一元二次方程韦达定理2讲义演示教学

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韦达定理PPT教学课件

电阻器的种类很多：常用的电阻器按照导电体的结构特征分为实芯电阻器、薄膜电阻器和线绕电阻器；按电阻器的材料、结构又分为碳膜电阻器、金属氧化膜电阻器、线绕电阻器、热敏电阻器、压敏电阻器等。另外，按照各种电阻器的特性，还可分为高精度、高稳定、高阻、大功率、高频以及超小型等各种专用类型的电阻器。
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
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电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎么做呢??
m的值是１６．
试一试：设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ；原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３（2） X12+X22 ；原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

二次函数与一元二次方程、不等式课件(2)

根x1=x2
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2

2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 浙教版八年级下册培优讲义(含解析)

第2讲韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72．命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ．例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ．命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝－2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值．解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14，即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。

河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识分章节讲解21一元二次方程212根与系数的关系(韦达定理)

根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩ 因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174． ∴a 的取值范围是a ＜4．练习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．2.1 一元二次方程练习1．（1）C （2）D2．（1）－3 （2）有两个不相等的实数根（3）x 2＋2x －3＝03．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9。

一元二次方程讲义

一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1．用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。

实用文档之一元二次方程讲义——绝对经典实用

实用文档之"一元二次方程"基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

讲义精品一元二次方程解法讲义精品1

一元二次方程讲义测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.(A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.（A）（B）（C）（D）都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12．（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2=0. +x-1=0.+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+ 1)+2=0.=0.+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法23．解方程：（1）（2）24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0。

中考复习讲义一元二次方程的解法、判别式和韦达定理(含答案)

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【例6】一元二次方程（a 1 ）x2 ax a2 1 0 的一个根为 0，则 a ________。【答案】1 题型三：“降次”思想【例7】已知 a 是方程 x2 3x 1 0 的一个根，则代数式 a3 10a 2 的值为_________ 【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解一元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是 “降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形【答案】∵ a 是方程 x2 3x 1 0 的一个根 ∴ a2 3a 1 0 ，即 a2 1 3a ∴ a3 a a2 a(1 3a) a 3a2 a 3(1 3a) a 3 9a 10a 3 ∴ a3 10a 2 (10a 3) 10a 2 1
【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得 a 、 b 满足的关系式【答案】设两方程的公共根为 m ，则 m2 am b 0 ①， m2 bm a 0 ②， ①-②得， (a b)m b a 0 ，∴ (a b)m a b ，解得 m 1 将 m 1 代入①得 a b 1 0 ∴ a b 1 选 D
1
）
B. a 0
C. a 为任何实数
D.不存在
【巩固】已知关于 x 的方程 (a 2) x2 ax x2 1 是一元二次方程，求 a 的取值范围．【解析】整理方程得： (a 3) x2 ax 1 0 ，当 a 3 时，原方程是一元二次方程．【答案】 a3 【例2】若 (m 3) xn2 3nx 3 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 、 n 的取值范围是（ A. m 0 、 n 3 【答案】B B. m 3 、 n 4 C. m 0 ， n 4 ）

一元二次方程 2个相同的根韦达定理怎么算

一元二次方程 2个相同的根韦达定理怎么算标题：深度剖析一元二次方程中的韦达定理及其应用一、一元二次方程的基本概念1. 一元二次方程的定义与形式2. 一元二次方程的求解方法：因式分解、配方法、求根公式二、韦达定理的定义与原理1. 韦达定理的概念及作用2. 韦达定理的公式与具体计算方法三、韦达定理在一元二次方程中的应用1. 韦达定理在求二次方程根的重要性解释2. 通过韦达定理计算一元二次方程中2个相同的根四、我对韦达定理及其应用的个人理解1. 对韦达定理的认识与感悟2. 我对韦达定理在解决一元二次方程中的应用的看法总结文章开始：在初中数学中，一元二次方程是学习的重要内容之一。

