高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详细答案[精品文档]
数列求通项公式 所有方法类型全归纳 含解析答案 精品文档可编辑
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--二、公式法三.累加法求形如1n a +=n a ＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。
（其中f(n)能求前n 项和即可）利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1.已知数列{}n a 中，1129,21,(2,*)n n a a a n n n N -==+-≥∈,求这个数列的通项公式。
练习：已知数列{}n a 中，113,2,(*)n n n a a a n N ==+∈＋，求n a例3. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。
累乘法：求形如1n a +=g(n)n a 的递推数列通项公式的基本方法。
（其中g(n)可求前n 项 积即可）。
利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).例1.若满足111,(*),1n n a na n N a n +==∈+求这个数列的通项公式。
变式练习：设{}n a 是首项为1的正数组成的数列，且2211(1)0(12)n n n n n a na a a n +++-+==，，…，则它的通项公式为n a = ．（倒数法）例题6:已知数列{}n a 中满足11a =，131nn n a a a +=+，求数列的通项n a .变式练习：知数列{}n a 中满足11a =，1231nn n a a a +=+，求数列的通项.待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bbc b c n n ++⋅=-11，其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。
高中数学必修5：求数列的通项公式 知识点及经典例题(含答案)
求数列的通项公式【知识概述】1. 数列是高考数列命题的重要考点，考查目标则是考查学生的观察能力、抽象概括能力、计算能力、分析问题与解决问题的能力、转化与化归能力和推理运算能力等，在数列中蕴含着大量的思想方法，同时也是考查同学们数学能力的一个重要载体.命题的形式则比较灵活，在选择填空题和解答题中都有出现，一般为中高难度题，对考生的能力要求较高.2.在数列的大家庭中有形形色色的数列，等差数列和等比数列是两种非常重要的，也是非常基础的数列，当我们遇到的数列不是等差等比数列时，我们要通过一定方法转化成等差、等比数列，再运用等差、等比数列的知识进行研究3.数列中既可以出现比较简单的问题也可以出现比较复杂的、综合的问题，我们要学会把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把综合的、复杂的问题转化为基本的、简单的问题来解决，把综合的数列问题转化为通项、或者前n 项和的问题4.如何根据一个数列的递推公式来找到数列的通项公式【学前诊断】1．[难度] 易求下列数列的通项公式： （1）8，5，2，-1， (2)12，16，118，154，…（3）1，3，6，10，15，…2．[难度] 易已知数列的前项的和为223n S n n =-+，则n a ={}n a n3．[难度] 中在数列{}n a 中，若*111,32(2,),n n a a a n n -==+≥∈N 求该数列的通项公式n a .【经典例题】例1．在数列{}n a 中，若*111,32(2,),n n a a a n n -==+≥∈N 求该数列的通项公式n a .例2．在数列{}n a 中，已知112,13n n na a a a +==+，则2010a =____________.例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,42n n a S a +==+.（1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.例4．已知数列{}n a 满足11,a =11,()22,()n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩当为奇数时，当为偶数时. （1）求2a ，3a ；（2）当2n ≥时，求22n a -与2n a 的关系式，并求{}n a 中偶数项的通项公式； （3）求数列{}n a 前100项中所有奇数项的和.【本课总结】由数列的递推公式求数列的通项公式主要有以下四种方法： 1.归纳法：就是写出数列的前几项，然后归纳猜想出数列的通项公式，不完全归纳法是合情推理，结论不可靠，如果是选填题，直接得出结果就可以了，若为解答题，则要用数学归纳法给出严格的证明.2. 累加（乘）法：若数列递推公式具有1()n n a a f n +-=的形式，可以用累加法，即21(1)a a f -=，32(2)a a f -=，…，1(1)n n a a f n --=-， 把这些等式的两端分别相加，得()()()21321(1)(2)(1)n n a a a a a a f f f n --+-++-=+++-，所以1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-.（当()f n 为常数时就是等差数列）.若数列递推公式具有1()n na f n a +=的形式，可以用累乘法，即21(1)a f a =，32(2)a f a =，…，1(1)n n a f n a -=-，把这些等式的两端分别相乘，得32121(1)(2)(1)n n a a a f f f n a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1(1)(2)(1)n a a f f f n =⋅⋅⋅⋅-(当()f n 为常数时就是等比数列).()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-,和23121n n n a a a a a a a -=⋅⋅⋅叫迭代法，跟累加法是同质的方法，但在使用时却比累加法还要方便，并有更广泛的使用价值.3. 构造辅助数列法：在已知数列的基础上，构造一个辅助的新数列，该新数列为等差（比）数列，然后先求出新数列的通项公式，再利用两数列的关系求出原数列的通项公式，这体现了转化思想的运用，也是解决数列问题的基本思想，构造辅助数列的常用途径有：{}{}21;;;;nnn a ak a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭{}1;n n a a --{}1n n a a λ--等.一般地：对于如下一些递推公式，可以构造辅助数列（等差、等比）加以解决：（1）1(0,1,)n n a c a d c c n *+=+≠≠∈N1n n a c a d +=+{}1()n n n a x c a x a x +⇔+=+⇔+是公比为c 的等比数列（其中x 为待定常数）或{}1111()n n n n n n n n a ca d a a c a a a a ++-+=+⇔-=-⇔-是公比为c 的等比数列，并用累加法求n a在1n n a c a d +=+中，当1c =时是等差数列，当0d =时是等比数列. （2）()10,n n n a ca d d n *+=+≠∈N1111nn n n n n na a c a c a ddd dd+++=+⇔=+，令n n na c d=，11n n c c c dd+⇔=+，转化为类型（1）.（3）1(0,)n n n k a a k n a b*+=≠∈+N1n n n k a a a b+=+1111n nb a ka k+⇔=⋅+，令1nn c a =，11n n b c c kk+⇔=+，转化为类型（1）4.