2019年中考初三下册数学知识点归纳总结(二)

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九年级数学下册必考知识点归纳整理

九年级数学下册必考知识点归纳整理
本文档旨在汇总九年级数学下册的必考知识点，帮助学生们进行复和准备。

以下是重点内容的归纳整理：
1. 函数
- 函数的定义
- 函数的图像和性质
- 函数的表示法
- 一次函数和二次函数的特点和图像
- 函数的平移、翻折、伸缩等变换
2. 线性方程组
- 一元一次方程的解法和应用
- 二元一次方程组的解法和应用
- 三元一次方程组的解法和应用
3. 平面几何
- 平面几何基本概念：点、线、面、角等- 同位角、对顶角、内错角等角度关系- 平行线与垂直线的性质及应用
- 平行四边形和三角形的性质
4. 图形的相似与全等
- 相似图形的判定条件和性质
- 相似三角形的性质和应用
- 全等图形的判定条件和性质
- 利用全等条件解题
5. 数据与统计
- 平均数、中位数、众数的概念和计算- 数据的分布情况和直方图的绘制
- 折线图和饼图的绘制和应用
- 数据的调查与研究方法
6. 概率与统计
- 随机事件和样本空间的概念
- 概率的基本性质和计算
- 事件的独立性和互斥性
- 抽样调查和统计推断的应用
以上是九年级数学下册的必考知识点的归纳整理。

学生们可以根据这些内容进行有针对性的复习和准备。

祝大家取得好成绩！。

初三下数学知识点总结及复习要点

初三下数学知识点总结及复习要点一、反比例函数1. 反比例函数的概念定义：形如y = k/x (k ≠0) 的函数称为反比例函数。

其中，k是常数，且k ≠0。

2. 反比例函数的性质图像：反比例函数的图像是一条双曲线，分布在第一象限和第三象限。

增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小。

对称性：反比例函数的图像关于原点对称。

3. 反比例函数的应用应用领域：反比例函数在实际生活中有广泛应用，如物理学中的反比例关系、经济学中的供需关系等。

二、直角三角形的性质与判定1. 直角三角形的性质勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。

斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2. 直角三角形的判定判定方法1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定方法2：两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