而解一元二次方程的根一直是学生们比较头疼的问题。

韦达定理正是解决一元二次方程根的问题中的重要工具之一。

本文将从一元二次方程的基本概念出发，深入探讨韦达定理的原理及其在解题过程中的应用，同时共享一些个人理解和看法。

一、一元二次方程的基本概念1. 一元二次方程的定义与形式一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)的方程，其中a、b、c分别是已知实数，x是未知数。

一元二次方程中的二次项ax^2、一次项bx和常数项c 分别对应方程的三个系数。

2. 一元二次方程的求解方法解一元二次方程的方法有很多种，比如因式分解法、配方法、求根公式等。

这些方法在不同的情况下有着不同的优劣势，需要我们在实际应用中加以灵活运用。

二、韦达定理的定义与原理1. 韦达定理的概念及作用韦达定理是一个与一元二次方程根的特性相关的定理。

它指出：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，它的两个根x1和x2满足x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。

这个定理为我们解决一元二次方程提供了重要的线索和方法。

2. 韦达定理的公式与具体计算方法根据韦达定理的原理，我们可以通过一元二次方程的系数a、b、c 的数值来计算方程的根。

这使得我们在不使用求根公式的情况下，也能够较为方便地求得方程的根，尤其是在一些情况下，韦达定理具有明显的优势。

韦达定理ppt课件

韦达定理
1
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b2 4ac 0
2
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
2a
b b2 4ac x1
2a
b b2 4ac x2
2a
x1 x2
b
b2 4ac 2a
+
=
2b 2a
=
-
b a
b b2 4ac 2a
3
x1x2 b
b2 4ac b *
2a
b2 4ac 2a
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出满足条件的k，若不存在，请说明理由。
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3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ；则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）以 x1 , x2 为两根的方程是？
8
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1

(x 1) x2 1

2

九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2.2 公式法教学课件上册数学课件

b b2 4ac
x 2a
(b2-4ac≥0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程
ax2bxc0（a≠0）的求根公式.
12/11/2021
二、新课讲解
由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定，这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
12/11/2021
二、新课讲解
用公式法解方程：x27x180
解：这里 a 1b 7c 1 8
因而b2 - 4ac ＝ (- 7) 2- 4 × 1 × (- 18) ＝ 49 ＋ 72 ＝ 121 ＞ 0，
x 7 121 7 11
21
2
即： x19 x22
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三、归纳小结
12/11/2021
二、新课讲解
用公式法解方程 x2-x-2=0
解：这里 a ＝ 1，b ＝ -1，c ＝ -2.
因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2) ＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0，
所以
x＝
1± 9 1±3 =
2×1 2
因此，原方程的根为x1＝ 2，x2＝ -1.
12/11/2021
一、新课引入即xb Nhomakorabeaa2
b2 4ac 4a2
∵ 4a2 >0，∴ 当b2-4ac≥0时
x
b 2 2a
b2 4ac2 2a
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
12/11/2021

