天津市静海区大邱庄中学2020_2021学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

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天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1. 集合用列举法表示是A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4, 5}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{0, 1, 2, 3, 4}【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】解出不等式得x<5，小于5的自然数有5个．详解：由题意x<5，又x∈N，…集合为{0,1,2,3,4}【解答】此题暂无解答2. 设全集，集合，则()A. B. C. D.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果【解答】由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)=(−1,1)故选：C．3. 若，则a=()A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较向量数乘的运算及其几何意义二次函数的应用【解析】分别令a2+1=2a+1=2，求出④值，代入检验．【解答】当a2+1=2时，a=±1，当a=1时，a+1=a2+1=2，不满足互异性，舍去，当a=−1时，集合为{1,2,0}，满足；当a+1=2时，a=1，不满足互异性，舍去．综上a=−1故选：D．4. 已知，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】将命题p:q转化为集合和，再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得【解答】设命题p:x>2对应的集合为命题q:x>1对应的集合为因为AūB．所以命题P是命题4的充分不必要条件．故选A．5. 命题：“，则”的否定是()A.，B.，C.，D.，【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义f】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：已知p:∵ 加，则n2>2′则命题P的否定是：加n∈N,n2≤2n故选：C．6. 下列不等式中成立的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【考点】基本不等式【解析】取特殊值判断ABC选项，根据不等式的性质判断D选项．【解答】解：A中，c2=0时，ac2=bc2，故A不一定成立；B中，0>a>b，可得a2<b2，故B不一定成立；C中，令a=−2,b=−1，则a2=4,ab=2.b2=1，显然a2>ab>b2，故C不一定成立；由不等式的性质知D正确．故选：D7. 下列表示图形中的阴影部分的是()A. B.C. D.【答案】A【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足”是▲的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足”是4的元素且是B的元素，或是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是C∪(A∩B)=(A∪C)∪(B∪C)故选：A8. 下列不等式中，正确的是()A.a+≥4B.a2+b2≥4abC.≥D.x2+≥2【答案】D【考点】由基本不等式比较大小【解析】举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立【解答】a=1,b=1,a2+b2≤42故A错；，故B错，a=4,b=16，贝√ab<a+b2，故C错；由基本不等式得x2+3x2≥2√x2⋅3x2=2√3可知D项正确．故选：D．9. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A. B. C. D.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据充分不必要条件即可判断．【详加呈】由题意，记方程ax2+4x+3=0(a≠0)的两根分别为x1x2因为一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以{3a<0Δ=16−12a>0，解得a<0则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选：C．【解答】此题暂无解答10. 已知实数，，，则的最小值是()A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据已知条件，将a+2b变换为[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3，利用基本不等式，即可求得其最小值．【解答】∵ a>0,b>01a+1+1b+1=1小a+2b=(a+1)+2(b+1)−3=[(a+1)+2(b+1)]⋅(1a+1+1b+1)−3=[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3≥3+2√2−3=2√2当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1，即a=√2b=√22时取等号．故选：B二、填空题若命题，使，则为________．【答案】加x∈Rx2−1≤0【考点】命题的真假判断与应用命题的否定不等式的基本性质【解析】特称命题p:∃x0∈Mp(x0)它的否定−p:∀x∈M,−p(x)【解答】此题暂无解答已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有________个.【答案】2【考点】元素与集合关系的判断子集与真子集集合的含义与表示【解析】通过对α、b正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，即可求出集合A的元素，即可求得答案【解答】当a>0,b>0时，x=|d|a +|b|b|+ab|ab|=1+1+1=3当a>0b<0时，ab<0x=|a|a +|b|b|+|ab|ab|=1−1−1=−1当a<0b<0时，ab>0x=|d|a +|b|b|+|ab|ab|=−1−1+1=−1当a<0b>0时，ab<0x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1=−1故》的所有值构成的集合为{−1,3}，集合A的元素的个数有2个，故答案为：2设集合，，且BÜA，则实数m=________.【答案】【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意可知m2≠−1，则m2=m．解出m=0或m=1．根据集合中元素的互异性舍去m=1，即可得出结果【解答】解：因为，且BuA．且m2≠−1，则m2=m解得m=0或m=1（不满足互异性舍去）．故故答案为：0设集合，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________.【答案】6【考点】交集及其运算子集与真子集元素与集合关系的判断【解析】先求出A∩B，根据非空真子集的个数为2n−2个可得结果【解答】由于所以A∩B={1,2,3}所以A∩B非空真子集个数为23−2=6个，故答案为：6.给出下列条件p与q：①：或；：②：，：③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等其中是的必要不充分条件的序号为________.【答案】②【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断演绎推理的基本方法平面的基本性质及推论【解析】利用必要不充分条件的定义对①②③逐一判断即可得正确答案【解答】对于①：由x2−3x+2=0得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2p;x=1或x=2；所以P是4的充分必要条件，故⑩不正确，对于②：由x2−1=0解得：x=±1，所以p:x=1q:x=1由必要不充分条件的定义可知？是19的必要不充分条件，故②正确，对于③：一个四边形是矩形则它的对角线相等，p⇒q一个四边形的对角线相等，但它不一定是矩形，q=p所以P是4的充分不必要条件，故③不正确，故答案为：②已知全集，若，，，则集合A=________【答案】{2.8.4}【考点】补集及其运算集合的含义与表示集合的相等【解析】先求全集，再根据题意画韦恩图，结合韦恩图得结果【解答】因为A∩(∁U B)={2,8}(∁U A)∩B={3,7}(∁U,A)∩(∁U B)={1,5,6}所以A={2,8,4}故答案为：{2,8,4}已知集合，，若A∪B=A，则实教a的取值范围是________.【答案】α≤0或1≤a≤2【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由|A∪B=A，得到BiA，然后再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论求解．【解答】已知集合因为A∪B=A所以BIA则当a≤0时，B=⌀，成立；当a >0时，B ≠⌀，则{a ≥12a ≥4,解得1≤a ≤2综上：实教a 的取值范围是a ≤0或1≤a ≤2 故答案为：a ≤0或1≤a ≤2 ．设，一元二次方程有整数根的充要条件是【答案】 3或4 【考点】函数零点的判定定理必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的含义与表示【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．，因为X 是整数，即2±√4−n 为整数，所以√4−n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N 1，取符合题意；反之n =3,4时，可推出一元二次方程x 2−4x +n =0有整数根．【解答】此题暂无解答已知正实数a ，b 满足，则的最小值是________.【答案】 2+2、2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【61)将1a (b +1b )展开，利用a +b 代换1，再利用基本不等式即可求最小值．【解答】1a (b +1b )=b a +1ab =b a +(a +b )2ab =b a +a 2+b 2+2ab ab =2b a +a b +2 ≥2√2b a ×ab +2=2+2√2故答案为：2+2√2 三、双空题若，，当________时，的最大值为________.【答案】3,3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将函数解析式变形为y=5−(5−3x)−15−3x，利用基本不等式可求得y的最大值，利用等号成立可求得∼的值．【解答】当x<53时，5−3x>0,y=3x+13x−5=5−[5−3x)+15−3x]≤5−2√(5−3x)⋅15−3x=3当且仅当5−3x=15−3x (x<53)时，即当x=43时，等号成立，因此，Ⅴ的最大值为3．故答案为:43；3．四、解答题设集合，（1）若a=1时，求P∪Q；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q={x|0≤x<3}，求实数a的值.【答案】（1）{x|−2<x≤4}{x|−2≤x<2}；（2）a≤−5或a≥32；（3）0.【考点】绝对值不等式的解法与证明集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由a=，得到，再利用交集运算求解．（2）根据P∩Q=⌀，分Q=⌀和Q≠⌀两种情况讨论求解．（3）根据PQQ={x|0≤x<3}，令2a=0求解．【解答】（1）若a=1时，又集合所以又或x>4}所以P∩(∁R)==x|−22x<2}（2）因为P∩Q=⌀当a>3时，Q=⌀成立；当a≤3时，Q≠⌀所以a+3≤−2或2a≥3解得a≤−5或a≥32≤a≤3即a≤−5或32综上：a≤−5或a≥32所以实数a的取值范围a≤−5或a≥32（3）因为PQQ={Q={x|3}所以2a=0解得a=0所以实数a的值0.已知集合，或．（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）0<a<1【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）求出集合，即可得解；（2）根据题意A是∁R B的真子集，且A≠Z，根据集合的关系求解参数的取值范围．【解答】（1）当a=3时，或x≥4}A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}（2）或x≥4}，由”（加A是|x∈∁R B”的充分不必要条件，得A是∁R B的真子集，且A≥⌀又，∴ {2−a >12+a <4,0<a <1。

2020-2021学年天津市高一上第一次月考数学试卷

2020-2021学年天津市高一上第一次月考数学试卷一．选择题（共9小题，满分45分）1．（5分）体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C．参加跳高或跳远的甲班同学D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学【解答】解：集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是不同时参加跳高和跳远的甲班同学，故选：D．2．（5分）命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜3【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N，|x+2|≥3”的否定为：∃x∈N，|x+2|＜3．故选：D．3．（5分）已知a、b都是实数，那么“a＜b＜0”是“1a＞1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若1a ＞1b，则1a−1b=b−aab＞0，若0＜a＜b，则1a ＞1b成立，当a＞0，b＜0时，满足1a ＞1b，但0＜a＜b不成立，故“0＜a＜b”是“1a ＞1b”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知集合A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．0或2B．0或4C．2或4D．0或2或4第 1 页共8 页。

2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)

2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−14. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b37. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√39. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>110. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．已知集合A＝{x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．(1)当a=3时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4.【答案】A必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5.【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．)2+对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b23b2]>0，故选项D正确．4故选：D．7.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a ≤−5或32≤a ≤3， ∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，解得a ≤−5或32≤a ≤3， ∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]． ∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．试卷第11页，总11页【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。

