简谐近似下一维双原子链振动模拟开题报告

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3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链PPT参考课件

N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模
玻恩-卡曼的模型起着一个边界条件的作用, 用这个模型并未改变运动方程的解, 而只是对解提出一定条件 , 称它为玻恩－卡曼条件, 或称为周期性边界条件27
色散关系的两点讨论:
2

2 [1 cos aq]
m
4
m
sin
2

体系的势能函数展开至位移坐标的二次方项, 称为简谐近似
简正坐标是通过正交变换引入的, 使内能函数和动能函数同时化为平方项之和而无交叉项的坐标
由简正坐标所代表的, 体系中所有原子一起参与的共同振动, 常常称为一个振动模（或简正模） 14
§3-2 一维单原子链
晶格具有周期性, 因而晶格的振动模具有波的形式, 称为
3
以后的研究确立了晶格振动采取 "格波" 的形式
这一章的介绍格波的概念, 并在晶格振动理论的基础上扼要讲述晶体的宏观热学性质
晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础
对晶体的电学性质、光学性质、超导电
性、磁性、结构相变… …等一系列物理
问题, 晶格振动都有着很重要的作用
4
§3-1 简谐近似和简正坐标
E

3N i 1
i

3N i 1

ni

1 2

hi
3N
(Q1，Q2，L ，Q3N ) ni (Qi ) i 1
可见只要能找到该体系的简正坐标, 或者说振动模, 问题就解决了
下面将结合简单的例子, 把这里的一般性结论具体化13
§3-1 简谐近似和简正坐标小结
每个原子的位移画在垂直链的方向

毕业设计论文：一维双原子链的色散关系

一维双原子链的色散关系The dispersion relation of the one-dimensionaldiatomic chain学生姓名：吴刚所在专业：应用物理学班级：物理091指导教师：陈冰泉，刘彦平申请学位：理学学士论文提交日期：2013-6-5论文答辩日期：2013-6-18学位授予单位：青岛理工大学摘要物理学中对晶格振动的研究一直是一个重要且有意义的课题。

关于晶格振动的研究通常建立在原子链的研究上。

本文在介绍关于原子链研究基础理论的基础上，讨论了一维单原子链晶格的色散关系，从一维双原子链的角度介绍了晶格的色散关系，然后在前面讨论的基础上对三维晶格的色散关系进行了推导。

关于原子链色散关系的研究，让我们对于晶格振动有个更加清楚地认识。

论文重点介绍了一维双原子链的色散关系，在公式推导的基础上，作者完成计算机编程和模拟计算，得到色散关系的曲线。

关键词：晶格振动，一维单原子链，一维双原子链，三维晶格，色散关系AbstractThe study of lattice vibration has been an important and meaningful topic in physics. The investigation of lattice vibration is usually based on the study of atomic chain. With the introduction of the theoretical basis of atomic chain, this thesis discusses the dispersion relation of one-dimensional monatomic chain lattice, as well as the dispersion relation of one dimensional diatomic chain lattice. Based on the knowledge above, the equations for describing the dispersion relation of three dimensional lattice are then derived. The study of dispersion relations allows us to have a more clear understanding of lattice vibration. This thesis mainly presents the study and discussion of the dispersion relation of one dimensional diatomic chain. In addition to the equation derivation, we carry out programming and simulations for obtaining some important dispersion-relation curves.II目录前言 (1)第一章理论基础 (3)第二章一维单原子链的色散关系 (6)2.1 建立振动模型 (6)2.2 建立振动方程并求解 (6)2.3 玻恩-卡曼条件 (8)2.4.qw 的函数关系 (10)第三章一维双原子链的色散关系 (13)3.1建立振动模型 (13)3.2 原子运动方程的求解 (13)3.3 周期性边界条件 (15)3.4 对于声学波和光学波的讨论 (16)第四章三维晶格振动的推导 (21)4.1 一维多原子链问题的处理 (21)4.2 建立三维模型和求解运动方程 (21)4.3 波矢q的取值和范围 (23)4.4 理论上的计算 (25)第五章结论和讨论 (28)致谢 (29)参考文献 (31)III前言讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。

一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系

一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系作者：秦春伟胡权曹思遥孟庆未刘爽张尚剑刘永来源：《课程教育研究·上》2013年第09期【摘要】一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础。

