2019届九年级数学上册同步练习题22

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人教版数学九年级上册第22章 22.1.1二次函数同步练习(含答案解析)

人教版数学九年级上册第22章22.1.1二次函数同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A. 10（1+x）2=36.4B. 10+10（1+x）2=36.4C. 10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D. 10+10（1+x）+10（1+x）2=36.42.为执行“均衡教育”政策，我县2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A. 2500（1+x）2=3600B. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=3600C. 2500（1﹣x）2=3600D. 2500（1+x）+2500（1+x）2=36003.将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（）A. （x+2）（x﹣2）×1=15B. x（x﹣2）×1=15C. x（x+2）×1=15D. （x+4）（x﹣2）×1=154.沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A. 20（1+2x）=80B. 2×20（1+x）=80C. 20（1+x2）=80D. 20（1+x）2=805.某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是（）A. 800（1+a%）2=578B. 800（1﹣a%）2=578C. 800（1﹣2a%）=578D. 800（1﹣a2%）=5786.心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（）A. y=﹣（x﹣13）2+59.9B. y=﹣0.1x2+2.6x+31C. y=0.1x2﹣2.6x+76.8D. y=﹣0.1x2+2.6x+437.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A. 560（1+x）2=315B. 560（1﹣x）2=315C. 560（1﹣2x）2=315D. 560（1﹣x2）=3158.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元．随着生产技术的进步，成本逐年下降，第2年的年下降率是第1年的年下降率的2倍，现在生产1吨甲种药品成本是2400元．为求第一年的年下降率，假设第一年的年下降率为x，则可列方程（）A. 5000（1﹣x﹣2x）=2400B. 5000（1﹣x）2=2400C. 5000﹣x﹣2x=2400D. 5000（1﹣x）（1﹣2x）=24009.某种商品的进货检为每件a元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下列方程正确的是（）A. 85%a10%×90B. 90×85%×10%=aC. 85%（90﹣a）=10%D. （1+10%）a=90×85%10.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A. x（x﹣10）=900B. x（x+10）=900C. 10（x+10）=900D. 2[x+（x+10）]=900二、填空题（共6题；共6分）11.已知二次函数y=ax|a﹣1|+3在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a=________．12.二次函数y=（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为________．13.已知二次函数y=kx2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围________．14.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________．15.某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 ，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿A→D方向运动，设AP=x，△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，y=S1+S2，则y与x的关系式是________．三、解答题（共4题；共20分）17.已知函数y=（m﹣2）x +2x﹣1是一个二次函数，求该二次函数的解析式．18.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．19.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．20.如图，在△ABC中，∠C=90，AC=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？（写出函数关系式及t的取值范围）答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故选D．【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．2.【答案】A【解析】【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则2017年的投入为2500（1+x）2万元，由题意，得2500（1+x）2=3600．故选：A．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2017年的投入，再根据“2017年投入3600万元”可得出方程．3.【答案】C【解析】【解答】解：长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m．容积为x（x+2）×1=15；故选C．【分析】表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m，进而得到容积为x（x+2），由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，列方程即可．4.【答案】D【解析】【解答】解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D．【分析】根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．5.【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：800（1﹣a%）2=578．故选：B．【分析】直接根据题意分别表示出两次降价后的价格进而得出等式求出答案．6.【答案】D【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，将（30，31）代入得：31=a（30﹣13）2+59.9，解得：a=﹣0.1，故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．故选：D．【分析】利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．7.【答案】B【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．8.【答案】D【解析】【解答】解：设这种药品的年平均下降率为x，则第二年的年下降率为2x，根据题意得：5000（1﹣x）（1﹣2x）=2400．故选D．【分析】若这种药品的第一年平均下降率为x，则第二年的年下降率为2x，根据两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是2400元可列方程．9.【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，a（1+10%）=90×85%，故选D．【分析】根据进价+进价乘利润等于标价乘打折数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．10.【答案】B【解析】【解答】解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．故选B．【分析】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．二、填空题11.【答案】-1【解析】【解答】解：由二次函数定义可得|a﹣1|=2，解得a=3或a=﹣1，∵二次函数在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向下，∴a<0，∴a=-1，故答案为：-1．【分析】由二次函数的定义可求得a的值，再利用增减性对a的值进行取舍，可求得答案．12.【答案】﹣1【解析】【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，∴m2﹣1=0，解得m1=1或m2=﹣1，∵m=1不合题意，∴m=1故答案为：﹣1．【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．13.【答案】k≥﹣1且k≠0【解析】【解答】解：由二次函数y=kx2+2x﹣1与x轴有交点，得kx2+2x﹣1=0有实数根，△=b2﹣4ac=4+4k≥0，解得k≥﹣1，又∵二次函数y=kx2+2x﹣1 ，k≠0故答案为：k≥﹣1且k≠0 ．【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．14.【答案】w=﹣10x2+500x﹣4000【解析】【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+400；故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：w=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣10x+400）=﹣10x2+500x﹣4000．故答案为：w=﹣10x2+500x﹣4000．【分析】根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润w为二次函数．15.【答案】8100×（1﹣x）2=7600【解析】【解答】解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：8100×（1﹣x）2=7600，故答案为：8100×（1﹣x）2=7600．【分析】该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．16.【答案】y=﹣x2+3x【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 ，AD为BC边上的高，AP=x，∴∠BAD=∠CAD=45°，BC=4，AD=2，∴AP=PE=x，PD=AD﹣AP=2﹣x，∴y=S1+S2= +（2﹣x）•x=﹣x2+3x故答案为：y═﹣x2+3x．【分析】根据题意可以得到AP、PD、DE的长，从而可以得到y与x的函数关系式，本题得以解决．三、解答题17.【答案】解：依题意得：m2+m﹣4=2且m﹣2≠0．即（m﹣2）（m+3）=0且m﹣2≠0，解得m=﹣3，则该二次函数的解析式为y=﹣5x2+2x﹣1【解析】【分析】根据二次函数的定义得到m2+m﹣4=2且m﹣2≠0，由此求得m的值，进而得到该二次函数的解析式．18.【答案】解：由题意得：y=x× =﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．【解析】【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．19.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，∴S= PB•B Q= PB•（BE+EQ）= （6﹣t）（6+t）=﹣t2+18，∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）【解析】【分析】△BPQ的面积= BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．20.【答案】解：∵动点P从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，∴设t秒时，△PCQ的面积为S，根据题意得出：S= CQ×PC= （24﹣4t）×（12﹣2t）=4（6﹣t）2（0≤t≤6）【解析】【分析】根据两点移动速度以及移动方向得出CQ以及PC的长，进而得出S与t的函数关系式．。

2019-2020学年华东师大版九年级上册数学第22章一元二次方程单元知识练习题(含答案)

第22章一元二次方程一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.下列各数是一元二次方程x2+x﹣12=0的根的是（）A. ﹣1B. 1C. 2D. 33.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k≤﹣2B. k≤2C. k≥2D. k≤2且k≠14.方程（x-1）（x-2）=1的根是（）A. x1=1，x2=2B. x1=-1，x2=-2C. x1=0，x2=3D. 以上都不对5.小红按某种规律写出4个方程：① ；② ；③ ；④．按此规律，第五个方程的两个根为（）A. -2、3B. 2、-3C. -2、-3D. 2、36.用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为（）A. （x﹣）2＝B. （x+ ）2＝C. （x﹣）2＝0D. （x﹣）2＝7.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A. 0<a<1B. 0<a<1.5C. 1.5<a<2D. 2<a<38.已知△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，则方程（c+a）x2+2bx+（c－a）=0的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定9.正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定10.一元二次方程的一个根是，则另一个根是（）A. B. C. 2 D. 311.今年以来，某种食品不断上涨，在9月份的售价为8.1元/kg，11月份的售价为10元/kg。

这种食品平均每月上涨的百分率约等于（）A. 15%B. 11%C. 20%D. 9%12.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（）．A. B.C. D.二、填空题13.当a________时，关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0是一元二次方程．14.把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是________，其中二次项系数是________，一次项的系数是________，常数项是________；15.已知x=1是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个根，则m=________ .16.若对于实数a，b，规定a*b=，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2=________ .17.一元二次方程x2+3﹣2 x=0的解是________．18.方程x2+x﹣1=0的根是________19.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等实数解，则方程的解为________．20.已知关于x的方程kx2﹣4x+2=0有两个实数根，则k的取值范围是________．21.已知x1，x2是方程x2－4x＋3＝0 的两个实数根，则x1 ＋x2＝________．22.某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，三月份钢产量为4.84万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是________．三、解答题23.用适当的方法求解：（1）（x+6）2﹣9=0；（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（3）（3﹣x）2+x2=9；（4）（x﹣1）2=（5﹣2x）2．24.已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．25.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根.26.已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

2019-2020学年人教版九年级数学上册第22章《二次函数》测试卷(含答案)

