x k x x y y x l -==--=∴,10xx -=将上式代入②并整理，得 y=x 2+1212+x(x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx xx y x上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+28. （2004年福建高考·理工类第22题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ①得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0.∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ，∴ y 0=21x 12－11x (x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二： 由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－1x ，将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则 =+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2.∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法二： ∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k+.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b22)(2bb k+=b b k)(22+=bk 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b22)(2bb k+=bb k-+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2.∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x b y -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2.∵||12x x 可取一切不等于1的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.29．(2004年广东高考第20题，12分) 解：如图，y xoABC P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by ax上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴yxac b故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.30．(2004年广东高考第22题，14分)解：首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况，设直线l 的方程为 y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x Ayxol ABC D依题意有CD AB DB AC 3,==，由)2...(0)1(2)1(1251650)1...(0)40025(2)2516(116252222222122222=+---⎩⎨⎧=-+=+-=+∴=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x b kx y kbk x x b bkx x k yx b kx y 得由得若1±=k ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1±≠k 24312kbk x x -=+∴由43214213x x x x x x x x DB AC +=+⇒-=-⇒=13161616410),(331)2(,1645)1(,0)(0001225165022341224,322,122±=⇒+=--=-⇒=+±=-±====⇒=⇒-=+-⇒b b bx x x x CD AB b x b x k i b k bk kbk kbk 即由得由得由时当或故l 的方程为1316±=y(ii)当b=0时，由(1)得24,322,111)2(,251620kx kx -±=+±=得由由251616251640)(33223412±=⇒-=+-=-⇒=k kkx x x x CD AB 即由故l 的方程为x y 2516±=再讨论l 与x 轴垂直的情况.设直线l 的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 2412412524124125162558||3||||3||1,255422341224,322,1±=±=⇒-=--=-⇒=-±=-±=x l c c cy y y y CD AB c y c y 的方程为故即由 综上所述，故l 的方程为1316±=y 、x y 2516±=和24124125±=x31．（2004年江苏高考第21题）本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by ax由已知，得 ,21,==ac m c 所以m b m a 3,2==.故所求的椭圆方程是1342222=+mymx（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mmk m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km km y m m x QF MQ Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当.于是.0,134422222==+k mm k mm 解得 故直线l 的斜率是0，62±.32．（2004年辽宁高考第19题）本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. （1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=…………6分设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x ………………8分解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x① ②当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧ 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x………………8分（2）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP ……10分故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值，最大值为.621……………………12分。
04年全国各地高考数学卷立体几何题型集锦
04年全国各地高考数学卷立体几何题型集锦（全国卷7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ B ） A31 B33 C32 D36（全国卷16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中真命题的编号是 ②④ （写出所有真命题的编号）。
（全国卷20）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1,侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。
(i)求证CD ⊥平面BDM ；(ii)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小。
（北京卷4）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （A ） 直线 （B ）圆（C ）双曲线（D ）抛物线（北京卷11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是 cm ，表面积是 cm 2.（北京卷16） 如图，在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求： （I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（II ）PC 和NC 的长；（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。
（上海卷13）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.(C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.（上海卷21） 如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1) 证明：P-ABC 为正四面体； (2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直 平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造BA'C'出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.(天津卷6)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的 中点。
