改进后双复合负二项分布的破产概率

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2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(5)

2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(5)1、如果假设每份保单的索赔次数服从泊松分布，而在一个保单组合中，不同保单的泊松参数服从参数为（α，β）的伽玛分布，已知记录了个体保单在n年内的经验索赔次数，则Bühlmann信度模型的信度因子为（）。

（单选题）A. nα/（nα+1）B. n/（n+β）C. nβ/（nβ+1）D. n/（n+αβ）E. n/（n+α+β）试题答案：C2、设死力函数，则=（）。

（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：D3、计算v x，v x+1和v x+2时，将出现（）个不同的u x。

（单选题）A. 12B. 13C. 14D. 15E. 16试题答案：D4、在关于硬币上抛例子中，我们仍取先验均值是1/2。

现把此硬币上抛10次，得到7次正面。

对于较少的上抛次数，我们认为对先验观点的置信度是对试验结果的置信度的两倍。

按照已经得到的试验结果，T的修正“期望值”（即后验均值）是（）。

（单选题）A. 0.5661B. 0.5663C. 0.5665D. 0.5667E. 0.5669试题答案：D5、某一群体在出生时男女人数相等，且男性的死亡力为μm（x）＝0.09（x≥0），女性的死亡力为μf（x）=0.07（x≥0），则这个人群50岁的死亡概率q50=（）。

（单选题）A. 0.0525B. 0.0653C. 0.0726D. 0.0779E. 0.0842试题答案：C6、考虑下述人寿保单：若被保险人在一年内因意外事故死亡，则赔偿5万元；而因非意外事故死亡，则赔偿2.5万元。

设该人群内因意外事故及非意外事故的死亡率分别为0.0005及0.002，即：P{I=1，B=5}=0.0005P{I=1，B=2.5}=0.002其中记X为每个被保险人的实际索赔金额，则E（X）+ （单选题）A. 0.0324B. 0.0474C. 0.1278D. 0.1653E. 0.1728试题答案：D7、某保险公司承保的某风险组合在单位时间内期望的索赔金额是60个单位元，初始盈余为180元。

负二项过程下负风险模型的破产概率

ｌ模型简介
设（Ｆ，）一完备概率空间，以下所遇随Ｑ，Ｐ为机变量和随机过程均为该空间上的．依据保险公司理赔方式的不同，风险模型可分为正风险模型和负风险模型２大类．经典负风险模型【定为：ｌＪ
ｐｏｅｓａｄｗｅｄｒｅｔｅｒｉｒｂｂｌｄｔｅＬｎｂｒｅｕｌｒｃｓ，ｎｅｖｎｐｏａｉｔａｕｄｅｇｉｑａｉｉｈｕｉｎｈｙｎｙｔＫｅｒｓｎｇｔｅｒｓ；ｅａｉｅｂｎｍｉｌｒｃｓ；ｒｗｎｍｏｉｎｒｉｒｂｂｌ；ｕｄｅｇｉｅｕｌｙｗｏｄ：ｅａｉｋｎｇｔｉｏａｏｅｓＢｏｔ；ｎｐｏａｉｔＬｖｉｖｐｏｕｉｙｎｂｒｑａｉｎｙｔ
（ｏｌｇｆｔｅｔｓｎｏｕｅｃｎｅＨｕａｒｌｉｅｓｙＣபைடு நூலகம்ａｇｈ１０１ＣｉａＣｌｅＭａｍａｉｄｍｐｔＳｉｃ，ｎｎＮｏｍａＵｎｖｒｉ，ｈｎｓａ０８，ｈｎ）ｅｏｈｃａＣｒｅｔ４
ＡｂｔａｔＴｅｐｐｒｃｎｉｅｓｔｅｎｇｔｅｒｓｄｌｔｇｒｇｔｌｉｄｌｄａｏｏｎｅａｉｅｂｎｍｉｌｓｒｃ：ｈａｅｏｓｄｒｅａｉｋｍｏｅｈａｇｅａｅｃａｍｓｍｏｅｅｓａｃｍｐｕｄｎｇｔｉｏａｈｖｉｗｉｖ
ｉ＝ｌ
仃＞０Ｃ，＞０均为常数，Ｎ（）从参数为（，）ｎ服Ｐ的

双重更新风险模型的破产概率

双重更新风险模型的破产概率
一个公司的盈余过程是由
其中初始盈余u>0，固定费用率c>0，Nt的获得过程如下
这是一个更新过程，其中V1是直到第一次获得的时间，Vn是第n-1次与第n次之间获得的双赢时间，假设V1，V2......，是独立同分布的随机序列，其密度函数为k，而这里声明的X1，X2，......，是来自一个独立同分布的随机变量序列，其密度函数为f，且其自变量区间为0到正无穷，假设这个安全的条件是满足
破产的时间定义为
并且给定初始盈余u，则破产的概率为
假设
()0
η
k tη
,
t
e
=-t
,>
它的作用就是去计算，当密度函数f的表达式形式如下：
其中μ>0
注意根据上述条件可知：
即初始盈余无限大的的时候破产不可能发生
其出发点就是为了得到如下积分方程，根据上述条件可得
()()()()()⎰⎰⎰+∞+∞++-=c u c
u dt t k dxdt x f x ct u t k u 00ψψ
提示：你可以将这个积分方程转化为常微分方程，并找到相应的解决办法。