第22章二次函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)2．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D．4 m23．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点4. 有下列函数：①y＝－3x；②y＝x－1；③y＝x2＋2x＋1，其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有( )A．①②B．①③C．②D．②③5．抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是( ) A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度6．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．对于抛物线y＝－12(x－2)2＋6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(2，6)；④当x>2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度不计)为( )A．8.1 m B．9.1 mC．10.1 m D．12.1 m9. 若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( )10. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)．下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c)2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝(x－2)2－2.其中正确的是( )A．①③ B．②③ C．②④ D．③④第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋5x＋3是关于x的二次函数，则m的值为______.12. 已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而 ______(填“增大”或“减小”)．13. 将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是___________.14．若抛物线y＝－3(x＋k)2－k的顶点在直线y＝3x－4上，则k的值为___.15. 已知二次函数y＝a(x－1)2＋b有最大值2，则a，b的大小关系为a _______b 16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元．17．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为18. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为____________元．三．解答题（共9小题，66分）19．(6分) 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？20．(6分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．21．(6分) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．22．(6分) 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．23．(6分) “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？24．(8分) 设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a ≠0)． (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.25．(8分) ) 我市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧mx －76m （1≤x ＜20，x 为正整数），n （20≤x ≤30，x 为正整数），且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元(利润＝销售收入－成本)． (1)m ＝______，n ＝______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？26．(10分) 如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．27．(10分) 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？参考答案：1-5ACCCD 6-10BDBAD11. －112. 增大13. y＝x2＋214. －215. <16. 2517. 1或618. 2519. 解：(1)由题意得：y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数)(2)由(1)得：y＝－10(x－5.5)2＋2 402.5.∵0＜x≤15，且x为整数，当x＝5时，50＋x＝55，y＝2 400(元)，当x＝6时，50＋x＝56，y＝2 400(元)，∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2 400元20. 解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得﹣4=a（1﹣3）（1+1），解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1），即y=x2﹣2x﹣3；（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．21. 解：(1)y ＝－x 2＋4x ＋5(2)y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，则M 点坐标为(2，9)，可求直线MC 的解析式为y ＝2x ＋5(3)把y ＝0代入y ＝2x ＋5得2x ＋5＝0，解得x ＝－52，则E 点坐标为(－52，0)，把y ＝0代入y ＝－x 2＋4x ＋5得－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则B 点坐标为(5，0)，所以S △MCB ＝S △MBE －S △CBE ＝12×152×9－12×152×5＝1522. 解：(1)a ＝－12，b ＝3(2)过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，过C 作CE ⊥AD ， CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ， ∴S 关于x 的函数解析式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)， ∴S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16 23. 解：（1）由题意得：⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，，解得：⎩⎨⎧k ＝10， b ＝700，．故y 与x 之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，（2）由题意，得 ﹣10x+700≥240，解得x ≤46，设利润为w=（x ﹣30）•y=（x ﹣30）（﹣10x+700）， w=﹣10x 2+1000x ﹣21000=﹣10（x ﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=46时，w 大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； 24. 解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个(2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴抛物线不经过点C ，把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎨⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0①， ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②，①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0 25. 解：（1）－12，25(2)由(1)第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16，当1≤x ＜20时，W ＝(4x ＋16)(－12x ＋38－18)＝－2x 2＋72x ＋320 ＝－2(x －18)2＋968， ∴当x ＝18时，W 最大＝968，当20≤x ≤30时，W ＝(4x ＋16)(25－18)＝28x ＋112. ∵28＞0，∴W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝30时，W 最大＝952.∵968＞952，∴当x ＝18时，W 最大＝96826. 解：（1）将A （2，4）与B （6，0）代入y=ax 2+bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，，解得：⎩⎨⎧a ＝12，b ＝3，；（2）如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D （2，0），连接CD 、CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD =12OD•AD=12×2×4=4； S △ACD =12AD•CE=12×4×（x ﹣2）=2x ﹣4； S △BCD =12BD•CF=12×4×（﹣12x 2+3x ）=﹣x 2+6x ，则S=S △OAD +S △ACD +S △BCD =4+2x ﹣4﹣x 2+6x=﹣x 2+8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S=﹣x 2+8x （2＜x ＜6），∵S=﹣x 2+8x=﹣（x ﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16．27. 解：（1）y=300﹣10（x ﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x ≤52）；（2）根据题意得（x ﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x 1=50，x 2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x ﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x 2+1140x ﹣29600=﹣10（x ﹣57）2+2890，当x ＜57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．。

【新人教版九年级数学上册同步测试及答案】第22章二次函数

第二十二章二次函数全章测试一、填空题1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______．5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______．6．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．二、选择题7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )A ．(－5，1)B ．(1，－5)C ．(－1，1)D ．(－1，3)8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( ) A ．a b x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝39．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜410．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＞nC ．k ＝nD ．h ＞0，k ＞012．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④13．下列命题中，正确的是( )①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根．A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④三、解答题14．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a (x －k )2＋h 的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?16．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP的面积．17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B 及与y轴的交点C．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?四、附加题19．如图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2．求y与x之间的函数关系式．答案与提示第二十二章二次函数全章测试1．高，(0，15)． 2．y ＝－x －2． 3．y ＝x 2＋4x ＋3． 4．b ＝－4．5．c ＝5或13． 6．⋅+--=21212x x y 7．C ． 8．D ． 9．A ． 10．C ． 11．C ． 12．B ． 13．C ．14．221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-，对称轴方程x ＝3，当y ＜0时，2＜x ＜4，图略． 15．,325212+-=x x y 当25=x 时，⋅-=81最小值y 16．(1)由31,4==+n m n m 得m ＝1，n ＝3．∴y ＝－x 2＋4x －3； (2)S △ACP ＝6．17．(1)直线y ＝x －3与坐标轴的交点坐标分别为B (3，0)，C (0，－3)，以A 、B 、C三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a∴所求抛物线的解析式是y ＝x 2－2x －3．(2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．(3)经过原点且与直线y ＝x －3垂直的直线OM 的方程为y ＝－x ，设M (x ，－x )，因为M 点在抛物线上，∴x 2－2x －3＝－x ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅±-=±=2131,2131y x 因点M 在第四象限，取,2131+=x ).2131,2131(+-+∴M 18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q (元)是时间t (月)的二次函数，由图象可知，抛物线的顶点为(6，4)，∴可设Q ＝a (t －6)2＋4．又∵图象过点(3，1)，∴1＝a (3－6)2＋4，解之⋅-=31a ,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t ＝3，4，5，6，7． (3)由图象可知，M (元)是t (月)的一次函数，∴可设M ＝kt ＋b ．∵点(3，6)，(6，8)在直线上，⎩⎨⎧=+=+∴.86,63b k b k 解之⎪⎩⎪⎨⎧==.4,32b k .432+=∴t M )8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t ＝3，4，5，6，7．∴当t ＝5时，311=最小值W 元 ∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元． 19．解：在Rt △PMN 中，∵PM ＝PN ，∠P ＝90°，∴∠PMN ＝∠PNM ＝45°．延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ，过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T ．∵DC ＝2cm ，∴MF ＝GF ＝2cm ，TN ＝HT ＝2cm ．∵MN ＝8cm ，∴MT ＝6cm ，因此，矩形ABCD 以每秒1cm 的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状，可分为下列三种情况：(1)当C 点由M 点运动到F 点的过程中(0≤x ≤2)，如图①所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt △MCE ，且MC ＝EC ＝x ， EC MC y ⋅=∴21，即);20(212≤≤=x x y图①(2)当C 点由F 点运动到T 点的过程中(2＜x ≤6)，如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG ．图②∵MC ＝x ，MF ＝2，∴FC ＝DG ＝x －2，且DC ＝2，);62(22)(21≤<-=⋅+=∴x x DC GD MC y (3)当C 点由T 点运动到N 点的过程中(6＜x ≤8)，如图③所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分图形是五边形MCQHG ．图③∵MC ＝x ，∴CN ＝CQ ＝8－x ，且DC ＝2，).86(12)8(2121)(212≤<+--=⨯-⋅+=∴x x CQ CN DC GH MN y如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。

2019年秋季人教新版九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质同步训练含详细答案

22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共6小题）1．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．02．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0 B．a+b+c＞o C．2a+b＝0 D．4ac＞b25．函数y＝﹣（x﹣1）2，当满足（）时，y随x的增大而减小．A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜16．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（）A．0 B．5 C．6 D．﹣6二．填空题（共8小题）7．二次函数y＝x2+2x+3的最小值是．8．若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．9．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．10．已知点A（1，y1），B（m，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+1的图象上，且y1＞y2，则实数m的取值范围是．11．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为．12．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．13．过（﹣1，0）、（3，0）、（1，2）三点的抛物线的解析式是．14．已知函数y＝（a+1）x是二次函数，并且其图象开口向下，则a＝．三．解答题（共9小题）15．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．16．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．17．已知抛物线经过点（4，3），且当x＝2时，y有最小值﹣1．（1）求这条抛物线的解析式．（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．18．二次函数y＝x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．19．如图，直线l过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y＝ax2的图象在第一象限内相交于P，若S△AOP＝4．（1）求一次函数解析式；（2）求P点坐标；（3）抛物线表达式．20．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与y轴交于A（0，4），与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．21．如图，二次函数y＝x2﹣x，图象过△ABO三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n）求：①求A，B坐标；②求△AOB的面积．22．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE的面积S的值．参考答案一．选择题（共6小题）1．解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．2．解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选：A．3．解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．4．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a和b异号，∴b＜0，∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴bc＞0，所以A选项错误；∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以B选项错误；∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以D选项错误．故选：C．5．解：∵y＝﹣（x﹣1）2，∴a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，则当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；故选：C．6．解：∵y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+9﹣4＝x2﹣6x+5，又∵y＝x2+bx+5，∴b＝﹣6．故选：D．二．填空题（共8小题）7．解：∵二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴最小值是2；故答案为2．8．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．9．解：∵拋物线的顶点为（2，﹣3），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2﹣3，∵拋物线与y轴交于点（0，﹣7），∴﹣7＝4a﹣3，解得：a＝﹣1，则这个二次函数的解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝﹣（x﹣2）2﹣310．解：二次函数y＝x2﹣4x+1的对称轴为x＝2，∴A（1，y1）的对称点为（3，y1），∵A（1，y1），B（m，y2）为其图象上的两点，且y1＞y2，∴1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．11．解：∵二次函数的解析式为y＝x2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，∵（2，y1）、B（﹣3，y2），∴点（﹣3，y2）离直线x＝0远，点（2，y1）离直线x＝0近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．12．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．13．解：由于抛物线过（﹣1，0）、（3，0）可知抛物线对称轴是直线x＝1，而又因抛物线过（1，2），所以（1，2）是抛物线顶点于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将（3，0）代入得0＝a（3﹣1）2+2得a＝﹣故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+214．解：∵函数y＝（a+1）x是二次函数，并且其图象开口向下，∴a+1＜0，a2+a＝2，解得：a＜﹣1，a1＝1，a2＝﹣2，则a＝﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（共9小题）15．解：（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+22﹣22+3＝（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．16．解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．17．解：（1）设y＝a（x﹣2）2﹣1，代入（4，3）得3＝a（4﹣2）2﹣1，解得a＝1，即y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．18．解：（1）把点（1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m＝﹣2，解得：m＝﹣1，所以二次函数y＝x2﹣2mx+5m的对称轴是x＝﹣，（2）∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴当x＝﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x＝﹣4时y＝3，当x＝﹣1时y＝﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．19．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0）和B（0，4）代入得，解得，所以一次函数解析式为y＝﹣x+4；（2）设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4．∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P点坐标为（2，2）；（3）把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，所以抛物线解析式为y＝x2．20．解（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于A（0，4）与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得在Rt△ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，在Rt△ACO中，AC2＝CO2+AO2＝82+42＝80，又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，∴△ABC是直角三角形．21．解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝x2﹣x得m＝+＝1，则A（﹣1，1），把B（n，n）代入y＝x2﹣x得n2﹣n＝n，解得n1＝0（舍去），n2＝2，则B（2，2）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，1），B（2，2）分别代入得，解得，所以直线AB的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝x+＝，则C点坐标为（0，），所以△AOB的面积＝△AOC的面积+△BOC的面积＝××（1+2）＝2．22．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC＝AB＝5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为：y＝ax2+bx+5，把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：a＝﹣，b＝；所以这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+5．23．解：（1）∵A（1，0），B（5，0），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），把C（0，5）代入得：5＝a（0﹣1）（0﹣5），解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，即抛物线的函数关系式是y＝x2﹣6x+5．（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝3，又∵二次函数y＝x2﹣6x+5的二次项系数为1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x≥3时y随x的增大而增大；（3）把x＝4代入y＝x2﹣6x+5得：y＝﹣3，∴E（4，﹣3），把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝5，∴y＝﹣2x+5，设直线y＝﹣2x+5交x轴于D，当y＝0时，0＝﹣2x+5，∴x ＝，∴OD ＝，BD＝5﹣＝，∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD ＝××5+××|﹣3|＝10．。

