二次函数图像特征与a_b_c的符号111

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二次函数图像与abc符号关系课件

二次函数图像与abc符号关系课件
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽；当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符号关系，可以解决一些实际问题。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点位置和对称轴等特性，可以帮助我们解决一些实际问题，例如最值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之一，可以用来描述一些实际问题中的数量关系。
05
总结与思考

初三数学二次函数知识点.总结及经典习题含答案.

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如 2y ax bx c（a ，b，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 2y ax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0，0 y 轴x0 时，y 随x的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．a 向下0，0 y 轴0 x 0 时，y 随x的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．2. 2y ax c 的性质：上加下减。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上0，c y 轴0 x 0 时，y 随x的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 c ．a 0 向下0，c y 轴x0 时，y 随x的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值 c ．3. 2y a x h 的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，0 X=h x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ．a 0 向下h ，0 X=h x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ．4. 2y a x h k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，k X=h x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．a 向下h ，k X=h0 x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 2y a x h k ，确定其顶点坐标h，k ；⑵保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到h，k 处，具体平移方法如下：向上(k >0)【或向下(k<0)】平移|k |个单位y=ax2 y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左( h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下( k<0) 】平移|k |个单位y=a (x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k |个单位y=a (x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 2y a x h k 与 2y ax bx c 的比较从解析式上看， 2y a x h k 与 2y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a x2 4 2b ac b2a 4a，其中2b 4ac bh k，．2a 4a六、二次函数 2y ax bx c的性质5. 当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b2a ，顶点坐标为2b 4ac b，．2a 4a当x b2a时，y 随x 的增大而减小；当x b2a时，y 随x 的增大而增大；当x b2a时，y 有最小值24ac b4a．6. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb2a，顶点坐标为2b 4ac b，．当2a 4axb2a时，y 随x 的增大而增大；当x b2a时，y 随x 的增大而减小；当xb2a时，y 有最大值24ac b4a．七、二次函数解析式的表示方法3. 一般式： 2y ax bx c （a ，b ，c 为常数， a 0）；4. 顶点式： 2y a(x h) k （a ，h ，k 为常数， a 0 ）；5. 两根式（交点式）：y a(x x1)(x x2 ) （a 0 ，x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 2b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系7. 二次项系数 a⑴当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．8. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0 对称轴为y 轴）9. 常数项 c⑴当 c 0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c 0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当 c 0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 2ax bx c 0 是二次函数2y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当 2 4 0b ac 时，图象与x轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0 (x1 x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程 2 0 0ax bx c a 的两根．.②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线 2y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 2 4 7y x x 的顶点坐标是( )A.(2, －11)B. （－2，7）C. （2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 2y 2x 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. 2y 2( x 1) B.2y 2( x 1) C.2y 2x 1 D.2y 2x 16. 函数k2y kx k 和y (k 0)x在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )7. 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示, 则下列结论: ①a,b 同号; ②当x1和x3时, 函数值相等; ③4a b 0④当y 2时, x的值只能取0. 其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个8. 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的顶点坐标（-1 ，-3.2 ）及部分图象( 如图), 由图象可知关于x 的一元二次方程 2 0ax bx c 的两个根分别是x1 1.3和x2（）Ａ．－１. ３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.39.已知二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则点( ac,bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限10. 方程2 22x xx的正根的个数为（）A.0 个B.1 个C.2 个. 3 个11. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 2 2y x x B.2 2 y x xC. 2 2y x x 或2 2y x x D.2 2y x x 或2 2y x x二、填空题9．二次函数 2 3y x bx 的对称轴是x 2，则b _______。

二次函数图像ppt

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2
3
y1 1 x2 2
–3
3
–4
y 1 x2
–5
3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上 y轴向下 y轴
(0，k) (0，k)
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1.把抛物线 y 1 x2 向下平移2个单位，可以得
1、画函数y=x2的图像；观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
练习：函数 y ( 2x)2的图象是，顶点坐标是，
对称轴是，开口方向是 .
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．

二次函数的图像特征与系数a,b,c的关系

二次函数y=ax2 3 4 5+bx+c的图像与系数a,b,c的关系教学设计一、教学目标知识与技能目标：理解a、b、c对二次函数图象的作用，能够根据二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号。

