2019届中考数学复习 专项二 解答题专项 五、简单的几何证明练习
2019届中考数学复习专项二解答题专项五、简单的几何证明练习.docx
简单的几何证明满分训练1.（2018 •陕西模拟）已知：正方形ABCD及等边三角形EDC按如图位置放置，连接AE, BE。
求证：AE=BEo第1题图2. （2018 •陕西模拟）如图，点E在AABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F,若Z C 二ZE, DE二BC, AOAE,求证：DA 平分ZBDEo第2题图3. （2019 •原创题）如图，在SBC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB 的平行线交AE的延长线于点F,连接BF。
求证:CF二AD。
第3题图4. （2018 •湖北恩施中考）如图，点B, F, C, E在一条直线上，FB二CE, AB/7ED, AX:〃FD, AD交BE于点0。
求证：AD与BE互相平分。
5. （2018 •浙江嘉兴中考）已知：在AABC中… AB=AC, D为AC的中点，DE丄AB, DF丄BC, 垂足分别为E, F,且DE二DF。
求证：AABC是等边三角形,。
第5题图6. （2018 •陕•西模拟）如图，在矩形ABCD屮，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G, DE丄AG,垂足为E, HDE二DC,求证：B2AE。
连接BE, DFo求证:四边形BEDF是平行，四边形。
7. （2018 •某工大附中模拟）如图，在AABC中，ZABC=ZBAC=45°，点P在AB ±, AD丄CP,垂足为D, BE垂直于CP的延长线，交CP于点E,求证：CD二BE。
第7题图& （2018 •某高新一中模拟）如图，在ABCD中，0为对角线BD的中点，过点0的直线EF 分别交AD, BC于E, F两点,9. (2018 •湖北黄冈中考)如图，在ABCD中，分别以边BC, CD作等腰三角形BCF,等腰三角形CDE,使BC二BF, CD=DE, ZCBF=ZCDE,连接AF, AE。
(1)求证：AABF^AEDAo(2)延长AB与CF交于点G。
初三几何证明练习题和答案
初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。
本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。
证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。
由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。
所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。
2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。
证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。
代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。
开方可得AB = 13cm。
所以，AB = 13cm得证。
3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。
证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。
所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。
由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。
所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。
4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。
2019年中考数学几何证明、计算题汇编及解析
1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,则AM=BC=2.又tan ∠ADC=2,所以212DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒. 所以3BF k ==所以1sin 33k BFE k ∠==.2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．EBFCDA∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．[解析]（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．（2） BM =FN 仍然成立．（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．图13－2图13－3图13－1 A ( E )4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
全国各省2019年中考数学计算、统计和证明专项训【含答案】(二)
