脉冲Logistic方程的正周期解

合集下载

脉冲泛函微分方程周期边值问题的上下解方法

义ｅ（，）＝｛：ｃｊ尺；（）ｔ￡在＃ｔ时连续，（ｆ和（））存在且（）（）；Ｃ（，＝＝ｔ｝Ｐ＿），｛Ｐ（，）（）￡时连续可微，）（） ∈ Ｃ，：ｔ在 ≠ （ｆ和￡存在且（ｆ＝（｝ｆ￡）ｔ。设Ｑ＝｛ ∈ ）Ｐ（，）（）ｘｏ，Ｅ一ｒ］。定义范数ＩＩ＝ｕ｛ｘｔｌ ∈ Ｔ明｝显然，ｃ－Ｒ：ｔ＝（）ｔ［，０｝，Ｅ，ＩＩｓｐＩ（）：ｔ［一，，Ｑ是个Ｂｎｃ间。又设ｎ＝Ｐ［，，）Ｃ（０Ｔ，）ａａｈ空Ｃ（一Ｔ］尺ｎＰ［，］Ｒ。称函数 ∈Ｑ为边值问题式（）１的个解，如果 ∈Ｑ满足（）。１式
脉冲泛函微分方程周期边值问题的上下解方法
Ｏ陈星荣
（嘉应学院数学学院，东梅州５４１）广１０５［摘要］利用带脉冲的微分不等式及新的比较结果，结合单调迭代法，研究了一阶脉冲泛函微分方程
周期边值问题解的存在性。
［关键词］冲泛函微分方程；脉周期边值问题；上下解；单调迭代法［中图分类号］０７．［１５８文献标识码］Ａ［文章编号］１０６２２ｏ）６— ０４００６— ４ｘ（ｏ８ｏ０１－５
（＝＋Ｇ）一＋（）Ｌ（）∈ ，￡｛。（（）（）＋ｒ，［明）（￣ｔｔ０ｌ）
【（）ｔ一，］ｘｏ，∈［丁０
其中
（３）
∞ 南＝

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略赵明;吕显瑞【摘要】A SIQRS epidemic model with saturating contact rate, isolation term and impulsive vaccination was established and analyzed. By means of Floquet theorem, impulsive differential inequality and limit system theory,the global asymptotic stable threshold conditions of disease-free periodic solution in the SIQRS epidemic model were paring the effectiveness of the two control strategies of impulsive vaccination and isolation shows that using the two strategies concurrently is superior to only one strategy for eradicating the disease.%建立并分析一类具有饱和接触率、隔离项和脉冲预防接种的 SIQRS 传染病模型。

通过综合运用 Floquet 定理、脉冲微分不等式和极限系统理论，获得了保证 SIQRS 传染病模型的无病周期解全局渐近稳定的阈值条件。

通过比较脉冲预防接种和隔离两种控制策略的有效性，表明同时使用脉冲预防接种和隔离两种策略比单独应用一种策略更有效。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)002【总页数】6页(P171-176)【关键词】SIQRS 传染病模型;脉冲预防接种;隔离;无病周期解;基本再生数【作者】赵明;吕显瑞【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132013;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来，对于病毒性传染病，根据康复后具有终身免疫力的实际情况，通常采用SIR模型［1－3］和SEIR模型［4］进行刻画；对于细菌感染性传染病，由于康复后可获得暂时免疫力，经过一段时间免疫力丧失后又再次发病，因此通常使用SIRS模型［5－7］、SEIRS模型［8－9］和SIQRS模型［10－11］进行描述．在传染病模型研究中，一般采用是否流行疾病的阈值——基本再生数进行分析．本文研究具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型，并对脉冲预防接种和隔离两种控制策略进行比较分析．将总人口N（t）分为易感者S（t）、染病者I（t）、隔离者Q（t）和恢复者R （t），且假设：（H1）易感人群具有常数输入（包括出生和移民），输入率为A；（H2）每个染病者对易感者的传染率为β（N（t））S（t），β（N（t））＝为饱和接触率系数，且为依赖于N（t）的函数，这里常数k＞0，α＞0；（H3）对易感者进行脉冲预防接种，p（0＜p＜1）为脉冲接种率，τ为脉冲接种周期；（H4）易感者接种或染病者康复后获得暂时的免疫力，经过一段时间失去免疫力后又变成易感者，δ≥0为失去免疫率；（H5）对传染者采取隔离措施，μ为隔离率，υ自然恢复率．建立具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型如下：其中：d为自然死亡率；a，b分别为染病者类和隔离者类的因病死亡率；γ为染病者类的自然恢复率；δ≥0；其他系数均为正数．定义基本再生数为这里：由N（t）＝S（t）＋I（t）＋Q（t）＋R（t）和N′（t）＝A－dN（t）－aI（t）－bQ（t），将模型（1）化为如下等价系统：当N（t）＞N0时N′（t）＜0，系统（2）的所有解（S（t），I（t），Q（t），N（t））最终趋于且停留在域内，因此域Ω是系统（2）的正向不变集和最终有界区域．本文主要研究系统（2）无病周期解的存在性和全局渐近稳定性，并分析比较脉冲预防接种与隔离两种控制策略的有效性．引理1［11］设常数a＞0，b＞0，0＜p＜1，则脉冲微分周期系统存在唯一的全局渐近稳定的正周期解引理2（Floquet定理）［12］设脉冲微分周期系统其中：f（t＋1，y）＝f（t，y），且系统（3）关于其周期解y（t）的线性近似系统为并设Φ（t）是系统（4）中方程的一个基本解矩阵，即满足若矩阵M＝B1Φ（1）一切特征根的绝对值均小于1，则系统（4）的零解，即系统（3）的周期解y（t）局部渐近稳定．引理3（脉冲微分系统比较定理）［12］假设函数满足脉冲微分不等式：其中：dk≥0，bk（k＝1，2，…）是常数．则对t≥t0，有引理4 系统（2）存在无病周期解其中证明：当I（t）＝Q（t）＝0时，由系统（2）知所以系统（2）的极限系统为于是，由系统（7）和引理1知系统（2）存在无病周期解定理1 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，系统（2）的无病周期解是不稳定的．证明：设（S（t），I（t），Q（t），N（t））是系统（2）的任意解，做变换则系统（2）在0＜t≤τ内的近似线性系统为易得到满足条件Φ（0）＝E（单位矩阵）的基本解矩阵为其中：0＜t≤τ；因为在下面的计算中没有用到Ei（i＝1，2，…，6），所以其具体表达式略．相应地，系统（2）的脉冲条件化为从而可获得系统（2）的单值矩阵由引理2知，无病周期解局部渐近稳定的充分必要条件是矩阵M的特征值：的模均小于1，即这等价于R0＜1．因此，当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，矩阵M的特征值λ2模大于1，无病周期解是不稳定的．定理2 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．证明：当R0＜1时，可选择充分小的ε＞0，使得由0≤N（t）≤N0与系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程由引理1和式（9）得由引理3，对任意小的ε＞0，存在一个正整数T1，使得当t＞T1时，恒有从而由式（10）和系统（2）的第二个方程有根据引理2，得利用r0＜0，由此递推得I（nτ）≤I（0＋）exp｛nr0｝，因此，又对任意的nτ＜t≤（n＋1）τ和有于是存在一个正整数T2＞T1，使得当t＞T2时，恒有I（t）＜ε．由系统（2）的第三个方程有因为ε是任意小的，所以即存在一个正整数T3＞T2，使得当t＞T3时，恒有Q（t）＜ε．类似地，由系统（2）的第四个方程有同理，由ε任意小知于是，存在正整数T4＞T3，使得当t＞T4时，恒有N（t）≥N0－ε．从而由系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程根据引理1，由系统（14）存在唯一全局渐近稳定的正周期解又由脉冲微分系统比较定理有令ε→0，则当t充分大时，由式（10），（16）有再由ε的任意性，有综上知当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局吸引的，进而由定理1知故系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．为方便，引入记号：易见k0＞kΔ．由定理1和定理2获得了疾病是否消除的阈值R0＝1，并且可得下列结论：1）当R0＜1时，系统（2）有周期为τ的全局渐近稳定的无病周期解，即疾病将逐渐消除；当R0＞1时，由定理1知无病周期解是不稳定的，表明疾病将持续存在；2）当脉冲预防接种率p＞pc或隔离率μ＞μc时，则R0＜1，疾病将逐渐消除；3）当μ＝0时，有因此，如果不采取隔离措施，则必须加大脉冲预防接种率，才能控制疾病流行并最终消除疾病；4）当p＝0时，有μ0＝β0N0－（d＋a＋γ）＞μc，表明当不进行脉冲预防接种时，传染病将会发生，需要适当加大隔离人数，才能控制疾病流行并使之逐渐消除．【相关文献】［1］ Stone L，Shulgin B，Agur Z．Theoretical Examination of the Pulse Vaccination Policy in the SIR Epidemic Model ［J］．Math Computer Modeling，2000，31（4／5）：207－215．［2］ Yoshida Naoki，Hara Tadayuki．Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates［J］．J Comput Appl Math，2007，201（2）：339－347．［3］朱玑，李维德，朱凌峰．基于SIR传染病模型的不同控制策略比较［J］．北华大学学报（自然科学版），2011，12（3）：265－269．（ZHU Ji，LI Weide，ZHU Lingfeng．Comparison among Different Control Strategies on SIR Epidemic Model ［J］．Journal of Beihua University（Natural Science），2011，12（3）：265－269．）［4］刘开源，陈兰荪．一类具有垂直传染与脉冲免疫的SEIR传染病模型的全局分析［J］．系统科学与数学，2010，30（3）：323－332．（LIU Kaiyuan，CHEN Lansun．Global Analysisof an SEIR Epidemic Disease Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（3）：323－332．）［5］赵文才，孟新柱．一类具有Logistic死亡率的脉冲免疫接种SIRS传染病模型［J］．吉林大学学报（理学版），2009，47（6）：1165－1171．（ZHAO Wencai，MENG Xinzhu．Impulsively Vaccinating SIRS Epidemic Model with Logistic Death Rate ［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2009，47（6）：1165－1171．）［6］庞国萍，陈兰荪．具饱和传染率的脉冲免疫接种SIRS模型［J］．系统科学与数学，2007，27（4）：563－572．（PANG Guoping，CHEN Lansun．The SIRS Epidemical Model with Saturated Contact Rate and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2007，27（4）：563－572．）［7］焦建军，鲍磊，陈兰荪．具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型［J］．吉林大学学报（理学版），2011，49（1）：6－10．（JIAO Jianjun，BAO Lei，CHEN Lansun．Dynamics on a Stage－Structured Single Population Model with Birth Pulse and Impulsive Harvesting［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2011，49（1）：6－10．）［8］芦雪娟，王伟华，堵秀凤．一类具有双时滞的SEIRS传染病模型的分析［J］．数学的实践与认识，2010，40（22）：135－142．（LU Xuejuan，WANG Weihua，DU Xiufeng．A Research of SEIRS Epidemic Model with Two Delays ［J］．Mathematics in Practice and Theory，2010，40（22）：135－142．）［9］黄灿云，安小峰．一类具有多时滞和非线性发生率的脉冲接种SEIRS传染病模型［J］．兰州理工大学学报，2011，37（1）：121－125．（HUANG Canyun，AN Xiaofeng．A Impulsive Vaccination SEIRS Epidemic Model with Multi－delay and Nonlinear Incidence Rate［J］．Journal of Lanzhou University of Technology，2011，37（1）：121－125．）［10］朱凌峰，李维德，章培军．具有连续和脉冲接种的SIQVS传染病模型［J］．兰州大学学报（自然科学版），2011，47（4）：99－102．（ZHU Lingfeng，LI Weide，ZHANG Peijun．A SIQVS Epidemic Model with Continuous and Impulsive Vaccination ［J］．Journal of Lanzhou University（Natural Sciences），2011，47（4）：99－102．）［11］徐为坚．具常数输入及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型［J］．系统科学与数学，2010，30（1）：43－52．（XU Weijian．The SIQRS Epidemic Model of Impulsive Vaccination with Constant Input and Saturation Incidence Rate［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（1）：43－52．）［12］马知恩，周义仓．传染病动力学的数学建模与研究［M］．北京：科学出版社，2004：153－164．（MA Zhi’en，ZHOU Yicang．Mathematical Modeling and Study on the Dynamics of Infectious Diseases［M］．Beijing：Science Press，2004：153－164．）。

