高一数学反函数的图象

合集下载

反函数的图象全面版

反函数的图象全面版
3)函数 y = f ( x ) 与函数 y = f -1 ( x ) 互为反函数;
函数 y = f ( x ) 与函数 x = f -1 ( y ) 为 同一函数;
4)如果两个函数的图象关于y = x 对称,那么
这两象关于y = x 对称,那么
这个函数的反函数就是它本身。
想一想:函数y=3x-2的图象和它的反函数 y=x+2 的图象之间有什么关系?
3
定理:函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y
= f -1 ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称。
注:1)这个结论是由特殊到一般归纳出来的。
2)这个结论是在同一坐标系下,且横轴(x轴)与纵轴 (y轴)长度单位一致的情况下得出的。
互为反函数的函数图象之间的关系
复习
反函数的定义是什么?
一般地,函数 y=f(x) (x ∈ A) 中设它
的值域为C.我们根据这个函数中x,y的关
系,用y把x表示出,得到 x= φ(y). 如果对
于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y) ,x
在A中都有唯一的值和它对应,那么
x=φ(y) 就表示以y为自变量的函数.
解:1)由y 3x1 xa
y xa y3x1
x

1 ay y3
又 y3(xa)13a 3 1 3a
xa
xa
≠3
f1(x)1ax (x3) x3
2)由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f(x)的反函数是它本身即
f (x) = f -1 (x)
1、已知函数 f ( x ) = axb(xb) 的图象过点 ( 1 , 2 ) , a
它的反函数图象也过此点,求函数 f ( x ) 的解析式。

高一数学反函数的定义PPT课件

高一数学反函数的定义PPT课件
A
例.求下列函数的反函数:
(1)y3x1(xR)(;2)yx31(xR); (3)yx1(x0)(;4)y2x3(xR,且 x1)
x1
解:(1)由 y3x1解得 xy: 1, 3
互换 x,y得 经反函 y数 x1(为 xR): . 3
(2) 由 yx31解得 x3: y1,
互换 x,y得反函数 y3为 x1: (xR).
反函数(第一课时)
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数,X就叫做自变量,X的取值范围称为函数的定义 域,和X的值对应的Y的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域。
记为: y=f(x)
(3) 由 y x1解得 x(: y1)2,
互换 x,y得反函数y为 (x: 1)2(x 1).
(4) 由 y2x3解得 x: y3,
x1
y2
互换 x,y得反函数 y为 x3:(xR,且 x2). x2
课堂练习:
P. 61----62. Ex.1 ---- 4. P. 65 习题六 2.(口答)
同样,在(2)中,也把新函数 xy2 1 称为原函数
yg(x)x1, 的反函数,记为:x g (1 y) y2 1.
改写为: y g 1(x) x2 1(x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
反函数与原函数的关系:
表达式: 定义域: 值域:
原函数
y=f(x) A C
反函数
y=f –1(x) C
的值和它对应,故x是__y__的函数。
原函数:
表达式: y x1
定义域: [-1,) 值域: [0,+)

反函数课件ppt

反函数课件ppt

05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数,它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用,例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数,即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数,如对数函数、 三角函数等,已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式,可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数,可以将方程从一种形式转换为另一种形式,从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b), 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a),即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时,反函数 图像也是单调递增;当原函数图像是 单调递减时,反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数,可能不存在反函数,或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件
2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1.函数的概念. 2.函数定义域、值域的求法. 物体匀速直线运动中,速度v是不等于零的常量,可知 位移s 是时间t 的函数,即 s vt
反函数
时间t 是位移s 的函数,即 t
s v
2.4 反函数
新授课 1.反函数 ( x A) 一般地,函数 y f ( x ) 中,设值域为C.如果对 于y 在C 中的任何一个值,通过 x ( y ) ,x 在A 中都有唯一 值和它对应,那么 x ( y ) 就表示y 是自变量,x 是自变量y ( y C ) 叫做函数 y f ( x ) ( x A) 的函数.这样的函数 x ( y )
(4) y
y
x3 ( x R , 且x 2 ) x2
2.4 反函数
练习: 1.课后练习 1,2,3,4
2.求下列函数的反函数: ax b (1) y ax b
bx b ( x 1) 反函数为 y a ax
x 2 2 x ( x 0) (2) y 2 x 2 x ( x 0)
1 x 1( x 0) 反函数为 y 1 1 x ( x 0)
2.4 反函数
课堂小结 (1)反函数的概念. (2)掌握求反函数方法.
作业:
P69 习院 ;
确定每天等待着马开の消息/想要知道马开今天又有什么惊天骇地の消息传出来/ 它们没有失望/确定抪确定听到马开和壹些声名显赫の人交手/有时候/听到马开和三佫准宗王境交手全身而退/ 这壹佫佫消息传出来/让众人咋舌/因为每壹佫消息传出来/马开の实力好像又有长进/ 这种疯狂の提升/让它们 难以置信/ "天啊/真の要逆天咯/" 众人到听到壹佫消息后/它们为之惊恐/发出咯这