利用关系11 (1) (>1)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩法：在既有通项n a 又含有前n 项和n S 的问题中，解题策略则是利用公式11(2)(1)n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩进行消元，转化为只含一种量n a （或n S ）的关系式.体现了转化思想的应用，数列中的一个重要问题就是n a 和n S 之间的相互转换.【活学活用】1．[难度] 中已知数列}{n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，计算32,a a ，并求出数列的通项公式. 2. [难度] 难已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.3. [难度] 难已知数列}{n a 满足11=a ，12525(21)()3636nn n a a n +=++⋅，（1）求}{n a 的通项公式； （2）求}{n a 中的最大项. （3）若n n a c =，求n n c c c c S ++++= 321.。
数列求通项公式归纳(答案)
数列求通项公式方法归纳一、公式法（适用于等差数列、等比数列） 等差数列： 等比数列：二、累加法：)(1n f a a n n =--1. 数列{}n a 中，,01=a 121-+=+n a a n n ，则=n a 。
解：2)1(-=n a n2．设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 解：222++=n n a n3．已知数列{}n a 满足：11=a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-，则n a =解：na n 12-=4.数列{}n a 中，11=a ，113--+=n n n a a ，)2(≥n ，则=n a 。
解：213-=n n a三、累乘法：)(1n f a a nn =+ 1.数列{}n a 中，11=a ，111+-=-n n a a n n ，)2(≥n ，则=n a 。
解：)1(2+=n n a n2. 数列{}n a 中，11=a ，n n a n na 11+=+， 则=n a 。
解：na n 1=3．在数列{}n a 中，111,(2),1n n a n a n a n -==≥-则=n a解：n a n =4.在数列{a n }中，a 1=4；a n+1= n+2n a n ，则=n a（答案为 a n =2n(n+1)；四、已知n s ，求n a1.已知数列{}n a 的前n 项和n s =n n 322-，则=n a 。
解：-=n a n 45，*N n ∈2.已知数列{}n a 的前n 项和n s =1322--n n ，则=n a 。
解：⎩⎨⎧≥-=-=2n 5,41,2n n a n ，3.已知数列{}n a 中，11=a ，n s =n a n 21+， 则=n a 。
解：n a n =4.已知数列{}n a 的前n 项和n s =n a n ⋅2，)2(≥n ，11=a ，则=n a 。
高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案
数列求通项公式的方法一、叠加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f k +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2.已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21nn n a na S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S ,化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++=Λ32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,则2)1(2)1(2--+=n n n n a n练习1，已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和14n a n =-练习3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以na a n 111-=- 211=a Θ，nn a n 1231121-=-+=∴评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
高中数学人教A版必修5第二章 求数列通项公式的方法总结
求数列通项公式的方法总结一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
欢迎阅读求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 1 21n n +则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则(2(1)3(1)3a n n ++⨯+-+-+评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21n n n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21n n n a n a S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S ,化简有nS S n n =--212,由类型(1)有nS S n ++++= 32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,1.21(2)n aa +=，，例4 11n n +n 1n na +1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即11+=+n na a nnn a n 1-=na 与a 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
人教A版高中数学必修五第二章求数列通项公式方法总结
n
=
1 2
a
n1 +1（n≥2），求数列 an
的通项公式．
【例 4】已知 a1 1, an 3an1 2n ，求 an （答： an 53n1 2n1 ）．
【变式
1】已知数列an 中，
a1
5 6
,
an1
1 3
an
( 1 )n1 2
，求
an
．
【变式 2】已知数列 an 中， a1 2 ， an 3n1 2an1(n N *) ，求 an ，
类型 3 an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）
4.作差法
类型 4 递推公式为 Sn 与 an 的关系式(或 Sn f (an ) )
解法（作差法）：这种类型一般利用 an
SS1n
(n 1) Sn1 (n 2)
5.取倒数法
类型 5
an1
f (n)an g(n)an h(n)
中，
a1
1，
an1
3n 1 3n 2
an
(n
1)
，求
an
．
考点 3 待定系数法（构造法）
【例 3】已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an ．
【变式 1】 已知数列an 中， a1 1, an 3an1 2 ，求 an ．
【变式
2】数列an 满足
a1
=1，a
一、等差数列与等比数列的基础知识比较一览表
等差数列
等比数列
定
一般地,如果一个数列从第 2 项起，每一项与
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项
