随机过程期中考试试卷答案
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整版)随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
答案-随机过程答案.doc
F(0,x)8P{X(0)Vx} ‘031x<0;< .r < 1;M>4分P{i l0<5} = P{N(5) >10} =工it=10 e 心(12.5)*k\=i-Ek=0e"5(12.5)*V.®0.79857 (5)随机过程参考答案及评分标准一、填空(每空5分)1.才儿匚 + 2min(/] ,0)2.Vr n eT,limEIX(0-X(r n)l2 = 0 或limE I X(x + /i)-X(x) l2 = 0■ t^>t…"TO3.5at74.—24'o r二、解：(1).心0时，X(0)~ I 25 3 J(2). m * (/) = EX (/) = 1 x * + sin / x * + cos / x * = * (1 + sin / + cos t).R x (?, ,t2) = EX(/J • EX (切=1 x P { W]} + sin £ sin t2P {w2} + cos £ cos t2P {w3} = -{l + COS(r i _?2)} .......................................................................................................................Cx(t\ ,t2) = Rx(t\) —EX (G • X 律)=Rx(t[，G)-m.Y(?1)m A-(?2)= — +—008(^ -Z2)- —(sin t x +cos/] + cos t2 + sinr2)- — sinZ2(cos+sin/J.................................................................................................. 3分二、解：N⑴为何到达的顾客数，贝U N(f)~P(2.5)—2.5x5 /r\斥10 1(1)-列“⑸=吩爲诂严•(12®。
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
N(t)
N(t),t 0独立，令 X(t)= Yk , t 0 ，证明：若 E(Y12 <) ，则 EX(t) tEY1。
k=1
证明：由条件期望的性质 EX(t) E E X(t) N(t) ，而
E X(t)
N(t)
n
N(t) E i=1 Yi
N(t)
n
n
= E i=1
Yi
N(t)
，四步转移概率矩阵为
P(4)
P(2) P(2)
0.5749 0.5668
0.4251 0.4332 ，从而得到
今天有雨且第四天仍有雨的概率为
P(4) 00
0.5749 。
4.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
3.设Xn , n 0为马尔科夫链，状态空间为 I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和 i, j I ， n 步转
移概率
p(n) ij
p p (l ) (n-l ) ik kj
，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
kI
证明：
P(n) ij
P
X(n)=j X(0)=i
解：（1）样本函数集合为cos t,t, t (-,+) ；
（2）当 t=0 时， PX(0)=0 PX(0)=1 1 ，
2
故
F(;0 x<1
；同理
F(x;1)=
0 1
x<-1 1 x<1
2 1
x 1
2 1
x 1
2.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾客不超过 3 人的概率。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
随机过程试题带答案
随机过程试题带答案1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。
3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。
4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。
5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，f t对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得⽩球程的状态空间_________ 。
6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。
7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。
⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。
8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1.为e，(e -1)。
2. (sin(?t+1)-sin t)。
3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。
6 . P(n^ P n。
7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。
K t i；=H t］⼇i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独⽴增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是⼀个马尔科夫过程。
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程试卷及答案
随机过程 试 卷学期： 2010 至 2011 学年度 第 1 学期 课程： 随机过程 班级： YS201021/22/23/25/31/32 姓名（10分）设有正弦波随机过程()()()t B t A t X ωωsin 2cos 2+=，其中∞<≤t 0，ω为常数，A 和B 都是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，并且它们之间相互统计独立。
确定随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ4X 的概率密度并画出概率密度函数波形。
