块三对角线性代数方程组的一种迭代解法

合集下载

三对角线线性方程组的解法

三对角线线性方程组的解法三对角线线性方程组的解法：方法一：高斯消元法令Ax=b表示方程组，其中A为方阵，x为未知数，b为常数向量令A = [a11, a12, ..., a1n; a21, a22, ..., a2n; ......; an1, an2, ..., ann] 其中a11, a22,…, ann是对角线元素下面具体介绍求解此样方程组的步骤：一.首先对方程组A×x=b中A的第1行第1列元素a11做部分行变换，将A的第1行的数据除以a11，结果放回A的第1行，同时有b的第1个元素b1也做部分行变换，先乘以a11，变成b1/a11，结果放回到b的第1个位置二.接着A的第1行元素和b的第1个元素已经变换为1，将它们对应行列上的其他元素做部分行变换，将A的第2行的第1列元素a21减去A的第1行第1列元素a11乘以A 的第2行其他元素，结果放回第2行，同时b的第2个元素b2做部分行变换，先减去a11乘以b1，变成（b2-a21*b1）/a11，结果放回到b的第2个位置三.类推，以此类推，按照以上步骤，对于A的第3行、第4行、 ......依次重复上述操作，将它们变换成上三角形，并且b也相应变换依次进行下去，直到A第n行，第1列元素a5n变换成1，b的第n个元素bn乘以a5n，变成bn/a5n，结果放回到b的第n个位置四.接着从A最后一行开始往前，由于A的第n行第1列元素变换成1，所以将A的第（n-1）行的第1列元素a（n-1）1减去A的第n行第1列元素a5n乘以A的第（n-1）行其他元素，结果放回第（n-1）行，同时b的第（n-1）个元素b（n-1）做部分行变换，先减去a5n乘以bn，变成（b（n-1）-a（n-1）1*bn）/a5n，结果放回到b的第（n-1）个位置五.类推，以此类推，按照以上步骤，一直往上进行变换，直到A的第2行，第1列元素a21变换成1，b的第2个元素b2乘以a21，变成b2/a21，结果放回到b的第2个位置六.接下来就可以用逐个消元的方法求解A×x=b的解x，依次从A的最后一行，开始对Ax=b进行消元：令xn=bn/a5n 令x（n-1）=(b（n-1）-a（n-1）1*xn)/a（n-1）2 令x （n-2）=(b（n-2）-a（n-2）1*x（n-1）-a（n-2）2*xn)/a（n-2）3 依次类推，直到x2=(b2-a21*x3-a22*x4-......-a2n*xn)/a21 以此类推，直到x1=(b1-a11*x2-.....- a1n*xn)/a11，即可得出方程组A×x=b的解x七.最后，由于A×x=b的解x取决于A的全部数据，所以如果A的值发生变化，那么方程组的解x也会发生变化。

三对角方程组行处理法并行解法

过程（）５表示对增广矩阵［作矩阵乘法运算ＡＩ］ｂ［，］将结果存入增广矩阵原有存区中．ＦＡＩｂ并Ｆ
Ｘ“。＝Ｘ＋（。一（，）（）ｂ口。Ｘ）口。，
“ 行解法＋并行计算机＝并行算法 ” 模式安排并的
本文内容．
ｉ＝ｋｍｏｄ（ｎ）＋１．
ｋ＝０，２，．．１，・－
三次样条插值函数的计算，微分方程两点边常
收稿日期：０１１ — ３２０ — １２
基金项目：国工程物理研究院科学技术基金资助项目（０２６６中２００５）作者简介：宪雯（９４）女，师曾１６一，讲
维普资讯
值问题的有限差分方法，微分方程隐式差分方法偏等若干基本数值计算问题需要求解三对角方程组．
如果过程收敛于（）（的解１和１）
ＩＲＡ＝ｂ，）＝Ｉ（ＸＸ。
，记为则
．（）２
代算法的设计法则．照并行解法＋并行计算机＝并行算法的模式，用给出的并行解法，以给出一些求按使可
解三对角方程组的新的ＭＭＤ并行迭代算法．Ｉ关键词：对角方程组；处理法；分治策略；分布式算法三行
（）（）成立的必要充分条件是１２式

三对角toeplitz矩阵 python 迭代法 -回复

三对角toeplitz矩阵python 迭代法-回复三对角Toeplitz矩阵是一种特殊类型的方阵，其中除了对角线和相邻的两个对角线上的元素外，其余的元素都为零。