3中考数学计算、统计和证明专项训练(二)三、解答题16. （8分）然后从不等式组2324x x -+⎧⎨<⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．17. （9分）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；（2）小明的综合得分是多少？（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如 果他的综合得分不小于小明的综合得分，那么他 的演讲答辩得分至少是多少分？18. （9分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD ，AD 2+CD 2=2AB 2．（1）求证：AB =BC ；（2）当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD ．民主测评票数统计图一般10%良好优秀70%1号2号3号4号5号6号85909510098959488929094评委7号分数演讲答辩评委评分统计图评分规则：（1）演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，计算平均分”的方法确定．（2）民主测评得分＝“优秀”票数×2＋“良好”票数×1＋“一般”票数×0．（3）综合得分＝演讲答辩得分×0.4＋民主测评得分×0.6．E DC BA中考数学计算、统计和证明专项训练（二）参考答案16-1≤x<2，当x=0时，原式=0（答案不唯一）．17．（1）评委给小明演讲答辩分数的众数为94分，民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数为72°；（2）85.2分；（3）至少是90分．18．证明略．3。
几何证明练习题带答案
几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
求证：∠BAD=∠CAD。
A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。
求证：∠AMN≠∠CNM。
A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。
答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。
答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。
又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。
2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。
因此，对角互补。
四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
证明∠BAD=∠CAD。
证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。
又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。
因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。
2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。
证明：OP垂直于AB和CD。
证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。
同理，∠CPD=∠PDC。
因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。
中考复习初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO. 求证：CD = GF .（初二）.如下图做GH丄AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以/ GFH =Z OEG, 即厶GHFOGE,可得EO = GO = CO，又CO=EO，所以CD=GF 得证。
GF GH CD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，/ PAD =Z PDA = 15°. 求证：△ PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A i B i C i D i都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA i、BB i、CC i、DD i的中点.及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证：AP = AQ .（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN P 、Q .4、 1、求证：四边形 A 2B 2C 2D 2是正方形.（初二）已知: 求证: 如图，在四边形 的延长线交 / DEN = Z△ ABC 中, MN F .ABCD 中，AD = BC , M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 于E 、F .经典题（二）已知： (1) 求证：AH = 20M ;(2) 若/ BAC = 60°,求证:H 为垂心 （各边高线的交点），0为外心，且 0M 丄BC 于M . AH = A0 .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA 丄MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于DCGN求证：AP = AQ .（初二）ECAM NP4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点.求证：点P 到边AB 的距离等于 AB 的一半.（初二）经典题（二）1、如图，四边形 ABCD 为正方形, 求证：CE = CF .