2020-2021学年天津市静海一中高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年天津市静海一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={2,3，4}，B={2,4，6}，则A∩B=()A. {2}B. {2,4}C. {2,4，6}D. {2,3，4，6}2.设实数，则的大小关系为A. B. C. D.3.函数y=√xx−1−lgx的定义域为()A. {x|x>1}B. {x|x≥1}C. {x|x>1}∪{0}D. {x|x≥1}∪{0}4.给出下列3个命题：①函数y=tanx的图象关于点(kπ+π2,0)，k∈Z对称；②函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；③函数y=cos2x+sinx的最小值为−1．其中正确的命题个数有()个．A. 1B. 2C. 3D. 05.下列说法正确的是()A. 两条直线没有公共点，则这两条直线平行B. 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行C. 两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D. 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b=5，∠B=π4，tanA=2，则a的值是()A. 10√2B. √10C. 2√10D. √27.已知函数f(x)=x2lnx+1x+kx−2e有且只有一个零点，则k的值为()A. e+1e2B. e+1eC. e2+1e2D. e2+1e8.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,−2)，若a⃗⊥b⃗ ，则m的值为()A. −4B. −1C. 2D. 49. 设函数f(x)=x +log 2x −m ，若函数f(x)在(14,8)上存在零点，则m 的取值范围是( ) A. (−74,5) B. (−74,11) C. (94,5) D. (94,11) 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ，在下列曲线中，“远离”直线l ：y =2x 的曲线有______.(写出所有符合条件的曲线C 的编号) ①曲线C ：2x −y +√5=0②曲线C ：y =−x 2+2x −94③曲线C ：x 2+(y −5)2=1④曲线C ：y =e x +1⑤曲线C ：y =lnx −2．11. 数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2+1，前n 项和为S n ，则S 2012=________．12. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a x <1log 12x x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是______． 13. 三棱锥的四个面中，设Rt △的个数为n ，若当n 取最大值时，该三棱锥的最大棱长为(n +1)2−2n ，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．14. 设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 22x +b 21−x ≥m 恒成立，则m 的最大值是______ 15. 函数y =sinx +√3cosx(x ∈[0,π2])的最小值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. (本小题满分12分)设，函数． (Ⅰ)用五点法作出函数在的图象，并求函数单调递增区间；(Ⅱ)在中，角的对边分别为，若，且，求的面积．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，a −b =bcosC ．(1)求sinCtanB 的值；(2)若a=2，b=3，求c．18. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点．(1)求证：直线AF//平面BEC1(2)求A到平面BEC1的距离．2=6S n+9n+1，n∈N∗.各项均19. 各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a2=4，a n+1为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若∁n=a n⋅b n，数列{∁n}的前n项和为T n，求T n．20. 已知函数f(x)=lgkx，g(x)=lg(x+1)，ℎ(x)=x．x2+1(1)当k=1时，求函数y=f(x)+g(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=2g(x)仅有一个实根，求实数k的取值集合；(3)设p(x)=ℎ(x)+mx在区间(−1,1)上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．1+x【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A ={2,3，4}，B ={2,4，6}，∴A ∩B ={2,4}，故选：B ．由A 与B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：试题分析：因为，所以，故选：A ．考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性3.答案：A解析：解：要使函数有意义则{x >0x −1>0x >1故选：A负数不能开偶次方根，真数要大于0．本题主要考查根式函数和对数函数的定义域求法．4.答案：B解析：解：①函数y =tanx 的图象关于点(kπ+π2,0)，(k ∈Z)对称，故①正确；②函数f (x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x)=sin|x|不是周期函数，故②错误；③因为函数y =cos 2x +sinx =−sin 2x +sinx +1=−(sinx −12)2+54，当sinx =−1时，取得最小值−1，故③正确；故选：B ．①函数y =tanx 的图象关于点(kπ2,0)(k ∈Z)对称，从而可知①的正误；②利用函数f (x)=sin|x|不是周期函数可判断②的正误；③易求得y =−(sinx −12)2+54，从而可得y min =−1，可判断其正误；本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的图象与性质，考查分析、运算的能力，属于中档题． 5.答案：C解析：解：若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或为异面直线，故A 错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或为异面直线，故B 错误．由平行公理，两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行，故C 正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面，相交，或线在面内，故D 错误，故选：C两条直线没有公共点，则这两条直线平行或为异面直线，即可判断A ；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或为异面直线，即可判断B ．由平行公理，可以判断C ；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面，相交，或线在面内，即可判断D本题考查空间线线、线面的平行与垂直的位置关系，属于基础题．6.答案：C解析：解：△ABC 中，tanA =2，∴sinA >0，∴sinA cosA =2①，又sin 2A +cos 2A =1②，由①②解得sinA =2√55；由正弦定理得a sinA =b sinB ，解得a =bsinAsinB =5×2√55√22=2√10．故选：C ．根据同角的三角函数关系求出sin A 的值，再由正弦定理求出边长a 的值．本题考查了同角的三角函数关系应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是基础题目． 7.答案：D。

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列转化结果错误的是（）A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27π D ．85π化成度是288︒ 2．sin600︒的值为（）A ．BC ．12-D ．123．若角α是第二象限角，则是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角4．若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4,则扇形的面积为( )A ．4B ．2C ．4πD ．2π 5．α是第四象限角，4tan 3α=-，则sin α=（） A ．45 B ．45- C ．35D ．35 6．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1b =，c =3C π∠=，则ABC 的面积为（）A ．32B ．C ．2D 8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos 0a A b B -=，则ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论： ①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称 ③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④二、填空题10．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则角B = ．11．把函数cos y x =的图像上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再将图像沿x 轴向左平移4π个单位，所得图像的函数解析式为________________． 12．若tan 2θ=，则3cos sin cos sin θθθθ-=+__________. 13．函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是_________.14．在[0,2]π上满足sin 2x ≥x 的取值范围是______________．15．已知函数()f x =()()()sin cos 0>0x x ωϕωϕϕπω+-+<<，为偶函数，且()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，则6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为_____．三、解答题16．已知α是第三象限角,sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααπα-⋅-⋅--=-⋅--. (1)若31cos 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值.(2)若1860α=-︒,求()f α的值.17．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++.（1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值. 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =. （1）求b 的值；（2）求cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若4c =，a =，求()cos 2C A -的值.20．已知函数()sin()f x A x ωφ=+，(0,0,)2A πωφ>><的部分图像如图所示，（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图像上所有的点向左平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =在R 上的单调区间.参考答案1．C【分析】根据角度和弧度的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】 30化成弧度是6π，A 正确； 103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误； 85π化成度是288︒，D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查了角度和弧度的转化，属于简单题.2．A【分析】由三角函数的诱导公式，化简sin 600sin(720120)sin120︒=︒-︒=-︒，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得sin 600sin(720120)sin120︒=︒-︒=-︒=故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，属于基础题.3．C【分析】由角α是第二象限角，得到＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z，，由此能求出-2α是第一或第三象限角．【详解】∵α是第二象限角，∴＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z，∴＋k π＜＜＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，是第一象限角；当k 为奇数时，是第三象限角【点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．A【分析】根据扇形的弧长公式，面积公式计算即可,【详解】 21114222l l S lr l αα==⋅== ∴ 选A.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式，属于中档题.5．B【分析】由cos α=，先求出cos α，由此能求出sin α.【详解】 α是第四象限角，4tan 3α=-，3cos 5α∴===，4sin 5α∴===-. 故选：B.【点睛】本题考查已知正切值求正弦值，注意同角三角函数的关系的运用，属于基础题.6．A【分析】根据sin 2sin 236y x y x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因此只需把函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度．【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需把函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度即可得y sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对x ，属于基础题．7．C【分析】由已知结合余弦定理可求2a =，然后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】由余弦定理可得，22221131cos 3222a b c a ab a π+-+-===，整理可得，220a a --=，解可得2a =，或1a =-（舍去）则11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的简单应用，属于基础试题．8．D【分析】根据正弦定理得到sin 2sin 2A B =，计算得到答案.【详解】cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0A A B B -=，即sin 2sin 2A B =.故A B =或22A B π+=，即2A B π+=. 故选：D .【点睛】本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.9．C【分析】 ①根据2T πω=求得周期，即可判定；②由()12f π是否取得最值判定；③由()6f π-是否为零即可判定；④先求2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内函数取得最值，即可判断④．【详解】对于①， 2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，()112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值， ()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确. 故选：C ．【点睛】本题考查余弦函数的周期性与对称性，考查余弦函数的单调性，掌握余弦函数的性质是基础，属于中档题和易错题．10．3π 【解析】试题分析：根据三角形的正弦定理sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则可知ABC ∆的三个角所对应的三个边的比::5:7:8a b c =，根据三角形的余弦定理，则有222cos 2a c b B ac+-=12=，故3B π=．考点：1．正弦定理；2．余弦定理．11．1cos 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【分析】根据三角函数图象变换规律即得结果.【详解】函数cos y x =的图像上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得1cos 2y x =，再将图像沿x 轴向左平移4π个单位，得11cos ()=cos 2428y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：1cos 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析求解能力，属基础题.12．13【分析】利用同角三角函数的基本关系，将3cos sin cos sin θθθθ-+分子、分母同除cos θ即可求解. 【详解】 3cos sin 3tan 321cos sin 1tan 123θθθθθθ---===+++，故答案为：13 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题.13．()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】将函数解析式化为2sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递减区间.【详解】 2sin 2sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()22242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以，函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的减区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.14．3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 【分析】根据三角函数的性质，求得不等式的解集为322,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又由[0,2]x π，即可求解.【详解】由sin 2x ≥，可得322,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又因为[0,2]x π，当0k =时，可得344ππ≤≤x ，即x 的取值范围是3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ. 故答案为：3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查计算能力.15．1 【分析】由题意利用两角和差的正弦函数，诱导公式，求出ϕ的值，再利用正弦函数的图象和性质，求得ω的值，得出函数的解析式，从而求解()6f π的值.【详解】因为函数())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-为偶函数，所以,62k k Z ππϕπ-=+∈，令0k =，可得23ϕπ=，根据其图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π，可得1222ππω⨯=，所以2ω=，所以()2sin(2)2cos22f x x x π=+=，所以()2cos(2)2s 6o 163c f πππ=⨯==，故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式、诱导公式，正弦函数的图象与性质的综合应用，其中熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，属于中档题.16．（1）（2）12【分析】利用诱导公式将原式化为()cos fαα=；（1）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求得结果；（2）利用诱导公式将所求余弦值化为cos 60，从而得到结果. 【详解】()()()()()()()()sin cos 2tan sin cos tan cos tan sin tan sin f παπααπααααααπααα-⋅-⋅--⋅⋅-===-⋅---⋅（1）31cos sin 25απα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 1sin 5α∴=-α为第三象限角 ()cos 5f αα∴===-（2）()()()1cos 1860cos1860cos 360560cos602fα=-==⨯+==【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数关系、特殊角三角函数值的求解问题；考查学生对于诱导公式掌握的熟练程度，属于基础公式应用问题.17．（1）最小正周期为π，单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）最大值为最小值为 1. 【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出周期；然后再令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，由此即可求出函数的最值. 【详解】因为22()(sin cos )2cos 2sin 2cos 2224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；所以()f x 的最小正周期为2=2ππ；令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）50,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()f x ⎡∈⎣，所以()f x 的最大值为 1; 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.18．（1；（2. 【分析】（1）由sin 3sin b A c B =，利用正弦定理可得3ab bc =结合3a =，解得c ，再利用余弦定理即可得出b ．（2）由2cos 3B =可得sin 3B =，再利用倍角公式与和差公式即可得出．【详解】（1）由sin 3sin b A c B =，根据正弦定理可得3ab bc =，即3a c =，又3a =，1c ∴=．由余弦定理可得：2222cos 32a c b B ac+-==．∴229136b +-=，解得b =．（2）2cos 3B =．∴sin 3B =，则sin 22sin cos B B B ==21cos22cos 19B B =-=-，cos(2)cos2cos sin 2sin 333B B B πππ∴-=+=．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、平方关系、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（1）3π；（2【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得tan A 的值，由此求得A .（2）利用正弦定理求得sin C ，由此求得cos C ，进而求得sin 2,cos 2C C ，由此求得()cos 2C A -.（1）依题意sin cos a C A =，由正弦定理得sin sin cos A C C A =，由于在三角形中sin 0C >，所以sin A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=.（2）由正弦定理得sin sin c a C A=，即42sin 5C C ==，由于c a <，所以C为锐角，所以cos C ==，所以2sin 22sin cos 25525C C C ==⨯⨯=， 22217cos 212sin 12525C C ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭，所以()cos 2cos2cos sin 2sin C A C A C A -=+1711725225250+=⨯+=. 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式、两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式.20．（1）()sin()f x x π=-223；（2）单调递增区间为[]()63k k k Z ππππ-++∈，，单调递减区间为5(,)()36k k k Z ππππ++∈. 【分析】（1）观察图象由最大值确定A ，求出周期由2=T πω求出ω，代入特殊点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出φ，即可求得函数解析式；（2）根据三角函数图象变换规则求出()y g x =的解析式，令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解不等式即可求得函数()y g x =在R 上的单调增区间，同理可得单调减区间.（1）由图象可知，2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2,0||ππωω∴=>，则2ω=，所以()2sin(2)f x x φ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin()16πφ+=，则5262k ππφπ+=+，k Z ∈，即23k πφπ=-+，k Z ∈，又2πφ<，所以3πφ=-，所以()sin()f x x π=-223；（2）根据题意，2sin[2()]2sin 21)6(23y x g x x πππ⎛⎫+-=-= ⎝=⎪⎭，令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()y g x =在R 上的单调递增区间为[]()63k k k Z ππππ-++∈，，单调递减区间为5(,)()36k k k Z ππππ++∈. 【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式、正弦型函数的单调性，属于中档题.。

