8-2旋转矢量
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v A sin( t )
A
x A cos(t )
a
v
x
an A
2
a A 2 cos( t )
第8章 简谐运动与简谐波
5
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第8章 简谐运动与简谐波
6
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
-0.5vm
o
-vm
t/s
第8章 简谐运动与简谐波
21
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm
- vm 2
π 6
π 5π or 6 6
v/ (m s )
-1
t=0
o
5π 6
-0.5vm
o
-vm
vm
第8章 简谐运动与简谐波
t/s
22
o
0.04
0.08
第8章 简谐运动与简谐波
14
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 2 3 t 0.667 s π2 3
v
0.08 0.04
0.08 0.04
o
0.04
0.08
12
第8章 简谐运动与简谐波
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
π 3 π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 1.0 s, x, F 可求（1） t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70 10 3 N
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
第8章 简谐运动与简谐波
1
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
x A cos(t )
8-2
旋转矢量
2π (1) 的确定 3
(2) 的确定
x A cos(t )
x/cm
0 -1 -2
1
t/s
x A cos(t 2π / 3) 4π 4π t 3 3 4π 2π x 2 cos( t ) cm 3 3
t=0
2π 3
-2
M
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
9 一质点作简谐运动，其振动方程为 x 0.24 cos( 1 πt 1 π) m 试用旋转矢量法求 2 3 出质点由初始状态运动到 x=-0.12 m， v<0的 状态所经过的最短时间t．
π 解 3 2 t s 3
第8章 简谐运动与简谐波
-1
Δ
o
2 t =1 4π
3
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
11 用余弦函数描述一谐振子的运动， 若其速度-时间关系曲线如图所示，求运 动的初相位． -1 v/ (m s ) 解 x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
旋转矢量
3 一质点作周期为T的简谐运动，质点 由平衡位置正方向运动到最大位移一半处 所需的最短时间为 (A）T/2 （B）T/4 (C)T/8 （D）T/12 A 解 用矢量图法求解 t π / 6
o
A/2 N
x
2π / T
t T / 12
第8章 简谐运动与简谐波
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第8章 简谐运动与简谐波
2
物理学
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8-2
旋转矢量
t 0
A
o
x0
x
x0 A cos
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04
0.08
11
第8章 简谐运动与简谐波
物理学
第五版
8-2
旋转矢量
已知 m 0.01 kg, A 0.08 m, T 4 s
t 1.0 s, x, F t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） 2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
第五版
8-2
旋转矢量
t t
t
A
x
o
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
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8-2
旋转矢量
y
t
O
vm
an
π t 2
vm A
-0.12
o
1 π 3
0.24
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
10 已知某简谐运动的运动曲线如图所 示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒， 求此简谐运动的方程．
x/cm
解 用矢量图法求解 设运动方程为
x A cos(t )
0 -1 -2
1
t/s
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
第五版
8-2
旋转矢量
x
A A2
a
b
t
o
A
v
A
x o A ta A
2
tb
π 3
π3 1 t T T 2π 6
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x/m
o
0.04
0.08
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
法二
t
时刻
t
π3 π3
起始时刻
0.08 0.04
o
x/m
0.08
0.04
π π 2 1 rad s t 0.667 s t 3 2 3
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
8-2
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos( t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1
x2 Acos( t2 )
7
第8章 简谐运动与简谐波
物理学
m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
第8章 简谐运动与简谐波
x/m
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起
v
0.08 0.04
x/m
(t 2 ) (t 1 )
2 1
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
8-2
旋转矢量
2 1
0 同步
π 反相 为其它
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
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旋转矢量
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
A
x A cos(t )
a
v
x
an A
2
a A 2 cos( t )
第8章 简谐运动与简谐波
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旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第8章 简谐运动与简谐波
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旋转矢量
-0.5vm
o
-vm
t/s
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旋转矢量
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm
- vm 2
π 6
π 5π or 6 6
v/ (m s )
-1
t=0
o
5π 6
-0.5vm
o
-vm
vm
第8章 简谐运动与简谐波
t/s
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o
0.04
0.08
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旋转矢量
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 2 3 t 0.667 s π2 3
v
0.08 0.04
0.08 0.04
o
0.04
0.08
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旋转矢量
π 3 π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 1.0 s, x, F 可求（1） t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70 10 3 N
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旋转矢量
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
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旋转矢量
x A cos(t )
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旋转矢量
2π (1) 的确定 3
(2) 的确定
x A cos(t )
x/cm
0 -1 -2
1
t/s
x A cos(t 2π / 3) 4π 4π t 3 3 4π 2π x 2 cos( t ) cm 3 3
t=0
2π 3
-2
M
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旋转矢量
9 一质点作简谐运动，其振动方程为 x 0.24 cos( 1 πt 1 π) m 试用旋转矢量法求 2 3 出质点由初始状态运动到 x=-0.12 m， v<0的 状态所经过的最短时间t．
π 解 3 2 t s 3
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-1
Δ
o
2 t =1 4π
3
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旋转矢量
11 用余弦函数描述一谐振子的运动， 若其速度-时间关系曲线如图所示，求运 动的初相位． -1 v/ (m s ) 解 x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
旋转矢量
3 一质点作周期为T的简谐运动，质点 由平衡位置正方向运动到最大位移一半处 所需的最短时间为 (A）T/2 （B）T/4 (C)T/8 （D）T/12 A 解 用矢量图法求解 t π / 6
o
A/2 N
x
2π / T
t T / 12
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以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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旋转矢量
t 0
A
o
x0
x
x0 A cos
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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v
0.08 0.04
o
x/m
0.04
0.08
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旋转矢量
已知 m 0.01 kg, A 0.08 m, T 4 s
t 1.0 s, x, F t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） 2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
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旋转矢量
t t
t
A
x
o
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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旋转矢量
y
t
O
vm
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π t 2
vm A
-0.12
o
1 π 3
0.24
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旋转矢量
10 已知某简谐运动的运动曲线如图所 示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒， 求此简谐运动的方程．
x/cm
解 用矢量图法求解 设运动方程为
x A cos(t )
0 -1 -2
1
t/s
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旋转矢量
x
A A2
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b
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A
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x o A ta A
2
tb
π 3
π3 1 t T T 2π 6
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旋转矢量
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x/m
o
0.04
0.08
第8章 简谐运动与简谐波
15
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旋转矢量
法二
t
时刻
t
π3 π3
起始时刻
0.08 0.04
o
x/m
0.08
0.04
π π 2 1 rad s t 0.667 s t 3 2 3
第8章 简谐运动与简谐波
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讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos( t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1
x2 Acos( t2 )
7
第8章 简谐运动与简谐波
物理学
m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
第8章 简谐运动与简谐波
x/m
13
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旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起
v
0.08 0.04
x/m
(t 2 ) (t 1 )
2 1
第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
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旋转矢量
2 1
0 同步
π 反相 为其它
超前
落后
x
x
x
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第8章 简谐运动与简谐波
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物理学
第五版
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旋转矢量
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；