本文假设一维双原子链中向一维单原子链转化时，对振动色散关系变化进行讨论。

通过分析阐明了一维单原子链色散关系为一维双原子链的特殊情况，将两者的振动联系起来。

【关键词】一维晶格振动色散关系【基金项目】电子科技大学教学改革重点项目资助。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0241-02一、引言晶体内原子间存在着相互作用，原子在平衡位置附近做振动，并形成格波。

该物理过程与晶体许多性质有密切关系，如对比热、热膨胀、光吸收等[1]。

目前的教材多从经典理论出发[1-3]，在简谐近似的条件下，建立运动方程，分别给出一维单原子和一维双原子的晶格振动的解及色散关系。

但是就两者间的内在联系，未作出明确的说明。

本文从一维双原子的两个原子质量无限趋近为条件入手，在一维双原子求解色散关系基础上，推导出了一维单原子的色散关系，说明了两者之间的关系。

能很好地帮助初学者理解一维原子晶格的振动问题。

二、一维晶格振动色散关系回顾与思考一维原子链模型如图1所示：一方面，双原子链中当M=m时应满足图2中的（a）；另一方面如果M不断趋近于m，图2（b）中光学支不断接近声学支，M=m时两支相接，其色散关系就存在两条曲线，显然与图2（a）不同。

这也是学生学习中不易理解的难点。

三、分析与讨论在简谐近似下，对于双原子链振动，得方程组：其中，A、B分别为m、M原子的振幅，q为格波波矢。

求解得：当M无限趋近m时，原子质量无限趋近既可以认为是同一原子，即可取M=m，将方程组（1）和式（2）、（3）化简为（5）、（6）函数为周期函数，周期为，其任一周期可表示为 q∈[-，+]，k∈z，又由于ω、ω+均不小于0，按k值讨论得到色散关系图如图3所示，虚线以上曲线为光学支，以下部分曲线为声学支。

51学时固体物理模拟试题2答案

安徽师范大学学年第学期51学时固体物理模拟试题2______参考答案一、填空题（每小题2分，共12分）1、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω等于 312a 。

2、金刚石结构中，相邻两共价键之间的夹角为cos θ=13-，or θ=109o 28'。

3、含有N 个初基原胞的铜晶体，晶格振动的声学波支数为 3 ，晶格振动的光学波支数为 0 。

4、由N 个原胞组成的简单晶体，不考虑能带交叠，则每个S 能带可容纳的电子数为 2N 。

5、三维晶格振动按德拜模型，模式密度与2ω成正比。

6、晶体的价带处于近满带时，其导电性质可归结为“空穴”在外电场作用下的运动。

空穴有如下基本性质：()()()(),,,h e h e E E m m **=-=-==-h e h e h h e e k k k k v k v k 。

二、单项选择题（每小题 2分，共 12 分）1、一个二维简单正交晶格的第一布里渊区形状是（ A ）。

A 、长方形B 、正六边形C 、圆D 、圆球 2、晶格常数为a 的简立方晶格的(111)面间距为（ B ）。

A 、21 a B 、31 a C 、a 41 D 、a 513、对于一维双原子链晶格振动的频隙宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则晶格振动的频隙宽度变为原来的（ A ）。

A 、 2倍B 、 4倍C 、 16倍D 、1倍 4、布洛赫电子的准动量为（ D ）。

A 、 ωh B.、 m v C 、 i -∇h D 、 k h5、一维自由电子的能态密度，与能量E 的关系是正比于（ A ）。

A 、12E- B 、0E C 、2/1ED 、E6、Lenard-Jones 势为：（ C ）A 、n A Br r -+ B 、N （m n m n A B r r-+） C.1264r r σσε⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D.12612612N A A r r σσ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦三、问答题（每小题4分，共16分）1、共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?解答:设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”。