2020-2021学年天津市静海一中高三(上)学生能力调研数学试卷(10月份)(附答案详解)

2020-2021学年天津市静海一中高三（上）学生能力调研数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集为R，集合A={x∈Z|−1<x≤3}，集合B={1,2}，则集合A∩(∁R B)=()A. {−1,0}B. (−1,1)∪(2,3]C. (0,1)∪(1,2)∪(2,3]D. {0,3}>0”的()2.设x∈R，则“|x−1|<4”是“x−52−xA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=1−x2的图象大致为()e xA. B.C. D.4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组，得到频率分布直方图(如图)，则成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为()A. 17B. 18C. 35D. 455.已知f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(−∞,0]上单调递增，则()A. f(log 2π)>f(log 213)>f(2−π) B. f(2−π)>f(log 213)>f(log 2π) C. f(log 213)>f(2−π)>f(log 2π)D. f(2−π)>f(log 2π)>f(log 213)6. 如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若O 1O 2=2，则圆柱O 1O 2的表面积为( )A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π7. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33B. 32√2C. √3D. 28. 已知函数f(x)=2sinxcosx −√3(sin 2x −cos 2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有( )个． ①f(x)的最小正周期为2π；②将函数y =f(x)的图象向左平移π12个单位，将得到一个偶函数； ③函数y =f(x)在区间(π12,7π12)上是减函数；④“函数y =f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x =π12”.A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知函数f(x)={(x −a)2+x|x|,x ≥−1e x+1+f(−1)−1,x <−1，若函数y =f(x)−2恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A. [√3−1,2)B. {√3−1}∪[1,2)C. {√3−1}∪[1,+∞)D. [√3−1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）10. 已知i 是虚数单位，复数z =3−i1+2i ，则|z|=______． 11. (3x −12√x )5的展开式中，x 2的系数为______ ．12. 某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为______ ．13. 若正实数x ，y ，z 满足x +3y +2z =1，则x+2y 2y+4z +4x+2y 的最小值是______ ． 14. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD相交于点O ，E 为线段AC 上的动点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−72，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是 (1) ，有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 函数f(x)=(sinx +cosx)2+√3cos(2x +π)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期并求当x ∈[0,π2]时，函数f(x)的最大值和最小值． (Ⅱ)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A2)=1，sinC =2sinB ，且a =2，求△ABC 的面积．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，且AA 1=2AC =2，平面AA 1B 1B ⊥平面ACC 1A 1，AB =A 1B =√2． (1)证明：AB ⊥平面BA 1C 1．(2)求异面直线CB 与AC 1所成角的余弦值．(3)线段A 1B 上是否存在一点D ，使得平面DAC 1与平面AC 1C 1A 1所成锐二面角的余弦值为√7014？若存在，求出A 1DDB 的值：若不存在，请说明理由．18.已知点M(√6,√2)在椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为√63．(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为P(−3,2)，求△PAB的面积．19.已知数列{a n}前n和为S n，且S n=2a n−1，(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n和为T n；(3)记c n=3n−2⋅(−1)nλa n(λ≠0)，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N∗，恒有c n+1>c n？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20.已知函数f(x)=ax2−2lnx．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对∀x∈[1,3]，都有f(x)≤1恒成立，求a的取值范围；4(3)已知a>0，若∃x1，x2且满足0<x1<x2，使得f(x1)=f(x2)，求证：√a(x1+x2)2−2(x1+x2)>0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集为R，集合A={x∈Z|−1<x≤3}={0,1，2，3}，集合B={1,2}，∴集合A∩(∁R B)={0,3}．故选：D．分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩(∁R B)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：解|x−1|<4，得A={x|−3<x<5}，解x−52−x>0，得B={x|2<x<5}，∵B⫋A，∴A是B的必要不充分条件．故选：B．先解不等式，再利用集合之间的包含关系判断．本题考查充要条件，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的判定，注意用排除法分析，属于基础题．根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f(0)的值，排除A，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)定义域为R，关于原点对称，f(−x)=1−(−x)2e−x =1−x2e−x，故f(−x)≠f(x)，且f(−x)≠−f(x)，为非奇非偶函数，可以排除C、D，=1，排除A；又由f(0)=1−0e0故选：B．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图算出成绩全部介于15秒与17秒之间的频率为(0.34+ 0.36)×1=0.7，∴成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为0.7×50=35．故选：C．由频率分布直方图算出成绩全部介于15秒与17秒之间的频率，用频率乘以50得该区间学生人数．本题考查频率分布直方图中频率、频数计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(−∞,0]上单调递增，根据偶函数对称性知f(x)在(0,+∞)上单调递减，)=f(log23)，且log2π>log23>1，2−π∈(0,1)，又f(log213)<f(2−π).所以f(log2π)<f((log213故选：B．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由题意可得：ℎ=2r=2⇒r=1；∴S=πr2×2+2πr×ℎ=6πr2=6π；故选：C．根据图形可以得出ℎ=2r=2；代入圆柱的表面积公式即可得到结论．本题考查圆柱的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.【答案】A【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=√32b，可得：√a2+b2=√32b，即ac=√32，可得离心率为：e=2√33．故选：A．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)=2sinxcosx−√3(sin2x−cos2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)．对于①，函数的最小正周期为π，故①错误；对于②，当函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位，得到g(x)=2cos2x，故函数g(x)为偶函数，故②正确；对于③，当x∈(π12,7π12)时，2x+π3∈(π2,3π2)，故函数为单调递减区间，故③正确；对于④，当x=π12时，f(π12)=2，故④正确．故选：D．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，函数f(x)={(x −a)2+x|x|,x ≥−1e x+1+f(−1)−1,x <−1可转化为f(x)={2x 2−2ax +a 2,x ≥0−2ax +a 2,−1≤x <0e x+1+a 2+2a −1,x ≤−1．函数y =f(x)−2恰有两个零点，即分段函数y =f(x)的图象与直线y =2有两个交点． ①当a <0时，分段函数f(x)在R 上连续且单调递增，此时分段函数y =f(x)的图象与直线y =2最多只有1个交点，不满足题意； ②当a =0时，f(x)={e x+1−1,x <−10,−1≤x <02x 2,x ≥0，图象如下：此时分段函数y =f(x)的图象与直线y =2也只有1个交点，不满足题意；③当a >0时，分段函数f(x)在(−∞,−1]为增函数，在[−1,a2]上为减函数，在[a2,+∞)上为增函数．∵x →−∞，f(x)→a 2+2a −1且f(x)=2恰有两个零点， ∴f(−1)=2，或{a 2+2a −1<f(a2)f(a 2)=2，或{a 2+2a −1>f(a 2)f(a 2)<2≤a 2+2a −1，解得a =√3−1，或1≤a <2．故选：B ．本题先对函数f(x)去掉绝对值及计算出f(−1)，转化为更直接的分段函数，然后对参数a 分a <0，a =0，a >0三种情况进行具体分析，当a <0时分段函数f(x)在R 上单调递增，很明显只有1个零点；当a =0时，可得出f(x)具体函数并画出图象，通过数形结合法也可得只有1个零点；当a >0时，先对分段函数f(x)的增减性进行分析，然后根据函数y =f(x)−2恰有两个零点可找出f(x)=2的具体情况，解出方程组可得实数a 的取值范围．本题主要考查含参分段函数的参数取值范围问题，考查了转化思想的应用，分类讨论和数形结合法的应用．本题属中档题．10.【答案】√2【解析】解：∵z=3−i1+2i =(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−75i，∴|z|=|15−75i|=√(15)2+(−75)2=√2．故答案为：√2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11.【答案】1352【解析】解：∵(3x2√x )5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−12)r⋅35−r⋅x5−3r2，令5−3r2=3，求得r=2，可得x2的系数为C52⋅(−12)2⋅27=1352，故答案为：1352．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．12.【答案】89π【解析】解：长方体的体积为：V1=2×4×4=32，长方体外接球的直径为：2R=√22+42+42=6，外接球的体积为：V2=4π3×33=36π，长方体的体积与其外接球的体积之比为：V1 V2=3236π=89π．故答案为：89π．求出长方体的体积，设球的半径为R，则因为球心为长方体的中心，求出球的半径，则球的体积可以求出，则长方体的体积与其外接球的体积比值可求．本题考查了球的体积，长方体的外接球．解题时注意球心为长方体的中心．属于中档题．13.【答案】4+2√2【解析】解：因为x +3y +2z =(x +2y)+2(y +z)=1，所以x +2y =1−2(y +z)，因为x ，y ，z 都为实数，则x+2y2y+4z +4x+2y =1−2(y+z)2(y+2z)+4x+2y=12[1−(y +2z)]y +2z =12y +2z +4x +2y −12=(12y +2z +4x +2y )[(x +2y)+(y +2z)]−12=12(x+2y)y+2z+4(y+2z)x+2y+4≥2√2+4，当且仅当x +2y =2√2(y +2z)时取等号，此时x+2y2y+4z +4x+2y 的最小值2√2+4．故答案为：2√2+4．根据条件可得x+2y 2y+4z+4x+2y =12(x+2y)y+2z+4(y+2z)x+2y+4，然后利用基本不等式求出x+2y2y+4z +4x+2y的最小值即可．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，乘1法的应用是求解问题的关键，属于中档题．14.【答案】−194【解析】解：平行四边形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，AC ，BD 相交于点O ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−72，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−72，可得−2−12×2×12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=−72，解得|BC|=3，建立如图所示的坐标系，则C(0,0)，A(−2,√3)，B(−3,0)，D(1,√3)，AC 的方程为：y =−√32x设E(m,−√32m)，m ∈[−2,0]，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +3,−√32m)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,−√32m −√3) BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =74m 2+72m −3=74(m +1)2−194≥−194.当且仅当m =−1时取等号．故答案为：−194．通过向量的数量积，求出|BC|，然后建立坐标系，设出E 的坐标，利用向量的数量积求解最小值即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】2554125【解析】解：设中奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为(C 21)3=8，所有的基本事件共有C 63=20个，所以中奖概率为P(A)=820=25．有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X ，则X ～B(3,25)，所以P(X =1)=C 31×25×(1−25)2=54125．故答案为25；54125．根据计数原理，所有的取球方法共有C 63种，而三种球各有一个共包含(C 21)3个，故获奖的概率可求．有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X ，则X ～B(3,25)，故X =1的概率可求．本题考查了古典概型的概率计算，二项分布，属于基础题．16.【答案】解：(I)f(x)=(sinx +cosx)2+√3cos(2x +π)=1+sin2x −√3cos2x =1+2sin(2x −π3)， T =π，当x ∈[0,π2]时，(2x −π3)∈[−π3,2π3]，所以sin(2x −π3)∈[−√32,1]，故当2x −π3=π2，即x =5π12时，函数取得最大值3，当2x −π3=−π3，即x =0时，函数取得最小值1−√3；(II)f(A2)=1+2sin(2A −π3)=1，即sin(2A −π3)=0，由A 为三角形内角，得A =π3，由sinC =2sinB 及正弦定理得c =2b ，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−bc ，所以4=b 2+4b 2−2b 2，故b 2=43，△ABC 的面积S =12bcsinA =12b ⋅2b ×√32=2√33．【解析】(I)先结合同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；(II)由已知先求解A ，然后结合正弦及余弦定理进行化简，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：∵AB =A 1B =√2，AA 1=2，∴AB 2+A 1B 2=AA 12，则AB ⊥A 1B ，又平面AA 1B 1B ⊥平面ACC 1A 1，平面AA 1B 1B ∩平面ACC 1A 1=AA 1，AA 1⊥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴AB ⊥A 1C 1，又A 1B ∩A 1C 1=A 1，A 1B ，A 1C 1⊂平面BA 1C 1， ∴AB ⊥平面BA 1C 1；(2)如图建立空间直角坐标系，P 为BB 1中点，则C(2,1，0)，B(1,0，1)，A(2,0，0)，C 1(0,1，0)， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，∴cos <CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√3⋅√5=√1515， ∴异面直线CB 与AC 1所成角的余弦值为√1515；(3)设A 1DAB=m ，则D(m,0，m)，A(2,0，0)，C 1(0,1，0)，C(2,1，0)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,0,−m),C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设平面DAC 1的一个法向量为p ⃗ =(x,y,z)，则{p ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0p ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m)x −mz =0，则可取p⃗ =(m,2m,2−m)，设平面ACC 1A 1的一个法向量为q ⃗ =(a,b,c)，则{q ⃗ ⋅C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0q ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +b =0，则可取q⃗ =(0,0,1)，∴|cos <p ⃗ ,q ⃗ >|=√m 2+4m 2+(2−m)2=√7014，解得m =34，∴A 1D AB=34，则A 1DDB=3．【解析】(1)先由勾股定理可得AB ⊥A 1B ，再由面面垂直的性质可得AB ⊥A 1C 1，由此可证得AB ⊥平面BA 1C 1；(2)建立空间直角坐标系，求得CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，再利用向量的夹角公式求解即可；(2)设A 1DAB=m ，求出平面DAC 1及平面ACC 1A 1的一个法向量，根据题设条件建立关于m 的方程，解出m 的值即可得出结论．本题考查线面垂直的判定，以及利用空间向量求解异面直线所成角，二面角，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵点M(√6,√2)在椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为√63．∴6a 2+2b 2=1，c a =√63，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，b 2=4． ∴椭圆G 的方程为x 212+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点N(m,n)，直线AB 的方程为：y =x +t ．联立{y =x +tx 2+3y 2=12，化为4x 2+6tx +3t 2−12=0，∴x1+x2=−3t2=2m，x1x2=3t2−124．解得m=−3t4，∴n=t4．∴k PN=−1=t4−2−3t4+3，解得t=2．∴直线AB的方程为：y=x+2．∴点P到直线AB的距离d=√2=√2．|AB|=√2[(x1+x2)2−4x1x2]=√2[(−3)2−4×0]=3√2．∴S△APB=12d⋅|AB|=12×√2×3√2=92．【解析】(1)由点M(√6,√2)在椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为√63.可得6a2+2b2=1，ca=√63，又a2=b2+c2联立解得即可．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点N(m,n)，直线AB的方程为：y=x+t.与椭圆方程联立可得4x2+6tx+3t2−12=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得m=−3t4，n=t4.利用k PN=−1，解得t.再利用点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离d.弦长公式|AB|=√2[(x1+x2)2−4x1x2]，S△APB=12d⋅|AB|即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】解：(1)令n=1，解得a1=1，∵S n=2a n−1，∴S n−1=2a n−1−1，两式相减得：a n=2a n−1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n−1；(2)由(1)得：b n=n⋅2n−1，则T n=1⋅20+2⋅21+⋯+n⋅2n−1①2T n=1⋅21+2⋅22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n②由②−①得：T n=(n−1)⋅2n+1；(3)当n为奇数时，c n+1=3n+1−2⋅λa n+1，c n=3n+2⋅λa n，两式做差得：c n+1−c n=2•3 n-3λ•2 n＞0移项得：λ<23⋅(32)n(n∈N+)解得：λ<1，当n为偶数时，c n+1=3n+1+2⋅λa n+1，c n=3n−2⋅λa n，两式做差得：c n+1−c n=2•3 n+3λ•2 n＞0移项得：λ>−23⋅(32)n(n∈N+)解得：λ>−1，故n为奇数时，λ<1且λ≠0；n为偶数时，λ>−1且λ≠0．【解析】(1)采用公式法求数列{a n}通项公式；(2)由(1)可得数列{b n}通项公式，采用错位相减法求T n；(3)对n为奇数或偶数进行分类讨论，利用作差法和分离参数法求λ．本题主要考察数列通项公式、求和公式的运用，是数列与不等式综合题，熟练掌握不等式恒成立问题条件转化是解该类题的关键，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−2lnx，f(1)=1，f′(x)=2x−2x，k=f′(1)=0，所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=1．(2)由题意f(x)max≤14，f′(x)=2ax−2x=2(ax2−1)x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在[1,3]上单调递减，所以f(x)max=f(1)=a≤14恒成立，所以a≤0，②当a>0时，f′(x)>0，x>√a，所以f(x)在√a )上单调递减，在(√a+∞)上单调递增，当√a ≤1，a ≥1时，f(x)在[1,3]上单调递增， f(x)max =f(3)≤14，a ≤14+2ln39，舍去，当√a ≥3，0<a ≤19时，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)max =f(1)≤14，a ≤14，所以0<a ≤19，当1<√a <3，19<a <1时，f(x)在√a ]上单调递减，[√a 3]上单调递增，所以{f(1)≤14f(3)≤14，a ≤14，所以19<a ≤14，综上，a 的取值范围为(−∞,14].(3)证明：因为x 1+x 2>0，要证√a(x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0，只需证明x 1+x 2>√a ，由(2)可知0<x 1<√a <x 2，要证x 1+x 2>√a ，只需证明x 2>√a −x 1，因为x 2>√a ，√a x 1>√a ，且函数f(x)在(√a +∞)上单调递增，所以只需证明f(x 2)>f(√a x 1)，又因为f(x 2)=f(x 1)，即证f(x 1)>f(√a −x 1)，令g(x)=f(x)−f(√a x)(0<x <√a )，即g(x)=ax 2−2lnx −a(√a x)2+2ln(√a x)=4√ax −4−2lnx +2ln(√a x)，注意到g(√a )=0，因为g′(x)=4√a −2x −22√a −x=4√a √a ⋅1x(2√a−x)≤4√a √a ⋅1(x+2√a −x 2)2=0，则g(x)在√a )上单调递减，所以g(x)>g(√a )=0，在x ∈√a )恒成立，所以x 1+x 2>√a ，即满足√a(x 1+x 2)2−2(x 1+x 2)>0．【解析】(1)当a =1时，f(x)=x 2−2lnx ，求导，根据导数的几何意义可得k 切=f′(1)，由两点式可得切线的方程为y −f(1)=k 切(x −1)，化简即可得答案．(2)问题可转化为f(x)max ≤14，对f(x)求导，分析单调性，求出f(x)得最大值，使得它小于等于14，进而可得a 的取值范围．(3)问题转化为只需证明x 1+x 2>√a ，由x 2>√a ，√a x 1>√a ，且函数f(x)在(√a +∞)x1)，即可得出答案．上单调递增，推出只需证明f(x2)>f(√a本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题 (1)

