高考数学总复习 102 用样本估计总体课件 新人教B版

解析：由直方图可知，前 4 组的公比为 3，最大频率 a＝0.1×33×0.1＝0.27，设后 6 组的频率公差为 d，则 1 －(0.01＋0.03＋0.09)＝0.27×6＋5×2 6d，
解得：d＝－0.05，∴后 6 组的频率公差为－0.05， 所以视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 (0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78 人． 答案：A
⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一 段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等
频率 于该组的组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面 积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直 方图．
在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数 据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形 的面积总和等于 1.
整理得xx＋ 2＋yy＝2＝20208
1 2
，
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由(1)两边平方得 x2＋y2＋2xy＝400，∴2xy＝192，
∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝208－192＝16，
∴|x－y|＝4. 答案：D
(文)(2010·山东文)在某项体育比赛中，七位裁判为 一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均
5．方差、标准差 设样本数据为 x1，x2，…，xn 样本平均数为－x ，则 s2＝n1·[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]＝n1[(x21＋x22 ＋…＋xn2)－n x 2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数 据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动 越大． 把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准 差．
分析：通过计算两组数据的－x 和 s2，然后加以比较， 再作出判断．
解析： x 甲＝15(10.05＋10.02＋9.97＋9.96＋10.00)＝
10.
s
2
甲
＝
1 4
[(10.05
－
10)2
＋
(10.02
－
10)2
＋
(9.97
－
10)2
＋
(9.96－10)2＋(10－10)2]＝0.00135.
计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选取公式 以简化计算．
频率分布直方图 [例 1] 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽 查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方 图如下图；由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频 数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b，则 a、b 的值分 别为( )
2，则|x－y|的值为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
分析：可依据平均数与方差的计算公式列出关于 x、 y 的二元方程组求解，同时注意|x－y|2＝x2＋y2－2xy，(x ＋y)2＝x2＋y2＋2xy.
解析：由条件得
x＋y＋10＋11＋9＝50 15[x－102＋y－102＋0＋1＋1]＝2
s2＝n1
n i＝1
(xi－
－x )2
和
s2＝n1
n xi2－－x 2
i＝1
各自的适用条件，灵活选用公式以
减少计算量.
用样本估计总体 [例 4] 要加工一圆形零件，按图纸要求，直径为 10 mm，现在由甲、乙两人加工此种零件，在他们的产品中 各抽 5 件测得直径如下： 甲：10.05 10.02 9.97 9.96 10.00 乙：10.00 10.01 10.02 9.97 10.00 问甲、乙两人谁生产的零件较好？
2．依据频率分布直方图计算时要牢记，纵轴为频率/ 组距，小矩形的面积才表示频率．
(文)(2010·广东玉湖中学)200 辆汽车经过某一雷达 地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过 70km/h 的汽车数量为( )
A．1 辆 C．20 辆
B．10 辆 D．70 辆
解析：(80－70)×0.01×200＝20. 答案：C
解析：15(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝3，又中位数是 3，则 必有两数小于 3，两数大于 3，又 xi 是互不相等的正整数， 故此五数只能是 1,2,3,4,5，
∴方差 s2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋ (5－3)2]＝2.
答案：2
点评：注意样本方差的两个计算公式
解析：五次成绩中，有三次成绩甲、乙相同，其余两 次成绩的和相等，甲的较接近，故甲的方差较小，即甲的 成绩更稳定，应选甲．
答案：甲
(理)(2011·辽宁文，19)某农场计划种植某种新作物， 为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙) 进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成 n 小块地， 在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙．
(理)(2011·浙江文，13)某中学为了解学生数学课程的 学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布 直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这 3000 名学 生 在 该 次 数 学 考 试 中 成 绩 小 于 60 分 的 学 生 数 是 ________．
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右 开区间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一 位小数分组；
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率 分布表．
将样本数据分成若干小组，每个小组内的样本个数 称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频 率．频率反映数据在每组 所占比例 的大小．
4．平均数、中位数和众数 (1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的 商就是平均数． (2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次 排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组 数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数 的平均数，是这组数据的中位数．
(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出 现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据 的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多， 则认为这组数据没有众数)．
误区警示
1．对频率分布直方图和茎叶图识图不准是常见的错
频率 误 ． 在 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 小 矩 形 的 高 ＝ 组距 ＝
频数
频率
组距×样本容量.频率＝组距×组距＝小矩形的面积．
2．中位数可能不在样本数据中． 3．计算公式用错或计算错误．计算平均数、方差、 标准差等时计算量大，要注意计算结果的准确性． 4．直方图与条形图不要混淆．
第二节
用样本估计总体
重点难点 重点：用样本的频率分布估计总体分布；用样本的 数字特征估计总体的数字特征． 难点：频率分布直方图的理解和应用．
知识归纳 1．编制频率分布直方图的步骤如下： ①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差． ②决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常
极差 分成 5～12 组．组距＝组数.
