数列概念

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高中数学一轮复习 6.1 数列的概念与简单表示

第一节数列的概念与简单表示一、基础知识考点一由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －12.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.考点二由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________. 2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________．考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝na nb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2 [课时跟踪检测]1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．232．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( ) A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )A ．10B ．15C ．－5D ．205．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( ) A ．[1,3) B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,3) 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.8．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________． 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．10．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。

新人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列的概念及通项公式

第四章 §4.1 数列的概念
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 5.了解数列是一种特殊函数.
导语
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20 卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数： 100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
3.
分类标准名称
含义
按项的有穷数列
项数有限的数列
个数无穷数列
项数无限的数列
递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
按项的变化趋势
递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
周期数列
项呈现周期性变化
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项摆动数列
小于它的前一项
解 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)(5)是递减数列； (3)是常数列； (6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断. (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
知识梳理
1ห้องสมุดไป่ตู้一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 an表示.其中第1项也叫做首项. 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} .

数列知识点总结大全

数列知识点总结大全一、数列的概念与定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数的集合，数列中的每个数称为数列的项。

2. 数列的定义：数列可以用一个通项公式或者递推公式来表示，通项公式指明了数列的第n个项与n的关系，递推公式则指明了数列的第n+1项与第n项的关系。

二、常见的数列类型1. 等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 调和数列：如果一个数列中任意相邻两项的倒数之差都相等，那么这个数列就是调和数列。

调和数列的通项公式为an=1/(1+d(n-1))，其中d为公差。

三、数列的性质1. 有限数列与无限数列：有限数列指数列中的项是有限个，无限数列指数列中的项是无限个。

2. 数列的奇偶性：如果数列的每一项的奇偶性相同，则称该数列为奇数列或偶数列。

3. 数列的首项和公差：首项指数列中的第一个元素，公差指等差数列中相邻两项之差。

4. 数列的前n项和：数列的前n项和可以用求和公式来表示，对于等差数列和等比数列有相应的公式。

5. 数列的递推公式：递推公式指明了数列的第n+1项与第n项的关系，可以通过递推公式求出数列的任意一项。

四、数列的应用1. 等差数列与等比数列的求和：等差数列和等比数列的前n项和在数学和物理问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们简化复杂的计算。

2. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种方法，在数列中的应用尤其广泛。

3. 数列的模型应用：数列模型可以用来描述自然界和社会现象中的变化规律，比如人口增长、物种演化等。

五、数列的判断与证明1. 数列的判断：如何判断一个数列是等差数列、等比数列、调和数列等，需要根据数列的性质和通项公式进行分析。

数列的概念解析

数列的概念解析数学中，数列是由一系列数字按照特定规律排列而成的序列。

数列是数学中重要的基础概念之一，对于算术、代数和微积分等各个数学分支都有着重要的应用。

本文将对数列的概念进行详细解析，介绍数列的种类、常见性质以及应用等内容。

一、数列的定义数列是一组按照特定顺序排列的数值集合。

通常用字母表示数列，如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。

其中，a₁, a₂, a₃, …,为数列的各个项，a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列的项可以有无限多个，也可以有有限个。

二、数列的种类1. 等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。

常用的公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

2. 等比数列（Geometric Progression，简称GP）等比数列是指数列中的任意两个相邻项之间的比值都相等的数列。

常用的公式为：aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。

常见的斐波那契数列开始为0和1：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...4. 广义算术数列广义算术数列是指数列中的相邻项之间的差值为一个与n有关的多项式的序列。

例如：aₙ = n² + 2n其中，a₁= 3, a₂ = 8, a₃ = 15, ...5. 广义几何数列广义几何数列是指数列中的相邻项之间的比值为一个与n有关的多项式的序列。

例如：aₙ = n²其中，a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 9, ...三、数列的性质1. 公式每一种数列都有对应的通项公式，通过这个公式我们可以快速计算数列的任意一项。