静海区2020—2021学年度第一学期第一次月考高二年级数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1. 已知向量()3,2,1a =-，()2,4,0b =-，则42a b +等于（） A. ()16,0,4 B. ()8,16,4-C. ()8,16,4D. ()8,0,4【★答案★】D 【解析】【分析】根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出42a b +的坐标表示. 【详解】因为()()412,8,4,24,8,0a b =-=-，所以()428,0,4a b +=，故选：D.【点睛】本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.2. 已知向量a 和b 的夹角为120︒，且2a =，5b =，则()2a b a -⋅等于（） A. 12B. 8+3C. 4D. 13【★答案★】D 【解析】【分析】将()2a b a -⋅展开，根据向量的模长和夹角并结合数量积公式完成计算. 【详解】因为()22222cos120a b a a a b a a b -⋅=-⋅=-︒，所以()2122225132a b a ⎛⎫-⋅=⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积计算，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 3. 已知向量()()0,2,1,1,1,2a b ==--，则a 与b 的夹角为（） A. 0B. 45C. 90D. 180【★答案★】C 【解析】【分析】根据两个向量的数量积的定义求出两个向量数量积的值，从而求得a 与b 的夹角．【详解】∵a b ⋅=（0，2，1）（﹣1，1，﹣2）＝0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）＝0， ∴a b ⊥，∴a 与b 的夹角：2π，故选C ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，向量垂直的充要条件，属于中档题．4. 已知空间向量(3,1,0)a =，(),3,1b x =-，且a b ⊥，则x =（）A. 3-B. 1-C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】【分析】先根据题意建立方程31(3)010x +⨯-+⨯=，再求参数即可. 【详解】解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又因为空间向量(3,1,0)a =，(),3,1b x =-，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，解得1x = 故选：C【点睛】本题考查根据空间向量垂直求参数、空间向量数量积的坐标表示，是基础题. 5. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于( )A. 10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭【★答案★】C【解析】【分析】根据空面向量运算法则，利用 BE OE OB =- ，即可得出．【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为1，111B E A B ＝，则3110(11)4B E （，，），，，，31(11)110(01)44BE OE OB ∴=-=-=-，，（，，），，，故选C ．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 直线333y x =+的倾斜角为（） A. 90︒ B. 30C. 0︒D. 180︒【★答案★】B 【解析】【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为333y x =+，所以33k =所以直线的倾斜角0θπ≤<，满足3tan 3θ=，所以直线333y x =+的倾斜角为30 故选：B【点睛】本题考查根据直线的方程求直线的倾斜角，是基础题. 7. 若经过两点()4,21A y +、()2,3B -直线的倾斜角为34π，则y 等于（）A. 1-B. 2C. 0D. 3-【★答案★】D 【解析】【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-，由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 8. 已知351,,22a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭满足//a b ，则λ等于（） A.23 B.92C. 92-D. 23-【★答案★】B 【解析】【分析】根据空间向量的共线可得★答案★.【详解】因为351,,22a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,因为//a b ，所以a tb =，即351513,,222t t t λ=--==-，得13t =-， 92λ=. 故选：B.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.9. 在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（）A.427B.155C.33D.63【★答案★】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出1,FOE D，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可求解出异面直线OE和1FD所成的角的余弦值.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2FOE D=-=-，所以111315cos,535FDOEOEOEFDFD⋅<>===⋅，所以异面直线OE和1FD所成的角的余弦值为155，故选：B.【点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.异面直线所成角的向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面直线所成角可求.10. 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b-等于（）A. 7B. 10C. 13D. 4【★答案★】A【解析】【分析】先根据题意求出21a =，21b =，12a b ⋅=，再求出237a b =-，最后求3a b -即可.【详解】解：因为a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，所以21a =，21b =，111cos602a b ⋅=⨯⨯=， 2221639169172a b a a b b -⋅+=-=-⨯+⨯=，所以73a b =-故选：A【点睛】本题考查根据数量积的运算求模、数量积的运算，是基础题.二、填空题（共7题，每题5分，共35分）11. 若向量()1,1,2a =，()1,2,1b =，()1,1,1c =，则()()2c a b -⋅=_________. 【★答案★】2- 【解析】【分析】根据坐标运算先求解出,2c a b -，再利用坐标形式下空间向量的数量积计算公式求解出()()2c a b -⋅的值.【详解】因为()()0,0,1,22,4,2c a b -=-=，所以()()()20022c a b -⋅=++-=-，故★答案★为：2-.【点睛】本题考查空间向量的数量积计算，主要考查学生对空间向量的数量积计算公式的运用，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则121212a b x x y y z z ⋅=++. 12. 若已知5a =，4b =，且10a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为_________. 【★答案★】3π 【解析】【分析】根据数量积的计算公式求解出cos ,a b <>的值，从而,a b <>可求. 【详解】因为cos ,10a b a b a b ⋅=<>=，且5a =，4b =，所以1cos ,2a b <>=，所以,3a b π<>=，故★答案★为：3π.【点睛】本题考查求解向量夹角，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 13. 经过点()2,3A ，()1,1B -两点的直线的斜率为_________.【★答案★】4 【解析】【分析】根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率. 【详解】因为()2,3A ，()1,1B -，所以()31421k --==-，故★答案★为：4.【点睛】本题考查根据两点的坐标求直线的斜率，难度容易.已知()()()112212,,,A x y B x y x x ≠，则2121y y k x x -=-.14. 已知平面α和平面β的法向量分别为()1,1,2a =，(),2,3b x =-，且αβ⊥，则x =_________. 【★答案★】4- 【解析】【分析】根据平面垂直对应的法向量也垂直，从而法向量的数量积为0，由此求解出x 的值. 【详解】因为αβ⊥，所以a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以260x -+=，所以4x =-，故★答案★为：4-.【点睛】本题考查根据向量垂直求解参数值，难度较易.平面,αβ互相垂直，则两个平面的法向量也互相垂直；若平面,αβ互相平行，则两个平面的法向量共线. 15. 过点()1,0M 倾斜角为45︒的直线方程为_________. 【★答案★】10x y --= 【解析】【分析】根据条件求解出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将其转化为一般式方程. 【详解】因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率tan 451k =︒=，所以直线的方程为：()011y x -=⋅-，即10x y --=，故★答案★为：10x y --=. 【点睛】本题考查直线方程的求解，难度较易.已知直线上一点和直线的斜率可求解出直线的点斜式方程.16. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1DD 与平面1ABD 所成角为________.【★答案★】45︒ 【解析】【分析】取1AD 中点E ，利用垂直关系证明1DD E ∠即为所求角，并求解出角的大小. 【详解】如图所示，取1AD 中点E ，连接DE ，因为四边形11AA D D 为正方形，所以1DE AD ⊥，又因为AB ⊥平面11AA D D ，所以AB DE ⊥，且1DEAD E =，所以DE ⊥平面1ABD ，所以直线1DD 与平面1ABD 所成角即为1DD E ∠，且145DD E ∠=︒，故★答案★为：45︒.【点睛】本题考查求解线面角的大小，解答问题的关键是通过垂直关系找到线面角是哪一个角，难度一般.本例还可以根据线面角的向量求法进行求解：通过直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值，从而线面角可求.17. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BD 的中点，则CE 的长为________.【★答案★】32【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出,C E 的坐标，利用空间中两点间的距离公式求解出CE 的长度. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以()111,,,0,1,0222E C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22211130102222CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故★答案★为：32. 【点睛】本题考查空间中距离公式的运用，难度较易.已知()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则()()()222121212AB x x y y z z =-+-+-.三、解答题18. 根据条件，求出下列直线的方程：（1）经过点()1,2A 倾斜角为45︒；（2）经过点()0,5A，()5,0B .【★答案★】（1）10x y -+=；（2）50x y +-=. 【解析】【分析】（1）先求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程；（2）直接假设直线的截距式方程求解出直线的方程.【详解】（1）因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率tan 451k =︒=，所以直线的方程为：()211y x -=⋅-，即10x y -+=；（2）设直线的方程为()10x yab a b+=≠，因为直线过点()0,5A ，()5,0B ，所以5a b ==，所以直线方程为50x y +-=.【点睛】本题考查根据条件求解直线的方程，难度较易.求解直线方程时，要注意根据条件判断选用哪一种直线的方程去求解更容易.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，122AA =，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点，点P 为1B B 上一点.（1）求证：1//BC 平面1A CE ；（2）求平面1A CE 与平面CEB 夹角的余弦值.【★答案★】（1）详见解析；（2）55-. 【解析】【分析】（1）连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，得到1//OE BC ，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，建立空间直角坐标系，求得平面1A CE 的一个法向量(),,m x y z =，再根据1CC ⊥底面ABC ，得到()10,0,22CC =平面CEB 一个法向量，然后由111cos ,CC m CC m CC m ⋅=⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，所以1//BC 平面1A CE ；（2）由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()12,0,22,0,0,0,1,1,0,0,2,0A C E B ，所以()()11,1,0,2,0,22CE CA ==，设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =，则100CE m CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则21,1,2m ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为1CC ⊥底面ABC ，所以()10,0,22CC =平面CEB 一个法向量，所以1115cos ,5CC m CC m CC m ⋅==-⋅，由图知二面角为钝角，所以平面1A CE 与平面CEB 夹角的余弦值为55-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明BE DC ⊥（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求平面FAB 与平面ABP 夹角的余弦值. 【★答案★】（1）证明过程见详解；（2）33：（3）31010. 【解析】【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量n ，然后利用公式sin cos ,n BEn BE n BE θ⋅==⋅求直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=． ∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-，设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量．于是有23cos ,3||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉===⨯⨯， ∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--==，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=--，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z =为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =-为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n =，则1212123310cos ,1010n n n n n n ⋅-===-⋅．易知二面角F AB P --是锐角，∴其余弦值为31010．【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直、利用空间向量求线面所成的角、利用空间向量求面面所成的角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.是中档题感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020-2021天津市高中必修一数学上期中一模试卷含答案

