苏教版高中数学必修五知识讲解_正弦定理_基础

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15高中数学“正弦定理”知识点全解析

高中数学“正弦定理”知识点全解析一、引言正弦定理是平面几何与三角函数相结合的一个重要定理，它揭示了三角形边长与角度之间的内在关系。

本文将详细解析“正弦定理”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、正弦定理的定义1.定义：对于任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆的半径）。

这一比例关系被称为正弦定理。

三、正弦定理的证明正弦定理的证明方法有多种，如利用三角形的面积公式、利用向量的数量积等。

其中，通过三角形的面积公式进行证明是一种较为直观的方法。

具体步骤为：首先表示出三角形ABC的面积S，然后利用三角形的面积公式S = 1/2ab·sinC，通过等面积法可以证明正弦定理。

四、正弦定理的应用1.求解三角形的边长：当已知三角形的两个角和对应的两边时，可以利用正弦定理求解第三边。

这是正弦定理最常见的应用之一。

2.求解三角形的角度：当已知三角形的两边和其中一边的对角时，可以利用正弦定理求解三角形的其他角度。

3.判断三角形的形状：通过正弦定理可以判断三角形是否为等边三角形或等腰三角形。

例如，当a/sinA = b/sinB = c/sinC中的比例为1时，三角形为等边三角形。

4.解决与三角形相关的问题：正弦定理在解决与三角形相关的问题中具有广泛的应用，如测量问题、航海问题、建筑设计等。

结合余弦定理，可以更方便地解决一些复杂的几何问题。

五、应用举例1.测量问题：在测量中，经常需要利用正弦定理来求解不可直接测量的距离或角度。

例如，在测量山高时，可以通过测量山脚下的角度和已知的距离，利用正弦定理计算出山的高度。

2.航海问题：在航海中，正弦定理被用于计算船只的航向和航程。

通过测量两地的经纬度差和它们之间的距离，可以利用正弦定理计算出船只的航向和航程。

3.建筑设计：在建筑设计中，正弦定理可以帮助建筑师计算建筑物的角度和边长，以确保建筑物的稳定性和美观性。

苏教版高中数学(必修5)1.1《正弦定理》word教案

1.1正弦定理教学过程（二）推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得BbC c sin sin =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==∴R CcB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫 [知识拓展师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+∴|j|Co s90°Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin = ∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°- 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(cc =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ）∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin = ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈1(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°-∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵CcB b sin sin = ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去 ∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞∴本题无解点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 (2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

苏教版高中数学必修5第1章解三角形正弦定理课件.ppt

内容
b2＝_c_2＋__a2_－__2c_a_·c_o_sB_____，
(R 为△ ABC 外接圆半
c2＝_a2_＋_b_2_－_2_a_b_·c_os_C_____.
径)
①a＝_2R_s_in_A____，
b＝_2_R_s_in_B___，
变形形式
c＝_2_R_s_in_C____； a
②sinA＝_2_R__，
a2＋b2－c2 cosC＝____2_a_b____.
＝sianA＝sibnB＝sincC.
2.在△ ABC 中，已知 a、b 和 A 时，三角形解的情况
A角 A 为锐角
情况
A 为钝角或直角
图形
关系式解的个数
a＝bsinA bsinA<a<b
_一_解____
_两__解___
a≥b _一_解____
3.[角度 3](2017·黑龙江哈尔滨三十二中期末)在如图，△ ABC 中，已知 B＝45°，D 是 BC 边上的一点， AD＝10，AC＝14，DC＝6，求 AB 的长.
[解] 在△ ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋ 2ADDC·D2－ C AC2＝1002＋×3160－ ×6196＝－12，又∵0°<∠ADC<180°， ∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.
∴cosB＝2ab＝
5 4.
[答案]
(1)B
5 (2) 4
[拓展探究] (1)若本例(1)中的“a＝ 10”改为“a＝4”，其他条件不变，结果如何？
(2)把本例(2)条件改为“在锐角△ ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，A＝2B”，试求ab的取值范围.