八年级秋季班-第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理

一般一元二次方程的解法及韦达定理内容分析利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x +m)2 =n 的形式；④当n ≥ 0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．2例题解析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）； ②确定 a 、b 、c 的值；③求出b 2 - 4ac 的值（或代数式）；若b 2- 4ac ≥ 0 ，则把 a 、b 、c 及b 2- 4ac 的值代入求根公式 x = 2a ，求出 x 1 、x ；若b 2 - 4ac < 0 ，则方程无解．【例1】填空：（1） x 2 - 1x + = (x -2b)2；（2） x 2-+ 21= (x - 25b 2)2 ；2（3） x 2 - x + = (x - )2；（4）4xa- += (2x - ) ． a 2【例2】如果 x 2 + ax + 4 是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ． -2C ．2 或-2D ．都不对【例3】若 m < 0 且 x = 2 时，等式 x 2 - mx + m 2 - 7 = 0 成立，则m 值为．【例4】如果一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是．【例5】解下列方程(配方法)：（1） x 2 + 3x - 4 = 0 ；（2） 0.04x 2 + 0.4x +1 = 0 ；（3） 2x 2 + 4mx + m 2 = 0 ；（4） ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ．-b b 2- 4ac【例6】解下列方程（求根公式法）：（1）x2 = 2(x -1) ；（2）0.2x2 - 0.1x =1；（3）x2 + 2(+1)x +2= 0 ；（4）x2 - 2mx +m2 -n2 = 0 ．33【例7】解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）mx2 -nx -p = 0(m ≠ 0) ；（2）(x -5)(x -3) +x(x + 6) =145 ．【例8】用指定的方法解下列方程：（1）x2-12x=3（配方法）；（2）3(2x -1)2 = 75 （开平方）；（3）(1 - 2)x2= (1 + 2)x（因式分解）；（4）3x2+12x+7=0（公式法）．【例9】已知：(x2 + 2x + 1)0 =x2 - 2x - 2 ，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式10x 2 - 21x + 9x 2 + 1的值等于零．【例11】的例题：解方程 x 2 - | x | -2 = 0解：当 x ≥ 0 时，原方程化为 x 2 - x - 2 = 0 ，解得： x = 2 ，x = -1 （舍）12当 x < 0 时，原方程化为 x 2 + x - 2 = 0 ，解得： x = -2 ，x = 1 （舍）12∴原方程的根是 x 1 = 2 ，x 2 = -2请参照例题解方程 x 2 - | x - 1| -1 = 0 ．【例12】解下列关于 x 的方程方程：（1） kx 2 + 2(k - 2)x + (k - 3) = 0 ；（2） (x - 5)(x + 3) + (x - 2)(x + 4) = 49 ；（3） 2x 2 + (3a - b )x - 2a 2 + 3ab - b 2 = 0 ．【例13】已知： y = 2x 2 - 3x + 1，y = 4x 2 + 4x + 7 ，求 x 为何值时， y = y ．1212⎨【例14】解关于x 的一元二次方程x2 - 4 =x(mx - 3) ，其中m 是满足不等式⎧3m + 1 > 0的⎩3 - 2m > 0 整数．【例15】求关于x 的方程：5x2 + 5y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2 = 0 的实数解．【例16】已知a +b -=-1c - 5 ，求a +b +c 的值．2【例17】已知a ，b ，c 是有理数，试证明关于x 的方程：x2- 2ax +a2-b2-c2+ 2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x 的方程：x2 - 4(m -1)x + 3m2 - 2m + 4k = 0 ，当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．-b + b 2 - 4ac- b - b 2 - 4ac 51 2韦达定理：如果 x ，x 是一元二次方程 ax 2- bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根,由解方程中的公式法得, x 1 =2a ，x 2 = 2a．那么可推得 x + x = - b ，x ⋅ x = c这是一元二次方程根与系数的关系．1 2a 1 2 a【例19】若方程 x 2 - (m + 1)x + m = 0 有解，利用适当的方法解这两个根，分别是；若这两个根互为相反数则m 的值是；若两个根互为倒数，则 m 的值是．【例20】如果 x ， x 是方程2x 2 + 3x - 6 = 0 的两个根，那么 x + x =；1212x 1 ⋅ x 2 =．【例21】若方程： kx 2 - 9x + 8 = 0 的一个根为 1，则 k =；另一个根为．【例22】写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是5 -23，5 + 3 ．