信号与系统 陈后金
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信号与系统第一章(陈后金)
系统的分类
连续时间系统 与 离散时间系统 线性系统 与 非线性系统 非时变系统 与 时变系统 因果系统 与 非因果系统 稳定系统 与 不稳定系统
系统 是指由相互作用和依赖的若干事物组成
的、具有特定功能的整体。
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Å ¢ ´ Ð Ï Ô
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[例] 判断下列系统是否为线性系统？（其中 y(0)、 y[0]为系统的初始状态，x(t) 、x[k]为系统 的输入激励，y(t)、 y[k]为系统的输出响应）。
(1) y(t ) 5 y(0) 4 x(t )
(2) y(t ) 2 y(0) 6 x (t )
2
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
线性系统：具有线性特性的系统。 线性特性 包括 均匀特性 与 叠加特性 。 1) 均匀特性：
若x1 (t ) y1 (t )
则Kx1 (t ) Ky1 (t )
2) 叠加特性：
若x1 (t ) y1 (t ), x2 (t ) y2 (t )
则x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
二、系统的分类
2．线性系统 与 非线性系统
含有初始状态线性系统的 y1[ k ] y1[0] x2 [ k ] T y2 [k ] y 2 [0]
x1[ k ] x2 [ k ] T a b y [0] a y1[ k ] b y 2 [ k ] 2 y1[0]
di(t ) L Ri(t ) x(t ) dt
输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程 状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组
信号与系统第五章(陈后金)1资料
例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为
系统的频率响应由微分方程可得
1 X ( j ) j 3
~ x (t )
A
-T0
0
T0
t
解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y(t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0
A A n0 e jn0t y(t ) 2 Sa Re aT n 1 T 2 a jn0
非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应 若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号 ejt(<t<)的线性组合表示，即
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2π
由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作 用于系统的零状态响应yzs(t)。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域 分析
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
一、连续时间LTI系统的频率响应
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
第 1 页 共 27 页
《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
信号与系统第五章(陈后金)3
Y 2 ( j ) F [ x h ( t ) sin c t ] 1 2j { X h [ j( c )] X h [ j( c )]}
Y S ( j ) Y1 ( j ) Y 2 ( j )
利用希尔伯特变换下边带幅度调制的频谱
X ( j )
A
Y1 ( j )
A/ 2
c
c
Y2 ( j )
m
m
X h ( j )
A/ 2
c
A/ 2
Aj
c
YS ( j )
A
m
m
c
c
四、频分复用
X 1 ( j )
调制系统
cos( c1t )
x1 (t )
0
X 2 ( j )
x 2 (t )
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
信号的频谱分析
x (t )
y (t )
c ( t ) cos c t y ( t ) x ( t ) cos c t
c (t )
幅度调制方块图
Y ( j )
1 2π
1 2
X ( j ) * π [ ( c ) ( c )]
...
例 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(j)， 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j) x(t) H2(j) C 1 1 y(t)
A
B
-100 -80 80 100
ห้องสมุดไป่ตู้
Y S ( j ) Y1 ( j ) Y 2 ( j )
利用希尔伯特变换下边带幅度调制的频谱
X ( j )
A
Y1 ( j )
A/ 2
c
c
Y2 ( j )
m
m
X h ( j )
A/ 2
c
A/ 2
Aj
c
YS ( j )
A
m
m
c
c
四、频分复用
X 1 ( j )
调制系统
cos( c1t )
x1 (t )
0
X 2 ( j )
x 2 (t )
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
信号的频谱分析
x (t )
y (t )
c ( t ) cos c t y ( t ) x ( t ) cos c t
c (t )
幅度调制方块图
Y ( j )
1 2π
1 2
X ( j ) * π [ ( c ) ( c )]
...