2020-2021天津市高中必修一数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．7．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,48．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32-10．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)211．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．函数2()log 1f x x =-的定义域为________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 18．函数的定义域为___．19．计算：__________．20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）判断函数()y f x =的奇偶性；（3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.23．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.24．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．25．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.26．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．B解析：B【解析】【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．C解析：C 【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤，综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．B解析：B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．8．C解析：C 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．D解析：D 【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．B解析：B 【解析】【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围．【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域解析：【解析】【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4解析：【解析】原式=,故填.20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：1 3【解析】【分析】由点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的图象上，把点12,2⎛⎫⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax by+=，可得关于,a b的方程组，从而可得结果.【详解】Q点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上，把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得，21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）[1,6]-（2）1a ≤- 【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可. 【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-，因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-, 所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I . （2）因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.22．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.23．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭24．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数，当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件；当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．25．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4> ∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃ （i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃ ∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， . 26．(),1-∞-【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。

天津市静海区大邱庄中学2020届高三数学上学期第一次质量检测试题

天津市静海区大邱庄中学2020届高三数学上学期第一次质量检测试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（共9题；每题5分，共45分）1. 已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B ⋂=( ) A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}2. 函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-3.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.754.已知向量，，且，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．5. 函数的减区间是（） A ．B ．C ．D ．6. 将函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（） A ．4cos(4)5y x π=-B ．4sin(4)5y x π=+ C ．44cos(4)5y x π=- D ．44sin(4)5y x π=+ 7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(+2)()f x f x =，当01x <≤时()=(+f x x x ，则(4)(5)f f +等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．28.某医院治疗一种疾病的治愈率为15，在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为 ( ) A ．45 B ．16125C ．4125 D ．159.当时，不等式恒成立，则实数的范围（）．A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（共6题；每题5分，共30分） 10. 已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 . 11.曲线2ln y x x =-+在1x =处的切线方程为______.12. 的展开式中项的系数为8，则 __________．13.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．14.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.15.如图，在△ABC 中，已知∠BAC＝，AB ＝2，AC ＝3，，，则BE ＝________．三、简答题（共5题；每题15分，共75分）16．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知A C c a b sin 2sin ,53,3==+=．（Ⅰ）求c a ,的值；（Ⅱ）求)42sin(π+B 的值．17. 现有2位男生，3位女生去参加一个联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. （Ⅰ）为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.求这5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率；（Ⅱ）若从这5人中随机选派3人去参加甲项目联欢，设ξ表示这3个人中女生的人数，求随机变量ξ的分布列与数学期望.18．已知函数x e a x a x x f ]52)2([)(2+++-=（R x ∈，a 是常数且R a ∈）. （Ⅰ）若函数)(x f 在3-=x 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令n b =211n a -(*n N ∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，534,,a a a 依次成等差数列．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）当0<q 时，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（Ⅲ）当0>q 时，求证：43)312(1222<--∑=ni i i a i a ．参考答案一、单项选择1、C2、C3、B4、C5、B6、 A7、D8、 D9、A 二、填空题10、11、10x y ++= 12、2 13、 63 14、11[,)4e15、三、简答题16．（Ⅰ）由正弦定理AaC c sin sin =，A C sin 2sin = …………………………………………2分∴ a c 2= ……………………………………………………………………………3分 ∵53=+c a ∴ 52,5==c a ………………………………………………………6分（Ⅱ）∵ B ac c a b cos 2222-+= ………………………………………………………7分 ∴ 54cos =B …………………………………………………………………………………8分 ∵ B 是三角形内角 ∴π<<B 0∴53cos 1sin 2=-=B B ………………………………9分∴2524cos sin 22sin ==B B B ，2571cos 22cos 2=-=B B …………………………………11分 ∴4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B +=+…………………………………………13分502312cos 222sin 22=+=B B ………………………………………15分 17.（Ⅰ）依题意，这5个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23. ------------2分设“这5个人中恰有3人去参加甲项目联欢”为事件A ,则24340)32()31()(2335==C A P . ------------5分（Ⅱ）随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3 -----------6分)3,2,1()(35323=⋅==-k C C C k P k k ξ所以ξ的分布列------------13分5910135321031=⨯+⨯+⨯=ξE . ------------15分 18．（Ⅰ）x e a x x f )22()(--='+x e a x a x ]52)2([2+++-=x e a ax x )3(2++- …………………………………………………………2分 ∵ 0)3(=-'f ∴ 0)412(3=+-e a ∴ 3-=a ……………………………………4分当3-=a 时，x e x x x f )3()(+='，∵ 在3-=x 附近，3->x 时，0)(<'x f ；3-<x 时，0)(>'x f∴ 3-=x 是函数)(x f 的极值点，∴ 3-=a 即为所求 ………………………………6分（Ⅱ）命题“)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间”的否定为“)(x f 在),4(∞+内不存在单调递减区间”，∵函数)(x f 是连续不断的非常数函数，∴原命题的否定即“)(x f 在),4(∞+内单调递增” 此时应有在),4(∞+内0)(≥'x f 恒成立，即032≥++-a ax x 恒成立 …………………8分令3)(2++-=a ax x x g ，124)3(4)(22--=+--=∆a a a a∴ 应有0≤∆，解得62≤≤-a …………………………………………………10分或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥>∆420)4(0ag ，解得2-<a 或3196≤<a ………………………………………………12分∴ )(x f 在),4(∞+内单调递增时，319≤a ………………………………………………14分∴ 若)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+,319 (15)分19. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，…………4分所以321)=2n+1n a n =+-（；…………6分 n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n .…………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以n b =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，…………11分所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， …………14分即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20．（Ⅰ）∵534,,a a a 依次成等差数列，∴5432a a a += ....................................1分 ∵{}n a 是首项为1的等比数列，∴4322q q q += ..........................................2分 ∵0≠q ∴022=-+q q ∴1=q 或2-=q ................................................4分（Ⅱ）∵0<q ，∴2-=q ，∴1)2(--=n n a (5)分∵ n n n na a n a a a S +-++++=-1321)1(32∴ 122)2()2()1()2(3)2(21---⋅+-⋅-++-⋅+-⋅+=n n n n n S ∴n n n n n S )2()2()1()2(2)2(1)2(12-⋅+-⋅-++-⋅+-⋅=-- (8)分上式减下式得：n n n n S )2()2()2()2(1312-⋅--++-+-+=-3)2)(13(1)2()2(1)2(1n nn n n -+-=-⋅-----= ∴9)2)(13(1n n n S -+-= (10)分（Ⅲ）∵0>q ，∴1=q ，∴1=n a (11)分∴=--∑=ni i i a i a 1222)312(=--∑=ni i 121)312(1=-+∑=)32)(31(1411i i ni ∑=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ni i i 131132141 ………12分⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-=31132137134134131141n n (14)分43311341<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n ………………………………………………………………………15分。