4-2 双原子的振动

（2）
或
ω2 =
c( M 1 + M 2 ) {1 ± 1 − M 1M 2 (M1 + M 2 )2
4M 1M 2 sin 2
qa 2 ]}
（3）
短波极限时(1) 长波极限时（3）
同时半角公式，得(3)
一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是 q 的周期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q 取值范围也在第一 π π 布里渊区（）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是 2 a
Байду номын сангаас
光学支也有3N个简正模式，对应与初基晶胞中原子的相对运动，有3N个自由度。因此总的简正模式（包括光学支，声学支）共有3×2×N=6N 个，也就是说双原子点阵共有6N个简正模式，这 6N个简正模式对应于晶体中所有原子的总自由度。
推而广之，对于每个初基晶胞中有P个原子的点阵，简正模式的色散关系有3P支，其中有3支是声学支,对应于声学摸的三种偏振状态,剩下的3P3都是光学支,每一支的K的取值都有N个,因此共有 3PN个简正模式。其中3N个声学模式，剩下的3NP3N个都是光学模式，无论基晶胞中有多少个原子，色散关系的声学支只能有3支，因为声学支对应于初基晶胞中原子的整体运动而这种运动只能有三个，剩下的3P-3支都是光学支，代表了初基晶胞中原子的相对振动。
2 M 1M 2ω 4 − 2c（M 1 + M 2）ω 2 + 2c（ − cos ka） 0 1 =
附：推导过程
1 {2c( M 1 + M 2 ) ± [2c( M 1 + M 2 )]2 − 4 M 1M 2 [2c 2 (1 − cos qa )]} ω = 2 M 1M 2

一维双原子链的晶格振动

22 //N aa N
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注意:
• 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q），所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。现在来考察一下两种原子的振幅比。把
式（3－23）代入（3－22）可得
A2 A1
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1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定起见，并设d<（a-d），β1<β2。
（3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。
当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
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声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。而光学支（Optical branch）格波
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允许的波矢数＝晶体的初基原胞数格波总数＝晶体振动的总自由度数

晶格振动与晶体的热学性质-习题

第三章晶格振动与晶体的热学性质1。

什么是简谐近似？解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。

这个近似即称为简谐近似。

2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义.解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22sinqa qamaqv p βω== (1)2cos qam a dq d v g βω==. 由（1）式及结合上图3。

1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。

但当0→q 时，mav p β=为一常数。

这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3。

1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ,而mav p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。

3。

周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。

考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。

如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。

5.1.3 一维双原子链解析

第n个初基元胞——
m1 :
0 平衡位置为 xn ,1 na d1
所受力为 Fn,1 f n, 2 f n 1, 2
0 y( xn ,1 , t )
t时刻偏离平衡位置的位移为
m2 :
0 x 平衡位置为 n, 2 na d 2
所受力为 Fn, 2 f n 1,1 f n,1
iqh na 0 yqh ( xn , t ) A e T (t ) , 1、 2 ,
(t )m A T (t )[ ( A A ) ( A A eiqh a )] T 1 1 1 1 2 2 1 2 (t )m A T (t )[ ( A A eiqh a ) ( A A )] T
先求解齐次代数方程组：必有非零解，故系数行列式应为零
( 1 2 m1 2 ) ( 1 2eiqh a )
( 1 2e iqh a ) 0 2 ( 1 2 m2 )
由此可得和Байду номын сангаас
8m1m2 1 2 (1 cos qh a) 1 1 1 (qh ) ( 1 2 )( )[1 1 ] 2 m1 m2 ( 1 2 ) 2 (m1 m2 ) 2
于是有：
yq h ( x , t ) e
0 n ,
iqh na
y(d , t ) , 1、 2
h
代入晶格振动方程，可得
(d1 , t ) 1[ y(d1 , t ) y(d 2 , t )] 2 [ y(d1 , t ) y(d 2 , t )eiq a ] m1 y
( ) A2 , qh
2 1 2 1

位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线

位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线在固体物理学中，位势的一维双原子链的晶格振动是一个重要的问题，它的研究有助于我们理解和解释固体物理学中的一些关键现象。