这种矩阵在数学、物理学和工程学等领域中具有重要的应用。

本文将介绍如何利用Python语言中的迭代法来解决三对角Toeplitz矩阵的问题。

在开始之前，我们首先需要了解一下三对角Toeplitz矩阵的定义和特点。

一个n\times n的三对角Toeplitz矩阵可以表示为：\[\begin{bmatrix}b_1 & c_1 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\a_1 & b_2 & c_2 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 \\0 & a_2 & b_3 & c_3 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & a_{n-2} & b_{n-1} &c_{n-1} \\0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & a_{n-1} & b_n \\\end{bmatrix}\]其中，a_i, b_i, c_i是已知的实数。

特别地，当a_i = c_i时，该矩阵称为对称三对角Toeplitz矩阵。

用追赶法求解三对角方程组

用追赶法求解三对角方程组1. 三对角方程组的背景大家好，今天咱们来聊聊一个有点学术味儿的话题——三对角方程组。

不过别担心，我会尽量让这件事情变得轻松有趣，就像跟朋友聊天一样。

三对角方程组呢，其实就是那些系数在对角线附近的线性方程组，听起来是不是有点复杂？别急，咱们慢慢来，打个比方，它就像是一个田字格，只在主要的对角线上有数字，其他地方都是零。

哎，生活中有很多时候我们会遇到这样的方程，比如在物理、工程或者计算机科学里。

这时候，咱们就得想办法求解它们。

2. 追赶法的简介2.1 追赶法是什么好啦，接下来咱们来介绍一下追赶法。

这法子听上去是不是有点像小时候玩捉迷藏的感觉？其实它就是一种巧妙的迭代算法，专门用来解决那些三对角的线性方程组。

为什么叫追赶法呢？因为它能快速“追赶”到正确的解，就像小兔子在草地上跑得飞快一样。

它的基本思路就是把这个三对角方程组转化为一个更简单的形式，从而一步一步找到答案。

2.2 为什么用追赶法那为什么不直接用其他的方法呢？哦，朋友们，真相是，追赶法在处理这类方程的时候特别高效，速度快得像闪电！想象一下，如果你在一场马拉松里，你会选择走路还是飞奔？当然是飞奔啦！同样的道理，追赶法能节省大量的计算资源和时间，让我们轻松愉快地拿到想要的解。

3. 追赶法的步骤3.1 初始准备咱们要开始追赶了，首先得准备一下。

你需要把方程组写成标准的形式，通常我们可以把它表示成一个矩阵。

这样一来，咱们就能更清晰地看到那些三角形的结构。

接着，得设定好初始条件，这就好比你出发前检查好背包里有没有水、食物和地图。

没有这些东西，你可不敢贸然出门啊！3.2 逐步追赶准备好之后，追赶法就开始工作了。

第一步，咱们需要对三角形的每一行进行“消元”，也就是让下面的元素逐渐变为零。

听起来是不是有点复杂？其实就像在厨房里切菜，先把最上面的部分处理掉，然后逐步往下进行。

一步一步来，绝对不能急，这样才能确保每一刀都精准无误。

接着，咱们要开始反向代入，也就是从最后一行开始，逐行算出未知数。

三对角法求微分方程组

三对角法求微分方程组
（原创版）
目录
1.三对角法的基本概念
2.三对角法的求解步骤
3.三对角法的应用实例
正文
一、三对角法的基本概念
三对角法是一种求解常系数线性微分方程组的数值方法。

这种方法是基于线性代数的三对角矩阵，通过将微分方程组转化为三对角矩阵的形式，然后求解该矩阵的特征值和特征向量，从而得到微分方程组的解。

二、三对角法的求解步骤
1.对角化：将微分方程组转化为三对角矩阵的形式。

具体操作是先求出系数矩阵的行列式，然后通过初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵，再通过求逆矩阵将上三角矩阵转化为三对角矩阵。

2.求解特征值和特征向量：对于三对角矩阵，求解其特征值和特征向量较为简单。

特征值即为对角线上的元素，特征向量可通过对角线上的元素进行求解得到。

3.求解微分方程组：根据特征值和特征向量，可以得到微分方程组的解。

具体操作是将特征向量作为基底，将初始条件代入得到对应的特征值，从而得到微分方程组的解。

三、三对角法的应用实例
假设有一个二阶常系数线性微分方程组：
y" + 2y + p(t) = 0
z" + z + q(t) = 0
其系数矩阵为：
[1, 2]
[0, 1]
通过三对角法求解该微分方程组，首先对系数矩阵进行对角化，然后求解特征值和特征向量，最后代入初始条件求解得到微分方程组的解。