负二项(2)风险过程的破产概率

（）一２（）＋（）一Ｉ（ｕ— ｘｄｚ３）Ｆ（）
成立，以看到与式（）可２基本保持一致，中离散情况下Ｐ的与连续情况下相对应．其证明我们考虑第一次索赔发生的时间和大小，得
（） ∑ｐＴ一五∑ ３＋ｋ户一（）（ｕ — ）（）
［（一３一１一（）（一２）一２（ｕ一３一１＋ｐ（）（— ）（．（）（）一１一３ｕ）（ｕ）］ｐ３）（）２＝Ｐ∑３户（ｕｕ）
（）２
注这里完全可以与连续情形对应起来，由文献Ｅ３知对于（有方程２）
可以得出与连续情况下的类似结果．
引理１ｆ（，）满足ｋ户
收稿日期：０５０ — ０２０ —８１基金项目：国家自然科学基金（０７０２１５１９）作者简介：立华（９２）女，北任县人，士研究生，柏１８一，河博主要从事随机过程及其应用研究．
（）（＋ ∑ （一Ｘ）０３，—１２， “ 一Ｐｕ＜，２，…）
ｆｌ＝
其中 “取值为非负正整数．３ｕ）一１～（）示不破产概率．令（ “表
１关于（）的递推式
在连续情况下，ｒｎ（）性质：Ｅｌｇ２有ａ
（）一＞（）… ３ｘ１）ｚ≥ ０ｚ（ｚ（）ｚ，，
其中（１一）一０则有．
Ｖｏ。０Ｎ４ｌ４ｇ＿Ａｕｇ．２７００

带干扰的双险种复合二项负风险模型的破产概率

Ｖｌ－３ＮＯ３０２Ｉ．Ｓｐ２１ｅ．０１
ｄｉ１．９９．ｓ．７ — １６２１．．０ｏ：０３６／ｉｎ１２６４．０１３０２ｊｓ６０
带干扰的双险种复合二项负风险模型的破产概率
邓迎春，郑敏衡，白美保
（南师范大学数学与计算机科学学院，湖湖南长沙，１０１４０８）
摘
要：研究了索赔过程为复合二项过程的负风险模型，利用鞅方法和相关的随机过程的知识，以两种不同的方
法得到了该模型的最终破产概率以及Ｌｎｂｒｕｄｅｇ不等式．关键词：负风险；复合二项过程；布朗运动；破产概率
中图分类号：２．Ｏ２１６
文章编号：６２６４（０１３００ — ３１７ — １６２１） — ０３００
第２３卷第３期２１年９月０１
湖南文理学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｎＵｉｅｓｙｏＡｒｓｎｃｎｅＮａｕａＳｉｃｄｔｎｏｒａａｎｖｒｉｆｔａｄＳｉｃ（ｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏＨｕｔｅｅｉ
第ｉ理赔量；｛ｆｔ０是参数为的泊松过程，次 Ⅳ（；１）
它表示在［，】０ｆ内理赔发生的次数；（表示在时ｆ）
．
１模型引入
定义１设ｌｎ和均为非负整数，材，００盯，在完备概率空间，Ｐ上：｛；０，｛ｆＦ，）ｉ｝；

带干扰的复合负二项风险模型的破产概率

动项，出了一个更现实的风险模型，提即带干扰的复合负二项风险模型。本研究考察了它的一些性质，到得了该模型初始资本＞０时的上界和Ｌｎｂｒｕｄｅｇ不等式。
ｌ模型的描述
定义１假设＞０Ｃ＞０｛）Ｙ一１２ … ）一非负整数值随机变量序列，，，Ｎ（，．Ｉ，，为且对于任意ｚ＞，Ｎ（一Ｎ（ｎ）ｎ）服从参数为（。一，）的负二项分布，即
文章编号：６２３６（０００ — １２０１７ — ７７２１）５００ —３
ＴｈｎｋｕｔＰｒｂｂｌｔｎＣｏｐｕｄＮｅａｉｅＢｉｏｉｌＲｉｋＭｏｅｔｒｕｂｔｏｅＢａｒｐｏａｉｉｙｉｍｏｎｇｔｖｎｍａｓｄｌｗｉｈＰｅｔｒａｉｎ
ＣＨＥＮＧｕｉｌｉＺＨＡＮＧ — ｎｇ， —ｅ，ＸｕｐｉＸＵ — ｎｇＹａｐｅ
（ｐｒｍｅｔｏｓｃＣｏｒｅ，ＵＳ，ｉａ，ｈｎｏｇ２１１，ｉａＤｅａｔｎｆＢａｉｕｓｓＳＴＴａ ’ ｎＳａｄｎ７０９Ｃｈｎ）
ｔｅｇｎｒｌｅｐｅｓｏｎｈｐｅｏｎｆｔｅｆｎｌａｋｕｔｐｏａｉｔｏｈｅｍｏｅｒｏｙｕｅｏｈｅｅａｘｒｓｉｎａｄｔｅｕｐｒｂｕｄｏｈｉａｎｒｐｒｂｂｌｙｆｒｔｅｎｗｄｌｗｅｅｇｔｂｓｆｂｉ