例 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(j)， 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j) x(t) H2(j) C 1 1 y(t)
A
B
-100 -80 80 100
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陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
陈后金《信号与系统》第2版笔记和课后习题含考研真题详解(信号的时域分析)【圣才出品】
陈后金《信号与系统》第2版笔记和课后习题含考研真题详解第2章信号的时域分析2.1复习笔记一、连续时间信号的时域描述基本信号：普通信号，奇异信号。
1．典型普通信号（1）指数信号①指数信号的数学表示式为图2-1指数信号②指数信号特点指数信号为单调增或单调减信号，为了表示指数信号随时间单调变化的快慢程度，将|α|的倒数称为指数信号的时间常数，以τ表示，即指数信号对时间的微分和积分仍是指数形式。
（2）虚指数信号和正弦信号①虚指数信号的数学表示式为虚指数信号0j te 是周期为2π／|ω0|的周期信号。
②正弦信号和余弦信号仅在相位上相差π／2，通常统称为正弦信号，表示式为正弦信号也是周期为2π／|ω0|的周期信号。
③虚指数信号与正弦信号关系利用欧拉公式，虚指数信号可以用与其相同周期的正弦信号表示，即正弦信号和余弦信号用相同周期的虚指数信号来表示，即图2-2正弦信号（3）复指数信号的数学表示式为利用欧拉公式展开，可得注意：若σ＜0，复指数信号的实部、虚部为减幅的正弦信号，波形如图2-3（a）、（b）所示。
若σ＞0，其实部、虚部为增幅的正弦信号，波形如图2-3（c）、（d）所示。
若σ＝0，可写成纯虚指数信号图2-3复指数信号的实部和虚部（4）抽样函数①抽样函数的数学表示式为图2-4抽样函数②抽样函数性质：2．奇异信号（1）单位阶跃信号①单位阶跃信号定义单位阶跃信号以符号u（t）表示，其定义为有延时的单位阶跃信号，对应的表示式为图2-5阶跃信号应用阶跃信号与延迟阶跃信号，可以表示任意的矩形信号。
图2-6（a）所示矩形信号可以表示为图2-6矩形信号②阶跃信号特点阶跃信号具有单边性，任意信号与阶跃信号相乘即可截断该信号。
（2）单位冲激信号①定义单位冲激信号狄拉克定义延时的单位冲激信号δ（t－t0）定义为图2-7冲激信号冲激信号的广义函数理论定义式中，φ（t）是测试函数。
②冲激信号的性质a．筛选特性：图2-8冲激信号的筛选特性b．取样特性：c．展缩特性：注意：由展缩特性可得出如下推论。
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
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2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统第二章(陈后金)3
1．信号分解为直流分量与交流分量
连续时间信号
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
x (t)
1 b xDC (t ) a x(t )dt b-a
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
直流
t
交流
离散时间信号
x[k ] xDC [k ] + xAC [k ]
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的时域分析
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算
离散时间信号的时域描述
离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
离散时间信号的基本运算
翻转 (x[k] x[-k] ) 位移 ( x[k] x[kn] ) 内插与抽取 序列相加 序列相乘 差分与求和
1. 翻转
x[k] x[-k]
将 x[k] 以纵轴为中心作180度翻转
x[k] 2 1 -1 0 1 2 3 k
-2 -1 0 1
3 2
x[-k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 x[k] x[kn]
n>0
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位。 x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
原信号x
4倍抽取后信号x1
8倍抽取后信号x1
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
y[k ] x1[k ] + x2[k ] + + xn [k ]
x1[ k ]
1 k 0 -1
信号与系统第五章陈后金2
Yzs (e jΩ ) X (e jΩ )
DTFT {h[k ]}
DTFT{d [k]}
DTFT{h[k ]}
H(ej)一般可表示为幅度与相位的形式
H (e j ) | H (e j ) | e jj( )
幅度响应
相位响应
(magnitude response) (phase response)
( ) dj( ) 群延时 ( group delay )
即在间断点的前后出现了振荡，其振荡 的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右， 且不随滤波器带宽的增加而减小。
结论
1. 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的 相位响应的斜率。
2. 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应 在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的 波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的 通频带宽度成反比。
低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激信号。
五、理想模拟滤波器
2. 理想低通滤波器的冲激响应
分析：
2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t) 作用
时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通 滤波器相位响应的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出，可见理想低 通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个 物理不可实现的系统。
Yzs (e j X (e j
) )
若n阶离散LTI系统的差分方程为
y[k] a1 y[k 1] an1 y [k n 1] an y[k n] b0x[k ] b1x[k 1] bm1x [k m 1] bm x[k m]
则离散系统的频率响应可表示为
H (e j
变，而相位没有失真。
四、线性相位的离散时间LTI系统
信号与系统第六章(陈后金)1
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
(t )
L L
( n) (t )
u(t )
tu(t ) t u (t )
n
L
L
Re(s) 0
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
x1 (t ) L X1 (s) Re(s) 1 x2 (t ) L X 2 (s) Re(s) 2 x1 (t ) * x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
L
Re(s) max( 1 , 2 )
1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 X ( j ) X ( s )