总之，三对角法是一种有效的求解常系数线性微分方程组的数值方法，适用于各种实际问题。

matlab追赶法求解三对角方程组

matlab追赶法求解三对角方程组追赶法是一种求解三对角方程组的有效方法，可以通过简化矩阵的求解过程来提高计算效率。

以下是使用追赶法求解三对角方程组的具体步骤：1. 将三对角矩阵表示为下三角矩阵L、上三角矩阵U和对角矩阵D的乘积形式：A=LDU，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，D是对角矩阵。

2. 将方程组Ax=b转化为LDUx=b。

3. 首先使用前向代入法（forward substitution）解下三角方程Ly=b，其中y是临时向量。

4. 然后使用对角方程Dz=y解决z=D^-1y，其中z是临时向量。

5. 最后使用后向代入法（backward substitution）解上三角方程Ux=z，得到方程组的解x。

追赶法的时间复杂度为O(n)，相比于高斯消元法等其他方法，追赶法在求解三对角方程组时具有更快的计算速度。

在MATLAB中可以使用专门的函数tridiag来实现追赶法，示例如下：```matlabfunction x = tridiag_solver(a, b, c, d)n = length(b);% 前向代入for i = 2:nm = a(i) / b(i-1);b(i) = b(i) - m * c(i-1);d(i) = d(i) - m * d(i-1);end% 后向代入x = zeros(n, 1);x(n) = d(n) / b(n);for i = n-1:-1:1x(i) = (d(i) - c(i) * x(i+1)) / b(i);endend```其中a、b和c分别是三对角方程组的次对角线、主对角线和超对角线上的元素，d是方程组的右侧常数向量。

函数返回方程组的解x。

三对角方程组通用性迭代解法

之从点出发分别向ｓ组的各超平面作正交投影向量并求向量和得向量，２再仿之从点出发分
别向ｓ组的各超平面作正交投影向量并求向量和得向量Ｘ完成一次循环迭代；３，再从点Ｘ。出发完成
第次环代点这不循至一ｌ方组求精）止则就二循迭得；样断环ｌＩ为程的解度为，＜（
为方程组的近似根。
２１００年１２月
第４期
教
学
与
科
技
３５
定理２１对任意的相容性法式化三对角方程组及任意的迭代初值，ｎ必然收敛．．算法
证明：因Ａ＝ｂＡ ∈Ｒ）容，故存在 ∈Ｒ使得对Ａ＝ｂＡ ∈Ｒ）Ｘ（相Ｘ（中每一个方程
３算法正确性证明
设方程组（）为三对角方程组，将该方程组分为三组，２
ｓ ¨ ｃ… ）删，．ｌ字Ｊｓｍｃ… ２，Ｉ－等Ｉｍ５ｊ）。
－
ｓ：（＇＋Ｘ）３ａｔ＝３３
（－０１ｆ
，
，Ｌ
３
将方程组中的每一个方程视作一个超平面。由三对角方程组的特性可知，Ｓ、Ｓ、Ｓｌ２３这三组方程
２１００年１２月
第４期
教
学
与
科
技
３３
三对角方程组通用性迭代解法
李安志任继念崔蔚
（国工程物理研究院工学院，四川绵阳，６１０）中２９０
摘
要
在行处理法的基础上，提出一种求解三对角方程组的通用性迭代解法，用几何法证明了该算法

一类三对角行列式的计算方法

一类三对角行列式的计算方法一类三对角行列式是线性代数中的一种特殊的行列式，它可以通过简单的方法迅速求得。

下面将分步骤阐述一类三对角行列式的计算方法。

1. 定义一类三对角行列式是指对于一个n阶行列式，其主对角线、上一条对角线和下一条对角线上元素都不为0，而其它元素均为0的行列式。

2. 第一步将一类三对角行列式中的第一、二列交换，再将第二、三列交换，以此类推，直到把第n-1、n列交换。

交换变换不改变行列式的值，但却使得行列式变得容易计算，原来的三对角行列式变成了新的三对角行列式，但第一、第n-1两对角线由非零元变成了0。

3. 第二步根据三对角行列式的性质，从第一行开始，按照下列方式进行初等行变换：（1）第一行乘以a1n / a2n，然后加到第二行；（2）第二行乘以a2n-1 / a3n-1，然后加到第三行；以此类推，一直到最后一行。