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件

反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数,则其反函 数也是单调增函数;如果原函数是单 调减函数,则其反函数也是单调减函 数。
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数,则其反函数也 是奇函数;如果原函数是偶函数,则 其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$,值域为$B$,如果存在一个函数$g(y)$,其定义域为 $B$,值域为$A$,并且满足$g(f(x))=x$,则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些 特殊的不等式,例如求解 一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质,可以 比较两个数的大小,例如 比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些 数学不等式,例如证明算 术平均数大于等于几何平 均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数,可以研究函数的单调性,例如研究指数函数、对数 函数的单调性。
当原函数的定义域和 值域都是实数集时, 反函数的图像是可绘 制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变,横坐 标互换。
反函数图像的横坐标不变,纵坐 标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋 转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。 反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性

高中数学《反函数》 PPT课件 图文

高中数学《反函数》 PPT课件 图文

3 y x 1 x 0
4
y

2x3 x1
xR, x 1
解析:①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射? ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标:(1)对反函数概念的理解 (2)学会求函数的反函数
能力目标: (1)通过概念的学习,培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 (2)通过在反函数的求解过程中,把握函数与方程的思想
德育、情感目标: (1)培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 (2)在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中,应关注平时抽象思维较弱的学 生,在提供素材的环节中,鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与,逐步提升思维能力;对于 平时抽象思维较好的学生,应积极引导他们学 会合作、交流,在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力,并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法, 逐步练就“会学”的本领,从而使人人都能有 所收获,整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别; 2、函数的三要素是什么?
创设情境,揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射?是不是
一一映射?是不是函数?
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢?如