三、四边形的性质与判定1. 四边形的性质平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补。

矩形的性质：四个角都是直角，对边平行且相等。

菱形的性质：四边相等，对角相等，邻角互补。

正方形的性质：四边相等，四个角都是直角。

2. 四边形的判定平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

菱形的判定：四边相等的四边形是菱形。

正方形的判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

四、数据的分析1. 统计量的概念平均数：所有数据之和除以数据个数。

中位数：将数据从小到大排列后，位于中间位置的数。

众数：出现次数最多的数。

方差：表示数据离散程度的量，方差越小，数据越集中。

2. 统计图的选择与绘制条形图：适用于比较不同类别数据的数量。

折线图：适用于显示数据随时间或其他因素的变化趋势。

饼图：适用于显示各部分在整体中所占的比例。

五、圆的相关概念与性质1. 圆的性质圆的对称性：圆是中心对称图形，也是轴对称图形，有无数条对称轴。

九年级数学下册知识点总结

九年级数学下册知识点总结九年级数学下册是数学学科中的最后一册，包含了许多重要的数学知识点。

在本文中，我们将对这些知识点进行总结和归纳，帮助学生们更好地回顾和巩固所学的内容。

一、代数与函数
1. 一次函数与斜率：学习了一次函数的定义、斜率的计算以及直线方程的求解方法。

2. 二次函数与抛物线：掌握了二次函数的图像和性质，学会了求解二次方程和解析几何的应用。

二、平面几何
1. 直角三角形：了解直角三角形的性质，学会应用勾股定理和正弦/余弦定理求解相关问题。

2. 三角形的相似与全等：熟悉相似三角形的判定和相似比例的计算，掌握全等三角形的判定条件。

三、立体几何
1. 三视图与展开图：学习了如何绘制物体的三视图以及利用展开图计算表面积和体积。

2. 平行四边形与棱柱：了解平行四边形的性质，学会计算棱柱的表面积和体积。

四、概率统计
1. 事件的概率：掌握事件的概率计算方法，了解事件的互斥与独立性质。

2. 统计量与统计图：学会计算样本均值、众数、中位数等统计量，并能绘制条形图和折线图。

五、数论与逻辑
1. 最大公约数与最小公倍数：掌握求解最大公约数和最小公倍数的方法，应用到分数的化简和整数的运算中。

2. 命题与推理：了解命题的基本概念、命题关系和推理方法，能够进行简单的逻辑论证。

这些知识点是九年级数学下册重点内容的总结，并不代表所有的知识点。

在学习和巩固这些知识点时，建议同学们多做练习题
以加深理解和掌握。

希望同学们能够通过这篇总结文章，回顾和巩固自己的数学知识，为接下来的学习打下坚实的基础。

九年级下册数学知识点总结

九年级下册数学知识点总结九年级下册的数学学习内容较为广泛，涵盖了各个领域的知识点。

下面将对这些知识进行分类总结。

一、代数与函数1. 多项式的定义与运算：包括同类项的合并、多项式的加减乘除等基本运算。

2. 一元一次方程与一元一次不等式：学习如何解一元一次方程与不等式，并在实际问题中应用。

3. 二元一次方程组：通过消元法和代入法解决二元一次方程组。

4. 相交与平行线：学习如何利用角度关系解决相交与平行线的问题。

5. 函数的概念与性质：明确函数的定义，学习函数的图像、单调性、奇偶性等性质。

二、几何与图形1. 二次根式：学习二次根式的定义、性质以及运算法则。

2. 平面内直角坐标系：了解平面内直角坐标系的概念，学习直线和圆的方程。

3. 三角形：研究三角形的各类性质，包括三角形的分类、内角和、外角和等。

4. 圆的性质：学习圆的周长、面积、弧长等相关概念。

5. 相似与全等三角形：了解相似三角形和全等三角形的定义、判定及性质。

6. 平面向量：学习平面向量的定义、运算、共线性以及向量坐标。

7. 空间几何：研究直线与平面的位置关系，包括两条直线、一条直线和一个平面的交线等。

三、概率与统计1. 事件与概率：学习基本概念，包括事件的运算、概率的计算等。

2. 抽样与调查：了解抽样的方法和调查的过程，学习如何进行数据整理和分析。

四、数据与函数1. 数据的收集与整理：学习数据的收集方法以及如何用表格、图表等形式进行数据整理。

2. 平均数与比例：了解平均数的求法和应用，掌握比例的计算方法。

3. 线性函数：研究线性函数的性质，包括函数关系、函数图像以及相关的应用。

综上所述，九年级下册的数学知识点较为繁杂，涉及代数、几何、概率统计以及数据函数等多个方面。

学生在学习过程中，应注重基本概念的理解、方法的掌握，同时加强与实际问题的联系，灵活运用所学知识解决实际问题。

这将有助于提高数学学习的效果。

九年级下册数学知识点总结2篇

九年级下册数学知识点总结九年级下册数学知识点总结精选2篇（一）九年级下册数学知识点总结如下：1. 三角函数：- 弧度制与角度制- 正弦、余弦和正切函数- 三角函数的图像与性质- 三角函数的相反数、倒数和和差公式- 实际问题中的三角函数应用2. 平面向量：- 平面向量的概念与表示方法- 向量的加减法和数量积- 向量的模、方向、单位向量- 平面向量的线性运算、共线与共面- 三角形的面积与平面向量关系3. 三角形相似与三角比：- 直角三角形的三角比- 三角形的正弦定理和余弦定理- 同一象限内的两条直线的斜率关系- 平行线的性质与证明- 在平面内作图与证明4. 概率与统计：- 随机事件与样本空间的概念- 事件的运算与概率的计算- 概率的性质与常用公式- 频率和概率的关系- 统计图与统计参数的计算5. 平面几何证明：- 利用等腰三角形证明等边三角形- 平行线的证明- 利用相交线段的垂直证明- 利用圆的性质证明平行线- 圆内接四边形的性质证明6. 空间几何与立体几何：- 空间几何中直线和平面的位置关系- 空间几何中角的性质与关系- 空间直角坐标系与平面方程- 立体几何中的体积和表面积计算- 平面与平面、线与面的位置关系以上是九年级下册数学的主要知识点总结，希望对你有所帮助。