这样变换后，新的三对角行列式就变成了如下形式：a1n a2n-1 0b1 b2 ... b(n-1)0 c1 c2 ... c(n-1)...0 ... a(n-1)n a(n)n-1其中，b1的值为原来的a1, b2的值为原来的a2n-1 / a2，c1的值为原来的an, cn-1的值为原来的a(n-1)n / a(n-1)n-1，其它的b、c的值分别是原来的a的连续积除以相邻的a的连续积之比。

4. 第三步对于新的三对角行列式进行展开，可以得到：a1n det⎛b2 b3 ... b(n-1) ⎛⎛ c2 c3 ... c(n-1)⎛⎛ ⋱⋱⋱ ⎛⎛ a(n-1)n⎛我们可以按照上述方法递归求出每一个形如det的行列式。

5. 第四步最后，将得到的det带入式子：(-1)^(n-1) * det / (a1n a2n-1 ... a(n-1)n) 即可得到原三对角行列式的值。

通过以上步骤，我们可以快速计算一类三对角行列式的值，不必做繁琐的计算。

这种方法不仅快捷，而且易于记忆，对于求解线性方程组、计算特征值等问题都有很大帮助。

三对角形行列式递推法

三对角形行列式递推法引言在线性代数中，行列式是一种重要的概念，它可以用来描述线性方程组的解、矩阵的特征值等。

本文将介绍一种特殊类型的矩阵——三对角矩阵，并介绍使用递推法计算三对角矩阵的行列式。

什么是三对角矩阵三对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零或者具有某种规律。

一个n×n的三对角矩阵可以表示为：[a1b100⋯0 c2a2b20⋯0 0c3a3b3⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮0⋯⋯c n−1a n−1b n−1 0⋯⋯0c n a n]其中a i,b i,c i为实数。

计算三对角矩阵行列式的递推法计算一个普通矩阵的行列式通常需要使用展开定理，时间复杂度为O(n!)，非常耗时。

而对于三对角矩阵，我们可以使用递推法来计算其行列式，时间复杂度为O(n)。

递推关系设D n表示一个n×n的三对角矩阵的行列式，则有以下递推关系：D1=a1D2=a2D1−c2b1D i=a i D i−1−c i b i−1D i−2 (3≤i≤n)其中i表示矩阵的维度。

证明递推关系为了证明上述递推关系，我们可以使用数学归纳法。

当n=1时，显然有D1=a1，递推关系成立。

假设当n=k时递推关系成立，即D k=a k D k−1−c k b k−1D k−2。

那么当n=k+1时：由此可见，递推关系对于任意的n都成立。

递推法计算行列式根据上述递推关系，我们可以通过迭代计算的方式，从小到大依次求解D1,D2,...,D n。

具体算法如下：输入：三对角矩阵A，维度n// 初始化边界条件d_prev = a[0]d_curr = a[0]*a[1] - c[0]*b[0]for i = 3 to n do:d_next = a[i]*d_curr - c[i-1]*b[i-2]*d_prevd_prev = d_currd_curr = d_next返回：d_curr总结本文介绍了三对角矩阵和使用递推法计算三对角矩阵行列式的方法。

chapter03线性代数方程组迭代解法PPT课件

不完全分解
当矩阵无法进行完全分解时，迭代法可以作为替代方案进行求解。
数值稳定性
对于某些数值不稳定的问题，迭代法可以提供更稳定的近似解。
迭代解法的优缺点分析
优点
适用于大规模问题，计算量相对较小；适用于不完全分解和数值不稳定问题；能够提供近似解，满足工程精度要求。
缺点
需要设定初始解向量或近似解向量；迭代过程可能不收敛或收敛速度慢；对于某些问题可能无法得到准确解。
SOR方法案例分析
01
SOR（Successive Over-Relaxation）方法是一种改进
的迭代方法，通过引入松弛因子来加速收敛。
02
SOR方法适用于系数矩阵为稀疏、对称正定的情况，
广泛应用于实际工程问题。
03
SOR方法的收敛速度与松弛因子的选择有关，选择合
适的松弛因子可以加快收敛速度。
Jacobi方法案例分析
松弛方法
松弛方法是另一种改进的迭代算法，用于求解线性代数方程
组。
该方法通过引入松弛因子来调整迭代过程中的系数矩阵，以
提高收敛速度和稳定性。
松弛方法适用于系数矩阵为非对角占优的情况，尤其在处理稀疏矩阵时具有优势。
总结词：松弛方法是一种适用于非对角占优矩阵的迭代算法，通过调整松弛因子提高收敛速度和稳定性。
收敛速度与系数矩阵
收敛速度与系数矩阵的特征值和范数有关，不同的迭代法适用于不同的系数矩阵情况。
加速迭代法
为了提高迭代法的收敛速度，可以采用一些加速技巧，如预处理技术、共轭梯度法等。
03 几种常见的迭代解法
Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel方法是一种迭代算法，用于求解线性代数