双负二项风险模型的破产概率

文献标识码：Ａ中圈分类号：２１３Ｏ１．
１引言
近年来，于离散时间风险模型，们讨论最多的是复合二项风险模ｍ这类模型中的理赔次数的均关人ｒ ¨，值大于方差．当保单组合的理赔次数的方差大于其均值时，们进一步讨论了复合负二项风险模型［．在人２但】这类复合负二项风险模型中，险公司按照单位时间常数速率取得保单（保假定每张保单保费相等）但在实际，
３Ｉ））Ｊ（为时间段［，内保单总数，ｆ０］服从参数为（Ｐ的负二项分布点，ＰＭ（＝ｋ＝ｃ＋ — ，）即（））：Ｉｌ
ｐ＂Ｉｑ
．
４（，，）｛，）１．５（是保险公司在时刻１的盈余资本．））１，
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第２第４期４卷
２００７年８月
华
东
交
通
大
学
学
报
Ｖ０．４Ｎｏ。１２４
ＪｕｎｌｆａｔＣｉａＪｏｏｇＵｉｅｓｙｏｒａｓｈｎｉｔｎｎｖｒｉｏＥａｔ
Ａｕ，０７ｇ．２０
１）索赔额序列｛，＝１２３ｉ，， …… ｝是取值于（， ∞）０＋的独立同分布的随机变量序列，布函数为Ｆ分
（）＝Ｅ，＝Ｖｒ．Ｙ，ＹａＹ
一＾一Ｉ
２（，）Ｎ１为时间段［，内索赔次数，１）０］服从参数为（的负二项分布，Ｐ Ⅳ ））：Ｉｌ，）即（（＝ｋ＝ｃ＋— Ｐｑ．

双险种复合二项风险模型的破产概率

摘要：运用鞅方法，讨论了受资金利率扣通货膨胀率影响的广义双险种复合二项风险模型的破产概率，得出了一般公式，并证明了其满足Ｌｎｂｒ等式．ｕｄｅｇ不关键词：鞅；资金利率；通货膨胀率；破产概率中图分类号：０１．Ｆ２．２１９：２４７文献标识码：Ａ经典风险理论主要研究保险事务中的随机风险模型在有限时间内破产概率和破产赤字分布，最终破产概率及上界等问．随机风险模型按时间可分为连续时间模型和离散时间模型，研究较多的是连续时间模型，且大都集中于复合Ｐｉｏ过程的风险模型，文献【研究了带干扰的复合Ｐｉｏ模型的破产概率，ｏｓｎｓ２］ｏｓｓｎ破产前瞬间盈余和破产赤字的联合分布，并证明了贴现价格所满足的更新类型的积分微分方程及其卷积式的解．离散时间经典风险模型是复合二项风险模型１１文献［探讨了完全离散的经典风险模型下的破产概３．－５３］
在文献【的基础上考虑了资金利率及通货膨胀率的影响，并且保单以Ｐｉｏ５】ｏｓｎ分布流到达，运用鞅分析方ｓ法得出推广后的双险种复合二项风险模型的破产概率的一般公式，并证明了其满足Ｌｎｂｒ不等式．ｕｄｅｇ
１模型的定义与实际背景
定义在给定的概率空间（，，）ＱＦＰ上，给定：１取值于【＋０的独立同分布随机变量江，｝（）０ｏ，）（，】 ’
若（，０，（， ≥），｝，｝间此互立，，，）１ｌ，ｎ０，０，啦之彼相独令）ｚ）
Ｎｌｎ（）Ｎ，）
（＝Ｏｉ－＋ｌ）ｃ（一∑ ｘ０一∑ ，，ｕ＋一，（＋２ｎ１）），２）１， ’ （２

一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性

Ｋｅｏｄ：ｒｃｉｎｌｉｅｅｔｌｑａｉ；ｏｄｒａｅｒｂｅｆｅ＿ｏｎｅｒｍ；ｘｓｎｅａｄｕｉｅｅｓｆｙｗｒｓｆｔａｄｆｒｎａｅｕｔｎｂｕａｙｖｌｏｌｍ；ｘｄｐｉｔｏｅｅｉｅｃｑｎｓｏａｏｉｏｎｕｐｉｔｈｔｎｎｕ
（１Ｉｔ）ｆｔ）ＬｘＹ，Ｈ）Ｉ（ｘ－（ＹｌＩｌ对任意的ｆ，，ｌ－Ｉ－＜
ｔ０１，， ∈Ｘ．Ｅ【，】
甚ｆ（）
（－）ｔｓ
）ｓｄ，
其中ａ＞０，厂（为ｇｍ・）ａｍａ函数．定义２】连续函数：，＋ｏ）Ｒ的仅阶［（０ｏＲｅｎｉｍａｎ—Ｌｏｖｌｉｉｅ分数阶导数为：ｕｌ
利用Ｂｎｃａａｈ不动点定令ｓ（ｏ＝理，ｕＩｆ）ｐＩ，ｌＩ
ｔｆ．１Ｅ０１
，
设＝ｃｌｌ，，其中，满足ｒ ∈ ：ｌ．ｌ）ｘ
其中Ｎ为大于或等于。的最小整数．ｃ
引理２【
若仅０，Ｕ（，）ＬＯ１＞Ｅｃｏ１ｎ（，），
ＺＨＡＮＧｕｚｅ－ＺＨＡＮＧｉ — ｉｇ，Ｆ－ｈｎ．．Ｊｎｌｎ
（．ｏｌｇｆｃｎｅＣｉａｉｅｓｙｏＭｉｉｇＴｃｎｌｙＸｚｏ２０８Ｃｉａ１ＣｌｅＳｉｃ，ｈｎｖｒｉｆｎｎ＆ｅｈｏｏ，ｕｈｕ２１０，ｈｎ；ｅｏｅＵｎｔｇ
（２Ｈ）存在函数（，，， ∈ ［１Ｒ）使得Ｉ（０】Ｉｔｆ，ｘＩ（，ｆ）［１Ｘ，行）ｆ（ ∈０］为文的方，：ｌ），，ｘ便记