九年级下册数学知识点总结精选2篇（二）九年级下册的化学知识点总结如下：1. 化学反应和化学方程式：了解化学反应的基本概念和化学方程式的书写规则，包括化学方程式的平衡与不平衡。

2. 金属和非金属：了解金属和非金属的性质和特点，以及金属的提取和利用。

3. 酸、碱和盐：了解酸、碱和盐的性质和特点，以及它们在生活和工业中的应用。

4. 氧气和氧化还原反应：了解氧气的性质和特点，以及氧化还原反应的基本概念和规律。

5. 石油和燃烧：了解石油的成因和组成，以及石油的提炼和利用；了解燃烧的基本过程和能量转化。

6. 聚合物：了解聚合物的基本概念和分类，以及常见的合成聚合物和天然聚合物。

初三数学下册知识点总结

初三数学下册知识点总结初三数学下册知识点总结数学是一门重要且基础的学科，对学生的思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力有很大的培养作用。

初三数学下册的内容涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面，下面将对这些知识点进行总结。

第一，代数。

代数是数学中的基础学科，它的研究对象是数和数的运算。

初三数学下册的代数部分主要包括整式的加减乘除、一元一次方程和一元一次不等式、直角坐标系与二次函数等。

其中整式的加减乘除是基本的代数运算，一元一次方程和不等式是代数中的基本问题，直角坐标系与二次函数是代数中的重要概念。

第二，几何。

几何是研究点、线、面以及它们之间的关系和性质的学科。

初三数学下册的几何部分主要包括平面几何和立体几何两个方面。

其中平面几何包括平行线与比例、相似三角形、三角形的性质等内容；立体几何包括立体图形的表面积与体积、勾股定理与直角三角形等内容。

几何是一门直观的学科，需要学生理解图形的性质和变化规律，注重观察和推理能力的培养。

第三，概率与统计。

概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究的是事物变化中的不确定性和规律性。

初三数学下册的概率与统计部分主要包括事件与概率、统计图与统计量等内容。

其中事件与概率是概率的基本概念，统计图与统计量用于整理、展示和分析数据。

概率与统计强调学生的实际应用能力，需要学生具备数据的分析、解读和决策能力。

总的来说，初三数学下册的知识点较多，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。

这些知识点既有基础的概念和定理，也有实际应用的内容，对学生的思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力都有很大的培养作用。

因此，学生在学习数学下册的过程中，应注重从基础入手，理解概念和定理的意义和用途，注重解题方法和技巧的掌握，同时注重实际应用的训练，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

希望以上内容对你有所帮助，祝你在数学学习中取得好成绩！。

初三下册数学知识点总结(二篇)

初三下册数学知识点总结初三下册数学主要包括以下知识点总结：一、函数与方程1. 函数的概念与性质：- 函数的定义；函数的自变量和因变量；函数的值域；- 函数的奇偶性、周期性；- 函数的单调性、最值和零点；- 函数的图像和函数的分段定义。

2. 一元一次方程与一元一次不等式：- 一元一次方程与一元一次不等式的性质；- 一元一次方程与一元一次不等式的解法；- 解一元一次方程与一元一次不等式的应用。

3. 二元一次方程组与二元一次不等式组：- 二元一次方程组与二元一次不等式组的性质；- 二元一次方程组与二元一次不等式组的解法；- 解二元一次方程组与二元一次不等式组的应用。

4. 平面直角坐标系与一次函数：- 平面直角坐标系的概念与性质；- 一次函数的概念与性质；- 直线的斜率和截距；- 求直线的方程。

二、数据与统计1. 统计图与统计分布：- 统计图的种类与制作；- 统计图的数据分析与应用；- 统计分布的概念与计算。

2. 数据分析与统计指标：- 数据的集中趋势：平均数、中位数、众数；- 数据的离散程度：极差、方差、标准差。

三、几何与形状1. 平面图形与空间图形：- 二维图形（三角形、矩形、正方形、长方形、平行四边形、正三角形、等边三角形、圆等）的性质和计算；- 三维图形（棱柱、棱锥、棱台、球等）的性质和计算。