反函数及其图象

反函数及其图象

反函数及其图象知识点的辅导:反函数也是函数,它是函数部分的重要概念之一.从映射的观点认识,反函数也是一种映射:如果函数y =f (x )是定义域集合A 到值域集合C 的映射,那么它的反函数y=f -1(x )是集合C 到集合A 的映射.但必须明确只有一一映射确定的函数才有反函数.要正确地理解反函数的概念,关键是要弄清y =f (x )、x= f -1(y )以及y =f -1(x )三者之间的关系,特别是在不同的函数中x 、y 在含义、地位上的区别,以及三个函数的图象之间的关系. 一、反函数的定义函数y =f (x )中x 是自变量,y 是x 的函数,设它的定义域为A ,值域为C ,我们根据函数y =f (x )中x 、y 的关系,用y 把x 表示出,得到x=φ(y ),如果对于y 在C 中的任何一个值,通过x=φ(y ),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么x=φ(y )就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=φ(y )(y ∈C )叫做函数y= f (x )(x ∈A )的反函数.记作x= f -1(y ).在函数x= f -1(y )中,y 是自变量,x 表示函数,但在习惯上,我们一般用x 表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x= f -1(y )中的字母x 、y ,把它改写成y =f -1(x ).注:1o不是任何函数都有反函数,因为函数是数集A 到数集B 的映射,它的对应法则包括一对一和多对一两种情况,根据反函数的定义,只有给出的函数y= f (x )的对应关系是一对一的,才有反函数.例:(1)函数y=x 2(x ∈R )有没有反函数?为什么?(2)怎样改变定义域才能使它有反函数?反函数是什么?解:(1)函数y=x 2(x ∈R )没有反函数(2)如果把定义域分为(-∞,0]、[0,+∞)两个区间,则y =x 2在(-∞,0]上存在反函数,其反函数是y =-)0(≥x x ,y =x 2在[0,+∞)上存在反函数,其反函数是y =)0(≥x x .一般地,由于严格单调函数的对应关系是从“定义域到值域”的“一对一”,所以能求出它的反函数,即严格单调函数必有反函数,且严格递增函数的反函数也必严格递增,如果用某一个解析式表示的函数不是单调函数,可以将其定义域限制在一个单调区间内,也能研究它的反函数.2o 反函数的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域,否则,即使对应法则互逆,也不能算是原函数的反函数.如:)(2)(2z x x y z y y x ∈=∈=与前者的值域不是后者的定义域,所以求原来函数的反函数时,必须已知或先确定原来函数的值域.3o 函数y =f (x )如果有反函数y =f -1(x ),那么原来函数y=f (x )也是反函数 y =f -1(x )的反函数,即它们互为反函数.因而f -1[f (x )]=x ,f[f -1(x )]=x.4o y =f (x ),x =f -1(y ),y =f -1(x )之间的关系.a. y =f (x )与x =f -1(y ):x ,y 所表示的量相同,但是地位不同.在y=f (x )中,x 是自变量,y 是函数值;在x =f -1(y )中,y 是自变量,x 是函数值. b. y =f (x )与y =f -1(x ):x 、y 地位相同,x 都是自变量,y 是函数值,这比较符合 习惯,并给研究函数带来某些方便,但是x 、y 所表示的量(指实际意义)在两式中被互换了,在y =f (x )中的x 、y 所表示的量分别是y =f -1(x )中的y 、x 所表示的量.c. x =f -1(y )与y =f -1(x ):都是y =f (x )的反函数,它们的对应法则相同,故实质上是同一个函数.二、互为反函数的函数图象间的关系例:求函数y=3x -2(x ∈R )的反函数,并且画出y =f (x )、x =f -1(y )与y =f -1(x )考虑:在例中,函数y =3x -2的图象与其反函数32+=y x 的图象有何关系?函数y=3x -2的图象与其反函数32+=x y 的图象有何关系?为什么?分析:函数y =3x -2与其反函数32+=y x ,虽然形式上它们的图象是同一条直线,但它们的自变量轴与因变量轴恰恰相反.如果我们把x 轴都看作是自变量轴,y 轴看作因变量轴,那么它们的图象是关于直线y=x 对称的.为了看清这一点,我们把函数y =3x -2的反函数32+=y x 换写成32+=x y ,这时函数与反函数中x 都表示自变量,y 都表示因变量,从图中看到,它们的图象是关于直线y=x 对称的.结论:1o .函数y =f (x )的图象和它的反函数y=f -1(x )的图象关于直线y=x 对称; 2o .y =f (x )与x =f -1(y )的图象重合知识点的讲解例1:求下列函数的反函数:(1)y=)1(11≠-+x xxxxx(2)y=x 2-8x +13 (x ≥4) (3)y =x|x|+2x (4)y =1-)01(12<≤-x x -(1)解:在原函数中,y=xxx xx -+-=-++--=-+12112)1(111-≠∴y 由y=xx -+11得:1+x =(1-x )y∴y -xy=1+x∴(y +1)x =y -1 ① y ≠-1 ∴x=11+-y y ②∴原函数的反函数是y=11+-x x (x ≠-1)说明:本题在由①式得到②式时,不能想当然将等式两边同除y +1,应注意,这样做的前提条件是y ≠-1 ,所以本题一开始先求原函数的值域,一方面是为了得到反函数的定义域,另一方面是为了保证后面正确运算的可能性. (2)解:y =f (x )=x 2-8x +16=(x -4)2-3 ∴ 当x ≥4时,f (x )单调递增 ∴它存在反函数.由y=(x -4)2-3得 (x -4)2=y +3 ∴x -4=3+±y∴x =43+±y 4≥x ∴ x =4+3+y又)4(1382≥+-=x x x y的值域是 y ≥-3∴原函数的反函数是y =4+3+x (x ≥-3)说明:通过本小题再次说明只有一一映射确定的函数才有反函数,y =x 2-8x+13本不存在反函数,但当把x 的取值范围限定在定义域的某个单调区间上以后,可以求出反函数,而且它的反函数也是唯一的,其表达式应由原函数中x 的范围(即x ≥4)加以确定. (3)解:y =x|x|+2x =⎩⎨⎧<+-≥+0,20,222x x x x x x 1o .当x ≥0时,由y =x 2+2x =(x +12)-1,得x +1=1+±y ,11011++-=∴≥+±-=y x x y x又 y =x 2+2x ,当x ≥0时,y ≥0∴y =x|x|+2x 当x ≥0时的反函数是y =-1+)0(1≥+x x ;2o .当x<0时,由y =-x 2+2x =-(x -12)+1,得(x -12)=1-y ,即x-1=y -±1,x =1y -±1 x<0 ∴x =1-y -1 又 y =x|x|+2x 当x<0时,y<0∴y =x|x|+2x (x<0)的反函数是y =1-)0(1<-x x∴y =x|x|+2x 的反函数是 y =⎩⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x xx x说明:1o对于求分段函数的反函数问题,应分别求出每一段上原函数的反函数,然后再表示成分段函数的形式.2o要注意,本题反函数中的x ≥0与x<0是由原函数的值域得到的,而不是由原函数中的x ≥0,x<0直接得来的. (4)解:由y =1-21x -得21x -=1-y ∴1-x 2=1-2y +y 2 ∴x =-22y y - 又 y =1-)01(12<≤--x x 的值域是0<y ≤1∴原函数的反函数是y =-)10(22≤<-x x x小结:求函数的反函数的步骤:①判断确定f(x)的映射是否为一一映射.一般情况下,所给的f(x)都是由一一映射所确定的函数,但是大家应明确不是由一 一映射确定的函数就求不出反函数;②将y=f(x)看成方程,解出x =f -1(y);③将x,y 互换,得到y =f -1(x);④写出y =f -1(x)的定义域.一般情况下,应通过原函数的值域确定反函数的定义域.例2:已知函数),(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=中a 、b 、c 、d 均不为0(1)试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时有反函数,并求出此反函数; (2)试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时函数与反函数的图象重合.解:(1)由dcx b ax y ++=得cyx +dy =a x +b ,得(cy -a )x=b -dy ,这里必须cy -a ≠0,即 000·≠-≠+--+≠-++ad cb dcx adcax cb cax a dcx bax c 得得,在此条件下,得acy dy b x --=∴知当cb -a d ≠0时,函数)(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=且的反函数是)(c b x R x acx b dx y ≠∈-+-=且(2)由条件,函数与反函数的图象重合即两函数是同一函数.由dcx b ax y ++=与acx b dx y -+=-比较可得a +d =0,知当cb -a d ≠0且a +d=0时,函数与反函数的图象重合.说明:本题中的结论可作为一个规律,加以记忆,这样对于dcx b ax y ++=型的反函数,不需进行推导,可直接写出结果. 例3:求下列函数的反函数。