高中数学 1.1正弦定理课件苏教版必修5

解析：(1)∵sinaA＝sinc C，∴sin
A＝asicn
C＝
2 2.
栏目
链
π
接
∵c＞a，∴C＞A.∴A＝ 4 .
∴B＝51π2 ，b＝cssiinnCB＝ 6×sπin51π2 ＝ 3＋1. sin 3

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(2)∵sina A＝sinc
C，∴sin
C＝csian
A＝
3 2.
又∵a＜c，∴C＝π3 或2π3 .
1．1 正弦定理
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情景导入
栏目
链
接
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在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成了一个三角形，在战士探明了敌台方向的时候，也就是知道了该三角形的两个内角，再利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置．
(2)在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60˚ ，C＝75˚ ，求 A，b，c.
解析：(1)∵A＝30˚ ，C＝45˚ ，
∴B＝180˚ －(A＋C)＝105˚ .
由正弦定理得
b
＝
assiinnAB＝
20sin 105˚ sin 30˚
＝
40sin
(45˚
＋ 60˚
)＝
10( 6＋ 2),
c＝assiinnAC＝2s0isnin340˚5˚＝20 2，

苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用要点解读文字素材

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==．课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=．当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式（1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==；（2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++．注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-．注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=；注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状．解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决．例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（）（A ）等腰直角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =．又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）．那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+．故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=，又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤，故cos()1A B -=且sin()1A B +=，即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。

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正弦定理、余弦定理一、知识回顾1.三角形内角和：2.正弦定理：；变形① ；变形② ；变形③ .3.余弦定理：；变形 .4.三角形面积公式：二、基础练习1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC=4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=32π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km.6.在△ABC 中, 内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值. (2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32=-. (1)求角A 的大小;(2)若角B=6π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积.三、巩固练习1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a=2.在△ABC 中,B=6π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中, A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=5.在△ABC 中,若其面积S=()22241a c b -+,则A= 6.在△ABC 中,A=45°,cosB=54. (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.。

高中数学必修五-正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

苏教版高三数学必修五《正弦定理》说课稿

苏教版高三数学必修五《正弦定理》说课稿一、教学背景和目标1.1 教学背景高中数学是学生学习数理知识的重要环节，其中数学必修五是高中数学的重点和难点之一。

《正弦定理》作为必修五的重要内容，对于学生理解三角形的性质和解决三角形相关问题起着重要作用。

1.2 教学目标•熟练掌握正弦定理的概念和原理。

•能够灵活运用正弦定理解决三角形相关的问题。

•培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点2.1 教学重点•正弦定理的概念和原理的讲解。

•正弦定理的应用，包括求解三角形边长和角度等问题。

2.2 教学难点•理解和灵活运用正弦定理解决复杂的真实问题。

•培养学生进行问题分析和解决问题的能力。

三、教学内容和方法3.1 教学内容正弦定理是研究三角形边长和角度关系的重要数学定理，它在解决实际问题中具有广泛应用。

正弦定理的表达形式如下：$$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} =\\frac{c}{\\sin C}$$其中，a,b,c分别为三角形的边长，A,B,C分别为对应的内角。

3.2 教学方法•讲解法：通过教师的讲解，向学生介绍正弦定理的概念和原理，重点讲解如何推导和应用正弦定理。

•示例法：通过具体问题案例，引导学生如何运用正弦定理解决三角形的相关问题。

•练习法：设计一些练习题，让学生通过实际操作练习，巩固对正弦定理的理解和应用。

四、教学步骤4.1 导入和引入在课堂开始前，教师可以通过引入一个实际问题，如航海问题，引发学生对于求解三角形边长和角度关系的思考。

然后，向学生介绍正弦定理的背景和重要性。

4.2 概念讲解和推导教师通过讲解的方式向学生介绍正弦定理的概念和原理，并通过几何图形和简单推导，帮助学生理解其数学原理。

4.3 示例演示和应用教师设计一些具体问题案例，示范如何运用正弦定理解决三角形相关问题。

学生可以借助教师提供的示范，通过实际操作来理解和掌握正弦定理的应用方法。

苏教版高中数学必修五《正弦定理》说课稿

1.1 《正弦定理》说课稿一、教学内容分析“正弦定理”是《必修5》（苏教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。

正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

高中数学必修五第一章知识点总结

高中数学必修五第一章知识点总结一．正弦定理（重点）１．正弦定理（１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==sin sin sin a b c A B C=２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径）（２）正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．２．正弦定理的应用（重难点）（１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边（２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解）（３）面积公式111s i n s i n s i n222C S b c a b C a c ∆A B =A ==B 二余弦定理（重点）１．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边２．推论 222cos 2b c a bc+-A =， 222cos 2a c b ac+-B =， 222cos 2a b c C ab+-=应用：（１）已知三边可以求出三角形的三个角（２）已知三边可以判断三角形的形状：先求出最大边所对的角的余弦值，若大于０，则该三角形为锐角三角形若大于０，则该三角形为直角三角形若小于０，则该三角形为钝角三角形跟踪练习１．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________２．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则Ａ= ３．在ABC ∆中, 若21cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为４．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =____________ ５．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形６．在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于（）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或150７．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．不能确定８．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．0150９．在△ABC 中，0120,ABC A a S ==，求c b ,。