解：B A B A X 224sin 24cos 24+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛ππωπ，而B A 2,2是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，它们的概率密度都为()21=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛ωπ4X 的概率密度为()21=x f 与()21=y f 的卷积。
即有()()()[]()()[]()()()()()()()()()()()4441222141224122141221221--+---=-*-+-*-*=--*--=x u x x u x x xu x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x f X二、（10分）设两状态时间离散马尔可夫链() ,2,1,0,=n n ξ，()n ξ可取 0 或 1，它的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211q pp q P 其中 1 ,12211=+=+q p q p , 且 (){}(){}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2122110010p p p P p p p P ξξ 已知 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--------++=n n nnnp p p p p p p p p p p p p p p p p p P 21212122211121122111111 试证明该过程为严平稳过程。
（5分）()()., 1 })({})({}1)({}0)({})(/)({})(/)({})({ })(/)({ )(/)({})({ })(,,)(,)({})(/)({})(/)({})({ })(,,)(,)({,)(1})(,,)(,)({})(,,)(,)({ )(1111111122111111221122111111221122112211221121即是严平稳过程始时刻无关阶联合概率与发生的起所以任意式成立，以所以上面二式相等，所无关，所以与发生时刻或因为刻无关所以它的转移概率与时是一齐次马尔可夫链由于，即要证明个时刻设任意是一严平稳随机过程，要说明k i m n P i n P n n P n P i n i n P i n i n P i m n P i m n i m n P i m n i m n P i m n P i m n i m n i m n P i n i n P i n i n P i n P i n i n i n P n i m n i m n i m n P i n i n i n P n n n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+========⋅=+==+=+=+=+⋅=+==+=+=+====⋅======+=+=+====<<<------ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ（5分）利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程()()⎩⎨⎧=出现反面出现正面tt t X 2cos π 设出现正反面的概率是相同的。
(完整)随机过程试题及解答
2016随机过程(A ）解答1、(15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。
1) 求)(t X 的一维概率密度函数;2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解:由于U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+故: （1） )(t X的一维概率密度函数为：()222218(1)(),x t t t f x ex ---+=-∞≤≤∞（2） )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：{}{}(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+{}{}{}22()13()413st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+ （3）相关系数:(,)s t ρρ====)(t X 的二维概率密度函数为：2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x eρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。
问在10：00—14：00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14：00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。
随机过程习题答案
随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。
答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。
答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。
答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
期中考试答案
（10 分）
七、 （本题 20 分） 一个正弦振荡器， 由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响， 其输出的正弦波可 以看作一个随机过程 X (t ) = A cos(Ωt + ϕ ) ，其中 A，Ω，ϕ是相互独立的随机变量，且
⎧ 2a ⎧ 1 ω ∈ (250,350) ⎪ 2 a ∈ (0, A0 ) ⎪ f A (a) = ⎨ A0 ， f Ω (ω ) = ⎨100 ⎪0 otherwise ⎪ otherwise ⎩0 ⎩
( −∞ < t < ∞ ) ，其中ω>0 为常数，X 和 Y 是
服从 N(0,1)的高斯随机变量且相互独立。若把 Z(t)写成形式 Z (t ) = V sin(ω t + ϕ ) 的形式，求 v 和ϕ的概率密度，v 和ϕ的联合概率密度，Z(t)的概率密度，判断 v 和ϕ是否统计独立。 [解]： Z (t ) = V sin(ω t + ϕ ) = V cos ϕ sin ω t + V sin ϕ cos ω t = X cos ω t + Y sin ω t
⎧ ⎪ve −v 2 v ≥ 0 otherwise ⎪ ⎩0
⎧ 1 ⎪ fϕ (ϕ ) = ⎨ 2π ⎪ ⎩0
−π ≤ ϕ ≤ π otherwise
很显然 V 和Φ的联合概率密度是 V 的概率密度与Φ的概率密度的乘积，即
fV Φ (v, ϕ ) = fV (v) f Φ (ϕ )