脉冲Sturm-Liouville方程边值问题的多重正解

＋０Ｉｓ ∑Ｇ）＜１ ∑ ＞，：Ｇ＋（ｔｔｋ．，
＾一Ｊ＝】
Ｇ（，）Ｇｒｅ函数ｔ５是ｅｎ（）（），￡６ｓ
Ｇ（，）ｔｓ
ｌｌ
， ●●●●●，●●● 、 ●●●● ●ｌ，
０≤ ｔＳ１ ≤ ≤ ，
（）２
一１ ≥ ，≥ （１）一ｚ＋，ｏ０一，，ａ ∞ ｉ２ｌ。
口－／￣１％＞．Ｃ，）Ｅ（Ｒ，） ∈ （，）［＋３ △ １Ｊ３／０２ｏ（（Ｒ，Ｊ，ｃ，一ｏＣ，ｚ一户）ＪｆＣ￣ＲＲＲＲ，ｘＩ ∈ ），＋（）Ｊ＜（） ’ ：＋，＿且
１Ｊｃ：ｌｌ，么ＰＣ（Ｒ）ＢｎｃＰｌ｝，ｌｌ那，是ａａｈ空间，中其
ＩＩＩＩ— ｓｐＩ（）Ｉｕ￡．
—
定义２１若（）Ｐ，ｎＣ（，，（）￡ ∈ Ｃ（Ｒ）在Ｅ，］￡ ∈ Ｃ（Ｒ）Ｒ）ｐｔ３（）ｃ，，ｏ１上（），且（）￡＞０并￡满足
维普资讯
３０
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２００７血
是一（￡｛（）５￡，（）（）０一０ａ｛１＋（）１一０的第一特征值，￡是对应于（）￡）一｛）ａ｛０一５（５０｛（）；（）５５１｛（）５｛（）５的特征函数．（）设存在常数ｐ，Ｈｚ＞０满足Ｏ＜， ≤￡１时有ｆｔ３ ≤ ≤ ０ ≤ （，）ｃ，）Ｊ（ ≤ Ｐ，中 ≥Ｏ满足其，

具有多时滞脉冲单种群系统的正周期解

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｉｒｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｄｅｌａｙ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ；ｓｉｎｇｌｅ — ｓｐｅｃｉｅｓｓｙｓｔｅｍ
在实现生物资源可持续开发的前提下，追求最大产量或是最佳经济效益是人们对资源管理的两个基本
在上述模型中，如果考虑脉冲扰动的作用，便得到如下形式：Ｙ（ｔ）＝Ｙ（ｔ）［ｒ（ｔ）一ａ（ｔ）Ｙ（ｔ）一 ∑６（ｔ）Ｙ（ｔ — （ｔ））］，ｔ ≠ｔ
（２）
（１）
Ｙ（￡）＝（１＋）Ｙ（ｔ），ｔ＝ｔ，ｋ∈Ｚ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅａｓｉｎｇｌｅ — ｓｐｅｃｉｅｓｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｍｕｌｔｉ — ｔｉｍｅｄｅｌａｙｓ．ＢｙｕｓｉｎｇｔｈｅＣＯ —
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｓｒｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎｌｉａｔｉｅｓ，Ｅｎｓｈｉ４４５０００，Ｃｈｉｎａ）
且：
Ｙ（ｔ）＝，［０，＋ ∞］），（０）＞Ｏ
（３）

一个具有脉冲效应的Logistic系统的周期解

个解．
１预备知识
文中将用到以下假设：（）Ａ１０＜ｔ＜ｔ＜ … ＜ｔ＜ … 是固定的脉冲ｌ２＾
收稿日期：０７１—８２０ —２２
在假设（Ａ）一（）下，我们考虑非脉冲ＡＬｇｓｉｏｉｃ系统：ｔ
Ⅳ （￡）一ｂＮ（１，ｋ￡）
Ｉ（）．ｚ一Ｎ（）ｋｔ Ⅳ ｔ＝ｂ１Ｎ（）
（．０２）
的周期解的存在性，有一定的现实意义，中具其 Ⅳ（）ｆ代表种群在ｔ时刻的密度．
一
则函数 Ⅳ（）为系统（．）在［ｒ。）的ｆ称Ｏ２一，。上
维普资讯
第２卷第１５期
２０年３月０８
阜阳师范学院学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｏｙｎａｈｒｌｇ（ｔｒｌＳｉｎｅｏｒａｆＦｕａｇＴｅｃｅｓＣｏｌｅＮａｕａｃｅｃ）ｅ
维普资讯
阜阳师范学院学报（自然科学版）
．
第２卷５
其初值条件为（）＝￡，［ｒＯ，ｏ￡）ｔ∈ 一，ｌ（）
＞Ｏ ∈ Ｃ（一ｒＯ，Ｏ，［，］［，＋ｏ），。）
续．现在我们很容易检验￡（）＝ Ⅱ （１＋
Ｖｏ．５，Ｉ２Ｎ０．１
Ｍａ．２０８ｒ０
一
个具有脉冲效应的Ｌｇｓｉｏｉｔｃ系统的周期解
汪代明，秋鸿。冯春华。。杨，