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高一上学期第一次月考化学试题

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高一上学期第一次月考化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化学与生产、生活密切相关。

下列叙述正确的是（）A．二水氯化钙（CaCl2·2H2O）属于混合物B．葡萄糖注射液不能产生丁达尔效应C．食盐水属于浊液D．氯化铵不属于盐类2．晚自习的课间，同学们站在四楼上，可以看到市里的空中有移动的光柱，这就是气溶胶发生的丁达尔效应，下列说法不正确的是( )A．胶体和溶液都是混合物，它们属于不同的分散系B．胶体分散质粒子的直径介于1～100 nm之间C．利用丁达尔效应可鉴别胶体和溶液D．胶体经短时间静置后会产生沉淀3．分类思想方法在化学发展中起到了重大的作用。

以下分类正确的是（）A．A B．B C．C D．D4．下列分散系中，分散质微粒直径最大的是（）A．新制氢氧化铜悬浊液B．淀粉溶液C．溴的四氯化碳溶液D．雾5．下列说法正确的是A．红磷转化为白磷，属于物理变化B．石墨导电、金刚石不导电，故二者不是同素异形体C．O2和O3分子式不同，性质相同D．硫有S2、S4、S6等单质，它们都是硫的同素异形体6．下列关于胶体的叙述错误的是（）A ．通过过滤操作，能将混合物中的溶液和胶体分离B ．胶体区别于溶液和浊液的本质特征是分散质粒子直径在1〜100nm 之间C ．用激光笔分别照射CuSO 4溶液和Fe(OH)3胶体时，观察到的现象不同D ．向沸水中滴入几滴FeCl 3饱和溶液，继续煮沸至溶液呈红褐色，停止加热，即可得到Fe(OH)3胶体7．分类法是学习和研究化学的一种常用的科学方法，下列分类合理的是（） A ．硫酸、纯碱、小苏打、臭氧是按酸、碱、盐、氧化物的分类顺序排列B ．金属氧化物一定是碱性氧化物，非金属氧化物一定是酸性氧化物C ．根据反应中是否有电子转移将化学反应分为氧化还原反应和非氧化还原反应D ．根据分散系是否具有丁达尔效应将分散系分为溶液、胶体、浊液8．下列物质间的转化通过一步反应不能实现的是（）A ． CaO →Ca （OH ）2B ．CuO→Cu （OH ）2C ．Ca （OH ）2→CaCO 3D ．CuSO 4→FeSO 49．氢气完全燃烧放出的热量是等质量汽油完全燃烧放出热量的3倍多；制取它的原料是水，资源不受限制；它的燃烧产物是水，不会污染环境，是理想的清洁燃料。

天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含解析

若，为使不等式恒成立，
只需，解得，
综上，实数的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题型.
故答案为：17
【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的合理运用．
15.已知集合，，且，则实数的值是________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，得到，，进而可求出结果.
【详解】因，，，
14.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为________.
【答案】17
【解析】
分析】
设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card（A），card（B），card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）．
【详解】（1），
∴ 或，
∴原不等式的解集为或；
（2）由，
得，
∴ ，
∴原不等式的解集为 .
【点睛】本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式时注意一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系.属于较易题.
20.解不等式 .
（1）当时，求不等式解集；
（2）当不等式的解集为，求实数的取值范围.
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解.

天津市静海区大邱庄中学2020届高三数学上学期第一次质量检测试题及答案解析

天津市静海区大邱庄中学2020届高三数学上学期第一次质量检测试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择題）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第I卷1、选择题（共9题：每题5分.共45分）1. 已知集合/ = {x|x（》一2 <0} B^{x\-\<x<\}，则AC B=（）A. {x|-l<x<2} B {x|x<-l或x>2}c {x|0<x<l} D. {x|x<°或x>l）/（朗=冲石+壇兰二¥2. 沽数x-3 的定义域为（）A （2,3）B（2,4] c.（2,3）U（3,4] d（-1,3）U（3,6]3. 已知某射击运动员，毎次击中目标的概率都是0.&则该射击运动员射床4次，至少击中3次的概率为（）A. 0.85B. 0.819 2C. 0.8D. 0.754. 已知向呈丘=（2」），d = （m,-l）,且b L（2a-b）f则m的值为（）A. 1B. 3C. 1 或彳D. 45. 函«y = ln（-x2+2x + 3）0ej减区间是（）A.B.厲3）C.（一8.】1 o. h, + co）y = cos（2x + ——）—6. 将南数•5的图象上孑点向右平行移动2个单位长度.再把横坐标缩短为原來的一半“纵坐标伸长为原來的4倍.则所得到的图線的换数解析式是（）y = 4cos(4x-—) A. 5y =4sin(4C. y =4cos(4x-D. y =4sin(4x + ^^)y (x+2)=—7.已知函数/⑴是定义在R 上的奇函数，且/(X ),当°1时/(x)=x(x+1),则 /(4) + /(5)等于() A. -1 B ・ 0C ・ 1D ・ 2£8. 某医院治疗一种疾病的治愈率为恳，在前2个病人都未治危的情况下，则第3个病人的治愈率为()416 4丄A. 5B . 125c. 125D . 59. 当％ e[一2,1】时，不等^ax 3-x 2 + 4x+3> °恒成立，则实数a 的范围().[-6 -21A [—6,—2]B .8C ・—3]D . M ，-3]第1[卷二、填空题(共6题：每题5分，共30分)4sina = — 10. 已知 5,并且°是第二彖限的角，那么tana 的值等于 _____________________ . 11. 曲线V = -2x + lnx 在x = l 处的切线方程为 _________ ・(%+-)412. X的展开式中/项的系数为8■则a= ____________________13•若'为数列的前〃项和.且\=2^-l(neN e )^则S&等于 __________________________14.已知*lnX,X>，,则方程/(x )F 恰有2个不同的实根，实数。

2021学年天津某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)