晶格振动是晶体中的原子在平衡位置附近发生的小振动，它是晶体中热力学性质的基础。

在此基础上，我们可以研究晶体的声学性质、热学性质和磁性质等。

一维双原子链是由两种不同原子以交替排列形成的，其中每个原子的势能可以用简谐振子势能表示。

因此，这个系统的晶格振动可以通过一维简谐振子链模型来描述。

在这个模型中，每个原子都看做是一个简谐振子，相邻原子之间的作用力是势能函数的一阶导数，即表示为弹性常数k。

由于这个模型是一维的，因此在纵向方向和横向方向上的振动是独立的。

对于一维双原子链，晶格振动的频率可以用色散关系来描述。

色散关系是指在一个周向周期内波矢的变化引起的频率的变化。

在一维双原子链中，波矢k和频率ω之间的关系可以写成：ω^2(k) = (4k^2k^2 - k^2k^2)/(4m) +/- ((k^2k^2)^2 - (4k^2k^2 -k^2k^2)^2/16)^(1/2)/(4m)其中，m是原子的质量，+/-代表长波和短波模的解。

这个色散关系表明在一维双原子链中，存在两种不同类型的振动——声学振动和光学振动。

声学振动通常来源于原子的长程弹性相互作用，具有相同的相位和相同的振动方向。

这意味着在这种振动中，相邻原子之间的相对位移是相等的，它们沿着链的方向振动。

相反，光学振动通常源于原子之间的电磁相互作用，具有不同的相位和不同的振动方向。

这意味着，在这种振动中，相邻原子的相对位移是不相等的，它们在垂直于链的方向上振动。

对于一维双原子链的晶格振动，有两个特别有趣的点：无穷远波长和极短波长的情况。

在无穷远波长的情况下，声学振动和光学振动的频率都趋于零。

这意味着，在这种情况下，整个晶体的平移是可能的，并且这是一个有声波的晶体。

在另一方面，当波长很短时，声学振动的频率趋于一个有限值，而光学振动的频率则趋于无穷大。

简谐晶体的经典理论

nq Ae
q

A是振幅，ω 是角频率，q 是波数，λ 是波长，naq 是第n 个原子的位相因子，将试解代入方程求解。
m Ae
2
i t naq
Ae

i t n1aq
Ae
i t n1aq
2 Ae
i t naq
2 1 ' u ( Rn ) u ( Rn ' ) ( Rn Rn ' ) 4 Rn , Rn '

(3)
对平衡势能第一个非零的改正项，在总势能中仅保留这一项称为简谐近似。在直角坐标系中写成分量形式为：
V 1 ' u ( Rn ) u ( Rn ' ) v ( Rn Rn ' ) uv ( Rn ) uv ( Rn ' ) 4 Rn , Rn '
,v x , y , z

(4)
其中：
2 (r ) v (r ) r rv
(5)
二、绝热近似
上面的讨论中，我们把原子当作没有结构的质点来处理，唯一的属性是具有质量 m，显然这是一种近似。原子是由原子核和核外电子组成的，在大多数场合，我们只需要把自由电子突出出来，而把其它电子和原子核看成刚性连在一起的离子实来处理，这种把自由电子和离子实分开处理的方法称为绝热近似。在绝热近似下，我们可以把离子实当作质点来单独处理，而认为自由电子的运动不会影响到离子实的振动状态。但严格说来，离子运动会引起电子云的畸变，而电子的运动也会影响到离子振动，所以离子的运动必须和电子的运动一起考虑。然而离子比电子质量重 103－105倍，而运动速度（103）又比电子运动速度（106）慢几千倍，所以目前讨论离子的运动时，可以近似的认为电子能很快适应离子位置的变化，在离子运动的任何一个瞬间，电子都处于基态；当以后讨论自由电子的运动时，我们也可以认为离子是静止不动的，电子在一个静止的离子构成的周期势场中运动。

§3-2 一维双原子链的晶格振动解析

[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0
（3－22）
注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零解的条件是其系数行列式为零：
mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2)

声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。
三、三维晶格振动
设实际三维晶体沿基矢 a1、a2、a3 方向的初基原胞数分别为 N1、N2、N3，即晶体由 N＝ N1·N2·N3初基原胞组成，每个初基原胞内含 s个原子。 1 .原子振动方向一维情况下，波矢 q 和原子振动方向相同，所以只有纵波。三维情况下，有纵波也有横波。
当q→π/a时，因 β2 >β1，由式（3－23） ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波
2 2 0＝ m
12
(3-32)
对于声学支格波,由(3-23)式 ωA2=（β1＋β2）/m (β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m
2 / a N 2 / Na
注意:

这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q），所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数格波总数＝晶体振动的总自由度数