带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解

带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解吕小俊;谢海平;吕鹏辉【摘要】通过使用一般连续定理和一些微积分技巧,研究带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的动力学特征,并获得该时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统存在四个正周期解的充分条件.最后,给出一个例子去验证结论的有效性.由时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统多解性的研究过程可知,收获项会影响食饵-捕食系统的多个正周期规则.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(045)004【总页数】9页(P396-404)【关键词】时滞;脉冲;食饵-捕食系统;Crowly-Martin;四个正周期解【作者】吕小俊;谢海平;吕鹏辉【作者单位】云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199【正文语种】中文【中图分类】O1751 引言在自然界中，捕食行为是很普遍的生物现象，所以利用食饵-捕食系统去描述生物种群的特征是有意义的.食饵-捕食系统由Lotka 和Volterra 在1926 年第一次提出，由于种群保护、维持生态平衡和种群管理等都依赖于食饵-捕食系统的动力学特征，所以研究食饵-捕食系统的动力学特征已成为一个新的热点，并得到很多优秀的结论[1-3，10-15].在传统Lotka-Volterra 模型中，生物学家发现捕食率不仅只依赖于食饵和捕食者种群密度的乘积，最终由Holling 提出功能反应函数的概念，功能反应函数反映捕食者在单位时间内捕食食饵的数量.并逐步提出各种类型的功能反应函数，例如Holling 型、Beddington-DeAngelis 型、Hassell-Varley 型和Crowly-Martin 型等.近年来，诸多学者已研究了带有功能反应函数的食饵-捕食系统的周期解、概周期解、多解和稳定性等问题[3-4，9-11].另外，生物种群在自然界中受到地震、洪水、干旱和人类干扰等突发因素的影响，从而影响生物种群的动力学特征.在生物数学中，人们利用脉冲来描述这类突发干扰，故脉冲生态系统倍受众多学者的关注，并得到很多优秀的成果(见文献[3，6，7，10]).在文献[3]中，作者利用积分中值定理和李亚普诺夫函数研究了以下带有脉冲和时滞的食饵-捕食系统(1)的概周期解，并得到该系统存在唯一稳定概周期解的充分条件.同时，随着人类经济社会的高速发展，生物资源的开发和对种群数量的定期收获已被广泛应用于渔业和野生动物管理中，因此，在食饵捕食系统中增加收获项是有必要的.且收获项会影响生物种群的多个周期和概周期现象(见文献[5-6，9]).据作者所知，至今很少有人研究带有脉冲和收获项的Crowly-Martin 型食饵-捕食系统的多解性问题.受以上启发，在本文中，利用一般连续定理和一些微积分技巧，研究脉冲影响的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)的多解性.这里:x(t)和y(t)分别表示t 时刻捕食者和食饵的种群密度，ri(t)表示内部增长率，di(t)表示相互的种群密度阻力，hi(t)＞0 表示收获速率，i=1，2. τj1 (t)(j1=1，2，3，4)表示非负变时滞函数，{ tk}k∈N+是一个严格递增的序列存在d2k.2 预备知识介绍一些基本概念和引理:引理1[8](一般连续定理)若X 和Z 均为Banach 空间，L:DomL⊂X→Z 是一个零指标的Fredholm 算子，N:，(x，λ)→N(x，λ)是一个L-压缩算子，连续映射P:X→X 和Q:Z→Z 满足:ImP=Ker L，ImL=Ker Q=Im(I-Q)，J:ImQ→Ker L 是一个同构映射.(a)对于任意λ∈(0，1)，x∈∂Ω∩DomL，有Lx≠λN(x，λ)；(b)对于任意x∈∂Ω∩KerL，有QN(x，0)≠0；(c)则对于任意的λ∈[0，1)，方程Lx=λN(x，λ)在集合Ω 上至少存在一个解，方程Lx=N(x，1)在Ω上至少存在一个解.这里:引理2 对于系统(2)和(3)，以下结论成立:1)如果(N1(t)，N2(t))T 是系统(3)的一个解，则是系统(2)的一个解.2)如果(x(t)，y(t))T 是系统(2)的一个解，则是系统(3)的一个解.证明:该定理的证明过程和参考文献[6]中引理3 类似，故在此不再重复.为了方便，介绍一些概念:这里f 是一个连续的ω 周期函数.为了分析脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)的多解性问题，需作如下假设:(H1)ri(t)，di(t)，hi(t)，ci(t)，α(t)，β(t)，τj1(t)(i=1，2，j1=1，2，3，4)均为有界非负的ω 周期函数，dj2k ＞-1(j2=1，2，k∈N+).引理3 对于等式，如果条件(H2)和(H3)成立，则以下的不等式成立.这里证明:该引理的证明过程和参考文献[5]中的引理2 类似，故在此不再重复.3 主要结论定理1 如果条件 (H1 )- (H3 )成立，则系统(2)至少存在四个ω-正周期解.证明:由指数变换N1(t)=eu(t)，N2(t)=ev(t)，重新改写系统(3)为:构造集合定义范数，显然，集合X 和Z 是赋予范数‖·‖的Banach 空间.令分析可知:KerL=R2，ImL是集合Z 上的闭子集，dimKer L=co dimIm L=2，则L 是一个零指标的Fredholm 算子.L 的广义逆算子这里:所以这里，显然，算子QN 和Kp(I-Q)N 是连续的，对于任意的有界开集Ω⊂X，和是相对压缩的，N 是集合上L-压缩的.接下来，考虑Lu=λN(u，λ)，即假设u=(u，v)T∈X 是系统Lu=λN(u，λ)的一个ω-正周期解，其中λ∈(0，1)，则存在ξi，ηi∈[0，ω]，满足:首先，对方程Lu=λN(u，λ)左右两边均从0 到ω 积分，可得:由(5)式的第一个等式可得:从而，由于，因此，结合不等式(6)和(7)，可得:故，又因为因此，∀t∈[0，ω]，有同理，由等式(5)的第二个式子，可得:从而即由于，因此，再次，由等式(5)的第二个式子，可得:所以即又因为，∀t∈[0，ω]，有由不等式(9)和(10)，∀t∈[0，ω]，有进一步，分析等式(5)的第一个式子，可得:由和不等式(12)，可得:从而，获得或当时，由条件 (H2 )，不难验证.故或同理，进一步，分析等式(5)的第二个式子，可得:因此，由不等式(9)和(13)，可得:进一步，可得:当时，由条件 (H3 )，不难验证.故或现构造四个不同的有界开区域Ωi⊂X(i=1，2，3，4).显然，，Ωi ( i= 1，2，3，4)满足引理1 中(a)的条件.接下来，验证引理1 中(b)的条件成立.利用反证法，假设当u=(u，v)T∈∂Ωi∩R2(i=1，2，3，4)时，QN(u，0)=0 成立，即常向量u=(u，v)T∈∂Ωi∩R2 满足:由引理3 可知lnl1- ＜u-＜lnk1-，这与u=(u，v)T∈∂Ωi 矛盾，故QN(u，0)≠0.因此，引理1 中(b)的条件成立.最后，验证引理1 中(c)的条件成立.接下来，考虑系统(14)的四个不同的解:(u1，v1)=(u+，v+)，(， =(u-，v-)，() =(u+，v-)，这里u± =v± = =容易验证:由于KerL=ImQ，令J=I，由Leray-Schauder 度的定义可得:∀i=1，2，3，4，有因此，引理1 中条件(c)成立.综上分析可知，系统(3)至少存在四个不同的ω-正周期解.结合引理2，进一步获得脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(2)至少存在四个不同的ω-正周期解.证毕.推论1 如果条件(和(成立，则带有脉冲的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)至少存在一个正ω-周期解.其中()ri(t)，di(t)，ci(t)，α(t)，β(t)，τj1(t)(i=1，2，j1=1，2，3，4)均为有界非负的ω 周期函数，＞-1(j2=1，2，k∈N+).说明:当h1(t)=h2(t)=0 时，利用定理1 的证明方法，只能找到一个有效的有界开区域Ω，无法找到4 个不同的有界开区域Ωi(i=1，2，3，4)，故并不能得到系统(1)存在四个不同的正周期解.因此，收获项会影响脉冲时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)的多个正周期规则.推论2 如果条件()，(H2)和(H3)成立，则带有脉冲和收获项的Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(4)至少存在四个不同的正ω-周期解.其中:()ri(t)，di(t)，hi(t)，ci(t)，α(t)，β(t)(i=1，2)均为有界非负的ω 周期函数，dj2k ＞-1(j2=1，2，k∈N+).说明:由定理1 的证明过程可知，时滞项τj1(t)(j1=1，2，3，4)不影响系统(2)的多个正周期规则.因此，系统(4)也至少存在四个不同的正ω-周期解.4 例子例1 分析时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(3)存在多个正周期解.其中，解：利用MATLAB 软件计算可得:因此，条件 ( H2)和 ( H3)成立，由定理1 可知，系统(3)存在四个不同的正周期解，周期为4.由引理2 可知，脉冲影响的时滞Crowly-Martin 型食饵-捕食系统(1)也存在四个不同的正周期解.参考文献【相关文献】[1]ZHAO KAIHONG，LI YONGKUN. Four positive periodic solutions to two species parasitical system with harvesting terms[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，59(1):2703-2710.[2]LI YONGKUN，ZHAO KAIHONG，YUAN YE.Multiple positive periodic solutions of n species delay competition systems with harvesting terms[J]. Nonlinear Analysis:Real World Applications，2011，12(1):1013-1022.[3]TIAN BAODAN，ZHONG SHOUMING，CHEN NING. Existence and stability of a unique almost periodic solution for a prey-predator system with impulsive effects and multiple delays[J]. Advances in Difference Equations，2016，187(1):1-23.[4]ZHANG CUIMEI，CHEN WEN CHENG，YANG YU. Periodic Solutions and Global Asymptotic Stability of a Delayed Discrete Predator-Prey System withHolling II Type Functional Response[J]. Journal of Systems Science and Complexity，2006，19(4):449-460.[5]吕小俊，张天伟，赵凯宏. 研究带有收获项的延迟Lotka-Volterra型区域竞争系统八个正周期解的存在性[J]. 应用数学学报，2016，39(2):237-248.[6]吕小俊，李周红，赵凯宏.带有脉冲和收获项的一类非自治延迟浮游生物系统四个正概周期解的存在性[J]. 昆明理工大学学报(自然学科版)，2016，41(4):139-145.[7]吕小俊，周华君，谢海平.在时间尺度上研究带有脉冲的泄漏时滞细胞神经网络反周期解的动态特征[J]. 数学的实践与认识，2016，46(5):153-161.[8]ROBERT E. GAINES，MAWHIN JEAN L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations，Lecture Note in Mathematics[M].Berlin:Springer，1977.[9]吕小俊，李睿，周华君.Holling-III 型食饵捕食系统的四个正周期解[J]. 数学的实践与认识，2019，49(3):289-293.[10]CHEN XIAO，DU ZENGJI.Existence of positive periodic solutions for a neutral delay predator-prey model withhassell-varley type functional response and impulse[J]. Qualitative theory of dynamical systems，2018，17:67-80.[11]LU HONGYING，YU GANG.Permanence of a Gilpin-Ayala predator-prey system with time-dependent delay[J]. Advances in Difference Equations，2015，230:109-124.[12]LU HONGYING. Periodicity and stability of an impulsive nonlinear competition model with infinitely distributed delays and feedback controls[J].Advances in Difference Equations，2016，16:282-306.[13]JEHAD ALZABUT. Dynamics of almost periodic solutions for a discrete Fox harvesting model with feedback control[J]. Advances in Difference Equations，2012，157:1-15.[14]LI YONGKUN，WANG PAN. Permanence and almost periodic solution of a multispeciesLotka-Volterra mutualism system with time varying delays on time scales[J]. Advances in Difference Equations，2015，230:1-29.[15]LI LING，LI YONGKUN，YANG LI. Almost periodic solutions for neutral delay Hopfield neural networks with time-varying delays in the leakage term on time scales[J]. Advances in Difference Equations，2014，178:1-22.。

一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题的正解

近年来，用单调迭代技巧的上解和下解的利
方法讨论一阶泛函微分方程的周期边值问题
（Ｂ）的存在性，ＰＶＰ解已获得了若干较好的结果，然而利用单调迭代方法讨论周期边值问题解的存在性，其证明均是构造性的，且要求ｆ（，关并ｔ）于满足单调性条件，时在应用中需要寻找上同
解和下解。但在一般情况下，找上解和下解比寻较困难。众所周知，上的不动点定理在微分方锥程两点边值问题正解的存在性研究中发挥了重要
ｌ
ｌ
一Ｉ（），走一１２ … ，）ｋ（）（，，
ｉｔｎｅｏｏｉｖｅｉｄｃｓｌｔｎｔｈｑａｉｎａｅｏｔｉｅ．ｓｅｃｆｐｓｔｅｐｒｏｉｏｕｉｏｔｅｅｕｔｒｂａｎｄｉｏｏＫｅｒｓＦｕｃｉｎｌｉｅｅｔｌｅｕｔｏｙｗｏｄ：ｎｔｏａｆｒｎｉｑａｉｎ；ｉｐｌｅ；Ｐｅｉｄｃｂｕｄｒａｕｄｆａｍｕｓｓｒｏｉｏｎａｙｖｌｅ
ｚ（）一．（）０２１．２
（．１１）
的正解的存在性。其中
ｆ（ ×ｎ，，一［，］一ｃ［，］Ｒ，ＥＣＪＲ）Ｊ０１，（一ｒｏ，）
０ｚ ∈ ，（）．一ｚ（＋［ｔ～ｒ ≤ ￡），ＥＪ， ≤ Fra bibliotek１引

