北京名校小升初考试数学真题

人教新课标数学高一下学期期末考试试卷（1）时间：120分钟 满分：150分一、选择题： (本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．0tan 390=( )A ． B. C D ．2. 若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a －b )·c=30，则x=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ）A. 10 B 9C. 8D 74. 已知函数()sin(),03f x x πωω=+>（）的最小正周期为π,则该函数的图象（ ）A.关于点0π（，）3对称 B.关于直线x π=4对称C. 关于点0π（，）4对称 D. 关于直线x π=3对称5. 下图是2010年我市举行的名师评选活动中，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为()A.84，4.84B.84， 1.6C.85，1.6D.85，46. 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 （ ）A．B ．6C．D．7. 已知圆36)5()3(22=++-y x 和点)2,1()2,2(--B A ,若点C 在圆上且ABC ∆的面积为25,则满足条件的点C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.48. 已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则（ ） A. (1)(2)(3)f f f << B. (2)(3)(1)f f f << C. (3)(2)(1)f f f << D. (3)(1)(2)f f f << 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 已知α为第三象限的角，3sin 5α=-,则tan 2α= 10. 执行如图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值为11. 函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ 12. 圆：012222=+--+y x y x上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是__________________13. 已知ABC V 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则m =__________________14.关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=-∈，有下列命题：（1）4()3y f x π=+为偶函数 （2）要得到函数()4sin 2x x =-g 的图像，只需将()f x 的图像向右平移3π个单位（3）()y f x =的图像关于直线12x π=-对称（4）()y f x =在[0,2]π内的增区间为5[0,]12π和 11[,2]12ππ，其中正确的命题序号为__________________. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15.（12分）设函数()3sin()4f x x ωπ=+，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以23π为最小正周期． （1）求()f x 的解析式；（2）已知212()3125f πα+=，求sin α的值．16. （13分）为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组频数为12.（1）求第二小组的频率； （2）求样本容量；（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？17.（14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.18. （13分）直线2y x m =+和圆221xy +=交于A 、B 两点，以为Ox 始边,OA 、OB 为终边的角分别为α、β,求sin()αβ+的值19. （14分）已知圆C 过点(1,1)P 且与圆M:222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称(1)判断圆C 与圆M 的位置关系,并说明理由; (2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ①若直线PA 与直线PB 互相垂直，求PA PB +的最大值； ②若直线PA 与直线PB 与x 轴分别交于G 、H ，且P G H P H G∠=∠,O 为坐标原点,试判断直线OP 与AB是否平行?请说明理由.20. （14分）已知函数2()4sin sin ()cos 2 1.42xf x x x π=++- （1）设ω>0为常数，若]32,2[)(ππω-=在区间x f y 上是增函数，求ω的取值范围； （2）设集合2221{|},{|[()]()10},632A x xB x f x mf x m m ππ=≤≤=-++->若A ⊂B 恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题： (本大题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.247; 10.-5411. π 1 13. 3 14. (2)(3)三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15．（12分）解：（1）由题意 23T π=32Tωπ∴== ()3sin(3)4f x x π∴=+(2) 212()3sin(2)3sin(2)3cos 23124425f αααππππα+=++=+== 4cos 25α∴=24cos 212sin 5αα=-=sin 10α∴=±16. （13分）解:(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为4f ,则241715931f f f f f f +++++= 解得 150f =∴第二小组的频率为1245025⨯= (2)设样本容量为n , 则122,15025n n =∴= (3)由(1)和直方图可知,次数在110以上的频率为2217159344440.8825f f f f f +++==⨯= 由此估计全体高一学生的达标率为88%17. （14分） .解:18. （13分）解:设1122(,),(,)A x y B x y 联立直线与圆的方程得225410x mx m ++-=则122124515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩1221sin()sin cos cos sin x y x y αβαβαβ+=+=+ 11222,2y x m y x m =+=+代入上式可得:122112124sin()(2)(2)()45x x m x x m m x x x x αβ+=+++=++=-19. （14分）解:(1)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩则圆C 的方程为222xy r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=CM ∴=又两半径之和为∴圆M 与圆C 外切.(2) ①设1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形OEPF 是矩形，所以2222OE OF OP +==,即221222222d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得22128d d +=从而124d d +<=，(12d d =时取等号,此时直线PA,PB 必有一条斜率不存在)综上: 1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为4另解：若直线PA 与PB 中有一条直线的斜率不存在,则PA=PB=2,此时PA+PB=4.若直线PA 与PB 斜率都存在，且互为负倒数，故可设:1(1)PA y k x -=-,即 10kx y k -+-=，(0k ≠) 点C 到PA的距离为，同理可得点C 到PB的距离为，PA PB ∴+= 222()4(221)1PA PB k ∴+=+-+<16,4PA PB ∴+<） 综上：1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为420. （14分） 解：⑴1cos()2()4sin cos 212x f x x x π-+=⋅+- 22sin (1sin )2sin 2sin .x x x x =+-=2()2sin [,]23f x x ππωω=-在是增函数， 2[,][,]2322ππππωω∴-⊆- 23,(0,]324ππωω⇒≤∴∈ （2）221[()]()12f x mf x m m -++-＝22sin2sin10 x m x m m-++->因为2[,]63xππ∈，设tx=sin，则∈t[12，1]上式化为22210t mt m m-++->由题意，上式在∈t[12，1]上恒成立. 记22()21f t t mt m m=-++-，这是一条开口向上抛物线，则121()02mf⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或11 2m⎧≤≤⎪⎨⎪∆<⎩或1(1)0 mf>⎧⎨>⎩解得：1m m<>.。