高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理教案理含解析新人教A版

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理教案理含解析新人教A版

§3.3定积分与微积分基本定理

最新考纲考情考向分析

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基

本思想，了解定积分的概念．

2.了解微积分基本定理的含义.

利用定积分求平面图形的面积，定积分

的计算是高考考查的重点.

1．定积分的概念

设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0

n－1

i＝0

f(ξi)Δx i.

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定

积分，记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝lim

λ→0

∑

n＝1

i＝0

f(ξi)Δx i.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．f(x)d x叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．

2．定积分的性质

(1)ʃb a cf(x)d x＝c·ʃb a f(x)d x(c为常数)．

(2)设f(x)，g(x)可积，则ʃb a[f(x)＋g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x＋ʃb a g(x)d x.

3．微积分基本定理

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

概念方法微思考

ʃb a f(x)d x是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？

提示不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x表示由直

线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb

a f (t )d t .( √ ) (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，

b ]上连续且恒正，则ʃb

a f (x )d x >0.( √ )

(3)若ʃb

a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝

b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )

(4)曲线y ＝x 2

与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ1

0(x 2

－x )d x .( × ) 题组二 教材改编 2．ʃe ＋1

2

1

x －1

d x ＝________. 答案 1 解析 ʃ

e ＋1

2

1x －1

d x ＝ln(x －1)|

e ＋1

2＝lne －ln1＝1. 3．ʃ0

－11－x 2

d x ＝________. 答案

π

4

解析 ʃ0

－11－x 2

d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2

所围成的图形的面积，

∴ʃ0－1

1－x 2d x ＝π4

. 4．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1s 至第2s 间的1s 内经过的位移是______m. 答案

13

2

解析 s ＝ʃ2

1(3t ＋2)d t ＝

⎪

⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t 21

＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．

题组三 易错自纠

5.如图，函数y ＝－x 2

＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )

A

．1 B.4

3 C. 3 D ．2

答案 B

解析 所求面积＝ʃ2

0(－x 2

＋2x )d x ＝

⎪

⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 220

＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在1

2

s ～6s 间的运动路程为____m.

答案

494

解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，

13t ＋1，3

由变速直线运动的路程公式，可得

s ＝

()6

11122d 2t t tdt ⎰⎰＝v +ʃ312d t ＋ʃ63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t =213

261132

1|2||6t t t t ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=494

(m). 所以物体在12s ～6s 间的运动路程是49

4m.

7．

20

24x dx π

π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭＝________.

答案 2 解析 由题意得

20

24x dx ππ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭

＝

220

(sin cos )d (sin cos )|x x x x x π

π

⎰

＋＝－