三对角线性方程组的求解

一、概述三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。

在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。

很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。

由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。

随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。

现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。

如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。

另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出设三对角线性方程组为AX=Y（1）式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。

X=(x1，x2，…xn) T Y=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。

它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。

一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。

块三对角线性代数方程组的GPU加速求解

N
W
P
E
S
图 1 计算区域网格化
运用偏微分方程离散化方法，通用变量在任一点 P 处将满足如下离散方程
cPP cEE cW W cSS cNN d P
其中，E、W、S、N 分别表示与 P 点相邻的东、西、南、北计算节点，c 和 d 分别表示系数和常数项。将待求变量沿 y 方向逐行存储，对应的未知向量可表示为
块三对角线性代数方程组的 GPU 加速求解
一、研究背景计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）是 21 世纪流体力学领域的重要技术之一，CFD 相当于“虚拟”地在计算机做实验，用以模拟仿真实际的流体流动情况。而其基本原理则是数值求解控制流体流动的微分方程，得出流体流动的流场在连续区域上的离散分布，从而近似模拟流体流动情况。随着计算机技术的推广普及和计算方法的新发展，几十年来 CFD 技术取得了蓬勃的发展。由于数值模拟相对于实验研究有很独特的优点，比如成本低，周期短，能获得完整的数据，能模拟出实际运行过程中各种所测数据状态，对于设计、改造等商业或实验室应用起到重要的指导作用。近年来，随着计算机容量的大大提高、先进的数值计算技术的出现以及各种湍流模型的提出，CFD 技术已经广泛应用于航空航天、化工、能源、环境、水利工程、气象预测等领域。美国海空军下一代 F-35 战斗机所使用的附面层分离进气道是 CFD 的成果之一。附面层分离进气道通过特殊设计形状的突起分离流速较慢的附面层以改善涡轮风扇发动机的进气流场。此设计比传统的附面层隔板方法可以减轻数百公斤重量，同时在一定速度范围内能够维持很好的分离效率。二、数学问题描述基于连续介质假设的计算流体力学控制方程是非线性偏微分方程组，必须进行数值求解。其本质是偏微分方程经由数值方法离散成一个线性代数系统的求解。在实际的工程背景下，为了避免离散得到的大型稀疏矩阵所增加的存储开销，往往通过对矩阵元素的重新排列，将其重组为块状或带状矩阵。以二维系统为例，在如图 1 所示的网格化计算区域上（假设 x 方向有 m 个节点，y 方向有 n 个节点）

三对角线性方程组的解法ppt课件

7
大 •安一中运行结果：（点击查看源程序）
a=-1*ones(1,4); c=a; b=2*ones(1,5); f=[1 0 1 0 0]; [x]=ZhuiGan(a,b,c,f)‘ n =5 x=
1.33333333333333 1.66666666666667 2.00000000000000 1.33333333333333 0.66666666666667 注：其中a为对角下向量，b为对角向量，c为对角上向量，f为方程常系数。x为方程组的解。
12
大安一中
Gauss迭代法
1.迭代过程：
Gauss迭代法的迭代过程与Jacobi迭代法的迭
代过程相似，其迭代格式为其 x(k1) BG x(k) fG
中， , BG (D L)1U
fG (D。 L)1b
算法设计同Jacobi迭代法，只是用库函数计算时的迭代矩阵B和f不同。
8
大安一中
（二）迭代法
• 对于 Ax b, A Rnn,b， RAn 为非奇异矩阵，除了可
用追赶法计算之外，也可建立迭代法求解。迭代法的一般格式为：，其中B x(k1) Bx(k) f 为迭代矩阵，对由迭代格式产生迭代序列
，若x(k)
，li则m x(k) x* 即 x为* B方x*程 f
• 综上，我们可以得到：当使用w=1.4的SOR迭代法时，迭代次数最小，收敛速度最快。
20
大安一中
六、程序源代码
1.追赶法程序代码：
• function [x]=ZhuiGan(a,b,c,f) • %a为对角下向量；b为对角向量；c为对角上向量；f为方程常系数 • format long • r=size(a); • m=r(2); • r=size(b); • n=r(2); • if size(a)~=size(b)|m~=n-1|size(b)~=size(f) • error('变量不匹配，检查变量匹配情况'); • end • p=ones(1,m); • Y=ones(1,n); • x=Y; • p(1)=a(1)/b(1); % c1/b1 • Y(1)=f(1)/b(1); % f1/b1 • t=0;