2. 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项来计算得出。

高三数学知识点：数列的概念

高三数学知识点：数列的概念1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….（4）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f （n），而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n.（5）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类（1）根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.（2）按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f（n）来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.（4）有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：（5）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1234567项：45678910这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

数列概念知识点总结

数列概念知识点总结一、数列的基本概念1.数列的定义数列指的是按照一定的次序依次排列的一列数。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

有限的数列通常用下标表示，如$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$；无限的数列通常用$n$表示，如$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$。

2.数列的通项公式数列中的每一项都有特定的位置和数值，数列中的每一项都可以用某种规律或公式表示出来，这种表示每一项的公式被称作数列的通项公式。

通常用$a_n$或$u_n$表示数列的第$n$项，通项公式可以写为$a_n=f(n)$或$u_n=f(n)$。

3.数列的前n项和数列的前n项和指的是数列中从第1项到第n项的和，通常用$S_n$表示，即$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。

4.数列的递推关系数列中的每一项通常都可以通过前一项或前几项的关系来确定，这种关系被称为数列的递推关系。

数列的递推关系可以用公式表示出来，比如$a_{n+1}=a_n+2$。

5.等差数列等差数列是一种常见的数列，指的是一个数列中相邻两项的差都相等。

等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。

6.等比数列等比数列也是一种常见的数列，指的是一个数列中相邻两项的比都相等。

等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，其中$q$为公比。

二、常见数列1.等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项的差都相等的数列，其中差值称为公差。

等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

2.等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项的比都相等的数列，其中比值称为公比。

等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。

3.斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中每一项的值都是前两项的和，数列的通项公式为$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，其中$a_1=1,a_2=1$。

高中数学-数列

二、数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列无穷数列
项数有限项数无限
按项与项间的大小关系分类
按其他标准分类
递增数列递减数列常数列有界数列
摆动数列
an＋1＞an
an＋1＜an
其中 n∈N＋
an＋1＝an
存在正数 M，使|an|≤M
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
12.若an 是等差数列，公差为d ，则ak、ak +m、ak +2m …(k，m∈N＋)是公差为 md 的等差
数列
13.若数列 an
是等差数列，前
n
项和为
Sn
，则
Sn n
也是等差数列，其首项和 an
的首
项相同，公差是
an
公差的
1 2
14.若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x − d, x, x + d ；若四个数成等差数
an−1
an
3.等比中项：如果三个数 x，G，y 组成等比数列，那么 G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中
G= xy
二、等比数列的通项公式及前 n 项和公式
1.若等比数列an 的首项为a1 ，公比是 q ，则其通项公式为an = a1q n −1
通项公式的推广： an = amq n −m
( ) 2.等比数列的前 n 项和公式：当 q ＝1 时， Sn = na1
（2）若 f (n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和
（3）若 f (n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和
（4）若 f (n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和