2021学年天津某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}，B={2, 3}，则(∁U A)∪B=()A.{3}B.{4, 5}C.{1, 2, 3}D.{2, 3, 4, 5}2. 已知集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x<0}，则A∪B=()A.{x|x>0}B.{x|x>1}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}3. 已知集合A={x|0<x<1}，B={x|0<x<c}，若A∪B=B，则实数c的取值范围是()A.[1, +∞)B.(0, 1]C.(0，1D.(1, +∞)4. 设集合A={x|x>a}，集合B={x|x2−2x−15<0}，若B∩(∁R A)≠⌀，则实数a 的取值范围是（）A.a≤−3B.a>−3C.−3<a<5D.a≥55. 集合A={x|y=√2−x, x∈R}，B={y|y=x2+1, x∈R}，则A∩B=()A.⌀B.{x|1≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x≥2}6. 函数y=√2−x+√x的定义域为()A.{x|x≤2}B.{x|x≥0}C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|0≤x≤2}7. 函数y=−x2+2在[−1, 3]上的最大值和最小值分别是()A.2，1B.2，−7C.2，−1D.−1，−78. 已知偶函数f(x)满足f(−1)=0，且在区间[0, +∞)上单调递增．不等式f(2x−1)< 0的解集为()A.[12, 1) B.(0, 1) C.(−∞, 1) D.(0, 12)二、填空题（每小题4分，共32分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x>0}，则A∩B=________．函数f(x)=√3−x2x−1的定义域是________．集合A={x2, x−1, −2}，B={x−2, 2x−1, x2+1}，若A∩B={−2}，则实数x=________．已知f(x)={x+5(x>1)，2x2+1(x≤1)则f[f(1)]=________．已知A={x|x<−1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若A⊋B，则实数a的取值范围是________．若函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(−1)=________．若f(x)是奇函数，且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，则xf(x)<0的解集为________．三、解答题（每小题14分，共56分）集合A={x|ax−1=0}，B={1, 2}，且A∪B=B，求实数a的值．已知y=f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a−1)，求实数a的取值范围．证明：函数f(x)=2x+92x 在(0,32)上是单调减函数．已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性的定义证明f(x)在(−1, 1)上是增函数；(3)解不等式f(t2−1)+f(t)<0．参考答案与试题解析2021学年天津某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}，∴∁U A={3, 4, 5}，∵B={2, 3}，则(∁U A)∪B={2, 3, 4, 5}．故选D.2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】根据不等式的解法，B={x|0<x<2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【解答】解：根据不等式的解法，易得B={x|0<x<2}，又有A={x|x>1}，则A∪B={x|x>0}．故选A.3.【答案】A【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】将条件A∪B=B，转化为A⊆B，然后利用集合关系求实数c的取值范围即可．【解答】解：若A∪B=B，则A⊆B，∵A={x|0<x<1}，B={x|0<x<c}，∴c≥1．故选A．4.B【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】先化简集合B ，然后利用B ∩(∁R A)≠⌀，求实数a 的取值范围．【解答】解：集合B ={x|x 2−2x −15<0}={x|−3<x <5}，∴ ∁U A ={x|x ≤a}，要使B ∩(∁R A)≠⌀，则a >−3．故选B ．5.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A 中函数的定义域确定出集合A ，求出集合B 中函数的值域确定出集合B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A 中的函数y =√2−x ，得到x ≤2，所以集合A ={x|x ≤2}；由集合B 中的函数y =x 2+1≥1，得到集合B =[1, +∞)，则A ∩B ={x|1≤x ≤2}．故选B ．6.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由两个给是内部的代数式大于等于0联立不等式组求解x 的取值范围即可得到答案．【解答】解：由{2−x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤2， ∴ 函数y =√2−x +√x 的定义域为{x|0≤x ≤2}．故选D ．7.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】由题意可得函数在[−1, 0]上单调递增，在[0, 3]上单调递减，由对称性可得答案．解：由题意可得函数y=−x2+2的图象为开口向下的抛物线，且对称轴为直线x=0，故函数在[−1, 0]上单调递增，在[0, 3]上单调递减，由对称性可知当x=0时，函数取最大值2，当x=3时，函数取最小值−32+2=−7，故函数的最大值和最小值分别是2，−7.故选B.8.【答案】B【考点】其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】由偶函数的性质可得f(|2x−1|)<f(1)，根据单调性可去掉符号“f”，转化为具体不等式．【解答】解：因为偶函数f(x)在区间[0, +∞)上是增函数，且f(−1)=0，所以f(2x−1)<0可化为f(|2x−1|)<f(1)，则有|2x−1|<1，解得x的取值范围是(0, 1).故选B．二、填空题（每小题4分，共32分）【答案】{x|0<x≤1}【考点】交集及其运算【解析】由A与B求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x>0}，∴A∩B={x|0<x≤1}．故答案为：{x|0<x≤1}【答案】[−√3, 1)∪(1, √3]【考点】函数的定义域及其求法【解析】要使函数有意义只需3−x2≥0且x−1≠0，解之即可得．【解答】解：要使函数有意义只需3−x2≥0且x−1≠0，解得−√3≤x≤√3且x≠1，故函数的定义域为[−√3，1)∪(1,√3].故答案为：[−√3，1)∪(1,√3]．【答案】1−子集与交集、并集运算的转换【解析】根据集合交集的定义与集合中元素的互异性，判定x满足的条件，求出即可．【解答】解：∵A∩B={−2}，A={x2, x−1, −2}，B={x−2, 2x−1, x2+1}，∴x−2=−2或2x−1=−2解得x=0或x=−12当x=0时，集合A={0, −1, −2}B={−2, −1, 1} A∩B={−1, −2}，不符合题意故答案为：−12【答案】8【考点】函数的求值【解析】先求f(1)的值，判断出将1代入解析式2x2+1；再求f(3)，判断出将3代入解析式x+5即可．【解答】解：∵f(1)=2+1=3,∴f[f(1)]=f(3)=3+5=8.故答案为：8.【答案】a≤−5或a>5【考点】子集与真子集【解析】集合A是两部分组成，集合B是集合A的真子集分两种情况，一种在左边则有a+4≤−1；一种在右边则有a>5．【解答】解：∵A={x|x<−1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若A⊋B∴a+4≤−1或a>5解得a≤−5或a>5故答案为：a≤−5或a>5【答案】a≤−3【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的对称轴公式求出二次函数的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令1−a≥4求出a的范围．【解答】解：二次函数的对称轴为：x=1−a∵函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4)上是减函数∴1−a≥4故答案为：a≤−3．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】由题意，可先由函数是奇函数求出f(−1)=−3，再将其代入g(−1)求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1，所以f(1)+1+f(−1)+(−1)2=0，解得f(−1)=−3.所以g(−1)=f(−1)+2=−3+2=−1.故答案为：−1．【答案】(−2, 0)∪(0, 2)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题解不等式需要根据题设所给的函数的性质及图象特征确定出函数的图象，然后根据函数的图象性质求解不等式，由于本题是一个奇函数且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．【解答】解：∵f(x)是奇函数，且在区间(−∞, 0)上是单调增函数，又f(2)=0，∴f(−2)=0，且当x<−2与0<x<2时，函数图象在x轴下方，当x>2与−2<x<0时函数图象在x轴上方∴xf(x)<0的解集为(−2, 0)∪(0, 2)故答案为：(−2, 0)∪(0, 2)三、解答题（每小题14分，共56分）【答案】解：∵A∪B=B，∴A⊆B.由A={x|ax−1=0}，B={1, 2}，分两种情况考虑：若A≠⌀，可得1∈A或2∈A，将x=1代入ax−1=0，得：a=1，将x=2代入ax−1=0，得：a=1；2若A=⌀，a=0，．则实数a的值为0或1或12【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】由A与B的并集为B，得到A为B的子集，根据A与B分两种情况考虑：当A不为空集时，得到元素1属于A或2属于A，代入A中方程即可求出a的值；当A为空集时求出a=0，综上，得到所有满足题意a 的值．【解答】解：∵ A ∪B =B ，∴ A ⊆B .由A ={x|ax −1=0}，B ={1, 2}，分两种情况考虑：若A ≠⌀，可得1∈A 或2∈A ，将x =1代入ax −1=0，得：a =1，将x =2代入ax −1=0，得：a =12；若A =⌀，a =0，则实数a 的值为0或1或12．【答案】解：∵ y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，∴ −1<3a −1<1−a <1.解得0<a <12. 故满足条件的实数a 的取值范围为(0, 12).【考点】函数单调性的性质【解析】根据已知中y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，可构造关于a 的不等式组−1<3a −1<1−a <1，解不等式组，可得答案．【解答】解：∵ y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(3a −1)，∴ −1<3a −1<1−a <1.解得0<a <12.故满足条件的实数a 的取值范围为(0, 12). 【答案】解：求导数可得f′(x)=2−92x 2，当x ∈(0,32)时，2x 2∈(0, 92)，故92x 2∈(2, +∞)，可得−92x 2∈(−∞, −2)，故f′(x)=2−92x 2∈(−∞, 0)，故可得函数f(x)=2x +92x 在(0,32)上是单调减函数【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的判断与证明求导数可得f′(x)=2−92x 2，由已知x 的范围可得f′(x)=2−92x 2<0，可判单调性．【解答】解：求导数可得f′(x)=2−92x 2，当x ∈(0,32)时，2x 2∈(0, 92)，故92x 2∈(2, +∞)，可得−92x 2∈(−∞, −2)，故f′(x)=2−92x 2∈(−∞, 0)，故可得函数f(x)=2x +92x 在(0,32)上是单调减函数【答案】解：(1)∵ 函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，∴ 由f(0)=0，得b =0．又∵ f(12)=25，∴ 12a 1+14=25，解得，a =1；因此函数f(x)的解析式为：f(x)=x 1+x 2；(2)设−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，1+x 12>0，1+x 22>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在(−1, 1)上是增函数;(3)∵ f(x)是奇函数，∴ f(t 2−1)+f(t)<0即为f(t 2−1)<−f(t)=f(−t)，又∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ f(t 2−1)<f(−t)即为t 2−1<−t ，解得：−1−√52<t <−1+√52，①又∵ {−1<t 2−1<1，−1<t <1，解得，−1<t <1且t ≠0，②对照①②，可得t 的范围是：(−1,0)∪(0,−1+√52)．所以，原不等式的解集为(−1,0)∪(0,−1+√52)．一元二次不等式的解法奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）函数是定义在(−1, 1)上的奇函数，可得f(0)=0，再结合f(12)=25联解，可得a 、b 的值，从而得到函数f(x)的解析式．（2）设−1<x 1<x 2<1，将f(x 1)与f(x 2)作差、因式分解，经过讨论可得f(x 1)<f(x 2)，由定义知f(x)是(−1, 1)上的增函数．（3）根据f(x)是奇函数且在(−1, 1)上是增函数，得原不等式可化为t 2−1<−t …①，再根据函数的定义域得−1<t 2−1<1且−1<t <1…②，联解①②可得原不等式的解集．【解答】解：(1)∵ 函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，∴ 由f(0)=0，得b =0．又∵ f(12)=25，∴ 12a 1+14=25，解得，a =1；因此函数f(x)的解析式为：f(x)=x 1+x 2； (2)设−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),∵ −1<x 1<x 2<1，∴ x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，1+x 12>0，1+x 22>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在(−1, 1)上是增函数;(3)∵ f(x)是奇函数，∴ f(t 2−1)+f(t)<0即为f(t 2−1)<−f(t)=f(−t)，又∵ f(x)在(−1, 1)上是增函数，∴ f(t 2−1)<f(−t)即为t 2−1<−t ，解得：−1−√52<t <−1+√52，①又∵ {−1<t 2−1<1，−1<t <1，解得，−1<t <1且t ≠0，②对照①②，可得t 的范围是：(−1,0)∪(0,−1+√52)．)．所以，原不等式的解集为(−1,0)∪(0,−1+√52试卷第11页，总11页。