（初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE // AC ,且CE = CA ，直线EC 交DA 延长线于F . 求证：AE = AF .（初二）DE // AC , AE = AC , AE 与 CD 相交于 F .FEAD1、设P 是边长为1的正△ ABC 内任一点,4、如图，PC 切圆0于C , AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB • CD + AD • BC = AC • BD .（初三）B 、D .求证: AB = DC , BC = AD .（初三）1、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点 求：/ APB 的度数.（初二）2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且/求证：/ PAB = Z PCB .（初二）4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且AE = CF .求证：/ DPA =Z DPC .（初二）AO DB EFC求证:4、如图，△ ABC 中，/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是AB、AC 上的点，/ DCA = 30°, / EBA = 20°，求/ BED 的度数. LiB C经典题（一）1•如下图做GH丄AB,连接E0。
2019中考数学几何证明专题试卷精选汇编(有解析答案)
1几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．2 EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．3FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，ABCE DF4 ∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。
中考数学几何证明复习题
中考数学几何证明复习题第一篇：中考数学几何证明复习题几何证明练习1.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A(E)图13－1 图13－2图13－32.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1)将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；(3)将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′A A A AE E’ E’D’ F’l B(2)(3)D’(4)3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。
2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案
2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形， 理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣42．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣a3）2＝﹣a6C．a3•a2＝a6D．a5÷a2＝a33．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝kx的图象过点C．当S△CDE＝32时，k的值是（）A.18B.12C.9D.35．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则AD的长为（）A ．3B ．4C ．D ．87．某天的同一时刻，甲同学测得1m 的测竿在地面上的影长为0.6m ，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m 。
几何证明练习题及答案
几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形ACD全等。
答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。
又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。
因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。
题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。
证明：三角形AEF是等腰三角形。
答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。
又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。
因此，角BEC等于角CFB。
由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。
因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。
题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。
证明：四边形ABCD是平行四边形。
答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。