大一高数数列的极限知识点

大一高数数列的极限知识点数列与极限是大一高等数学中的基础概念之一，对于理解数学的发展和推导过程具有重要意义。

本文将介绍大一高数中数列的概念及其与极限的关系，帮助读者更好地理解这一知识点。

一、数列的定义和性质数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

通常用a₁, a₂, a₃,..., an来表示，其中a₁为首项，a₂为第二项，an为第n项。

一个数列可以是等差数列、等比数列、递归数列等，不同的数列按照不同的规律生成。

例如，等差数列的规律是每一项与前一项的差值都相等，而等比数列的规律是每一项与前一项的比值都相等。

数列的性质包括有界性、单调性和有限性。

有界性指数列的所有项都在某一区间内，分为上有界和下有界；单调性表示数列中的项按照一定的规律递增或递减；有限性说明数列的项数是有限个。

二、数列的极限定义数列的极限是数列中的项随着项数增加而趋于的某一个确定的值。

数列的极限可以是有限值，也可以是无限值。

1. 数列极限为有限值的情况：设数列an的极限为A，即lim(n→∞) an = A。

当数列的项无论如何变化，当项数足够大时，与极限A的差值可以任意小，即对于任何ε > 0，都存在正整数N，使得当n > N时，|an - A| < ε 成立。

2. 数列极限为无穷大的情况：当数列的项随着项数增加而趋向于正无穷或负无穷时，我们说数列的极限为无穷大或负无穷大。

特别地，当数列的绝对值越来越大，且无论项数有多大，都可以找到其中某一个项，使得其绝对值大于任意给定的正数M，我们说数列的极限为正无穷大。

三、数列极限的性质1. 数列极限唯一性：如果数列an的极限存在，那么极限是唯一的。

即若lim(n→∞) an = A，lim(n→∞) an = B，则A = B。

2. 数列有界性与极限：如果数列an存在极限，那么它一定是有界的。

有界性分为上有界和下有界。

即存在正常数M，使得对于数列的所有项都有|an| ≤ M成立。

数列的概念(基础)

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

综合基础知识数列知识点归纳总结

综合基础知识数列知识点归纳总结一、数列的概念。

1. 定义。

- 按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项、第3项……第n项。

- 例如：1，3，5，7，9是一个数列，1是首项，这个数列的第n项可以表示为a_n=2n - 1（n = 1,2,3,4,5）。

2. 数列的表示方法。

- 列举法。

- 就是将数列中的项一一列举出来。

如数列2,4,6,8,10，直接把各项写出来表示这个数列。

- 通项公式法。

- 如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

- 例如，数列1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4),(1)/(5),·s，其通项公式为a_n=(1)/(n)(n∈N^*)。

- 递推公式法。

- 通过给出数列的第一项（或前几项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前几项）的关系式来表示数列。

- 例如，斐波那契数列1,1,2,3,5,8,·s，它满足递推公式a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3)，a_1=a_2=1。

二、等差数列。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

- 例如数列3,5,7,9,11是等差数列，公差d = 2，因为5 - 3=7 - 5 = 9 - 7=11 - 9 = 2。

2. 通项公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1是首项，n是项数，d是公差。

- 例如，在等差数列{a_n}中，a_1=2，d = 3，则a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。

3. 前n项和公式。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 例如，等差数列{a_n}中，a_1=1，d = 2，n = 5。

高中数学六种概率模型

高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。

它用来描述事件发生的可能性大小。

在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。

下面将逐个介绍这六种概率模型。

一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。

比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。

再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。

在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。

二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。

比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。

在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。

三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。

比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。

在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。

四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。

比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。

在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。

五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。

比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。

在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。

六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。

比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。

在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。

高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。

每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。

熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。

高考数学一轮总复习教学课件第六章数列第1节数列的概念

[针对训练] 数列 0,,,,…的一个通项公式为(
-
*
(n∈N )
C.a =
√
-
n
*

*
B.an=+(n∈N )
A.an=+(n∈N )
(-)
-
)
*
D.an=
+
(n∈N )
解析:注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.故选C.
考点二
[针对训练] 已知Sn=2n+3,则an=
, = ,
- , ≥
解析:当n=1时,a1=5;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1,
当n=1时,21-1=1≠a
, = ,
1,所以an=
- , ≥ .
.
考点三
由数列的递推关系求通项
角度一
数列,则实数k的取值范围为(
A.(3,+∞)
B.(2,+∞)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
√
)
+

,若数列{an}为递减
解析:(1)因为 an+1-an=
*
++ + --
+
-

=
--
任意 n∈N ,an+1-an=
+
<0,
所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,
3.若数列{an}满足a1=2,an+1=
A.2

C.-
√
B.-3
+
解析:因为 a1=2,an+1=

数列的概念与性质

数列的概念与性质数学中，数列是指按照一定规律排列的数字的序列。

在数学中，数列有着重要的应用，它不仅在代数学中有广泛的应用，还在分析学、概率论以及其他许多领域中起着重要的作用。

本文将介绍数列的概念、性质以及数列的应用。

一、数列的概念数列是由一组数字按照一定的规律排列形成的序列。

通常用字母表示数列，如a，b，c...或者用希腊字母表示，如α，β，γ...数列的每一项用a₁，a₂，a₃...表示，其中a₁表示第一项，a₂表示第二项，以此类推。