人教版九年级数学上册第22章同步测试题含答案

人教版九年级数学上册第22章同步测试题含答案22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质基础导练1.关于函数23x y = 的性质的叙述,错误的是( )A ．对称轴是y 轴B ．顶点是原点C ．当0>x 时,y 随x 的增大而增大D ．y 有最大值2.在同一坐标系中,抛物线22221,,x y x y x y =-==的共同点是( ) A ．开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点B ．对称轴是y 轴,顶点是原点C ．开口向下,对称轴是y 轴,顶点是原点D ．有最小值为03.在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（）A.2x y -=B.231x y -=C.233x y -=D.22x y -= 能力提升4.下列函数中,具有过原点,且当0>x 时,y 随x 增大而减小,这两个特征的有( ) ①)0(2>-=a ax y ;②)1()1(2<-=a x a y ;③)0(22≠+-=a a x y ; ④)0(23≠-=a a x y A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5.二次函数223x y -=，当x 1>x 2>0时，试比较1y 和2y 的大小：1y 2y （填“>”，“<”或“=”）6.二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，=m . 参考答案1.D2.B3.B4.B5.<6.22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（第1课时）基础导练1.抛物线122+=x y 的顶点坐标是（）A.(0，1)B. (0，-1)C. (1，0)D. (-1，0)2.抛物线)0(2≠+=a b ax y 与x 轴有两个交点，且开口向下，则b a ,的取值范围分别是（）A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0<<b aD.0,0><b a3.将抛物线322-=x y 平移后得到抛物线22x y =，平移的方法可以是（）A.向下平移3个单位长度B.向上平移3个单位长度C.向下平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度能力提升4.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（）A.32+=x yB.32-=x yC.2)3(+=x yD.2)3(-=x y5.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（）A.321y y y >>B.312y y y >>C.213y y y >>D.123y y y >>6.已知二次函数2)(h x a y -=，当2=x 时有最大值，且此函数的图象经过点)3,1(-，求此二次函数的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？参考答案1.A2.D3.B4.D5.B22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（第2课时）基础导练1.抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（） A.（-1，21） B.（1，21） C.（-1，—21） D.（1，—21） 2.对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（）A.顶点坐标为（-3,2）B.对称轴是直线3-=yC.当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D.当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3.将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A.3)1(2++=x yB.3)1(2+-=x yC.3)1(2-+=x yD.3)1(2--=x y能力提升4.设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.1y <2y <3yB.2y <1y <3yC.3y <1y <2yD.2y <3y <1y5.若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（）的增大而增大随时，当代入上式把是函数取最大值当x y x x y a a x a y h x 2)2(333)21()3,1()2(22.2222<--=∴-=∴-=---=∴=∴= 2()1y x m =--x y x m 6.解：A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l6.二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限7.在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A （1、-4），且经过点B （3,0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）当33<<-x 时，函数值y 的增减情况；（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点.参考答案1.B2.C3.B4.C5.C6.C22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质基础导练1.抛物线742++-=x x y 的顶点坐标为（）A.（-2,3）B.（2,11）C.（-2,7）D.（2，-3）2.若抛物线c x x y +-=22与y 轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线1=xC.当1=x 时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点为（-1,0），（3,0）m m m m 顶点为原点个单位即可实现抛物线个单位，再向上平移向左平移）将抛物线（的增大而增大随时，的增大而减小，当随时，当开口向上抛物线对称轴为直线解得），（二次函数图象过点又设二次函数的解析式为），（二次函数的图象顶点为）、解：（414)1(33113,1)2()41(104)13(03B 4)1(41A 142222--=<≤<<-∴=--=∴==--∴--=∴-x y x y x x y x x x y a a x a y 7.）3.要得到二次函数222-+-=x x y 的图象，需将2x y -=的图象（）A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位能力提升4.抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（）A.2,2==c bB.0,2==c bC.1,2-=-=c bD.2,3=-=c b5.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为x =．下列结论中，正确的是（）A ．0>abcB ．0=+b aC ．02>+c bD ．b c a 24<+6.已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式.参考答案1.B2.C3.D4.B5.D6.解：由已知得：12-2,24,2550.-b a a b c a b c ⎧=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得：1,22,5.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ 所以该抛物线的表达式为2152.22y x x =-++22.2二次函数与一元二次方程基础导练1.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).2.若抛物线y =x 2－(2k +1)x +k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.3.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x =______时，梯形面积最大，等于______.能力提升4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是a b ac 442-;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根.A.0个B.1个C.2个D.3个5.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47;B.k ≥－47且k ≠0;C.k ≥－47;D.k >－47且k ≠0 6.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根.(1)4x 2-8x +1=0; (2)x 2-2x -5=0;(3)2x 2-6x +3=0; (4)x 2-x -1=0.参考答案1.y =－x 2+x －1 最大2. 23. 15 cm4.B5.B6.解：(1)x 1≈1.9,x 2≈0.1;(2)x 1≈3.4,x 2≈-1.4;(3)x 1≈2.4,x 2≈0.6;(4)x 1≈1.6,x 2≈-0 .622.3实际问题与二次函数基础导练1.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.424 m B.6 m C.15 m D.25 m 2.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A.1B.3C.4D.63.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )A.y=25x+15B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.5能力提升4.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？5.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？参考答案1.D2.B3.C4．解：(1)y =－2x 2+180x －2800.(2)y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250.当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.5.解：(1)依题意得鸡场面积y =.350312x x +- ∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3625, ∴当x =25时，y 最大=3625, 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有n 道隔墙，则隔墙长为502x n -+m.∴y =502x n -+·x =－12n +x 2+502n +x=－12n +(x 2－50x ）=－12n +(x －25)2+6252n +,当x =25时，y 最大=6252n +,即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为6252n + m 2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.。

人教版九年级上册数学 22.2--- 22.3：同步练习题

人教版九年级上册数学 22.2--- 22.3：同步练习题22.2 二次函数与一元二次方程一．选择题1．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜4 B．x＞4 C．x＜﹣4 D．﹣2＜x＜42．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（）A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点 B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2 D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值4．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0） D．（2，0）5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点6．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．37．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1 B．2 C．3 D．48．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y ＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④9．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞010．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2二．解答题13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（I）求二次函数的表达式．（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）与点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），P为抛物线上的点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）若△PAB的面积为，求P点的坐标．15．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．22.3实际问题与二次函数一．选择题1．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或32．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和53．二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣4 D．最小值﹣44．设函数y＝﹣x2+2ax﹣1在﹣1≤x≤1的范围内的最大值记为n，下列说法错误的是（）A．当a≤﹣1时，n＝﹣2a﹣2 B．当﹣1≤a≤1时，n＝a2﹣1C．当a≥1时，n＝2a﹣2 D．n的最小值为05．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8﹣x}（x≥0）时，则y的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n 与m的关系式是（）A．n＝（m﹣）2﹣B．n＝（m﹣）2C．n＝（m﹣）2﹣D．n＝（m﹣）2﹣7．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y＝66（1﹣x）B．y＝33（1﹣x）C．y＝33（1﹣x2）D．y＝33（1﹣x）28．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（）A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣49．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（）A． B．C． D．10．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+C．y＝x2﹣x+D．y＝x2+x+二．填空题11．已知直角三角形的两条直角边的和等于12，则该直角三角形面积的最大值是．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为．13．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a ﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝．14．合肥市2018年平均房价为6500元/m2．若2019年和2020年房价平均增长率为x，则预计2020年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为．15．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每间每天房价定为x元，宾馆每天利润为y元，则y与x的函数关系式为．三．解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．17．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点分别A、B两点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？（1）写出S关于t的函数解析式及t的取值范围；（2）当t取何值时，△PBQ的面积S有最大值．19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．。

2019年秋人教版九年级上册数学同步练习(PDF,无答案)：第二十二章二次函数小结2

Ｄ�� ②④
图２２￣４
图２２￣５
图２２￣６
５��
如图２２￣５所示ꎬ铅球运动员掷铅球的高度ｙｍ与水平距离ｘｍ之间的函数关系式是ｙ＝
－
１１２
ｘ
２
＋
２３
ｘ
＋
５３
ꎬ则该运动员此次掷铅球的成绩是(
)ꎮ
Ａ�� ６ｍ
Ｂ�� １２ｍ
坐标是４ａｃ４－ａｂ２ ꎻ④当ｃ > ０且函数的图象开口向下时ꎬ方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０必有两个不相等的实根ꎮ
— ２８ —
第二十二章二次函数
Ａ�� ０个
Ｂ�� １个
Ｃ�� ２个
Ｄ�� ３个
８�� 从地面垂直向上抛出一小球ꎬ小球的高度ｈｍ与小球运动时间ｔｓ的函数关系式是ｈ＝９�� ８ｔ－４�� ９ｔ２ ꎬ
间的关系ꎻ④利用二次函数的有关性质进行求解ꎻ⑤检验结果的合理性ꎬ对问题加以拓展等ꎮ 常见题型:面积最值问题、利润问题、拱桥问题等ꎮ
１�� 抛物线ｙ＝ｋｘ２－７ｘ－７和ｘ轴有交点ꎬ则ｋ的取值范围是( ) ꎮ
Ａ��
ｋ
>
－
７４
Ｂ��
ｋ≥
－
７４
且
高( 球门横梁底侧高) 入网ꎮ 若足球运行的路线是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ( 如图２２￣４所示) ꎬ则下列结论正确
的是( )ꎮ
①ａ <
－
６１０ꎻ②
－
１６０