因此，四边形ABCD的对边都是平行的。
又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。
答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。
2019届中考数学复习 专项二 解答题专项 五、简单的几何证明练习
简单的几何证明满分训练1.（2018·陕西模拟）已知：正方形ABCD及等边三角形EDC按如图位置放置，连接AE，BE。
求证：AE=BE。
2.（2018·陕西模拟）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，DE=BC，AC=AE，求证：DA平分∠BDE。
3.（2019·原创题）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB 的平行线交AE的延长线于点F，连接BF。
求证：CF=AD。
4.（2018·湖北恩施中考）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，A C∥FD，AD交BE于点O。
求证：AD与BE互相平分。
25.（2018·浙江嘉兴中考）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF。
求证：△ABC是等边三角形。
6.（2018·陕西模拟）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG，垂足为E，且DE=DC，求证：BF=AE。
7.（2018·某工大附中模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，垂足为D，BE垂直于CP的延长线，交CP于点E，求证：CD=BE。
8.（2018·某高新一中模拟）如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF。
求证：四边形BEDF是平行四边形。
49.（2018·湖北黄冈中考）如图，在ABCD中，分别以边BC，CD作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE。
（1）求证：△ABF≌△EDA。
（2）延长AB与CF交于点G。
若AF⊥AE，求证：BF⊥BC。
10.（2018·山东聊城中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连接AF。
几何证明练习题带答案
几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，若∠BAC=80°，则∠ADB的度数为______。
A. 80°B. 50°C. 60°D. 40°2. 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，若AB=10，BC=6，则EF的长度为______。
A. 8B. 6C. 5D. 33. 已知在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若AB=6，则三角形ABC的面积为______。
A. 9B. 18C. 12D. 15二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC，且BC=8，则三角形ABC的面积为______。
2. 已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC的长度为______。
三、证明题1. 证明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，则AD平分∠BAC。
2. 证明：若四边形ABCD为平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，则EF平分对角线AC。
四、解答题1. 在三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，求证：三角形ABD与三角形ACD全等。
2. 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，求证：EF是平行四边形ABCD的对角线AC的中位线。
答案：一、选择题1. C2. A3. A二、填空题1. 16√32. 6√3三、证明题1. 证明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们知道∠ABD=∠ACD。
又因为BD=CD，根据SAS（边-角-边）相似准则，我们可以证明三角形ABD与三角形ACD全等。
由于全等三角形的对应角相等，因此AD平分∠BAC。
2. 证明：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD。
根据平行线的性质，我们知道∠AEB=∠DFC。
初三证明几何练习题和答案
初三证明几何练习题和答案在初三的数学学习中，证明几何是一个重要的内容。
通过证明几何的练习，不仅可以提高学生的逻辑思维和推理能力，还能加深对几何概念的理解。
本文将提供一些初三常见的证明几何练习题和答案，以供学生参考。
1. 设AO和BO是直线段垂直平分线，点C在直线AB上。
证明：∠ACO = ∠BCO。
解答：首先，根据直线段垂直平分线的定义，AO和BO互相垂直且平分直线段AB。
设∠ACO的度数为x，∠BCO的度数为y。
则根据垂直平分线的性质可知∠COA = ∠COB = 90°。
再根据直线上的角平分线性质可知∠COA = ∠AOC = x/2，∠COB= ∠BOC = y/2。
又由于∠COA = 90°，则x/2 + y/2 = 90°，即x + y = 180°。
因此，根据等量关系可得∠ACO = ∠BCO，证明完成。