04-汇编1(10套)—三角、向量
2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(一)1[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第3题，文科数学第3题]．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．42[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第9题]．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．63[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第14题，文科数学第15题]．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于 .▲4[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第9题]．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ='A O e ，其中λ= （ ）A ．511 B ．511-C ．2D ．－25[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第5题，文科数学第5题]．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6（2004年北京高考数学·文史类第9题）．函数f x x x ()sin cos =的最小正周期是_________ . 7（2004年北京高考数学·理工第9题）．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________ 8[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第2题，文科数学第2题]．函数2sin x y =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π49[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第14题]．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A= .10[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第11题，文科数学第11题]．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π11[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第10题]．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－512[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第15题]．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 13 [2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)文科数学第15题] ．函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . 14[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第14题]．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)文科数学第6题]．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．416[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第9题]．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度17[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第10题，文科数学第11题]．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3318[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第11题，文科数学第12题]．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+▲19[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第10题]．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题，本小题满分12分]已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题，本小题满分12分]已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）．在∆ABC 中，sincos A A +=22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和∆ABC 的面积. 参考答案1．C 2．D 3．21-4．D 5．A 6．π 7．π 8．C 9．2310．B 11．C 12． 43 13．2514．1 15．B 16．B 17．B 18．B 19．.B20[2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.21[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力， 满分12分.（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.22．[2004年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第17题，文科数学第18题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分. 解：原式,2cos cos sin 22cos sin ααααα=因为 ,02cos ,0sin ,21tan ≠=≠=ααα时所以 αc o s 21=原式. 因为α为锐角，由,52cos 21tan ==αα得所以 原式.45=23．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第17题，文科数学第17题]本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41c o s ,0c o s s i n-=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α24（2004年北京高考数学·理工第15题，文史第15题）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。
高考题(2004-2010年三角函数全国卷)
2004--2010年高考题（三角函数全国卷）一、选择题1．（2010年全国卷Ⅰ文1）已知= 300cos ( )A ．23-； B ．21- ； C ．21 ； D ．232．（2010年全国卷Ⅱ文3）已知32sin =α，则=-)2cos(απ ( ) A ．35-； B ．91- ； C ．91 ； D ．353．（2010年全国卷Ⅰ理2）已知k =-)80cos( ，那么= 100tan ( )A ．k k 21- ；B ．k k 21-- ； C ．21k k - ； D ．21k k --4．（2010年全国卷Ⅱ理7） 为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的图象( )A ．向左平移4π个单位长度 ； B ．向右平移4π个单位长度 ； C ．向左平移2π个单位长度； D ．向右平移2π个单位长度5．（2009年全国卷Ⅰ理8）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π 6．（2009年全国卷Ⅱ理3文4）已知ABC ∆中，512cot -=A ，则=A cos （ ）A ．1312 ；B ．135 ；C ．135- ；D ．1312-7．（2009年全国卷Ⅱ理8）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．218．（2009年全国卷Ⅰ文4）已知4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα( ) A ．117； B ．117- ； C ．137 ； D ．137-9．（2009年全国卷Ⅰ文10）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．4π ； B ．6π ； C ．3π ； D ．2π11．（2009年全国卷Ⅱ文9）若将函数)4tan(πω+=x y (0>ω)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．61 ；B ．41 ；C ．31 ；D ．2112．（2008年全国卷Ⅰ文6）1)cos (sin 2--=x x y 是 ( )A ．