s j
2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。
X ( j) X (s) s j π Kn ( n )
0
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 2 (s )
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
(t )
L L
( n) (t )
u(t )
tu(t ) t u (t )
n
L
L
Re(s) 0
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
x1 (t ) L X1 (s) Re(s) 1 x2 (t ) L X 2 (s) Re(s) 2 x1 (t ) * x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
L
Re(s) max( 1 , 2 )
1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 X ( j ) X ( s )
s j
2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。
X ( j) X (s) s j π Kn ( n )
0
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 2 (s )
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全-课件
时不变系统
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
信号与系统第三章(陈后金)3.
离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k] yzi [k] x[k]* h[k]
✓ 求解齐次差分方程得到零输入响应
✓ 利用信号分解和线性非时变特性可求出 零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
i0
j0
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
n
m
y[k] ai y[k i] bj x[k j]
C2
1 2
解得 C1=1，C2= 2
yzi [k] (1)k 2(2)k k 0
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak2k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，
信号与系统-课件(陈后金)
f2(t) 0.5
0
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
t 0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·f2(t) ·…… ·fn(t)
f1(t) 1
t
-1
1
f (t) f1(t) f1(t) 1
f2(t) 1
t
-1
1
t
-2
2
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
0 t0
t
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t 0 t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义
狄拉克定义式：
(t)=0 , t0
+
(t) dt = 1 -
3) 冲激信号的图形表示
dt
性质：
'(t)dt 0
- t
'( )d (t)
-
f (t) ' (t) f (0) ' (t) - f ' (0) (t)
f (t) '(t)dt - f '(0)
-
'(t) (1)
t 0
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d (t)
dt
t) du(t)
e j0k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e e e e j(0 +n2 )k
j0k j 2nk
j0k
周期性：
若e j0N 1
信号与系统第四章(陈后金)1
-2 1
0
2
t
解:
由
~ (t ) C 2 x Re( Cn e jn0t ) 0
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~(t ) x [(2m 1)π]2 cosn0t 2 m=1
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
0
~(t ) cos(n t )dt x 0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~(t ) ~(t ) x x
~(t ) x
0 T0 / 2 -A
t
2 ~(t ) cos(n t )dt 0 0 T0 / 2 x T0 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ (t ) x X (n0 ) e
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~(t ) ~(t T / 2) x x 0
信号与系统第7章(陈后金)1
Re z
-1
z平面
例：求以下序列的z变换及收敛域。
(1) x[k ] a u[k ]
k
(2)
1 0 k N - 1 x[k ] 0 其它
Im z
解：
(1)
X ( z) a z
k k 0
-k
1 -1 1 - az
|a|
Re z
ROC : z a
(2)
X ( z ) z -k
四、单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
z a x[ k ] X ( ) a
k Z
ROC a Rx
例：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
解：
sin( 0 k )u[k ]
z
sin 0 z -1 1 - 2 z cos 0 z
-1 -2
z 1
对上式应用初值定理，即得
a x[1] limz{X ( z) - x[0]} lim a -1 z z 1 - az 当|a|<1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终 值定理，有 z -1 0 x[] lim z -1) X (z) lim ( -1 z 1 1 - az z1
例：求以下单边周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) x[ k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ] (-1)i x[k - i]
i 0
一般情况：周期为N的单边周期序列xN[k]u[k]可以表示为第一 个周期序列x1[k]及其位移x1[k-lN]的线性组合，即
证：Z{x1[k ] x2 [k ]} Z{ x1[n]x2 [k - n]}
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*连续时间周期信号定义: t ∈ R ,存在非零T,使得
成立,则f(t) 为周期信号. *离散时间周期信号定义: k∈I , 存在非零N,使得
f [k + N ] = f [k ]
成立,则f[k] 为周期信号. 满足上述条件的最小的正 ,正N称为信号的基本周期. 最小的正T, 最小的正 *不满足周期信号定义的信号称为非周期信号. *周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号 周期信号每一周期内信号完全一样故只需研究信号 在一个周期内的状况. 在一个周期内的状况.