2. 在△ABC中，垂直平分线BD交边AC于点E，证明：AE = EC。
解答：根据垂直平分线的定义，BD是边AC的垂直平分线，即BD垂直于AC且平分边AC。
设AE的长度为x，EC的长度为y。
根据垂直平分线的性质可知∠BDE = ∠BDE = 90°，∠BED =∠CED。
由于△BDE和△BEC中∠BDE = ∠BEC = 90°，则两个三角形中的另外两个角也相等，即∠BDE = ∠BEC。
又由于∠BDE = ∠BEC，三角形内角和为180°，则∠BED + ∠BDE + ∠BEC = 180°。
代入角度的数值可得∠BED + 90° + ∠BED = 180°，即∠BED = 45°。
进一步，根据角平分线的性质可知∠AEB = ∠BEC，即∠AEB = 45°。
因为∠AEB为三角形△AEB的内角，所以△AEB的另外两个角之和也为180°。
因此，180° = 45° + x + 45°，化简得180° = x + 90°，即x = 90°，即AE的长度为90°。
云南省2019年中考数学面对面几何图形的证明与计算题库
几何图形的证明与计算种类一简单几何图形的证明与计算1.如图，在正方形 ABCD中， E 是边 AB上的一动点（不与 A， B重合），连结 DE，点 A 对于DE的对称点为F，连结EF并延伸交BC于点G，连结DG，过点E作EH⊥DE交DG的延伸线于点 H，连结 BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数目关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为 4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值第1题图证明：（ 1）如解图①，连结DF，∵四边形 ABCD是正方形，∴ = ，∠ =∠ =90°，∵点A对于直线DE DA DC A C的对称点为 F，∴△ ADE≌△ FDE，第 1 题解图①∴ DA=DF=DC，∠DFE=∠ A=90°，∴∠ DFG=90°，在 Rt △DFG和 Rt △DCG中，∵DF＝DC，DG＝DG∴△≌△（HL），DFG DCG∴GF=GC；（2）结论：=，证明以下：证法一：如解BH 2 AE图②，在线段 AD上截取 AM，使 AM=AE，第 1 题解图②∵ = ，∴ =，AD AB DMBE由（ 1）知：∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，∵∠ ADC=90°，∴∠ 1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠ 2+∠3=45°，即∠ EDG=45°，∵EH⊥ DE，∴∠ DEH=90°，△ DEH是等腰直角三角形，∴∠ AED+∠ BEH=∠ AED+∠1=90°， DE=EH，∴∠ 1=∠BEH，在△ DME和△ EBH中，1DM＝BE∵1＝ BEH ，DE＝EH∴△ DME≌△ EBH（SAS），∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM= 2 AE，∴BH= 2 AE；（3）如解图③中，取DE的中点O，连结OM，OA，AM，EM．∵△ DEH是等腰直角三角形， DM=HM，∴EM=DM=HM， EM⊥ DM，∵∠ DAE=∠ DME=90°， OD=OE，∴ DO=OA=OE=OM，∴A，D，M，E四点共圆，第 1 题解图③∴∠ MAB=∠ MDE=45°，∴∠ DAM=∠ MAB，∴点 M在正方形的对角线AC上，当 BM⊥ AM 时， BM的值最小，最小值为 2 2．2. 如图，在矩形中，对角线的垂直均分线与边、ABCD AC AD BC分别交于点E、 F，连结 AF、 CE．（1）试判断四边形AFCE的形状，并说明原因；（2）若AB=5， 2AE=3BF，求EF的长；（3）连结BE，若BE⊥CE，求BF的值 . AE第2题图解：（ 1）四边形AFCE是菱形．原因：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥ BC，AD=BC，∴∠ EAO=∠ FCO，∵EF是 AC的垂直均分线，∴AO=CO，∠ EOA=∠ FOC=90°，在△ AEO和△ CFO中，EAO＝FCO ,AO＝ CO,EOA＝FOC ,∴△ AEO≌△ CFO（ASA），2∴ = ，AE CF∴四边形 AFCE 是平行四边形，又∵ AC ⊥ EF ，∴四边形 AFCE 是菱形；（2）∵2AE =3BF ，∴能够假定=3， =2 ，∵四边形AECFAE m BFm是菱形，∴ AF =AE =3m ，第2题解图222在 Rt △ ABF 中，，∵ AB +BF =AF ，∴25+4 2=92，∴ =5m mm∴AF =FC = 3 5 ，BF =2 5 ，∴BC =5 5 ，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC =90°，AC =AB 2 BC 225 125 5 6,∴ = 15 6 ,OCAC22∵ tan ∠ OCF =OFAB ,OCBC∴ OF5 , ∴OF = 3056 5 522∴△ AEO ≌△ CFO∴OE =OF , ∴ EF =2OF = 30 .（ 3）设 AE =a ， BF =b 则 AF =CF =EC =a ， BC =a +b ， BF =DE =b ．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥ CB ，∴∠ DEC =∠ BCE ，∵BE ⊥ CE ，∴∠ BEC =∠ D =90°，3∴△ CDE∽△ BEC，∴DE=EC，EC BCb a∴=，∴b2+ab－ a2=0，∴(b)2 +b－1=0 a a∴ b5 1 或51（舍弃） . a22∴BF51.AE23. (1) 已知：△是等腰三角形，其底边是，点D 在线段上，E是直线上一点，ABC BC AB BC且∠ DEC＝∠ DCE，若∠ A＝60°(如图①)．