2. 两角关系与平行线：- 同位角、内错角、同旁内角的性质与计算；- 平行线的性质与判定；- 平行线之间的角关系。

3. 角的计算：- 角度的计算与换算；- 角度的加减法、乘法与除法；- 弧度制与角度制的转化。

四、三角函数1. 直角三角形与特殊角：- 直角三角形的性质和计算；- 30°、45°、60°等特殊角的性质和计算。

2. 三角函数定义与性质：- 三角函数的定义与性质；- 正弦、余弦、正切、余切函数的计算；- 三角函数的图像和性质。

3. 三角恒等式：- 基本三角恒等式的推导与应用；- 三角恒等式的证明与应用。

九年级下期数学知识点总结

九年级下期数学知识点总结九年级下学期数学知识点总结数学是一门重要的学科，也是一门需要不断积累和总结的学科。

九年级下学期的数学学习内容相对较多，其中包括了许多重要的知识点。

在这篇文章中，我将对九年级下学期的数学知识点进行全面总结和归纳。

一、函数与方程1. 一次函数与二次函数在九年级下学期，我们学习了一次函数和二次函数。

一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数。

我们学习了一次函数的性质、图像和解一次方程的方法。

而二次函数则是指形如y=ax²+bx+c的函数，我们学习了二次函数的图像和解二次方程的方法。

2. 不等式九年级下学期，我们学习了不等式的概念和性质。

不等式是比较两个量大小的一种数学表达方式，我们研究了不等式的解集和解不等式组的方法。

二、几何1. 平面几何九年级下学期，我们学习了平面几何的一些重要内容。

其中包括了平行线与垂直线、相似三角形、勾股定理、平面内角和性质等内容。

这些内容的学习不仅丰富了我们的几何知识，还能提高我们的逻辑思维和解决问题的能力。

2. 空间几何空间几何是几何学的一个重要分支，九年级下学期，我们学习了点、线、面、体的性质和关系。

其中包括了直线与平面的相交关系、平行关系，以及空间图形的投影等内容。

这些知识点的学习让我们对三维空间的理解更加深入，也为我们将来的几何学习打下了坚实的基础。

三、概率与统计1. 概率概率是数学的一个重要分支，我们学习了概率的概念、性质和计算方法。

九年级下学期，我们主要学习了事件的概率和互斥事件的概率计算方法。

概率不仅在数学中有着重要的应用，也在我们的生活中起着重要的作用。

2. 统计统计是用数学的方法对一定范围内的个别事物进行测量、整理和分析的过程。

九年级下学期，我们学习了统计的概念和方法，包括了频数表、频率表、柱状图、折线图、饼图等统计图形的制作和分析方法。

统计的重要性在于能够将大量的数据进行整理和处理，让我们更好地了解数据的分布和规律。

九年级数学下册知识点总结

九年级数学下册知识点总结九年级数学下册知识点总结九年级数学下册主要包含以下几个部分的知识点：函数、平面向量、概率与统计、三角函数和立体几何。

在这篇总结中，我将对这些知识点进行详细的讲解。

函数是九年级数学下册的重要内容之一。

在这一部分中，我们学习了函数的概念、表示方法和性质。

函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值。

我们常用函数的表达式、图像和数据，来表示函数的特征。

在九年级数学下册中，我们学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等常用函数的性质和应用。

我们还学习了一些简单的函数变换和函数的复合运算。

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

九年级数学下册中，我们学习了平面向量的基本概念、运算法则和性质。

平面向量的运算法则包括向量的加法、减法和数乘。

我们学习了如何用坐标表示平面向量，并学习了平面向量的数量积和向量积运算。

平面向量在几何问题和物理问题中有广泛的应用，在学习中要注意掌握其基本概念和运算法则，灵活应用于解决问题。

概率与统计是数学中的重要分支之一。

在九年级数学下册中，我们学习了概率的基本概念、计算方法和性质。

概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。

我们学习了计算概率的方法，包括等可能概型和古典概型的计算方法，还学习了事件的相互关系和概率的加法定理和乘法定理。

统计是一种描述和分析数据的方法和理论。

我们学习了数据的收集、整理和处理方法，包括频数统计、频率统计和频率分布表的制作。

我们还学习了通过图形和图表展示数据的方法，如直方图、折线图和饼图等。

三角函数是三角学中的重要内容。

在九年级数学下册中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数等基本三角函数的定义、性质和图像。

我们还学习了三角函数的周期性、奇偶性和对称性。

通过掌握三角函数的相关知识，我们可以解决与角度和三角形相关的问题，如测量高度、测量距离和计算角度等。

立体几何是九年级数学下册的最后一个部分。

在这一部分中，我们学习了空间几何体的基本概念和性质，包括点、线、面、体和体的投影。

数学九年级下册知识点汇总

数学九年级下册知识点汇总数学在我们的日常生活中无处不在，它是一门既神奇又美妙的学科。

作为数学爱好者，我深深被这门学科的奥妙所吸引。

在这篇文章中，我将为大家汇总数学九年级下册的一些重要知识点。

一、代数与函数1.平方差公式平方差公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们将一个平方差分解为两个平方的差。

