立体几何之内切球与外接球求法 习题
内切球与外接球求法(经典习题)讲解
一、球与棱柱的组合体问题1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶3D. 1∶9答案 C3.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（） 3A.22B.234243C.D. 33324.(吉林省吉林市2008届上期末)，则它的外接球的表面积为（） 3A．．2π C．4π 83D．3答案C5.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案，底面周长为3，86.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为则这个球的体积为．答案7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为形.若则△OAB的面积为______________.二、锥体的内切球与外接球8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案9.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．答案 F10. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）333 B． C． D． 43412答案 B A．11.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．．C．．以上都不对答案C212．正三棱柱内接于半径为的球，若的边长为22，则正三棱柱的体积为．答案 82014高三补充题：（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为，则（答：2）（2）三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：）（4）在三棱柱中，侧棱AA1垂直底面，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球表面积为______（答：）(5) 在四面体ABCD中，则四面体ABCD的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：00（6）四棱锥的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于4，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为________（答：）（7）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为______(答：（8）已知O的直径是球O球面上的三点，是正三角形，且则三棱锥的体积为（ B ） A.33933 B. C.D. 4424(9)(长春第四次调研试题)已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.7654 B. C. D . 11111111（10）（辽、哈、东北师大一联模）球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面，是边长为2的正三角形，面面ABC,则棱锥的体积的最大值为（D ） A. B.1 C. D. 323(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体的各顶点都在同一个球面上，若四面体的表面积为83，则球的体积为_________（答：）(1２)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为２锐角６０的菱形，则此几何体的内切球表面积为（）（１３）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD中，，，若将沿BD折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为________（答：６）（１４）已知矩形ABCD的顶点都在半径为４的球O的球面上，且则棱锥的体积为________（答：8）(15)点A,B,C,D在同一个球的球面上，若四面体ABCD体积的最大值为个球的表面积为 (答：C)A.2，则这。
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--专题强化练4 空间几何体的内切球和外接球
2022版人教A版高中数学必修第二册--专题强化练4空间几何体的内切球和外接球一、选择题1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为()A.32π3B.32πC.64πD.64π32.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高一上期末,)如图,正四棱锥P-ABCD 的侧棱和底面边长都等于2√2,则它的外接球的表面积为()A.16πB.12πC.8πD.4π3.(2020安徽合肥六校联盟高二上期末,)已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则V1V2=()A.18B.38C.14D.8274.()设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12√3B.18√3C.24√3D.54√35.()在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6πD.32π36.(2020江西高安中学高一上期中,)已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,侧棱AB=2√3,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是()A.[5π4,4π] B.[2π,4π]C.[9π4,4π] D.[11π4,4π]二、填空题7.(2020湖南郴州高一上期末,)如图所示,边长为2的正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2,G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S-EFG,使G1、G2、G3三点重合,重合后记为点G,则三棱锥S-EFG的外接球的表面积为.8.(2020安徽合肥高三一模,)如图,已知四棱锥P-ABCD的外接球O的体积为36π,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直,四边形ABCD为矩形,点M在球O的表面上运动,则四棱锥M-ABCD体积的最大值为.9.(2020广东中山第一中学高一上第二次段考,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为.10.(2020广东广州白云高三下模拟,)将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为2√6,则r的最大值为.答案全解全析一、选择题1.D过球心O作底面ABC的垂线,垂足为O',易知OO'=2,O'A=23×2×√32=2√33.易知OA2=OO'2+O'A2,所以OA=√4+43=√3,所以球O的表面积S=4π·OA2=64π3.故选D.2.A设正四棱锥外接球的球心为O,半径为R,正四棱锥底面的中心为O1,则O在正四棱锥的高PO1上.连接AC,在直角三角形ABC中,AC=√2AB=√2×2√2=4,所以AO1=2,所以正四棱锥的高PO1=√AP2-AO12=√(2√2)2-22=√8-4=2,因为PO1=AO1,所以O与O1重合,即正四棱锥外接球的球心是底面的中心O1,且球的半径R=2,故球的表面积S=4πR2=16π.故选A.3.B该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为√52-32=4,故S△SAB=12×6×4=12×(5+5+6)r,解得r=32,故V1=43π×r3=9π2,V2=13π×32×4=12π,故V1V2=9π2×112π=38.4.B设△ABC的边长为a,则S△ABC=12a·a·sin 60°=9√3,所以a=6.设△ABC的外接圆的半径为r,则2r=6sin60°,得r=2√3,则球心到平面ABC的距离为√42-(2√3)2=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×9√3×6=18√3,故选B.5.B易得AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)×r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,此时球的直径为3,则半径R=32,所以球的体积V=43πR3=9π2.故选B.解题反思要使球的体积取最大值,则该球的半径应取到最大值,即该球与三棱柱的侧面或底面内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与三棱柱高的关系,从而确定出球的半径的最大值.6.B设△BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接AO1,则O在AO1上.连接O1D,OD,O1E,OE,如图,=√3,则O1D=3×sin 60°×23则AO1=√AD2-O1D2=√12-3=3.在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中,O1E=√3+4-2×√3×2×cos30°=1,∴OE=√O1E2+OO12=√1+1=√2.过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的面积最小,此时,截面圆的半径为√22-(√2)2=√2,面积为2π;当截面过球心时,截面圆的面积最大,最大面积为4π.故选B.二、填空题7.答案6π解析设三棱锥S-EFG外接球的半径为R.由题意可知,SG⊥EG,SG⊥GF,GE⊥GF,所以将三棱锥S-EFG补成如图所示的长方体,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.因为SG=2,GE=GF=1,所以外接球的直径2R=√22+12+12=√6,即R =√62.所以三棱锥S -EFG 的外接球的表面积S =4πR 2=6π.8.答案814解析 设球O 的半径为R ,则43πR 3=36π,故R =3.由题易知PA ,AB ,AD 两两垂直,所以将四棱锥P -ABCD 补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则c =3,因为a 2+b 2+32=62,所以a 2+b 2=27,又a 2+b 2≥2ab ,所以ab ≤272,当且仅当a =b =3√62时,等号成立.要使得四棱锥M -ABCD 的体积最大,只需点M 为平面ABCD 的中心O'与球心O 连线所在的直线与球的交点(点M 、O'在球心O 两侧), 又OO'=12PA =32,所以四棱锥M -ABCD 体积的最大值为13×272×(32+3)=814.9.答案400π3cm 2解析 如图1,连接OE 交AB 于点I.图1设正方形的边长为x cm , 则OI =x2 cm ,IE =(12-x2)cm .因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4×x 2×(12-x2)=2x 2,所以x =8.设E ,F ,G ,H 重合于点P ,该四棱锥的外接球的球心为Q ,如图2,图2易知OC =4√2 cm ,PC =EA =√82+42=4√5 cm ,所以OP =√PC 2-OC 2=4√3 cm . 设外接球的半径为R cm , 则R 2=(4√3-R )2+(4√2)2,所以R =10√33,所以外接球的表面积S =4π×(10√33)2=400π3(cm 2).10.答案 1解析 如图1,设△BCD 的中心为O 1,则正四面体的外接球球心O 在AO 1上,连接OD ,O 1D.图1则O 1D =23×CD ×√32=2√2,AO 1=√AD 2-DO 12=4,设外接球的半径为R ,则R 2=(AO 1-R )2+DO 12,解得R =3.设正四面体A -BCD 内切球的半径为r 1,根据等体积法可得13r1×12×(2√6)2×sin 60°×4=13×12×(2√6)2×sin 60°×4,故r 1=1,根据题意得R =3≥3r ,r ≤r 1,所以r ≤1.设OO 1与球O 的球面相交于点Q ,如图所示,画出截面图,O 1Q =R -OO 1=2≥2r ,故r ≤1.综上所述,r的最大值为1.图2。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)
圆梦教育中心立体几何之内切球与外接球一、球与棱柱的组合体问题1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A . 1∶3B . 1∶3C . 1∶33D . 1∶9 答案 C3.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.334 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ）A ．π38 B ．2π C ．4πD ．π34答案C5.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案 2+6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案34π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为形.若,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案F9.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案10. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B11.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．π3 B ．π2C ．316πD ．以上都不对答案C12．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若22的边长为ABC ∆，则正三棱柱的体积为 ．答案 82014高三补充题：（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是h ,8,4，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为100π，则________=h （答：52）（2）三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：16π）（4）在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA 垂直底面，,1,30,900==∠=∠BC BAC ACB且三棱柱 111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球表面积为______（答：16π） (5) 在四面体ABCD 中，,5,4,6======BC AD BD AC CD AB则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：277π) （6）四棱锥ABCD P -的底面是边长为24的正方形，侧棱长都等于54，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为________（答：100π）（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为______(答：313π)（8）已知O 的直径,4=PQ C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且,300=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ 则三棱锥ABC P -的体积为（ B ）A.433 B.439 C.233 D.4327 (9)(长春第四次调研试题)已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.117 B.116 C.115 D .114 （10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点,,,,C B A S 其中C B A O ,,,四点共面，ABC ∆是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ,则棱锥ABC S -的体积的最大值为（D ） A. 3 B.31C.23D.33(11) （快乐考生预测卷一）已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在同一个球面上，若四面体11CD B A -的表面积为83， 则球的体积为_________（答：π34）(12)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为２锐角６０0的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ） A. π8 B.π4 C.π3 D.π2（13）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，0=⋅→→BC AB ，6222=+→→BD AB ，若将ABD ∆沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________（答：６π）（14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且,32,6==BC AB 则棱锥ABCDO -的体积为________（答：38）(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，,2,2===AC BC AB 若四面体ABCD 体积的最大值为32，则这个球的表面积为 (答：C) A.6125π B.π8 C 425π D.1625π。
