分式的基本性质,约分,通分

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分式的基本性质应用：约分、通分

1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x

分式的约分和通分

15 21
=
35 5 37 7
理解应用
a 2bc a2bc ab ac
ab ab ab 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是：分式的基本性质.
最简分式:一个分式的分子与分母没有1以外的公因式，叫做最简分式．
分式的约分和通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是如何约分的? 1、约分：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
解： (2)
x2
x2 9 6x
9

(
x
3)( x ( x 3)2
3)
x3 x3
约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分
例：约分 6x2 12xy 6y2
(3) 3x 3y
解：(3) 6x2 12xy 6y2
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数；（2）因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；（3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
理解应用分式的通分
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
;
(2) 2x 与 3x . x5 x5
分析：为通分要先确定分式的公分母.
1 3xyz
1
2x2z

4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z

分式的基本性质.1.2 分式的基本性质约分与通分

通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母。
1 1 2 2 解： 2 与 2 的最简公分母为a b , 所以 a b ab
1 1 b b 1 1 a a 2 2 2， 2 2 2 2 2 a b a bb a b ab ab a a b
化简下列分式
a 2bc ab ac 1 ac ab ab
3 2
分式的约分
32a b c 8a 2b 2 4ac 4ac 2 2 3 2 2 24a b d 8a b 3bd 3bd
15a b 5a b 3a b 3a b 3 25a b 5a b 5 5
y y ( y y) y y (2) 2 2 2 y y y y y y
2 2 2
A B A B
A M （M 0） BM AM （M 0） BM
分数的基本性质：分数的分子分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.
下列分式的右边是怎样从左边得到的？
⑴
b by 2 x 2 xy
ax a (y 0) ⑵ bx b
反思：为什么(1)中有附加条件y≠0,
复习引入
当x取什么值时，下列分式有意义？
1 2 (1) ; (2) x2 2x 1
1 解 : (1) x 2 0, 即当x 2时，分式有意义; x2
1 2 （2） 2 x 1 0, 即当x 时，分式有意义. 2 2x 1
3 约分： 6 1 1 通分：和 2 3
2 2 2 4a 3c 5b 10a b c ； , (2)分式的 2 , 2 2 的最简公分母是 5b c 10 a b 2ac

分式的通分

2xy 2xy
y2
(4) x
y与
2xy 2 2
解：∵最简公分母是（x-y)2(x+y)
2x x y
2x•(x (x y)•(x
y)(x y)(x
y) y)
2x(x y)(x
(x y)2 (x
y) y)
3x x y
3x •(x y)2 (x y) • (x y)2
3x(x y)2 (x y)2 (x y)
x2
2xy
2xy
y2
(
2x
x
y
y)2
2xy(x y)
(x y)2 (x
y)
例题
求下列分式的最简公分母：
1 , 1 ,1 2x3 y 2 z 4x 2 y 3 6xy 4
1.怎样找公分母？ 2.找最简公分母应从方面考虑？第一要看系数；第二要看字母
试一试 y x 1 (1)分式的 2x , 3y2 , 4xy
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:
x y
3 10
，
求
x2
8xy 16 x2 16 y2
y2
的值
2、若 1 1 2，求分式 2x 3xy 2 y的值
xy
x xy y
3、已知：x2-3x+1=0,求
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：∵最简公分母是(x+5)(x-5).
2x x5

分式的基本性质——通分

例题讲解与练习例2通分通分 1 1 (1) 2 与 2 2 x −y x + xy
公分母如何确定呢？公分母如何确定呢？
2x 3x (2) 与 x−5 x+5
若分母是多项式时，式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母。简公分母。
பைடு நூலகம்
1 1 （2）求分式的最简公分母。的最简公分母。 2 与 2 4x − 2x x −4
作业
将下列各组分别进行通分: 将下列各组分别进行通分
书本第9页第题书本第页第7题页第
−1 1 4a 3c 5b (6) 2 , 2 ( 5) 2 , , 2 x + x x + 2 x +1 − 2ac2 ; 5b c 10a b
1 x , 2 （3） 2 (2 − x) x — 4 .
2、完成课本第8页练习、完成课本第页练习页练习2
课堂小结 1、什么是分式的通分？通分运算的关键什么是分式的通分？是什么？怎样确定最简公分母？是什么？怎样确定最简公分母？
把几个异分母的分式，把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的公分母，通分的关键是确定几个分式的公分母，确定公分母的方法：确定公分母的方法：
4 x − 2 x = 2 x ( 2 − x ) = −2x(x −2)
2
x − 4 = ( x + 2 )( x − 2 )
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即 2x(x +2)(x −2) 就是这两个分式的最简公分母。
练