例如，(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

2.二次函数二次函数是一种函数的形式，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，a不等于0。

通过探究二次函数的图像和特点，我们可以更好地理解这种函数的性质和变化规律。

二、几何与图形1.圆圆是几何中的一个基本概念，它由与一个点距离相等的所有点组成。

圆的半径、直径、弧长和面积是圆的重要属性，学习这些属性可以帮助我们解决与圆相关的问题。

2.平行四边形平行四边形是一个具有特殊形状的四边形，它的对边是平行且相等的。

我们可以使用平行四边形的性质来求解与其相关的问题，例如计算其周长和面积。

三、数据分析与概率1.统计图统计图是一种用来展示数据分布和关系的图形，常见的统计图包括折线图、柱状图和饼状图等。

通过观察统计图，我们可以直观地了解数据的特征和趋势。

2.概率概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

了解概率的概念和计算方法可以帮助我们在日常生活中做出理性决策，例如在赌博或购买彩票时。

四、数与式的计算1.比例与比例方程比例是一种比较两个同类事物数量关系的比较方式。

当两个比例相等时，我们可以通过比例方程求解未知量。

比例与比例方程在解决实际问题时非常有用。

2.多项式的运算多项式是由常数和变量的乘积相加构成的代数式。

对多项式进行加减乘除的运算可以帮助我们简化计算和整理表达式，提高运算的效率。

总结起来，数学九年级下册的知识点涉及了代数、几何、数据分析和概率等多个方面。

通过学习这些知识，我们可以深入理解数学的本质，培养逻辑思维和解决问题的能力。

数学是一门需要不断实践和探索的学科，希望大家能够热爱数学，勇于挑战数学的难题，从中发现数学的乐趣和美妙。

九年级下册数学重点知识点

九年级下册数学重点知识点数学作为一门科学，是我们日常生活中不可或缺的一部分。

九年级下册数学内容相对来说更加深奥和复杂，需要我们更加用心学习和掌握。

下面就让我们来一起回顾一下九年级下册的数学重点知识点。

1. 代数方面代数是九年级下册数学的重要组成部分，其中最重要的知识点之一就是二次函数。

二次函数是一种抽象的代数函数，它的一般形式为y=ax²+bx+c。

在学习二次函数时，我们需要了解它的图像特征，如开口方向、顶点坐标等，并学会进行二次函数的图像平移、伸缩、翻转等操作。

另外还有一些常见的代数知识点，如因式分解、配方法、分式方程等。

这些知识点在解决实际问题时都有着重要的应用，需要我们熟练掌握。

2. 几何方面在九年级下册，几何知识也是重点内容之一。

其中一个重要的知识点是三角形的面积和相似性。

学习三角形的面积时，我们需要了解面积的计算公式和相关推导，掌握不同类型三角形面积计算的方法。

相似性是另一个重要的几何知识，在解决实际问题中有广泛应用。

我们需要学会判断两个图形是否相似，掌握相似三角形的性质和判定条件，以及相似图形之间的长度比例关系等。

3. 概率与统计概率与统计是九年级下册的另一个重点知识点。

在学习概率时，我们需要了解基本事件、随机事件、概率的计算方法等基本概念，同时要学会应用概率解决实际问题。

统计学是数学中的一门重要学科，它通过收集、整理和分析数据，来揭示数据背后的规律性和趋势性，并用概率来描述和预测事件的发生。

在学习统计学时，我们需要了解统计的基本概念、数据的整理和呈现方式，以及如何进行数据的分析和推断等。

4. 三视图与空间想象力在九年级下册的数学中，还包括了三视图和空间想象力的学习。

三视图是指一个物体从不同角度观察时得到的正视图、俯视图和侧视图。

学习三视图时，我们需要了解三视图的制作方法和转换规则，掌握如何通过三视图还原一个物体的形状。

空间想象力在解决实际问题中起到重要的作用。

通过学习空间想象力，我们可以更好地理解和应用空间中的几何关系，例如点、线、面之间的关系，立体图形的展开和折叠等。

初三数学下学期中考知识点总结

初三数学下学期中考知识点总结
初三数学下学期中考知识点总结（2019）
学习是一个不断深入的过程，他需要我们对每天学习的新知识点及时整理，接下来由查字典数学网为大提供了初三数学下学期中考知识点总结，望大家好好阅读。