高中数学 空间几何体的外接球与内切球 练习题(含答案)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2图3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20C ．π24D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。
π36（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.Bπ310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 29π（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；图5②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。
2020年高考数学一轮复习专题9.3空间几何体外接球和内切球练习(含解析)
9.3 空间几何外接球和内切球一．公式1.球的表面积：S ＝4πR 22.球的体积：V ＝43πR 3二．概念1.2.考向一 长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________． 【答案】29π【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 【答案】92π【解析】设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为2=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱AAA −A ′A ′A ′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．28π D ．36π【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径r =2， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则球心到圆O 的球心距d =√3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：R 2＝r 2+d 2=7，∴外接球的表面积S ＝4πR 2=28π．故选：C ．【举一反三】1. 设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为122sin 3a π⋅=，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是.2.直三棱柱AAA −A 1A 1A 1中，已知AA ⊥AA ，AA =3，AA =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________． 【答案】50π【解析】AAA −A 1A 1A 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AA ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1A 是球的直径，∴A =A 1A2；∵AA ⊥AA ，∴AA =√32+42=5 ，∴A 1A 2=52+52=50 ；故该球的表面积为A =4AA 2=4A (A 1A 2)2=AA 1A 2=50A考向三 棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，体积为2，则此球的体积为 （ ）A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭球故选C【举一反三】1.已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径,故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.2．如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为则球O 的表面积是( )A ．4πB ．323πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．类型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =， AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C=-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 12π D.203π【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，332sin3r π=，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3 B. 127π3 C. 115π3 D. 124π3【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −AAA 其中AA =AA =2，AA =4且AA ⊥底面AAA ，∠AAA =120° 根据余弦定理可知：AA 2−AA 2+AA 2−2AA ∙AA ∙AAA 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知AA =2√7根据正弦定理可知∆AAA 外接圆直径2A =AAAAA ∠AAA=2√7AAA 120°=4√7√3∴A =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为A ，球心为A ，过球心A 向AA 作垂线，则垂足A 为AA 的中点AA =1，在AA ∆AAA 中，A 2=AA 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积A =4AA 3=4A ×313=124A3故选A2.已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足R ==故三棱锥外接球的体积34.3V R π== 故选D. 类型三：侧面垂直与底面型【例3】已知四棱锥A −AAAA 的三视图如图所示，则四棱锥A −AAAA 外接球的表面积是（ ）A. 20AB. 101A5C. 25AD. 22A【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得AA=√5,在直角△OME中，A2+5=A2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5,AA=√A2−1,AA=A,∴√A2−1+A=√5(2)，解（1）（2）得A2=10120,∴A=4AA2=1015A.故选B.【举一反三】1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81AB. 33AC. 56AD. 41A 【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥A −AAAA ，其中AAAA 是边长为4的正方形，平面AAA ⊥平面AAAA ．设A 为AA 的中点，A 为正方形AAAA 的中心，A 为四棱锥外接球的球心，A 1为AAAA 外接圆的圆心，则球心A 为过点A 且与平面AAAA 垂直的直线与过A 1且与平面AAA 垂直的直线的交点． 由于AAAA 为钝角三角形，故A 1在AAAA 的外部，从而球心A 与点P 在平面AAAA 的两侧． 由题意得AA =1,AA =A 1A ,AA 1=AA ， 设球半径为A ，则A 2=AA 2+AA 2=AA 2+A 1A 2, 即AA 2+(2√2)2=22+(1+AA )2，解得AA =32， ∴A 2=(32)2+(2√2)2=414， ∴A 球表=4AA 2=41A ．选D ．2．已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，AC =BC CD BD ===O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】3AB =，AC =BC =222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，ABC ∴∆ ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，∴球心在BC 边的高上，设球心到平面ABC 的距离为h ，则2223()2h R h +==， 1h ∴=，2R =，∴球O 的表面积为2416R ππ=．故选：C ．3．三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．12π B ．20πC ．32πD ．100π【答案】B【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒， 又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心， 则22sin sin 30AC CG ABC ==∠︒，2CG ∴=．再设CG 交AB 于D ，可得1CD =，AB =1DG =． 在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ， 则223BH PH PD ===． 过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ，则O 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径R OB ===∴该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=．故选：B ．类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥A −AAA 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3AB. 2AC. 43A D. 4A 【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为A =4×A ×(√32)2=3A ．选A ．【举一反三】1．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为( )A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π【答案】B【解析】如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形，且PBC ∆的面积为212PBC S PC OB R ∆==， PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，因此，球O 的体积为33414433R R a πππ=⨯=，故选：B ．考向四 墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B ．2 C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径2r ==则：343V π=⋅⋅=⎝⎭.故选：B ．【举一反三】1.已知四面体AAAA 的四个面都为直角三角形，且AA ⊥平面AAA ，AA =AA =AA =2，若该四面体的四个顶点都在球A 的表面上，则球A 的表面积为（ ） A ．3AB ．2√3AC ．4√3AD ．12A【答案】D【解析】∵AA =AA =2且AAAA 为直角三角形 ∴AA ⊥AA 又AA ⊥平面AAA ，AA ⊂平面AAA ∴AA ⊥AA ∴AA ⊥平面AAA 由此可将四面体AAAA 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球A正方体外接球半径为体对角线的一半，即A =12⋅√22+22+22=√3 ∴球A 的表面积：A =4AA 2=12A 本题正确选项：A2．已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π【答案】D【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ， 其外接球即为正方体1AC 的外接球，由1AC ==∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．故选：D ．3．在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6πC ．4πD ．3π【答案】A 【解析】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径2r ==∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．故选：A ．考向五 内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球． 【举一反三】1．球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1:1 B ．2:1C ．3:2D ．4:3【答案】C【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，222226S R R R R πππ∴=⨯+⨯=圆柱，24S R π=球．∴此圆柱的全面积与球表面积之比是：226342S R S R ππ==圆柱球．故选：C ．2．若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 ．【答案】6316π【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为164122⨯⨯=． 