2011届高考数学第一轮复习讲义检测试题8

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ

§2.1 函数及其表示

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是

( )

A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2

B ．y ＝x －1与y ＝x －1

x －1

C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2

D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x

100

解析 ∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1

(x ≥1)与y ＝x －1

x －1

(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lg

x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x

100

＝lg x －2

(x >0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数． 答案 D

2．(2009·临沂3月模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x ＋1， x ≤0，

－(x －1)2， x >0，

使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是

( )

A ．[－4,2)

B ．[－4,2]

C ．(0,2]

D ．(－4,2]

解析 ∵f (x )≥－1，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤0，12

x ＋1≥－1

或⎩

⎪⎨⎪⎧

x >0，

－(x －1)2

≥－1， ∴－4≤x ≤0或0

3．(2010·茂名模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝1

2－x 的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )

A ．{x |x >－3}

B ．{x |－3

C ．{x |x <2}

D ．{x |－3

解析 M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}． ∴M ∩N ＝{x |－3

4．(2008·山东)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2

， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫

1f (2)的值为( ) A.1516

B ．－2716 C.8

9

D ．18

解析 f (2)＝4，f ⎝⎛⎭⎫14＝1－116＝15

16. 答案 A 5．(2008·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.

f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1 ＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.

f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1 ＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.

f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C 6．(2009·吉林一模)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与 直线x ＝1的交点个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1个均有可能 解析 ∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]， ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上． 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上，

∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象至少有一个交点(1，f (1))．

根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在 其值域中只有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点． 答案 B

二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．

解析 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)． 答案 15

8．(2009·北京文，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x ， x ≤1，

－x ， x >1，

若f (x )＝2，则x ＝______________.

解析 当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． 答案 log 32

9．(2009·广东六校联考)函数f (x )＝x －4

|x |－5

的定义域为________________．

解析 要使f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0|x |－5≠0，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥4x ≠±5，

∴f (x )的定义域为{x |x ≥4且x ≠5}． 答案 {x |x ≥4且x ≠5} 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．

解 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

25－x 2

≥0

cos x >0，

得⎩

⎪⎨⎪

⎧

－5≤x ≤52k π－π2

2(k ∈Z )， 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为

[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π

2

，5]．

(2)－x 2＋2x >0，即x 2－2x <0，∴0

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 000

50

＝12，所以这时

租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝

⎛⎭⎫

100－x －3 00050(x －150)－

x －3 000

50

×50 整理得f (x )＝－x 2

50

＋162x －21 000

＝－1

50

(x －4 050)2＋307 050.

所以，当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050.

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又f (x )＋g (x )为奇函数， ∴a ＝1，c ＝3.

∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b

2

.

当－b

2

≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，

∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．

当－1<－b

2<2，即－4

f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝3－b 24

＝1，