2019年秋人教版九年级上册数学同步练习(PDF,无答案)：第二十二章二次函数小结1

(２) 顶点式:ｙ＝ａ( ｘ－ｈ) ２＋ｋ( ａꎬｈꎬｋ是常数ꎬａ≠０) ꎮ
关系:二次函数ｙ＝ａｘ２
＋ｂｘ
＋ｃ
用配方法可化成:ｙ
＝ａ(ｘ
－ｈ) ２
＋ｋ
的形式ꎬ其中ｈ＝
－２ｂａꎬｋ
＝
４
ａｃ－４ａ
ｂ
２
ꎮ
提醒:注意几个特殊形式的抛物线的特点ꎮ
(１) ｙ＝ａｘ２ ꎬ对称轴 ꎬ顶点坐标 ꎮ
(２) ｙ＝ａｘ２＋ｋꎬ对称轴 ꎬ顶点坐标 ꎮ
(３)ｙ＝ａ(ｘ－ｈ) ２对称轴 ꎬ顶点坐标 ꎮ
(４)ｙ＝ａ(ｘ－ｈ) ２＋ｋ对称轴 ꎬ顶点坐标 ꎮ
三、二次函数图象的平移
提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点问题的平移ꎬ固然要掌握整抛物线的平移ꎬ只要关键的顶点平
－２ｂａꎬ顶点坐标为(
－
ｂ２ａ
ꎬ４
ａｃ－４ａ
ｂ
２
)
ꎮ
当ｘ<
－２ｂａ时ꎬ
ｙ
随
ｘ
的增大而增大ꎻ当ｘ
>
－２ｂａ时ꎬｙ随
ｘ
的增大而减小ꎻ当ｘ
＝
－２ｂａ时ꎬｙ
有最大值４
ａｃ－４ａ
ｂ
２
ꎮ
３�� 二次函数的解析式常见的有两种形式:
(１) 一般式:ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ( ａꎬｂꎬｃ是常数ꎬａ≠０) ꎮ
第二十二章二次函数
第二十二章小结与复习(１)
一、二次函数的定义
一般地ꎬ如果ｙ＝ ( ａ、ｂ、ｃ是常数ａ≠０) 那么ｙ叫作ｘ的二次函数ꎮ
提醒:二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ( ａ≠０) 的结构特征是:

2019年秋九年级数学上册第22章 22.1-22.2同步练习

22.1～22.2一、选择题(每小题3分，共27分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( ) A.()x ＋82＝x ＋8 B ．x 2＋18x＝6C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 22．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根3. 用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝24．下面是四名同学在解方程x(x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0有一个根为0，则m 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．28．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－18B ．k ＞－18且k≠1C ．k ＜－18D ．k ≥－18且k≠09．已知m ，n 是方程x 2＋3x －2＝0的两个实数根，则m 2＋4m ＋n ＋2mn 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．－5 D ．－9 二、填空题(每小题4分，共20分)10．若关于x 的方程ax 2＋3x ＝2x 2＋4是一元二次方程，则a 应满足的条件是________．11．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一个根为__________．12．若代数式4x 2＋5x ＋6与－3x 2－2的值互为相反数，则x 的值为________．13．有一个数值转换机，其流程如图1－G －1所示．若输入a ＝－6，则输出的x 的值为________．图1－G－114．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．三、解答题(共53分)15．(12分)解下列方程：(1)(x－2)2＝4; (2)x2－2x＝0；(3)(x＋2)2－9x2＝0; (4)x2－10x＋21＝0；(5)4x2＋8x＋1＝0; (6)x2－2x＝－4＋2x.16. (10分)已知关于x的方程x2＋2(2－m)x＋3－6m＝0.(1)若1是此方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；(2)试说明：无论m取任何实数，此方程总有实数根．17．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－ax＋2＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＝x1＋x2－2.(1)求a的值；(2)求该一元二次方程的两实数根．18．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．19．(11分)已知关于x的一元二次方程tx2－(3t＋2)x＋2t＋2＝0(t＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于t的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的表达式，并画出函数图象；(3)观察(2)中的函数图象，当y≥2t时，写出自变量t的取值范围．￥1．A 2．C 3．D 4.D 5.B 6.B 7.D8．B 9．C 10．a ≠211．4 12．－1或－4 13．无解14．答案不唯一，如a ＝1，b ＝2 15．解：(1)∵x －2＝±4， ∴x ＝2±2， ∴x 1＝4，x 2＝0.(2)原方程可化为x (x －2)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝2.(3)原方程可化为(x ＋2)2－(3x )2＝0， ∴(x ＋2＋3x )(x ＋2－3x )＝0， ∴－4(2x ＋1)(x －1)＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝1.(4)移项，得x 2－10x ＝－21，∴x 2－10x ＋25＝－21＋25， ∴(x －5)2＝4，∴x －5＝±4， ∴x ＝5±2， ∴x 1＝7，x 2＝3.(5)∵a ＝4，b ＝8，c ＝1，∴b 2－4ac ＝82－4×4×1＝48>0， ∴x ＝－8±482×4，∴x 1＝－2＋32，x 2＝－2－32.(6)原方程可化为x 2－2x －2x ＋4＝0，即x 2－4x ＋4＝0，∴(x －2)2＝0， ∴x 1＝x 2＝2.16．解：(1)把x ＝1代入方程，得 1＋4－2m ＋3－6m ＝0， ∴m ＝1.故方程为x 2＋2x －3＝0.设方程的另一个根是t ，则1·t ＝－3， ∴t ＝－3.故m ＝1，方程的另一个根为－3.(2)∵在关于x 的方程x 2＋2(2－m )x ＋3－6m ＝0中，Δ＝4(2－m )2－4(3－6m )＝4(m ＋1)2≥0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根． 17．解：(1)∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2，又x 1x 2＝x 1＋x 2－2， ∴2＝a －2，￥∴a ＝4.(2)原方程为x 2－4x ＋2＝0，∴(x －2)2＝2，∴x －2＝±2，∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.18．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k . ∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k >0， ∴k <52.(2)∵k 为正整数， ∴0<k <52且k 为整数，即k 的值为1或2.∵x 1，2＝－1±5－2k ，且方程的根为整数， ∴5－2k 为完全平方数．当k ＝1时，5－2k ＝3，不是完全平方数；当k ＝2时，5－2k ＝1，是完全平方数， ∴k ＝2.19．解：(1)证明：Δ＝(3t ＋2)2－4t (2t ＋2)＝(t ＋2)2.∵t ＞0，∴(t ＋2)2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)x ＝3t ＋2±（t ＋2）2t ，∵t ＞0，∴x 1＝1，x 2＝2＋2t，∴y ＝x 2－2x 1＝2＋2t －2×1＝2t，即y ＝2t(t ＞0)．函数图象如图：(3)当y ≥2t 时，0＜t ≤1.。

人教版2019学年度九年级上册第22章二次函数同步提升卷

人教版2019学年度九年级上册第22章二次函数同步提升卷一、选择题1. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2.如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1， C2， C3，使得△ABC1，△ABC2，△ABC3的面积都等于a，则a的值是（）A. 6B. 8C. 12D. 163. 某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长均为3米的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1米,AE=AF=x米,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为;⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0.正确的有( )A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题6.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1 cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.7.如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1：3，则k值为________.8.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边）.设，若在处有一棵树与墙、的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为________ .9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+2与y轴交于点A，点B是抛物线的顶点，点C与点A是抛物线上的两个对称点，点D在x轴上运动，则四边形ABCD的两条对角线的长度之和的最小值为________.10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0，④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3：⑤当x＞0，y随x增大而减小，其中结论正确的序号是________.三、解答题11.如图，已知拋物线：y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0) 两点.(1) 求拋物线的解析式和顶点坐标；(2) 当0＜x＜3时，求y的取值范围.12.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？13.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？14. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的边长为4,顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,抛物线y=-x 2+bx+c 经过B 、C 两点,点D 为抛物线的顶点,连接AC 、BD 、CD. (1)求此抛物线的解析式;(2)求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABDC 的面积.15.已知拋物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点与y 轴交于C 点. (1) 当B 与A 重合，且OC ＝2OA 时， ① 求拋物线的解析式；② 如图1，F 为拋物线上一点，FE 丄x 轴于点E ，P 是线段FE 上一点，PA 交拋物线于点M ，MN 丄EF 于点N .当MN ＝12OA 时，求PF —PN 的值；(2) 如图2,过A 作x 轴的垂线交于点P ，当AB ＝3时，求直线OP 的解析式.yyxx图2图1CPBOA FPN MCEAO16.如图，抛物线y=-x 2+(m-1)x+m(m>1)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0,3）. （1）求抛物线的解析式；（2）点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，点F 在直线AD 上方的抛物线上，FG ⊥AD 于G ，FH//x 轴交直线AD 于H ，求△FGH 的周长的最大值；（3）点M 是抛物线的顶点，直线l 垂直于直线AM ，与坐标轴交于P 、Q 两点，点R 在抛物线的对称轴上，得△PQR 是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，求直线l 的解析式.17.如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