Chap3-lattice-vibration固体理论-晶格振动

BCS超导体理论证明，没有晶格振动与电子运动的耦合(一对电子通过电子-声子的相互作用,结合成为Cooper Pair)，超导也不可能实现。
此外，离子晶体在红外区域(Infrared)有强烈的、单色性很好的反射(也就是共振)，反射能量大大低于电子的能级，因此必须用晶格振动来解释。
另外，在激光，X射线及中子的散射实验中，有频率偏移，漫散射及固定的能量损失，证明晶体中有具备特定能量(原频率ω只能是某些特定的值）的原子运动。
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等
价的特点
N很大，原子运
动近似为直线运动
处理问题时要考
虑到环链的循环性
优点：协调有限和无限的关系缺点：忽略了表面少数原子和内部原子的差别
晶格结构一章中，所有讨论都是假设原子是静止的。实际上，根据经典热力学，原子的运动随着温度的增高而越来越剧烈。根据量子力学，因为测不准原理(Uncerta inty Principle)的限制，甚至在绝对零度原子也不能静止。
如果晶格是静止的，固体的热性质(Thermal property) 无法解释。例如:在绝缘体中，电子被束缚在各个原子周围，无法移动传导热量，因此绝缘体的导热必须由晶格原子的运动来解释。又比如:固体的热膨胀(Thermal expansion) 离开晶格的运动也是不可理解的。在高温下固体会溶解，显然，溶解过程没有晶格运动的参与是绝对不可能的。绝缘体除导电以外，还传导声波。同样，静止晶格模型是不能解释的。.
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应，并决定基本的物理性质，实际上是wave-particle duality概念(19 24年)最早的不自觉应用。所以他的工作不仅是点阵动力学的开始，而且在量子理论的发展上也很重要。

一维双原子链

1 Q(q)Q*(q) 1
2
Q(q)
2q
2q
U 1
2
n
(n n1)2
势能
1 2
n
1
Nm
q
Q(q)einaq
1 eiaq
Q(q ')einaq'
q'
1 eiaq'
Q(q) 1 eiaq 2m qq'
Q(q ') 1 eiaq'
1 N
n
eina(qq
1 1 e Na N 1 e2ih / N
0
利用这二个关系式化简系统动能和势能的表达式
动能
T 1 m
2
n
n2
1 m 1 2 Nm
n
q
Q(q)einaq
Q(q
')einaq
'
q'
1 2
qq '
Q(q)Q(q
')
1 N
eian ( q q ')
n
1 2
Q(q)Q(q) q
4mM sin2 aq 4mM (aq)2 1
(m M )2
(m M )2
将根式对 q² 展开
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
mM mM
1
1
1 2
4mM (m M )2
(aq)2
2
mM
(aq)2
2
2
mM
(aq)2
或
a
2 q
mM
表明对于声学波频率正比于波数, 长声学波就是把一维链看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么称 ω－支为声学波的原因

一维线性原子链、硅烷及二维MoS2的GW和BSE多体效应第一性原理计算的开题报告

一维线性原子链、硅烷及二维MoS2的GW和BSE 多体效应第一性原理计算的开题报告一、研究背景在目前的半导体材料研究领域，从理论计算的角度来看，准粒子能量和激子激发态的计算是非常具有挑战性的问题。

这其中包括一维线性原子链、硅烷以及二维MoS2等材料的多体效应的计算。

而这些材料的物理性能在太阳能电池、光电器件和能源转换等应用方面有着广泛的应用前景。

二、研究目的本研究旨在通过使用第一性原理计算的方法，系统地研究一维线性原子链、硅烷及二维MoS2等材料的GW和BSE多体效应。

首先，我们将使用材料模拟工具VASP和Quantum Espresso计算这些材料的准粒子能量和激子激发态。

接下来，我们将应用Green函数形式的GW和BSE多体效应方法进行计算。

三、研究内容1.通过材料模拟工具VASP和Quantum Espresso计算一维线性原子链、硅烷及二维MoS2的准粒子能量和激子激发态。

2.应用Green函数形式的GW和BSE多体效应方法对这些材料进行计算。

3.通过比较实验结果和理论结果，评估GW和BSE多体效应方法的性能。

4. 将研究结果应用到太阳能电池、光电器件和能源转换等相关领域。

四、研究意义本研究将有助于深入了解一维线性原子链、硅烷及二维MoS2等材料的物理性质，探究它们的多体效应行为。

进一步，本研究的结果将在太阳能电池、光电器件和能源转换等领域中有着广泛的应用价值。

五、研究方法本研究将使用材料模拟工具VASP和Quantum Espresso进行第一性原理计算，并应用Green函数形式的GW和BSE多体效应方法来研究一维线性原子链、硅烷及二维MoS2等材料的多体效应行为。