最小正周期为π2的偶函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 13．（2008年全国卷Ⅰ文9）为了得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位14．（2008年全国卷Ⅰ理8）为了得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移125π个长度单位B ．向右平移125π个长度单位C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位15．（2008年全国卷Ⅱ文1）若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 16．（2008年全国卷Ⅱ理8） 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．2 17．（2008年全国卷Ⅱ文10）函数x x y cos sin -=的最大值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．218．（2008年全国卷Ⅱ文11）设AB C ∆是等腰三角形， 120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为，（ ） A ．221+ B ． 231+ C ． 21+ D ． 31+ 19．（2007年全国卷Ⅰ理1）α是第四象限角，125tan -=α，则αs i n 等于（ ） A ．51 ； B ． 51- ； C ． 135 ； D ． 135-20．（2007年全国卷Ⅰ文2）α是第四象限角，1312cos =α，则αsin 等于（ ）A ．135 ；B ． 135- ；C ． 125 ；D ． 125-21．（2007年全国卷Ⅰ文10）函数x y 2cos 2=的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )2,0(π ； C ． )43,4(ππ ； D ． ),2(ππ22．（2007年全国卷Ⅰ理12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是( )A ．)32,3(ππ ；B ． )2,6(ππ ；C ． )3,0(π ； D ． )6,6(ππ-23．（2007年全国卷Ⅱ理1） 210sin 等于（ ）A ．23 ； B ． 23- ； C ． 21 ； D ． 21-24．（2007年全国卷Ⅱ文1） 330cos 等于（ ）A ．21 ； B ． 21- ； C ． 23 ； D ． 23-25．（2007年全国卷Ⅱ理2文3）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（ ）A ．)4,4(ππ-； B ． )43,4(ππ ； C ． )23,(ππ ； D ． )2,23(ππ26．（2006年全国卷Ⅰ理5文6）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（ ）A ．)2,2(ππππ+-k k ，Z k ∈ ； B ． ))1(,(ππ+k k ，Z k ∈ ；C ．)4,43(ππππ+-k k ，Z k ∈ ；D ． )43,4(ππππ+-k k ，Z k ∈27．（2006年全国卷Ⅰ理6文8）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos （ ）A ．41 ； B ． 43 ； C ． 42 ； D ． 32 28．（2006年全国卷Ⅱ理2文3）函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ）A ．π2 ；B ． π4 ；C ．4π ； D ． 2π29．（2006年全国卷Ⅱ理10文10）若x x f 2cos 3)(s in -=，则=)(cos x f （ ）A ．x 2cos 3- ；B ． x 2sin 3- ；C ． x 2cos 3+ ；D ． x 2sin 3+30．（2005年全国卷Ⅲ文理1）已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 ； B ．第二或第三象限； C ．第一或第三象限 ； D ．第二或第四象限31．（2005年全国卷Ⅲ文理7）设0≤π2<x ，且x x x c o s s i n 2s i n 1-=-，则（ ） A ．0≤x ≤π ；B ．4π≤x ≤47π ；C ． 4π≤x ≤45π ；D ．2π≤x ≤23π32．（2005年全国卷Ⅲ文理8）αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+等于（ ）A ．αtan ；B ． α2tan ；C ． 1 ；D ．21 33．（2005年全国卷Ⅱ文理1）函数|cos sin |)(x x x f +=的最小正周期是（ ）A ．4π ； B ． 2π； C ． π ； D ． π2 34．（2005年全国卷Ⅱ文理4）已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-是减函数，则（ ）A ．ω<0≤1 ；B ． 1-≤0<ω ；C ． ω≥1 ；D ． ω≤1-35．（2005年全国卷Ⅱ理7）锐角三角形的内角A 、B 满足B AA tan 2sin 1tan =-， 则有（ ）A ．0cos 2sin =-B A ； B ．0cos 2sin =+B A ；C ．0sin 2sin =-B A ；D ．0sin 2sin =+B A36．（2005年全国卷Ⅰ文理7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2 ；B ． 32 ；C ． 4 ；D ． 3437．（2005年全国卷Ⅰ文理11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，下列四个 论断中正确的是（ ）① 1cot tan =⋅B A ② B A sin sin 0+<≤2 ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+A ．①③ ；B ． ②④ ；C ． ①④ ；D ． ②③38．（2004年全国卷Ⅰ文理6）设)2,0(πα∈，若53sin =α，则)4cos(2πα+等于( )A ．57 ；B ． 51 ；C ． 57- ； D ． 51-39．（2004年全国卷Ⅰ文理9）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 ； B ．向右平移3π个单位长度 ； C ．向左平移6π个单位长度； D ．向左平移3π个单位长度40．（2004年全国卷Ⅱ文理5）已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π- ；B ． 6π ；C ． 12π- ； D ． 12π41．（2004年全国卷Ⅱ文理10）函数x x x y sin cos -=在下面那个区间内是增函数（ ） A ．)23,2(ππ ； B ．)2,(ππ ； C ．)25,23(ππ ； D ．)3,2(ππ42．（2004年全国卷Ⅱ文理11）函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π ； B ．2π； C ．π ； D ．π243．（2004年全国卷Ⅲ文理2）函数|2sin|xy =的最小正周期是（ ） A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π4 44．（2004年全国卷Ⅲ文理10）在ABC ∆中，3=AB ，13=BC ，4=AC ，则边AC 上的高为（ ）A ．223 ；B ．323 ； C ．23 ； D ．3345．（2004年全国卷Ⅳ文10）函数)6cos()3sin(2x x y +--=ππ（R x ∈）的最小值等于（ ）A ．3- ；B ．2- ；C ．1- ；D ．5-46．（2004年全国卷Ⅳ理11）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．如果a 、b 、c 成等差数列， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，那们b 等于（ ）A ．231+ ； B ．31+ ； C ．232+ ； D ．32+二、填空题 1．（2010年全国卷Ⅰ文14） 已知α为第三象限的角，53sin =α，则=α2tan 2．（2010年全国卷Ⅱ文13） 已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos 3．（2010年全国卷Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，53cos -=α，则=+)24tan(απ4．（2010年全国卷Ⅱ理13）已知α是第二象限的角，34)2tan(-=+απ，则=αtan5．（2009年全国卷Ⅰ理16）若24ππ<<x ，则x x y 3tan 2tan =的最大值为 6．（2008年全国卷Ⅰ文15）在ABC ∆中， 90=∠A ，43tan =B ，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率=e设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则=α2tan 8．（2004年全国卷Ⅲ理14）函数x x y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为9．（2004年全国卷Ⅲ文15）函数x x y cos 21sin -=（R x ∈）的最大值为_____10．