索赔次数为混合分布的破产概率的研究

作者简介:董秀红(1976-),女,山东人,江西财经大学统计专业03级研究生。

索赔次数为混合分布的破产概率的研究董秀红(江西财经大学统计学院,江西南昌　330013)摘要:非寿险精算中,破产概率模型中的理赔总额一般假定服从复合泊松分布,即保单持有人每年向保险公司的索赔次数的分布假定服从参数为的泊松分布。

但在复杂的实际情况当中,同一类保单不可避免地存在某种程度的非同质性,因此我们需先根据同一类保单中的非同质性,确定索赔次数模型中的参数的分布规律,然后再完整的描述保单组合的索赔次数模型。

从这一角度出发,对索赔次数为混合分布时寿险公司的破产概率作了研究,并得出了一些相应的结论。

关键词:复合泊松分布;安全系数;破产概率中图分类号:F840 文献标识码:A 文章编号:167225557(2005)0120055203一、引言在非寿险精算中,保单持有人每年向保险公司索赔次数的分布一般假设服从参数为λ泊松分布F (λ),因此理赔总额S =6Nn =0C i 的分布服从参数为λ>0的复合泊松分布,即满足:(1)随机变量N ,C 1,C 2,L 相互独立的;(2)C 1,C 2,L 具有相同分布,可以记为C;(3)N 服从泊松分布,参数为λ>0。

那么保险公司在t 时刻的盈余过程为U (t )=u +P (t )-S (t )其中u 为初始盈余;P (t )为(0,t )内累计保费收入;一般表为时间t 的线性函数P (t )=ct ,c 为单位时间内的保费收入;S (t )为(0,t )内索赔总额,是一参数为λ>0的复合泊松过程。

令X (t )=ct -S (t )称为获利过程或风险过程,则U (t )=u +X (t ) X (0)=0为了保证公司的稳定经营,通常假设E[X (t )]>0,也即E[X (t )]=E[ct -S (t )]=ct -λp 1t =(c -λp 1)t >0只要c -λp 1>0。

双复合二项风险模型的破产概率

经典风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型，而随机风险模型依时间连续性的不同可分为连续时间模型和离散时间模型。随机风险模型中的连续时间模型已有许多文献进行了研究 ¨ ｑ，而对离散时间模型的研究相对较少，本文在文献［－】４７的基础上，研究了一类双险种的复合二项风险模型，把保费到达过程推广到与时间相关的复合二项过程，由此得到了最终破产概率的一般公式和上界估计。
关键词：复合二项风险模型；破产概率；母函数中图分类号：２４Ｆ２．７文献标志码：Ａ文章编号：６３９３（０９０－０８０１７ — ８３２０）３０１－４－
ＲｕｎＰｏａｉｉｏｕｌｐ —ｎｓｒｎｅＣｏｐｕｄＢｉｏａｓｏｅｉｒｂｂｌｙｆｒａＤｏｂｅＴｙｅＩｕａｃｍｏｎｎｍｉｌＲｉｋＭｄｌｔ
第２卷第３３期
２０年５０９月
湖
南
工
业
大
学
学
报
Ｖｏ－３ＮＯ３ｌ．２
ＪｕｎｌｆｎｎＵｎｖｒｉｆｃｎｌｇｏｒａｏＨｕａｉｅｓｔｏｈｏｏｙｙＴｅ
Ｍａ２０ｙ０９
双复合二项风险模型的破产概率
在此模型中，只在离散时刻ｎ进行最多一次收取
保费，即在连续时间段（一，】，１ｎ内收取的保费视为在时ｌ刻ｎ进行。且保险公司在时刻ｎ进行收取保费的次数为叩，有二点分布：