2【例23】已知-1 - 、是关于 x 的方程ax 2 2 2+ bx + 1 = 0(a ≠ 0) 的两根，求 b 的值．模块二：韦达定理知识精讲例题解析-1 + 5【例24】已知x ，x 是方程1x2 - 3x -3= 0 的两根，求下列各式的值：1 2 2 2（1）1+1；（2）x 2 -x 2 ；（3）x 2 +x 2 ；（4）| x -x | ．x1x2【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：2x2 - 8x + 7 = 0 两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】已知方程：x2 - 4x +a = 0 的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】已知2m2 - 5m -1 = 0 ，n2 + 5n - 2 = 0.mn ≠ 1 ，求1+n 的值．m【例28】已知α，β是方程：x2-2x-4=0的两根，求代数式α3 +8 β+6 的值．1 2 1 2 1 2随堂检测【习题1】完成下列填空：（1）x2 - 2 2x + = (x - )2 ；（2）(2 y - )2 = +1 ；（3）3x2 + + 9 =3(x + )2 ．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程3x2 = 2x ，用法解比较好，其根为；（2）对方程(2x -1)2 = 4 ，用法解比较好，其根为；（3）对方程2x2 - 3x - 6 = 0 ，用法解比较好，其根为．【习题3】已知x2 +ax +a - 2 = 0 的两根互为倒数，则a 的值为．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）ax2 -bx = 0(a ≠ 0) （因式分解）；（2）4x2 - 9a2 + 6a -1 = 0(a为已知数) （直接开平方）；（3）5x2+6x-9=0（配方法）；（4）3x2 - 2x - 4 = 0 （求根公式）．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）x2 -x = 1 ；（2）2(2x - 3)2 - 3(2x - 3) = 0 ；（3）3x2 - 2 6x + 2 = 0 ；（4）(3x + 5)2 - 5(3x + 5) + 4 = 0 ．【习题6】解关于x 方程：（1）x2 - 2ax +a2 =1；（2）x2 -px +q = 0 ．【习题7】如果9x2 - 6(n + 1)x +n2 + 5 是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】用配方法说明：不论x 为何值，代数式x2 - 5x + 7 的值总大于 0，再求出当x 为何值时，代数式x2 - 5x + 7 有最小值，最小值是多少？1 2【习题9】已知关于x 的方程(m -1)x2 + (2m -1)x + 3 -m = 0(m为实数) 有两根x ，x ，其中x 1 > 0 ，x2< 0 且| x1|>| x2| ，求m 的取值范围．【习题10】解方程x | x | -3 | x | +2 = 0 ．【习题11】已知关于x 的方程(k -1)x2 -px +k = 0 有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】已知实数a ≠b ，且满足(a + 1)2 = 3 - 3(a + 1) ，3(b + 1) = 3 - (b + 1)2 ，求1 2【作业1】已知代数式3x 2 - 9x + m 是一个完全平方式，则m =．【作业2】以下说法正确的有几个：（1）方程 x 2 = 0 ，有两个根；（2）方程 x 2 = 4x 两边同除以 x ，解得方程的解为 x = 4 ；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程(x - 1 )2 = -x 无解； 2（4）对于方程(x -1)2 = (x + 3)2 ，因为无论 x 取何值， x -1和 x + 3 都不可能相等，所以方程无解．【作业3】如果 x ，x 是方程5x 2 - 7x + 5 = 0 的两根，求下列各式的值：（1） 1 + 1 ；（2） x 2 + x 2 ． x 1 x 2【作业4】用适当的方法解下列方程：（1） x 2 = 49 ；（2） 3x 2 - 21x = 0 ；（3） 2x 2 - 3x - 5 = 0 ；（4） (x - 4)2 = 5(x - 4) ；（5） 3x 2 - 4x - 2 = 0 ；（6） ( y -1)2 + 5( y -1) + 4 = 0 ．课后作业1 2（1）4(x - 2)2 - (3x -1)2 = 0 ；（2）(3x -1)2 - 3(3x -1) + 2 = 0 ；（3）6x2 - 2x - 2 = 0 ；（4）12x2 - 20x -525 = 0 ．6【作业6】用适当的方法解下列关于x 方程：（1）x2 +2ax +a2 =1(a为已知常数) ；（2）x2 +ax - 2a2 = 0(a为已知常数) ；（3）-3x2 -xb + 2b2 = 0 ( b为已知常数) ．【作业7】若α，β是方程x2 +3x -17=0 的两个根，求α2 +2α-β的值．n m 的值．【作业9】已知6m 2 - mn - 2n 2 = 0(n ≠ 0) ，求m 的值．n【作业10】解关于 x 的方程5x 2 - | x | -3 = 0 ．【作业11】已知方程 x 2 - 2x - 12= 0的两根是 α ，β ，设 C =α + β ， C =α 2 + β 2 ，．．．， 1 2 C =α n + β n （n 是正整数）．（1）求C 3 的值；（2）求证： C n +1 =2C n + 12C n -1 ．。