设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积14163ABC V S r r ∆==， 取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，则CD ⊥平面AOB ，4AO BO ∴==，162AOB S ∆=⨯=12233A BCD C AOB V V --∴==⨯⨯=，16r ∴=，解得r =． ∴内切球的表面积为263416S r ππ==． 故答案为：6316π．3．一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为( )A BC D 【答案】A【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为r ，可得：21111222(322)3232r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得r ==故选：A ．考向六 最值问题【例6】已知球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，2AB =，若四棱锥O ABCD -的体积为2，则当球O 的表面积最小时，球的半径为( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】由题意，球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，球心O 在T 对角线交点上， 可得：四棱锥O ABCD -的高为1(2h h 是长方体的高）， 长方体的边长2AB =，设BC a =，高为h ， 可得：112223a h ⨯⨯⨯⨯=，即6ah =，6h a∴=那么：23614222R ==+=，（当且仅当a =故选：B ． 【举一反三】1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．1．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．2【答案】D【解析】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：03,2sin 60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒=外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ===+=解得1,2OM MN h ===故棱柱的体积为：133222V Sh ==⨯⨯⨯= 故答案为：D. 2．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A ．3B C ．D ．16π【答案】A【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC ==∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又12DC BC =12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD 作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x =R ∴==∴球O 的体积：3433V R π==本题正确选项：A3．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC = （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π2ACB ∠=，设球的半径为R ，根据题目所给体积比有34π114π332R R =⋅⋅，解得1R =，故球的表面积为4π.4．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163π B ．283πC ．11πD ．323π【答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：3，所以：外接球的半径为：R =故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C ．193πD ．223π【答案】A的四棱锥，且侧面PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1设四棱锥的外接球的球心为O ，则过O 作OM 垂直平面PAB ，M 为三角形PAB 的外心，作ON 垂直平面ABCD ，则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,233OM ON ===所以外接球的半径222221912R ON AN R =+=+=∴=所以外接球的体积343V R π== 故选A 6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6AB ．6AC ．9AD ．24A【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥A −AAAA ．底面AAAA 为矩形，其中AA ⊥底面AAAA ．AA =1，AA =2，AA =1．则该阳马的外接球的直径为AA =√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4A ×(√62)2=6A ．故选：A ．7．如图，边长为2的正方形AAAA 中，点A、A 分别是AA、AA 的中点，将AAAA ，AAAA ，AAAA分别沿AA ，AA ，AA 折起，使得A 、A 、A 三点重合于点A ′，若四面体A ′AAA 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．5AB ．6AC ．8AD ．11A【答案】B【解析】由题意可知△A′AA 是等腰直角三角形，且A′A ⊥平面A′AA ． 三棱锥的底面A′AA 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：√1+1+4=√6． ∴球的半径为√62，∴球的表面积为4A ·(√62)2=6A ．故选：A ．8．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球A 的球面上，则球A 的表面积是：（ ）A ．8AB ．12√3AC ．12AD ．48A【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2． 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4A ×(√3)2=12π．故选：C ．9．已知三棱锥A −AAA 的底面AAAA 的顶点都在球A 的表面上，且AA =6，AA =2√3，AA =4√3，且三棱锥A −AAA 的体积为4√3，则球A 的体积为（ ） A ．32A3B ．64A3C ．128A3D ．256A3【答案】D【解析】由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，AA =2√3，AA =4√3，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13•OM •12AB •BC =16OM •12√3=4√3，解得OM ＝2， R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即R ＝4，球O 的体积为43πR 3=43π•64=2563π．故选：D ．10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）AB ．8πCD ．43π 【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==， 又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =，所以外接球的体积为334433V R ππ==⨯=C. 11．在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．163π C ．43π D【答案】B【解析】因为1,AB AC BC ===，由余弦定理可求得23BAC π∠=， 再由正弦定理可求得ABC ∆的外接圆的半径122sin3BCr π==， 因为2PA PB PC ===，所以P 在底面上的射影为ABC ∆的外心D，且PD =，设其外接球的半径为R，则有2221)R R =+，解得R =24164433S R πππ==⨯=，故选B.12．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12πC ．32πD ．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以SC =设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，在直角三角形SBC 中，OB=12SC =所以,所以点O所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.故选：B13．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2B C ．2π D ．3π【答案】D【解析】根据题意, AC 为截面圆的直径, AC =设球心到平面ABC 的距离为d ,球的半径为R 。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ ＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习17 立体几何外接球与内切球(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题17 立体几何外接球与内切球一、单选题1．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为O 的体积为（）A ．323πBC ．1254πD 【答案】A【分析】根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积【详解】设底面边长为a ，侧棱长为b ，因为底面面积为6，所以26a =，得a =因为侧面积为所以142⨯=b = 连接,AC BD 交于点1O ，连接1PO ，则可得1PO ⊥平面ABCD ，，所以四棱锥P ABCD -的高13PO =，点O 在1PO 上，连接OA ，设球的半径为R ，则222(3)R R =-+，解得2R =，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯=， 故选：A2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，4PA BC，3AB =，AB BC ⊥，若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 上，则球O 的半径为（）A B ．34 C ．38 D ．32【答案】A【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球. 外接球的半径为12R PC ===故选：A3．已知ABC∆是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，3 BC=，PB=PC=P ABC-外接球的体积为（）A．10πBC．53πD【答案】D【分析】由ABC为直角三角形，可知BC中点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为PBC的外心.利用正余弦定理求出PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以l⊂平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，222 cos2PB BC PCPBCPB BC+-∠==⋅所以sin PBC∠=，则PBC外接圆的半径为12V=故选：D4．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，1BC BD ==，ACD △此三棱锥外接球的表面积为（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】A【分析】 利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE ，求解直角三角形得,AC AD ，利用余弦定理得出90ACB ADB ∠=∠=，可得AB 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】1BC BD ==，60CBD ∠=︒，1CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △ACD △的高AE =则可得AC AD ==在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，2131212AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得2AB =， 则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1，故外接球的表面积为2414ππ⨯=.故选：A.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，4MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为（） A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π【答案】C【分析】将问题转化为棱长为4的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图所示，鳖臑M ABC -的外接球即为棱长为4的正方体的外接球，∴该鳖臑的外接球半径R == ∴该外接球表面积2448S R ππ==.故选：C .6．已知三棱锥B ACD -中，2AB BC AC ===，CD BD ==BC 的中点为E ，DE 的中点恰好为点A 在平面BCD 上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（）A ．1415BC ．2511D ．1511【答案】D【分析】如图，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，根据题意和勾股定理求出BF 、AF ， 设球心到平面BCD 的距离为h ，利用勾股定理求出h ，进而可得出结果.【详解】由题意知，如图，BCD △为等腰直角三角形，E 是外接圆的圆心，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，则点F 为DE 的中点，所以BF =，所以2AF =， 设球心到平面BCD 的距离为h ，由BO =AO ，在Rt BOE △和Rt AOM 中，可得2211)4h h +=+，解得h =2215111r h =+=. 故选：D7．如图，把两个完全相同的直三角尺SBC ，SAC 斜边重合，沿其斜边SC 折叠形成一个120°的二面角，其中2SA SB ==，且AB =SABC 外接球的表面积为（）A ．4πB ．163πC ．3πD ．203π 【答案】B【分析】 过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，证得BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，进而求出SC 的长度，然后取SC 的中点O ,证得O 为空间四边形SABC 外接球的球心，从而可知SC 为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.