分式

分式二．知识概念1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2.分式有意义的条件：分母不等于03.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C为整式，且C≠0）5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6.分式的四则运算：(1.)同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b ±c/d=ad±cb/bd(3.)分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd (4.)分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.8.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式和分数有着许多相似点。

苏科版八年级数学下_10.2分式的基本性质

别除以它们的公因式，叫做分式的约分.
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最
大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公
因式；
(2)当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再
按(1)中的方法找公因式.
感悟新知
3. 约分的方法
知2－讲
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分
(1) 1255xx2yy2＝
(
3x 5y
)；(2)a＋ab22b＝(a2a+22ba2b )；
(3)
x23－x xy＝
3
(x－y
).
知1－讲
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了
什么样的变化，再根据分式的基本性质
用相同的变化确定所要填的式子.
感悟新知
知1－讲
解法提醒：解决与分式的恒等变形有关的填空题时，一般从分子
常取最简公分母.
感悟新知
3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母；
知3－讲
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式.
4. 约分与通分的关系
感悟新知
例 7 把下列各组分式通分：
(1) 6x52yz3和 4x33y2z；
(2)
x－a y，
3x－b 3y，
式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，
从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定.
感悟新知
知2－讲
解：(1)分母 6x2yz3、4x3y2z 的的最简公分母是 12x3y2z3， 6x52yz3＝ 6x52·yz32·xy2xy＝ 1120xx3yy2z3， 4x33y2z＝ 4x33·y2z3·z23z2＝ 129xz32y2z3；

分式的基本性质(约分、通分)

分式的基本性质（2）——（约分）学教目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。

2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。

3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。

学教重点：分式的约分。

学教难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。

学教过程：一、温故知新：1、分式的基本性质是：_____________________________________________________.用式子表示 ________________。

2、分解因式：（1）x 2—y 2 =______（2）x 2+xy=_____（3）9a 2+6ab+b 2 =_____（4）-x 2+6x-9 =_________3、(1)使分式42+X X 有意义的X 的取值范是 (2)已知分式11+-X X 的值是0,那么X (3)使式子11+X 有意义X 的取值范围是 (4)当X 时分式24X X +是正数。

5、自主探究：p 6-7的“思考”。

归纳：分式的约分定义：最大公因式：所有相同因式的最次幂的积最简分式：二、学教互动：1、例1、通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母___________2、例2、约分：（1）321015xyy x -、（2）44222+--m m m m 、想一想：分式约分的方法：1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的__________与相同字母的最___次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。

（2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_______,然后约去分子与分母的________。

2、约分后，分子和分母没有_______,称为最简分式。

化简分式时，通常要使结果成为_____分式或_____得形式。

三、拓展延伸：1.约分：（1）2510522+--m m m m 、（2）、22222yxy x y x ++- 2.请将下面的代数式尽可能地化简，在选择一个你喜欢的数（要合适哦！）带入求值：11)1(22--++-a a a a 四、反馈检测：1．下列各式中与分式a a b--的值相等的是（）. （A ）a a b -- (B) a a b + (C) a b a - (D)a b a -- 2．如果分式211x x -+的值为零，那么x 应为（）. （A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）03．下列各式的变形：①x y x y x x -+-=；②x y x y x x-++=-；③x y x y y x x y -++=--；④y x x y x y x y--=-++．其中正确的是（）.（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）②③ （D ）④4、约分：（1）d b a bc a 10235621-、（2）、2323510c b a bc a -（3）1681622++-a a a 、（4）mm m m 24422++- 、（5）m m m m -+-2212 。