初三数学知识点第一章实数
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
1.数的分类及概念
数系表：
说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)
2)有标准
2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x≥0)
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3.倒数：①定义及表示法
②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a0时，>0;②a0(n是偶数)，
⑵零指数：=1(a≠0)
负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则。

2019【人教版】九年级数学下册：全册中考知识点梳理(共27讲)-推荐

第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值y=k2x+b y=k1x+b（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.3.系数a、a决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFEDC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；。

2019年中考初三下册数学知识点归纳总结

2019年中考初三下册数学知识点归纳总结
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数学知识点繁多，需要记忆很多公式，也是让很多学生记忆不清，为帮助初三学生更多学习课程，教育网小编总结了《初三下册数学知识点归纳总结-二次函数》的相关内容，供学生参考复习。

初三下册数学知识点归纳总结-二次函数
1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c 形式叫二次函数。

2、解析式的形式：
①一般式：y=ax2+bx+c
②顶点式：y=a2+k
3、图像性质：
【顶点的横坐标即图像的对称轴，纵坐标即函数的极值】
4 、a、b、c的作用
①a决定：图像的开口方向，a>0，开口向上，a0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，交点横坐标为方程的实根。

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点，交点横坐标为方程的实根。

当b2-4ac<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。

7、对于二次函数y=ax2+bx+c
①如何求与x轴的交点坐标：令y=0代入函数关系式，解得方程的根即为交点的横坐标。

②如何求与y轴的交点坐标：令x=0代入函数关系式。

交点坐标为
③如何求两个函数图像的交点坐标：将两个函数解析式组成方程组求解。

8、对于二次函数y=ax2+bx+c
看过《初三下册数学知识点归纳总
结-三角函数》的内容后，希望帮助到初三学生，更多内容请参考教育网。

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初三下学期数学知识点归纳

《初三下学期数学知识点归纳》初三下学期是初中学习的关键时期，数学作为重要学科之一，知识点的归纳和掌握对于中考至关重要。

以下是对初三下学期数学知识点的详细归纳。

一、二次函数1. 二次函数的概念一般地，形如\(y = ax² + bx + c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a≠0\)）的函数，叫做二次函数。

其中\(x\)是自变量，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

2. 二次函数的图象和性质二次函数的图象是一条抛物线。

当\(a>0\)时，抛物线开口向上，有最低点；当\(a<0\)时，抛物线开口向下，有最高点。

对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。

顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a})\)。

3. 二次函数的解析式（1）一般式：\(y = ax² + bx + c\)。

（2）顶点式：\(y = a(x - h)² + k\)，其中顶点坐标为\((h,k)\)。

（3）交点式：\(y = a(x - x₁)(x - x₂)\)，其中\(x₁\)、\(x₂\)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标。

二、相似三角形1. 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2. 相似三角形的判定（1）两角对应相等的两个三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

3. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的周长比等于相似比。

（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三、锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义在直角三角形中，锐角\(A\)的正弦、余弦、正切分别定义为：\(\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)；\(\cosA=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)；\(\tanA=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)。