【详解】过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，由于Rt SBC △和Rt SAC △全等，所以AD SC ⊥，AD BD =，所以BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，即120BDA ∠=，在ABD △中，结合余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，即221322BD BD BD BD ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，因此233BD =，因为0BD >，所以1BD =，在Rt SBD △中，1sin 2BSD ∠=，从而6BSD ∠=π，在Rt SBC △中，cos SB BSD SC∠==，又因为2SB =，所以SC =SC 的中点O ，连接,OB OA ，由于SC 是Rt SBC △和Rt SAC △的斜边，所以OB OA OS OC ===，故O 为空间四边形SABC 外接球的球心，SC 为球直径，所以空间四边形SABC SABC 外接球的表面积为21643ππ⨯=⎝⎭， 故选：B.8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（）A ．6B ．18C ．D ．【答案】B【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.【详解】设球O 的半径为r ，则2428r ππ=，则r =设三棱柱111ABC A B C -的棱长为a ，连接111,A A C C B B 的外心21,O O ，则21O O 的中点O 即为球心，且22,2a O C OO ==,则2222a r ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a =2318V a =⨯==． 故选：B.9．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 【答案】C【分析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.【详解】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，12R =245S ππ==， 故选:D.10．已知正四面体ABCD 的表面积为A 、B 、C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．B C D ．3π【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，则根据正四面体ABCD 的表面积即可得出a =1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径. 【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，所以该正四面体的表面积为2142S a =⨯⨯== 所以a =，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，O 的体积为343π⨯=⎝⎭． 故选：C .11．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】利用勾股定理判断PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点O 即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【详解】由题意可知222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点为O ，此点即为外接球的球心，则外接球半径R =3OA ， 所以四棱锥外接球的表面积2436S R ππ==.故选：C12．三棱锥D -ABC 中，AB =DC =3，AC =DB =2，AC ⊥CD ，AB ⊥DB .则三棱锥D -ABC 外接球的表面积是（）.A ．9πB ．13πC ．36πD ．52π【答案】B【分析】 由题可得球心为AD 的中点，即求.【详解】OC OB，因为AC⊥CD，AB⊥DB取AD的中点为O，连接,∴OC OA OD OB===即O为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴AD∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为13π.故选：B.13．已知一个圆锥的母线长为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A．36πB．48πC．36D．【答案】A【分析】先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r2r π=，解得：r =作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则4h ==.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =即R =R =3， 所以该圆锥的外接球的体积为334433633R πππ==. 故选：A.14．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】B【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==.因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =.设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BC r a BAC==∠. 设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =等号成立）， 故球O 的表面积为2416R ππ≥.故选：B15．三棱锥P ABC -的顶点均在一个半径为4的球面上，ABC 为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据球的性质，结合线面垂直的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示：点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥P ABC -体积最大，此时，4OP OB R ===，因为6AB =，所以24ABCS AB == 点M 为三角形ABC 的中心，23BM BE ∴===Rt OMB ∴中，有2OM =，426PM OP PM ∴=+=+=，()max 163P ABC V -∴=⨯= 故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题16．已知D ，E 分别是边长为2的等边ABC 边AB ，AC 的中点，现将ADE 沿DE 翻折使得平面ADE ⊥平面BCDE ，则棱锥A BCDE -外接球的表面积为_________． 【答案】133π 【分析】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可得G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，得出两垂线的交点O 为棱锥A BCDE -外接球的球心，求出半径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可知DG EG BG CG ===，则G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，过G 作平面BCED 的垂线，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，设两垂线的交点为O ，则O 为四棱锥A BCDE -外接球的球心，ADE 的边长为1，OG HK ∴=则四棱锥A BCDE -外接球的半径OB =，∴四棱锥A BCDE -外接球的表面积为21343ππ⨯=⎝⎭. 故答案为：133π 17．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M （1B 不在平面AMCD 内），连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_________.①//CN 平面1AB M ；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】①③【分析】取1AB 中点，可判断①；通过1AD B D ⊥不成立，可判断②；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断③.【详解】取1AB 中点P ，连接PM ，PN ，故//PN AD ，//PN MC ，四边形PMCN 为平行四边形， 故//NC PM ，即//CN 平面1AB M ，①正确；由底面ABCD 为矩形，可知AD CD ⊥，若CN AD ⊥，则需1AD B D ⊥，由已知可得1AD B D ⊥不成立，故②错误；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点O 为外接球球心，则该球的半径1r =，表面积244S r ππ==，故③正确；故答案为：①③.18．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________.【答案】18π【分析】过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，将问题转化为半圆与矩形的内接问题，进而求出半球的半径r，再利用球的表面积公式进行求解.【详解】设该半球的半径为r，过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则面α截半球面得半圆，截正方体得一个矩形，且矩形内接于半圆（如图所示），在矩形ABCD中，2AB=，BC==,则r所以半球的表面积为2222ππ3π18πS r r r=+==.故答案为：18π.19．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A BCD-的体积的最大值为83，则该球O的体积为________．【答案】32 3π【分析】易知CD为该球的直径，由顶点A在底面的射影为球心O，且底面BCD为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD-体积最大求解.【详解】如图所示：因为球心O在CD上，所以CD 为该球的直径，由此易知，当顶点A 在底面的射影为球心O 时，且底面BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD -体积最大， 所以1182323R R R ⨯⋅⋅⨯=， 解得2R =，故所求球O 的体积为343233S R ππ==. 故答案为：323π. 20．圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3,则该圆台的体积为_______．【答案】3【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'OO =据此可得圆台的体积：()22133113V π=⨯+⨯+=.故答案为：3. 21．已知三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝4，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120︒，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为_____． 【答案】32π 【分析】把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，找出球心，求出球的半径即可求解. 【详解】如图，把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为21,O O ，球的半径为R ，则外接球的球心O 为12O O 的中点， 由正弦定理11224,2sin 30O A O A ⋅==∴=，又112,2OO SA OA R ==∴==，则其外接球的表面积为224432R πππ==． 故答案为：32π.22．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为_________． 【答案】9π 【分析】易知球心O '在正四棱锥的高OP 上，可利用勾股定理构造出关于外接球的半径R ，解方程求得R 后，利用球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，O 为底面正方形的中心，则2OP =，2AB =，则正四棱锥的外接球的球心O '在OP 上，则外接球的半径R 满足()2222R R -+=，解得：32R =，∴该球的表面积249S R ππ==．故答案为：9π.23．已知在四面体ABCD 中，AB CD AD AC BC BD ======ABCD 的外接球表面积为______. 【答案】9π 【分析】把四面体ABCD 补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】对于四面体ABCD 中，因为AB CD AD AC BC BD ====== 所以可以把四面体ABCD 还原为一个长方体，如图：设从同一个顶点出发的三条边长分别为x 、y 、z ，则有：222222855x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 点A 、B 、C 、D 均为长、宽、高分别为2，2，1的长方体的顶点， 且四面体ABCD 的外接球即为该长方体的外接球， 于是长方体的体对角线即为外接球的直径， 不妨设外接球的半径为R，∴2R ， ∴外接球的表面积为224ππ(2)9πR R ==. 故答案为：9π.24．已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=，则球O 的体积为__________【答案】1256π 【分析】由题可证AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，因此可把四面体ABCD 放入长方体中，则易求其外接球的体积. 【详解】∵四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ， 又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=， ∴cos6023CD = ∴222BC CD BD +=， ∴AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，∴以BC CD AB 、、为长方体的长、宽、高构造长方体，则球O 的半径为522AD =， ∴球O 的体积为345=632125ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 故答案为：1256π. 25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑A BCD -中，满足AB ⊥平面BCD ，且有,2,1BD CD AB BD CD ⊥===，则此时它外接球的体积为_______. 【答案】9π2. 【分析】根据题意，将图形还原成长方体，进而求该长方体外接球的体积即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，AB ⊥BD ，又BD ⊥CD ，即AB ，BD ，CD 三条直线两两垂直，如图，将鳖臑还原为长方体111BMCD AM C D -，则问题转化为求该长方体外接球的体积.设外接球的半径为R ，则32R 3R 2=⇒=.所以外接球的体积3439π×π322V ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：9π2.26．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===，则球O 的表面积是_______； 【答案】4π 【分析】先确定外接球的球心，再根据勾股定理得到半径，进而计算表面积得到答案. 