脉冲响应函数cholesky

脉冲响应函数Cholesky1. 概述在信号处理和系统建模中，脉冲响应函数是一个重要的概念。

它描述了系统对突然输入的响应，是系统的重要特征之一。

在实际应用中，我们常常需要利用脉冲响应函数来分析系统的性能和特性。

Cholesky分解则是一种用来求解线性方程组和矩阵求逆的数值方法。

本文将介绍脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

2. 脉冲响应函数的基本概念脉冲响应函数是描述系统对突然输入的响应的函数。

在信号处理中，我们经常用脉冲响应函数来描述系统对瞬变输入的响应。

在时域中，脉冲响应函数可以用冲激响应来描述，通常用h(t)表示。

在频域中，脉冲响应函数可以用系统的频率响应来表示，通常用H(ω)表示。

3. Cholesky分解的基本原理Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角阵的方法。

对于一个对称正定矩阵A，可以将其分解为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。

Cholesky分解的求解过程很简单，可以通过矩阵的迭代求解来实现。

4. 脉冲响应函数与Cholesky分解的关系在实际系统中，我们经常需要利用脉冲响应函数描述系统的响应。

而系统的响应可以通过系统的传递函数来描述。

对于一个线性时不变系统，其传递函数与脉冲响应函数存在一定的关系。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

5. Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用在实际应用中，我们经常需要根据系统的脉冲响应函数来计算系统的传递函数。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

Cholesky分解可以帮助我们快速且准确地求解系统的传递函数，从而进一步分析系统的性能和特性。

6. 结论本文介绍了脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

在实际系统建模和信号处理中，这两个概念是非常重要的。

通过深入理解脉冲响应函数和Cholesky分解的原理及应用，可以帮助我们更好地分析和优化系统性能，为实际工程应用提供帮助。

一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性

１９９７年，ｉ利用Ｍａｉ续定理，论了～类具常时滞的周期系数的中立型泛函微分方程．０１年，ＬＪｗｈｎ连讨２０Ｆｎ［讨论了方程（）并且对文献［］中公开问题给出了解答．０３年，ｕ６研究了如下方程正周期解的ａｇ５］２，３２０Ｌ［］
ｚ（（ｋ￡）一ｔ）：ｌ（ｎ１十Ｊ）ｃ，２
即
、
￡：
∈ Ｎ．
‘）４
收稿日期：０９—０２０３—１０
基金项目：湖南省教育厅２０年科技项目（６０２；０６０Ｃ４）湖南工学院２０年科研项目（Ｙ８２）０８Ｈ００６作者简介：盛洁波（９９，，１６一）女湖南人，讲师，主要研究方向：微分方程．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性
盛洁波陈福来２，
（．１湖南工学院基础课教学部，湖南衡阳４１０；．２０２２湘南学院数学系，湖南郴州４３０）２００
摘要：一个实际生态系统，常受到周围环境变化以及人类活动的影响，因而在生态系统建模中应该考虑脉冲的存在．现有的研究过多局限在具有常时滞的周期系统的中立型泛函微分方程，对具有脉冲的中立型时滞微分方程模型研究较少．本文利用重合度理论，究了一类具有脉冲的中立型时研
—
１］本文利用重合度理论，３．讨论方程（）１的正周期解的存在性。
１预备知识

一类三阶常系数脉冲微分方程周期解的存在性

中图分类号：７．Ｏ１５１文献标识码：Ａ
引言
二阶微分方程在电子学，工程力学和生物学等问题中有很多应用．近年来，冲现象广泛应用于微脉分方程中．文献［～５对此作了深入的理论研究，１］由此开创了近年来研究脉冲微分方程的理论基础．文献［，］６７特别就脉冲方程周期解的存在性问题做了很多理论分析，出了若干判别准则，提并举出了许多应用的例子，考虑下述一个二阶脉冲微分方程周期解的存在性问题：如
３
ｆ一３ｃ一３
２一
１
２
。
（一）３２
３
一３２；一１３一一１ — ；
ＸＩ０＝（）
ｘ
）：（一）３１（一２（一）３２
一
１
（３１；一）一
。２
（２）一
（）：Ｘ（）ｔｔＸ（）＝０
ｅ＾１￡ｅ＾２ｅａ３￡
３
（３２一）
３
一３２；一一。
２１一 —Ａ
１
１ｅ１ｅ
２ｅ２ｅａ２
３ｅａ３
一
（一）｜一）３＝）２１（Ｌ（一．＝３Ｌ
摘
要：二阶非齐次常系数脉冲微分方程周期解的存在性的结果推广到三阶非齐次常系数脉冲微分方程将

脉冲时滞Lotka-Volterra食物链系统的正周期解

脉冲时滞Lotka-Volterra食物链系统的正周期解陈应生;汪东树【摘要】利用一些分析技巧和重合度理论,得到一类具有脉冲和时滞Lotka-Volterra食物链系统存在正周期解的新结果.所得的结论表明：脉冲是对该食物链系统正周期解存在性是有影响的.特别地,在每个种群的内禀增长率（出生率a1和死亡率a2,a3）、种群间相互作用率（捕食率b1,2,b2,3和消化率b2,1,b3,2）,以及非线性种内干扰反应系数αi,j都确定的情况下,可以通过适当控制每个种群的（投放率或收回率）hi,k,使每个种群达到平衡（即存在正周期解）.【期刊名称】《华侨大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2012(033)002【总页数】7页(P218-224)【关键词】时滞;脉冲;Lotka-Volterra食物链系统;周期解;重合度理论【作者】陈应生;汪东树【作者单位】华侨大学数学科学学院,福建泉州362021【正文语种】中文【中图分类】O175.6对于生物种群系统的持续生存和正周期解的存在性，许多学者已经进行了深入研究，并取得了许多结果［1-5］.文献［1，3］分别研究了具时滞的3种群食物链系统，得到系统存在ω正周期解的一些结果.对于种群生态学而言，脉冲效应是经常存在的，因此研究脉冲种群系统更具有实际意义.本文利用重合度理论，研究脉冲和时滞的非自治周期Lotka－Volterra食物链系统的正周期解的存在性问题.系统（1）满足以下3个假设：1）0＜t1＜t2＜…＜tp＜ω，tk＋p＝tk＋ω且∞，k＝1，2，…；2）｛hi，k｝是一个实序列hi，k，可看成是种群xi 在tk 时刻的出生率或收获比率，且hi，k＞－1，hi，k＝hi，（k＋p），i＝1，2，3，k＝1，2，…；3）ai（t），bi，j（t），τi，j（t）是非负连续的ω 周期函数，且满足是正常数，i，j＝1，2，3.设X，Z是赋范向量空间，L∶DomL⊂X→Z为线性映射，N∶X→Z连续映射.若dim ker L＝co dim ImL＜＋∞，且ImL为Z中闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射.如果L是指标为零的Fredholm映射，且存在连续投影P∶X→X 及Q∶Z→Z，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（IQ），X＝Ker L⊕Ker P和Z＝ImL⊕ImQ，则∶DomL∩Ker P→ImL可逆.设逆映射为KP，Ω为X中的有界开集，若QN∶¯Ω→Z与KP（I－Q）N∶→X都是紧的，则称N在上是L－紧的.由于ImQ与Ker L同构，因而存在同构映射J∶ImQ→Ker L.引理1［6］设X，Z，L，N如上定义，而且L是指标为零的Fredholm映射.又设Ω为X 中的有界开集，N在上是L－紧的.假设1）对任意的λ∈（0，1），方程Lx＝λNx的解满足2）对任意的x∈∂Ω∩Ker L，QNx≠0；3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩Ker L，0｝≠0，J，Q如上定义，则方程Lx＝Nx 在DomL∩内至少存在一个解.为运用重合度理论证明主要的结论，需要引入一些函数空间.记定理1 在系统（1）中，若系数函数满足，以及R3＞0，则系统（1）至少存在一个ω正周期解.证明变换yi（t）＝exp｛xi（t）｝，i＝1，2，3，则系统（1）可化为记显然，如果系统（1）有一个ω－周期解，那么就有＝就是系统（1）的正的ω－周期解 .因此，只须证明系统（1）存在一个ω－周期解.现定义线性算子L∶DomL⊂X→Z为又定义算子N∶X→Z为又定义投影算子P∶X→X及Q∶Z→Z为设x＝（x1（t），x2（t），x3（t））T∈X 是系统（7）对应于某一λ∈（0，1）的解，将式（7）的两端从0到ω进行积分，可得为了方便讨论，不妨设（14），（15）中的第1式成立，至于其他情况，则同理可得以下相同的估计.首先估计xi（t）（i＝1，2，3）的上界.由式（9），（15）可得于是有因此，由引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（10）和式（15）可得于是有从而由式（13）与式（20）可知由式（12），（18），（21）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（9）和式（15）可得即有这里ω¯b2，1（exp（α2，1H1）－R2）＞0是由条件保证的，故有由式（13），（24）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有下面估计xi（t）（i＝1，2，3）的下界.由式（9），（14）和（22）可知从而有由式（11），（26）及引理2可知，当，有又由式（10）和（14）可知从而有于是，由式（12），（28）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有由式（9），（14）和式（28）可知故有由式（13），（30）及引理2可知，当t∈［0，ω］时，有令，由式（18），（22），（25），（27），（29），（31）的讨论可知‖x‖≤H.显然，正常数H与λ（λ∈（0，1））是无关的.由已知条件易知，代数方程组有唯一正解，记M＝H＋C.其中，C充分大使得.令Ω＝｛x＝（x1，x2，x3）T∈X∶‖x‖＜M｝，则Ω满足引理1中的条件1）.当x∈Ker L∩∂Ω时，x是R3中的常值向量且‖x‖＝M，于是有即引理1中的条件2）也被满足.下面证明引理1中的条件3）也成立.从而引理1中的条件3）也满足.因此，系统（1）至少有一个ω－周期解，从而系统（1）至少存在一个正的ω－周期解.下面分别考虑文献［1，3］中研究的具时滞的3种群食物链系统由定理1可得如下定理.定理2 如果系统（32）中的系数函数满足其中：，则系统（1）至少存在一个ω正周期解.注1 定理2的结果与文献［1］中的主要结果是不相同的，不被文献［1］中的主要结果所包括.定理3 如果系统（33）中的系数函数满足.其中：Δ1＝，则系统（33）至少存在一个ω正周期解.注2 定理3的条件要比文献［3］中的结果成立的条件弱得多，即结论推广并改进了文献［3］中的主要结果.显然，系统（1）包含了系统（32），（33）.利用重合度理论研究系统（1）的正周期解存在性问题，得出了脉冲对系统（1）的正周期解存在是有影响的新结果.当应用得到的结果研究系统（32），（33）的正周期解存在性问题时，推广并改进了文献［1，3］中的相关结果.这一研究无论是在理论上，还是在物种保护的应用上，都具有广泛的前景和重大意义.【相关文献】［1］张树文，陈兰荪.具有偏差变元的三种群食物链系统的全局正周期解的存在性［J］.数学杂志，2003，23（1）：125－28.［2］汪东树，王全义.一类具时滞和比率的扩散系统正周期解［J］.华侨大学学报：自然科学版，2006，27（4）：358－361.［3］SHEN Chun－xia.Positive periodic solution of a kind of nonlinear food－chain system ［J］.Appl Math Comp，2007，194（1）：234－242.［4］SAITO Y.Permanence and global stability for general Lotka－Volterra predator prey systems with distributed delays［J］.Nonlinear Anal，2001，47（9）：6157－6168.［5］KORMAN P.Some new results on the periodic competition model［J］.J Math Anal Appl，1992，171（1）：131－138.［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations ［M］.Berlin：Springer－Verlag，1977：40－60.［7］WANG Qi，DAI Bin－xiang，CHEN Yu－ming.Multiple periodic solutions of an impulsive predator－prey model with Holling－typeⅣfunctional response［J］.Math Comput Modelling，2009，49（9／10）：1829－1836.。