九年级数学上册第22章同步测试

二次函数22.1__二次函数的图象和性质__ 22．1.1 二次函数 [见B 本P12]1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝x －22．二次函数y ＝3x 2－2x －4的二次项系数与常数项的和是( B ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－63．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( C )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对4．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( A ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－35．如图22－1－1所示，在直径为20 cm 的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm 的圆，剩余部分的面积为y cm 2，则y 与x 间的函数关系式为( C )图22－1－1A ．y ＝400π－4πx 2B ．y ＝100π－2πx 2C ．y ＝100π－4πx 2D ．y ＝200π－2πx 2【解析】 S 剩余＝S 大圆－4S 小圆＝π·⎝⎛⎭⎫2022－4πx 2＝100π－4πx 2，故选C.6．二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( D ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4【解析】 y ＝2x (x －3)＝2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.7．下列函数关系式，可以看作二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)模型的是( D ) A ．圆的周长与圆的半径之间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C ．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D ．正方体的表面积与棱长的关系【解析】 A 中，圆的周长C 与圆的半径r 是一次函数C ＝2πr ；B 中，若我国原有人口为a ，x 年后人口数为y ＝a (1＋1%)x 也不属于二次函数；C 中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D 中表面积S 与棱长a 的关系为S ＝6a 2，符合二次函数关系式．8．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝－1时，y ＝8，则a ＝__8__．【解析】将x ＝－1，y ＝8代入y ＝ax 2中，解得a ＝8.图22－1－29．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为x cm 的正方形，高为6 cm ，请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S ＝__24x __，长方体的体积为V ＝__6x 2__，各边长的和L ＝__8x ＋24__，在上面的三个函数中，__V ＝6x 2__是关于x 的二次函数．【解析】长方体的侧面展开图的面积S ＝4x ×6＝24x ；长方体的体积为V ＝x 2×6＝6x 2；各边长的和L ＝4x ×2＋6×4＝8x ＋24，其中，V ＝6x 2是关于x 的二次函数． 10．若y ＝x m 是关于x 的二次函数，则(m ＋2 011)2＝__2__013__．【解析】由y ＝x m 是关于x 的二次函数，得m ＝2，所以(m ＋2 011)2＝( 2 013)2＝2 013. 11．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x 的二次函数，则常数a 的取值范围是__a ≠－2__．【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a ＋2≠0，即a ≠－2. 12．已知函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3， (1)当k __≠±2__时，它是二次函数； (2)当k __＝2__时，它是一次函数．【解析】根据一次函数、二次函数定义求解． (1)k 2－4≠0，即k ≠±2时，它是二次函数．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4＝0，k ＋2≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2. ∴k ＝2. 13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y (平方米)与半圆的半径x (米)之间的函数关系式．图22－1－3解：半圆面积：12πx 2，矩形面积：2x ×12×(8－2x －πx )＝8x －(2＋π)x 2，∴y ＝12πx 2＋8x －(2＋π)x 2，即y ＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2x 2＋8x .14．若y ＝(m －1)xm 2＋1＋mx ＋3是二次函数，则m 的值是( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1，故选B. 15．如果函数y ＝(m －3)xm 2－3m ＋2＋mx ＋1是二次函数，求m .解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝2，m －3≠0，解得m ＝0.16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求(1)重叠部分的面积y (cm 2)与时间t (s)之间的函数关系式和自变量的取值范围．(2)当t ＝1，t ＝2时，重叠部分的面积．图22－1－4解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN ＝2t ，∴AM ＝MN －AN ＝20－2t ， ∴MH ＝AM ＝20－2t ，∴重叠部分的面积为y ＝12(20－2t )2＝2t 2－40t ＋200.所以自变量的取值范围为0≤t ≤10. (2)当t ＝1时，y ＝162(cm 2) 当t ＝2时，y ＝128(cm 2)．17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m 的矩形养鱼池． (1)如果设矩形的一边长为x m ，那么另一边的长为________m ；(2)如果设矩形的面积为y m 2，那么用x 表示y 的表达式为y ＝________，化简后为y ＝________；(3)x 5 10 15 20 25 30 35 y(4)请指出上表中边长x 为何值时，矩形的面积y 最大．图22－1－5【解析】 S 矩形＝长×宽，(1)另一边长为12(80－2x )＝(40－x )m.解：(1)40－x .(2)x (40－x )，－x 2＋40x .(3)175，300，375，400，375，300，175. (4)当x ＝20时，y 最大为400 m 2.18．如图22－1－6，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．图22－1－6第18题答图解：如图，把△ABC 绕A 逆时针旋转90°到△ADE ，则BC ＝DE ，AC ＝AE . 设BC ＝k ，则AC ＝AE ＝4k ，DE ＝k ，过D 作DF ⊥AC 于F ，则AF ＝DE ＝k ， CF ＝3k ，DF ＝4k ，由勾股定理得CF 2＋DF 2＝CD 2， ∴(3k )2＋(4k )2＝x 2， ∴x 2＝25k 2，∴k 2＝x 225. y ＝S 四边形ABCD ＝S 梯形ACDE ＝12(DE ＋AC )·AE ＝12(k ＋4k )·4k ＝10k 2＝10×x 225＝25x 2，故y 与x 之间的函数关系式为y ＝25x 2.二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．关于二次函数y ＝8x 2的图象，下列说法错误的是( C ) A ．它的形状是一条抛物线B ．它的开口向上，且关于y 轴对称C ．它的顶点是抛物线的最高点D ．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)【解析】 ∵抛物线y ＝8x 2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．2．对于二次函数y ＝－34x 2，下列说法错误的是( A )A ．开口向上B ．对称轴为y 轴C ．顶点坐标为(0，0)D ．当x ＝0时，y 有最大值0【解析】当a ＝－34＜0时，二次函数的图象开口向下．3．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( A ) A ．(2，4) B ．(－2，－4) C ．(－4，－2) D ．(4，－2)4．已知二次函数：y ＝2 013x 2，y ＝－2 013x 2，y ＝12 014x 2，y ＝－12 014x 2，它们图象的共同特点为( D )A ．都关于原点对称，开口方向向上B ．都关于x 轴对称，y 随x 增大而增大C ．都关于y 轴对称，y 随x 增大而减小D ．都关于y 轴对称，顶点都是原点【解析】根据y ＝ax 2的图象特征判断．D 正确．5．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是( D ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝34x D ．y ＝1x【解析】 A 不正确，二次函数y ＝x 2的对称轴为x ＝0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；B 、C 中y 随x 的增大而增大，均不正确，D 正确．图22－1－76．函数y ＝x 2，y ＝12x 2，y ＝2x 2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是( D ) A ．y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2B ．y ＝x 2，y ＝12x 2，y ＝2x 2C ．y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝x 2D ．y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝12x 2【解析】 |a |越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．7．抛物线y ＝－23x 2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x ＝__0__时，函数有最大值为__0__．8．若二次函数y ＝(m ＋2)xm 2－3的图象开口向下，则m ＝__－5__．【解析】根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2<0，m 2－3＝2，解得m ＝－ 5.9．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y ＝34x 2__，当x ＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x 轴对称，那么另一个函数的解析式为__y ＝－34x 2__，当x ＝__0__时，函数y 有最__大__值为__0__．图22－1－8【解析】设y ＝ax 2，则3＝4a ，a ＝34，∴y ＝34x 2.当x ＝0时，y 有最小值．关于x 轴对称的抛物线的解析式中a 值互为相反数． 10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2.解：列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝12x 2 … 2 0 2 … y ＝x 2 … 9 1 4 … y ＝－x 2…－1－1－9…描点、连线画图象．(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象； (2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y ＝ax 2中a 的值与它的图象有什么关系？图22－1－9解：(1)第二行依次填92，12，12，92；第三行依次填4，0，1，9；第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．(2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a |的大小决定抛物线的开口大小．11．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )【解析】在同一平面直角坐标系中，a 值的正、负情况应保持一致，只有A 、C 符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C.12．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a ×(－2)2，解出a ＝－2，所求抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2. (2)因为－4≠－2×(－1)2，所以点B (－1，－4)不在此抛物线上．(3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3，所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．图22－1－1013．如图22－1－10，已知直线l 过A (4，0)，B (0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为92，求a 的值．解：设点P (x ，y )，直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (4，0)，B (0，4)分别代入y ＝kx ＋b ，得k ＝－1，b ＝4，故y ＝－x ＋4， ∵△AOP 的面积为92＝12×4×y∴y ＝94再把y ＝94代入y ＝－x ＋4，得x ＝74，所以P (74，94)把P (74，94)代入到y ＝ax 2中得：a ＝3649.14．问题情境：如图22－1－11，在x 轴上有两点A (m ，0)，B (n ，0)(n >m >0)，分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线y ＝x 2于点C ，点D ，直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ，点E ，点F 的纵坐标分别为y E ，y F . 特例探究：填空：当m ＝1，n ＝2时，y E ＝________，y F ＝________；当m ＝3，n ＝5时，y E ＝________，y F ＝________．归纳证明：对任意m ，n (n >m >0)，猜想y E 与y F 的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用：(1)若将“抛物线y ＝x 2”改为“抛物线y ＝ax 2(a >0)”，其他条件不变，请直接写出y E 与y F 的大小关系；(2)连接EF ，AE .当S 四边形OFEB ＝3S △OFE 时，直接写出m 与n 的关系及四边形OFEA 的形状．图22－1－11解：2 2 15 15归纳证明：猜想：y E ＝y F .证明：∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，A ，B 的坐标分别为A (m ，0)，B (n ，0)， ∴C ，D 的横坐标分别为m ，n . ∵C ，D 在抛物线y ＝x 2上，∴C 点的坐标为(m ，m 2)，D 点的坐标为(n ，n 2)．设直线OC 的解析式为y ＝k 1x ，直线OD 的解析式为y ＝k 2x ，∴m 2＝k 1 m ，n 2＝k 2n ，解得k 1＝m ，k 2＝n ，∴直线OC 的解析式为y ＝mx . 直线OD 的解析式为y ＝nx ，把E ，F 的横坐标分别代入y ＝mx 与y ＝nx 得 y E ＝mn ，y F ＝mn ，∴y E ＝y F . 拓展应用：(1)y E ＝y F .(2)n ＝2m ，四边形OAEF 为平行四边形．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 [见B 本P14]1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( C ) A ．直线x ＝12 B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B ) ①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2－1；④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3. A ．①④ B ．②⑤ C ．②③⑤ D ．①②⑤【解析】 a 决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a 相同，选B.3．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2＋3 4．[2013·德州]下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( B ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋15．抛物线y ＝－2x 2－5的开口向__下__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y ＝ax 2＋c 的特征解答即可．6．抛物线y ＝13x 2－4可由抛物线y ＝13x 2沿__y __轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y 轴__，当__x ＝0__时，y 有最__小__值为__－4__，当__x >0__时，y 随x 的增大而增大，当__x <0__时，y 随x 的增大而减小．【解析】抛物线y ＝13x 2－4与y ＝13x 2的形状相同，但位置不同，抛物线y ＝13x 2－4的图象可由抛物线y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．7．[2013·湛江]抛物线y ＝x 2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__． 8．(1)填表：x … －2 －1 0 1 2 … y ＝－2x 2 y ＝－2x 2＋1 y ＝－2x 2－1(2)(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ (4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1? 解：(1)略 (2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．9．二次函数y ＝－12x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧．(1)求c 的值；(2)求A ，B 两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎫－3，92， ∴－12×(－3)2＋c ＝92，∴c ＝6.(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－12x 2＋6.令y ＝0，则－12x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，B (23，0)．10．如图22－1－12，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1、y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )图22－1－12A ．8B ．6C ．10D ．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y ＝－8x 2－6____，它是由抛物线y ＝－8x 2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k 值，从而可判断平移方向．∵抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－8. 又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k ＝－6，∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y ＝0时x 的值．解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. x－2 －112 －1 －12 0 12 1 112 2 y ＝－3x 2＋5－7－134241454142－134－7(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0，解得x 1＝153，x 2＝－153，故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫153，0和⎝⎛⎭⎫－153，0. 13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O点到AB 的距离)为4 m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？ (2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A (－10，－4)，B (10，－4)，可设y ＝ax 2，把A 点或B 点坐标代入可得a ＝－125，所以y ＝－125x 2；(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y ＝ax 2＋4.又y ＝ax 2＋4的图象过A (－10，0)，B (10，0)，将A 点或B 点坐标代入可得0＝100a ＋4，解得a ＝－125，所以y ＝－125x 2＋4.因为两抛物线解析式的a 相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m. (1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】 (1)抛物线关于y 轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y ＝ax 2＋6中，则可求出a 的值；(2)将x ＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y 值与4.2比较大小，y 值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6， ∵抛物线过(4，2)点，∴16a ＋6＝2，∴a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋6.(2)当x ＝2.4时，y ＝－14x 2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB (单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O .已知AB ＝8米，设抛物线解析式为y ＝ax 2－4. (1)求a 的值；(2)点C (－1，m )是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积．解：(1)∵AB ＝8，由抛物线的性质可知OB ＝4， ∴B (4，0)，把B 点坐标代入解析式得：16a －4＝0，解得：a ＝14；(2)过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ， ∵a ＝14，∴y ＝14x 2－4，令x ＝－1，∴m ＝14×(－1)2－4＝－154，∴C (－1，－154)，∵C 关于原点对称点为D ，∴D 的坐标为(1，154)，则CE ＝DF ＝154S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD 的面积为15平方米．第2课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质 [见A 本P16]1．与函数y ＝2(x －2)2形状相同的抛物线解析式是( D ) A ．y ＝1＋12x2 B ．y ＝(2x ＋1)2C ．y ＝(x －2)2D ．y ＝2x 22．关于二次函数y ＝－(x －2)2的图象，下列说法正确的是( D ) A ．是中心对称图形 B ．开口向上C ．对称轴是x ＝－2D ．最高点是(2，0)3．抛物线y ＝(x －1)2的顶点坐标是( A ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．(－2，1) D ．(2，－1)4．下列关于抛物线y ＝4(x －1)2＋2的说法中，正确的是( B ) A ．开口向下B ．对称轴为x ＝1C ．与x 轴有两个交点D ．顶点坐标为(－1，0)5．二次函数y ＝2(x －32)2图象的对称轴是直线__x ＝32__.6．