【详解】如图，取AC 中点H ，则H 为ABC ∆的外接圆的圆心 易知球心O 在点H 的上方，且12OH =，此时球的半径1r OC ====， 244S r ππ∴==球.故答案为：4π27．一个正四面体表面积为1S ，其内切球表面积为S 2.则12S S =___________.【分析】设正四面体的棱长为a ，用a 表示正四面体表面积为1S ，求得正四面体的高，再利用等体积法求得其内切球的半径为r 即可. 【详解】 如图所示：设正四面体的棱长为a ， 因为正四面体表面积为1S ，所以221142S =⨯=，正四面体的高为h ， 设正四面体的内切球的半径为r ，则正四面体的体积为2211433V r ==⨯⨯，解得r =， 所以22246a S r ππ==，所以126S S28．已知四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AC ＝4，CD ＝AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______． 【答案】88π． 【分析】首先四面体补体为长方体，借助长方体求外接球的半径，求四面体的外接球的表面积. 【详解】解：因为AD ＝6，AC ＝4，CD ＝222AD AC CD +=， 所以AD AC ⊥又因为AB ⊥平面ACD ， 由题意可知几何体是长方体的一部分，如图，长方体的对角线的长为l所以球的表面积为：2488ππ⋅=⎝⎭．故答案为：88π29．设体积为P ABC -外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ABC -内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R，则球O 的半径R =__________． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】 取ABC 的中心G ．连接PG ，则PG ⊥平面ABC 且球心O 在PG 上．由条件知，3R OG =，连接OA ，AG ，则AG =，设等边ABC 的边长为a ，所以等边ABC ，因此23AG ==，所以有R a 362=，于是ABC R ．又OP R =， 故三棱锥P ABC -的高是：1433R R R +=，所以223148)333P ABC V R R R -=⋅⋅=⋅==3R =．故答案为：330．在边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，则所得三棱锥D ABC -外接球的表面积等于___________.【答案】60π【分析】过ABC 的外心1O 作平面ABC 的垂线，过ADC 的外心2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，然后根据已知的数据求出球的半径，从而可求得球的表面积【详解】解：如图，取AC 的中点E ，连接,BE DE ， 因为边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 和ADC 均为正三角形， 所以,BE AC DE AC ⊥⊥,因为二面角B AC D --为直二面角，所以BE DE ⊥， 设1O ，2O 分别是ABC 和ADC 的外心，过1O 作平面ABC 的垂线，过2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则O 到,,,A B C D 的距离相等，所以点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，因为2111633OO O E BE ====, 222633DO DE ===所以OD =所以三棱锥D ABC -外接球的表面积为2460ππ=，故答案为：60π。
专题12 球的外接、内切及立体几何最值问题-高中数学专项训练测试卷(原卷版)
专题12球的外接、内切及立体几何最值问题（一）几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．①若球为正方体的外接球，则2R ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R a .④如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，a 的正四面体A 1BDC 1，其体积为正方体体积的13.（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝（3）棱长为a的正四面体中：①斜高为32a；②高为63a；③对棱中点连线长为22a；④外接球的半径为64a；⑤内切球的半径为12a；⑥S表面积a2；⑦V＝12a3；⑧相邻两个面的二面角：cosα＝1 3；⑨三条侧棱与底面的夹角：cosβ＝33；⑩正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.（二）球“切”的处理1．解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径，3VrS=表面积.(3)在求四面体内切球的半径时,应重视分割的思想方法,即将该四面体分割为以球心为顶点,各面为底面的四个三棱锥,通过其体积关系求得半径.（三）球外接的处理1．把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．2．（1）确定球心和半径解题思维流程：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．(3)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.(4)若球面上四点P,A,B,C的连线中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构造长方体或正方体解决问题.3.球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题;球与多面体的组合,一般通过多面体的一条侧棱和球心,并结合“切点”或“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题求解.（四）球心的确定1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．2．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．3．由球的性质确定球心①球的截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面，则有222=+.R r d（五）几何体侧面、表面最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式计算最值．(3)几何体表面两点间距离(路程)最小问题，“展平”处理．（六）截面最值问题的解法（1）建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．（2）猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等．题型一球与旋转体“切”的问题【典例1】（江西省2023届高三教学质量监测数学（理）试题）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心O （水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（）A．1B．12C．13D．16【典例2】（2023·河北石家庄·统考一模）已知圆台的上､下底面圆的半径之比为12，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上､下底面及母线均相切，则球O的表面积为（）A．3πB．5πC．8πD．9π【总结提升】1.利用几何体特征；2.利用旋转体的轴截面.题型二球与多面体“切”的问题【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥A BCD-的所有棱长均为2，若球O经过三棱锥A BCD-各棱的中点，则球O的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．8π【典例4】（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC的，底面边长为a，则它的内切球的半径为（）A B C．5a D【典例5】（2023·青海·校联考模拟预测）已知体积为4π3的球1O与正三棱柱111ABC A B C-的所有面都相切，则三棱柱ABC-111A B C外接球的表面积为（）A．24πB．20πC．16πD．12π题型三球与旋转体“接”的问题【典例6】（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）圆台上､下底面圆的圆周都在一个半径为5的球面上，其上､下底面圆的周长分别为8π和10π，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．【典例7】（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为则圆锥的底面半径为______；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______.【典例8】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知圆柱1OO 的轴截面是边长为8的正方形，,A B 是圆O 上两点，,C D 是圆1O 上两点，且6,AB CD AB CD ==⊥，则四面体ABCD 的外接球的表面积为______，四面体ABCD 的体积为______.题型四球与多面体“接”的问题【典例9】（2023·四川凉山·二模）在四面体A BCD -中，AB CD AD BC AC BD ======A BCD -外接球表面积是（）A ．64πB ．32πC ．256πD ．256π3【典例10】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且AD =外接球O 的表面积为12π，则1AA =_______________．【典例11】（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长为2的正方形，PD =1AP =，则四棱锥P ABCD -外接球的体积为__________.【总结提升】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；题型五几何体面积、体积的最值问题【典例12】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）半径均为R 的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（）A ．32π3R B ．33R C ．327R D ．327R 【数列13】（宁夏吴忠市2023届高三模拟联考）已知表面积为54的正方体1111ABCD A B C D -的顶点都在球O 上，过球心O 的平面截正方体所得的截面过正方体相对两棱1BB ，1DD 的中点F ，E ，设该截面与1AA 及1CC 的交点分别为M ，N ，点P 是正方体表面上一点，则以截面EMFN 为底面，以点P 为顶点的四棱锥的体积的最大值为___________.【典例14】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知某圆锥的内切球的体积为32π3，则该圆锥的表面积的最小值为__________．【典例15】（2022春·山东青岛·高一校考期中）已知正三棱柱的顶点都在同一个半径为的球面上，①当三棱柱的侧棱长等于底面边长时，三棱柱的体积为______，②该三棱柱侧面积的最大值为______．题型六几何体截面的最值问题【典例16】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABCD ,2PA AB BC ===，点E 在棱PB 上，且2EB PE =，过E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是____________.【典例17】（2023·河南郑州·统考二模）已知三棱锥P －ABC 的各个顶点都在球O 的表面上，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，PB PC ==平面PBC ⊥平面ABC ，若点E 满足4BC BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的取值范围为______．题型七距离、长度的最值问题【典例18】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知正三棱锥S ABC -的底面边长为3，侧棱长为P 为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P 到平面SAB 的距离的最大值为（）A ．2613B ．2613C ．2413+D ．2413【典例19】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AA ==，AB ，cos 3ACB ∠=，P 为线段1BC 上的动点．(1)当P 为线段1BC 上的中点时，求三棱锥B PAC -的体积；(2)当P 在线段1BC 上移动时，求AP CP +的最小值．一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =4PB PC ==．以BC 为直径的球与平面APC 的交线为l ，则l的长度为（）A ．4B ．43C ．4π3D ．4π2．（2022·安徽·校联考二模）在三棱锥-P ABC 中，,12,16,45PA AB PA AB PC PBC ∠⊥==== ，则三棱锥-P ABC 外接球的体积为（）A ．4000π3B ．400πC ．169πD ．169π33．（2023·新疆阿克苏·校考一模）长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AD =，且其外接球的体积为36π，则此长方体体积的最大值为（）A ．356B ．352C ．8D ．44．（2022秋·北京·高三日坛中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC ，若,PA a PA =⊥平面PBC ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．3B ．23πa C ．3π2a D ．212a二、多选题5．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，下列说法正确的有（）A ．该圆台轴截面ABCD 面积为2B ．该圆台的体积为314πcm 3C ．该圆台的侧面积为26πcm D ．沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm6．（云南省2023届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试题）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且CA CB ⊥，2CA CB ==，球O 的表面积为12π，三棱锥-P ABC的体积为43，记点A 到平面BOC 的距离为d ，则（）A ．116PC =B ．PO =C ．d =D ．2AOB π∠=三、填空题7．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）已知AB 是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线PA =，4AB =，则此圆锥外接球的表面积为_________.8．（2023·全国·高一专题练习）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =________．9．（2022秋·湖南长沙·高二校考期中）棱长为1的正四面体外接球的表面积为______.10．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中学校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，则该四棱锥的外接球的体积为__________．11．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．12．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．13．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体ABCD 的各顶点都在球O 的表面上，2AB CD ==E ，F 分别为,AB CD 的中点，O 为EF 的中点．若AB CD ⊥，直线AC 与BD 所成的角为60︒，AB EF <，则球O 的表面积为____________．14．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知四棱锥S ABCD -的外接球O 的表面积为32π，四边形ABCD 为矩形，M 是线段SB 的中点，N 在平面SCD 上，若22SA AB SB ==，90SAD ∠= ，4BC =，则球O 的体积为______，MN 的最小值为______.四、解答题15．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）如图，正三棱锥V ABC -中，2,2AB BC AC VA VB VC ======，点,M N 分别为,VA BC 的中点，一只蚂蚁从点M 出发，沿三棱锥侧面爬行到点N ，求：(1)该三棱锥的体积与表面积；(2)蚂蚁爬行的最短路线长.16．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，222OH PO DC ===，PO ⊥平面ABCD ，H 为DC 的中点．(1)求证：平面DPO ⊥平面POC ；体积的最大值．(2)求三棱锥H POD。
