北师大版八年级上册第二章 《实数》(平方根、立方根、估算)学案

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初中数学
实数（平方根、立方根、估算）
教学目标
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根） 2.平方（立方）、开平方（开立方）； 3.估算
重点难点
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根） 2.平方（立方）、开平方（开立方）； 3.估算
知识解析
知识要点： 一、无理数
概念：无限不循环小数叫无理数。 满足条件：（1）小数 （2）是无限小数 二、平方根
（3）不循环
1．算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为 a ，
读作“根号 a”，a 被称为被开方数。 性质：（1）正数有一个算术平方根 （2）0 的算术平方根是 0
（3）负数没有算术平方根
（4）双重非负性： a （ a 0 ）是一个非负数
2．平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。
性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数 （2）0 的平方根为 0 （3）负数没有平方根
3．开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开方数，开平方时，被开方数 a 必须 是非负数。
a 2 aa 0
注： 三、立方根
a2
a
a a 0 a a 0
1．立方根：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根。
性质：（1）正数有一个正的立方根 （2）负数有一个负的立方根 （3）0 的立方根是 0
2．开立方的概念：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。开立 方与立方互为逆运算。开立方时，被开方数可以是正数也可以是负数。
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初中数学
典例解析
考点一：定义及基本性质
【例 1】在下列实数中，无理数是（ ）
A． 1 3
B．
C． 16
D． 22 7
【变式 1】下列各数 0.456 、 3 、 ( )0 、 3.14 、 0.80108 、 1 、 0.1010010001、 4 、
2
0.451452453454,其中无理数的个数是 ( )
(A) 1
( B) 2
(C) 3
(D) 4
【例 2】若实数 a，b 满足 A.6 B.-6 C.2 D.-2
，则 a-b=( )
【变式 1】若 (a 2)2 与 b 1 互为相反数，则 a b 的值为（ ）
A． 2
B． 2 1
C． 2 1
D．1 2
【变式 2】已知 x 22 y 3 z 4 0 ，求 x，y，z 的值。
考点二：比较大小、估算
二次根式中常见的解题方法------平方法、倒数法
5 1 1 【例 1】（1）比较 2 3 与 3 2 的大小；（2）比较 2 与 2 的大小。（3）比较 11 7和 19 - 15 的
大小
【例 2】已知 5+ 11 的小数部分为 a，5－ 11 的小数部分为 b，求： （1）a+b 的值；（2）a－b 的值.
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考点三：先化简再计算（注意陷阱）
【例 1】 81 的平方根是
.
【变式 1】-27 的立方根与 A 0 B6
【例 2】 8x3 27 0
的平方根之和是（ ）
C -12 或 6
D 0 或-6
9 x 12 4 0
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【变式 1】 4(x 1)2 1 0 考点四：简单计算
x3 27 0 64
【例 1】（1） 12 － 1 －2 1
2
3
（2） 12 6 ； 24
（3） ( 5 2 )2 ； 5
（4） 7 3 7 3 36
考试链接
1.已知:一个正数的两个平方根分别是 2a-2 和 a-4,则这个正数是( ) A.4 B.2 C.-2 D.36 2.下列判断正确的是( )
A.若 a=b,则 =
B.若|a|=|b|,则 a=b
C.若|a|=
,则 a=b
D.若 a< 3/7

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3.下列等式一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
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4.关于 x 的方程
的解为( )
A.x=9 或 x=-3 B.x=±9 C.x=15 或 x=-9 D.x=9
5.有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的 x 为 25 时，输出的 y 是( )
A. B.5 C. D.
6.在如图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A,B 两点对应的实数分别是 是__________．
和-1 则点 C 所对应的实数
7.观察下列各式及其验算过程：
2 2 2 2
3
3
验证： 2 2 3
23
3
23 2 2 22 1
2(22 1) 2 22 1
2 2 3
3 3 3 3
8
8
验证： 3 3 8
33 8
33 3 3 32 1
3(32 1) 3 32 1
3 3 8
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 的变形结果并进行验 15
证;
(2) 针对上述各式反映的规律，写出用 n （ n 为任意自然数，且 n 2 ）表示的等
式，并给出证明。
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课堂训练
A组
1.在下列各数:3.1415926,
,0.2, , , , 中无理数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列说法正确的是( ) A.一个数的平方根有两个 C.两个无理数的和不一定是无理数
B.有理数与数轴上的点一一对应 D.绝对值最小的实数不存在
3.若实数 a，b 满足
，则 a-b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2 4.已知 2a-1 的算术平方根是 3，b+2 是 25 的算术平方根，则 ab=( )
A.15 B.-15 C.35 D.-35
5.
的平方根是( )
A.25 B.5 C.±5 D.±25
6.若
，则 a 的取值范围是( )
A.a＞3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3 7.下列判断中,错误的是( )
A.
是 2 的平方根
B.
的倒数是 2
2
C.
的绝对值是
D.
的平方的相反数是 2
8.下列式子中,属于最简二次根式的是( )
9.A.
B.
C.
D.
9.
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