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件
典型例题 例1.求下列函数的反函数: (1) y 3 x 1( x R);
3 y x 1( x R ) (2)
2x 3 ( x R, x 1) (3) y x 1( x 0) x 1 y1 32 2 x3 3 y x 解: ( 4 函数 ,解得 x 1 yy y 3 x x 1 1 ( x R) x x (y ) 3 y 1 x1 ( ( 3)由 1 2 )由 )由 函数 函数 ,解得 ,解得 y2 x 1 3 3 2x 3 3x 1 2 y x 1 ( x R ) y 1 R ) y (( x R )) 所以,函数 的反函数是 (x R, 且x 1) 的反函数是 yy x 0 ) y ( xx 1) (x x 1 y3 x 1( x R )的反函数是 所以,函数 所以,函数 所以,函数 的反函数是 3 x 1
的反函数,记作
x f 1 ( y )
1 y f ( x) , x( x C ) 表示自变量, 习惯将反函数表示为 y( y A) 表示函数.
2.4 反函数
2.原来函数与反函数的联系
函数 y f ( x )
反函数 y f 1 ( x )
定义域
值域 反函数
(4) y
y
x3 ( x R , 且x 2 ) x2
2.4 反函数
练习: 1.课后练习 1,2,3,4
2.求下列函数的反函数: ax b (1) y ax b
bx b ( x 1) 反函数为 y a ax
x 2 2 x ( x 0) (2) y 2 x 2 x ( x 0)
2.4 反函数
2.4 反函数
知识回顾 1.函数的概念. 2.函数定义域、值域的求法. 物体匀速直线运动中,速度v是不等于零的常量,可知 位移s 是时间t 的函数,即 s vt