双负二项风险模型的破产概率

根据这一情况，讨论了保费收取的次数为负二项随机序列的复合负二项模型时的破产概率．
１建立模型
考虑保费收取次数服从负二项分布的情形，出以下假设：给
（）在时间［，］１０凡内收取的保费次数｛凡：Ｍ（）凡≥０服从参数为（，）｝ｎｐ的负二项分布，Ｍ（）＝０且Ｏ．（）在时间［，］事故发生的次数为Ｎ（）服从参数为（Ｐ）的负二项分布，０２０凡凡，凡，Ｎ（）＝０在时间［，．０
．ห้องสมุดไป่ตู้
ｍ
ｍ－ｌ
ｌｍ，
ｎｉｌ－ｎｉ＋
Ｅ‘ ＝∑Ｅ‘ Ｐ＝ｚ … ＝ｍｅ军ｅ（军，凡）＝∑ （（）～（，＝ｍ，ｆＰｎ＝ｚ）凡）
．
ｍ
ｎｉｌ＋
ｌｍ，
ｎｉｌ—ｎｉ＋
从而可知 ∑ 与∑ ｚ分是同布的，也即Ｍｎ一（与Ｍｎ一ｉ同（）Ｍｎ）（川ｎ分布．）
ｌ７
一
对ｎ０＜ｎ＜… ＜ｎ，。随机变量Ｍ（ｎ）Ｍ（ｎ） …，ｎ一一）ｎ一。，ｎ一，Ｍ（。是相互独立的．也即（。＿ｎ）（ｏ，ｎ）一（ｉ，，（（）是相互独立的．ｎ）（２ｎ） … ｎ）一ｎ故对一切ｎ≥０｛（）ｎ≥０是具有平稳独立增量．，ｎ：｝。囊
．
记＝ｉｆ凡Ｕ凡ｎ｛：（）＜０表示破产发生时刻，｝则（）＝ＰＴ＜∞｝ｕ｛为破产发生的概率，它是初始资

具有投资收益的多险种复合负二项风险模型的破产概率

ＷＥＩＪｉｎｇ，ＧＥＳｈｉ－ｇａｎｇ，ＣＡＮＧＤｉｎｇ —ｂａｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓ，ＮｏｔｒｈＣｈｉｎａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙａｎｉｆａｏ，１０１６０１，Ｃｈｉｎａ）
ｍｉｕｍｓａｎｄｃｌａｉｍｓｉｎｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｗｈｅｎｔｈｅｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｉｎｃｏｍｅｉｓｃｅｔｒａｉｎ，ｔｈｅｉｎｓｕｒａｎｃｅｃｏｍｐａｎｙｃａｎｒｅｄｕｃｅｔｈｅｕｉｒｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｂｙｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｔｏａｖｏｉｄｉｒｓｋｓ．
ｐｒｏｃｅｓｓ，ｉｔｏｂｔａｉｎｓｔｈｅｕｌｔｉｍａｔｅｒｕｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄｔｈｅＬｕｎｄｂｅｒｇｉｎｅｑｕｌｉａｔｙｆｏｒｍｕｌａｏｆｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｆｏｒｕｉｒｎ
Ｖｏ１．１４Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．

关于复合二项模型导致破产的索赔额分布

为ｇ（＝（一１（ ∈Ｎ＋，的累积分布函。）））它数为Ｇ（。）＝１一Ｇ（。。）我们假设尼０（）＝ｇ０（）＝
ｇ（）＝０。０。
令代表破产时间，即ｆｎ｛ｉｆｔ∈Ｎ＋Ｕｔ，（）＜０｝
）［（一）的唯一正解，并且罾ｐ＝／１］（）
∑田＿ｇ）为ｇ）的矩母函数，（＝。（ｐ（ｂ） ∑二 ‘ ／ ‘ ，Ｎ为个率。ｇ）∑ｉ）ｐ（＋＝（ ∈ ＋一概Ｏｐ
函数。程（）可以看作经典连续时间风险模型的方２
）＝
＝
（８）
）
２瑕疵更新方程的解
令Ｈ（）＝１一）－３独立随机变量的累Ｈ（为－￣ＪＪ积分布函数，概率函数定义为ｈ）＝ｂ（＋１，其（。） ∈Ｎ。定义与之相关的带有参数１（）的离散／１＋
【， ∞ 如果对于所有的ｔＮ＋Ｕｔ ∈ ，（）≥ ０
１．索赔间隔时间｛ｎ≥ １Ｔ，｝是一列独立同分布（．．）ｉｉｄ的非负随机变量，具有共同的概率函数且
尼）＝（）一， ∈ Ｎ＋（１一
则称Ｉ（）Ｉ为破产时刻的赤字，一（ｔ在（）Ｕ（）
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第６卷第４期
２０年１月０７２
广东轻工职业技术学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＧＵＡＮＧＤ０ＮＧＮＤＵＳＩＴＲＹＴＥＣＨＮＩＣＡＬＣＯＬＬＥＧＥ