过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法。

第三个层面是情感、态度和价值观：通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力，激发学生学习数学的热情。

二、教学重难点重点：理解a、b、c对二次函数图象的作用难点；能够根据二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号。

其中关键是数形结合思想的应用和培养学生的归纳能力。

三、教学过程：1、知识回顾2（1）抛物线y=ax +bx+c开口方向方向与有关？2 抛物线y=ax +bx+c对称轴是 _________________ 。

23 抛物线y=ax +bx+c与y轴的交点的坐标是___________4 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数与有关5 抛物线y=ax2+bx+c的顶点的坐标是。

2、探索发现利用几何画板画出几个函数的图像，观察图像总结；|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽|a|相同，抛物线的开口大小相同；(2)b 的符号；由于对称轴是-三;a,b 共同决定对称轴的位置,观察图像，得出结论\1b _x = ----- >0 I 2a —1 ----- ► Va<0 va>0 / 1 /. b<0 / 1 f 1 \ A b>0 1对称轴在y 轴右侧时a,b 异号归纳：当对称轴在 y 轴的两则时，a,b 的符号是 ______________ ;对称轴是y 轴时 ________________ 抛物线开口向下av 0 a的符号确定抛物线开口方向(1) a 的符号2•例题精讲例1、根据图象判断a 、b 、c 及b 2 — 4ac 的符号例2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像如图所示，对称轴是直线 x= -1,有以下结论：① abc>0;②4ac v b 2 ; ③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的是 (填3、课堂练习(3) c 的符号归纳：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置1 .已知二次函数y=ax2+bx+c , a v 0 , b>0, c>0那么抛物线的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-b+c，④b2-4ac，⑤a+b+c中，值大于0的个数有（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为（-1,0）,（3,0）. 对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确结论的是（填序号）4已知二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图象如图所示，有下列5个结果①abc>0; ②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2c<3b;⑤a+b>m（am+b）（m^ 1）；其中正确的结论（）4、本课小结开口方向和犬小 y 釉交点位羞y=ax 2bx-^-c （申））* I对称轴位羞 x= z 决定函数r=m+ *+空的俏戈=-』决定的值5、布置作业（导学案）1. （2010?广安）已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，下列结论：① abc >0; ② bv a+c ；③2a+b=0;④ a+b > m （ am+b （m^ 1 的实数）.其中正确的结论有（A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图，抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是x=1,下列结论：①bv0；②（a+c ） 2 > b 2 ;③2a+b-c > 0;④3bv 2c .其中正确的结论有 ①③④（填上正确结论的序号）.6.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=O;②4a+b=0;③abcv0;④4ac-b 2 v 0;⑤当XM 2时，总有4a+2b > ax 2+bx 其中正确的有 ______________ （填写正确结论的序号）.2 | | - * ______________________________________________________________ ___________________1题图 2题图7.已知二次函数y=ax+bx+c（aM0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abcv0；②a-b+c > 0;③2a+b=0;④b -4ac > 0⑤a+b+c> （ am+b +c, （m> 1的实数），其中正确的结论有（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （X i, 0），-3 v X i v-2，对称轴为x=-1 .给出四个结论：① abc>0;②2a+b=0;③b >4ac;④a-b >m（ma+b （mM-1 的实数）；⑤3b+2c> 0.其中正确的结论有（）A. 2个B . 3个C . 4个D . 5个9.已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C,且OB=O,则下列结论正确的个数是（）①b=2a ②a-b+c >-1 ③0v b2-4ac v4 ④ac+1=b.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个10.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c （aM 0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为X1、X2,其中-2 v X1 v-1，0v X2< 1,下列结论：① abc>0;②4a-2b+c v 0；③2a-b >0;④11. （2006?武汉）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a >0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点为（X 1, 0）,且0vX 1V 1,下列结论：①9a-3b+c >0;②bva ；③3a+c >0.其中正确结论的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 312. 如图为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1AB> AQ 下列几个结论：（1） abcv 0;（ 2） b >2a ；（ 3） a-b=-1 ; （4） 4a-2b+1 v0.其中正确的个数是（） A . 4 B . 3 C . 2 D . 1没3. （2011?广西）已知：二次函数 y=ax2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0;② 2a+bv 0；③ a+bv m （ am+b （m^ 1 的实数）;a+c ） v b ;⑤ a > 1.其中正确的项是（ A 、①⑤ B 、①②⑤ C 、②⑤ D 、①③④4. （2010?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，有下列结论： ①b2-4ac >0;②abc> 0;③8a+c>0;④9a+3b+cv0其中，正确结论的个数是（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、45. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ^0）的图象，则下列结论正确序号是 _____________ （只填序号）.①abc >0，②c=-3a ，③b 2-4ac >0，④a+bv m （ am+b （ m^ 1 的实数）.9题图10题图 11题图 12题图。