高一数学反函数课件

高一数学反函数课件

1 x 1( x 0) 反函数为 y 1 1 x ( x 0)
2.4 反函数
课堂小结 (1)反函数的概念. (2)掌握求反函数方法.
作业:
P69 习题2.4
1,2
;
/ 青岛装修网
uxd85vzu
也会”话没说完,耿老爹哽咽着说不下去了。乔氏听了这话,吃惊地瞪大眼睛问“耿大哥你说什么,你家里有妻子?你们不是举家南下啊!” 耿老爹流着眼泪点点头,轻轻地说:“是的,我家里不但有贤惠的妻子,而且还有一个六岁的小女儿,名叫耿兰,长得几乎和她姐姐耿英小的 时候一模一样!”“那你们一定是要回去得了?”“是的,最长十年,我们一定是要回故乡去的!我带三个大一点儿的娃娃们出来,只是想着 在富饶的江南打拼一番事业。倘若能够发达了,就回我们镇上修建一座小学堂,再盖一个像样的戏台”“那你的娃娃们呢?我和小青她爹都非 常喜欢”107第三十五回 深深爱恋初显露|(老中医瞧病开药方,乔氏精心细调理;耿老爹身体渐康复,小青找机会近耿正。)耿老爹已经在地 铺上躺了整整三天了。尽管腰腿和胳膊慢慢地轻松了一些,但却感觉浑身酸痛起来,一点儿劲儿也没有。心想,自己的身体一贯都是很健康的, 即使头痛脑热的小毛病也不常见。可这次是怎么了,莫不是得了什么大病?这心里边一旦开始焦虑起来,身体就更不得劲儿了。躺到第四天, 竟然发起烧来,饭量也大为减少。这一下大家都着急了。乔氏赶快请来一位老中医为耿老爹瞧病。老中医经过“望、闻、问、切”之后,胸有 成竹地对大伙儿说:“放心,并无大碍。只是因为劳累过度,再加上通透大汗之后受了风。只要以芫荽、生姜、红糖熬汤,大量地趁热服下, 使之充分发汗,并避风几日。同时,还需要煎几副中药调理一番,再静养一段时间即可痊愈了。眼下如果不想多吃饭,不必勉强,只要多照顾 喝些水就可以了。”大家方才放心。老中医当即开了药方。乔氏给耿正带了一些银子,让他陪同老中医前去抓药,自己赶快做芫荽、生姜、红 糖水去了。当日午饭前,耿老爹一口气趁热喝下三大碗芫荽、生姜、红糖水,然后蒙上被子出了一身的大汗,高烧退了一些。乔氏吩咐耿正兄 妹仨:“老中医让避风几日,你们可要好生照顾啊!”大家点头。耿正说:“娘娘放心,爹有我照顾呢!”中午,耿老爹还是没有食欲,只是 又喝了三碗芫荽、生姜、红糖水,就继续睡觉去了。临到傍晚,才勉强喝了一碗新熬的两米稀饭。好好地睡了一个晚上后,耿老爹略感轻松一 些了,基本上不再发烧。以后几天,细心的乔氏尽量变着花样儿给耿老爹做一些可口的饭菜,并且一早一晚亲自按时煎药。耿家兄妹,尤其是 耿正,一步不离细心照顾着爹爹真正是“病来如山倒,病去如抽丝”!三天以后,耿老爹的身体才慢慢恢复起来。又过了两天,抓的中药已经 全部服完。耿老爹感觉身上有些劲儿了,就想去街上走走。一听到爹爹说要出门,耿直自然是一定要跟着的。耿正也准备去,耿英说:“哥, 这几天你照顾咱爹很累

互为反函数的函数图象间的关系课件

互为反函数的函数图象间的关系课件
互为反函数
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称,则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x, 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y, 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称,则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数,然后解出x,得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域,然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质,以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交,那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$,
当它们在$(a,b)$相交时,必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称,那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质,可以深入了解原函数的性质,如单调

《高中数学《反函数》课件

《高中数学《反函数》课件

奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数,可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题,简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时,我们可以利用反函数的概念,将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域,可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求

题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$,求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$,求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$,求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题,从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时,我们可以利用反函数的概念,将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域,可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$,求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$,求$(f circ g)^{-1}(x)$。

反函数 图像

反函数 图像

1. 反函数定义:设函数f(x)是从其定义域A到值B上的一一映射f:A→B,则其逆映射f-1:B→A确定的函数叫做函数f(x)的反函数,记为y=f-1(x),函数f(x)叫做原函数。

反函数f-1(x)的定义域和值域,分别是f(x)的值域B和定义域A。

①函数f(x)是从定义域到值域上的一一映射,是函数f(x)存在反函数的充要条件。

②定义域上的单调函数必存在反函数,存在反函数的函数不一定是定义域上的单调函数。

③求解反函数的步骤:(i)求原函数f(x)的值域;(ii)由y=f(x)反解x=f-1(y);(iii)交换变量x、y,写出y=f-1(x)解析式;(iv)以f(x)的值域作为y=f-1(x)的定义域。

2.反函数定理:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。

①函数f(x)与f-1(x)图象关于y=x对称是f(x)与f-1(x)互为反函数的充要条件。

②函数f(x)是定义域上单调函数,则f-1(x)与f(x)具有相同的单调性。

③函数f(x)的图象关于直线y=x对称的充要条件是f(x)的反函数是其自身。

3. 正确、灵活的应用函数的单调性、奇偶性,求解函数的值域,确定函数解析式,求解函数不等式等应用。

[教学难点]1. 在求解反函数的过程中,先确定原函数f(x)的值域,以确保反解y=f(x)的运算有意义。

2. 若y=f(x)的反解结果不唯一时,由f(x)的定义域确定其唯一性。

3. 反函数y=f-1(x)的定义域不一定是各运算同时有意义的自变量取值集合,它必须由f(x)的值域确定。

4. 复合函数单调性的性质:设f(x)、g(x)是两个单调函数(1)若f(x)、g(x)是两个单调性相同(同为增函数或同为减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的增函数。

(2)若F(x)、g(x)单调性相反,(一个是增函数,一个是减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的减函数。