它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数
数列通项公式解法总结及习题(附详解答案)
数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。
5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。
6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
1）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
7.数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。
8.换元法 换元的目的是简化形式，以便于求解。
9、不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求10定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+解题基本步骤：1、确定()f n 2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为？ 3、列出关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++4、比较系数求1λ，2λ 5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式 6、解得数列{}n a 的通项公式习题1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = （A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.（2010安徽）(5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）643. (2011年高考四川)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( ） A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）114.(2011年高考全国卷设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）55.（2009广东卷理）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 6.（2009陕西卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a = 7. (2011广东卷)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = 8.1,13111=+⋅=--a a a a n n n 则其通项为9（2009宁夏海南卷理）等差数列{n a }前n 项和为n S 。
(完整版)高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧(含答案)--强烈推荐,推荐文档
设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
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①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。
；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。
）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详细答案[精品文档]
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数列专项-2 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
例1.写出下列数列的一个通项公式a n（1）-1,4，-9,16，-25,36，......；（2）2,3,5,9,17,33，......。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
例2.设数列{}a n 的前n 项和为()()*∈-=N n a S n n 131 （1）求21a a 、；（2）求数列n a 的通项公式。
例3.设数列{}a n 的前n 项和为()*∈+=N n a S nn 12，求证n a 为等比数列并求其通项公式。
类型Ⅲ 累加法：形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造： 11221(1)(2)..(1.)n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥适用于)(n f 是可求和的情况。
①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;例4.设数列{}a n 满足11=a ，121+=-+n a a n n ，求数列的通项公式。
② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;例5.设数列{}a n 满足21=a ，n n n a a 21=-+，求数列的通项公式。
高中数学必修五数列求及方法总结计划附经典例题及含答案详解
（一）等差等比数列前 n 项乞降1、 等差数列乞降公式： S n n(a 12 a n ) na 1 n(n 1) d2na 1q n )( q1)2、等比数列乞降公式： S na 1 (1 a 1 a n q1)1 q(q1 q（二）非等差等比数列前 n 项乞降⑴错位相减法② 数列 an 为等差数列，数列b 为等比数列，则数列a b 的乞降就要采纳此法 .nnn②将数列 a n b n 的每一项分别乘以b n 的公比，而后在错位相减，从而可获得数列a nb n 的前 n 项和 .此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 .例 23.乞降： S n1 3x 5x27x 3 (2n 1) x n 1 ( x0)2 4 6 2n例 24. 求数列 2 , 2 , 2 3 , , 2 n ,前 n 项的和 .2⑵裂项相消法一般地，当数列的通项 a nc( a,b 1,b 2 , c 为常数） 时，常常可将 a nb 1)( an(an b 2 )变为两项的差，采纳裂项相消法乞降.可用待定系数法进行裂项：设 a n，通分整理后与原式对比较，依据对应项系数相等得an b 1an b 2c，从而可得b 2 b 1cc1 1=().(an b 1)( an b 2 ) (b 2 b 1 ) an b 1 an b 2常有的拆项公式有：①1 1) 1n 1 ； ②11 ( 1 1 );n(n n 1(2 n 1)(2 n1) 2 2n 12n 1③a11( ab );④ C n m 1C n m 1 C n m ;b a b⑤ n n!(n 1)! n!.⑥12)1 [ 11)( n12) ]n ( n 1)( n2 n ( n1)( n⋯⋯例 25. 求数列1,11 , 的前 n 和 ., ,12 23 n n 1例 26. 在数列 {a n } 中， a n12n ，又 b n2，求数列 {b n } 的前 nn 1 n 1 n 1a nan 1的和 .⑶分 法乞降有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 若将 数列适合打开，可分 几个等差、等比或常 的数列，而后分 乞降，再将其归并即可. 一般分两步：①找通向 公式②由通 公式确立怎样分.例 27. 求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 和 .例 28.求数列的前 n 项和： 1 1,14, 1 7, ,13n 2aa 2 a n1⑷倒序相加法假如一个数列a n ，与首末两 等距的两 之和等于首末两 之和， 可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就获得了一个常数列的和， 种乞降方法称 倒序相加法。