高中数学苏教版必修5同步课件：1.1 正弦定理

sin A a c
b sin B c
，
sin C 1
c c
，
a b c c 即 sin A sin B sin C
那么对于其他的三角形，这个关系是否成立呢？
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
你能证明吗？
利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高中数学必修5
z
xxk
复习引入：
在RtABC中，设C=90 , 那么边角之间有哪些关系？
a c
，
sin A
b sin B c
sin C 1
c c
，
a b a tan A , cos A , cos B , cos C 0 … … b c c
复习引入：
在Rt ABC中,我们发现
（3）已知三角形中两边与他们的对角这四个元素中的两个元素，可研究
出另外两个元素的关系．
总结：
1. 本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭
示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．
2.它可以解决斜三角形中这样的几类问题：（1）已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；（2）已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；
例2
根据下列条件解三角形：（1）b=40,c=20,C =25 （2）a=15,b=20,A=108
练习：
1.
（口答）一个三角形的两角分别是 30 和 45 ，若角45 所对边的长为8，
那么角 30 所对边的长是
.
ABC
练习
2.在ABC中：
（1）已知A=75 , B 45 , c 3 2, 求C , b．（2）已知A=30 , B 120 , b 12, 求a , c．

苏教版学高中数学必修五解三角形正弦定理正弦定理讲义[1]