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)] (2)y(t)=costf(t) (3)y(t)=4f 2(t) +3f(t) (4)y(t)=2tf(t)
时不变系统 时变系统 时不变系统 时变系统
分析: 判断系统是否为时不变系统,只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时,相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0). 注意:时不变特性只考虑系统的零状态响应 零状态响应,因此在判 零状态响应 断系统的时不变特性时,不涉及系统的初始状态 不涉及系统的初始状态. 不涉及系统的初始状态
系统的分类
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的,具有特定功能的整体.
输入信号 输出信号
信息源
传感 器
发送 设备
信道
接收 设备
传感 器
有用信息
电视广播通信系统框图
输入f(t)
防混迭 滤波器
A/D
数字处 理系统
D/A
平滑滤 波器
输出信号处理系统一系统的描述1. 数学模型
di (t ) L + Ri (t ) = f (t ) dt
f1[k]
∑
y[k]=f1[k]+f2[k]
f2[k]
二,系统的分类
1.连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统: 连续时间系统: 连续时间系统 系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号 离散时间系统: 离散时间系统: 离散时间系统 系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号 连续时间系统的数学模型是微分方程式. 离散时间系统的数学模型是差分方程式.
2. 表示
语音信号: 语音信号:空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号"你好" 语音信号"你好"的波 形
0.3
0.4
静止的单色图象: 亮度随空间位置变化的信号f(x,y).
静止的彩色图象: 三基色红(R),绿(G),蓝(B)随空间位置变化的信号.
I R ( x, y ) I ( x , y ) = I G ( x, y ) I B ( x, y )
4.因果系统与非因果系统
因果系统:当且仅当输入信号激励系统时才产 因果系统: 因果系统 生系统输出响应的系统. 非因果系统:不具有因果特性的系统称为非因 非因果系统: 非因果系统 果系统.
5. 稳定系统与不稳定系统
稳定系统 稳定系统:指有界输入产生有界输出的系统 稳定系统 不稳定系统 不稳定系统:系统输入有界而输出无界 不稳定系统
f (t) 连续系统 y(t) f[k] 离散系统 y[k]
2.线性系统与非线性系统 线性系统 线性系统:具有线性特性的系统.线性特性包括
均匀特性与叠加特性. (1)均匀特性:
若 1(t) → y1(t) f
则 Kf
1
( t ) → Ky
1
(t )
(2)叠加特性:
若 f 1 ( t ) → y 1 ( t ), f 2 ( t ) → y 2 ( t )
E = lim
N →∞
∑
N
N
f [k ]
2
∑
N
N
f [k ]
2
直流信号与周期信号都是功率信号. 注意: 注意: 一个信号,不可能既是能量信号又是功率信号.
系统的描述及其分类
系统的描述
统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统 系统的数学模型 系统的方框图表示 连续时间系统与离散时间系
二,信号的分类
1 确定信号与随机信号
确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号. 随机信号也称为不确定信号,不是时间的确定函数.
确定信号
随机信号的一个样本
t
t
2. 连续信号和离散信号
连续信号: 在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值. 允许在其时间定义域上存在有限个间断点.通常以 f(t)表示. 模拟信号:取值是连续的连续信号. 离散信号: 信号仅在规定的离散时刻有定义.通常以f[k]表示. 数字信号:取值为离散的离散信号.