（2004年全国卷Ⅳ文14）已知函数Ax y π+=sin 21（0>A ）的最小正周期为π3，则=A __________三、解答题 1．（2010年全国卷Ⅰ文18理17）已知ABC ∆的内角A 、B 及其对边a 、b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C ．2．（2010年全国卷Ⅱ文理17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．5．（2009年全国卷Ⅰ理17文18） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =，求b ． 6．（2009年全国卷Ⅱ理17文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ，ac b =2，求B ．9．（2008年全国卷Ⅰ文17）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos =B a ，4sin =A b ．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长l ．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值； （Ⅱ）若)tan(B A -的最大值．11．（2008年全国卷Ⅱ文17）在ABC ∆中，135cos -=A ，53cos =B ． （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）设5=BC ，求ABC ∆的面积．12．（2008年全国卷Ⅱ理17）在ABC ∆中，135cos -=B ，54cos =C ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）设ABC ∆的面积233=∆ABC S ，求BC 的长．13．（2007年全国卷Ⅰ文理17）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A b a sin 2=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）（理）求C A sin cos +的取值范围． （文）若33=a ， 5=c ，求b ．14．（2007年全国卷Ⅱ理17文18）在AB C ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ．设内角x B =，周长为y ．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．15．（2006年全国卷Ⅰ理17文18）ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个最大值．16．（2006年全国卷Ⅱ文17）已知ABC ∆中， 45=∠B ，10=AC ，552cos =C ． （Ⅰ）求BC 边的长；（Ⅱ）记AB 的的中点为D ，求中线CD 的长．17．（2006年全国卷Ⅱ理17）已知向量)1,(sin θ=，)cos ,1(θ=，22πθπ<<-．（Ⅰ）若⊥，求θ； （Ⅱ）求||b a +的最大值．18．（2005年全国卷Ⅲ文17）已知函数x x x f 2sin sin 2)(2+=，]2,0[π∈x ，求 使)(x f 为正值的x 的集合．19．（2005年全国卷Ⅲ理19）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且43cos =B ．（1）求C A cot cot +的值；（2）设23=⋅，求c a +的值．20．（2005年全国卷Ⅱ文17）已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，135cos =β，求)2tan(βα-的值．21．（2005年全国卷Ⅰ文理17）设函数)2sin()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ）)(x f y =图像的一条对称轴是8π=x ．（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）（理）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图像不相切． （文）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象．22．（2004年全国卷Ⅰ理17）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值．23．（2004年全国卷Ⅱ理17）已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ， 51)sin(=-B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3=AB ，求AB 边上的高．24．（2004年全国卷Ⅲ理17）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2c o s 2s i n s i n c o s 2s i n -的值． 25．（2004年全国卷Ⅳ文理17）已知α为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．。
2004年全国高考理科数学试题及答案-安徽
2004年高考试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A)∪(I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P ，则||2PF =（ ）A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91B ．94C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线，已知某一时刻A 、B 占线的概率均为0.5，C 、D 占线的概率均为0.4，各部是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FGBC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=Y Θ的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得Θ 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1.{a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年高考数学试题(全国3理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅲ 理工类数学试题（人教版旧教材）第I 卷（A ）一、选择题： ⑴设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ） A.1 B.2C.3D.4⑵函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π ⑶设数列{}n a 是等差数列，26,a =- 86a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A.S 4＜S 5B.S 4＝S 5C.S 6＜S 5D.S 6＝S 5⑷圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ） A.20x +-=B.40x -=C.40x -+=D.20x+=⑸函数y =(),-1)],-1)) C.[-2,-1)(1,2] D.(-2,-1)(1,2)⑹设复数z 的幅角的主值为23π2z =（ ）A. 2--B. 2i -C. 2+D. 2i⑺设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5B.C. 2D. 54⑻不等式113x <+<的解集为（ ）A.()0,2B.()()2,02,4- C.()4,0- D.()()4,20,2--⑼正三棱柱的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）A.B.C. 3D.⑽在ABC ∆中，3,4AB BC AC===，则边AC 上的高为（ ）A.B.C. 32D.⑾设函数2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为( )A.(-∞,-2][0,10]B.(-∞,-2][0,1]C.(-∞,-2][1,10]D.[-2,0][1,10]⑿4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. ⒀用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为________ ⒁函数sin y x x =+在区间[0,2π]的最小值为__________C⒂已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时, f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___⒃设P 为曲线y 2=4(x -1)上的一个动点，则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为_________三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ⒄（本小题满分12分）已知α为锐角，且tg α=12，求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. ⒅（本小题满分12分）解方程4x +|1-2x |=11.