随机投资收益率下双二项风险模型的破产概率

第ｌｌ卷第２期
２０１３年４月
红河学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｏｎｇｈｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．１１Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２０１３
随机投资收益率下双二项风险模型的破产概率
赵金娥，曾
黎：随机投资收益率下双二项风险模型的破产概率
定理１：在风险模型｛己，（）， ” ＝１２・・）下，最终破产概、Ｐ ” 时刻的盈利．为保证保险公司的稳定经营，通常要求率满足ｖ／（ “ Ｊ呵‘ 【）】＞０，即肝＋哪＞／ａｐ２，由此定义相对安全负荷系数０：— Ｐｒ＋ｅ其中尺为调节系数，特别地（ｚ・）ｅ ” ．ｐｌ１＞０证明对任意的玎 ≥１和０＞０，有ｐ２Ｅ［ｅ一 ‘ 】＝Ｅ ’ ＜，ｌ】Ｐｒ｛ｒ＜）＋研ｅ一 ’ ＞ｎ］Ｐｒ（Ｈ｝（３）定义２：记Ｔ＝ｉｎｆ｛．＝１，２， …，ｕ）＜０，表示保险公司破由）的定义，上式左端产的时刻，则在初始资本为Ｕ的条件下，定义保险公司
Ｐｒ｛Ｍ）＝ｋ）＝
（４）
，
Ｉｌｌ－ｋ，Ｐｒ｛Ｎ（ｎ）＝ｋ｝＝ｐｋ２ｇｎ２一，
其中＝１一Ａ，ｇ ’ ＝１一ｐ２；
），ｎ＝０，１２一｝，｛ Ⅳ （），ｎ＝０，１，２， …｝ ’ ｛，＿，＝Ｉ，２， …｝，

带干扰的双负二项风险模型的破产概率

作者：刘伟吴黎军
作者机构：新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046
出版物刊名：乌鲁木齐职业大学学报
页码： 59-63页
主题词：负二项分布风险模型破产概率调节系数干扰
摘要：本文将经典的复合Poisson风险模型作为一般的推广，假设保单到达次数和理赔发生次数均服从负二项分布，并考虑随机干扰对盈余过程的影响，建立带干扰的双复合负二项风险模型；对此模型证明了调节系数的存在性，并利用复合负二项分布与复合Poisson分布的关系，得到了最终破产概率的一般表达式和破产概率的上限。

改进后双复合负二项分布的破产概率

改进后双复合负二项分布的破产概率
刘琪;黎锁平
【期刊名称】《甘肃科学学报》
【年(卷),期】2008(20)2
【摘要】在考虑投资因素以及通货膨胀等随机因素的影响下,讨论了保费收入及理赔额均服从复合负二项分布的风险模型,得到了该模型最终破产概率的Lundberg 不等式以及一般表达式.
【总页数】4页(P142-145)
【作者】刘琪;黎锁平
【作者单位】兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050;兰州理工大学,理学院,甘肃,兰州,730050
【正文语种】中文
【中图分类】O211.5
【相关文献】
1.一类改进后的双险种风险模型的破产概率 [J], 陈飞跃;徐沈新
2.改进后的复合Poisson－Geometric风险模型的破产概率 [J], 韩建勤;乔克林
3.一类双险种的广义复合双Poisson风险模型下的破产概率 [J], 陈新美;李占光
4.带马尔科夫利率的双险种复合双二项\r离散风险模型破产概率研究 [J], 王素素;周绍伟
5.索赔次数服从泊松负二项分布的风险模型的破产概率 [J], 牛银菊;马崇武
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投资收益下的两类双负二项风险模型的破产概率