即 V 和Φ是统计独立的。 （2 分）(3) 因为 X 和 Y 是高斯分布 N(0,1)随机变量，而 Z(t) 是 X 和 Y 的线性组合，因此 Z(t)也是高斯分布的随机过程。对于高斯随机过程，只要求出其 均值和方差，就可得到其概率密度。Z(t)的均值和方差为
随机过程期中考试试卷答案
随机过程期中考试试卷答案随机过程-期中考试试卷答案⼀、填空题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)=eλ(e it?1)2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集3. 设随机过程{X(t),t∈T}为⼆阶矩过程，则⾃相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t))t5. 记X n为抛掷⼀颗骰⼦出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。
则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6}⼆、判断题（每题4分，共20分）1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ2. 设⼆阶矩过程{X(t),t≥a}是独⽴增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有C X(s,t)=σX2(min(s,t))√3. 设有⾮齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，⼀般记为λ(t). √4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独⽴. Ⅹ5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √三、计算题（每题20分，共60分）1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为（1）求X(t)的均值函数、⽅差函数；（2）求X(t)的⼀维分布函数F(x;2)、⼆维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分均值函数 µX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分⽅差函数σX 2(t )=E(tV)2?(µX (t ))2=t 2?(0.2t )2=0.96t 2 ……4分(2) X (2)=2V 的分布律为于是得⼀维分布函数F(x;2)F (x;2)={0, x0.4, ?2≤x <21, x ≥2 ……6分⼆维随机变量(X (1),X(2))的联合分布律为……4分2. 设某设备的使⽤期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.3. 记N(t)表⽰在时段(0,t]的维修次数。
随机过程考试题及答案
Kfc=l解：先求X （r ）的均值函数：町X （r ）卜E 工“ t=i而：4\~左（広2怎），则:2JT *£[严3）]二J"讪厶如=（） =02010级硕士生《随机过程》考试题212设随机过程x Jt 中少为常瓶 人为第k 牛信号的隣机振幅，中出是在上一’{a 加）上均匀分命的随机相位「所以随机变星如 ①上仕“2…川）以及它们2间都足相互独粧的，求*（『）的均值和协方差瞬数.因九 5（—12…用）之间相互独立*则；E x （t ）\ = X E [M E[所以：£[x ⑴]二 X E[A ]E [严5 几=0当“j 吋，q 与込相互独立，则蛊1 /巩q %）+（ % ®） d =严 g 7 y [严当&=/时，£（严-恥宀）1匸严 EN则X ⑴的协方差函数B x 匕山）=严r ）£ E（出）"『）的协方差函数心（片 加）=心（也）"[5）*（胡=e t\e^ E £州严叫）=ttE\1=]>1壮奸勺w 』#（&4）解：状态转移概率如下图所示:集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1（2）（i）1f ii2⑷ 12 11112 1 2f ii ————————23332333 27（3）由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。
平稳分布的计算公式为：i p ij1, 对C1: {1 ,2,3}13 31 匚，2 — ,3 —488解得：对C2: {4 ,5}14 5 _2解得：对C3: {6}易得：6 1(4) C1: {1 ,2,3}中，各状态的平均返回时间分别是:11 81 8142亠3亠12333C2: {4 ,5}中，11425 — 245C3: {6}中，1 ,6161.设有随机过程 X(“ = Acos((wt) + Bsin(^/),r~i■其中⑵为常数，A,B^和互独立且服从匸态分舟/V(0t r72)的随机变Lb求随机过程的均值和柿关函数。
随机过程期中-09-10
山东财政学院2009—2010学年第 一 学期期中考试《应用随机过程》试卷(A )（考试时间为120分钟）一．填空题（每小题5分，共10分）1．.用⊆表示n n n n n 1n n 1n E lim ,E lim ,E ,E ∞→∞→∞=∞=⋂⋃之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿。
2．设乘客按照强度为λ的泊松过程来到火车站，若火车在0t 时刻启程，计算在),0(0t 内到达的乘客的等待的时间总和的期望是＿＿＿＿＿＿＿。
二．简答题（共15分）1． 什么是独立增量过程？什么是平稳独立增量过程？（7分） 2． 泊松过程平稳、独立增量过程吗？简述原因？（8分） 三．计算、证明题（每小题15分共75分）1.设{}0),(≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，{}1,≥n T n 是对应的时间间隔的序列，证明随机变量n T (n=1,2, ) 服从参数为λ的指数分布。
2.设{}1,≥n W n 是与泊松过程(){}0,≥t t X 对应的等待时间的序列，证明随机变量n W (n=1,2, ) 服从参数为λ与n 的Γ分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥=-.0t ,0,0t ,1)!-(n t)(e )t (f 1-n t W n λλλ3.设{}0),(1≥t t X 和{}0),(2≥t t X 是两个相互独立的泊松过程，其强度分别为1λ和2λ，记)1(k W 为过程{}0),(1≥t t X 的第k 次事件到达时间，)2(1W 为过程{}0),(2≥t t X 的第1次事件到达时间，求{})2(1)1(W W P k < 4. 叙述并证明概率的连续性。
5．顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
随机过程 试题解答