求证：EB＝ AD；(2)若将 (1) 中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延伸线上”，其余条件不变 ( 如图② ) ， (1) 的结论能否建立，并说明原因；EB(3)若将 (1) 中的“若∠A＝60°”改为“若∠A＝90°”，其余条件不变，则的值是多少？AD( 直接写出结论，不要求写解答过程)第3题图(1) 证明：如解图①所示，过点D 作∥交于点，则＝，DF BC AC F AD AF∴∠ FDC＝∠ DCE，∵∠ A＝60°，∴DF＝AD＝ AF，又∵∠ DEB＝∠ DCE，∴∠ FDC＝∠ DEB，第3题解图①又ED＝CD，∠DBE＝∠DFC＝120°，∴△ DBE≌△ CFD(AAS)，∴ EB＝ DF，∴EB＝AD.(2)解： EB＝ AD建立．原因以下：如解图②所示，过点D作 DF∥ BC交 AC的延伸线于F，则 AD＝ AF＝ DF，∠ FDC＝∠ ECD，4又∵∠ DEC＝∠ ECD，∴∠ FDC＝∠ DEC， ED＝ CD，又∠ DBE＝∠ DFC＝60°，第3题解图②∴△ DBE≌△ CFD(AAS)；∴EB＝DF，∴EB＝AD.EB(3)解：＝2.AD【解法提示】过点D 作 BC的垂线，依据等腰直角三角形的性质，能够得出线段间关系，从而求得所需答案 .种类二波及动点、平移、折叠、旋转的几何图形的证明与计算4.如图，正方形 ABCD，将边 CD绕点 C顺时针旋转60°，获得线段 CE，连结 DE， AE， BD，AE与 BD交于点 F．（1）求∠AFB的度数；（2）求证：BF=EF；第4题图解：（ 1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ADB=1∠ADC=45°，2由旋转得： CD=CE，∠ DCE=60°，∴△ DCE是等边三角形，∴CD=DE=AD，∠ADE=90°+60°=150°，∴∠ DAE=∠ DEA=15°，∴∠ AFB=∠ FAD+∠ ADB=15°+45°=60°；（2）如解图，连结 CF，∵△ CDE是等边三角形，∴∠ DEC=60°，∵∠ DEA=15°，第4题解图∴∠ CEF=∠ CBF=45°，∵四边形 ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ ADF=∠ CDF=45°，∵ DF=DF，∴△ ADF≌△ CDF（SAS），∴∠ DAF=∠DCF=15°，∴∠ FCB=90°－15°=75°，∠=60°+15°=75°，ECF∴∠ FCB=∠ ECF，∵CF=CF，∴△ ECF≌△ BCF（SAS），∴BF=EF；5、如图，点O 是等边△内一点，将△绕点C按顺时针方向旋转 60°得△，连结ABC BOC ADCOD.已知∠ AOB＝110°.(1)求证：△ COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明原因；5(3)研究：当α 为多少度时，△AOD是等腰三角形．第5题图(1)证明：由旋转的性质可得，CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△ COD是等边三角形；(2)解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．原因以下：∵△ BOC≌△ ADC，∴∠ ADC＝∠ BOC＝150°，又∵△ COD是等边三角形，∴∠ ODC＝60°，∴∠ ADO＝90°，即△ AOD是直角三角形；(3)解：分三种状况议论：①AO＝AD，∴∠ AOD＝∠ ADO，∵∠ AOD＝360°－∠ AOB－∠ COD－α＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ ADO ＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②OA＝OD，∴∠ OAD＝∠ ADO，∵∠ AOD＝190°－α，∠ ADO＝α－60°，∴∠ OAD＝180°－(∠ AOD＋∠ ADO)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③OD＝AD，∴∠ AOD＝∠ OAD，∴190°－α＝50°，∴α＝140°；综上所述：当α 的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．6. 如图①，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，极点落到点E 处，BE交于ABCD BD C AD 点 F.(1)求证：△ BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点 D作 DG∥ BE，交 BC于点 G，连结 FG交 BD于点 O.判断四边形 BFDG的形状，并说明原因；（3）在（ 2）的基础上，若AB＝ 6，AD＝8，求FG的长．第6题图6(1)证明：由折叠的性质可得，∠DBC＝∠ DBF，∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ ADB＝∠ DBC，∴∠ DBF＝∠ ADB，∴BF＝DF，∴△ BDF是等腰三角形；(2)解：四边形 BFDG是菱形．原因：∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DF∥BG，∵ DG∥BF，∴四边形 BFDG是平行四边形，∵ BF＝DF((1)中已证)，∴平行四边形 BFDG是菱形；（ 3）解：∵矩形ABCD中 AB＝6，AD＝8，∠ A＝90°，2 2∴BD＝ AB＋ AD＝10，∵四边形 BFDG是菱形，∴BD⊥GF， GF＝2OF， BD＝2OD，∴ OD＝5，∴tan∠ ADB＝OF AB 6，＝ =OD AD815∴OF＝4，15∴FG＝2.7.