[教学例题]例1. 设函数f(x)=x2-4x-1,当,求f(x)的反函数。

高一数学-第七讲反函数及函数图象 精品

高一数学-第七讲反函数及函数图象 精品

第七讲反函数及函数图象一.知识归纳:1.反函数的概念:一般地,函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x, y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数。

这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y)。

习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此对调函数x=f-1(y)中的字母x, y,把它改写成y=f-1(x)。

注意:只有单调函数(一一对应的函数)才具有反函数。

2.求反函数的步骤:(1)确定原来函数的值域,也就是反函数的定义域(2)将函数y=f(x)看作方程,解出x=f-1(y)(3)将x=f-1(y)中的字母对调得y=f-1(x)3.反函数的图象:(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象。

(2)如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数。

(3)点(a, b)在y=f(x)的图象上 点(b, a)在y=f-1(x)的图象上。

(4)如果一个函数的图象关于直线y=x对称,那么这个函数的反函数就是它本身。

4 . 函数图象不同函数的函数图象是不同的。

同一函数由于函数定义域的不同,函数图象也不同。

对于分段函数,因根据不同的定义域范围,画出各段函数。

5. 函数图象的变换(1)平移变换①将函数y=f(x)的图象向左(向右)平移|k|个单位(k>0 向左,k<0 向右)得y=f(x+k)的图象。

②将函数y=f(x)的图象向上(向下)平移|k|个单位(k>0 向上,k<0 向下)得y=f(x) +k的图象。

(2)对称变换函数y=f(x)的图象与y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴,y轴,原点对称。

高一数学课件-反函数

高一数学课件-反函数

A , B 3, C , 3 D 0,1
则它的反函数的定义域是(C)
x 1 f x x 1
2已知
则f
1
3
2
ax b
3已知点(2,1)既在 f x 2 的图 1 象上又在 f x 的图象上, 求a, b的值.
3、解: 点 2 , 1 在f
解:∵x ∈R ∴y ∈R
(2) y x 1( x R)
3
y x 1( x R)
3
(3) y
x 1( x 0)
∴ y≥1
2
解: ∵x≥ 0 由
y x 1, 解得 x ( y 1)
∴函数
y x 1( x 0) 的反函数是
2
y ( x 1) ( x 1)
学习要求:
1 . 指数函数和对数函数的关系
2.掌握反函数的概念
3.会求一些简单函数的反函数
一.指数函数与对数函数的关系
1.解析式:
ya
x
先解
x loga y
再换
y loga x
2.图象
结论: 1.定义域和值域互换 2.同底的指数函数和对数函数的 图象关于直线y=x对称。 3.单调性一致
例2 (1)y=x2(x∈R)有没有反函数?
没有
y x ( x 0) (2)y=x2(x≥0)的反函数是________
y x ( x 0) (3)y=x2(x<0)的反函数是__________
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
y x ( x 0)
六、跟踪练习: 1已知函数
f x 3 log0.5 x x 1

高一数学反函数

高一数学反函数
“你说的全TM是假的,你说的全TM是假的,我安安静静地做了一年的贤妻良母,他还是不碰我,还是倒头就睡,女儿的学费也不管,家里的事也不管,我父亲生病,他连去看都不看……”“女儿劝我 离婚,我也想,离了算了,可我都名声在外了,难道要孤独终老后半辈子?”澳门葡亰平台网址大全 因为有了这一回,再后来见面,说话就越来越随便,她无非就是汇报一下最近的战果。于是我第一句问候语往往就是:“最近和谁办的呀,效果咋样,叫个床给我听听啊!” 这时候她就翻脸:“还有学问的人呢,有这么说话的吗?你见谁见面一打招呼就是‘你做了没有?’” “我不是以为你喜欢嘛!” “呸!喜欢也不能明说啊!多难为情!” “哦,那我下次婉转一点!” “我很气愤!” “气愤啥?” “为啥你们两口子就互相忠于对方,你们为什么都不乱搞?为什么不乱搞?” 我猜要是两个人近在咫尺,肯定能听到砸键盘的声音。 然而无论怎么戏谑,她始终在陌生人那一栏里,每次重新装机,都找不到她的名字,我也没去找过。我本来就不知道她的名字,她的体貌特征,她的话该信多少。 转眼间我又去了好几个地方,平生塞北江南,归来华发苍颜,真是最好的写照。
Hale Waihona Puke

反函数和反三角函数(最新)_图文

反函数和反三角函数(最新)_图文

(1) arcsin 3
23 (2) arcsin 3
32
对 错 1
3
(3) arcsin1 2k (k Z )
2

arcsin 1
2
(4) arcsin( ) arcsin
3
3

1
3
总结 y arcsin x, x [1,1]
(3) arctan 0 __0____(4) arctan
3 __3____
(5) arctan(
3) ___3___(6) arctan
3 3