投资收益下的两类双负二项风险模型的破产概率刘东海;彭丹;刘再明【摘要】在单位时间内保费收取次数和理赔次数均服从负二项分布的基础上,讨论了投资收益率为常数和投资收益率为一随机序列的两类双负二项风险模型.运用鞅论的方法给出了关于它们破产概率的一个定理,并推导出了相应风险模型的破产概率的上界,为保险公司的运营提供了决策依据.【期刊名称】《华东交通大学学报》【年(卷),期】2008(025)004【总页数】3页(P94-96)【关键词】风险模型;破产概率;投资收益【作者】刘东海;彭丹;刘再明【作者单位】湖南科技大学,数学与计算科学学院,湖南,湘潭,411201;湖南科技大学,数学与计算科学学院,湖南,湘潭,411201;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410075【正文语种】中文【中图分类】O211.62保险公司在经营运作中，一方面，它拥有庞大的资金及各种责任准备金，这形成了巨额的可运用资金.另一方面，为保护有关各方特别是被保险人的利益，必须合理有效地进行资金运用.考虑投资因素的风险模型具有很大的实用价值.文献［1］中考虑了保费收取次数和索赔到达服从负二项分布的双负二项风险模型，未考虑保险公司的投资收入.但在实际情况中，保险公司会用一部分资金进行投资.本文从实际情况出发，给出了保险公司在每阶段进行投资，投资收益率为常数和投资收益率为一随机序列的两类双负二项风险模型.得出了上述两类风险模型的破产概率表达式.在文献［1］中给出的双负二项模型为X(n)=u+S(n)，S(n)=cM(n)－Z(n).本文考虑的含投资因素的双负二项风险模型如下:其中为投资收益率为常数i的情形，X2(n)为投资收益率为随机序列的情形.设u＞0，c＞0，i＞0，u为保险公司初始资本，c为每次保费收入.以下随机变量都定义在完备概率空间(Ω，F，P)上.(1)索赔额序列{Y1，i=1，2，3…}是取值于(0，+∞)的独立同分布随机变量序列，只涉及分布Yi时用Y表示.假定E［Y］=μ，Var［Y］=δ2.(2)M(n)为到时刻n为止的保单到达数，服从参数(n，p)的负二项分布，即(3)N(n)为到时刻n为止的索赔总次数.服从参数(n)的负二项分布，即(4)f为用于投资的基金，它是根据初始资本金的大小，单位时间内的保费收入及预测的赔付额大小而设定的.(5)i为预期投资收益率;In为第n次的投资收益率.(6){In，n=1，2，3…}为取值在(－∞，+∞)上的独立同分布随机序列，记为I.假定(7){Xj(n)，n=1，2，3…}(j=1，2)为期末保险公司的盈余假定{Yi，i=1，2，3…}，{M(n)，n=1，2，3…}，{N(n)，n=1，2，3…}，{In，n=1，2，3…}相互独立.为保证公司的稳定经营，假定单位时间内平均收益大于平均理赔额，即对应由此定义安全系数分别为X1(n)，X2(n)的安全系数.定义破产时刻Tj=inf{n≥1，Xj(n)＜0}.(j=1，2).最终破产概率Ψj(u)=P{Tj＜∞|Xj(0)=u}(j=1，2).不失一般性，假定存在r＞0，MY(r)=E［erY］，矩母函数存在区间为(－∞，Z).定理2.1 关于未知量r的方程它们都有唯一的正解.证明 (2.1)，(2.2)的证明类似，只对(2.2)给出证明.令，显然g(0)=1，又因为可知对充分小的Δr∈(0，Z)，有g(r)＜1.当r→Z时，g(r)→∞，故必存在r*∈(0，Z)，使得g(r*)=1.易知∀ε＞0，当r∈(r*－ε，r*)时，g(r)＜1;当r∈(r*，r*+ε)时，g(r)＞1故g(r)=1有唯一正解.定义2.2 称方程(2.1)，(2.2)的唯一正解R1，R2为相应的双负二项风险模型{Xj(n)，n=1，2，3…}(j =1，2)的调节系数.定理2.3 对u＞0，R1，R2为前述定义的调节系数，则有(1)当时时.特别地Ψ1(u)≤e－R1u.(2)当时.特别地Ψ2(u)≤e－R2u.证明 (1)，(2)的证明情况类似，只证(2).对n≥1和r＞0，我们考察因为X2(n)=u+cM(n)+f·r(n)－Z(n)故(2.3)式左端可写为对于(2.3)式右端第一项中，X2(n)可写为又对于给定T2，M(n)－M(T2)，Z(n)－Z(T2)，Ik(k=T2，…n)与X2(T2)相互独立. 故E［e－rX2(n)|T2＜n］·P(T2＜n)上式中选择r=R2，则(2.3)式可变为令n→∞，则上式右端第一项变为E［e－R2X2(T2)|T2＜∞］·P(T2＜∞)若能证明当n→∞时，右端第二项为零，则定理得证，以下证明这点.设，则Var［X2(n)］=nβ2.由α＞0，考察Δ=u+nα－βn2/3，只要n充分大，它就是正的.利用X2(n)和Δ的大小关系，将(2.4)式右端第二项拆为两项有由契比雪夫不等式，P(0＜X2(n)≤Δ)≤Var［X2(n)］/(β2n4/3)=n－1/3，则当n→∞时，(2.5)右端将为零.故在(2.4)式中，令n→∞，有e－R2u=E［e－R2X2(T2)|T2＜∞］即，又因为X2(T2)＜0，故E［e－R2X2(T2)|T2＜∞］＞1.可得Ψ2(u)≤e－R2u，定理得证.【相关文献】［1］彭丹，刘东海，刘再明.双负二项风险模型的破产概率［J］.华东交通大学学报，2007，24(4):141－143.［2］龚日朝.广义复合二项风险模型下的生存概率［J］.湘潭大学自然科学学报，2001，22(2):17－21.［3］高明美，赵明清，王建新.双二项风险模型下的破产概率［J］.经济数学，2004，21(1):6－9. ［4］刘东海，刘再明.双险种二项风险模型的破产概率［J］.华东交通大学学报2005，22(5):162－164.［5］孙立娟，顾岚.离散时间保险风险模型的破产问题［J］.应用概率统计2002，18(3):293－299.。

多重延迟复合更新风险模型中的破产概率及局部破产概率的开题报告

多重延迟复合更新风险模型中的破产概率及局部破产概率的开题报告研究背景和意义：破产风险是金融机构管理和监管的重要方面。

多重延迟复合更新风险模型（MDCEV）是一个用于评估金融机构破产概率的模型。

MDCEV模型考虑了机构资产和负债的毁灭性风险，以及它们与金融市场变化的关系。

此外，该模型还考虑了市场变化对机构经营策略的影响，以及机构资产和负债期限不匹配的影响。

因此，该模型在评估破产风险方面更加全面和准确。

本研究将通过MDCEV模型分析机构的破产概率和局部破产概率，以提高金融机构风险管理和监管的能力。

研究目标和主要内容：本研究旨在探索MDCEV模型在评估金融机构破产风险方面的应用。

具体包括以下几个方面：1. 深入理解MDCEV模型原理及其在评估破产风险方面的优势；2. 分析破产概率和局部破产概率这两个概念的含义及其在风险管理中的作用；3. 通过对一家金融机构进行实证研究，探讨MDCEV模型在评估破产概率和局部破产概率方面的应用，并演示如何使用该模型制定机构管理和监管策略。