如图，正方形 ABCD的边长是16，点 E 在边 AB上，AE＝3，动点 F 在边 BC上，且不与点 B，C重合，将△ EBF沿 EF折叠，获得△ EB′F.(1)当∠ BEF＝45°时，求证： CF＝ AE；(2)当 B′ D＝ B′ C时，求 BF的长；(3)求△ CB′ F 周长的最小值．第7题图(1)证明：如解图①，第 7 题解图①当∠ BEF＝45°时，易知四边形BEB′ F是正方形，∴BF＝BE，∵ AB＝BC，∴CF＝AE；7(2)解：如解图②，作 B′ N⊥ BC于点 N，NB′的延伸线交 AD于点 M，作 EG⊥ MN于点 G，则四边形 MNCD、四边形 AEGM都是矩形．第 7 题解图②∵B′ D＝ B′ C，∴∠ B′ DC＝∠ B′ CD，∵∠ ADC＝∠ BCD＝90°，∴∠ B′ DM＝∠ B′ CN，∵∠ B′ MD＝∠ B′ NC＝90°，∴△ B′ MD≌△ B′ NC(AAS)，∴B′ M＝ B′ N＝8，∵ AE＝MG＝3，∴GB′＝5，在 Rt△EGB′中，EG＝EB′2－GB′2＝ 132－ 52＝ 12，∵∠ EB′ G＋∠ FB′ N＝90°，∠ FB′N＋∠ B′FN＝90°，∴∠ EB′ G＝∠ B′ FN，∵∠EGB′＝∠ FNB′＝90°，∴△ EGB′∽△ B′ NF，EG E B′1213∴＝，∴＝，B′N FB′8B′F26∴ BF＝B′ F＝3；(3)解：如解图③，以 E为圆心， EB为半径画圆，连结 EC，在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，EB＝ 13，BC＝ 16，第 7 题解图③∴EC＝162＋132＝5 17，∵△ CFB′的周长＝ CF＋ FB′＋ CB′＝ BF＋CF＋ CB′＝ BC＋ CB′＝16＋ CB′，∴欲求△ CFB′的周长的最小值，只需求出CB′的最小值即可，∵CB′＋ EB′≥ EC，∴当 E、 B′、 C共线时， CB′的值最小， CB′最小值是为517－ 13.∴△ CFB′的周长的最小值为3＋ 5 17.8.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 6，BC＝ 8，点D以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 B 匀速运动，抵达 B点即停止运动． M， N分别是 AD，CD的中点，连结 MN.设点 D运动的时间为t .(1)判断 MN与 AC的地点关系；8第8题图(2) 求在点 D 由点 A 向点 B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过地区的面积；(3) 若△ DMN 是等腰三角形，求t 的值．解： (1) MN ∥ AC .证明：在△ ADC 中， M 是 AD 的中点， N 是 DC 的中点，∴ MN ∥AC ；(2) 如解图①，分别取△ ABC 三边中点 E ， F ， G 并连结 EG ， FG ，第 8 题解图①依据题意，可知线段 MN 扫过地区的面积就是平行四边形 AFGE 的面积．∵ AC ＝6， BC ＝ 8，∴ AE ＝3， GC ＝ 4， ∵∠ ACB ＝90°，∴ S AFGE ＝ AE · GC ＝ 12，∴线段 MN 扫过地区的面积为 12；(3) 依题意可知， MD ＝ 21AD ， DN ＝ 21DC ， MN ＝21AC ＝ 3.分三种状况议论：(ⅰ)当 ＝ ＝3 时，△ 为等腰三角形，此时＝ ＝6，MD MN DMN AD AC∴ t ＝ 6.( ⅱ) 当 MD ＝ DN 时， AD ＝ DC .1如解图②，过点D 作 DH ⊥AC 于点 H ，则 AH ＝ 2AC ＝ 3，第 8 题解图②AH AC∵ cos A ＝ ＝ ，AB ＝ 10，AC =6，AD AB即3＝6.AD 10 ∴ t ＝ AD ＝ 5.9( ⅲ) 当DN＝MN＝ 3 时，AC＝DC，如解图③，连结MC，则 CM⊥ AD.第 8 题解图③∵cos ＝AM AC AM6＝，即＝，A AC AB61018∴AM＝5，36∴t ＝ AD＝2AM＝5.36综上所述，当t ＝5或6或5时，△ DMN为等腰三角形．种类三波及研究类问题的几何图形的证明与计算9.如图，在△ ABC中，BC＞ AC，点 E在 BC上，CE＝ CA，点 D在 AB上，连结 DE，∠ ACB＋∠ ADE ＝180°，作CH⊥ AB，垂足为H.(1)如图①，当∠ ACB＝90°时，连结 CD，过点 C作 CF⊥ CD交 BA的延伸线于点 F.①求证： FA＝ DE；②请猜想三条线段DE、 AD、 CH之间的数目关系，直接写出结论；(2)如图②，当∠ ACB＝120°时，三条线段 DE、AD、CH之间存在如何的数目关系？请证明你的结论．第9题图(1)①证明：∵∠ ACB＋∠ ADE＝180°，∴∠ CAD＋∠ CED＝360°－180°＝180°，∵∠ CAD＋∠ CAF＝180°，∴∠ CAF＝∠ CED，∵ CF⊥CD，∠ ACB＝90°，∴∠ DCF＝∠ ACB＝90°，∵∠ ECD=90°－∠ ACD，∴∠ ACF＝90°－∠ ACD＝∠ECD，在△ AFC和△ EDC中，∠ACF＝∠ ECDCA＝ CE，∠CAF＝∠ CED∴△ AFC≌△ EDC(ASA)，∴FA＝DE；10②解： DE＋ AD＝2CH；【解法提示】由①得FA＝DE，△ AFC≌△ EDC，∴CF＝CD，∵CF⊥CD，∴∠ CFD＝∠ CDF＝45°，∵CH⊥FD，∴CH＝HD＝ FH，∴FD＝FA＋ AD＝DE＋ AD＝2CH.