立体几何内切球与外接球练习(含答案)-题型全面
几何体与球的切接1.已知侧棱与底面垂直的三棱柱ABC−A1B1C1满足AA1=2AB=2BC=4，∠ABC=90∘，则其外接球的表面积为______．2.正四棱锥P−ABCD的侧棱和底面边长都等于2√2，则它的外接球的表面积是()A. 16πB. 64πC. 16π3D. 64π33、在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，P为△ABC外一点，满足PA=PB=PC= 5√5，则三棱锥P−ABC的外接球的半径为______．4、如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC=1，AB=3，BC=√7，PA=√63，则该三棱锥外接球的表面积为______．5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( )A. 24πB. 18πC. 12πD.6π6、已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，ΔPAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为( )A. 56π3B. 64π3C. 24πD. 80π37.三棱锥P−ABC的一条棱长为m，其余棱长均为2，当三棱锥P−ABC的体积最大时，它的外接球的表面积为()A. 21π4B. 20π3C. 5π4D. 5π38、已知三棱锥S−ABC的三条侧棱SA.SB.SC两两互相垂直，且AC=√13，此三棱锥的外接球的表面积为14π，设AB=m，BC=n，则m+n的最大值为()A. √30B. 4√2C. √35D. 3√59.在正三棱锥S−ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2√2，则正三棱锥S−ABC外接球的体积是()A. 8√6πB. 12πC. 24πD. 4√6π10.已知三棱锥D−ABC的体积为2，△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D−ABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为A. 52π3B. 40π3C. 25π3D. 24π11.在三棱锥A−SBC中，AB=√10，∠ASC=∠BSC=π4，AC=AS，BC=BS，若该三棱锥的体积为√153，则三棱锥S−ABC外接球的体积为A. πB. 4√3πC. √5πD. π312、如图，求一个棱长为√2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为AB =CD =√5,AD =BC =√13,AC =BD =√10，则此四面体的体积为_______13.三棱锥中成异面直线的一对棱称为相对的棱，已知三棱锥A −BCD 中三组相对的棱分别相等，AB =5，BC =√41，且所有顶点都在一个半径为5√22的球面上，则三棱锥A −BCD 的体积为________．14、已知如图所示的几何体是由一个半球与一个圆锥组合而成的，其中半球的大圆面与圆锥的底面重合，且圆锥的母线长与底面直径均为2，若在该几何体内部放入一球，则此球半径的最大值为( )A. 1B. √22C. √3+13D. √3+1215、已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为边长为2的等边三角形，内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为( )A. 4 π 81B. C. D.1、【答案】24π解：由题意，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形， 把直三棱柱ABC −A 1B 1C 1补成正四棱柱， 则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为R =√4+4+162=√6，表面积为S =4π⋅6=24π．故答案为24π． 2.【答案】A解：如图，设正四棱锥底面的中心为O 1，设外接球的球心为O ， 则O 在正三棱锥的高PO 上． 在直角三角形ABC 中，AC =√2AB =√2×2√2=4，AO 1=2，则高PO 1=√AP 2−AO 12=√(2√2)2−22=√8−4=√4=2，则OO 1=PO 1−R =2−R ，OA =R ，在直角三角形AO 1O 中，R 2=(2−R)2+22，解得R =2，即O 与O 1重合， 即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心O 1，且球半径R =2， 球的表面积S =4πr 2=16π 3、【答案】52解：在△ABC 中，AB =8，BC =6，AC =10，所以AB 2+BC 2=AC 2， P 为△ABC 外一点，满足PA =PB =PC =5√5，则PD ⊥平面ABC ， 球心O 为PD 上一点，如图所示：所以：PD =√(PA)2−(PD)2=10， 设球的半径为R ，所以R 2=52+(10−R)2， 解得：R =52．故答案为：52 4、【答案】10π解：在底面△ABC 中，AC =b =1，AB =c =3，BC =a =√7， 由余弦定理，可得；cosA =b 2+c 2−a 22bc =1+9−72×1×3=12，即A =60°，由正弦定理可得，2r =asinA =√7√32，∴r =√213．∵PA ⊥底面ABC ，∴球心与圆心的距离为12AP =√66，∵球心与圆心的接线垂直，构成直角三角形，∴R 2=r 2+(√66)2，∴R 2=156，该三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=10π．故答案为10π．5.【答案】A 解：如图所示∵正四面体A −BCD ，棱长AD =4， ∴此三棱锥一定可以放在正方体中， 将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2√2，正方体的对角线长为2√6，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：√6， ∴外接球的表面积的值为4π·(√6)2=24π． 6、【答案】B解：令△PAD 所在圆的圆心为O 1，则圆O 1的半径，因为平面PAD ⊥底面ABCD ， 所以OO 1=12AB =2， 所以球O 的半径R =(2√33)=4√3，所以球O 的表面积=4πR 2=64π3．7、【答案】B解：由题意，三棱锥P −ABC 的一条棱长为m ，其余棱长均为2，可看成是菱形PABC ， 即PA =PC =AB =AC =BC =2，PD =m ．以AC 对折可得；当面ACP ⊥ABC 时，可得三棱锥P −ABC 的体积最大， 此时高为√3．底面为△ABC ，其外接圆半径r =√3，设外接球的半径为R ，球心与圆心的距离为x ，可得：(√3−x)2+(√33)2=R 2……①x 2+r 2=R 2……② 由①②解得：R 2=53 外接球的表面积S =4πR 2=20π3．8、【答案】A解：三棱锥S −ABC 的三条侧棱SA.SB.SC 两两互相垂直， 则此三棱锥的外接球为以SA ，SB ，SC 为棱的长方体的外接球，设SA =a ，SB =b ，SC =c ，外接球的半径为r ，则a 2+b 2+c 2=(2r )2=4r 2， 又因为外接球的表面积为，所以，解得r 2=72，所以a 2+b 2+c 2=4r 2=14，则{a 2+b 2=m 2b 2+c 2=n 2a 2+c 2=(√13)2，化简整理可得：a 2+b 2+c 2=12(m 2+n 2+13)=14， 则m 2+n 2=15，所以由基本不等式的性质：当m >0，n >0时，(m+n 2)2≤m 2+n 22=152，所以m +n ≤30，当且仅当m =n 时，取等号， 故选A ． 9、【答案】A解：∵M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点， ∴MN//SB ，MN ⊥AM ，可得SB ⊥AM ， 由正三棱锥的性质可得SB ⊥AC ， ∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S −ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．侧棱SA =2√2， ∴正三棱锥S −ABC 的外接球的直径为：2R =√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=2√6，R =√6， 故正三棱锥S −ABC 外接球的体积是43πR 3=8√6π， 10、【答案】A解：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由三棱锥D −ABC 的外接球的球心O 恰好是CD 的中点， 得V D−ABC =2V O−ABC =23×12×22×√32d =2，解得d =√3，所以R 2=(√3)2+(2√33)2=133，所以球O 的表面积为4πR 2=52π3，11、【答案】B解：如图，设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA ，OB ，OD ． 因为，AC =AS ，BC =BS ，所以∠SAC =SBC =90°，所以OA =OB =OC =OS =R ． 又OD ⊥AB ，且AB =√10，所以AD =DB =√102，OD =√R 2−52，则S ▵OAB =12⋅AB ⋅OD =12√10R 2−25．SC ⊥OA,SC ⊥OB,OA ∩OB =O ，则SC ⊥平面OAB ，所以V A−SBC =13×12√10R 2−25×2R =√153，解得R =√3．所以外接球的体积V =4π3⋅(√3)3=4√3π．11、【答案】B解：如图，设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA ，OB ，OD ．因为，AC =AS ，BC =BS ，所以∠SAC =SBC =90°， 所以OA =OB =OC =OS =R ．又OD ⊥AB ，且AB =√10，所以AD =DB =√102，OD =√R 2−52，则S ▵OAB =12⋅AB ⋅OD =12√10R 2−25．SC ⊥OA,SC ⊥OB,OA ∩OB =O ，则SC ⊥平面OAB ， 所以V A−SBC =13×12√10R 2−25×2R =√153，解得R =√3．所以外接球的体积V =4π3⋅(√3)3=4√3π．12.【答案】2解：设四面体ABCD 所在长方体的棱长分别为a ，b ，c ， 则{a 2+b 2=5a 2+c 2=13b 2+c 2=10，解得{a 2=4b 2=1c 2=9， ∴四面体的体积V =abc −13×12abc ×4=13abc =13√a 2b 2c 2=213.【答案】20解：由题意， 构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥A −BCD ， 设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则{2+b 2=25a 2+c 2=41a 2+b 2+c 2=50，解得a =4,b =3,c =5． 所以三棱锥A −BCD 的体积V =4×3×5−4×13×12×4×3×5=20． 14、【答案】C解：当球与圆锥母线相切，且与半球球面相切时，球的半径最大，其正投影如图，设放入球的半径为r ，则(√3+1)−r =2r ， 解得r =√3+13，故选C ．15、【答案】A 解：如图所示：设底面三角形ABC 的中心为G ， 由△ABC 是边长为2的正三角形， 得AG =23√22−12=2√33，又PG =1，∴PA =(2√33)=√213，即三棱锥侧棱长为√213，∴斜面底边上的高为ℎ=2√33，则一个侧面三角形的面积为12×2×2√33=2√33，设三棱锥内切球的半径为r ，则13×12×2×√3×1=(13×12×2×√3+3×13×12×2×2√33)r ，解得r =13，∴V 的最大值为43π×(13)3=4π81．故选A ．。
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球
第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。
内切球与外接球习题教材教师版
内切球与外接球习题教材教师版⽴体⼏何中的“内切”与“外接”问题的探究1 球与柱体规则的柱体，如正⽅体、长⽅体、正棱柱等能够和球进⾏充分的组合，以外接和内切两种形态进⾏结合，通过球的半径和棱柱的棱产⽣联系，然后考查⼏何体的体积或者表⾯积等相关问题. 1.1 球与正⽅体如图1所⽰，正⽅体1111D C B A ABCD -,设正⽅体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球⼼。
常见组合⽅式有三类：⼀是球为正⽅体的内切球，截⾯图为正⽅形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==；⼆是与正⽅体各棱相切的球，截⾯图为正⽅形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==；三是球为正⽅体的外接球，截⾯图为长⽅形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 通过这三种类型可以发现，解决正⽅体与球的组合问题，常⽤⼯具是截⾯图，即根据组合的形式找到两个⼏何体的轴截⾯，通过两个截⾯图的位置关系，确定好正⽅体的棱与球的半径的关系，进⽽将空间问题转化为平⾯问题。
例 1 棱长为1的正⽅体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表⾯上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A．2B ．1 C．12+D1.2 球与长⽅体长⽅体各顶点可在⼀个球⾯上，故长⽅体存在外切球.但是不⼀定存在内切球.设长⽅体的棱长为,,,a b c 其体对⾓线为l .当球为长⽅体的外接球时，截⾯图为长⽅体的对⾓⾯和其外接圆，和正⽅体的外接球的道理是⼀样的，故球的半径2l R ==例 2 在长、宽、⾼分别为2，2，4的长⽅体内有⼀个半径为1的球，任意摆动此长⽅体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3 球与正棱柱球与⼀般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。