用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题

用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题割线法是一种用于求解对称三对角矩阵特征值问题的迭代方法，它有效利用矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量。

割线法的原理是将对称三对角矩阵A按照行(或列)分解为无关子矩阵，通过改变矩阵A中的某些元素使之满足一定条件，然后再将矩阵A求解。

割线法的关键在于如何改变矩阵A中的元素。

割线法的思想是用一条割线将三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变。

改变的方式是在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值，这样矩阵A就满足了一定的条件。

割线法的步骤是：1、将原来的对称三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变；2、在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；3、在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值；4、用新生成的矩阵替换原来的矩阵，计算新矩阵的特征值；5、如果计算出来的特征值满足要求，则停止求解；如果不满足要求，则重复步骤1-4，直到求得满足要求的特征值为止。

以上是割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题的基本步骤，但如何选择割线位置，以及如何改变矩阵A中的元素才能使矩阵A满足一定的条件，就是割线法的关键问题了。

一般而言，割线位置的选择应该尽可能在矩阵A的主对角线上，这样可以简化计算量，提高计算效率。

而在改变矩阵A中的元素时，应注意保持矩阵A的对称性，以及尽可能使主对角线上的元素不变。

割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题，其优点在于：一是它有效利用了矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量；二是它可以在每一次迭代后返回一个新的特征值，从而可以更快地收敛。

但割线法也有缺点，如：一是即使矩阵A在每一次迭代后都满足割线法的要求，也不能保证从这个新矩阵中求出的特征值是最精确的，这可能会导致最终求出的特征值和实际的特征值存在一定的差距；二是由于割线法需要迭代，当矩阵A较大时，可能会耗费较多时间。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