研究方法和步骤：本研究将采用如下步骤来达到研究目标：1. 收集和整理相关文献，深入理解MDCEV模型和破产概率、局部破产概率的概念；2. 对MDCEV模型进行简化和解释，以便更容易理解和使用；3. 通过案例研究来演示如何使用MDCEV模型评估破产概率和局部破产概率，并制定相应的管理和监管策略；4. 分析MDCEV模型在评估破产风险方面的优缺点。

预期结果和意义：本研究将为金融机构管理和监管提供有价值的帮助。

一方面，通过MDCEV模型，可以更全面、准确地评估机构的破产概率，从而更好地防范破产风险；另一方面，局部破产概率的概念有助于预测机构的局部风险，如何在这一部分的风险得到有效控制将对机构的整体稳定性和健康发展产生积极影响。

因此，本研究的结果将为金融机构管理人员和监管机构提供重要的参考依据，帮助他们更好地管理和监管金融机构，提高其稳定性和健康发展水平。

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ＡｂｔａｔＢｙｃｓｄｒｎｇｔａｔｒｆｉｅｔｎｎｄｉｌｔｏｔｉｋｍｏｌｉｓｕｉｄｉｉｈｔｓｒｃ：ｏｎｉｅｉｈｅｆｃｏｓｏｎｖｓｍｅｔａｎｆａｉｎ，ｈｅｒｓｄｅｓｔｄｅｎｗｈｃｈｅｐｅｕａｏｎｔｎｈｌｉａｒｍｉｍｍｕｓａｄｔｅｃａｍｍｏｕｓｏｅｈｏｐｎｄｎｅａｉｅｂｎｎｔｂｙｔｅｃｍｏｕｇｔｖｉｏｍｉｌｄｉｔｉｔｏ．Ｔｈｅｆｒａｓｒｂｕｉｎｏｍｕｌａ
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ｐ：）（一）（足Ｎ一
（一，）的负二项分布即声
收稿日期：０７０ — ９２０－５０
一，，卜（一ｒ）．Ｏ，Ｅ）（一１… ２ＮＮ
定义１设｛｝。Ｎ（）为一非负整数值随机变量序列，且对于任意＞，ｎ）Ｎ（一Ｎ（）Ｎ服从参数为
刘琪，锁平黎
（州理工大学理学院，肃兰州７０５）兰甘３００
摘
要：在考虑投资因素以及通货膨胀等随机因素的影响下，论了保费收入及理赔额均服从复讨
合负二项分布的风险模型，到了该模型最终破产概率的Ｌｎｂｒ得ｕｄｅｇ不等式以及一般表达式．
题Ｌ］对随机风险模型，究较多的是连续时间模型，大都集中于复合ｐｉｓｎ过程的风险模型，１．研且ｏｓｏ而对离散时间模型则研究的较少．而作为连续时间的离散化，散时间风险模型意义直观，实践中更易于应用．离在关于离散时间风险模型，讨论最多的是复合二项风险模型［，３二项风险模型的特点是其理赔次数的均值大于其］方差，特别适用于同质性保单组合的理赔次数模型．当保单组合的理赔次数观察分布的样本方差大于其均而
Ｋｅｒｓｒｉｒｂｂｌｙｒｓｄｌａｊｓｍｅｔｃｅｆｃｅｔｙｗｏｄ：ｕｎｐｏａｉｔ；ｉｋｍｏｅ；ｄｕｔｎｏｆｉｉｎｉ
经典风险理论，主要处理保险事务中的随机风险模型，讨论有限时间内的生存概率以及最终破产概率问
在某些场合更加适用．在此首先考察了它的一些性质，后得到了最终破产概率的Ｌｎｂｒ然ｕｄｅｇ不等式以及一
般表达式．
１模型的建立
在讨论复合负二项风险模型之前，先来介绍负二项分布的概念．伯努利试验中每次成功的概率为Ｐ设，其中０＜Ｐ＜１称伯努利试验列中恰好出现次成功之前失败次数服从参数为（）的负二项分布．里，，这
关键词：破产概率；险模型；节系数风调中图分类号：Ｏ２１５１．文献标识码：Ａ文章编号：０４０６（０８０ —１２０１０ —３６２０）２０４ —４
ＴｈｅＲｕｎＰｒｂｂｌｔｆａｍｐｒｖｄＤｏｂｅＣｏｐｏｎｄｉｏａｉｉｙｏｎＩｏｅｕｌｍｕ
基金项目：育部 “ 晖计划 ”Ｚ０６１６０６；教春（２０—～２０）兰州理工大学优秀中青年教师基金（ＯＬ６．Ｑ２ＯＯ）
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第２０卷
第２期
甘肃科学学报
Ｊｒ１ｏｎｕＳｉｎｅｏｕｎａｆＧａｓｃｅｅｓ
Ｖｏ．０Ｎｏ２１２．
２００８年６月
Ｊｎ２０ｕ．０８
改进后双复合负二项分布的破产概率
值时，显然用复合二项风险模型不再合适［．４文献１３究了离散的复合负二项风险模型，］－研们研究了离散的双复合负二项风险模型，在其保费到达次数与理赔次数的方差都大于均值，同时考虑了随机干扰因素以及将多余的资本用于投资以提高保险公司的偿付能力．一性质使得它这