二、数列的性质1. 数列的通项公式：数列中的每一项都可以通过一个公式来表示，这个公式被称为数列的通项公式。

通项公式可以帮助我们计算数列中任意一项的值。

2. 等差数列：如果一个数列中任意两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d，其中aₙ表示第n项，a₁表示第一项，d表示公差。

3. 等比数列：如果一个数列中任意两项之间的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n - 1)，其中aₙ表示第n项，a₁表示第一项，r表示公比。

4. 递推关系：数列中后一项的值与前一项的值之间的关系被称为递推关系。

递推关系可以帮助我们根据前一项的值计算出后一项的值。

5. 数列的极限：数列中的项随着索引的增加，可能会趋向于一个固定的值，这个固定的值被称为数列的极限。

极限的概念在数学中有着重要的应用，比如在微积分中。

三、数列的应用1. 数列在代数学中广泛应用。

例如，等差数列和等比数列的性质可以用于解决各种代数问题，如求和、计算某一项的值等等。

2. 数列在几何学中也有重要的应用。

例如，斐波那契数列是一个非常经典的数列，在几何问题中也有广泛的应用。

3. 数列也有着重要的物理应用。

例如，匀速直线运动物体的位移和时间之间就可以用等差数列来描述，其他许多物理问题也可以通过数列的概念和性质来解决。

总结：数列是数学中重要的概念之一，它有着广泛的应用。

高中数学：《数列》知识要点梳理

《数列》知识梳理一、数列及其有关概念1．数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复．2．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；（2）将12n =，，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集*N （或它的有限子集{12}n ，，，）．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个．4．数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列．（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则它的通项公式为1(1)n a a n d =+-．由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量．3．等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与函数的关系由等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-可知：当0d ≠时，n a 可以看成是关于n 的一次函数；当0d =时，1n a a =，可知n a 是常数函数．不论d 是否为0n a ，的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．（2）等差数列的前n 项和公式与函数的关系由等差数列的前n 项和公式2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭可知：当0d ≠时，n S 可以看成是关于n 的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当0d =时，1n n S a n S =，可以看成是关于n 的一次函数（当10a ≠时），或为常数函数（当10a =时）．注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质．4．等差数列的充要条件数列{}n a 是等差数列1n n a a d +⇔-=（d 为常数，n *∈N ）n a pn q ⇔=+（p q ，为常数，n *∈N ）2122()n n n n a a a n S An Bn *++⇔=+∈⇔=+N （A B ，为常数n *∈N ，）． 5．等差数列的常用性质已知{}n a 是等差数列，公差为d ，则：（1）()n m n m a a a a n m d d n m --=-=-，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈Ν，，，，则m n p q a a a a +=+；（3）下标成等差数列的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等差数列，公差为md ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，仍为等差数列；（5）数列{}n a b λ+（b λ，为常数）仍为等差数列，公差为d λ．三、等比数列1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0．2．等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式为11n n a a q -=．由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量．3．等比数列的充要条件数列{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为常数，n *∈N ）212n n n a a a ++⇔=，且0()n a n *≠∈N ．4．等比数列的常用性质已知{}n a 是等比数列，公比为q ，则：（1）n m n m n n m ma a a q q a --==，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈N ，，，，则m n p q a a a a =；（3）下标成等差数理的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等比数列，公比为m q ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，（当各项均不为0时）为等比数列．四、几种重要的题型1．“知三求二”型在等差数列{}n a 中，若已知1n n a d a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{}n a 中，若已知1n n a q a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，也可以求出其余的两个量．这所用的其实就是方程思想．2．求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：①负号用(1)n -或1(1)n +-来调节．②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法．此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．例1 求1361015，，，，，的一个通项公式．解：设此数列为{}n a ，其差数列为{}n b ，则{}n b 为：2345，，，，…，即1n b n =+．又1n n n b a a +=-，所以11n n a a n +-=+．令n 取1231n -，，，…，，得1n -不等式，将它们相加，得1(1)(2)2342n n n a a n -+-=++++=，而11a =，所以(1)(2)(1)122n n n n n a -++=+=．（2）已知n S ，求n a这类问题主要是利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥求通项公式．特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证2n ≥时的公式对1n =是否适用．（3）已知n S 和n a 的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将n 变为1n -或1n +再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如n S ）转化为项．例2 已知数列{}n a 中，12a =，且1()n n a S n *+=∈N ，求n a ．解：当2n ≥时，由1n n a S +=，得1n n a S -=，将两式相减，得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=．又2112a S a ===．1212 2.n n n a n -=⎧∴=⎨⎩ ， ≥。