最终，将通过对计算结果的比较和分析来评估所采用的方法的性能。

六、预期结果本研究预期能够获得一维线性原子链、硅烷及二维MoS2等材料的多体效应性质的深入认识，发现它们的优异物理性质。

本研究的成果将为太阳能电池、光电器件和能源转换等相关领域提供有价值的理论基础和实用性指导。

3.3 一维双原子链振动一、运动方程及其解

�� ′ ′ ′
0
应用经典力学中的拉格朗日方法，得到运动方程：
其中
为力常数
它表示第 l’个元胞中第j’个原子在 σ’方向上的单位位移对第l个元胞中第j 个原子在σ方向上产生的力，是一个张量。实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关，而与绝对位置无关，所以：
定义位移矢量的分量，代表第l个元胞中第j个原子在σ方向上的相对于平衡位置的移动。令该原子的质量为Mj。系统有3nN个位移分量，3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
系统动能：系统势能：
��
=
�
1 2
��̇ ��2��
子链：
独立模式数 = 2N = 自由度数
q趋近于0时两支模式的区别在于，光学波模式是描写原胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学波模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学波模式代表同一原胞中原子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学波模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。但它不是声波。 LA
三、波恩-卡曼边界条件
对于N个元胞的有限双原子链，采用波恩-卡曼边界条件
类似前面的单原子链，得到
h为整数，
得到
q在第一布里渊区中均匀分布，取N个值。独立的波矢数 = 元胞数 (N)。波矢密度 =
因为一个确定的q和
确定了一个独立的模式，其中s为格波的支

K-3.3 一维双原子链的振动-3.4 三维晶格振动-41

确定声子的波矢:
确定声子的频率:
非弹性X-射线散射
• X 射线是在同振动着的晶格发生作用，因此除了衍射现象外，电磁波还会和晶格发生能量的交换，入射波吸收或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化，这就是X射线的非弹性散射。 • 由于X 射线频率（ 10 eV ）远大于声子频率（0.03eV）
确定波矢: 确定频率:
q0
sin 2 qa / 2 0

2
2
q
2 sin qa / 2 1 a
2
2
M m 2 2 [1 1] Mm Mm M m M m [1 1] 0 Mm M m M m 2 1 Mm M m m M m M m 2 1 Mm M m M
光子散射法
辐射波 X射线可见光声子能量（eV）约10 几个 10-2 波矢（cm-1） 108 105 108
• X射线能量太高，波矢（108 cm-1）和布里渊区接近。 • 激光可见光源的能量降低了，但波矢（105 cm-1）也降低了，和晶体的布里渊区比小了。 • 因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子发生相互作用，涉及光学声子的称Raman 散射，涉及声学声子的称 Brilouin散射。 • 远红外和红外吸收光谱也只能测光学声子。 • 测定的晶格振动谱只是长波附近很小的一部分声子。
一、三维晶格振动 – 边界条件
一、三维晶格振动 – 边界条件
补充：关于波矢q （1）一维 m 2 b, q m, q
Na
Na
N
m = 0 , ±1 , ±2 ...
一个 m 值对应一个q 点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q 点 “距离”为 2 ，一个 q 点的“长度”为 2 q 空间中波矢q 的密度 =