高一数学第3章知识点总结

高一数学第3章知识点总结第3章：二次函数与一元二次方程一、二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数项。

二、二次函数的图像特征1. 抛物线方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 对称轴方程：二次函数的对称轴方程为x = -b/2a。

3. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，即求解ax² + bx + c = 0的根。

4. 最值点：当a>0时，二次函数的最小值点为顶点；当a<0时，二次函数的最大值点为顶点。

5. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

三、二次函数的图像探究1. 整体平移：将f(x) = ax² + bx + c的图像平移h个单位水平方向和k个单位垂直方向，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。

2. 纵向压缩和纵向拉伸：将f(x) = ax² + bx + c的图像在x轴方向压缩或拉伸，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。

3. 翻折变换：将f(x) = ax² + bx + c的图像关于x轴翻折，得到新函数g(x) = -ax² + bx + c；关于y轴翻折，得到新函数g(x) = ax²- bx + c。

四、一元二次方程一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。

1. 二次方程的求解方法（1）因式分解法：当二次方程可以因式分解为(x - p)(x - q) = 0时，方程的解为x = p或x = q。

（2）配方法：对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，可以通过配方法将其化简为(a1x + b1)² + d1 = 0的形式，然后求解。

二次函数图像特征与a_b_c的符号111

课题二次函数图象与系数符号学习目标：1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；学习过程一、知识回顾：1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：开口向上开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o与y轴的交点在；c 与 y 轴的交点在；c=o抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线.b=0对称轴是；a、b同号－ 0对称轴在y轴的侧；a、b异号－ 0对称轴在y轴的侧.4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴没有交点.二、协作归纳，获取新知（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。

1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上；抛物线y=ax2+bx+c开口向下 .2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上，抛物线经过坐标原点.3. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴b 0；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧－ 0a、b号；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧－0a、b号.4. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点△ ；抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点△；抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点△.试一试：根据二次函数的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号，并说明理由.（二）确定代数式a+b+c； a-b+c； 4a+2b+c；4a-2b+c；2a+b；2a-b的符号1.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=；当x=-1时，y=.2.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=2时，y=；当x=-2时，y=.试一试：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，判断下列各式的符号（1）a+b+c （2）a-b+c （3）4a+2b+c（4） 4a-2b+c （5）2a+b （6）2a-b 三、归纳小结，升华提高a、b、c 及代数式由抛物线的决定具体说明a由抛物线的开口方向决定开口向上a>0开口向下 ab 由对称轴对称轴在y轴左侧a、bx=－的位置决定同号对称轴在y轴右侧a、b 异号对称轴是y轴b=0c 由抛物线与y轴交点（0，c）的位置决定与y轴交点在正半轴上c>o与y轴交点在负半轴上c<0抛物线过原点c=0b2-4ac 由抛物线与x轴交点个数决定与x轴有2个交点>o与x轴有1个交点=o与x轴没有交点2a-b －与-1比较2a+b －与1比较a+b+c 令x=1，看纵坐标a-b+c 令x=-1，看纵坐标4a+2b+c 令x=2，看纵坐标4a-2b+c 令x=-2，看纵坐标四、累化回味，形成技能1.二次函数y=kx2-3x+2k-k2的图象经过原点，则k= .2.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .3.二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是(D4.若，则抛物线的大致图象为（）5.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，则下列结论成立的是（）A.a>0且b2-4ac≥0B.a>0且b2-4ac>0C.a<0且b2-4ac<0D.a <0且b2-4ac ≤0五、拓广探索：观察抛物线图象填空：(1方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;(2方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;(3方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;(4不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;(5不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;(6不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.。