数列的概念及简单表示方法

= ()
+1

在数列中,
=

且1
+2
= 2, 求数列的通项公式
3、构造法：
形如+1 = +
在数列中, 1 = 1, +1 =
2

3
+ 1,求数列的通项公式
, +
若数列的前项和为：
1 , = 1
则 = ቊ
− −1 , ≥ 2
习题练习
求数列的通项公式
一、观察法：写出下面各数列的一个通项公式
（1）1，-3，5，-7，9,… = (−1)−1 × （2 − 1)
（2）9， 9，999，9999，… = 10 − 1
摆动数列
数列的函数特性
1、数列与函数的关系
数列可以看成一类特殊的函数 = (),定义域
为正整数集（或正整数集的有限子集），所以它的图
像是一系列鼓励的点，而不是连续不断的曲线。
2、数列的性质：单调性、周期性。
数列的前n项和和通项的关系
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
（或某一项）开始的任一项与它的前一项n−1 （或前
几项）（ ≥ 2)的关系可以用一个公式表示，那么这个公
式就叫做该数列的递推公式。
例如：+1 = + 2, 1 = 1
递推公式包括两部分：开头，递推关系；
通项公式可以直接求出数列的任意一项，递推公式不可以
直接求出；
递推公式、通项公式共同点：都可以确定一个数列，求出
子 =(）， ∈ + 表达，这个式子叫做数列的通项
公式。

数列的认识与比较

数列的认识与比较数列是数学中常见的一种数学对象，它由一列按照一定规律排列的数所组成。

数列在数学和实际问题的研究中起到了重要的作用。

本文将介绍数列的基本概念、分类以及比较，并探讨数列在实际问题中的应用。

一、数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一列数，其中每个数称为数列的项。

数列中的项可以按照一定的顺序进行排列，通常用通项公式来表示数列的第n项。

数列中的项可以是整数、有理数或无理数，甚至是复数。

例如，等差数列是一种常见的数列，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。

等差数列可以用通项公式an = a1 + (n-1)d来表示，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

另外，还有等比数列、斐波那契数列等不同类型的数列。

二、数列的分类数列根据项与项之间的关系可以分为不同类型。

主要包括等差数列、等比数列、几何数列、等差几何数列等。

1.等差数列：等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列：等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比都相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

3.几何数列：几何数列是指数列中每一项与前一项之间的比都相等的数列。

几何数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

4.等差几何数列：等差几何数列是指数列中每一项与前一项之间既满足等差又满足等比的关系的数列。

等差几何数列的通项公式可以用复合函数的形式表示。

三、数列的比较数列可以通过比较其项与项之间的关系来进行分类和分析。

可以比较数列的递增性、递减性以及摆动性等。

1.递增数列：如果数列中的每一项都比前一项要大，则称该数列为递增数列。

递增数列在图像上呈现出逐渐上升的趋势。

2.递减数列：如果数列中的每一项都比前一项要小，则称该数列为递减数列。

递减数列在图像上呈现出逐渐下降的趋势。

3.摆动数列：如果数列中的项交替上升和下降，则称该数列为摆动数列。