随机过程期中考试试卷答案

随机过程-期中考试试卷答案

一、填空题（每题4分，共20分）

1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数ϕ(t)=eλ(e it−1)

2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集

3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))

4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t))

t

5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6}

二、判断题（每题4分，共20分）

1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ

2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有

C X(s,t)=σX2(min(s,t))√

3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √

4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)−W(3)与W(4)−W(2)独立. Ⅹ

5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)−N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √

三、计算题（每题20分，共60分）

1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为

（1）求X(t)的均值函数、方差函数；

（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。

解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分

均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分

方差函数 σX 2(t )=E(tV)2−(μX (t ))2

=t 2−(0.2t )2=0.96t 2 ……4分

(2) X (2)=2V 的分布律为

于是得一维分布函数F(x;2)

F (x;2)={0, x <−2

0.4, −2≤x <21, x ≥2 ……6分

二维随机变量(X (1),X(2))的联合分布律为

……4分

2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.

3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。试求 （1）前6年平均维修次数；

（2）前6年维修次数超过1次的概率。

解 记N(t)表示在时间(0,t]内的维修次数，则强度函数为 λ(t )={0.2, 0

0.3, 4

……5分

（1） E [N (6)]=∫0.2dt 4

0+∫0.3dt 6

4=1.4 ……7分 （2） N (6)服从参数为1.4的泊松分布，由此

P(N(6)>1)=1−P(N(6)≤1)=1−P(N(6)=0)−P(N(6)=1)

=1−1.40e−1.4

0!

−

1.41e−1.4

1!

=1−2.4e−1.4

……8分

3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)−W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).

解根据定理3.5.1（2），即维纳过程的独立增量性，得

R X(1,4)=E[X(1)X(4)]=E{[W(3)−W(1)]∙[W(6)−W(4)]}

=E[W(3)−W(1)]∙E[W(6)−W(4)]=0×0=0

……10分

根据定理3.5.1（4）及数学期望性质，得

R X(1,2)=E[X(1)X(2)]=E{[W(3)−W(1)][W(4)−W(2)]}

=E{W(3)W(4)−W(3)W(2)−W(1)W(4)+W(1)W(2)}

=R W(3,4)−R W(2,3)−R W(1,4)+R W(1,2)

=3σ2−2σ2−σ2+σ2=σ2

……10分