一类广义Li

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):699-708一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性崔笑笑,程志波,姚绍文(河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000)摘要：本文证明一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性及渐近稳定性.我们讨论的非自治函数可满足超线性条件,克服了连续定理讨论超线性条件的困难.文章的最后,我们给出两个例子和数值解以及对应的相图和时间序列图来验证我们的结论.关键词：广义Li´e nard方程;周期正解;渐近稳定性中图分类号：O175.12AMS(2000)主题分类：34C25文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0699-101.引言Li´e nard方程[1]x′′+f(x)x′+g(x)=0(1.1)作为一个简化模型出现在科学和工程的许多领域,由于它可以用来模拟振荡电路或者简单的钟摆运动,在20世纪上半叶,人们对它进行了深入的研究.例如,Van der Pol振荡器x′′−µ(1−x2)x′+x=0就是一个Li´e nard方程.近些年,许多学者对Li´e nard方程的周期解做了大量的研究[5−12].例如:2005年,张荣森和任景莉在文[4]中讨论了Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(t,x(t))x′(t)+β(t)g(x(t−τ(t)))=e(t)(1.2)的周期解的存在性,其中自治函数g(x)满足半线性条件lim |x|→+∞supg(x)x≤r.2009年,蒙华和龙飞在文[7]中研究了一类Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t))=e(t),(1.3)证明了方程(1.3)存在一个周期解.受文[4,7]的启发,本文我们考虑了一类广义Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(t,x(t))x′(t)+g(t,x(t))=e(t),(1.4)其中ϕp(s)=|s|p−2s,p≥2是常数,f,g∈C(R×R,R)是关于第一个变量t的T-周期函数, e(t)∈C(R,R)是一个T-周期函数.利用Man´a sevich-Mawhin连续定理,我们给出了下面的结论.定理1.1假设下列条件成立:∗收稿日期：2018-08-29基金项目：国家自然科学基金(11501170),中国博士后基金(2016M590886)通迅作者：姚绍文,男,汉族,河南人,副教授,研究方向：常微分方程与动力系统.700应用数学2019(H1)存在正常数a和b,使得对一切(t,x)∈[0,T]×R,有0<|f(t,x)|≤a|x|p−2+b;(H2)存在正常数D,使得对一切(t,x)∈[0,T]×(D,+∞),有g(t,x)−e(t)<0,并且对一切(t,x)∈[0,T]×(−∞,0],有g(t,x)−e(t)>0.则方程(1.4)在下列一种条件下至少有一个T-周期正解,(I)p=2,且(a+b)T2<1；(II)p>2,且aT p−12p−1<1.注1.1本文与文[4]有很大的不同.方程(1.2)中自治函数g(x)满足半线性条件,而方程(1.4)中非自治函数g(t,x)仅仅只需要满足条件(H2),这也就是说,g可以满足次线性条件,半线性条件和超线性条件.因此本文的结论改进和扩展了文[4]的结论.注1.2与方程(1.3)相比,方程(1.4)中的摩擦系数由f(x)变为了f(t,x),摩擦项的积分∫Tf(t,x(t))x′(t)d t=0,在估计方程周期解的先验界时难度大大增加,所以文[7]中的方法不再适用,这就要求我们需要寻找其他方法克服这一困难.在这里还需要特别说明的是,当f(t,x(t))≡f(x(t))时,方程(1.4)转化成了方程(1.3),文[7]是本文的一个特例.作为定理1.1的应用,我们能得到下面的推论.推论1.1假设条件(H2)成立,方程(1.3)至少有一个T-周期正解.注1.3本文证明的是方程(1.4)周期正解的存在性,而文[4,7]中仅仅证明的是周期解的存在性,因此本文是对文[4,7]进一步的深入研究.随后,我们研究方程(1.1)周期解的全局渐近稳定性.设F(x)=∫xf(u)d u.定理1.2假设f(0)=0,g(0)=0成立,更进一步假设下列条件成立:(H3)存在正常数D1,D2,使得对一切x∈(−∞,−D1),有g(x)<0,并且对一切x∈(D2,+∞),有g(x)>0;(H4)存在正常数c和d,使得对一切x∈R,有|g(x)|≤c|x|+d;(H5)对一切x∈R,有g(x)≥x;(H6)对一切x∈R,有xF(x)>0.则如果cT24<1,方程(1.1)有唯一全局渐近稳定的周期解x∗(t)=0.2.主要结论首先考虑方程(1.4)的同伦方程(ϕp(x′(t)))′+λf(t,x(t))x′(t)+λg(t,x(t))=λe(t).(2.1)为了方便表示,我们定义∥x∥:=maxt∈[0,T]|x(t)|,∥x′∥:=maxt∈[0,T]|x′(t)|.利用Man´a sevich-Mawhin连续定理(文[14]中的定理3.1),我们得到了下面的引理.引理2.1假设存在常数E1,E2使得下列条件成立:(i)对于方程(2.1)的每一个解x(t)都有∥x∥<E1和∥x′∥<E2成立;(ii)对于方程∫T(g(t,C)−e(t))d t=0的每一个解C都满足|C|<E1;(iii)∫T0(g(t,−E1)−e(t))d t·∫T(g(t,E1)−e(t))d t<0.第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard 方程周期正解的存在性701则方程(1.4)至少有一个T -周期解.接下来,我们证明方程(1.4)至少有一个T -周期正解.对定理1.1的证明首先,我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的.令x (t )∈C 1T是方程(2.1)的任意一个T -周期解.我们断言存在ξ∈[0,T ],使得|x (ξ)|≤D.(2.2)事实上,因为∫T0x ′(t )d t =0,所以存在t 1,t 2∈(0,T ),使得x ′(t 1)≥0,x ′(t 2)≤0,则ϕp (x ′(t 1))=|x ′(t 1)|p −2x ′(t 1)≥0,ϕp (x ′(t 2))=|x ′(t 2)|p −2x ′(t 2)≤0.令t 3,t 4∈(0,T )分别是ϕp (x ′(t ))的极大值点,极小值点,则(ϕp (x ′(t 3)))′=(ϕp (x ′(t 4)))′=0,且ϕp (x ′(t 3))=|x ′(t 3)|p −2x ′(t 3)≥0,ϕp (x ′(t 4))=|x ′(t 4)|p −2x ′(t 4)≤0,那么x ′(t 3)≥0,x ′(t 4)≤0.把t 3代入方程(2.1)得(ϕp (x ′(t 3)))′+λf (t 3,x (t 3))x ′(t 3)+λg (t 3,x (t 3))=λe (t 3).(2.3)因为(ϕp (x ′(t 3)))′=0,方程(2.3)化为g (t 3,x (t 3))−e (t 3)=−f (t 3,x (t 3))x ′(t 3).(2.4)由条件(H 1)可知f (t,x )不变号,不妨设f (t 3,x (t 3))>0,又x ′(t 3)≥0,由方程(2.4),g (t 3,x (t 3))−e (t 3)≤0.由条件(H 2),我们可得x (t 3)>0.同理可得g (t 4,x (t 4))−e (t 4)=−f (t 4,x (t 4))x ′(t 4),g (t 4,x (t 4))−e (t 4)≥0,x (t 4)≤D.(2.5)(i)若x (t 3)∈(0,D ),令ξ=t 3,则|x (ξ)|<D .(ii)若x (t 3)∈[D,+∞),由方程(2.5)及x (t )关于t 的连续性,存在常数ξ且x (ξ)∈[x (t 4),x (t 3)],使得|x (ξ)|=D .这就证明了方程(2.2).接着我们有|x (t )|= x (ξ)+∫t ξx ′(s )d s≤D +∫t ξ|x ′(s )|d s,t ∈[ξ,ξ+T ],并且|x (t )|=|x (t −T )|=x (ξ)−∫ξt −Tx ′(s )d s ≤D +∫ξt −T |x ′(s )|d s,t ∈[ξ,ξ+T ].结合上面两个不等式,我们得到∥x ∥=max t ∈[0,T ]|x (t )|=max t ∈[ξ,ξ+T ]|x (t )|702应用数学2019≤maxt∈[ξ,ξ+T]{D+12(∫tξ|x′(s)|d s+∫ξt−T|x′(s)|d s)}≤D+12∫T|x′(t)|d t.(2.6)对方程(2.1)左右两边同时乘以x(t)并且在[0,T]上积分,我们得到∫T0(ϕp(x′(t)))′x(t)d t+λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫Tg(t,x(t))x(t)d t=λ∫Te(t)x(t)d t.(2.7)由于∫T(ϕp(x′(t)))′x(t)d t=−∫T|x′(t)|p d t,将其代入方程(2.7)可得∫T|x′(t)|p d t=λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫T(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t.(2.8)设G1:={x≤0,t∈R},G2:={0<x≤D,t∈R},G3:={x>D,t∈R},则方程(2.8)可化为∫T0|x′(t)|p d t=λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫G1(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t+λ∫G2(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t+λ∫G3(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t.(2.9)由条件(H2),我们有∫G1(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t≤0,∫G3(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t<0,则方程(2.9)可化为∫T0|x′(t)|p d t≤λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫G2(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t≤∫T|f(t,x(t))||x′(t)||x(t)|d t+∫G2|g(t,x(t))||x(t)|d t+∫G2|e(t)||x(t)|d t ≤∫T(a|x|p−2+b)|x′(t)||x(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥≤(a∥x∥p−1+b∥x∥)∫T|x′(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥≤(a(D+12∫T|x′(t)|d t)p−1+b(D+12∫T|x′(t)|d t))∫T|x′(t)|d t +DT∥g D∥+DT∥e∥=a2p−1(1+2D∫T|x′(t)|d t)p−1(∫T|x′(t)|d t)p+b2(∫T|x′(t)|d t)2 +bD∫T|x′(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥,(2.10)其中∥e∥:=maxt∈[0,T]|e(t)|,∥g D∥:=max(t,x)∈[0,T]×(0,D]|g(t,x(t))|.下面介绍一个经典的不等式,存在只依赖于p的常数k(p)>0使得(1+x)p≤1+(1+p)x,x∈(0,k(p)).(2.11)接下来,我们考虑下面的两种情况.第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard 方程周期正解的存在性703情况一如果2D∫T 0|x ′(t )|d t <k (p ).利用不等式(2.11),方程(2.10)转化为∫T0|x ′(t )|p d t ≤a 2p −1(1+(1+p −1)2D ∫T 0|x ′(t )|d t )(∫T0|x ′(t )|d t )p +b2(∫T 0|x ′(t )|d t)2+bD ∫T|x ′(t )|d t +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥=a 2p −1(∫T|x ′(t )|d t )p +aDp 2p −2(∫T 0|x ′(t )|d t )p −1+b2(∫T 0|x ′(t )|d t)2+bD∫T|x ′(t )|d t +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.(2.12)由H¨o lder 不等式可得∫T0|x ′(t )|d t ≤T1q(∫T|x ′(t )|p d t )1p,其中1p +1q=1.把上式代入方程(2.12),我们得到∫T 0|x ′(t )|p d t ≤a 2p −1T p q ∫T 0|x ′(t )|p d t +aDp 2p −2T p −1q (∫T 0|x ′(t )|p d t )p −1p+b2T 2q(∫T 0|x ′(t )|p d t )2p +bDT 1q (∫T|x ′(t )|p d t )1p +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.(2.13)(I)若p =2,则q =2,把p =2,q =2代入方程(2.13)可得∫T|x ′(t )|p d t ≤aT 2∫T 0|x ′(t )|p d t +bT 2∫T 0|x ′(t )|p d t +2aDT 12(∫T 0|x ′(t )|p d t)12+bDT 12(∫T 0|x ′(t )|pd t )12+DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥=(a +b )T 2∫T0|x ′(t )|p d t +2aDT 12(∫T|x ′(t )|p d t )12+bDT 12(∫T|x ′(t )|p d t)12+DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.从上式可以很容易地看出当(a +b )T2<1时,∫T|x ′(t )|p d t 有界,即存在常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|p d t ≤M ′1.(2.14)(II)若p >2,则由方程(2.13)很容易地看出当aT pq2p −1=aT p (1−1p )2p −1=aT p −12p −1<1时,∫T 0|x ′(t )|pd t 有界,同(I),存在常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|p d t ≤M ′1.由方程(2.6),H¨o lder 不等式及方程(2.14),我们有∥x ∥≤D +12∫T 0|x ′(t )|d t ≤D +12T 1q (∫T 0|x ′(t )|p d t )1p ≤D +12T 1q (M ′1)1p:=M 11.