函数：①y ＝12x －3，②y ＝－2x (x <0)，③y ＝(1－x )2(x >1)，其中y 随x 的增大而增大的有__①②③__(填序号)．解：∵y ＝12x －3中，k ＝12>0，∴y 随x 的增大而增大； ∵函数y ＝－2x中k ＝－2，∴当x <0时，y 随x 的增大而增大；∵y ＝(1－x )2(x >1)中，开口向上，对称轴为x ＝1， ∴当x >1时，y 随x 的增大而增大，故答案为①②③.7．二次函数y ＝(x －2)2，当__x ＜2__时，y 随x 的增大而减小．8．抛物线y ＝－23(x ＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x ＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x ＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__． 9．抛物线y ＝2(x －2)2与x 轴交点A 的坐标为__(2，0)__，与y 轴交点B 的坐标为__(0，8)__，S △AOB ＝__8__．【解析】画草图帮助理解题意．当x ＝2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝8，S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×8＝8.10．已知：抛物线y ＝－14(x ＋1)2.(1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表；x … －7 －3 1 3 … y…－9－1…(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．图22－1－16解：(1)抛物线的对称轴为x ＝－1. (2)x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y…－9－4－1－1－4－9…(3)描点作图如下：11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标． (1)y ＝2(x ＋1)2 (2)y ＝－4(x －5)2. 解：(1)由y ＝2(x ＋1)2可知，二次项系数为2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(2)由y ＝－4(x －5)2可知，二次项系数为－4＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，顶点坐标为(5，0)．12．已知二次函数y ＝－3(x －5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x 在什么范围内y 随x的增大而减小、x 取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y ＝－3(x －5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x ＝5；函数y ＝－3(x －5)2的图象开口向下，对称轴x ＝5，故当x ≥5时，函数值y 随x 的增大而减小； ∵－3＜0，∴二次函数的开口向下，当x ＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13．已知抛物线y ＝a (x －h )2的对称轴为x ＝－2，与y 轴交于点(0，2)． (1)求a 和h 的值；(2)求其关于y 轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x ＝－2， ∴h ＝－2，∵与y 轴交于点(0，2)， ∴a ·22＝2， ∴a ＝12；(2)抛物线关于y 轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y 轴对称的抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.14．(1)求抛物线y ＝2(x －h )2关于y 轴对称的抛物线的函数解析式．(2)若将(1)中的抛物线变为y ＝a (x －h )2，请直接写出关于y 轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x 轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．解：(1)∵抛物线y ＝2(x －h )2的顶点坐标为(h ，0)， ∴关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，∴关于y 轴对称的抛物线的函数解析式为y ＝2(x ＋h )2； (2)抛物线y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)，∵关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，抛物线开口方向不变， ∴关于y 轴对称的抛物线解析式为y ＝a (x ＋h )2；∵关于x 轴对称的抛物线的顶点坐标为(h ，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于x 轴对称的抛物线解析式为y ＝－a (x －h )2；∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，抛物线开口方向改变， ∴关于原点对称的抛物线解析式为y ＝－a (x ＋h )2.15．在直角坐标平面内，已知抛物线y ＝a (x －1)2(a ＞0)顶点为A ，与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC 为直角三角形时，求a 的值．图22－1－17解：∵y ＝a (x －1)2(a ＞0)的顶点为A ，所以点A 的坐标为(1，0)．由x ＝0，得y ＝a ，所以点C 的坐标为(0，a )，由x ＝3，得y ＝4a ，所以点B 的坐标为(3，4a )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧AC 2＝1＋a 2AB 2＝4＋16a 2BC 2＝9＋9a 2(1)若BC 2＝AC 2＋AB 2得 9＋9a 2＝1＋a 2＋4＋16a 2 即a 2＝12，a ＝±22，因为a >0，∴a ＝22； (2)若AB 2＝AC 2＋BC 2得4＋16a 2＝1＋a 2＋9＋9a 2 即a 2＝1，a ＝±1. ∴a >0， ∴a ＝1；(3)若AC 2＝AB 2＋BC 2得1＋a 2＝4＋16a 2＋9＋9a 2 即a 2＝－12，无解．综上所述，当△ABC 为直角三角形时，a 的值为1或22.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质 [见B 本P16]1．抛物线y ＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是( A ) A ．(3，1) B ．(3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1)2．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x >1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 ①∵a ＝－12<0，∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x ＝－1，错误； ③顶点坐标为(－1，3)，正确；④∵x >－1时，y 随x 的增大而减小∴x >1时，y 随x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C.3．下列二次函数中，图象以x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( C ) A ．y ＝(x －2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x －2)2－3 D ．y ＝(x ＋2)2－3【解析】设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋k ，把点(0，1)代入检验． 4．如图22－1－18，关于抛物线y ＝(x －1)2－2，下列说法错误的是( D )图22－1－18A ．顶点坐标是(1，－2)B ．对称轴是直线x ＝1C ．开口方向向上D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )A ．y ＝3(x ＋2)2＋3B ．y ＝3(x －2)2＋3C ．y ＝3(x ＋2)2－3D ．y ＝3(x －2)2－3 6．[2013·雅安]将抛物线 y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D )A ．y ＝(x －2)2B ．y ＝(x －2)2＋6C ．y ＝x 2＋6D ．y ＝x 2【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y ＝(x －1＋1)2＋3，即y ＝x 2＋3；再向下平移3个单位为：y ＝x 2＋3－3，即y ＝x 2. 故选D.7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A )图22－1－19A ．m ＝n ，k >hB ．m ＝n ，k <hC ．m >n ，k ＝hD ．m <n ，k ＝h8．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．解：列表如下：x y ＝－12x 2y ＝－12x 2－1y ＝－12(x ＋1)2－1－4 －5.5 －3 －4.5 －5.5 －3 －2 －2 －3 －1.5 －1 －0.5 －1.5 －1 0 0 －1 －1.5 1 －0.5 －1.5 －3 2 －2 －3 －5.5 3－4.5－5.5抛物线对称轴顶点坐标 y ＝－12x 2，即y ＝－12(x －0)2＋0x ＝0(0，0)y ＝－12x 2－1，即y ＝－12(x －0)2＋(－1)x ＝0 (0，－1)y ＝－12(x ＋1)2－1，即y ＝－12[x －(－1)]2＋(－1)x ＝－1 (－1，－1)9．已知：抛物线y ＝(x －1)－3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当x ____________时，y 随x 的增大而减小，当x ____________时，y 随x 的增大而增大．解：(1)抛物线y ＝(x －1)2－3， ∵a ＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－3)； (2)∵对称轴是x ＝1∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大．10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)， ∴可设为y ＝a (x －1)2－1，当x ＝0时，y ＝0，∴0＝a (0－1)2－1，a ＝1，所求函数解析式为y ＝(x －1)2－1.11．二次函数y ＝x 2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0?图22－1－20 解：(1)画图略．依题意得y ＝(x －1)2－2＝x 2－2x ＋1－2＝x 2－2x －1， ∴平移后图象的解析式为y ＝x 2－2x －1； (2)当y ＝0时，即x 2－2x －1＝0， ∴(x －1)2＝2，∴x －1＝±2，∴x 1＝1－2，x 2＝1＋2，∴平移后的图象与x 轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x ＜1－2或x ＞1＋2时，二次函数y ＝x 2－2x －1的函数值大于0.12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y ＝－2(x －h )2＋k ，则下列结论正确的是( A )图22－1－21A ．h >0，k >0B ．h <0，k >0C ．h <0，k <0D ．h >0，k <0【解析】 ∵抛物线y ＝－2(x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h ＞0，k ＞0.故选A.13．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图22－1－22所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( A )【解析】根据二次函数开口向上知a ＞0，根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c ＞0，故一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象经过一、二、三象限，故选A.14．把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y ＝－(x ＋1)2－2__．【解析】二次函数y ＝(x －1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2.15．二次函数y ＝－(x －2)2＋94的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)．图22－1－23【解析】令－(x －2)2＋94＝0，解得x 1＝12，x 2＝72，抛物线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，⎝⎛⎭⎫72，0，顶点为⎝⎛⎭⎫2，94，画出图象，图象与x 轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个．16．已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2) ∴a (1－3)2＋2＝－2 ∴a ＝－1.(2)解法一：由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下在对称轴x ＝ 3的左侧，y 随x 的增大而增大 ∵m <n <3 ∴y 1<y 2解法二：由(1)得y ＝－(x －3)2＋2 ∴当x ＝m 时，y 1＝－(m －3)2＋2 当x ＝n 时，y 2＝－(n －3)2＋2 y 1－y 2＝(n －3)2－(m －3)2 ＝(n －m )(m ＋n －6) ∵m <n <3∴n －m >0，m ＋n <6，即m ＋n －6<0 ∴(n －m )(m ＋n －6)<0 ∴y 1<y 217．如图22－1－24，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (1，0)及点B .(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．图22－1－24解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0. 解得m ＝－1，∴二次函数的解析式是y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)，∵点B 与C 关于x ＝2对称， ∴B (4，3)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的解析式是y ＝x －1. (2)x 的取值范围是1≤x ≤4.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 [见A 本P18]1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C ) A ．y ＝－x ＋3 B ．y ＝5xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x 2＋x －72．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( A ) A ．(3，－4) B ．(3，4) C ．(－3，－4) D ．(－3，4) 【解析】 ∵y ＝x 2－6x ＋5＝x 2－6x ＋9－9＋5＝(x －3)2－4，∴抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A. 3．在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( A ) A ．x <1 B ．x >1 C ．x <－1 D ．x >－1 【解析】 ∵a ＝－1＜0， ∴二次函数图象开口向下，又对称轴是x ＝1，∴当x ＜1时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A.4．关于y ＝－12x 2＋3x －52的图象，下列说法不正确的是( B )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝－3C ．顶点坐标是(3，2)D ．顶点是抛物线的最高点【解析】 a ＝－12＜0，开口向下，故A 正确；对称轴为x ＝－b 2a ＝－32×⎝⎛⎭⎫－12＝3，故B 不正确；当x ＝3时，y 最大值＝－12×32＋3×3－52＝2，故顶点坐标为(3，2)，C 正确；D 正确．5．下列关于二次函数的说法错误的是( B ) A ．抛物线y ＝－2x 2＋3x ＋1的对称轴是x ＝34B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3的图象上C．二次函数y＝(x＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2)D．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的最低点是(－1，－5)6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(D)A．(－2，3) B．(－1，4)C．(1，4) D．(4，3)7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为(B)A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2【解析】把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y ＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B.8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是(B)图22－1－25A．y1≤y2B．y1<y2C．y1≥y2D．y1>y2【解析】∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2.故选B.9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．【解析】原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．10．用配方法将二次函数y＝－12x2－x＋32化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－12(x＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__．【解析】 y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x 2＋2x －3)＝－12[(x ＋1)2－4]＝－12(x ＋1)2＋2.a ＝－12＜0，它的图象开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，2)．11．y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是x ＝1，则b 的值为__4__．【解析】由对称轴公式得－－b2×2＝1，解得b ＝4. 12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x 为何值时，y 值最大(小)．(1)y ＝－2x 2－8x ＋8; (2)y ＝5x 2＋6x ＋7； (3)y ＝3x 2－4x; (4)y ＝－2x 2＋5.解：(1)y ＝－2(x 2＋4x －4) ＝－2(x 2＋4x ＋4－8) ＝－2(x ＋2)2＋16.a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x ＝－2时，y 有最大值．(2)∵a ＝5，b ＝6，c ＝7，∴－b 2a ＝－62×5＝－0.6，4ac －b 24a ＝4×5×7－364×5＝140－3620＝10420＝5.2. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x ＝－0.6时，y 有最小值． (3)y ＝3⎝⎛⎭⎫x 2－43x ＝3⎝⎛⎭⎫x 2－43x ＋49－49 ＝3⎝⎛⎭⎫x －232－43. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝23，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫23，－43.当x ＝23时，y 有最小值． (4)抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，5)，当x ＝0时，y 有最大值．13．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【解析】 ∵二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152的对称轴为x ＝－b2a ＝－－72×⎝⎛⎭⎫－12＝－7.∵0＜x 1＜x 2＜x 3，∴三点都在对称轴右侧，又∵a ＜0，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2＞y 3.14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx 的对称轴为(C)A．直线x＝1 B．直线x＝－2C．直线x＝－1 D．直线x＝－4【解析】∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，∴－2a＋b＝0，即b＝2a，∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－b2a＝－1.故选C.15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；(2)x ……y ……(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．图22－1－26解：(1)x＝1，(1，3)；(2)填表如下：x …－10123…y …－1232－1…抛物线的图象如图所示．(3)因为在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2.图22－1－2716．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围．解：(1)由题意，得C (0，2)，B (2，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－23×4＋2b ＋c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43，c ＝2，∴该二次函数的解析式为y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令－23x 2＋43x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，∴当y ＞0时，－1<x <3.图22－1－2817．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM ＋OM 的最小值．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得a ＝－12，b ＝1，c ＝0，所以抛物线解析式为y ＝－12x 2＋x .(2)如图，由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称垂直平分线段OB ，所以OM ＝BM ，OM ＋AM ＝BM ＋AM .连接AB 交直线x ＝1于M ，则此时OM ＋AM 最小．过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此AM ＋OM 的最小值为4 2.18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)过矩形顶点B ，C .(1)当n ＝1时，如果a ＝－1，试求b 的值；(2)当n ＝2时，如图(2)，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．(1) (2) 图22－1－29解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x ＝12，∴－b 2a ＝12，解得b ＝1；(2)因为抛物线过C (0，1)，所以c ＝1，故可设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋1，由对称性可知抛物线经过点B (2，1)和点M ⎝⎛⎭⎫12，2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝4a ＋2b ＋1，2＝14a ＋12b ＋1，解得⎩⎨⎧a ＝－43，b ＝83，∴所求抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋83x ＋1.。