初三下数学知识点归纳总结

初三下数学知识点归纳总结在初中数学学习的过程中，初三下学期是一个重要的阶段。

学生们需要掌握并巩固前面学过的知识，并且学习新的数学概念和技巧。

下面将对初三下学期的数学知识点进行归纳总结。

一、代数与函数1. 一元一次方程与一元一次不等式在初三下学期，学生将进一步学习一元一次方程与一元一次不等式的解法。

通过使用解方程和解不等式的基本原理，并运用恒等式、绝对值等性质，来寻找方程和不等式的解。

2. 二次根式学生需要掌握二次根式的化简、运算以及其在实际问题中的应用。

通过理解二次根式的几何意义和性质，学生能够更好地应用二次根式解决实际生活中的问题。

3. 平方根与立方根学生需要学会计算平方根和立方根，并运用它们解决实际问题。

同时，还需要掌握根式的化简、运算规则以及根式的化简等技巧。

4. 幂与指数学生需要掌握幂的定义和性质，熟练运用指数法则，并能够灵活应用指数运算解决实际问题。

此外，学生还需要了解幂函数的概念与图像特征。

二、图形与空间1. 平面图形初三下学期，主要学习平面图形的性质和构造。

学生需要掌握矩形、平行四边形、梯形、菱形、正方形等各种特殊平面图形的性质，并且能够运用这些性质解决实际问题。

2. 空间几何体学生需要掌握各种空间几何体的定义、性质和计算，如球体、圆柱体、圆锥体、棱柱、棱锥等。

此外，还需要学会计算几何体的表面积和体积，并能将其运用到实际问题中。

3. 坐标系与平面向量学生需要理解二维坐标系和三维坐标系的概念、性质和使用方法，并能够解决与坐标系相关的问题。

同时，还需要学会使用平面向量解决实际问题，并理解平面向量的加法、减法、数量积和向量积等运算。

三、概率与统计1. 数据的收集与整理学生需要学会进行数据的收集和整理，并能够运用统计图表、频数表、频率表等方式对数据进行描述和分析。

2. 概率的计算学生需要掌握概率的基本概念和计算方法，包括事件的概念、概率的性质和加法定理、乘法定理等。

通过学习概率，学生能够理解事件发生的可能性，并且能够运用概率解决实际问题。

九年级下册数学知识点总结

九年级下册数学知识点总结在九年级下册的数学学习中，我们学习了许多重要的知识点，对数学的理解也更加深入。

下面就来总结一下这些知识点，希望能够帮助大家复习和回顾。

一、代数部分1. 一次函数一次函数是一种形式简单的函数，其图像是一条直线。

我们需要掌握一次函数的性质、图像和相关题型的解题方法。

2. 二次函数二次函数是一种常见的函数类型，其图像是抛物线。

我们需要了解二次函数的顶点、对称轴、零点等重要概念，并能够灵活运用。

3. 不等式不等式是数学中常见的一种关系式，我们需要学会解不等式、绘制不等式的图像以及应用不等式进行实际问题的解决。

4. 方程方程是数学中重要的内容，包括一元一次方程、一元二次方程等，我们需要熟练掌握解方程的方法和技巧。

二、几何部分1. 相似与全等三角形相似与全等三角形是几何中的重要概念，我们需要了解它们的性质、判定方法，并能够灵活运用。

2. 圆与圆的位置关系圆是几何中重要的图形，我们需要了解圆的性质、切线定理、相交定理等内容。

3. 空间几何在空间几何中，我们需要掌握直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系等内容，能够熟练解答相关问题。

三、概率统计1. 概率概率是数学中的一门重要知识，我们需要了解基本概率原理、事件的互斥与独立等概念，能够灵活运用于实际问题。

2. 统计统计是对数据进行整理、分析和解释的过程，我们需要了解频数、频率、中位数、众数等统计概念，能够进行数据的分析和统计。

通过这篇文章的总结，我们再次回顾了九年级下册数学的重要知识点，相信对大家的复习和提高有所帮助。

希望大家能够在考试中取得优异的成绩，更好地掌握数学知识，为将来的学习打下坚实的基础。

初三数学下册知识点总结

初三数学下册知识点总结初三数学知识点归纳二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。

(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根初三数学学习方法1、“方程”的思想数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。

最常见的等量关系就是“方程”。

比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度.时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。

初三(九年级)下册数学知识点归纳

初三（九年级）下册数学知识点归纳九年级下册知识点归结包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同窗们和中考考生的必备资料!第二十六章二次函数26.1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

普通的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：普通式y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的启齿方向与函数y=ax2的图像相反，有时标题会指出让你用配方法把普通式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决议函数的启齿方向，a0时，启齿方向向上，a0时，启齿方向向下。

a的相对值还可以决议启齿大小,a的相对值越大启齿就越小,a的相对值越小启齿就越大。

牛顿插值公式(三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)) /((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的左边通常为二次三项式。

求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。