二次函数的图像与性质复习精品PPT课件

４、二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标和对称轴
方程为（ A ）
A、（１，－２）， x＝１ B、（１，２），x＝１ C、（－１，－２），x＝－１ D、（－１，２），x＝－１
3 2
填空：
(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是
______(_0,_2)____，与x轴的交点坐标是
a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 y
象
B
如图所示，则a、b、c的符号为（）
o
x
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
2C、、二a次<0函,b数<y0=,ca>x02+bDx、+ca(<a≠0,0b)<的0图,c象<0
y
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、
a<0
(0,0)
(0,c) (h,0)
(h,k)
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
y轴
y轴直线 x h 直线 x h
直线 x b
2a
x 0时，x 0时， y最小 0 y最小 c

二次函数图像特征与a_b_c的符号111

第11课时二次函数图象与系数符号学习目标：1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；学习过程一、知识回顾：⇒开口向上1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：⇒开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o⇒与y轴的交点在；c<o⇒与y轴的交点在；c=o⇒抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .b=0⇒对称轴是；a、b同号⇒－b2a 0⇒对称轴在y轴的侧；a、b异号⇒－b2a 0⇒对称轴在y轴的侧.4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.⇒抛物线与x轴有两个交点；⇒抛物线与x轴有一个交点；⇒抛物线与x轴没有交点.二、协作归纳，获取新知（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。

抛物线y=ax2+bx+c开口向上⇒；抛物线y=ax2+bx+c开口向下⇒ .抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上⇒；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上⇒，抛物线经过坐标原点⇒ .抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴⇒b 0；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧⇒－b2a 0⇒a、b 号；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧⇒－b2a 0⇒a、b 号.抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有两个交点⇒△ ；抛物线y=ax 2+bx+c 与x轴有一个交点⇒△ ；抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点⇒△.试一试：根据二次函数c bx ax y++=2的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号，并说明理由.（二）确定代数式a+b+c ； a-b+c ； 4a+2b+c ；4a-2b+c ；2a+b；2a-b 的符号1.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=1时，y=；当x=-1时，y= . 2.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=2时，y= ；当x=-2时，y= . 试一试：抛物线y=ax 2+bx+c 如图（1）、（2）所示，判断下列各式的符号（1）a+b+c （2）a-b+c （3）4a+2b+c （4） 4a-2b+c （5）2a+b （6）2a-b 练一练:1.二次函数y=kx 2-3x+2k-k 2的图象经过原点，则2.若二次函数y=ax 2+3x-1与x 轴有两个交点，则3.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( )4. 若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（）5.若无论x 的值总为负，则下列结论成立的是（） A.a>0且b 2-4ac ≥0 B.a>0且b 2-4ac>0 C.a<0且b 2-4ac<0 D.a <0且b 2-4ac ≤0 课堂检测：1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0xxxx2. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0D. ab<0，c<03. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示，则顶点在第( )象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四4.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4所示，给出以下结论：①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．05.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图5所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图6．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（） A ．2 B 3 C 、4D 、57.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图7所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.小强从如图8所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个图5O图1图 2图图3 图4 图6 图79.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图9所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ． 0a b c -+>10.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图10所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤11.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（） A ．a ＜0 B.c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞013.如图13为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号） 14、如图14，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，经过点P （3，0），则c b a +-的值为（）A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（）（A ）第一或第二象限；（B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限；（D ）第二或第三象限图9图8图11图13图14。

二次函数的图像及其性质

二次函数的图像【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴2、求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【【4】二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

【5】二次函数的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；2、保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，3、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．特别记忆--同左上加异右下减说明：① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 【7】二次函数解析式的表示方法1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.【8】二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-【知识点填空】1说明：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系：【例】如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（）（A ）)4()1()3(f f f << （B ） )4()3()1(f f f << （C ）)1()4()3(f f f <<（D ）)1()3()4(f f f <<【解】 ∵)3()3(t f t f -=+对于一切的R t ∈均成立∴ )(x f 的图像关于3=x 对称又01>=a∴ 抛物线开口向上。