⒆（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？⒇（本小题满分12分）三棱锥P-ABC 中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，P A =PB =(1)求证 AB ⊥BC ；(II)如果AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小．(21) (本小题满分12分)设椭圆2211xy m +=+的两个焦点是 F 1(-c ,0), F 2(c ,0)(c >0)，且椭圆上存在点P ，使得直线 PF 1与直线PF 2垂直．(I)求实数 m 的取值范围．(II)设l 是相应于焦点 F 2的准线，直线PF 2与l 相交于点Q.若22||2||QF PF =，求直线PF 2的方程．(22)（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++<.C 2004年高考试题全国卷3 理工类数学试题（人教版旧教材）（内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区）参考答案一、选择题：1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C 8.D9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题：13、3:16 14、1 . 15、-3 16三、解答题：17.解：∵12tgα=,α为锐角∴cosα=∴2sin2cos sin sin(2cos1)1sin2cos22sin cos cos22cos4ααααααααααα--===.18.解：当x≤0时, 有：4x+1-2x=11 化简得：(2x)2-2x-10=0解之得：122x=或122x=(舍去).又∵x≤0得2x≤1, 故122x+=不可能舍去.当x<0时, 有：4x-1+2x=11化简得：(2x)2+2x-12=0解之得：2x=3或2x= -4(舍去)∴2x=3 x=log23综上可得原方程的解为x=log23.19.解：设温室的长为xm，则宽为800mx，由已知得蔬菜的种植面积S为：8001600(2)(4)80048S x xx x=--=--+4008084()648xx=-+≤(当且仅当400xx=即x=20时，取“＝”). 故：当温室的长为20m, 宽为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648m2.20.⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.∵P A＝PC∴PO⊥AC又∵侧面P AC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又P A＝PB＝PC∴AO＝BO＝CO∴△ABC为直角三角形∴AB⑵解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=12∴PO==由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC，又∵.∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.12ON PM OC====∴1sin2ONONCOC∠==∴6ONCπ∠=. 故AC与平面PBC所成的角为6π.21.解：⑴∵直线PF1⊥直线PF2∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：2211xym+=+有交点.即2222211x y cxym⎧+=⎪⎨+=⎪+⎩有解又∵c 2=a 2-b 2=m +1-1=m >0 ∴222101m x a m m-≤=<=+ ∴1m ≥ ⑵设P (x,y ), 直线PF 2方程为：y =k (x -c )∵直线l的方程为：2a x c ==Q 的坐标为∵22||2||QF PF = ∴点P 分有向线段2QF所成比为3 ∵F 2∴P) ∵点P 在椭圆上21=∴k =直线PF 2的方程为：y=x).22.解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1) a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得：1122(1)n n n a a --=+-可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得：232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++11111[1]2351020<+++++511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208m -=-<=<=. 故4511178m a a a +++<( m >4).。
上海高考数学试题专题分类04-三角(理)(2004-2015)
第四部分 三角比与三角函数关注微信公众号：“上海高考生”，微信号：shgaokao1，回复“06”可免费获得该资料电子版，更可获得更多精彩干货资讯！一、三角比【2015年理16】．已知点Α的坐标为()，将ΟΑ绕坐标原点Ο逆时针旋转3π至ΟΒ，则点Β的纵坐标为（ ）A．2 B．2 C．112 D．132【答案： D 】【2013年理11】．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()__x y += 【答案：1cos()2x y −=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+−=，故2sin()3x y +=．】【2006年理6】．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ ．【答案：5】【2004年理1】．若1tan 2α=，则tan()___4πα+=. 【答案：3】二、解斜三角形【2013年理4】．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++−=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【答案：11cos ,arccos 33C C π=−=−．】【2012年理16】．在ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 的形状是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案：C】【2011年理6】.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=o o ，则A 、C 两点之间的距离为 千米.【答案：】【2010年理18】．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将（ ）A ．不能作出满足要求的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形【答案：D 】【2005年理9】、在ABC Δ中，若°=120A ，AB=5，BC=7，则ABC Δ的面积S=__________。
2004年高考数学试题(全国3理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅲ 理工类数学试题（人教版旧教材）第I 卷（A ）一、选择题： ⑴设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则M N 中元素的个数为（ ） A.1 B.2C.3D.4⑵函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π ⑶设数列{}n a 是等差数列，26,a =- 86a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A.S 4＜S 5B.S 4＝S 5C.S 6＜S 5D.S 6＝S 5⑷圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A.20x -=B.40x -=C.40x +=D.20x +=⑸函数y =()C.[-2,-1)(1,2]D.(-2,-1) (1,2)⑹设复数z 的幅角的主值为23π2z =（ ）A. 2--B. 2i -C. 2+D. 2i⑺设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A. 5B.C.D. 54⑻不等式113x <+<的解集为（ ）A.()0,2B.()()2,02,4-C.()4,0- D.()()4,20,2--⑼正三棱柱的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（ ）A.B.C. D.⑽在ABC ∆中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A.B.C. 32 D.⑾设函数2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为( )A.(-∞,-2] [0,10]B.(-∞,-2] [0,1]C.(-∞,-2] [1,10]D.