学习目标核心素养１．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．（难点）２．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．（重点）１．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.２．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养.１．正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．即错误!＝错误!＝错误!.思考１：正弦定理的适用范围是什么？[提示] 正弦定理对任意三角形都成立．思考２：在△ABC中，错误!、错误!、错误!各自等于什么？[提示] 错误!＝错误!＝错误!＝２R（R为三角形的外接圆半径）．２．解斜三角形（１）解斜三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个是边），求其余未知元素的过程．（２）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题１已知两角与任一边，求其他两边和一角；２已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．思考３：正弦定理的主要功能是什么？[提示] 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．１．判断正误（１）正弦定理适用于所有三角形．（）（２）在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．（）（３）错误!＝错误!＝错误!＝２R，其中R为△ABC的外接圆的半径．（）[答案] （１）√（２）√（３）√２．在△ABC中，a＝３，b＝５，sin A＝错误!，则sin B＝________.错误![根据错误!＝错误!，有错误!＝错误!，得sin B＝错误!.]３．在△ABC中，若A＝60°，B＝４５°，BC＝３错误!，则AC＝________.２错误![由正弦定理可知，错误!＝错误!，所以AC＝错误!＝错误!＝２错误!.]正弦定理的证明【例１】在钝角△[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：错误!＝sin∠CAD＝sin（１80°—A）＝sin A，错误!＝sin B.∴CD＝b sin A＝a sin B.∴错误!＝错误!.同理，错误!＝错误!.故错误!＝错误!＝错误!.１．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．２．要证错误!＝错误!，只需证a sin B＝b sin A，而a sin B，b sin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．１．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明错误!＝２R.[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为２R，∴∠A′CB＝90°，∴sin A′＝错误!＝错误!，∴sin A＝错误!，即错误!＝２R.已知两角及一边解三角形【例２】在△ABC中，已知c＝１0，A＝４５°，C＝３0°，解这个三角形．[解] 因为A＝４５°，C＝３0°，所以B＝１80°—（A＋C）＝１0５°.由错误!＝错误!得a＝错误!＝１0×错误!＝１0错误!.因为sin 7５°＝sin（３0°＋４５°）＝sin ３0°cos ４５°＋cos ３0°sin ４５°＝错误!，所以b＝错误!＝错误!＝２0×错误!＝５错误!＋５错误!.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路１若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角.２若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.２．在△ABC中，a＝５，B＝４５°，C＝１0５°，求边c.[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝１80°，所以A＝１80°—（B＋C）＝１80°—（４５°＋１0５°）＝３0°.由正弦定理错误!＝错误!，得c＝a·错误!＝５·错误!＝５·错误!＝５·错误!＝错误!（错误!＋错误!）.已知两边及一边的对角解三角形【例３】错误!，c＝３，则A＝________.（２）在△ABC中，已知c＝错误!，A＝４５°，a＝２，解这个三角形．（１）7５°[由题意得：错误!＝错误!，所以sin B＝错误!＝错误!＝错误!，因为b＜c，所以B＝４５°，所以A＝１80°—B—C＝7５°.]（２）[解] 因为错误!＝错误!，所以sin C＝错误!＝错误!＝错误!.因为0°＜C＜１80°，所以C＝60°或C＝１２0°.当C＝60°时，B＝7５°，b＝错误!＝错误!＝错误!＋１；当C＝１２0°时，B＝１５°，b＝错误!＝错误!＝错误!—１．所以b＝错误!＋１，B＝7５°，C＝60°或b＝错误!—１，B＝１５°，C＝１２0°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路１首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；２如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；３如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.３．在△ABC中，A＝错误!，BC＝３，AB＝错误!，则角C等于（）Ａ．错误!或错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由正弦定理，得sin C＝错误!＝错误!.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜错误!，故C＝错误!.]４．已知△ABC中，a＝x，b＝２，B＝４５°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）Ａ．x＞２Ｂ．x＜２Ｃ．２＜x＜２错误!Ｄ．２＜x＜２错误!C[由a sin B＜b＜a，得错误!x＜２＜x，所以２＜x＜２错误!.]三角形形状的判断[探究问题]１．由错误!＝２R，错误!＝２R，错误!＝２R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示] （角化边）sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!，（边化角）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C，（边角互化）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.２．三角形中常见边角之间的关系有哪些？[提示] 在△ABC中，（１）a＋b＞c，|a—b|＜c.（２）a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B.（３）A＋B＋C＝π⇒sin（A＋B）＝sin C，sin错误!＝cos错误!.【例４】在△ABC中，若sin A＝２sin B cos C，且sin２A＝sin２B＋sin２C，试判断△ABC的形状．思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!把sin２A＝sin２B＋sin ２C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝２sin B cos C求解．[解] 法一：（利用角的互余关系）根据正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!，∵sin２A＝sin２B＋sin２C，∴a２＝b２＋c２，∴A是直角，B＋C＝90°，∴２sin B cos C＝２sin B cos（90°—B）＝２sin２B＝sin A＝１，∴sin B＝错误!.∵0°<B<90°，∴B＝４５°，C＝４５°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：（利用角的互补关系）根据正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!，∵sin２A＝sin２B＋sin２C，∴a２＝b２＋c２，∴A是直角．∵A＝１80°—（B＋C），sin A＝２sin B cos C，∴sin（B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C＝２sin B cos C，∴sin（B—C）＝0．又—90°<B—C<90°，∴B—C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．（变条件）将本例题条件“sin A＝２sin B cos C，且sin２A＝sin２B＋sin２C”改为“b＝a cos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解] ∵b＝a cos C，由正弦定理，得sin B＝sin A cos C．（*）∵B＝π—（A＋C），∴sin B＝sin（A＋C），从而（*）式变为sin（A＋C）＝sin A cos C.∴cos A sin C＝0．又∵A，C∈（0，π），∴cos A＝0，A＝错误!，即△ABC是直角三角形．１．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．２．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如错误!＝错误!等．１．本节课要牢记正弦定理及其常见变形（１）错误!＝错误!＝错误!＝２R（其中R为△ABC外接圆的半径）；（２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；（３）错误!＝错误!＝错误!＝错误!；（４）在△ABC中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b.２．要掌握正弦定理的三个应用（１）已知两角和任一边，求其它两边和一角．（２）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．（３）判断三角形的形状．３．本节课的易错点有两处（１）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．（２）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．１．判断正误（１）正弦定理只适用于锐角三角形．（）（２）正弦定理不适用于直角三角形．（）（３）在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．（）[答案] （１）×（２）×（３）√[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故（１）（２）均不正确．２．在△ABC中，若c＝２a cos B，则△ABC的形状为（）Ａ．直角三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．等边三角形Ｄ．不等边三角形B[由正弦定理知c＝２R sin C，a＝２R sin A，故sin C＝２sin A cos B＝sin（A＋B）＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B＝cos A sin B，即sin（A—B）＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．]３．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝错误!，b＝错误!，B＝60°，那么A等于（）Ａ．１３５° Ｂ．90°Ｃ．４５° Ｄ．３0°C[由错误!＝错误!得sin A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝４５°或１３５°.又∵a<b，∴A<B，∴A＝４５°.]４．已知在△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，B＝４５°，解这个三角形．[解] 由正弦定理及已知条件有错误!＝错误!，得sin A＝错误!.∵a>b，∴A>B＝４５°.∴A＝60°或１２0°.当A＝60°时，C＝１80°—４５°—60°＝7５°，c＝错误!＝错误!＝错误!；当A＝１２0°时，C＝１80°—４５°—１２0°＝１５°，c＝错误!＝错误!＝错误!.综上，可知A＝60°，C＝7５°，c＝错误!或A＝１２0°，C＝１５°，c＝错误!.。

苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。

苏教版数学高二-2015年苏教版数学必修5素材1 正弦定理

由正弦定理可得=时，60特点进行分析,避免多解或者漏解！即应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形，主要根据大边对大角，小边对小角的原则判断。

应用二判定三角形的形状例2在ABC ∆中， cos cos b A a B =，试判断ABC ∆的形状．解：cos cos b A a B =，又2sin ,2sin ,b R B a R A ==sin cos cos sin 0,A B A B ∴-=即()sin 0A B -=0,0,A B A B ππππ<<<<∴-<-<0A B ∴-=，即A B =，故此三角形是等腰三角形点评：要判断三角形形状可根据三角形内角的大小关系确定，也可根据三角形三边关系确定.对本题是利用正弦定理把“边化角”，然后运用三角变换得出角与角的关系，从而得出判断. 应用三求三角函数值例4在ABC ∆中，已知42,3,cos 5AC BC A ===-，求sin B 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πB 解：由4cos 5A =-得3sin 5A =，又由正弦定理得：sin 2sin 5b A B a ==；因2817cos 212sin 12525B B =-=-=，而2cos 22cos 1B B =-，21cos 25B ∴=±，由4cos 5A =-知A 是钝角，故B 必然是锐角即21cos 5B =， 221sin 22sin cos 255B B b ∴==⨯⨯=25214，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πB =501771221251723252146sin 2cos 6cos 2sin +=⨯+⨯=+πB πB . 点评：在近几年的高考中有关正弦定理的考查，常与三角函数联系在一起，以正弦定理为工具，通过三角恒等变换来解决问题，并且在难度方面以低、中档题目为主，但是只要熟记三角恒等变换公式，对于解该三角形来说并不难．。

苏教版高中数学必修五知识讲解_正弦定理、余弦定理的应用_提高

正弦定理、余弦定理的应用：：【学习目标】1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.【要点梳理】要点一：正弦定理和余弦定理的概念①正弦定理公式：2sin sin sin a b c R A B C===（其中R 表示三角形的外接圆半径） ②余弦定理公式：第一形式：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac Bc a b ab C=+-=+-=+-第二形式： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-= 要点二：三角形的面积公式① 111222ABC a b c S a h b h c h ∆=⋅=⋅=⋅； ② 111sin sin sin 222ABC S bc A ab C ac B ∆===；要点三：利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论. 在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：①若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角A b a sin = b a ≥一解一解b a A b <<sin sin a b A <两解无解② 若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角要点四：三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：222a b c +=，互余关系：090A B +=，cos 0C =，sin 1C =；（2）等腰三角形 a b =，A B =；用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）（1）在ABC ∆中，22200222090cos 02b c a A A b c a bc +-<<⇔=>⇔+>；（2）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc +-=⇔==⇔+=；（3）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc +-<⇔=<⇔+<；要点五：解三角形时的常用结论在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C ++=（1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔<（2）互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=， 0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-，0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）互余关系：0sin sin (90)cos 222A B C C +=-=， 0cos cos(90)sin 222A B C C +=-=， 0tan tan (90)cot 222A B C C +=-=. 【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形例1. △ABC 中，,6c =A=45°，a=2，求b 和B ，C.【思路点拨】本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑。

【精编】苏教版高中数学必修五课件正弦定理-精心整理

一、正弦定理的推导：
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问？若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？
A
B
C
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
a sin A
c
sin C 1 c
c
b sin B
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B

AD c
, sin C

AD b
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
c
b
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
三角形中大边对大角
∵a > b ∴ A > B ,
所以Ｂ＝25.70, C=1800-A-B=124.30,
c asinC 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
练习: 根据下列条件解三角形.
sin B sin C
∴
b=
c sin B
=
10 sin 105 5(
6
2) 19.32
sin C
sin 30
练习
sin 75 6 2 4