天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题

天津市静海区2020-2021学年度第一学期第一次月考试卷高三数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂= A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-A本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 设命题:p x ∃∈R ，22012x >，则P ⌝为（）． A. x ∀∈R ，22012x ≤ B. x ∀∈R ，22012x > C. x ∃∈R ，22012x ≤ D. x ∃∈R ，22012x <A根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 解：P ⌝表示对命题P 的否定，“x ∃∈R ，22012x >”的否定是“x ∀∈R ，22012x ≤” ．故选A ．本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.3. 函数()32xy x x =-的图象大致是（）A. B.C. D.B先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解.因为函数()32x y x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD 故选：B本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.4. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50]，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)（单位：元）内的同学有33人，则支出在[40,50]（单位：元）内的同学人数为（）A. 100B. 120C. 30D. 300C根据小矩形的面积之和，算出位于10~30的2组数据的频率之和为0.33，结合频率的计算公式，求得样本容量，进而求得的数据在[40,50]的频率，即可求解. 由题意，位于10~20，20~30的小矩形的面积分别为：120.01100.1,0.023100.23S S =⨯==⨯=，所以位于10~20，20~30的数据的频率分别为0.1，0.23，可得位于10~30的前2组数据的频率之和为0.10.230.33+=，因为支出在[10,30)的同学有33人，即330.33n=，解得100n =. 由此可得位于[40,50]数据的频率之和为10.370.330.3--=，所以支出在[40,50]的同学有1000.330⨯=人.故选：C.5. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. 12π B. 24πC. 36πD. 144πA根据正方体的外接球的直径公式2R =，代值计算即可.解：因为正方体的外接球的直径2R =，所以棱长为2的正方体外接球的直径2R ==，所以该球的表面积2412R ππ=.故选：A. 几何体的外接球、内切球问题：（1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径；（2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 6. 已知a b >，则下列成立的是（）A. >B. 22a b >C.22a bc c > D. 22ac bc >C利用不等式性质，逐一判断即可．A ．a ＞b ，不能保证a ，b 都大于0，故不成立；B ．b ＜a ＜0时，不成立；C ．∵21,0a b c >>，∴22a b c c>，故C 成立；D ．当c ＝0时，不成立．故选C ．本题主要考查不等式性质，属于基础题型．7.若双曲线过点，且渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的方程是（）．A. 2219x y -=B. 2219y x -=C. 2219y x -=D. 2219x y -=A先由渐近线方程，设双曲线方程为22(0)9x y λλ-=≠，再由题意，即可求出结果.解：因为双曲线的渐近线方程为13y x =±，所以，可设双曲线标准方程为：22(0)9x y λλ-=≠，∵双曲线过，代入方程得1λ=-，∴双曲线方程：2219x y -=．故选A ．本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型. 8. 设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c b a >>C利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可. 因为22log >log 21a π==，1122log log 10b π=<=，2001c ππ-<=<=，a cb ∴>>．故选：C.方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.9. ()()()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（） A. (1)+∞，B. [4)8，C. (4)8，D. (18)， B根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 单调递增，可得11402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围为[4,8).故选：B. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为________． -i()()()()12i 2i 12i i 2i 2i 552i i ---==-=-++-. 考点：本题主要考查复数的乘除运算..11.在52x ⎛- ⎝的展开式中，含2x 的系数为______. 80先求得二项式5(2x 的展开式的通项公式，再令x 的次数为2，进而可求出答案.二项式5(2x 的展开式的通项公式为()()355521552C 21C rr r r r r rr T x x ---+⎛==⨯-⨯ ⎝，令3522r -=，解得2r，所以2x 的系数为：()232521C 80⨯⨯-=. 故答案为：80.本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 12. 从3名男生和2名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是______．35随机选取两人的情况数和两人恰好是一名男生和一名女生情况数表示出来，相除即可求解.解：从3名男生和2名女生中随机选取两人有2510C =种，两人恰好是一名男生和一名女生有11326C C =种，所以两人恰好是一名男生和一名女生的概率是11322535C C C =，故答案为：35.1.古典概型的概率求解步骤：（1）求出所有基本事件的个数n ；（2）求出事件A 包含的所有基本事件的个数m ；（3）代入公式()mP A n=求解. 2.基本事件个数的确定方法（1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型；（2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法；（3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求；（4）运用排列组合知识计算.13. 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为__________. 22(2)9.x y -+=试题分析：设(,0)(0)C a a >，则222452,2535a a r =⇒==+=（），故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．14. 已知0a >，0b >且2a b ab +=，则2+a b 的最小值为______． 9由题意可得211ba+=，据此结合均值不等式即可求得2+a b 的最小值，注意等号成立的条件.2a b ab +=，0a >，0b >，211b a∴+=，()212222225529a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立.则2+a b 的最小值为9. 故答案为：9.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15. 若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为_______.试题分析：时，有80≥，对任意x R ∈恒成立；时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x R ∈恒成立，则需，解得，综上可知，实数k 的取值范围为．考点：含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论第Ⅱ卷三、简答题：（共6题，共80分） 16. 已知函数()3sin 21f x x x =++ （I ）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．（I ）π；212k x ππ=+，k Z ∈．（Ⅱ）最大值为3，最小值为13（I ）利用辅助角公式化为一个角的三角函数，即()sin()f x A x ωϕ=+的形式，然后由正弦函数的性质可求解．（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得42333x πππ≤+≤，由正弦函数的性质可得最值即可．（I ）由()2sin 212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，得()f x 的最小正周期22T ππ==； ()f x 的对称轴方程232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，k Z ∈．所以()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为：212k x ππ=+，k Z ∈．（Ⅱ）02x π≤≤， 02x π∴≤≤，42333x πππ∴≤+≤， ∴ 当232x ππ+=时，即12x π=时，()max 3f x =，当4233x ππ+=时，即2x π=时，()min 1f x =所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1方法点睛：三角函数问题一般都要利用两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、诱导公式等化为一个角的三角函数，即()sin()f x A x ωϕ=+的形式，然后利用正弦函数性质求解．17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知2a =，c =cos 4A =-．（Ⅰ）求sin C 和b 的值；（Ⅱ）求cos(2)3A π+的值．（Ⅰ）sin 4C =，1b =；（Ⅱ）3cos(2)=38A π-++．（1）由cos A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin A 的值，再由a ，c 的值，利用正弦定理求出sin C ，利用余弦定理求出b 的值即可；（2）原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将sin2A 与cos2A 的值代入计算即可求出值．（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，可得sin A =又由sin sin a c A C =及2a =，c =sin C = 由2222cos a b c bc A =+-，得220b b +-=. 因为0b >，故解得1b =．所以sin 4C =，1b =．（Ⅱ）由cos 4A =-，sin 4A =，得23cos22cos 14A A =-=-，sin22sin cos A A A ==，所以cos 2cos2cos sin2sin 333A A A πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ =. 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. （Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.19. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）n n n c a b =，*n N ∈求数列{}n c 前n 项和．（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）*(23)23,n n S n n N =-⋅+∈（1）将条件用基本量表示，列出方程组，解出基本量,q d ，结合111a b ==即可得出{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）通过{}n a 和{}n b 的通项公式写出n c 的通项公式，运用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列 {}n b 的公差d ，由题意0q >，由题意可得241122113(1)7d d q q d ⎧+++=⨯⨯⎨⨯-+=⎩，即24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得42280q q --=0,q > 解得 2,2,q d =∴=∴ 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈，（2）由（1）有1(21)2-=-⋅n n c n ，设{}n c 的前n 项和为n S ，01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯=---⨯=--⨯-所以*(23)23,n n S n n N =-⋅+∈.等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：1a 和d 是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n 项和：利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.注意：在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷.20. 已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.（1）3a =-（2）见解析.试题分析：（Ⅰ）()22222a x a fx x x x='+=+，由f'（2）=1，能求出a ；（II ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x ）＞0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＜0时()()()2x a x a f x x +---'=．列表讨论，能求出函数f （x ）的单调递区间试题解析：（1）2222'()2a x a f x x x x+=+= 由已知'(2)1f =，解得3a =-．（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．①当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；②当0a <时2()()'()x a x a f x +---=．当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是)a -；单调递增区间是,)a -+∞．考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性。

天津市静海区大邱庄中学2020届高三上学期第一次质量检测数学试题和答案

大邱庄中学2019—2020学年度第一学期第一次月考高三年级数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（共9题；每题5分，共45分）1. 已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B ⋂=( ) A ．{|12}x x -<< B ．{|1x x <-或2x >} C ．{|01}x x << D ．{|0x x <或}2. 函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-3.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为( )A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.754.已知向量，，且，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．5. 函数的减区间是（） A ．B ．C ．D ．6. 将函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（） A ．4cos(4)5y x π=-B ．4sin(4)5y x π=+ C ．44cos(4)5y x π=- D ．44sin(4)5y x π=+7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(+2)()f x f x =，当01x <≤时()=(+1)f x x x ，则(4)(5)f f +等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．28.某医院治疗一种疾病的治愈率为15，在前2个病人都未治愈的情况下，则第3个病人的治愈率为 ( ) A ．45 B ．16125 C ．4125 D ．159.当时，不等式恒成立，则实数的范围（）．A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（共6题；每题5分，共30分）10. 已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 . 11.曲线2ln y x x =-+在1x =处的切线方程为______.12.的展开式中项的系数为8，则__________．13.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．14.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.15.如图，在△ABC 中，已知∠BAC＝，AB ＝2，AC ＝3，，，则BE ＝________．三、简答题（共5题；每题15分，共75分）16．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知A C c a b sin 2sin ,53,3==+=．（Ⅰ）求c a ,的值；（Ⅱ）求)42sin(π+B 的值．17. 现有2位男生，3位女生去参加一个联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.（Ⅰ）为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.求这5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率；（Ⅱ）若从这5人中随机选派3人去参加甲项目联欢，设ξ表示这3个人中女生的人数，求随机变量ξ的分布列与数学期望.18．已知函数x e a x a x x f ]52)2([)(2+++-=（R x ∈，a 是常数且R a ∈）. （Ⅰ）若函数)(x f 在3-=x 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令n b =211n a -(*n N ∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，534,,a a a 依次成等差数列．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）当0<q 时，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（Ⅲ）当0>q 时，求证：43)312(1222<--∑=ni i i a i a ．参考答案一、单项选择1、C2、C3、B4、C5、B6、 A7、D8、 D9、A二、填空题 10、11、10x y ++= 12、2 13、 63 14、11[,)4e15、三、简答题16．（Ⅰ）由正弦定理AaC c sin sin =，A C sin 2sin = …………………………………………2分∴ a c 2= ……………………………………………………………………………3分 ∵53=+c a ∴ 52,5==c a ………………………………………………………6分（Ⅱ）∵ B ac c a b cos 2222-+= ………………………………………………………7分 ∴ 54cos =B …………………………………………………………………………………8分 ∵ B 是三角形内角 ∴π<<B 0∴53cos 1sin 2=-=B B ………………………………9分∴2524cos sin 22sin ==B B B ，2571cos 22cos 2=-=B B …………………………………11分 ∴4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B +=+…………………………………………13分502312cos 222sin 22=+=B B ………………………………………15分 17.（Ⅰ）依题意，这5个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23. ------------2分设“这5个人中恰有3人去参加甲项目联欢”为事件A ,则24340)32()31()(2335==C A P . ------------5分（Ⅱ）随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3 -----------6分)3,2,1()(35323=⋅==-k C C C k P kk ξ 所以ξ的分布列------------13分5910135321031=⨯+⨯+⨯=ξE . ------------15分 18．（Ⅰ）x e a x x f )22()(--='+x e a x a x ]52)2([2+++-=x e a ax x )3(2++- …………………………………………………………2分 ∵ 0)3(=-'f ∴ 0)412(3=+-e a ∴ 3-=a ……………………………………4分当3-=a 时，x e x x x f )3()(+='，∵ 在3-=x 附近，3->x 时，0)(<'x f ；3-<x 时，0)(>'x f∴ 3-=x 是函数)(x f 的极值点，∴ 3-=a 即为所求 ………………………………6分（Ⅱ）命题“)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间”的否定为“)(x f 在),4(∞+内不存在单调递减区间”，∵函数)(x f 是连续不断的非常数函数，∴原命题的否定即“)(x f 在),4(∞+内单调递增” 此时应有在),4(∞+内0)(≥'x f 恒成立，即032≥++-a ax x 恒成立 …………………8分令3)(2++-=a ax x x g ，124)3(4)(22--=+--=∆a a a a∴ 应有0≤∆，解得62≤≤-a …………………………………………………10分或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥>∆420)4(0ag ，解得2-<a 或3196≤<a ………………………………………………12分∴ )(x f 在),4(∞+内单调递增时，319≤a ………………………………………………14分∴ 若)(x f 在),4(∞+内存在单调递减区间，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛∞+,319 (15)分19. （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，…………4分所以321)=2n+1n a n =+-（；…………6分 n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n .…………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以n b =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，…………11分所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， …………14分即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20．（Ⅰ）∵534,,a a a 依次成等差数列，∴5432a a a += ....................................1分 ∵{}n a 是首项为1的等比数列，∴4322q q q += ..........................................2分 ∵0≠q ∴022=-+q q ∴1=q 或2-=q ................................................4分（Ⅱ）∵0<q ，∴2-=q ，∴1)2(--=n n a (5)分∵ n n n na a n a a a S +-++++=-1321)1(32∴ 122)2()2()1()2(3)2(21---⋅+-⋅-++-⋅+-⋅+=n n n n n S ∴n n n n n S )2()2()1()2(2)2(1)2(12-⋅+-⋅-++-⋅+-⋅=-- (8)分上式减下式得：n n n n S )2()2()2()2(1312-⋅--++-+-+=-3)2)(13(1)2()2(1)2(1n nn n n -+-=-⋅-----= ∴9)2)(13(1n n n S -+-=…………………10分（Ⅲ）∵0>q ，∴1=q ，∴1=n a (11)分∴=--∑=ni ii a i a 1222)312(=--∑=ni i 121)312(1=-+∑=)32)(31(1411i i ni ∑=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ni i i 131132141 ………12分⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-=31132137134134131141n n (14)分43311341<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n ………………………………………………………………………15分。