西南交通大学2006-2007学年第(一)学期考试试卷课程代码 课程名称 随机过程B 考试时间一、（14分）设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度函数为：⎩⎨⎧<<<-=其它010)1(24),(x y yx y x f试求:在10<<y 时,求)|(y Y X E =。
解：()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰124(1)01yx ydx y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它212(1)010y y y ⎧-<<=⎨⎩其它 (5分)当10<<y 时， (,)()Y f x y f y ＝22(1)1(1)0x y x y -⎧<<⎪-⎨⎪⎩其它(5分))|(y Y X E =＝(,)()()Y f x y xf x y dx xdx f y ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 2121122(1)(1)3(1)y y y x x dx y y +-=-=--⎰ (4分)二、（14分）设离散型随机变量X 服从几何分布： ,2,1)1(}{1=-==-k pp k X P k试求X 的特征函数，并以此求其期望)(X E 与方差)(X D 。
解：1()()()itXitk X k t E e e P X k ϕ∞====∑ (2分)111(1)(1)(1)itk k itkk k k p e p p e p p ∞∞-===-=--∑∑ 1(1)[(1)](1)(1)1(1)it it kit k p p p e p e p p p e ∞=-=-=⋅----∑1(1)1ititit itpe pe p e qe =--- (4分) 2()(1)it X it ipe t qe ϕ'=- 00221(0)(1)(1)X ipe p i i qe q pϕ'===-- (2分) 3(1)()(1)it it Xit pe qe t qe ϕ-+''=- 3(1)(0)(1)X p q q ϕ-+''=- (2分) 所以：11(0)XEX i p ϕ'== (2分) 22(1)(0)X q EX pϕ+''=-=22222(1)1()q qDX EX EX p p p +=-=-=(2分)三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。
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随机过程-期中考试试卷答案
一、填空题（每题4分，共20分）
1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数ϕ(t)=eλ(e it−1)
2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集
3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))
4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t))
t
5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。
则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6}
二、判断题（每题4分，共20分）
1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ
2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有
C X(s,t)=σX2(min(s,t))√
3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √
4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)−W(3)与W(4)−W(2)独立. Ⅹ
5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)−N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √
三、计算题（每题20分，共60分）
1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为
（1）求X(t)的均值函数、方差函数；
（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分
均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分
方差函数 σX 2(t )=E(tV)2−(μX (t ))2
=t 2−(0.2t )2=0.96t 2 ……4分
(2) X (2)=2V 的分布律为
于是得一维分布函数F(x;2)
F (x;2)={0, x <−2
0.4, −2≤x <21, x ≥2 ……6分
二维随机变量(X (1),X(2))的联合分布律为
……4分
2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.
3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。
试求 （1）前6年平均维修次数；
（2）前6年维修次数超过1次的概率。
解 记N(t)表示在时间(0,t]内的维修次数，则强度函数为 λ(t )={0.2, 0<t ≤4
0.3, 4<t ≤10
……5分
（1） E [N (6)]=∫0.2dt 4
0+∫0.3dt 6
4=1.4 ……7分 （2） N (6)服从参数为1.4的泊松分布，由此
P(N(6)>1)=1−P(N(6)≤1)=1−P(N(6)=0)−P(N(6)=1)
=1−1.40e−1.4
0!
−
1.41e−1.4
1!
=1−2.4e−1.4
……8分
3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)−W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).
解根据定理3.5.1（2），即维纳过程的独立增量性，得
R X(1,4)=E[X(1)X(4)]=E{[W(3)−W(1)]∙[W(6)−W(4)]}
=E[W(3)−W(1)]∙E[W(6)−W(4)]=0×0=0
……10分
根据定理3.5.1（4）及数学期望性质，得
R X(1,2)=E[X(1)X(2)]=E{[W(3)−W(1)][W(4)−W(2)]}
=E{W(3)W(4)−W(3)W(2)−W(1)W(4)+W(1)W(2)}
=R W(3,4)−R W(2,3)−R W(1,4)+R W(1,2)
=3σ2−2σ2−σ2+σ2=σ2
……10分。