[-2,0] [1,10]⑿4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. ⒀用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为________ ⒁函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为__________C⒂已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时, f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___⒃设P 为曲线y 2=4(x -1)上的一个动点，则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为_________三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤⒄（本小题满分12分）已知α为锐角，且tg α=12，求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. ⒅（本小题满分12分）解方程4x +|1-2x |=11.⒆（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？⒇（本小题满分12分）三棱锥P-ABC 中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，P A =PB =(1)求证 AB ⊥BC ；(II)如果AB=BC=AC 与侧面P AC 所成角的大小．(21) (本小题满分12分)设椭圆2211xy m +=+的两个焦点是 F 1(-c ,0), F 2(c ,0)(c >0)，且椭圆上存在点P ，使得直线 PF 1与直线PF 2垂直．(I)求实数 m 的取值范围．(II)设l 是相应于焦点 F 2的准线，直线PF 2与l 相交于点Q. 若22||2||QF PF =，求直线PF 2的方程．(22)（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++< .C 2004年高考试题全国卷3 理工类数学试题（人教版旧教材）（内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区）参考答案一、选择题：1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C 8.D9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题：13、3:16 14、1 . 15、-3 16三、解答题：17.解：∵12tgα=,α为锐角∴cosα=∴2sin2cos sin sin(2cos1)1sin2cos22sin cos cos22cosααααααααααα--===.18.解：当x≤0时, 有：4x+1-2x=11 化简得：(2x)2-2x-10=0解之得：2x=2x=舍去).又∵x≤0得2x≤1, 故2x=.当x<0时, 有：4x-1+2x=11化简得：(2x)2+2x-12=0解之得：2x=3或2x= -4(舍去)∴2x=3 x=log23综上可得原方程的解为x=log23.19.解：设温室的长为xm，则宽为800mx，由已知得蔬菜的种植面积S为：8001600(2)(4)80048S x xx x=--=--+4008084()648xx=-+≤(当且仅当400xx=即x=20时，取“＝”). 故：当温室的长为20m, 宽为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648m2.20.⑴证明：取AC中点O, 连结PO、BO.∵P A＝PC∴PO⊥AC又∵侧面P AC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又P A＝PB＝PC∴AO＝BO＝CO∴△ABC为直角三角形∴AB⑵解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=12∴PO==由⑴有PO⊥平面ABC,OM⊥BC，由三垂线定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC，又∵∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC则ON⊥PM, 又∵平面POM⊥平面PBC, 且交线是PM, ∴ON⊥平面PBC∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角.12ON PM OC====∴1sin2ONONCOC∠==∴6ONCπ∠=. 故AC与平面PBC所成的角为6π.21.解：⑴∵直线PF1⊥直线PF2∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：2211xym+=+有交点.即2222211x y cxym⎧+=⎪⎨+=⎪+⎩有解又∵c 2=a 2-b 2=m +1-1=m >0 ∴222101m x a m m-≤=<=+ ∴1m ≥ ⑵设P (x,y ), 直线PF 2方程为：y =k (x -c )∵直线l的方程为：2a x c ==Q 的坐标为∵22||2||QF PF = ∴点P 分有向线段2QF所成比为3∵F 2∴P) ∵点P 在椭圆上21+=∴k =直线PF 2的方程为：y=x).22.解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1) a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得：1122(1)n n n a a --=+-可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得：232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++ 11111[1]2351020<+++++ 511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+-51311131041057()1552151201208m -=-<=<= . 故4511178m a a a +++< ( m >4).。
2024全国高考真题数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合
2024全国高考真题数学汇编向量的数量积与三角恒等变换章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m2．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．2C D ．13．（2024全国高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1CD ．14．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2024上海高考真题）下列函数的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-6．（2024全国高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件7．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题8．（2024全国高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=.9．（2024全国高考真题）函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是．10．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．参考答案1．A【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.2．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅ ，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅ ，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b .故选：B.3．B 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-αtan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.4．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.5．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A ，πsin cos 4x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．6．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.7．B【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.8．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin 3αβ+=-.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α，cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+24cos cos 3αβ==-故答案为：3-.9．2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：210．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即13CE BA = ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ ，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.。