初中代数二次函数公式定理

初中代数二‎次函数公式‎定理1.二次函数及‎其图像1.二次函数我们把函数‎y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于‎0)叫做二次函‎数2.函数y=ax²(a不等于0‎)的图像和性‎质用表里各组‎对应值作为‎点的坐标,进行描点,然后用光滑‎的曲线把它‎们顺次联结‎起来,就得到函数‎y=x²的图象这个‎图象叫做抛‎物线函数y‎=x²的图像,以后简称为‎抛物线y=x²这条抛物线‎是关于y轴‎成对称的我‎们把y轴叫‎做抛物线y‎=x²的对称轴对‎称轴和抛物‎线的焦点,叫做抛物线‎的顶点3.函数y=ax²+bx+c(a不等于0‎)的图像和性‎质抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐‎标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对称轴方程‎是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开‎口向上,并且向上无‎限延伸;当a〈0时,抛物线的开‎口向下,并且向下无‎限延伸当a〉0时,二次函数y‎=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递‎减的,在x〉-b/2a时是递‎增的;在x=-b/2a 处取得‎y最小=4ac-b²/4a当a〈0时,二次函数y‎=ax²+bx+c在x〈-b/2a时是递‎减的;在x=-不/2a 处取得‎y最大=4ac-b²/4a2.根据已知条‎件求二次函‎数1.根据已知条‎件确定二次‎函数2.二次函数的‎最大值或最‎小值3.一元二次方‎程的图像解‎法直角三角形‎概述定义：有一个角为‎90°的三角形，叫做直角三‎角形。

性质：直角三角形‎是一种特殊‎的三角形，它除了具有‎一般三角形‎的性质外，具有一些特‎殊的性质：性质1：直角三角形‎两直角边的‎平方和等于‎斜边的平方‎。

性质2：在直角三角‎形中，两个锐角互‎余。

性质3：在直角三角‎形中，斜边上的中‎线等于斜边‎的一半（即直角三角‎形的外心位‎于斜边的中‎点，外接圆半径‎R＝C/2）。

二次函数(最全的中考二次函数知识点总结

二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。

2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。

d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。

3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。

a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。

b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。

c)当D<0时，方程无实数解。

4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。

d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。

5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。

b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。

6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。

b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。

二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0．（1）当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 （2）当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．5 例1（重庆2004年）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则点M （b ，ac ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限选D例2、（2004陕西）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则下列关系判断正确的是（）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a - b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b例4、已知二次函数()02≠++=a c b aχχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A 例5 二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，13χ=为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)．解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例１、已知y=ax 2+bx+c 图象如图1，则下列关系中成立的是( )120.<-<a bA 220.<-<abB 221.<-<a bC12.=abD 剖析特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=12=-a b 这里221<-<ab ，所以选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0<α<2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②，①②(α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a.121222)2(2>+=+=+=-∴αααa a a b 221<-<∴ab求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0<α<2)，B(2，0)，则A 、B 中点坐标是12122>+=+αα 221<-<∴ab所以选 C ．注意：若题目为“已知抛物线y=ax 2+bx+c 过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax 2+bx+c 如图2，则下列结论： ①601-<a ，②0601<<-a ，③a-b+c>0，④a<b<-12aA ．①③ B． ①④ C ． ②③ D ． ②④剖析排除法判定，易知c=2．4把(12，0)代入y=ax 2+bx+c 中得： 144a+12b+2．4=0，11205a b ++=，由图象知a<0，对称轴2b x a-=11120560a a ∴+<<-，，即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ． 111201201255a b a b b a++=∴+-<<- ，，，000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析：特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a 代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．∵a-b+c=0，∴a+c=b ，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a 2，∵b=a+c ，∴b 2=c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a 2，b 2-2ac>5a 2， ④正确．所以选D ．注意：有时利用x=±1时，y=a±b+c ，x=±2时，y=4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号．例4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于(-2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，①a<b<0，②2a+c>0，③4a+c<0，④2a-b+1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析：数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b b x a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a<b<0 ①正确． ∵抛物线过(-2，0)，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b<0∴4a+c<0，③正确． ∵4a-2b+c=0，2cb a 2-=-∴ ∵0<c<2，12c->-∴，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确．所以选D ．补充练习：1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a +b +c ＞0D 、a -b +c ＜05、二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第象限。