(2.15)情况二如果2D∫T 0|x ′(t )|d t ≥k (p ).那么有∫T|x ′(t )|d t ≤2Dk (p ).(2.16)704应用数学2019由方程(2.6)和方程(2.16)可得∥x∥≤D+12∫T|x′(t)|d t≤D+Dk(p):=M12.令M1=max{M11,M12},则∥x∥≤M1.(2.17)因为x(0)=x(T),所以存在一点t5∈(0,T)使得ϕp(x′(t5))=|x′(t5)|p−2x′(t5)=0,则我们可得|ϕp(x′(t))|=ϕp(x′(t5))+∫tt5(ϕp(x′(s)))′d s≤∫tt5|(ϕp(x′(s)))′|d s≤λ∫T|f(t,x(t))||x′(t)|d t+λ∫T|g(t,x(t))|d t+λ∫T|e(t)|d t≤∥f∥∫T|x′(t)|d t+∥g∥T+∥e∥T≤∥f∥T1q(M′1)1p+∥g∥T+∥e∥T:=M′2,(2.18)这里∥f∥:=max(t,x)∈[0,T]×(0,D]|f(t,x(t))|.接下来,我们证明存在M2>M′2+1,使得对一切t∈R,都有∥x′∥≤M2.(2.19)事实上,假设x′(t)无界,那么一定存在正常数M′′2,使得对某些x′(t)有∥x′∥>M′′2成立,那么我们有∥ϕp(x′)∥=∥x′∥p−1≥(M′′2)p−1,这与方程(2.18)矛盾,所以方程(2.19)成立.令E1>M1,E2>M2为常数,从方程(2.17)和方程(2.19)能得到对于方程(2.1)的每一个解x(t)都有∥x∥<E1,∥x′∥<E2.所以引理2.1的条件(i)成立.由条件(H2),对于方程∫T(g(t,C)−e(t))d t=0的每一个解C都满足|C|<E1.所以引理2.1的条件(ii)成立.从方程(2.15)我们知道E1>D,−E1<0.所以从条件(H2)我们能得到∫T0(g(t,−E1)−e(t))d t>0,∫T(g(t,E1)−e(t))d t<0.所以引理2.1的条件(iii)成立.假设x(t)是方程(1.4)的一个T-周期解,令¯t是x(t)在[0,T]上的最小值点,那么x′(¯t)=0,(2.20)并且我们能得到(ϕp(x′(¯t)))′≥0.(2.21)事实上,如果(ϕp(x′(¯t)))′<0,那么会存在ε>0使得对于t∈(¯t−ε,¯t+ε)有(ϕp(x′(t)))′<0,因此ϕp(x′(t))在t∈(¯t−ε,¯t+ε)上是严格递减的.由ϕp(x′(t))=|x′(t)|p−2x′(t),我们知道第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性705x′(t)在t∈(¯t−ε,¯t+ε)上也是严格递减的,这与¯t的定义矛盾,因此方程(2.21)成立.把方程(2.20)和方程(2.21)代入方程(1.4)可得g(¯t,x(¯t))−e(¯t)≤0.由条件(H2),有x(¯t)>0,因此对一切t∈R,有x(t)≥mint∈[0,T]x(t)=x(¯t)>0.这说明方程(1.4)至少有一个T-周期正解.3.周期解的渐近稳定性定义3.1如果x∗(t)是方程(1.1)的一个周期解,x(t)是方程(1.1)的任意一个解并且满足limt→+∞|x∗(t)−x(t)|=0,那我们称x∗(t)是全局渐进稳定的.对定理1.2的证明步1考虑方程(1.1)周期解的存在性.首先对方程(1.1)的同伦方程x′′(t)+λf(x(t))x′(t)+λg(x(t))=0(3.1)两边同时在[0,T]上积分并化简得∫Tg(x(t))d t=0.由积分中值定理,存在一点η∈(0,T)使得g(x(η))=0.由条件(H3)可知,−D1≤x(η)≤D2.令D∗=max{D1,D2},则|x(η)|≤D∗.由方程(2.6)可得∥x∥≤D∗+12∫T|x′(t)|d t.(3.2)对方程(3.1)左右两边同时乘以x(t)并且在[0,T]上积分并化简可得∫T0|x′(t)|2d t=λ∫Tg(x(t))x(t)d t≤∫T|g(x(t))||x(t)|d t.(3.3)由条件(H4),方程(3.3)化为∫T0|x′(t)|2d t≤∫T(c|x(t)|+d)|x(t)|d t=cT∥x∥2+dT∥x∥≤cT(D∗+12∫T|x′(t)|d t)2+dT(D∗+12∫T|x′(t)|d t)=cT4(∫T|x′(t)|d t)2+(cD∗T+12dT)∫T|x′(t)|d t+D∗T(cD∗+d)≤cT24∫T|x′(t)|2d t+(cD∗+12d)T32(∫T|x′(t)|2d t)12+D∗T(cD∗+d).706应用数学2019由于cT 24<1,我们能够检验存在一个正常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|2d t ≤M ′′1.(3.4)由方程(3.2),H¨o lder 不等式及方程(3.4),我们有∥x (t )∥≤D ∗+12∫T 0|x ′(t )|d t ≤D ∗+12T 12(∫T 0|x ′(t )|2d t)12≤D ∗+12T 12(M ′′1)12:=M ∗1.余下对周期解x ∗(t )的存在性证明与定理1.1的证明过程类似,此处省略.步2考虑方程(1.1)的周期解x ∗(t )是全局渐近稳定的.方程(1.1)可转化为方程组{x ′1(t )=x 2(t )−F (x 1(t ))x ′2(t )=−g (x 1(t )),(3.5)其中F (x )=∫xf (u )d u.由f (0)=0,g (0)=0可知x ∗(t )=0是方程(1.1)唯一的周期解,即x ∗(t )=(0,0)T 是系统(3.5)唯一的周期解,设x (t )=(x 1(t ),x 2(t ))T 是系统(3.5)的任意一个解.对系统(3.5),我们选择形如下式的李雅普诺夫函数,V (x 1,x 2)=12(x 21+x 22),由条件(H 5)和(H 6),V (x 1,x 2)沿着系统(3.5)轨线的全导数为˙V (x 1,x 2)=x 1x ′1+x 2x ′2=x 1(x 2(t )−F (x 1(t )))−x 2g (x 1(t ))≤x 1x 2(t )−x 1F (x 1(t ))−x 1(t )x 2=−x 1F (x 1(t ))<0.由Barbalat 引理[16]可知,limt →+∞n ∑i =1|x i (t )|=0,即lim t →+∞|x (t )|=0.自此定理1.2得证.4.例子接下来,通过例子,相图和时间序列图来阐明我们的定理.例4.1考虑下面的二阶广义Li´e nard 方程x ′′(t )+(e −|x |sin(20t )+3)x ′(t )−2x 3(2−sin(20t ))+4=cos(20t ).(4.1)对比方程(4.1)和方程(1.4)可知,f (t,x (t ))=e −|x |sin(20t )+3,并且满足0<|f (t,x (t ))|=|e −|x |sin(20t )+3|≤4,即满足条件(H 1),其中a +b =4.g (t,x (t ))=−2x 3(2−sin(20t ))+4,e (t )=cos(20t ),T =π10.取D =2,可以得到当x ∈(D,+∞)时,g (t,x (t ))−e (t )<0,当x ∈(−∞,0]时,g (t,x (t ))−e (t )>0,即满足条件(H 2).接下来我们验证条件(a +b )T 2=4×π102≈0.6<1,第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性707图4.1π10-周期解对应的相图及时间序列图:(a)初始值为(1,0.103331)的π10-周期解的相图;(b)π10-周期解的时间序列图成立.因此,通过定理2.1可得方程(4.1)至少有一个π10-周期正解.例4.2考虑下面的p-Laplacian广义Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+(x2(sin(6t)+1)+2)x′(t)−x3(cos(6t)+2)+2=cos(6t),(4.2)这里我们取p=4.对比方程(4.2)和方程(1.4)可知,f(t,x(t))=x2(sin(6t)+1)+2,并且满足0<|f(t,x(t))|=|x2(sin(6t)+1)+2|≤2x2+2,即满足条件(H1),其中a=2,b=2.g(t,x(t))=−x3(cos(6t)+2)+2,e(t)=cos(6t),T=π3.取D=2,可以得到当x∈(D,+∞)时,g(t,x(t))−e(t)<0,当x∈(−∞,0]时,g(t,x(t))−e(t)>0,即满足条件(H2).接下来我们验证条件aT p−1 2p−1=2×(π3)323≈0.3<1成立.因此,通过定理2.1可得方程(4.2)至少有一个π3-周期正解.图4.2π3-周期解对应的相图及时间序列图:(a)初始值为(1.0236,0.04985)的π3-周期解的相图;(b)π3-周期解的时间序列图708应用数学2019参考文献：[1]LI´ENARD A.Etude des oscillations entretenues[J].Rev.Gen.Elec.,1928,23:901-912.[2]LU Shiping,GE Weigao.Periodic solutions for a kind of Li´e nard equation with a deviating argumen-t[J].J.Math.Anal.Appl.,2004,289(1):231-243.[3]CHEUNG W S,REN Jingli.Periodic solutions for p-Laplacian Li´e nard equation with a deviatingargument[J].Nonlinear Anal.,2004,59(1-2):107-120.[4]CHEUNG W S,REN Jingli.On the existence of periodic solutions for p-Laplacian generalized Li´e nardequation[J].Nonlinear Anal.,2005,60(1):65-75.[5]POURNAKI M R,RAZANI A.On the existence of periodic solutions for a class of generalized forcedLi´e nard equations[J].Appl.Math.Lett.,2007,20(3):248-254.[6]DU Bo,ZHAO Xiangkui.A new method for the existence of periodic solution to a p-Laplacian Li´e nardequation[J]put.,2009,29(1-2):481-490.[7]MENG Hua,LONG Fei.Periodic solutions for a Li´e nard type p-Laplacian diﬀerential equation[J].J.Comput.Appl.Math.,2009,224(2):696-701.[8]GARC´IA-HUIDOBRO M,MAN´ASEVICH R,WARD J R.Periodic solutions and asymptotic behav-ior in Li´e nard systems with p-Laplacian operators[J].Diﬀerential Integral Equations,2009,22(9-10): 979-998.[9]ATSLEGA S,SADYRBAEV F.On periodic solutions of Li´e nard type equations[J].Math.Model.Anal.,2013,18(5):708-716.[10]MA Tiantian.Periodic solutions of a kind of Li´e nard equations with two deviating arguments[J].Topol.Methods Nonlinear Anal.,2014,44(2):337-348.[11]CIONI M,VILLARI G.An extension of Dragilev’s theorem for the existence of periodic solutions ofthe Li´e nard equation[J].Nonlinear Anal.,2015,127:55-70.[12]WANG Yong,YI Xiangyi.Some results for periodic solutions of a kind of Li´e nard equation[J].J.Funct.Spaces,2015,519747:5.[13]MAWHIN J,VILLARI G.Periodic solutions of some autonomous Liénard equations with relativisticacceleration[J].Nonlinear Anal.,2017,160:16-24.[14]MAN´ASEVICH R,MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian-like oper-ators[J].J.Diﬀerential Equations,1998,145(2):367-393.[15]REN Jingli,GE Weigao.Existence of periodic solutions for a second-order functional diﬀerentialequation[J].Acta Math.Sinica(Chin.Ser.),2004,47(3):569-578.[16]BARB˘ALAT I.Syst`e mes d’´e quations diﬀ´e rentielles d’oscillations non lin´e aires[J].Rev.Math.PuresAppl.,1959,4:267-270.The Existence of Positive Periodic Solutions for a Kind ofGeneralized Li´e nard EquationCUI Xiaoxiao,CHENG Zhibo,YAO Shaowen(Henan Polytechnic University(School of Mathematics and Information Science),Jiaozuo454000,China)Abstract:In this paper,by application of the Man´a sevich-Mawhin continuation theorem,we prove the existence and asymptotic stability of positive periodic solutions for a kind of generalized Li´e nard equation,and the non-autonomous function satisﬁes superlinear condition.At last,two examples and numerical solutions(phase portraits and time series portraits)are given to verify our conclusions.Key words:Generalized Li´e nard equation;Positive periodic solution;Asymptotic stability。