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2004年全国高考数学试题汇编——三角、向量(二)1．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2. （2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3. （2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 。
4．(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5．(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 6．(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8．（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09．(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan (α+4π)= . 10．(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+= （ ）A ．12-B ．12C ．D 11．(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为 （ ）A ．{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}. B ．{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}.C ．{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.D ．{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.12. （2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13．(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .14. （2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21C. 23-D.23 15．(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16．(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417．(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f(-1) C ． 1f （）>f(0)>f(-1)D ． f （0）>f(-1)>f(1)18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(2--+∈=-⋅+αααππααπαπ求的值.21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）.cos cos sin 21,2)4tan(2的值求已知ααααπ+=+22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.参考答案1．C 2．A 3．1- 4．(5,4) 5．(5,4) 6．C 7．4 8．D 9．3 10．B 11．C 12．C 13．(－2,0)∪(2,5) 14．D 15．B 16．A 17．D18. （2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题）本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα 解得31tan -=α（2）解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由（1），31t a n-=α，得ααcos 31sin -= ∴αα22cos 91sin = αα22c o s 91c o s 1=-∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα19．（2004年重庆高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题12分）解：x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=)62s i n (22c o s 2s i n 32s i n 3)c o s )(s i n c o s (s i n 2222π-=-=+-+=x xx xx x x x故该函数的最小正周期是π；最小值是－2； 单增区间是[π31,0]，],65[ππ20．（2004年湖南高考数学·理工第17题，本小题满分12分）解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214c o s=α 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2s i n 2c o s 22c o s c o s s i n c o s s i n 2c o s 1c o t t a n s i n 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα21．（2004年湖南高考数学·文史第17题，本小题满分12分）解：由.31tan ,2tan 1tan 1)4tan(==-+=+ααααπ得于是.3213121)31(1tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21222222=+⨯+=++=++=+ααααααααααα22． (2004年广东高考数学第17题，满分12分)解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 注：（1） 平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004年全国高考数学试题汇编——解析几何”中；2004年全国高考数学试卷共计27套——全国卷8套（四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理2套，山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理2套，陕西、广西、海南、西藏、内蒙古等地区文理2套，甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理2套）；单独命题的11个省市的高考数学试卷共计19套（北京文理2套，天津文理2套，上海文理2套，重庆文理2套，湖南文理2套，湖北文理2套，浙江文理2套，福建文理2套，江苏1套，广东1套，04年全国各地高考数学卷向量题型集锦（全国卷、四川卷9）已知平面上直线l 的方向向量e =(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为'O 和'A ，则=''O λe ，其中λ=（ ） A511B -511 C 2 D -2（上海理科6）已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向=213,则点B 的坐标为 （天津理科3）若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，则=b(A) )6,3(- (B) )6,3(- (C) )3,6(- (D) )3,6(-（广东理科1）已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥ ，则x =(A)3-(B)1-(C)1(D)3（江苏理科16）平面向量b a ,中，已知a =(4，-3)=1，且b a ⋅=5，则向量b =__________ (湖南理科13)已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是（浙江卷14）已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC=4, |CA |=5，则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙的值等于________.（福建卷8）已知a 、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a ，(b-2a) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（A ）6π （B ）3π （C ）32π （D ）65π （湖北卷19）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a,若长为2 a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时·CQ 的值最大？并求出这个最大值。