下⾯以正三棱柱为例，介绍本类题⽬的解法——构造直⾓三⾓形法。
立体几何专题——外接球与内切球45习题
D． 6
30.已知四棱锥 P − ABCD 的底面 ABCD 是矩形，其中 AD =1 ， AB = 2 ，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，
PA = PD ，且直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为 2 5 ，则四棱锥 P − ABCD 的外接球表面积为 ( )
5
A． 16
3
B． 76
3
C． 64
3
D． 19
3
31.已知正方形 ABCD 的边长为 4，CD 边的中点为 E ，现将 ADE 和 BCE 分别沿 AE ，BE 折起，
使得 C ， D 两点重合为一点记为 P ，则四面体 P − ABE 外接球的表面积是 ．
32.已知边长为 1 的正 ABC 的三点都在球 O 的球面上， AO 的延长线
B．16 3 2π D．16π
20.在三棱锥 A − BCD 中，BCD 是边长为 3 的等边三角形，BAC = ，
3
二面角 A − BC − D 的大小为 ，且 cos = − 1 ，则三棱锥 A − BCD 体积的
3
最大值为 ( )
A． 3 6
4
B． 6
4
C． 3
2
D． 3
6
21. 已 知 四 棱 锥 A − BCDE 中 ， 侧 面 ABC ⊥ 底 面 BCDE ， BC / /DE ， 且
11.已知球 O 是三棱锥 P − ABC 的外接球， AB = BC = CA =1，PA = 2 ，则当点
P 到平面 ABC 的距离取最大值时，球 O 的表面积是 ( )
A． 16
3
B．16
C． 32 3
27
D． 16
3
12.在三棱锥V − ABC 中，ABC 是等边三角形，顶点V 在底面 ABC 的投影是底面的中心，侧面
立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版
圆梦教育中心立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究之阿布丰王创作1 球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充沛的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱发生联系,然后考查几何体的体积或者概况积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示,正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ,G H F E ,,,为棱的中点,O 为球的球心.罕见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFHG 和其内切圆,则2a r OJ ==；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFHG 和其外接圆,则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11A ACC 和其外接圆,则23'1a R O A ==. 通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,经常使用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题 .例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个极点都在球O 的概况上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A．1 C．11.2 球与长方体长方体各极点可在一个球面上,故长方体存在外切球.可是纷歧定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的事理是一样的,故球的半径2l R ==例 2 在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部份的体积为( ) A.10π3 B.4πC.8π3 D.7π31.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法.设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ,底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,a AD R AO h OD 33,,2===,借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R .例 3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各极点都在半径为R 的球面上,则正四棱柱的正面积有最值,为.2 球与锥体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充沛的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高发生联系,然后考查几何体的体积或者概况积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,而且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.如图4,设正四面体ABC S -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接SE SD CD ,,为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体自己的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O .此时,,33,32,,a CE a SE r OE R OS CO =====则有22223a R r R r CE +=-=，=，解得：,.R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极年夜的方便.例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到极点的距离是中心到空中距离的3倍.]2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱柱补形成正方体或者长方体.罕见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥111D AB A -的外接球的球心和正方体1111D C B A ABCD -的外接球的球心重合,设a AA =1,则a R 23=. 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心,4422222l c b a R =++=（l 为长方体的体对角线长）.例 5 在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的概况积是.2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,罕见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个极点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采纳等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中,PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π 2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法、等进行求解.例如,四面体都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥ABC S -,满足⊥SA 面ABC ,BC AB ⊥,取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：OC OB OS OA ===,所以O 点为三棱锥ABC S -的外接球的球心,则2SC R =.例7 矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π31253 球与球对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处置手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.例8 在半径为的球内放入年夜小相等的4个小球,则小球的半径的最年夜值为（）4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,到达明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r '=. 例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的概况与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（） A.cm 310 B. cm 10 C. cm 210 D. cm 30综合上面的四种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个极点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的极点的距离即是球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必需准确. 外接球内切球问题1. （陕西理）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上,其中底面的三个极点在该球的一个年夜圆上,则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123谜底B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各极点都在同一球面上,若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒,则此球的概况积即是.解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =,由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O ',球心为O ,在RT OBO '∆中,易得球半径R =故此球的概况积为2420R ππ=.3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球,若,A B 两点的球面距离为π,则正三棱柱的体积为．谜底 84.概况积为的正八面体的各个极点都在同一个球面上,则此球的体积为A ．3B ．13π C ．23πD．3谜底A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以由8=,1a=,故选A.5.已知正方体外接球的体积是π332,那么正方体的棱长即是（）A.22B.332 C.324D.334谜底 D6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶9谜底C7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的极点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为．谜底34π8. （天津理）一个长方体的各极点均在同一球的球面上,且一个极点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的概况积为．谜底14π9.（全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个极点在一个直径为 2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的概况积为cm 2. 谜底242+10.（辽宁）如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -,则此正六棱锥的正面积是________． 谜底6711.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个极点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是. 212.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的概况积为（ ）A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都分歧毛病谜底C13.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为233,则它的外接球的概况积为（ ）A B CPD EFA ．π38B ．2πC ．4πD ．π34谜底C14（新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有极点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为（ ）A ．6B ．6C ．3D ．215．（辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 概况上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为.若则△OAB的面积为______________.。
立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版