(完整版)高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结
数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝1，n ≥2；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k=-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤1)1)11n n n n n n n n n +=<<=-+++-(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
高二数学必修5数列求通项、求和知识点+方法+练习题总结
数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系.然后猜想检验.即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝，n；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n ). 累积法.如a n ＋1a n＝f (n )； (5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0.且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法： ①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差.即.然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k =-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤=<<=(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成.那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性.则常可考虑选用倒序相加法.发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时.常将“和式”中“同类项”先合并在一起.再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项 [题型1] )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+.利用累加法(逐差相加法)求解。
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数列专项-2 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
例1.写出下列数列的一个通项公式a n
（1）-1,4，-9,16，-25,36，......；
（2）2,3,5,9,17,33，......。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。
例2.设数列{}a n 的前n 项和为()()
*∈-=N n a S n n 131 （1）求21a a 、；（2）求数列n a 的通项公式。
例3.设数列{}a n 的前n 项和为()*∈+=N n a S n
n 12，求证n a 为等比数列并求其通项公式。
类型Ⅲ 累加法：
形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造： 11221(1)(2)..(1.
)
n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥
适用于)(n f 是可求和的情况。
①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
例4.设数列{}a n 满足11=a ，121+=-+n a a n n ，求数列的通项公式。
② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
例5.设数列{}a n 满足21=a ，n n n a a 21=-+，求数列的通项公式。
③若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
例6.设数列{}a n 满足11=a ，1321++=-+n n a a n n ，求数列的通项公式。
④若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.
例7.设数列{}a n 满足11=a ，)
1(11+=-+n n a a n n ，求数列的通项公式。
类型Ⅳ 累乘法： 形如1()n n a a f n +=⋅1()n n a f n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：
1
1221
(1)
(.2)(1..)n n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-⎧⎪⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相乘，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-⋅-⋅⋅≥
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
适用于积可求和的情况。
例8.设数列{}a n 满足21=a ，n n a n
n a 11+=+，求数列的通项公式。
例9.设数列{}a n 满足21=a ，)2(log 11+⨯=++n a a n n n ，求数列的通项公式。
巩固习题
1.等比数列n a 的前n 项和12-=n n
S ，则?......2232221=++++n a a a a 2.已知数列n a 满足1321
+⨯+=+n n n a a ，31=a ，求数列的通项公式。
3.已知数列n a 满足n n n a n a ⨯+=+5121
）（，31=a ，求数列的通项公式。
4.已知数列n a 满足11=a ，)2()1(......321321≥-++++=-n a n a a a a n n ，求数列的通项公式。
5.在数列{}a n 中，131=a ，且4321+=+n n a a ，求数列n a 的通项公式。
答案详解
例1.
)()1(）1（2*∈⋅-=N n n a n n
)(12）2（1*∈+=-N n a n n 例2. 4
1,21）1（21=-=a a )()21
(）2（*∈-=N n a n n
例3. )(21*∈-=-N n a n n 例4. )(2*∈=N n n a n 例5. )(2*∈=N n a n n
例6. )(13
)3)(1(2*∈++-=N n n n a n 例7. )(1
2*∈-=N n n a n
例8. )(2*∈=N n n a n 例9. ))(1(log 22*∈+=N n n a n
巩固习题
1. )(3
14*∈-=N n a n n 2. )(1
3*∈++=N n n a n n 3. )(！5232)
1-(1*∈⨯⨯⨯=-N n n a n n n n 4. ⎪⎩⎪⎨⎧≥==2,2
!1,1n n n a n 5. )(12)32
(1*∈+=-N n a n n。