一阶非线性脉冲微分方程两点边值问题的正解_陈应生

犕１犕２，狇，）≤ 犌（，）≤ 犌，）≤ 狇，）∈ ［狋狊狋狊狋狊狋狊０，０，． ×［狓 ∈ 犡，（ ω］ ω］１（２（ ≤犌犓１犓－狇２狇１－１（犕１－１））｝，其中σ＝犕１狇，易证犓是犡上的一个锥．又狓∈犡∶狓（狋狋０，定义犓＝｛ ≥ σ‖狓‖ ， ∈［ ω］）犓犕２（－１狇２定义算子
脉冲微分方程边值问题是微分方程研究的焦点之一，近来很多文章研究一阶脉冲微分方程的边值问题
［１９］ ?
，文献［］研究脉冲边值问题１）））＝犳（，）），｛ …，， ′（狋狋狓（狋狋狓（狋狋∈ ［０，犜］狋狋狓＼＋犪（１，狆｝烌
１基本定义与引理
假设Ｈ１）），），（，，其中犪），）在［上连续并且犪狋犪（狋狓）犪狋狋狓）０， ×［０，＋∞ ）狋犪狋０， ≤ ≤ ∈［ ω］ ω］１（２（１（２（）犪（狊ｄ狊＞０． ∫
１０
ω
考察Ｂ［，｛），当狋 …，，ａｎａｃｈ空间犡＝犘犆（０，犚）＝｛狓∶ ［０，狓（０＝０，狋狋狓（ ω］ ω］ →犚｜ ω） ∈［ ω］＼｛狇１，狆｝
狊 ω ω 狆
∫
０
，），）），）犌（狋狊狊狓（狊ｄ狊＋ ∑犌（狋狋犐狓（狋．犳（犽）犽（犽）
犽＝１∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ，）＝烅犌（狋狊（犪（ｅｘ狉）ｄ狉）ｐ ∫ ，０ ≤狋＜狊 ≤ ω，（（））ｘｐ犪狉ｄ狇ｅ烆 ∫ 狉－１烄（犪（ｘ狉）ｄ狉＋犪（ｄ狉）ｐ狇ｅ ∫ ∫ 狉），０ ≤狊＜狋 ≤ ω，（犪（ｘ狉）ｄ狉）－１ｐ狇ｅ ∫ ，）＝烅犌（狋狊（犪（ｅｘ狉）ｄ狉）ｐ ∫ ，０ ≤狋＜狊 ≤ ω ．（（））ｅｘ犪狉ｄ狉１－狇ｐ烆 ∫

脉冲微分方程解的存在性和稳定性

中国地质大学（武汉）硕士学位论文脉冲微分方程解的存在性和稳定性姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20080501“’Ｏ）＋兄甜（ｆ）＝／（ｆ，“（，一ｒ）），ｆ≠０，ｆ∈，＝【ｏ，丁】，Ａｕ（ｔ』）＝Ｉｊ（“（ｆ伪，／＝１，…Ｐ，甜（ｏ）＝“（丁）＝Ｕｏ，“（，）＝ｏ，ｆ∈卜ｆ，ｏ）．甜７（，）＋名“（，）＝厂（，，甜（ｒ））＋Ｐ（，），ｔｅＪ＝［Ｏ，丁】，ｕ（ｏ）＝甜（丁）＝‰．（７）甜’（，）＋力甜（ｆ）＝厂（ｒ，“（，））＋Ｐ（，），，∈／＝【ｏ，ｒ】，Ａｕ（ｔｊ）＝‘＠ｑ）），／＝１，２，…Ｐ，ｕ（ｏ）＝ｕ（ｒ）－Ｕｏ．对于后面的五类问题，我们均可以得到其相应的反周期边值问题解的性质。