___6_____
(7) arctan(
3 3
)

____6____
(9) arcsin(
3 2
)

___3_____
只有正弦(函4)数主已值知区三间角函[数值,求 角] 上的角才能用
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?

2x1
2
x2
y sin x, x [ , ] 22
-2
arcsina
例1:判断下列各式是否正确?并简述理由。
③单调性:
y
5 y=arccosx,x∈[-1,1]
4.5
4 y∈[0,π]
3.5 3
2.5
是减函数。
2
1.5
1
④有界函数
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

对反函数定义的理解
(1) 不是每一个函数都有反函数; 一个函数有反函数的充要条件是它 相应的映射是一一映射; (2) 原函数与反函数的法则互逆;它 们互为反函数;
(3)反函数也是函数,因为它是符合函 数定义的; (4)原函数与反函数的定义域与值域互换。
反函数的图象
1.函数y=f(x) 在其定义域内满 足什么条件才有反函数? 2.(1)如果函数y=f(x)在其定义域 内单调,那么它是否一定存在反函数? (2)如果函数y=f(x)在其定义域 内为常值函数,它是否存在反函数? 3.如果函数y=f(x)在其定义域内 存在反函数,我们如何求出来?
无机保温砂浆材料保温系统适用于各种墙体基层材质,各种形状复杂墙体的保温。全封闭、无接缝、无空腔,没有冷热桥产生。 并且不但做外墙外保温还可以做外墙内保温,或者外墙内外同时保温,及屋顶的保温和地热的隔热层,为节能体系的设计提供 一定的灵活性。 4、绿色环保无公害:无机保温砂浆材料保温系统无毒、无味、无放射性污染,对环境和人体无害,同时其大量推广使用可以 利用部分工业废渣及低品级建筑材料,具有良好的综合利用环境保护效益。 ; / 玻化微珠保温砂浆 kfh85ndg 强度高:无机保温砂浆材料保温系统与基层粘结强度高,不易产生裂纹及空鼓。这一点在国内所有的保温材料相比具有一定的 技术优势。6、防火阻燃安全性好,用户放心:无机保温砂浆材料保温系统防火不燃烧。可广泛用于密集型住宅、公共建筑、 大型公共场所、易燃易爆场所、对防火要求严格场所。还可作为放火隔离带施工,提高建筑防火标准。 什么交情。而且,如果只是赫奕还好办,关键是八弟,作为内务府的协理副管事,只要是稍有风吹草动,八弟那么嗅觉灵敏的 人,怎么可能不知道?如何才能既不打草惊蛇,又如愿拿到名单,是摆在王爷面前的首要难题。第壹卷 第二十九章 归来今 天是王爷办差回京的日子,他先进宫回禀了皇阿玛,又去了衙门,把相关的事情交代给下属,天就已经全黑了。犹豫了壹下, 他决定先回府里。王府早就得知爷今天回京,雅思琦把握不准爷是否回来晚膳,更不知道会在哪里用晚膳,最终的结果就是在 霞光苑和书院都按爷的口味置备了,她自己也是没敢让红莲把晚膳摆上来,只是都等到这么晚了,还是没有消息。淑清下午来 她这里,说是串串门子聊聊天,实际上她也看出来了,准是从哪里得知了爷今天回京的信儿,想到她这里探探口风,证实壹下。 雅思琦是何等精明的人,哪里肯轻易地露出消息来,壹下午只是哼哼哈哈地跟淑清兜着圈子。正在雅思琦等得心急如焚的时候, 何全来禀报,爷进府了。“爷去哪儿了?”“直接回朗吟阁了。”“没说什么吗?”“秦公公没提。”“噢,那你先下去吧。” 待何全刚壹下去,红莲就上前问道:“福晋,奴婢先去把晚膳再置备壹下?”“嗯,先备着吧,如果爷来了的话……”“福 晋”“什么事儿?何全”“爷又出府了。”“啊?”“福晋,要不奴婢这就把晚膳摆上来吧。”“算了,我也不想吃 了。”“您好歹还是吃壹口吧,身子受不了。”“我实在是没有胃口,什么时候想吃了再说吧。”王爷只带了秦顺儿,出了府 门,两人各骑壹匹马,朝京城东南方向奔驰而去。爷出门的时候也没有说去哪里,秦顺儿只好壹路紧追。开始还是疑惑不已, 但是越走,秦顺儿越觉得眼熟,这好像是朝着?对,王爷的目标就是年府。20多天前失了约,他内疚不已,但是事情紧急,没 有办法,今天好不容易回到了京城,他急于“见”到玉盈姑娘!来到了那熟悉的院墙外,他翻身下马,静静地等了壹会儿,没 有他熟悉的琴声,又等了小半个时辰,还是没有等到。于是,他从怀中掏出玉萧,定了定神,娴熟地吹起了那首《彩云追月》。 壹曲、两曲、三曲,壹共吹了二十曲,仍然没有壹丝壹毫的筝曲回音。他怅然若失地收起了玉箫,想了想,壹言不发地翻身上 马,直接回了王府。第二天的晚上,他再次来到了年府的院墙外,四周寂静无声,他没有等,直接吹起了那熟悉得不能再熟悉 的《彩云追月》。二十曲《彩云追月》吹完,四周再次恢复了寂静。第三天的晚上,他依然来到了年府的院墙外,依然四周寂 静无声,依然是二十曲《彩云追月》,依然是再度寂静。他无限惆怅地望向天空中的那壹轮明月,何日才能摘得这远空中的明 月,抱得美人归?此时,年府的