Ｖ１２ｏ２ｏ３Ｎ．．
—
．２０ｐｒ０７
—
—
块三对角线性代数方程组的一种迭代解法
任水利，张凯院，叶正麟
（西北工业大学应用数学系，陕西西安７０７）１０２
摘要：立求解系数矩阵为分块三对角矩阵的线性代数方程组的新型二次Ｐ。法以及其外插建Ｅ方迭代二次ＥＥＰＩ方法，系数矩阵为对称正定矩阵情形，明了新型二次Ｐ方法和二次ＥＥ对证ＥＰＩ
１新型二次ＰｔＥ方法
考虑线性代数方程组Ａ＝，ｘ厂其中系数矩阵为分块三对角矩阵，即
Ｂ１Ｃ１Ａ２Ｂ２
Ａ＝
Ｃ２
Ｄ
Ｄ
Ａ
一
Ｄ
Ｂ
一
ｌ
ｌ
Ｃ
一
ｌ
这里为ｎ阶方阵，ｎ × 阶矩阵，ｉｎ × … 阶矩阵．Ａ的块三角分解为：Ａ为；ｎＣ为ｉｎ设
Ｏ引言
１７９７年，ｌｍＳＨｌｅ提出了一种（ｓｄ．ｌｉｔｎ方法来求解对偏微分方程（Ｐｉｏ方Ｗｉａ．ｅｉｌｌｉｌｌｗＰｅｏＥｉｎｉ）ｕｍａｏ如ｏｓｓｎ程、线性抛物型方程）离散化得到的系数矩阵为大型分块三对角矩阵的线性代数方程组，这种方法具有迭代收敛快及存贮量少等优点…．胡家赣等在系数矩阵为对称正定矩阵和对角优势Ｌ一阵的情况下证明矩了一次ＰＥ方法和一次Ｐ方法的收敛性 “】指出了一次Ｐ，Ｅ方法比Ｊｃｂ方法和ＳＧａｏｉＢＳ方法的收敛速度快．张凯院等讨论了系数矩阵为对称正定矩阵时二次ＰＥ方法和二次ＰＥ方法的可解性和收敛性．从
收稿日：０ — ７０．期２６０ — ５基金项目：自然科学基金资助项目（目０国家项编号：６２３）６７１５．０
第一作者简介：任水利（９５一，，１７）男博士研究生．主要研究方向：数值代数、ＡＤＥ－ａ：ｎｈｉ＠ｓａＣｍＣＧ．ｍｉｒｓｌｉ．ｏｌｅｎｉｎ
维普资讯
ｖｒｅｃｆｅｎｗｑａｒｔＥＩｔｏｄｑａｒｔＰＩｍｅｏｒｒｖｄｅｇｎｅｏｅｄａｉＰｈｄａｄａｉＥＥｔｄａｅｐｏｅ．ｈｔｕｃｍｅｎｕｃｈ
Ｋｅｒｓｉｅｇｂａｃｅａｉｎ；ｂｏｋｄｔｄａｏａｔｘＥｔｏｙｗｏｄ：ｌａａｅｒｉｑｔｓｌｃｅｒｉｇｎｌｎｒｌｕｏｉｍａｒ；ＰＩｍｅｄｉｈ
ＡｂｔａｔｎｔｉｐｐｒｅｑａｒｔＥｋｔｏｎａｒｔＰｍｅｏｒｉｅｒｓｌｉｇａｓｓｅｏｓｒｃ：Ｉｓａｅ，ｎｗｕｄａｉＰｈｄａｄｑｄａｉＥＥｈｃｍｅｕｃｈｔｄａｅｇｖｎｆｏｖｎｙｔｍｆｏ
ＥｑａｉｎｔｉｉｇｎｌＢｌｃｄＭａｒｘｕｔｏｓｗｉｈＴｒｄａｏａｏｋｅｔｉ
ＲＥｕ— ，ＨＡＮＧＫｉｕｎ，ｈｎ —ｉＮＳｈｉｉＺｌａ— ａＹＥＺｅｇｌｙｎ
（ｅａｔｅｔｆｐｌｄＭａｅａｃ，Ｎｒｗｓｒｏｔｈｃｌｎｖｒｔ，ｉｎ７０７，Ｃｉ）ＤｐｒｎｐｉｔｍｔｓｏｔｅｔｎＰｌｅｎａＵｅｉＸ＇１０２ｈａｍｏＡｅｈｉｈｅｙｃｉｉｓｙａｎ
参数的取值范围考虑，本文建立新型二次Ｐ方法以及其外插迭代二次ＥＥ方法，Ｐ并就系数矩阵为对称正定矩阵，讨论二次Ｐ。Ｅ方法与二次ＥＥ方法的可解性和收敛性等问题．型二次Ｐ。Ｐ新Ｅ方法可看作是一
次ＰＥ方法和二次ＰＥ方法的推广，其收敛性态与参数ｋ密切相关．
ｌｅｒａｇｂａｃｅｕｔｎｈｓｔｘｏｏｆｃｅｔｉｉｇｎｌｃｅｔｘｈｏｖｂｌｙａｄｔｅｃｎｉａｌｅｒｉｑａｉｓｗｏｅｍａｒｆｃｅｉｉｎｓｉｔｄａｏａｂｏｋｄｍａｒ．Ｔｅｓｌａｉｔｏ－ｎｏｉｓｒｌｉｉｎｈ
维普资讯
第３卷第２２期
２００７年４月
昆明理工大学学报（理工版）
ＪｕａｆｕｍｎｎｖｒｔｏｃｅｃｎｅｈｏｇＳｉｃｎｅｈｏｏｙｏｒｌｎｉｇＵｉｅｓｙｆｉｅａｄＴｃｎｌｙ（ｃｎｅａｄＴｃｎｌｇ）ｎｏＫｉＳｎｏｅ
方法的可解性和收敛性．
关键词：线性代数方程组；块三对角矩阵；分新型二次Ｐ方法Ｅ
中图分类号：２１６文献标识码：文章编号：０７— ５Ｘ（０７００１０Ｏ４．Ａ１０８５２０）２－１６－５
ＡｎＩｅａｉｅＭｅｈｄｆｒＳｌｉｇＬｉｅｒＡｌｅｒｉｔｒｔｔｏｏｏｖｎｎａｇｂａｃｖ