二次函数公式

二次函数公式二次函数是高中数学中的重要概念，是一种具有一次项、常数项和平方项的函数。

它的一般形式表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c分别表示二次函数的系数。

一、二次函数的图像特征二次函数的图像是一条平滑的曲线，具有以下特点：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a>0，则二次函数的图像开口向上；若a<0，则二次函数的图像开口向下。

2. 零点：二次函数的零点是指函数的图像与x轴相交的点。

要求二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法。

3. 最值：二次函数的最值是指函数的图像的最高点或者最低点。

对于开口向上的二次函数，最值是函数的最低点，即顶点；而对于开口向下的二次函数，最值是函数的最高点，即顶点。

二、二次函数的顶点形式除了一般形式，二次函数还可以表示为顶点形式。

顶点形式的二次函数可以更直观地体现出函数的顶点坐标。

1. 顶点坐标：顶点坐标可以通过将一般形式的二次函数转化为完全平方形式来得到。

完全平方形式是指将一般形式的二次函数通过平移和伸缩变换后化简得到的形式。

2. 顶点坐标的求法：顶点坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)y = f(x)三、二次函数的相关性质除了图像特征和顶点形式，二次函数还具有以下相关性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是指函数图像关于一个直线对称的轴线。

对称轴的方程可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)2. 对称性：二次函数的图像是关于对称轴对称的，即对于任意x值，函数图像在对称轴两侧的y值相等。

3. 判别式：二次函数的判别式可以通过以下公式求得：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以判断二次函数的解的情况。

当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数没有实根。

结语二次函数是数学中的重要概念，掌握了二次函数的公式和相关性质，对于解决实际问题和理解数学原理都非常有帮助。

二次函数的性质a,b,c符号问题

二次函数的图像与性质知识点：二次函数抛物线，图像对称是关键，开口、顶点和交点，它们确定图像现。

a 的正负开口判（开口大小由a 断），c 与y 轴来相见，b 的符号较特别，符号与a 相关联，顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱。

△的符号最简便，x 轴上数交点，顶点坐标最重要，一般配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值现，若求对称轴位置，括中符号正相反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

二次函数a ，b ，c 及相关问题的解决：1、 a 正负性：由开口方向决定，开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜02、 b 的正负性：由于抛物线对称轴为ab x 2-=，所以b 的正负性与对称轴的位置和a 的正负性相关联。

对称轴在y 轴的左边时，a 、b 符号相同，对称轴在y 轴的右边时，a 、b 符号相反，对称轴为y 轴时，b=0（左同右异中为0）3、 c 的正负性：c 表示抛物线与y 轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=c ，所以当抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方时，c ＞0，当抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方时，c ＜0。

（c 与y 轴来相见）4、 abc 的正负性：a ，b ，c 确定，则随之确定5、 ac b 42-=∆的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x 轴的交点个数来判断△的正负性，与x 轴有两个交点时，042>-ac b ，与x 轴的交点有一个时，042=-ac b ，与x 轴没有交点时，042<-ac b6、利用x 的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y=a+b+c ，当x=-1时，y=a-b+c ，当x=2时，y=4a+2b+c ，当x=-2时，y=4a-2b+c ，当x=3时，y=9a+3b+c ，当x=-3时，y=9a-3b+c ，对于取x 的特殊值得到代数式的正负性，重点看此时图像在x 轴的上方还是下方。

(完整)二次函数的图像及其性质

二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax 2和y=ax 2+c 的图象,并能比较它们的异同；理解a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； 2、了解抛物线y=ax 2上下平移规律； 3、熟练掌握二次函数的性质； 4、应用二次函数解决实际问题.【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征:①有开口方向；②有对称轴；③有顶点.【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴2、求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A ，B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【3】二次函数的性质【4】二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义a 表示开口方向:a 〉0时,抛物线开口向上a 〈0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关:对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0，c ）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点. 当∆〉0时,图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆〈0时，图像与x 轴没有交点。