4 能量信号与功率信号
能量信号: 0<E<∞,P=0. 功率信号: E→∞,0<P<∞. 归一化能量E与归一化功率P的计算 连续信号 离散信号
E = lim
T →∞ ∫ T/2 T/2
f (t ) dt
2
1 T/2 2 P = lim ∫ f (t ) dt T →∞ T T/2
1 P = lim N →∞ 2 N
输入输出描述法:N阶微分方程 系统的描述 状态空间描述:N个一阶微分方程组 连续系统 系 统 分 析 时域: y f (t ) = f (t ) * h(t ) 系统响应的求解 频域:Y f ( jω) = F ( jω) H ( jω) 复频域: Y f ( s ) = F ( s ) H ( s ) 输入输出描述法:N阶差分方程 系统的描述 离散系统 状态空间描述:N个一阶差分方程组 时域: y f [k ] = f [k ] * h[k ] 系统响应的求解 频域:Y f (e j ) = F (e j ) H (e j ) Z域: Y f ( z ) = F ( z ) H ( z )
f1 (t ) f 2 (t ) T a + b x (0) = a y1 (t ) + b y2 (t ) x1 (0) 2 f1[k ] y1[k ] = T x1[0] f 2 [k ] y2 [ k ] = T x 2 [ 0]
离散时间系统 若
其中α,β为任意常数 非线性系统:不具有线性特性的系统. 非线性系统: 线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分 方程式.
含有初始状态线性系统的定义 含有初始状态线性系统的定义
连续时间系统 若 则
f1 (t ) y1 (t ) = T x1 (0)
f 2 (t ) y2 (t ) = T x2 (0)
信号与系统分析概述
信号分析的主要内容 系统分析的主要内容 信号与系统之间的关系 系统与电路之间的关系 信号与系统的应用领域 信号与系统课程的学习方法 参考书
时域:信号分解为冲击信号的线性组合 连续信号 频域:信号分解为不同频率正弦信号的线性组合 信 号 分 析
取样 复频域:信号分解为不同频率复指数的线性组合 时域:信号分解为冲击序列的线性组合 离散信号 频域:信号分解为不同频率正弦序列的线性组合 复频域:信号分解为不同频率复指数的线性组合
f (t)
y (t)
f (t t0)
y (t t0 )
t0
t0
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f (t ) →
y
f
(t )
f (t t0 ) → y f (t t0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [k ] → y f [k ]
f [k n] → y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述.
分析 注意
(3) y (t ) = 4 y (0) f (t ) + 3 f (t )
df (t ) (4) y (t ) = 4 y (0) + 3 f (t ) + 2 dt
[解] :分析 任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与 零状态响应两部分之和,即. y (t ) = y x (t ) + y f (t ) 因此,判断一个系统是否为线性系统,应从三个方面 来判断: 1,具有可分解性 可分解性
输入输出描述:N阶微分方程或N阶差分方程 状态空间描述: N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组
2. 方框图表示
L
+
f(t) i(t) R
∫
RL串联电路
描述系统的基本单元方框图
连续时间系统
f1(t)
∑
y(t)=f1(t)+f2(t)
f(t)
∫
y (t ) = ∫
t
∞
f (τ )dτ
f2(t)
离散时间系统
则 f 1 ( t ) + f 2 ( t ) → y1 ( t ) + y 2 ( t )
同时具有均匀特性与叠加特性方为线性特性,线 性特性可表示为
f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) → →
α f1 (t ) + β f 2 (t ) α y1 (t ) + β y2 (t ) →
连续时间信号
f (t) 1
离散时间信号
3
f[k] 2 1 k 2
-2 -1
0
1
2
3π
2π
π 0
π
f(t)
2π
3π
t
离散信号的产生
1)对连续信号抽样f[k]=f(kT) 2)信号本身是离散的 3)计算机产生
1
2
0
3
t
连续时间信号与离散时间信号波形
3
周期信号与非周期信号
f (t + T ) = f (t )
[例1] 判断下列输出响应所对应的系统是否为 线性系统?(其中y(0)为系统的初始状态,f(t)为 系统的输入激励,y(t)为系统的输出响应).