2019秋人教版九年级数学上册同步练习：第22章本章复习和测试

本章复习课__[学生用书B26]类型之一二次函数的图象和性质1．[2018·宁波]如图22－1，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P ，若点P 的坐标为－1，则一次函数y ＝(a －b )x ＋b 的图象大致是( D )图22－1A B C D【解析】把x ＝－1代入y ＝ax 2＋bx 得a －b <0，∵图象开口向下，∴a <0，又∵对称轴位于y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴y ＝(a －b )x ＋b 的图象经过二、三、四象限，故选D.2．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( A )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】由题意得⎩⎨⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b 2×1≤3，解得6≤c ≤14.故选A. 3．[2018·潍坊]已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( B )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【解析】二次函数y ＝－(x －h )2，当x ＝h 时，有最大值0，而当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，故h ＜2或h ＞5.当h ＜2，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 有最大值，此时－(2－h )2＝－1，解得h 1＝1，h 2＝3(舍去)，∴h ＝1；当h ＞5，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，y 有最大值，此时－(5－h )2＝－1，解得h 1＝6，h 2＝4(舍去)，∴h ＝6.综上所述h ＝1或6，故选B.类型之二求二次函数的解析式4．如图22－2，直线y ＝－x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A ，且经过点B .(1)求该抛物线的解析式；(2)若点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－92在抛物线上，求m 的值．图22－2解：(1)∵点A ，点B 在直线y ＝－x －2上，当y ＝0时，x ＝－2；当x ＝0时，y ＝－2.∴点A ，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2(a ≠0)，将B (0，－2)代入抛物线的解析式，得－2＝4a ，∴a ＝－12，∴该抛物线的解析式为y ＝－12(x ＋2)2，即y ＝－12x 2－2x －2；(2)把⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－92代入y ＝－12(x ＋2)2，得－92＝－12(m ＋2)2，解得m 1＝1，m 2＝－5.类型之三二次函数的图象与系数之间的关系5．[2018·绥化]抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图22－3所示，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是x ＝1.下列结论：①abc ＞0，图22－3②2a ＋b ＝0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－2，0)；⑤若点A (m ，n )在该抛物线上，则am 2＋bm ＋c ≤a ＋b ＋c .其中正确的有( B )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解析】根据图象可得a ＜0，c ＞0，根据对称轴可得－b 2a ＝1，∴b ＞0，b ＝－2a ，∴abc ＜0，2a ＋b ＝0，故①错误，②正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与直线y ＝3有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是x ＝1，∴与x 轴的另一个交点坐标为(－2，0)，故④正确；∵x ＝1时，函数取得最大值a ＋b ＋c ，又∵点A (m ，n )在该抛物线上，∴am 2＋bm ＋c ＝n ，而n ≤a ＋b ＋c ，∴am 2＋bm ＋c ≤a ＋b ＋c ，故⑤正确．故选B.6．[2017·南充]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图22－4所示，下列结论错误的是(D)图22－4A．4ac＜b2B．abc＜0C．b＋c＞3a D．a＜b【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2－4ac＞0，∴4ac＜b2.选项A中的结论正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左边，∴－b2a＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＜0.选项B中的结论正确；∵－b2a＞－1，a＜0，∴b＞2a①.∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0②.①＋②，得c＞a③.①＋③，得b＋c＞3a.选项C中的结论正确．∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，c＜0，∴a－b＞－c＞0，∴a＞b.选项D中的结论错误．故选D.类型之四抛物线的平移、对称7．[2017·丽水]将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是(D)A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位【解析】A．平移后，得y＝(x＋1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B．平移后，得y＝(x－3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C ．平移后，得y ＝x 2＋3，图象经过A 点，故C 不符合题意；D ．平移后，得y ＝x 2－1，图象不经过A 点，故D 符合题意．故选D.类型之五二次函数与一元二次方程8．[2018·湖州]在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a ≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( A )A ．a ≤－1或14≤a ＜13B.14≤a ＜13 C ．a ≤14或a ＞13 D ．a ≤－1或a ≥14【解析】 ∵抛物线的解析式为y ＝ax 2－x ＋2，直线MN 的解析式为y ＝－13x ＋53，由⎩⎨⎧y ＝－13x ＋53，y ＝ax 2－x ＋2，消去y 得到3ax 2－2x ＋1＝0， ∵Δ＝4－12a ＞0，∴a ＜13，抛物线过定点(0，2)，MN 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，第8题答图如答图，观察图象可知当a ＜0时，需满足x ＝－1时，y ≤2，且－－12a ≥－1，即a ＋1＋2≤2且1＋2a 2a ≥0，解得a ≤－1；当0＜a ＜13时，需满足x ＝2时，y ≥1，且－－12a ≤2，即4a －2＋2≥1且1－4a 2a ≤0，解得14≤a ＜13，综上所述，满足条件的a 的取值范围是a ≤－1或14≤a ＜13.故选A.9．[2018·孝感]如图22－5，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是__x 1＝－2，x 2＝1__．图22－510．[2017·德阳改编]若抛物线y ＝－ax 2＋2na ＋a n （n ＋1）x －a n （n ＋1）与x 轴交于A n ，B n 两点(a 为常数，a ≠0，n 为正整数)，用S n 表示A n ，B n 两点间的距离，求S 1＋S 2＋…＋S 2 017.解：令y ＝0，A n 在B n 右侧，可以得到A n 和B n 的坐标分别为A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，B n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1，0. 则S n ＝|x A －x B |＝1n －1n ＋1，S 1＋S 2＋…＋S 2 017＝11－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝1－12 018＝2 0172 018.类型之六二次函数的实际应用11．[2018·威海改编]如图22－6，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( A )图22－6A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB ．小球距O 点水平距离超过4 m 呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7 mD ．落点的高度与水平距离的比为1∶2【解析】根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m 时，二次函数y ＝4x －12x 2的函数值为7.5，即4x －12x 2＝7.5，解得x 1＝3，x 2＝5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O 点的水平距离为3或5 m ，A 结论错误；由y ＝4x －12x 2，得y ＝－12(x －4)2＋8，则抛物线的对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝7，y ＝72，则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，C 结论正确；由落点⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72知落点处的高度与水平距离的比为72∶7＝1∶2，D 结论正确．故选A.12．[2018·绍兴]学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图22－7①)，顺次输入点P 1，P 2，P 3的坐标，机器人能根据图②，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．(1)P 1(4，0)，P 2(0，0)，P 3(6，6)．(2)P 1(0，0)，P 2(4，0)，P 3(6，6)．图22－7解：(1)∵P 1(4，0)，P 2(0，0)，4－0＝4＞0，∴绘制线段P 1P 2，P 1P 2＝4；(2)∵P 1(0，0)，P 2(4，0)，0－0＝0，∴绘制抛物线，设y ＝ax (x －4)，把(6，6)代入得6＝12a ，解得a ＝12，∴y ＝12x (x －4)＝12x 2－2x .13．[2018·台州]某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型，设第t 个月该原料药的月销售量为P (单位：t)，P 与t 之间存在如图22－8所示的函数关系，其图象是函数P ＝120t ＋4(0＜t ≤8)的图象与线段AB 的组合；设第t 个月销售该原料药每吨的毛利润为Q (单位：万元)，Q 与t 之间满足如下关系：Q ＝⎩⎨⎧2t ＋8，0＜t ≤12，－t ＋44，12＜t ≤24.(1)当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数解析式；(2)设第t 个月销售该原料药的月毛利润为w (单位：万元)．①求w 关于t 的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w ≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值．图22－8 第13题答图解：(1)当8＜t ≤24时，设P 关于t 的函数解析式为P ＝kt ＋b (k ≠0)，∵函数P ＝kt ＋b 的图象经过点(8，10)与(24，26)，∴⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝10，24k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴P ＝t ＋2； (2)①当0＜t ≤8时，w ＝P ·Q ＝120t ＋4·(2t ＋8)＝240，当8＜t ≤12时，w ＝P ·Q ＝(t ＋2)(2t ＋8)＝2t 2＋12t ＋16，当12＜t ≤24时，w ＝P ·Q ＝(t ＋2)(－t ＋44)＝－t 2＋42t ＋88，∴w 关于t 的函数解析式为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧240，0＜t ≤8，2t 2＋12t ＋16，8＜t ≤12，－t 2＋42t ＋88，12＜t ≤24.②w 关于t 的函数图象如答图所示，由图象可知，当w ＝336时，2t 2＋12t ＋16＝336，解得t 1＝10，t 2＝－16(不合题意，舍去)，当w ＝513时，－t 2＋42t ＋88＝513，解得t 1＝17，t 2＝25＞24(不合题意，舍去)，∵336≤w ≤513，∴10≤t ≤17，∴P ＝t ＋2(8＜t ≤24)，∴P 随t 增大而增大，∴当t ＝10时，P 有最小值12，当t ＝17时，P 有最大值19.类型之七二次函数的综合应用14．[2018·嘉兴]已知点M 为二次函数y ＝－(x －b )2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 轴的正半轴，y 轴于点A ，B .(1)判断顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图22－9①，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx ＋5>－(x －b )2＋4b ＋1，根据图象，写出x 的取值范围；(3)如图②，点A 的坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，y 2都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．图22－9解：(1)点M在该直线上．理由：∵点M的坐标是(b，4b＋1)，∴把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1，∴点M在直线y＝4x＋1上；(2)∵直线y＝mx＋5与y轴交于点B，∴点B的坐标为(0，5)．又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2，∴二次函数的解析式为y＝－(x－2)2＋9，∴当y＝0时，得x1＝5，x2＝－1，∴A(5，0)．观察图象可得，当mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1时，x的取值范围为x<0或x>5；(3)如答图，设直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB 的解析式为y＝－x＋5，第14题答图联立⎩⎨⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，215，F (0，1)． ∵点M 在△AOB 内，∴0<b <45.当点C ，D 关于抛物线对称轴(直线x ＝b )对称时，b －14＝34－b ，∴b ＝12，且二次函数的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上，综上：①当0<b <12时，y 1>y 2；②当b ＝12时，y 1＝y 2；③当12＜b ＜45时，y 1<y 2.第二十二章质量评估试卷[学生用书活页P5][时间：120分钟满分：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(B)A．