(2)解：三条线段 DE， AD， CH之间的数目关系是： DE＋ AD＝2 3CH. 证明：延伸BA到点 F，使 AF＝ ED，连结 CF， CD，如解图，∵∠ ACB＋∠ ADE＝180°，∴∠ CAD＋∠ CED＝360°－180°＝180°，第 9题解图∵∠ CAD＋∠ CAF＝180°，∴∠ CAF＝∠ CED.在△ AFC和△ EDC中，AC＝ EC∠CAF＝∠ CED，AF＝ ED∴△ AFC≌△ EDC(SAS)，∴CF＝CD，∠ ACF＝∠ ECD，∴∠ FCD＝∠ ACF＋∠ ACD＝∠ ECD＋∠ ACD＝∠ ACB＝120°，∵CF＝CD， CH⊥DF，111∴FH＝DH＝2DF＝2( AF＋ AD)＝2( DE＋AD)，1∴∠ HCD＝2∠ FCD＝60°，∴ tan ∠HCD＝DH3，＝CH∴DH＝3CH，∴DE＋AD＝ AF＋AD＝2DH＝2 3 CH.10.△ ABC中， AB>AC，G为 BC的中点， P，A 在直线 BC的同侧， PG⊥ BC，直线 BP与直线 AC 订交于点 D，直线 CP与直线 AB订交于点 E，且∠ BAC＝2∠ PBC.(1)当点 P 在 AB边上时(如图①)， E 与 P 重合， D与 A 重合，则线段 BE与线段 CD之间的数目关系是 ________________ ；(2)当点 P 在△ ABC内(如图②)时，线段 BE与线段 CD有何数目关系？并证明你的结论；第10题图解：(1) BE＝CD；【解法提示】∵ PG⊥ BC，G为 BC的中点；∴PB＝PC，∠ PBC＝∠ PCB，∵∠ APC＝∠ PBC＋∠ PCB＝2∠ PBC，∠ BAC＝2∠ PBC，∴∠ APC＝∠ PAC，∴CP＝CA，∴BP＝CA，∵E与P重合，D与A重合，∴ BE＝CD.(2) BE＝CD；第 10 题解图①证明：如解图①，过点B作 BF⊥ CE交 CE的延伸线于点F，过点 C作 CM⊥ BD于点 M，∵BF⊥CE， CM⊥BD，∴∠ PFB＝∠ PMC＝90°，∵PG是BC的垂直均分线，∴ PB＝PC，在△ PBF和△ PCM中，∠PFB＝∠ PMC∠BPF＝∠ CPM，PB＝ PC∴△ PBF≌△ PCM(AAS)，∴BF＝CM，∵ PB＝PC，∴∠ BPE＝∠ PBC＋∠ PCB＝2∠PBC，∵∠ BAC＝2∠ PBC，∴∠ BPE＝∠ BAC，∵∠ EPD＋∠ BPE＝∠ EPD＋∠ BAC＝180°，∴∠ AEP＋∠ ADP＝180°，又∵∠ AEP＝∠ BEF，∠ ADP＋∠ CDM＝180°，∴∠ BEF＝∠ CDM，在△ BEF和△ CDM中，∠BEF＝∠ CDM∠BFE＝∠ CMD＝90°，BF＝ CM∴△ BEF≌△ CDM(AAS)，∴BE＝CD；。
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简单的几何证明
满分训练
1.（2018·陕西模拟）已知：正方形ABCD及等边三角形EDC按如图位置放置，连接AE，BE。
求证：AE=BE。
2.（2018·陕西模拟）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，DE=BC，AC=AE，求证：DA平分∠BDE。
3.（2019·原创题）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB 的平行线交AE的延长线于点F，连接BF。
求证：CF=AD。
4.（2018·湖北恩施中考）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，A C∥FD，AD交BE于点O。
求证：AD与BE互相平分。
2
5.（2018·浙江嘉兴中考）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF。
求证：△ABC是等边三角形。
6.（2018·陕西模拟）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG，垂足为E，且DE=DC，求证：BF=AE。
7.（2018·某工大附中模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，垂足为D，BE垂直于CP的延长线，交CP于点E，求证：CD=BE。
8.（2018·某高新一中模拟）如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF。
求证：四边形BEDF是平行四边形。
4
9.（2018·湖北黄冈中考）如图，在ABCD中，分别以边BC，CD作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE。
（1）求证：△ABF≌△EDA。
（2）延长AB与CF交于点G。
若AF⊥AE，求证：BF⊥BC。
10.（2018·山东聊城中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F，连接AF。
（1）求证：AE=BF。
（2）若正方形的边长是5，BE=2，求AF的长。
11.（2018·江苏连云港中考）如图，在矩形ABC D中，E是AD的中点，延长CE，BA相交于点F，连接AC，DF。
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形。
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由。
6
12.（2018·黑龙江哈尔滨中考）已知：在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE。
（1）如图①，求证：AD=CD。
（2）如图②，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍。
参考答案
8
1
1
2。