圆梦教育中心平面几何中的“内切”与“外接”问题的探究之公保含烟创作1 球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球停止充沛的组合，以外接和内切两种形态停止结合，通过球的半径和棱柱的棱发作联络，然后考察几何体的体积或许概略积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心.罕见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆，则2ar OJ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常常使用工具是截面图，即依据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 .例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的概略上，E F ，辨别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．2B ．1C ．12+D1.2 球与长方体,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的事理是一样的，故球的半径2l R ==例 2 在长、宽、高辨别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间局部的体积为( ) A.10π3πC.8π3D.7π31.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——结构直角三角形法.设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 辨别为上下底面的中心.依据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R .例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的正面积有最值，为. 2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球停止充沛的组合，以外接和内切两种形态停止结合，通过球的半径和棱锥的棱和高发作联络，然后考察几何体的体积或许概略积等相关问题. 2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，而且两心合一，应用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.如图4，设正四面体ABC S -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，衔接SE SD CD ,,为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆，即为内切球的截面.因为正四面体自己的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,33,32,,a CE a SE r OE R OS CO =====则有22223a R r R r CE +=-=，=，解得：,.R r ==这个解法是通过应用两心合一的思路，树立含有两个球的半径的等量关系停止求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极年夜的方便.例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的间隔是中心到空中间隔的3倍.] 2.2 球与三条侧棱相互垂直的三棱锥球与三条侧棱相互垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的根本办法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或许长方体.罕见两种形式：一是三棱锥的三条棱相互垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111D AB A -的外接球的球心和正方体1111D C B A ABCD -的外接球的球心重合，设a AA =1，则a R 23=.二是如果三棱锥的三条侧棱相互垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，4422222l c b a R =++=（l 为长方体的体对角线长）.例5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、辨别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABCS -外接球的概略积是.2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，罕见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，依据截面图的特点，可以结构直角三角形停止求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的间隔相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的间隔，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3π C. 4π D.43π2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥停止组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合应用截面法、补形法、等停止求解.例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可应用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥ABC S -,满足⊥SA 面ABC ，BC AB ⊥，取SC 的中点为O ，由直角三角形的性质可得：OC OB OS OA ===,所以O 点为三棱锥ABC S -的外接球的球心,则2SC R =.例7 矩形ABCD中，4,3,AB BC ==沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B ACD --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π31253 球与球对个多个小球结合在一起，组分解复杂的几何体问题，要求有丰厚的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处置手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或许巧借截面图等办法，将空间问题转化平面问题求解.例8 在半径为的球内放入年夜小相等的4个小球，则小球的半径的最年夜值为（）4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，到达明确球心的位置为目的，然后通过结构直角三角形停止转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r '=.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的概略与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（） A.cm 310B. cm 10C. cm 210D. cm 30综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的间隔等于球的半径．发扬好空间想象力，借助于数形结合停止转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必需准确. 外接球内切球问题1. （陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个年夜圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123谜底B 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的概略积等于.解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =2420R ππ=.3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面间隔为π，则正三棱柱的体积为．谜底 8 4.概略积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A ．3B ．13π C ．23π D谜底A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=知，1a = A.5.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ）2 B.332 C.324 D.334谜底 D6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9谜底C7.（海南、宁夏文科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为． 谜底34π8. （天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长辨别为1，2，3，则此球的概略积为． 谜底14π9.（全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的概略积为cm 2.谜底2+10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的正面积是________．谜底11.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面BPF积是. 谜底212.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的概略积为（ ） A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都分歧毛病谜底C13.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为233，则它的外接球的概略积为（ ）A ．π38 B ．2π C ．4πD ．π34谜底C14（新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为（ ） A ．26B ．36C ．23D ．2215．（辽宁文）已知点P ,A,B,C,D 是球O 概略上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB 的面积为______________.。
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圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题
1. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案 14π
2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3
B . 1∶3
C . 1∶33
D . 1∶9
答案 C
3.已知正方体外接球的体积是
π332，那么正方体的棱长等于（ ） 2 B.332 C.3
24 D.334 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为
233，则它的外接球的表面积为（ ）
A ．π38
B ．2π
C ．4π
D ．π3
4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案 2+
6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8
，底面周长为3，则这个球的体积为 ．
答案 34π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD
是边长为
正方形.若
PA=2则△OAB 的面积为______________.
二、锥体的内切球与外接球
8.（辽宁省抚顺一中2009
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
9.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．
答案
10. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三
个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．43
3 B ．33
C ． 43
D ．123
答案 B
11.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
（ ） A ．π3 B ．π2
A F
C ．316π
D ．以上都不对
答案C
12．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球， 若22的边长为ABC ∆，则正三棱柱的体积为 ．答案 8
2014高三补充题：
（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是h ,8,4，且它的8个顶点都在同一
个球面上，这个球面的表面积为100π，则________=h （答：52）
（2）三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱
两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)
（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点
都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：16π）
（4）在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA 垂直底面，,1,30,9000==∠=∠BC BAC ACB
且三棱柱 111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球表面积为
______（答：16π）
(5) 在四面体ABCD 中，,5,4,6======BC AD BD AC CD AB
则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：2
77π) （6）四棱锥ABCD P -的底面是边长为24的正方形，侧棱长都等于54，则经过
该棱锥五个顶点的球面面积为________（答：100π）
（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD
外接球表面积为______(答：3
13π) （8）已知O 的直径,4=PQ C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且
,300=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ 则三棱锥ABC P -的体积为（ B ） A.433 B.439 C.233 D.4
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(9)(长春第四次调研试题)已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球
都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.117 B.116 C.115 D .114 （10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点,,,,C B A S 其中C B A O ,,,四
点共面，ABC ∆是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ,则棱锥ABC S -的体积的最大值为（D ）
A. 3
B.31
C.23
D.3
3 (11) （快乐考生预测卷一）已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶点
都在同一个球面上，若四面体11CD B A -的表面积为83， 则
球的体积为_________（答：π34）
(12)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧
视图为边长
为２锐角６０0的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ）
A. π8
B.π4
C.π3
D.π2
（13）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，0=⋅→→BC AB ，6222=+→→BD AB ，
若将ABD ∆沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________（答：６π）
（14）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且,32,6==BC AB 则
棱锥ABCD O -的体积为________（答：38）
(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，,2,2===AC BC AB 若四面体ABCD 体积的
最大值为32，则这个球的表面积为 (答：C)
A.6125π
B.π8 C 425π D.1625π。