A．304.6 C．302.6
B．303.6 D．301.6
答案：B 解析：由茎叶图知：291, 291,295,298, 302,306, 310, 312,314,317 知所求平均数为 303.6.故选 B.
(2011·巢湖质检)在如下图所示的茎叶图中，若甲、 乙两组数据的中位数分别为 λ1，λ2，平均数分别为 μ1， μ2，则下列判断正确的是( )
注意以下结论： (1)如果 x1、x2、…、xn 的平均数为－x ，则 ax1＋b， ax2＋b，…，axn＋b 的平均数为 a －x ＋b. (2)数据 x1、x2、…、xn 与数据 x1＋m、x2＋m、…、 xn＋m 的方差相等．
(3)若 x1、x2、…、xn 的方差为 s2，则 kx1，kx2，…， kxn 的方差为 k2s2.
点评：一组数据的方差，刻画了这组数据波动的大 小 (即各数据偏 离平均数的大小 ，也称离散性、差异性 ) 方差越大，说明这组数据的波动越大，即这组数据越分 散．
(文)(2011·苏州模拟)甲、乙两名射击运动员参加某 大型运动会的预选赛，他们分别射击了 5 次，成绩如下 表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的最佳人 选应是________．
x 乙＝15(10.00＋10.01＋10.02＋9.97＋10.00)＝10.
s
2
乙
＝
1 4
[(10.00
－
10.00)2
＋
(10.01
－
10)2
＋
(10.02
－
10.00)2＋(9.97－10)2＋(10.00－10.00)2]
＝0.00035.
由计算可知两者样本均值相同，前者样本方差较大，
由此估计工人乙生产的零件质量较好．
解题技巧 1．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的 直方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值 即为这组数据的众数．
2．方差是刻画一组数据离散程度的量，它反映一组 数据围绕平均数波动的大小．方差越大，这组数据波动 越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、 产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通 过方差来体现．
A.λ1>λ2，μ1<μ2 B．λ1>λ2，μ1>μ2 C．λ1<λ2，μ1<μ2 D．λ1<λ2，μ1>μ2
解析：由茎叶图知 λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝19.9，μ2 ＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故选 B.
答案：B
样本平均数与样本方差
[例 3] 某人 5 次上班途中所花的时间(单位：分钟) 分别为 x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，方差为
值和方差分别为( )
A．92,2
B．92,2.8
C．93,2
D．93,2.8
解析：去掉最低分 89，最高分 95，然后各减去 90
得，0,0,3,4,3.∵3＋4＋53＋0＋0＝2，∴平均数为 92，方
差
为
2－
02＋2－02＋2－32＋2－4 5
2＋2－32
＝
2.8
，
选
B. 答案：B
(理)(2010·瑞安中学)已知数据 x1、x2、x3、x4、x5 是 互．不．相．等．的．正．整．数．，且－x ＝3，中位数是 3，则这组数据 的方差是________．
2．频率分布折线图 (1)把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段 连接起来，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线 如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频 率分布折线图实际上越来越接近于一条光滑曲线，这条光 滑的曲线就叫总体密度曲线．
3．茎叶图 统计中还有一种用来表示数据的图叫做茎叶图． 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的 数． 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎 叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信 息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就 不太方便．
A．0.27,78
B．0.27,83
C．2.7,78
D．2.7,83
分析：从图中可知第一组与第二组的频率(频数)，结
合前 4 组的频数成等差数列及第四组直方图最高，可求
a.因此后 6 组是已知首项和各项和的等差数列，由等差数
列求和公式可求出公差 d，最后可求视力在 4.6～5.0 之间
的学生数 b，计算时可以用频数计算，也可以用频率计算．
点评：1.也可以先求各小组的频数解答如下： 设第 i 组的频数为 ai(i＝1,2，…，9)， 由图知100a×1 0.1＝0.1，∴a1＝1.同理 a2＝3. ∵前 4 组频数成等比数列，∴a3＝9，a4＝27. 又后 6 组频数成等差数列，设公差 d， 则aa44＋＝a257＋…＋a9＝100－1＋3＋9 得 d＝－5.∴b＝a4＋a5＋a6＋a7＝78，a＝1a040＝0.27.
解析：成绩小于 60 分的学生频率为：(0.002＋0.006 ＋0.012)×10＝0.2
故 3000 名学生中小于 60 分的学生数为：3000×0.2 ＝600.
答案：600
茎叶图 [例 2] 下图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料 作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的 茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户 家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇 居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 ()