ax b
f (1) 2, f ( 2 ) 1
ab 2 a 3 即 解之得 b 7 2 a b 1
小结:
1.如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数,
那么它们关于 y=x 对称。
2.对称性的应用
作业:
(1)思考题:
① 点(a,b)关于y= -x 的对称点是什 么? ②求y=2x 关于直线y= -x的对称直线。
g ( x )是函数 y f ( x )的反函数.
又 f ( x) 2x 3 x 1
g ( x)
x3 x2
g ( x 2) 1
5 x
.
3.( 2001年太原模拟)设函数f ( x ) 图象与y f
1
2x 3 x 1
,已知函数y g ( x )的
[复习] 定义 设函数y=f(x)(x∈A)的值域 为C,从 y=f(x)中解出x,得到 x=φ( y)。如果对于y在C中的任何一个值, 通过x=φ(y),x 在A中都有唯一的值 和它对应,那么, x=φ(y)(y∈C) 就表示y是自变量,x是y的函数。叫做 y=f(x) (x∈A)的反函数。记作 x=f -1 ( y)
(2).y= x3,
x∈R
例1: (1).y=3x-2,
R
解:
y
x∈
y=3x-2
y=x
Y =(x+2)/3
1 O
P
x
1
例2: (2).y= x3,
x∈R
解:
y
y=x^3
y=x
P 1
y=x^(1/3)
x O 1
思考:
反函数与其原函数图象之间 有什么关系?
(1) y=3x-2 ,x∈R (2) y=x3 ,x∈R
例1.求下列函数在其定义域内的反函数. (1).y=3x-2, x∈ R
(2).y= x3,
x∈R
例1: (1).y=3x-2,
解: (1).求函数值域:由于 x∈ R
所以 y ∈ R y 2 -1 (2).求出x= f (y): x= 3
3
x∈ R
(3).交换 x,y:
y= x 2
x 2 3
g (3) f (3) 1 7 2
1
小结 :由对称关系, 等价于 g ( x )与 f
( x 1)互为反函数.
4.( 2000年厦门模拟考)若点(1,2)既在y
ax b的图象上,
又在其互函数的图象上, 则a ___, b ___ .
解 : 依题意可知点(1,2)和点( 2,1)都在y 的图象上.
∴函数的反函数为:y=
(x
R)
例1: (2).y= x3 , x∈R
解: (1).求函数值域:由于 x∈ R
所以 y ∈ R (2).求出x= f-1(y): x= 3 y
(3).交换 x,y:
y= 3
x
3
∴函数的反函数为:y=
x
R) (x
例2:画出例1中两个函数的原函数及其
反函数的图象,并思考两者之间有什么关 系. (1).y=3x-2, x∈ R
练习
2.( 2004年岳阳市统考)设f ( x )
2x 3 x 1
的图象与g ( x )图象
关于直线y x对称, 则g ( x 2)为 _____
A.1
5 x
B.1
5 x2
C .1
5 x3
D.1
5 x5
解: f ( x )的图象与 g ( x )的图象关于直线 y x对称,
( x 1)的图象关于直线y x对称, 求g (3)的值.
1
解 :由题设知 g ( x )是 f
( x 1)的反函数.
1
设y f
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x 1), 则它的反函数为 x f
1
( y 1)
而f ( x) f [ f
( y 1)] y 1
即 y f ( x ) 1, 故 : g ( x ) f ( x ) 1.
猜测:
一般地,函数y=f(x)的图像和它 的反函数y= f-1(x) 的图像关于直线 y=x对称。
说明
释意:
一般地,如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像 上,那么点(b,a)必然在它的反函数y=f-1(x)的 图像上。换言之,如果函数y=f(x)的图像上有 点(a,b),那么它的反函数y=f-1(x)的图像上必 然有点(b,a)。
相关文档
最新文档