§2-3 一维原子链的振动长波近似

—— 一维复式格子存在两种独立的格波
两种格波的振幅
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2
2 M 2 B ( ) A 2 cos aq
2 每个波矢在第一布里渊区占的线度 q Na
2 第一布里渊区的线度 a
2 / a N 第一布里渊区状态数 2 / Na
重要结论
1、格波的数目，等于原胞的数目。 2、在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能的q所占据的线度为π/Na.这里，对应于每个q值有两个不同的ω，一个是光学波角频率，另一个是声学波角频率。因此对于一维双原子的复式格子，角频率数为2N,既然每一角频率对应于一个格波，格波数必为2N。 3、在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子，晶体的自由度是2N,因此得到这样的结论：晶格振动波矢的数目= 晶体原胞数；晶格振动频率的数目= 晶体的自由度数。
2
1 2
(m M ) 4mM 2 —— 声学波 {1 [1 sin aq ] } mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 2 —— 光学波 {1 [1 sin aq ] } mM (m M ) 2
2
1 2
—— 与q之间存在着两种不同的色散关系
ห้องสมุดไป่ตู้
—— 两种原子振动的振幅A 和B一般来说是不同的
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n )
第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )

晶格动力学

,
1 Pk N
ikna p e n n
由
p, q 的对易关系 [ pk , qk ] i kk ，可得 P,
Q 间的对易关系：
[ Pk , Qk ] 1 1 ikua ikua ik va ik va ] [ pu e , qv e ] [ pu e , qv e N u N u v v 1 1 i ( ku k v ) a [ pu , qv ]e i uv ei ( ku k v ) a N u v N u v 1 1 i ( k k ) ua ie i N kk i kk N u N
其中，
2 4 2 1 (1 cos ka ) sin ( ka ) ， m m 2
2 k
此即前面求得的色散关系。
下面可求得 Qk 的运动方程。
1 1 2 iQk [Qk , H ] Qk , ( Pk P k m k Qk Q k ) 2m 2 k 1 Pk P k Qk , 2m k 1 1 P k ] [Qk , Pk ]P k Pk [Qk , 2m 2m k' k' 1 1 iPk k , k i k ,k P k k ' 2m k ' 2m P k i m
2
k 的取值可限制在

2a
k

2a
，给出全部不同的解。
取周期性边界条件，则
u2 n u2 n 2 N Ae
i (t 2 nak )
Ae 1
i (t (2 n 2 N ) ak )
e
k
在 (

两振动锤联动控制系统设计及振动耦合特性研究的开题报告

两振动锤联动控制系统设计及振动耦合特性研究的开题报告一、选题背景和意义在机械振动领域，振动控制系统是一个重要的研究方向。

在工业生产中，很多机械设备都会产生振动，若不能控制好振动，不仅会损害机械设备的寿命，而且还会对生产环境产生噪声影响，对工人身体造成伤害。

传统的振动控制方法主要是基于单振动源的控制，即在机械振动源处安装一个振动控制器，通过对它输出的信号进行控制，使机械的振动降至最小。

然而，在某些情况下，单振动源的控制方法无法满足实际需求。

例如，在某些大型机械设备中，由于机械结构的特殊性，需要采用两个或以上的振动源进行控制，以达到更好的振动控制效果。

因此，本课题旨在设计一种两振动锤联动控制系统，并对系统的振动耦合特性进行研究。

该课题具有一定的理论研究价值和工程应用价值。

二、主要研究内容1.两振动锤联动控制系统的设计。

2.系统的数学建模和控制算法设计。

3.系统的硬件设计和软件编程。

4.实验研究：对系统进行实验验证，分析系统的振动控制效果，并研究系统的振动耦合特性。

三、预期研究成果1.设计出一种功能完备、控制效果良好的两振动锤联动控制系统。

2.建立了系统的数学模型，设计了控制算法，并进行了仿真。

3.制作出系统的硬件和软件，并进行系统调试。

4.通过实验验证，研究系统的振动控制效果和振动耦合特性，得出具有一定参考价值的结论。

四、研究方法和技术路线1.文献调研：对振动控制领域的相关文献进行综述，并查找和分析类似系统的研究成果。

2.数学建模：建立系统的数学模型，包括振动锤的动力学模型、系统的控制模型等。

3.控制算法设计：设计系统的控制算法，采用常用的控制方法，如PID控制等。

4.硬件设计：选取合适的硬件设备，包括振动锤、控制器等，并进行系统的硬件设计。

5.软件编程：利用编程软件进行系统的软件开发，包括算法实现、数据采集与处理等。

6.实验研究：利用实验室设备，对系统进行实验验证，得出相关数据，进行分析和结论的总结。