初中数学人教九年级上册第二十一章一元二次方程韦达定理的应用PPT

时，3x1 x2 4
1 6 4 3
例3、设 x1、x是2 关于x的方程 x2 m 1x m 0
的两个根，且满足 1 1 ，2 求m的值。
x1 x2
解：∵Δ＝(m＋1)2≥0， ∴m 取任意实数由韦达定理得：x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m ∵ 1 ＋ 1 ＝－2 x1 x2 ∴x1＋x2＝－2 x1x2 ∴m－－m1＝－2 ∴m＝—1
四、课堂小结：谈谈你这节课有什么收获？五、课后作业：
1、已知关于x的一元二次方程 x2 2x m 有 0一个根为-1
则另一个根为——— k的值为 ———
2、如果m、n是两个不相等的实数，且满足 m 2 m 3 0 ,
n2 n 3 0，求代数式 2n2 mn 的2m值。
3、已知方程 x2 3x m 的0 两根为 x1、，x2当m为何值
2．一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)不解方程，求方程的根；（2）求某些特殊代数式的值； (3)已知关于方程两根的代数式的值，求方程中的字母系数．
例 1：已知方程 x2－4x＋m＝0 的一个根为－2，求方程的另一根及 m 的值．
解：设原方程的两根为 x1，-2 ，则：x1＋（-2）＝4，-2x1＝m；
∴x1＝6，m＝－12. ∴方程的另一根是 6，m 的值为－12.
例2、已知 x1 、x2 是方程 x2 3x 1 0
的两根，求的值 x1 2x2 2
解：由韦达定理得： x1 x2 3， x1 x2 1
x1 2x2 2 x1x2 2x1 2x2 4
x1x2 2x1 x2 4
1．一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：若 ax2＋bx＋c ＝ 0(a≠0) பைடு நூலகம் 两根分别是 x1 ， x2 ，则 _____x1_＋__x_2_＝__－__ba____ ， ____x_1_x_2＝__ac_________.

韦达定理课件

2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1, x2
一元二次方程
x1= 1, x2=11 x2-12x+11=0
x1

0,
x2

3 2
1 x1 x2 2
2x2-3x=0 4x2+4x+1=0
x1+ x2 12 3 2 -1
x1∙x2 11
0 1 4
学习主题：求根，观察、归纳、猜想
观察，一元二次方程的两根之和与那些项的系数有关？两根之积与那些项的系数有关？
b2 4ac 2a
b2
2
b2 4ac

4a2
4ac c 4a2 a
学习主题：根与系数关系的应用（一）
例题1 判断一元二次方程x2 +3x +2=0是否有根，若
有试写出方程的两根和与两根积.
练习:判断下列一元二次方程是否有根，若有试写出下列各方程的两根和与两根积.
1、 2x2 = 6x
的长恰好是方程2x2 8x 7 0 的两个
根，则这个直角三角形的斜边长是_____.
根与系数关系的应用（二）
例题3 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根是 1 ,1.写出这个方程.
3
练习: 已知一个一元二次方程的二次项系数是2,常数项-14,它的一个根是-7,写出这个方程.
1、根与系数的关系 2、解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：
（1）二次项系数a≠0
（2）根的判别式b2-4ac ≥0 3、思想方法：特殊到一般，一般到特殊联想，转化，整体
2x2 -6x =0
2、 3x2 - 4x+2=0