x＝1 B．x＝－1C．x＝－2 D．x＝22．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，当函数值y>0时，x的取值范围是(D)图1A．x<－1 B．x>3C．－1<x<3 D．x<－1或x>33．[2017·德州]下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是(A)A．y＝－3x＋2 B．y＝2x＋1C．y＝2x2＋1 D．y＝－1 x【解析】一次函数y＝－3x＋2中，由于k＝－3＜0，所以y随着x的增大而减小，即对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2.4．[2018·海州区一模]关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是(D)A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D ．图象的顶点坐标为(－1，2)5．如图2是反映铅球运动员掷铅球的高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)之间的函数关系的图象，其函数解析式为y ＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D )图2A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m【解析】令y ＝0，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)．故选D.6．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的部分图象如图3所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋4x ＋k ＝0的一个解为x 1＝5，另一个解x 2等于( B )图3A ．1B ．－1C ．－2D ．07．点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 3>y 2>y 1B ．y 3>y 1＝y 2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y38．[2018·平阴二模]把抛物线y＝－2x2＋4x＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(C)A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6【解析】原抛物线的顶点坐标为(1，3)，向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为(－1，6)．可得新抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋6.故选C.9．[2018·德州]函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)A B C D【解析】当a＞0时，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象上升，排除A，C；当a＜0时，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴的左侧，排除D.故选B.10．[2018·兰州]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a>c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有(B)图4A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤【解析】∵二次函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在x轴的正半轴，∴b＞0，∵二次函数与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；当x＝－1时，a－b＋c＜0，∴b－a＞c，故②正确；由图象知当x＝2时，4a＋2b＋c＞0，故③正确；＝1，∴b＝－2a，由对称轴为x＝1得－b2a当x＝－1时，a－b＋c＜0，∴3a＜－c，故④错误；∵当x＝1时，函数有最大值a＋b＋c，∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c(m≠1的实数)，∴a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)，故⑤正确，∴正确的结论是②③⑤，故选B.二、填空题(每小题4分，共24分)11．[2018·哈尔滨]抛物线y＝2(x＋2)2＋4的顶点坐标为__(－2，4)__．12．抛物线y＝2(x＋1)2是由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位得到的．13．[2017·兰州]如图5，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于抛物线的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为__(－2，0)__．图5【解析】点P，Q两点关于对称轴对称，则点P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，∴Q点的坐标为(－2，0)．14．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图6所示，则抛物线的解析式是__y ＝－125x 2＋85x __.图6【解析】抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x －20)2＋16(a ≠0)，把(0，0)代入，得a ×400＋16＝0，解得a ＝－125.∴y ＝－125(x －20)2＋16，即y ＝－125x 2＋85x .15．如图7，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是__(－2，0)__．图7【解析】由C (0，c )，D (m ，c )，得函数图象的对称轴是x ＝m 2，设A 点坐标是(x ，0)，由A ，B 关于对称轴x ＝m 2对称，得x ＋m ＋22＝m 2，解得x ＝－2，∴A 点坐标是(－2，0)．16．[2018·遵义]如图8，抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D ，E ，F 分别是BC ，BP ，PC的中点，连接DE ，DF ，则DE ＋DF 的最小值为2．图8 第16题答图【解析】如答图，连接AC ，交对称轴于点P ，则此时PC ＋PB 最小，∵点D ，E ，F 分别是BC ，BP ，PC 的中点，∴DE ＝12PC ，DF ＝12PB ， ∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，∴0＝x 2＋2x －3，解得x 1＝－3，x 2＝1，当x ＝0时，y ＝－3，故CO ＝3，AO ＝3，可得AC ＝PB ＋PC ＝32，故DE ＋DF 的最小值为322.三、解答题(共66分)17．(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y ＝x 2－3x －4；(2)y ＝－4x 2＋3x .解：(1)y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，开口向上，对称轴为x ＝32，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－254；(2)y ＝－4x 2＋3x ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －382＋916，开口向下，对称轴为x ＝38，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，916. 18．(8分)已知二次函数的图象经过点A (0，－3)，且顶点P 的坐标为(1，－4)．(1)求这个函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．第18题答图解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－4(a ≠0)，将点A (0，－3)代入，得－3＝a ×(0－1)2－4，解得a ＝1，∴y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3；(2)图象如答图所示．19．(10分)如图9，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，0)和B (3，0)两点，且交y 轴于点C .(1)试确定b ，c 的值；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．图9解：(1)将A ，B 两点坐标代入二次函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1－b ＋c ，0＝9＋3b ＋c ，解得b ＝－2，c ＝－3；(2)由(1)得二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，配方，得y ＝x 2－2x ＋1－4＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点M 的坐标为(1，－4)．令x ＝0，得y ＝－3，∴C (0，－3)．由抛物线的对称性，可得D (2，－3)，∴CD ＝2，CM ＝DM ＝ 2.又∵CM 2＋DM 2＝CD 2，∴△MCD 是等腰直角三角形．20．(10分)[2018·衡阳]一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现这种产品的销售价不宜高于16元/件，且该产品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图10所示．图10(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b ，把(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)；(2)W ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2＋50x －400＝－(x －25)2＋225，对称轴为x ＝25，在对称轴的左侧W 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 的值最大，最大值为144.即当销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．21．(10分)[2017·临沂改编]如图11，抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A (2，－3)，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且∠BDO ＝∠BAC ，求点D 的坐标．图11 第21题答图解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3，得y ＝－3，∴C (0，－3)，OC ＝3.又∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1，∴B (－1，0)．把B (－1，0)和A (2，－3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)如答图，过点B 作BE ⊥x 轴交AC 的延长线于点E .∵B (－1，0)，A (2，－3)，∴AE ＝BE ＝3，∴∠BAE ＝45°，∴∠BDO ＝45°，∵∠BOD ＝90°，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴OD ＝OB ＝1，∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．22．(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m ，抛物线拱高为5.6 m.(1)在如图12所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式；(2)现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5 m ，高1.6 m ，相邻窗户之间的间距均为0.8 m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户．图12解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2(a ≠0)．∵点B (6，－5.6)在抛物线上，∴－5.6＝36a ，解得a ＝－745，∴抛物线的解析式为y ＝－745x 2；(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C ，D 两点，D 点坐标为(k ，t )．∵窗户高1.6 m ，∴t ＝－5.6＋1.6＝－4，∴－4＝－745k 2，解得k 1≈5.07，k 2≈－5.07，∴CD ＝|k |×2≈10.14(m)．又设最多可安装n 扇窗户，则1.5n ＋0.8(n ＋1)≤10.14，解得n ≤4.06.∵n 为正整数，∴n 取4，∴最多可安装4扇这样的窗户．23．(10分)[2018·鄂州]如图13，已知直线y ＝12x ＋12与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线交y 轴于点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M .图13 第23题答图(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标； (2)设点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标；解：(1)将B (4，m )代入y ＝12x ＋12，得m ＝12×4＋12＝52，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，将A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x －32，y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2，故顶点M 的坐标为(1，－2)；(2)如答图，过点P 作PE ⊥x 轴，交AB 于点E ，交x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，∵A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴AF ＝4―(―1)＝5，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2－m －32，则点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m ＋12， ∵点P 在直线AB 下方，∴PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－m －32＝－12m 2＋32m ＋2， ∴S △P AB ＝S △APE ＋S △BPE＝12PE ·AG ＋12PE ·FG ＝12PE ·(AG ＋FG )＝12PE ·AF ＝12×5⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋32m ＋2 ＝－54⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋12516， ∴当m ＝32时，△P AB 的面积最大，最大面积为12516，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－158.。

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