通过讨论，我们可以清晰地看到：所研究的脉冲周期边值问题解的存在性及稳定性的结论与脉冲条件密不可分。

关键词：周期边值问题，脉冲，时滞，存在性，稳定性ＴｈｅＥｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄＳｔａｂｉｌｉｔｙｏｆＩｍｐｕｌｓｉＶｅＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓＭａｓｔｅｒＣａｎｄｉｄａｔｅ：ＬｉＹ砒ｉｎｇＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：ＬｉｕＡｍｐｉｎｇＩｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉ舵ｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｃ锄ｂｅｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ吣ｅｄｆｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｉｎｔｌｌｅｏｒｅｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｃｈｅｍｉｓｔⅨｂｉｏｔｅｃｈｎｏｌｏ烈ｍｅｄｉｃｉｎｅ，ｐｏｐｕＩａｔｉｏｎｄｙｎ锄ｉｃｓ，ｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｍｌ，锄ｄｉｎｏｔｈｅｒｐｎｏｃｅｓｓｅｓ鲫ｄｐｈｅｎｏｍｅｍｉｎｓｃｉｅｎｃｅ觚ｄｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．ＴｈｅＳｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏ搿ｏｆｉｍｐｕｌｓｉＶｅｄｉｆｆ－ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｈ嬲ｂｅｅｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｂｙａｌａ呼ｎ啪ｂｅｒｏｆｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃｉａｎｓ，ａ１１ｄｔｈｅｉｒＳｔｕｄｉｅｓｈａｖｅａｔｔｒ暑Ｉｃｔｅｄｍｕｃｈａｔｔｅｎｔｉｏｎ．Ｔｈｅｖｈａｖｅｂｅｅｎｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｉｎｄｉ行ｅｒｅｎｔａｐｐｒｏａｃｈｅｓｂ舔ｅｄ０ｎＬｙ印ｕｎｏＶｄｉｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄ锄ｄｃｏｍｐ耐ｓｏｎｔｅｃｌｌｌｌｉｑｕｅ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｈ∞ｇｅｎｅｒａｌｉｔ），ｆ．ｒｏｍｔｈｅｔ１１ｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔａｎｄｐｏｉｍ，ｂｕｔｉｔｉｓｎｏｔｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｆｏｒｐｒａｃｔｉｃａｌｍｅｓｏｍｅｔｉｍｅｓ．Ｔｈｅｍａｉｎｄｉ师ｃｕｌｔｙｌｉｅｓｉｎｃｏｎｓｔｍｃｔｉｎｇｔｈｅＬｙａｐｕｎｏＶｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ．Ｉｎｔｈｉｓｐ印ｅｒ，ｗｅｅｍｐｌｏｙ廿ｌｅｉｔｅｒａｔｉＶｅｍｅｔｈｏｄｗｈｉｃｈｉｓＶｅｒｙｃｏｎｃｒｅｔｅｔ０ｏｂｔａｉｎｔｈｅｅ心ｓｔｅｎｃｅ锄ｄｓｔａｂｉｌｉ锣ｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｂｏｕｎｄａｒｙＶａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｗ曲ｉｍｐｕＩｓｅｓ．Ｉｎｔｈｉｓ硎ｃｌｅ，ｗｅｍａｉｎｌｙｏｂｔａｉｌｌｔｈｅｅ虹ｓｔｅｎｃｅｓ锄ｄｓ劬ｉｌｉｔｉｅｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎＳｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｂｏｕｎｄａ巧Ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ舔ｆｏｌｌｏｗｓ：（１）材’（，）＋兄“（，）＝厂（，，甜（，）），，∈，＝【ｏ，丁】，（２）（３）“（ｏ）＝“（丁）＝‰．甜’（，）＋五材（，）＝厂（，，“（，）），，∈，＝【ｏ，丁】，“（ｏ）＝一“（ｒ）＝‰．材’（ｆ）＋勉（ｆ）＝厂（ｆ，材（ｆ））＋Ｐ（ｆ），ｆ∈‘，＝【ｏ，丁】，甜（ｏ）＝“（ｒ）＝‰．研究生学位论文原创性声明我以诚信声明：本人呈交的硕士学位论文是在刘安平教授指导下开展研究工作所取得的研究成果。

【国家自然科学基金】_重合度定理_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
科研热词重合度正周期解周期解重合度理论脉冲捕食者-食饵系统阶段结构捕食系统时滞收获率扩散高阶时滞微分方程食物链模型非单调功能反应阶段结构重合度. 连续分布时滞脉冲泛函微分方程脉冲效应神经网络生理阶段结构混合模型比率型功能性反应比率依赖比率捕食系统微分方程差分方程存在性周期正解变时滞lotka-vo1tem系统反馈控制单调功能反应功能反应全局指数稳定性中立型 m矩阵 lyapunov泛函 liё nard型系统 li(e)nard型系统
53 54 55 56
hassell-varley-holling功能性反应 1 beddington—deangelis功能反应 1 beddington-deangelis功能反应 1 beddington-deangelis func-tional 1 response
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
科研热词推荐指数正周期解 7 重合度 5 重合度理论 3 捕获 3 单调功能反应 3 竞争系统 2 收获率 2 阶段结构 1 重合度定理 1 自反馈 1 脉冲效应 1 离散leslie系统 1 离散 1 生态经济 1 捕食系统 1 捕食-食饵 1 持久性 1 拓扑度 1 干扰和扩散 1 多重正周期解 1 多个正周期解 1 周期解 1 分布时滞 1 共振 1 互惠系统 1 stieltjes积分边值问题 1 mawhin延拓定理 1 logistic模型 1 hollingⅲ类功能反应 1 hollingiii类功能反应 1 holling-tanner系统 1 fredholm算子 1

依赖时间的logistic方程正的周期解及其稳定性

依赖时间的logistic方程正的周期解及其稳定性最近几年来，研究logistic方程的时间依赖性及其稳定性的工作越来越受到人们的关注，更加深入地探讨了它的应用及其理论价值。

logistic方程是一个常用的数学模型，它可以用来解释动物种群的繁衍及其稳定性，也可以用于分析生态系统的发展情况。

本文的目的是以logistic方程的时间依赖性及其稳定性为研究对象，探讨它的正的周期解及其稳定性，从而提供更多的研究视角。

首先，介绍logistic方程的数学表达式，即：$$frac{dN}{dt}=rNleft(1-frac{N}{K}right)$$其中，$N$表示物种的种群数、$r$表示物种的生长速率、$K$表示物种的环境容量。

logistic方程是描述物种种群数随时间变化的微分方程，其解可分为定常现象、稳态现象及周期现象。

定常现象的特点是，当$r$和$K$相同时，物种的数量会保持恒定，不随时间变化。

稳态现象的特点是，当$r$和$K$发生变化时，物种的数量也会随之变化，但其最终稳定到某个值。

最后是周期现象，即物种的数量随时间按照一定的周期不断发生变化，最终会周而复始到原来的位置。

接下来，讨论logistic方程的正的周期解及其稳定性。

从数学上来看，当$r>0$时，logistic方程存在正的周期解，而当$r=0$时，logistic方程存在定常解。

此外，当$r<0$时，logistic方程存在负的周期解。

稳定性分析上，当$r>0$时，周期解处于稳定状态，这意味着即使在周期内发生略微的变化，周期解的形式也不会发生很大的变化。

当$r=0$时，定常解处于稳定状态，这也是定常态的稳定性特征。

当$r<0$时，负的周期解处于不稳定状态，这意味着它会随着每次周期的变化而发生很明显的变化。

最后，本文总结了研究logistic方程的时间依赖性及其稳定性过程中发现的一些重要技术，以及如何利用这些技术来更好地理解logistic方程的正的周期解及其稳定性。

脉冲微分方程边值问题和周期解的开题报告

脉冲微分方程边值问题和周期解的开题报告题目：脉冲微分方程边值问题和周期解研究内容：本课题主要研究脉冲微分方程的边值问题和周期解。

其中，边值问题是指在一定区间内给出微分方程的初值和末值，要求求解该微分方程在整个区间内的解；周期解是指在某一特定周期内，微分方程的解呈周期性变化。

在研究过程中，将重点考虑三类微分方程的边值问题和周期解：1. 带脉冲微分方程的边值问题和周期解。

2. 带参数微分方程的边值问题和周期解。

3. 一阶非线性微分方程的边值问题和周期解。

研究方法：本研究将采用数值计算方法和理论分析方法相结合的方式来研究脉冲微分方程的边值问题和周期解。

具体来说，将在数值计算中运用MATLAB软件，利用有限差分法、有限元法等数值方法来求解微分方程。

在理论分析方面，将从微分方程的特征、解的性质等方面入手，考虑微分方程一般解的存在性、唯一性和稳定性等问题。

研究意义：脉冲微分方程是数学分析中的一个重要研究领域。

边值问题和周期解是脉冲微分方程的两个重要研究方向，研究这些问题既有理论意义，也有实际应用价值。

在工程领域，脉冲微分方程的研究可以为实际问题提供解决思路和方法，同时也可以为一些实际控制问题的设计和优化提供参考。

因此，本研究对于深入理解脉冲微分方程的本质特征，掌握其边值问题和周期解的求解方法，具有重要的学术和应用价值。

进度安排：第一阶段：对脉冲微分方程边值问题和周期解的研究进行文献资料的调研和汇总，了解目前该领域的研究现状，确定研究方向和目标。

第二阶段：建立数学模型，对研究对象进行数值计算，并分析数值计算结果，深入研究微分方程的特征、解的性质等问题。

第三阶段：基于理论分析和数值计算，对脉冲微分方程的边值问题和周期解进行全面研究和总结，提出相应的结论和建议，并撰写论文。

第四阶段：修改论文，进行论文答辩和学术讲解，在学术界和工程领域进行推广和应用，提高其社会实用价值。

脉冲响应函数分析请高手解答

对两个时间序列A和B进行脉冲响应函数分析，在内生变量框里输入的次序不同（一次是A B,另一次是B A），通过eviews5.0得出的脉冲响应图的结果怎么会完全不一样？输入A B 时得出的是A对B的一次冲击有很大响应，B对A的一次冲击没有什么响应；输入B A 时得出的是A对B的一次冲击没什么响应，B对A的一次冲击有很大响应。

哪位高手能解释一下这是什么原因？乔分解将所有影响的公共因素强加到你的VAR模型中的第一个变量中去，也就是说结果与你VAR模型中指定的变量秩序有关，你改变了秩序很正常的解决办法：定义脉冲时在IMPUSE DEFINITION项目中分解方法选择广义脉冲结果就不会因为模型中变量指定秩序改变而改变了，也就是说结果与变量秩序无关。

高人，能否详细解释一下geralized Impulses和Cholesky-d.f. adjusted这两种脉冲响应的应用有什么不同？在哪种情况下应该使用geralized Impulses，在哪种情况下又应该使用Cholesky-d.f. adjusted?不胜感激。

Cholesky-d.f. adjusted实际上是运用乔分解时，当是小样本时，在估计残差的协方差估计时进行了修正（高第2版P310）也就是说它实际上是修正过的乔分解（主要征对小样本进行修正），它进行脉冲时同样存在乔分解的问题：脉冲与秩序有关而广义脉冲分解法其结果与秩序无关，它是为了避免乔分解结果与秩序有关而采用的另外一种分解方法，对样本无什么要求，只要你建立的VAR/SVAR模型稳定即可！请问只有对平稳序列才能建立VAR模型吗？看了一些教材，好像说法不一。

如果有序列LnY和LnX，它们是非平稳序列，但是一阶差分后平稳，此时能否对原序列进行VAR分析以及脉冲响应和方差分解分析？如果只有平稳序列才能进行VAR预测的话，对于取了差分之后的序列，应该如何解释经济含义呢？如GDP/、能源消费量等。

1、只有平稳才能建VAR模型，但有特例，就是涉及到一些变量是如增长率，由于种种原因，如数据太少，或其他原因，ADF检验没通过，但也可以算作平稳，视情况而定。