【5】二次函数的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；2、保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位3、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移，负下移”．特别记忆——同左上加异右下减说明：① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号,图像顶点必在Y 轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，。

二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a ≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1、a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 2、b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3、c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点． 4、a,b,c 共同决定判别式的符号进而决定图象与x 轴的交点与x 轴两个交点与x 轴一个交点与x 轴没有交点5、几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴;判别式……等等）的符号二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1例1、已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是=-1，=31、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是（）2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（） A 、0ab < B 、0bc < C 、0a b c ++> D 、0a b c -+<4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（）A 、0a >，240b ac -<B 、0a >，240b ac ->C 、0a <，240b ac -<D 、0a <，240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A ．240b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（）（1）abc ＜0；（2）a ＋b ＋c ＜0；（3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜2b -．A ．1B 2C .3 D. 411、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（） A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知： ()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（）A .－1B ． 1C . －3D . －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个17、已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（） A .1 B .2 C .3 D . 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们的大致图象是（）21、函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )22、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( ) A. ab>0,c>0 B. ab<0,c>0 C. ab>0,c<0 D. ab<0,c<0x O y22、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点，根据图象回答： (1)b_______0(填“>、<、=)； (2)当x 满足______________时，ax 2+bx+c>0：(3)当x 满足______________时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小．24、如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

二次函数与函数的图像

最大利润问题：利用二次函数求出最大利润的方案最优解问题：通过二次函数找到最优的解决方案物理问题：利用二次函数解决物理中的抛物线运动等问题经济问题：利用二次函数解决经济中的供需关系等问题
二次函数在实际生活中的应用
抛物线形状设计：利用二次函数图像的对称性和开口方向，可以设计出各种美丽的抛物线形状，如喷泉、建筑和艺术作品等。
与x轴交点：令 y=0，解二次方程得到与x轴的交点坐标。
与y轴交点：将 x=0代入函数解析式得到与y 轴的交点坐标。
二次函数图像的顶点
顶点的坐标公式为(-b/2a, f(-b/2a)) 顶点是函数图像的最低点或最高点通过顶点可以确定函数图像的开口方向和对称轴顶点的位置与二次函数的系数有关
二次函数图像有对称轴，一元一次函数图像没有对称轴
二次函数图像有顶点，一元一次函数图像没有顶点
性质和应用的比较
函数表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，一元一次函数的一般形式为y=kx+b。开口方向：二次函数的开口方向由a的符号决定，一元一次函数没有这个性质。
顶点：二次函数有顶点，一元一次函数没有顶点。
函数形式的比较
一元一次函数的一般形式为 y=kx+b
二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c
二次函数的图像是抛物线，一元一次函数的图像是直线
二次函数的图像可以上下左右平移，一元一次函数的图
像只能左右平移
图像特征的比较
二次函数图像是抛物线，一元一次函数图像是直线
二次函数图像是连续的，一元一次函数图像是离散的
二次函数与函数的图像
汇报人：XX
单击输入目录标题二次函数的基本概念二次函数的图像二次函数的应用二次函数与一元一次函数的比较二次函数图像的变换

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

A 、 abc＞0
B 、 b＞a+c
C、 2a-b=0
D、 b 2 -4ac＜ 0
14、已知二次函数 y= ax2 +bx+c （ a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
① ac＞ 0；② a-b+c＜ 0；③当 x＜ 0 时， y＜ 0；
④方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠ 0）有两个大于 -1 的实数根．其中错误的结论有（ C）
A 、 ab＜0
B、 ac＜0
C、当 x＜ 2 时，函数值随 x 增大而增大；当 x＞ 2 时，函数值随
B） x 增大而减小
D、二次函数 y= ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2 +bx+c=0 的根
A 、②③
B、②④
C、①③
D、①④
15、如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的图象，在下列选项中错误的是（ C）
A 、 ac＜ 0
B、 x＞1 时， y 随 x 的增大而增大
C、 a+b+c＞ 0 D、方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1 =-1 ， x2 =3
16、二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（
11、已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（
B）
A 、 ac＜ 0
B 、a-b+c＞ 0
C、 b=-4a
D 、关于 x 的方程 a x 2 +bx+c=0 的根是 x 1=-1 ， x 2=5