分式(分式的概念、性质及计算)

学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。

②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即 B ≠0 。

③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。

即当A ＝0且B ≠0时，0AB =。

【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( )⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

()0A A M A MM B B M B M ÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。

③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。

为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。

【例2】 ⑴化简222a b a ab -+的结果为( )分式⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )3．分式的加、减、乘、除、乘方运算分式的乘法 a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a d b d b c b c ⋅÷=⋅=⋅分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减 a b a bc c c ±±=异分母分式相加减 acadbc ad bcb d bd bd bd ±±=±=0指数幂 01(0)a a =≠ 负整数指数幂 1p p a a -= (a ≠0，且p 为正整数)【例3】化简22226211296x x x x x x x x -++++÷--+-思想方法吐血大总结：1．分式是否有意义、何时值为零以及基本性质都和分数相近。

分式的性质的应用

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达标检测:
1、约分：
(1)
ab 2a2
;
(3)
2
x2 x3
3 6x
;
2、通分：
(1) 1 , 1 ; ax bx
(3) 2 , 3 ; x 1 x 2

分式及其基本性质透析分式运算中的约分和通分

透析分式运算中的约分和通分在分式的运算中，约分和通分是两个必不可缺的重要环节．在小学里，我们已熟悉了分数的约分和通分，这为我们学习分式的约分和通分降低了难度．但分式的约分和通分还涉及到单项式的乘除法、多项式的因式分解．因此，为帮助同学们更准确地掌握这两个概念，本文拟从以下三个方面进行探析：一、依据相同分式的约分和通分的依据都是分式的基本性质．例1：约分：11-⋅-m n mn m ＝_______________ （07年浙江温州中考试题）析解：11-⋅-m n mn m ＝m 1 分式的分子和分母同时除以“n （m-1）” 通分：221,1yx xyz 析解：zy x xyz xyz 221= 分式的分子和分母同时乘以“xyz ”z y x z y x 22221= 分式的分子和分母同时乘以“z ” 点评：分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．通过本例还可以看出：约分是对一个分式来说的，主要为分式的乘除法做准备；通分是对两个或多个异分母分式来说的，主要为分式的加减法做准备．二、关键不同约分的关键在于寻找分式的分子和分母的公因式；而通分的关键在于寻找分母的最简公分母．例2：约分：①=cb a ab 22___________ 析解：分子和分母的公因式为ab ，所以分式的分子和分母同时除以ab ，即：=c b a ab 22abc 1 ②22444a a a -++＝ .（07年山东青岛市中考试题）析解：通过因式分解可知，分子和分母的公因式为)2+a （，所以分式的分子和分母同时除以)2+a （，即：22444a a a -++＝22)2()2)(2(2+-=+-+a a a a a点评：①如果分式的分子和分母都是单项式，分式的分子和分母同时除以公因式即可． ②如果分式的分子和分母是多项式，应先分解因式，再同时法除以公因式．通分： 2)(,22y x xy y x y x ++- 析解：先把分母分解因式：)(222y x y x +=+ ，所以最简公分母为22)(y x +，所以：222)(2))((2))((22y x y x y x y x y x y x y x y x +-=-++-=+- 22)(22)(y x xy y x xy +=+ 点评：如果分母是多项式，应先分解因式，再找出最简公分母．三、目标一致分式的约分和通分的最终目标都是为了分式的加减乘除混合运算．“它们”常常“通力合作”，一般先约分，再通分，进而完成分式的运算．例3、计算：1422222-++-÷+-bab a b a b a b a （07年辽宁旅顺口中考试题）析解：1422222-++-÷+-b ab a b a b a b a ＝1))(()2(22--++⋅+-b a b a b a b a b a ＝ba b a b a b a ++-++2 ………………………………………约分并通分＝ba b a b a +--+2 ＝b a b + 点评：掌握了分式的约分和通分，还值得同学们注意的是：每一步变形要讲究算理，不可以马虎大意．。

分式方程知识点归纳

分式方程知识点归纳1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。

4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。

用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

5. 条件分式求值1）整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

例：已知，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

例：若，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。